整数論を勉強するためのスレッド
代数幾何のスレが盛り上がってるので建てた。 俺はSerreのLocal Fieldsを読む。 じゃあ私はWeilのBasic Number Theoryを読みます それなら私はJürgen NeukirchのAlgebraic Number Theory読みますね >>2 横レスだが、代数幾何学のスレは同じようなのが3本ほど立っていてそれなりに投稿があるようだ >>1 岩澤の方はなぜ読まないの あとexplicit formulaの数論的重要性を教えて下さい いつまでもリーマン予想が解けない人たちの現実逃避 それが整数論 >>7 ザックリいうと、楕円函数やアーベル函数といった特殊函数は、リーマン面上で虚数乗法によって類別することによって、類体論の言葉に翻訳することができる。 類体論は「平方剰余の相互法則(一般相互法則の特別の場合)」やモジュラー函数や超幾何函数との関係を説明でき、より簡単に計算する方法を提供する。 特にガウスの定理(テイラーのR=T定理の特殊な場合)は、ヘッケ・ラマヌジャン・グロタンディーク・セール理論によって、解析と代数と幾何を橋渡しする。 保型形式論-現代整数論講義-読んだ人っている? 代数的整数論は勉強しててアデール環とか、ホモロジー代数は一応通ってるけど、保型形式は別の本から始めたほうがいい? Riemann面の知識(Riemann-Rochの定理や、Abel-Jacobiの定理など)があるなら、Diamond-Shurmanはおすすめ >>9 『与えられた数より小さい素数の個数について』(Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe)1859年 ttps://de.wikisource.org/wiki/%C3%9Cber_die_Anzahl_der_Primzahlen_unter_einer_gegebenen_Gr%C3%B6%C3%9Fe ttps://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8E%E3%81%88%E3%82%89%E3%82%8C%E3%81%9F%E6%95%B0%E3%82%88%E3%82%8A%E5%B0%8F%E3%81%95%E3%81%84%E7%B4%A0%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%80%8B%E6%95%B0%E3%81%AB%E3%81%A4%E3%81%84%E3%81%A6 「正解じゃない」 現代的な保型表現の純整数論的な応用が勉強出来る本(論文でも可)はありますか そこまでのことは俺には分からんな 専門家が現れることを望む >>18 レスサンクスm(_ _)m 詳しい人のレス引き続き待ってます 保型形式論 現代整数論講義がドンピシャだと思うけどスルーってことは何かあかんの? 著者が長年京都大学で教鞭をとった整数論の講義を下敷きに,表現論的な保型形式論を講じる. リーマンのゼータ函数より出発し,Hecke環の一般論,Hecke作用素とL函数に関する古典的理論へと進む.大域体のアデール環とイデール群の導入による岩澤-Tate理論の解説,代数群の基本,保型形式・保型表現の一般的定義を経て,後半の発展的話題へと論を展開する. >>20 導入にセールの『数論講義』第2部「保型関数」を読むと仮定すると、次の志村の本(Introduction...)との間に一冊欲しい。 志村の本を読み始めるには少し手ほどきが必要だと思う。授業なら埋めてくれるけど、独学だと大変。 最近は、加藤・黒川・斎藤・栗原「数論(I・II)」の保型形式を読むのかな。 Diamond-Shurmanは、志村の古臭い7,8章の代わりに読むのが定石。 同様に『保型形式論 現代整数論講義』も、志村の次に読む感じ(半分は志村の復習)。>>13 がひとりで読めるのか心配。 後半まで読んでやっと応用部分が出て来るってイメージかな。 >>20 保型表現の話をする前座として 古典的保型形式論の話が前半部にあって その古典的保型形式論の話に純整数論の話が少し載ってるだけでしょ あなた目次しか見てないのにアンサーでしゃばっただけでしょ >>21 日本語本によくある「著者のメモ書き用の本」でしょ、その吉田先生の本。 まともにガッツリ勉強したいなら洋書のしっかりした本を読むべきでは。 吉田先生の本は 「だいたいどんな事をやるのか」をぼんやり眺めるのに部屋に飾っとくにはいい本ぽい。 >Diamond-Shurmanは、志村の古臭い7,8章の代わりに読むのが定石。 Diamondの本はよく知らないけど、高次元アーベル多様体上のゼータ関数なんかを たっぷり解説してくれてるの? 印象としては志村本は、(複素)代数幾何学や類体論(整数論)とのつながりを たっぷり解説してくれてる印象だけど、そのDiamondの本は 代数幾何要素、数論要素が薄い気もするけれど あと志村本で使用されてるweil流の代数幾何って、 ハーツホーン1章の古典的代数幾何学の事とは全く似て非なるものなの? 数学は理解するもの。 いくら読んでも自慢には鳴らん りかいすれば応用したくなる。 りかいできてないから 応用はできない。 本を買い続けるバカが多い。 こういうスレは上げたらアカンなすまん >>24 >いくら読んでも自慢には鳴らん 自慢したくて読むんじゃない読みたくて読みたくて読みたいから読むだけ >日本語本によくある「著者のメモ書き用の本」でしょ、 日本語に限らず多いな 著者が「自分が院生の時にあったらよかったのに」という本 役に立たないわけではないが今の院生が読んでも身につかない >>22 「保型表現の話をする前座として 古典的保型形式論の話が前半部にあって その古典的保型形式論の話に純整数論の話が少し載ってるだけ」 というのは「目次しか見てないのにアンサーでしゃばっただけ」ではないということ? 269132人目の素数さん2019/11/10(日) 16:02:28.24ID:AhAlgTS6 rudinの本が芸術的域と書かれたレスを5ちゃんで見たことあるが その意味がだんだん分かってきた 数学科の学生は(上限の意味だけサラッと準備して)サッサとルベーグ積分やった方が いいんじゃないか? リーマン式の微積なんか学ぶ必要ホントにあるの 270132人目の素数さん2019/11/10(日) 16:53:07.34ID:niu6Js1G アホ乙 吉田と伊吹山を買って読むだけで何も研究できません〜 整数論に惹かれるのは ・学部3年の終わりになっても高校数学の「整数」の知識しかなく易しいと思っている ・日本人で活躍している数学者が多いらしいと聞いた ・なんか凄そう なんか難しそう ・俺はリーマン予想を解く! あたりじゃないかw 定員50人の数学科で15人くらいが整数論志望だったり ネットで聞きかじっただけで学部程度の代数の知識もなければ 複素解析もあやふやなのに整数論〜 保形関数〜って言ってるw ID:AhAlgTS6 ID:aCAjpEag ばかはひっこんでな >>32 おそらく数学科でないあんたこそずっと粘着してるみたいだから レス返してあげとくと 数論ほど膨大な準備が必要な分野はないし リーマン予想がどうだこうだなんて数論を動かす動機にまでまだ熟してないから リーマン予想は多くの数学者にとって現実的な興味を持たれてない 数論で今猛威を奮って流行ってるのは非可換類体論 分野として急成長しているのは保型表現論 そして数論の深淵を鼓舞し続けてるがモチーフ理論 これで満足したならお受験板にお帰り どうせNHKのおこちゃま番組見てリーマン予想って言葉だけ覚えて来たんだろ >数論で今猛威を奮って流行ってるのは非可換類体論 >分野として急成長しているのは保型表現論 >そして数論の深淵を鼓舞し続けてるがモチーフ理論 なんつーか日本人エリート整数論研究者の視点ってよくわかるねえw もちょっと視野を広く持ったほうがいいんじゃないのぉ? >>35 ↑ 根拠を語れないバカ 荒らしと一緒のカス 若い人かな? 元気いいねえ いいことだよ たまたま通りすがっただけだけど Number Theory and Dynamics Conference 2019 https://www.maths.cam.ac.uk/number-theory-and-dynamics-2019 なんて面白そうなことやってたけど日本人が全然いないんだよねえ まあ>>34 のような調子でやってても十分面白いと思うし日本の強みだろうけど ガラパゴスだと次世代が辛くなんない? >>37 https://www.math.kyoto-u.ac.jp/ ~kawaguch/pdf/14AlgSym.pdf 日本のアラケロフ幾何の人がサーベイ書いてるけど この分野が数論的に深い内容とも思えない これから先は知らないけど >>31 というか、代数学がつまらない ふつうに考えて、方程式なんて解析的に解ければそれでよくて、制限条件をつけて構造を調べても実質的に意味のある成果なんか得られてないと思う >>39 おまえの考えがつまらない。 ま、面白いかつまらないかなんて主観と言えばそうだが 数値解てほんとつまらんなというのは数学始めたときから思ってた。 たとえば実数というのは現実とよくマッチにしているように感じられたとしても それはごく表面的な話だよ。 もっと深い真実があるだろうというのが整数論をやってるひとの感覚。 さすがに有理数と無理数の区別に意味がないとは言わないだろう。 たとえばαが有理数か無理数かで e^{2πiα}が生成する乗法群は有限群か無限群かという違いが生じるが 無限と「大きな有限」には大差ないというのは数学センスが無さすぎる。 そして、有理数と無理数の区別は 「いくら顕微鏡で拡大して見ても分からない」 「これほど文明の利器が無力なことはない」 という話は加藤和也氏がよく言うこと。 >>40 >あ、線形代数は別な わざわざ線形代数付け加えて予防線張ったがバカを隠せなかったか?! >>39 >方程式なんて解析的に解ければそれでよくて 「方程式を解く」こと自体の何が面白いのか一切分からん おまえは数学自体に興味なさそうだからどっかヨソに行けよ どのスレ行っても、松坂くんの同類みたいなのが粘着してくるんだな MilneのClass Field Theoryのレクチャーノート、Tate cohomologyのとこまで読んだ だいたい先が読めてきた H^2の元とカップ積をとるって、これ具体的に何してるんだ >>31 ガウスによると数学の女王様 限りなく知的にした暇つぶし 崩れども、職が決まらなくてノイローゼか? 女子高生盗撮して逮捕されんなよ! ま〜た方程式解析的に解くの好きなバカが来てるのか?!ww SGA4.5は、Deligneの講義のノートが英訳されてるのね 今の院生も、Weil conjectureを読むの? ∃今の院生、Weil conjectureを読む なのか ∀今の院生、Weil conjectureを読む なのか >>61 多分も何も 箸にも棒にもかかってないよ・・・ SGA4.5ってSGA4とSGA5の事かと思ったらSGA4(1/2)みたいだし しかもページ数的にSGA4(1/2)の3割も満たない訳で SGA4(1/2)分の英訳が他にも同じような形で全部やられてるならまだしも まぁ仏語読んだほうが早いから誰も困らないけど SGA1 (エタール被覆と基本群) SGA2 (連接層の局所コホモロジーと大域および局所レフシェッツの定理) SGA3 (群スキーム) SGA4 (トポス理論とスキームのエタール・コホモロジー) SGA4.5 (エタール・コホモロジー) SGA5 (l 進コホモロジーと L 関数) SGA6 (交叉理論とリーマン・ロッホの定理) SGA7 (代数幾何学におけるモノドロミー群) なおBerthelot著crystalline cohomologyがSGA8 と呼ばれることがあるが、Grothendieckの構想と直接の関係はない。 >>64 一行目じゃなく二行目にこそ言及しろよ・・・ 自分の都合の悪い方を無視するって役人か だいたい4.5という表示もバカ過ぎる 4と5はエタールコホモロジー繋がりだから思いっ切り紛らわしい 話を通じさせるに足らないレスをしたから話が通じなかっただけに見えるけどな 誰も「SGAの英訳」なんて言ってないし、そもそもDeligneの講義の公開されてる講義ノートってこれしか知らんし >>64 これのどこに話が通じる要素があったのだろうか >>62 (NGID:qvRhGo3d)が「箸にも棒にもかかってない」ブーメランを自分の頭に直撃させて流血してるスレw https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1569284478/177 177132人目の素数さん2019/11/24(日) 04:54:32.06ID:qvRhGo3d > >>176 > アレは読める必要ないし > アレが読める人はアレを読む必要ない > 素直にSGA4読むべき 無自覚な荒らし こんな過疎スレでのしつこい自己主張 病気だよ 小野孝の数論序説を読んでる ヒルベルトの理論を円分体に用いると、二次体の分解法則が明示的に記述できることが分かった 明日、証明フォローする これやったら、類体論やる前にセールの本の二次形式も読みたい 堀田良之 可換環と体に、代数関数体の合同ゼータ関数の話が書いてある SGA読めへんからこれ読む >>78 「Artin写像の核には、シュトラール類群(Ray class group)とノルムの積である合同イデアル類群が現れる。」(定理2.21) 類体とは、『素イデアルの分解の仕方が、合同イデアル類群によって判る』ようなアーベル拡大体のことである。 >>80-81 の背景となる理論があるからこそ、円分体や二次体の『素イデアルの分解の仕方が、類数公式によって判る』と言える。 この類数公式に出て来るのが各種のゼータ関数やL-関数で、類体の秘密を宿している。 >>84 Deligne予想=「有限体上の高次元類体論の非アーベル化」(未解決) 斎藤秀司「高次元類体論の現在」p.259-p.260, 7 有限体上の多様体の類体論の非アーベル化 https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/67/3/67_0673246/_pdf/-char/ja 「類体の秘密」を調べるもう一つの方法が『岩澤理論』 加藤和也「整数論の近年のいくつかの進展をふりかえって」p.420-p.425, 2 岩澤理論の発展 https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/69/4/69_0694413/_pdf/-char/ja >>11 『クロネッカー青春の夢』 => 類体論 『虚2次数体上のアーベル方程式は、虚数乗法を持つ楕円関数の変換方程式で汲み尽くされる』 ヒルベルトの第12問題 杉浦 光夫「ヒルベルトの問題II」p.259-p.260, 第XII問題 解析函数によるアーベル拡大の構成 証明問題 「5つの整数が与えられている。 その中の3つを上手く選べば、その和が3の倍数になる。」 >>92 この問題は時期的にまずい。 もうちょっと待て。 a^3 - b^3 = 217 を満たす整数の組(a, b)を全て求めよ >>96 素因数分解が一通りであることを証明するのが面白いのです >>95 によれば (a,b) = (-8,-9) (1,-6) (6,-1) (9,8) >>92 > 証明問題 > 「5つの整数が与えられている。 > その中の3つを上手く選べば、その和が3の倍数になる。」 3を法として整数を3つの部分集合 C_k =def= { n?Z | n mod 3 = k } (0≦k≦2)に分割すると、 (1) 5つの整数の中に、ある k について C_k から少なくとも3つの整数を含んでいる場合、 同一の C_k に属する3つを選べばそれらの和は3の倍数になる (2) さもなければ、C_0, C_1, C_2 の各々から少なくとも1つは含まねばならない 従って、これら3つの部分集合の各々に属する整数を1つずつ選べばそれらの和はやはり3の倍数になる QED >>99 訂正 数学記号は文字化けするんですね(少なくともJaneStyleだと) 誤> 3を法として整数を3つの部分集合 C_k =def= { n?Z | n mod 3 = k } (0≦k≦2)に分割すると、 正> 3を法として整数を3つの部分集合 C_k =def= { n in Z | n mod 3 = k } (0≦k≦2)に分割すると、 正解です。 「2・3^n - 1 個の整数が与えられている。 その中から 3^k 個組 (その和は3^kの倍数) を 2・3^(n-k) -1 組取り出せる。 とくに、3^n 個を上手く選べば、その和が3^nの倍数になる。」 一般化しました。 「a個の整数が与えられているとき、 その中のb個を上手く選べば、その和がcの倍数になる。 (a>b>1, a>c>1)」 ↓ 「 (a-1)(b^n -1)/(b-1) +1 個の整数が与えられているとき、 その中の b^n 個を上手く選べば、その和が c^n の倍数になる。」 >>98 a^3 + b^3 + c^3 = 6^3 の整数解: (3,4,5) (n,-n,6) (-1,-8,9) (-8,-10,12) 以外にある? >>101 (a,b,c) = (2m-1,m,m) とできるらしい。 [エレ解スレ3.491] http://www.renyi.hu/ ~p_erdos/1961-25.pdf エルデシュ=ギンツブルグの定理 「2m-1個の整数の集合には、和がmで割り切れるようなm個の整数の部分集合が必ず存在する。」 【数セミ】エレガントな解答をもとむ3【2018.10】 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1537116043/481-491 「エルデシュ=ギンツブルグの定理」(>>104 )でm=3とした場合が、【数セミ】エレガントな解答をもとむ2019年11月号「出題1」(>>92 )の場合。 「5つの整数が与えられている。その中の3つを上手く選べば、その和が3の倍数になる。」 問題文の「上手く選べば」を「必ず存在する」という存在定理に読みかえられる。 >>101 (a1,b1,c1) と (a2,b2,c2) について成り立てば (a1+b1(a2-1), b1・b2, c1・c2) についても成り立つ。 >>103-105 (2m-1,m,m) と (2n-1,n,n) について成り立てば (2mn-1, mn, mn) についても成り立つ。 ∴ 素数mについて成り立てば十分。 (3,2,2) … 偶奇の同じ2個を取り出す。 (5,3,3) >>99 >>105 12月号 Erdős, P.; Ginzburg, A.; Ziv, A. (1961). "Theorem in additive number theory". Bull. Research Council Israel. 10F: 41–43. https://www.renyi.hu/ ~p_erdos/1961-25.pdf 「Zero-sum problem」 https://en.wikipedia.org/wiki/Zero-sum_problem >>104 >>108 mは素数とする。 x_i をmで割ったときの剰余に注目して、昇順に並べる。 0 ≦ x_1 ≦ x_2 ≦ ・・・・ ≦ x_(2m-1) < m, ・同じ剰余がm個以上あるとき、そのm個を取り出す。 ・どの剰余も(m-1)個以下のとき、 0 < x_(m+i) - x_i < p, (1≦i<m) ・・・・(1) ここで、 S_0 = {0} S_1 = {0, x_(m+1)-x_1} S_t = { [Σ[i=1,t] f_i・(x_(m+i) - x_i)] mod m | f_i = 0または1 } とおく。 補題 #S_t ≧ t+1, (0≦t≦m-1) (略証) tについての帰納法による。 #S_0 = 1, #S_1 = 2, S_(t+1) = S_t U { [s+x_(m+t+1)-x_(t+1)] mod m | s∈S_t } 右辺の2つの集合は、元の数は等しい。( #S_t ) しかし元の和は (x_(m+t+1) - x_(t+1)) #S_t だけずれている。(mod m) #S_t < m のとき、(1) より、mで割り切れない。 ∴ 後者の集合は S_t にはない元を含む。 ∴ #S_(t+1) ≧ #S_t + 1, (終) #S_(m-1) = m だから 0,1,・・・・,m-1 をすべて含む。 s ≡ - (x_1+x_2+・・・・+x_m) (mod m) となる元 s ∈ S_(m-1) を取り出せば、 Σ[f_i=0] x_i + Σ[f_i=1] x_(m+i) ≡ 0 (mod m) >>110 それできる? もともとのエルデシュの証明でまずmが素数の場合に限定してるのは S_tからS_{t+1}にいくときS_tの各頂点があるmの約数の倍数ばかりになってて S_{t+1}にいくとき点が増えない可能性があるからで、実際にそれは起こる場合があるので やはりmが素数の場合から積み上げていくしかないなぁとあきらめたんだけど。 ご指摘のとおり、mが素数であることを使っています。 0 < x_(m+i) - x_i < m, (1≦i<m) ・・・・(1) 0 < #S_t < m より x_(m+t+1)-x_(t+1) も #S_t も 1〜m-1 の範囲内ですから mで割り切れません。 さらに、mが素数ならば、その積もmで割り切れないと言えます。 うまくm-1組のペアをその差からなるm-1元の集合のGCDが1になるように取れる。 がサラッと示せればいいんだけど素数の場合から積み上げていくより楽に示せればいけるんですけどね。 ペアの差の集合全体のGCDがmと互いに素であるケースにはすぐ帰着できるけど、その時そこからうまくm-1組みdisjointに選ぶ方法が見つからなくて諦めました。 あるかも。 ユークリッド互除法の研究とリーマン予想に挑むか。私のこと。 あんたまだフェルマーの最終定理が残ってるでしょう。きっちり落とし前付けてくださいよ。あうとれいじ。私のこと。 「加法的整数論」には、「Erdős–Ginzburg–Ziv の定理」(>>104-108 )や「分割数の理論」が含まれ、難問が多いことで知られる。 「分割数の理論」とは、自然数nを正の自然数の和としてあらわす方法で、視覚的な表現に「ヤング図形」が知られている。 オイラーの時代には「加法的整数論」が数論の中心問題で、「ウェアリングの問題」や「ゴールドバッハの予想」が知られていた。 https://ja.wikipedia.org/wiki/ ウェアリングの問題 (1909年、ヒルベルトが解決) https://ja.wikipedia.org/wiki/ ゴールドバッハの予想 (未解決) addictive number theoryだと加法和也っぽいよね。 問題投下 以下の条件一と条件二を共にみたす、正の整数nは無数にあるか? 条件一:2^n +1が、n-1で割り切れる。 条件二:2^n +2が、nで割り切れる。 計算してみると、n=2,6,66は条件一と条件二を共にみたすことがわかる。 「加法的整数論」を勉強するなら ヒンチン著 蟹江 訳「数論の3つの真珠」 がおすすめ。 1. ファン・デル・ヴェルデンの定理 2. シュニレルマンの不等式 3. ウェアリングの問題 今なら 4. Zero-sum problem が加わっているところだ。 ニーズがあるかわからんが、一応>>122 の回答w kが条件一と条件二をみたすとき、m=2^k +2も条件一と条件二をみたすことをいう。 明らかに、kは4で割り切れない偶数でかつ2^k +2はkの奇数倍であることがわかる。 m=2^k +2が条件一をみたすこと 明らかに2^k≡-1 (mod 2^k +1)がいえるから、2^(2^k +2)≡-1 (mod 2^k +1) よって、2^m +1≡0 (mod m-1)がいえる。 m=2^k +2が条件二をみたすこと 明らかに、2^(k-1)≡-1 (mod 2^(k-1) +1)がいえるから、2^(2^k +1)≡-1 (mod 2^(k-1) +1) よって、2^(2^k +2) +2≡0 (mod 2^k +2) したがって、2^m +2≡0 (mod m)がいえる。 ζ := ζp = exp(2πi/p) Kummerは、Z[ζp]がUFDとなる素数pに対しては、Fermat's last theoremが成り立つことを示したそうですけど、どうやるんでしょう (x - yζ)(x - yζ^2)...(x - yζ^(p-1)) = z^p と因数分解してチョチョイのチョイ、とはいかなそうです バーゼル問題「平方数の逆数全ての和(ゼータ関数のS=2の値)を求めよ」 https://ja.wikipedia.org/wiki/ バーゼル問題 「加法的整数論」は20世紀にイヴァン・ヴィノグラードフ(Ivan Vinogradov)らによって進展した。 Vinogradov "The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers" Dover 1937年ごろ、三角和の方法を用いてヴィノグラードフの定理が証明された。 ヴィノグラードフの定理「十分大きな任意の奇数が3つの素数の和として表すことができる」 https://ja.wikipedia.org/wiki/ ヴィノグラードフの定理 この「弱いゴールドバッハ予想」(ヴィノグラードフの定理)は、「一般化されたリーマン予想」を仮定することなしに、証明することができた。 「加法的整数論」の主要なテーマ: 1. ファン・デル・ヴェルデンの定理 2. シュニレルマンの不等式 3. ウェアリングの問題 4. Zero-sum problem 5. ゴールドバッハ予想 整数論にまともに体系化された理論なんてないから勉強するだけ無駄 ゴールドバッハ予想や双子素数問題のような極めて基礎的な問題ですら解けてないのが現実 数論幾何で一本補助線を引いたらぱーっと問題が解ける 補助線に気がついた時の感覚がたまらないねww 幾何以外の分野だと補助線の存在ってなんなの? 媒介変数? 双子素数問題の中国人やタオによる成果って、数論幾何とは別方向からだろ。 ゴールドバッハにしても。 数論幾何を崇める視野の狭いのが日本には多いね。 ウィルソン剰余 W(n) = mod((n-1)!, n) 〔ウィルソンの定理〕 nが素数のとき W(n) = n-1, n=4 のとき W(4) = 2, n≧6 が合成数のとき W(n) = 0, (略証) nが素数pのとき 1≦a<p とする。 {a,2a,・・・・,(p-1)a} のどの2個も (pを法として) 合同でない。 また pの倍数でもない。 よって 1,2,・・・・,p-1 と合同な元が1個づつある。 ba≡1 (mod p) となるbを a^(-1) と記す。 aa≠1 (mod p) ならば、aと a^(-1) が対をなす。 aa≡1 (mod p) となるのは a=1, a=p-1 のみ, (p-1)! ≡ p-1 (mod p) n=4 のとき (n-1)! = 3! = 6 ≡ 2 (mod n) n=pq≧6 のとき (p-1)(q-1) > 1, n = pq > p+q, n | n(p-1) = p(n-q) | (n-1)! (終) 653 132人目の素数さん2020/02/18(火) 08:55:02.79ID:i1rO8ufq 私は、数論(数論幾何)の美しさは、数がその背後に深遠な数学的構造を宿してるからだと ばかり思ってきました。加藤和也先生の「素数の歌が聞こえる」という表現は あまり詩的過ぎて今まで漠然と受け取っていましたが、しかしあくまで 数自体はその深遠な数学的構造を人間に教えてくれる媒介であって 謂わばそれ自体が本質ではない副次的な存在だと勝手に信じていました。 しかし私がそのような理由で、以前より軽視していた初等整数論の本で ハーディの数論講義を最近一瞥したら、実はそうではなく、 背後の深遠な数学的構造の有無以前の、その素朴な数自体にも 人間の知性を超えた輝きが確かに存在しているのだと、考えが少し変わりました。 その数自体の美しさを知った上で今までの自身の学習を振り返ると、 複雑な込み入った数学的構造自体の上っ面にしがみつき踊らされ 頭のゴムひもが伸び切ってしまっていたようにも思います。 代数幾何、類体論、保型形式など通常の洗練された現代数学と並行して、 数の原点である初等整数論や解析的整数論も少しずつ学んでみようかと 思っています。とりあえずハーディの本を読むのも一朝一夕には行かない と思いますが、ハーディの本を読んだあとは、 ジーゲルの解析的整数論、分割関数、連分数、素数分布論、 リーマンゼータ関数や楕円曲線の初等的な取り扱い、など色々考えられますが、 素朴な数の原点のその最高峰は何と言ってもラマヌジャンのような気がします。 ノートブック5巻、ロストノート5巻、これだけで既に膨大ですが つまみ食いで学んでいくにしても、一体どこから何に手を付けるべきか 道標を示してくれているサーベイすら殆どありません。 どの巻はどんな内容でどんな人がどこから学んでいけばいいのか、 宜しければ是非ともお聞きしたいです >>143 ウィルソンの定理の拡張 n≧3 に対して P(n) = Π[1≦m≦n-1, (m,n)=1] m とおく。このとき (1) P(n) ≡ ±1 (mod n) (2) P(n) ≡ -1 (mod n) となるのは n = p^e, 2p^e (pは奇素数、e≧1) = 4 のときである。 (略証) (1) A = { m | 1≦m≦n-1, (m,n)=1} B = { m | mm≡1 (mod n)} C = { m | mm≠1 (mod n)} とおくと Aは乗法群をなす。 A = B + C m∈A に対しては逆元 m^(-1) が存在する。 >>144 m∈C ならば m と m^(-1) が対をなして相殺する。 Π[m∈C] m = 1, m∈B ならば m と n-m と対をなすが -1 が残る。(← m≠n-m) m(n-m) ≡ -mm ≡ -1 (mod n) Π[m∈B] m = (-1)^(#B/2) ここで #B は偶数。 よって P(n) = Π[m∈A] m = (Π[m∈B] m)・(Π[m∈C] m) = (-1)^(#B/2) = ±1 (2) P(n) ≡ -1 (mod n) ⇔ #B が4の倍数でない。⇔ n = p^e, 2p^e (pは奇素数、e≧1) = 4 数学セミナー、2000年3月号 NOTE (土岡氏) *) nの素因数分解における2の指数をe, 相異なる奇素数をk種とすると #B = 2^k (e=0,1) = 2^(k+1) (e=2) = 2^(k+2) (e≧3) となることが、中国剰余定理とnが素数べきの場合の計算から分かる。 高木貞治:「初等整数論講義」第2版、共立出版 (1971) http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320010017 ご参考 [1] C[n-1,r-1]・C[n,r+1]・C[n+1,r] = C[n-1,r]・C[n,r-1]・C[n+1,r+1], V. Hoggatt - Hansell: Fibonacci Quarterly, 9, p.120-133 (1971) [2] GCD{C[n-1,r-1]、C[n,r+1]、C[n+1,r]} = GCD{C[n-1,r]、C[n,r-1]、C[n+1,r+1]} Henry W. Gould (1972) ・文献 B.Gordon, D.Sato, E.Straus: Pacific J. Math.,118(2), p.393-400 (1985) (佐藤大八郎) 数セミ増刊「数学の問題 第(3)集」日本評論社 (1988) ●72 〔定理1〕(ガウスの三平方数定理) 自然数nが3個以下の平方数の和で表わせる。 (3) n = xx+yy+zz, (x,y,z∈Z) ⇔ (4) n ≠ (4^L)・(8k+7) (L,kは非負の整数) 〔系1〕 8k+1, 8k+2, 8k+3, 8k+5, 8k+6 の形の自然数nは 3個以下の平方数の和で表わせる。 8k+3 または 8k+6 の形の自然数nは、 ちょうど3個の平方数の和で表わせる。 〔定理2〕 十分大きい 8k+1, 8k+2, 8k+5 型の自然数nは、 ちょうど3個の平方数の和で表わせる。 Schinzel (1959) E. Grosswald & A. J. Calloway (1959) 〔G.Pallの予想〕 (1933) 16k+2 型は n>130 (反例: n=130) それ以外は 8k+1 型は n>25 (反例: n=25) 8k+5 型は n>85 (反例: n=5,13,37,85) と予想される。 数セミ増刊「数学の問題 第(3)集」日本評論社(1988) ●115 >>148 [1] C[n,r] = n!/(r!・(n-r)!) より。 [2] -(n+1)C[n-1,r-1] - (r+1)C[n,r+1] + (n-r+1)C[n+1,r] = C[n-1,r] n・C[n-1,r-1] + (r+1)C[n,r+1] - (n-r)C[n+1,r] = C[n,r-1] -n・C[n-1,r-1] - r・C[n,r+1] + (n-r+1)C[n+1,r] = C[n+1,r+1] ∴ GCD{C[n-1,r-1]、C[n,r+1]、C[n+1,r]} は右辺の約数でもある。 つまり 右辺のGCD の約数である。 この関係において r を n-r と置き換えれば、ただちに逆の関係を得る。 つまり証明が完成する。 Hilbertの理論を勉強中 k: algebraic number field K/k: Galois extension O_K(, O_k): integral closure of ℤ in K (resp k) p⊂O_k: prime ideal pO_K = P_1^e_1∩ ... ∩P_g^e_g (P_i⊂O_K: prime ideal) 数論よく知らんけどF_pの原始根って存在だけで具体的な記述は未だ不明なの? すごく基本的なことだと思うんだが K/kがGalois拡大だと e_1 = ... = e_g なので、これをeとおく また、p⊂O_kおよび各P_i⊂O_Kは極大イデアルなので、それによる剰余環は体 Κ_i = O_K/P_i κ = O_k/p f_i := [Κ_i : κ] とすると、K/kがGaloisなら f_1 = ... = f_g これをfとおくと [K : k] = efg 各P_iに対して D_i := { g∈Gal(K/k)| g(P_i) = P_i } とおく。 K/kがGalois拡大の場合、Gal(K/k)の{P_1, ..., P_g}への作用は推移的。 したがって、 g = |P_iの軌道| = |Gal(K/k)|/|D_i| ∴ |D_i| = ef π: D_i→Gal(Κ_i/κ)が以下のようにして定まる g∈D_i, x + P_i∈Κ_iに対して、 π(g)(x + P_i) := g(x) + P_i これは、全射だが、単射ではない。その核をI_iとすると、 |D_i| = ef |D_i|/|I_i| = [Κ_i : κ] = f より |I_i| = e Gal(Κ_i/κ)は巡回群 その生成元をφ_iとする e = 1のとき D_i 〜 Gal(Κ_i/κ) なので、φ_iは、Gal(K/k)の元を定める これを ((K/k)/P_i) と書く 円分拡大の場合 ζ = exp(2πi/n) K = ℚ(ζ) k = ℚ Gal(K/k) = (ℤ/nℤ)^× 原始根がナゾすぎる 調べてみてもまだ全然よくわかってないみたいだけど モチーフとかラングランズとか進展すれば分かるんかな? 数論幾何が発展しても、具体的な代数拡大における素イデアル分解とか分かるようにならないのね >>160 159だけどやはり役に立たないの? 今の数論の方向性で原始根みたいな基本的なことの理解は深まるのか疑問だったんだよね 多元の院生でした F先生は天才だと思うのですが、数論の天才はそれを遥かに凌駕するのですね…… この世界、ヤバスギですね…… 私が学生のころから、I先生とF先生は多元の若手でも、明らかに突出していました。 そりゃあ、論文書かない教授とか居ますよ。だけど、旧帝大の先生なんて、やっぱ普通の人じゃなれないわけですよ その秀才集団の中でも、この2人って、学生の目から見ても明らかに天才だったんですよね。 でも、世界にゃ彼らから見ても雲の上みたいな数学者がわんさかいるんですよね ちっぽけだわ。俺ってちっぽけだわ。 伝説級の数学者になる人 優秀な数学者になる人 数学者になる人 真面目な学生 おちこぼれ学生 そもそも学部入試すら通らないゴミ 透視図法みたいなもので、自分より遠くは粗くしか分類できない K, k: 代数体 K/k: Galois拡大 O_K, O_k: K, kにおける整数環 p⊂O_k: 素イデアル pO_K = P_1^e_1∩...∩P_g^e_g (P_*⊂O_K: 素イデアル) と素イデアル分解したとする。 Κ_i := O_K/P_i κ := O_k/p f_i := [Κ_i:κ] とおくと、 [K : k] = Σ[i = 1 to g] e_i * f_i. Gal(K/k)のKへの作用は、{P_1, ..., P_n}への作用を誘導する。 K/kがGalois拡大の場合、この作用は推移的になる。この時、 e_1 = ... = e_g となる。これを簡単にeと書く。 K/kがGalois拡大の場合、さらに f_1 = ... = f_g となる。これを簡単にeと書く。よって、 [K : k] = efg. D_i := { σ∈Gal(K/k)| σ(P_i) = P_i } とおく。このD_iをP_iの分解群という。群の作用の性質から |{σ(P_i)| σ∈Gal(K/k) }| = |Gal(K/k)|/|D_i|. Gal(K/k)の作用は推移的だったので、 g = [K : k]/|D_i| ∴ |D_i| = ef. σ∈D_iとする。 x + P_i∈Κ_iに対して、σ(x) + P_iを対応させることで、群の準同型 D_i → Gal(Κ_i/κ) が定まる。この準同型は全射だが、単射とは限らない。 その核をI_iとすると、 |D_i|/|I_i| = f_i ∴ |I_i| = e このI_iを、P_iの惰性群という。 以下、e = 1の場合を考える。このとき、 D_i 〜 Gal(Κ_i/κ) Κ_i/κは有限体の代数拡大なので、Gal(Κ_i/κ)は位数fの巡回群。 その生成元をφ_iとする。φ_iのD_i⊂Gal(K/k)への引き戻しを、 [(K/k)/P_i] と書く。この元は、 [(K/k)/P_i](x) + P_i = x^f + P_i ∈ Κ_i となる元である。 [(K/k)/P_i]の位数が1 ⇔ pはO_Kで完全分解 τ(P_i) = P_jとなるτ∈Gal(K/k)を用いると、 [(K/k)/P_i] = τ^(-1)∘[(K/k)/P_j]∘τ となる。 したがって、K/kがAbel拡大であれば、この元はpのみから定まるので ((K/k)/p) と書く。 k = ℚの場合 K = ℚ(ζ_m) (ζ_m := exp(2πi/m)) p = (p)⊂ℤ (p:奇素数) とする。このとき、((ℚ(ζ_m)/ℚ)/(p))は、 ((ℚ(ζ_m)/ℚ)/(p))(ζ_m) = (ζ_m)^p で定まる自己同型である。 K: 代数体 K/ℚ: Abel拡大 とする。 Kronecker-Weberの定理より、あるmがあって、 ℚ⊂K⊂ℚ(ζ_m) となる。対応する群は、 Gal(ℚ(ζ_m)/ℚ)⊃Gal(K/ℚ)⊃{e} であり、 Gal(K/ℚ) 〜 Gal(ℚ(ζ_m)/ℚ)/Gal(K/ℚ). よって、p: 奇素数に対し、 (p)がKで完全分解 ⇔ ((ℚ(ζ_m)/ℚ)/(p))のKへの制限が恒等写像 よくよく考えたら原始根以前に有限体やp進数の逆元も具体的に分かってるわけではないのか aとbが互いに素な整数のとき、ある整数a*とb*が存在して aa*+bb*=1 と出来る、この事実が全ての基礎になってるわけだけど これらが簡単に表現できない(互除法で行き当たりばったりで作るしかない)ことが神秘的なのかね 文元センセも言ってた加法と乗法の複雑な絡み合い 任意のnに対して、有理数体のガロア拡大で、ガロア群がZ/nZと同型になるものは存在しますか? 算術級数定理より p = kn + 1 となる素数pが存在する ζを1の原始p乗根とすると、Q(ζ)/QはGalois拡大で、Gal(Q(ζ)/Q)は (Z/pZ)^× 〜 Z/(p-1)Z 〜 Z/(kn)Z これの部分群Hで、Z/kZと同形なものが存在する (Q(ζ)^H)/Qが求めるもの なるほど〜 n|p-1なるpがあればいいとこまではわかったけど、算術級数定理か すべての自然数を、素数と高々 k 個の素数の積である数との和で表すことのできるような、k が存在することを証明してくれ〜 この人がコーヒーの有名な一節の親なのか 「すべての自然数」てのはwikiのミスかね > sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k)) [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] 短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749 長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803 同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408 [,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20] 短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0 長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0 同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1 4×5の場合 宝:1個 同等 宝:2〜5個 短軸有利 宝:6〜13個 長軸有利 宝:14〜20個 同等 □■■■■ □□■■■ □□□■■ □□□□■ 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,(21mod n)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] 長軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,6mod n)-C(0,C(3,n-2)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] 同等☆ Table[C(19,k-1)+C(17,k-2)+C(15,k-2)+C(13,k-2)+C(8,k-2)+C(1,k),{k,1,20}] (1 - x)(1 - x^2)(1 - x^3) ... >>180 e(n) := nを偶数個の異なる自然数に分割する組み合わせの総数 o(n) := nを奇数個の異なる自然数に分割する組み合わせの総数 とすると、x^nの係数は e(n) - o(n) n=pq(異なる素数の積)のときn次の円分多項式の係数が-1〜1しか取らないことの証明教えて (このことからn=p^iq^jのときもそうなる) >>183 あれ? それ成立しないって聞いた記憶かるけど? >>185 それはnが3つ以上の奇素数の積のときではなく? ベルトラン仮説や算術級数定理のような素数に関する素朴でシンプルな定理あれば教えてください (上のレーニの定理は少し複雑だなという感想です) >>187 ゴールドバッハの予想 >全ての 3 よりも大きな偶数は2つの素数の和として表すことができる ウェアリングの問題、ゴールドバッハの予想 >>119 ヴィノグラードフの定理 >>129 レー二の定理 >>177 Zero-sum problem、エルデシュ=ギンツブルグの定理 >>108 バーゼル問題 >>127 虚数乗法 >>11 、類数公式 >>80-91 おお!ありがとう ヴィノグラードフとエルデシュ=ギンツブルグ初めて知りました ベルトランの仮説はゴールドバッハの予想から持ってこれる。中国剰余定理とフェルマーの小定理は素数の定義と3000時間にらめっこしてれば大体の人が自力発見できると思う 赤玉i個、黄玉j個、青玉k個を2人で分ける。 i_1 + i_2 = i, j_1 + j_2 = j k_1 + k_2 = k, (i,j,k)が i+j+k = 偶数, |i-j| ≦ k ≦ i+j, の条件を満たすとき、 {i_1, j_1, k_1} = {i_2, j_2, k_2} ←集合として同じ とすることができるか? (色違いは許して同数) >>190 H_n = Σ[k=1,n] 1/k < Π[p≦n] (1+1/p+1/pp+・・・・) = Π[p≦n] 1/(1-1/p) = Π[p≦n] {1 + 1/(p-1)} = 2Π[2<p≦n] {1 + 1/(p-1)} < 2Π[p<n] (1 + 1/p) < 2 exp(Σ[p<n] 1/p), H_n → ∞ (n→∞) より Σ[p<n]1/p → ∞ (n→∞) 保型形式は、楕円関数論の延長としてやるのが好ましいね Δ=G_2^3 - 27G_3^2 とか言われても、係数の意味わかんねーし モジュラー形式をリー群に一般化したのが保型形式だけど、後々保型形式を勉強することを見越してモジュラー形式を保型形式と呼ぶことがあるから、恐らくモジュラー形式の話だろう 保型形式"論"では判別式は登場しないので知らなくても問題ない 3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku 昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、 学コンBコースが 1/1 = 100% , 宿題が 3/10 = 30% でした! 宿題の勝率が低すぎると思うので、 これからは一層精進していきたいです! https://twitter.com/shukudai_sujaku https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) フェルマーの最初の定理って何だろう? 〔問題〕 n≧0 に対して F_n = 2^(2^n)+ 1 とおく。 (1) F_{n+1}- 2 = F_n (F_n - 2)を示せ。 (2) m<n のとき F_m と F_n は互いに素であることを示せ。 (3) 奇素数が無限個あることを示せ。 もちろん、F_n が素数とは限らない。 >>198 i_1 = j_2 =(i+j-k)/2, j_1 = k_2 =(-i+j+k)/2, k_1 = i_2 =(i-j+k)/2, など。(Ravi変換?) SerreのA Course in Arothmeticを読んでいます。 2章のはじめの定理の証明に、「ℤpはコンパクトであるため〜」(ℤpはp進整数環)とサラッと書いてあるのですが、どう証明するのでしょうか 局所体Kは局所コンパクトであり、その付値環οはコンパクトである Qpは局所体なので、その付置環Zpはコンパクトである 一般論知ってるとそうなるんですね。 局所体について書いてある本読んで見ます。 永田の可換体論かSerreのLocsl Fieldsに載ってるかな >>208 Z/pZの可算直積と見てチコノフの定理とかでいいんじゃなかったっけ? p進整数はp進展開と1対1に対応するので、 X:=Π[n∈ℕ]ℤ/pℤ からの全射が存在。 各ℤ/pℤに離散位相を入れ、積位相を考えると、Tychonoffの定理よりXはコンパクト。 なので、上の全射が連続写像であることを示せば良い。 ℤpは位相群なので、0の閉近傍系p^nℤpがの逆像がXの閉集合になることを示せば十分。 nは任意に取り、p^nℤpの逆像をFとすると、Fは(... , n(p+2) , n(p+1), 0, ..., 0, 0)の形のもの全体。この補集合は、有限個の開集合×残り全部ℤ/pℤなので、Xの開集合。したがって連続。□ こんな感じか >>208 Serreの流れだと有限環ℤ/p^nの射影極限だから有限集合(コンパクト)の(無限)直積で(チコノフの定理より?)コンパクトというつもりでしょ その商体Q_pはそれゆえ局所コンパクトという論法だろう すべての副有限群はコンパクトってことか wiki読んでて知ったんだがすべての副有限群はある拡大のガロア群になるらしいね Z_pをガロア群として持つような拡大って例えば何? みなさんありがとうございます。 非自明なのは、チコノフの定理と、積位相とp進距離による位相がちゃんと対応するところですね >>216 pを奇素数 Gal(ℚ(ζ_p^(n+1))/ℚ) 〜(ℤ/p^(n+1)ℤ)^× 〜(ℤ/(p-1)ℤ)×(ℤ/p^nℤ) なので、ℚ(ζ_p^(n+1))の部分体K_nで、Gal(K_n/ℚ)〜ℤ/p^nℤとなるものが存在する K=∪[n≧1]K_n とすれば、Gal(K/ℚ)〜ℤ_p というふうに構成できたはず。 こんなことしなくても、 K_n=ℚ(ζ_p^(n+1)) K_∞=∪[n≧1]K_n とすれば、 Gal(K_n/K_0)〜ℤ/p^nℤ だから、Gal(K_∞/K_0)〜ℤ_pか >>218 なるほど、バチの方からうまく取り出すのか とはいえ最終形が謎すぎるな あー、p-1の方はQ(ζ_p)から始めれば消せるのか お話ぶった切って申し訳ないのですが以下の疑問について教えて頂ける方はいらっしゃいますでしょうか? @自然数1からnまでの約数の個数の総和の公式または近似式について一般的に知られているものはあるのでしょうか? A自然数1からnまでの約数の個数の逆数の総和の公式または近似式について一般的に知られているものはあるのでしょうか? よろしくお願いします ググると、徳島大学の学部4年生が1年で Neukirchと、Hartshorneと、SerreのLocal Fieldsと、SGA 4 1/2の1章 を読了しているセミナーの報告が出てくるが、ホンマかいな 京大のAコースでもM1でHartshorne読み終わる奴も珍しくないのに ぱらぱら眺めて、言葉だけ覚えて、勉強した気になるアホはどこにでも一定数いる。 東大のある先生は学部二年までにハーツホーン読んでて当たり前と言ってるみたいなのを数学板で見た 恥ずかしいことだが京理4回の講究は>>208 で必ず引っかかる >>210 局所コンパクトな体の付値環がコンパクトってどう証明するんですか? {x}= x -[x] = 1/2 - Σ[k=1,∞]sin(2kπx)/(kπ), [大学学部レヴェル質問スレ13.398] >>229 局所体Kの付値環oがコンパクトだな 局所体は自明ではない乗法付値に対して非連結な局所コンパクト付値体なので、局所コンパクトな体だけでは条件が恐らく足りない Kの付値環oは(局所体が持つ正規(特に離散)指数付値が定める付値環なので)離散付値環である よって以降離散付値環に対して議論すればよい 一般に、離散付値環oとその極大イデアルpに対して、oとlim_← o/p^nは代数的同型かつ同相…@ 一方、離散付値環oとその極大イデアルpに対して、商群p^m/p^{m+1}とo/pは同型なので、任意のn∈Nに対して商環o/p^nは有限で、特にコンパクトである よってチコノフの定理よりΠ_{n=1}^{∞}o/p^nもコンパクトで、コンパクトの閉部分集合はコンパクトなのでlim_← o/p^nもコンパクト @よりoもコンパクトである すまん、離散付値環に対して議論すればよい って書いてるけど、 離散付値に関して完備、剰余類体が有限という局所体の条件を使ってるから、 一般の離散付値環がコンパクトとは限らない 誰かの定理で局所コンパクト体が結局標準的な局所コンパクト体しかないって定理あったと思うんだけとなんだっけ? 名前がアルファベットで四文字くらいだった記憶がある。 ググっても見つからない。 整数問題の史上最高傑作?(Passlabo) aa+bb+cc = 292 のとき、整数(a,b,c)を求めよ。 http://www.youtube.com/watch?v=9OXdzn6hby0 13:24 {a,b,c}={±2, ±12, ±12}と{0, ±6, ±16} >>233 なんかブルバキっぽい話題だな、ヴェイユあたりか?知らんけど a, bを互いに素な整数 p ≡ b (mod a) となるpが少なくとも1つ存在することは、初等的に示せる? modular curveのuniversal elliptic curveって何 なんかの表現可能関手のuniversal element? >>237 bが1のときは確か円分多項式を利用してできるハズ。 一般にはむずかしい。 セルバーグの論文があったはず。(確か1950) >>239 >>237 は「少なくとも1つ」ならば易しくなるか?と聞いてるのでは 俺もわからん >>240 なるほど、そうだ。 でも“少なくともひとつ”でも聞いたことないな。 ID:JGHWf3RD ID:fvfWwsTO ageるな はてなブログの「算術級数定理についての注意」という記事に書いてありますね。 (リンクが貼れない。) 「少なくとも一つ」としても簡単にならないという話です。 「少なくとも1つ」と「無数に」が同値になるのか 知らなかった >>245 厳密には>>237 よりも少し強い存在定理 a, b が互いに素な正整数ならば、 p = an + b が素数となる整数 n > 0 が少なくとも1つ存在する が成り立てば、無数にあるということか a > 0 かつ b > 0 で n > 0 なら p > b だから、 ap と b が互いに素になるということが重要なのか a,b固定ではなく互いに素な組すべてに対して存在を仮定してるのが味噌だね >>247 >>237 の条件でも、すべての(a,b)=1 なる正整数につき少なくとも一つ pが存在するなら、[a,b]ごとに無限に存在することは言えますね。 算術級数達は直感的に思うより交わりがあるということかな? 当然と言えば当然なのか? それを使って何か知見が得られればいいけど。 a≧2,a≧b≧1なるすべての互いに素な整数の順序対[a,b]に対して (1) p≡b (mod a) をみたす素数pが少なくとも1つ存在する (2) p≡b (mod a) かつ p>b をみたす素数pが少なくとも1つ存在する (3) p≡b (mod a) をみたす素数pは無限に存在する。 が成立することは同値。 (1)⇒(2)の証明 (k,a+b)=1なる整数kを十分大きく(a+b<kaをみたすように)取ると((ka,a+b)=1でもあるから)(1)より p≡a+b (mod ka) をみたす素数pが存在するが、pは条件をみたしている。 (2)⇒(3)の証明 p≡b (mod a)かつp>b をみたす素数全体の集合をSとおくと(2)よりSは少なくとも1つの素数を含む。 Sを有限集合として矛盾を導く。Π_{p∈S}p=Πとおくと(2)より q≡b (mod aΠ), q>b をみたす素数qが少なくとも1つ存在するが、qはq≡b (mod a),q>b,Sに属するどの素数でも割れない をすべてみたすことになり矛盾する。 >>250 >(1)⇒(2)の証明 なるほど、それは気が付きませんでした もし b が素数なら p = b と取れてしまうので困る気がしたのですが、 gcd(a, b) = 1 かつ gcd(k, a+b) = 1 ならば gcd(ka, a+b) = 1 が成り立つので問題ないわけですね そして a+b < ka となる k を選べば p - (a+b) > 0 も言えると >>251 >p - (a+b) > 0 ミス 正しくは p - (a+b) ≧ 0 です Gをabel群とし、C(G)で各開集合にGを割り当てる前層の層化を表すことにします lを素数として、 lim[n]C(ℤ/l^nℤ) (ℤ/l^nℤの定数層の逆極限) と C(ℤ_l) (l進整数環の定数層) は異なりますか? >>253 ageるなって言われてるのに無視するなよ、荒らし 最近age,sageを覚えたのかな? こんな過疎板で拘る意味ないよね U⊂Xを開集合として、mをUの連結成分の個数として C(Z_l)(U) = (Z_l)^m (limC(Z/l^nZ))(U) = lim(C(Z/l^nZ)(U)) = lim((Z/l^nZ)^m) = (lim(Z/l^nZ))^m = (Z_l)^m >>254 ageたらなんで悪いんだよ。こんな過疎板で拘るようなやつの気が知れないね。 任意の有限体に対して、それを剰余体に持つ局所体が存在するの? 局所環ではなく局所体 Qpや、Fp((X)) あ、自分で書いて答え見つけたわ SerreのCourse in Arithmetcのテータ関数のとこ読む いろいろ順番前後するけど 朝は、Chebotarevの密度定理から既約なGalois表現がFrobenius元のトレースで決まることの証明を読んだ 整数の組(a,b) が ・gcd(a,b) = 1, ・|x-a|≦1, |y-b|≦1, (x,y)≠(a,b) の8点 (x,y) について gcd(x,y) >1, を満たすとき (a,b)を縄張り(シマ)とよぶ。 (1) (a,b) = (55,21) はシマか? (2) (a,b) = (55(2・21m+1), 21) m≧0 (a,b) = (55, 21(2・55n+1)) n≧0 について gcd(a,b) = 1, gcd(a±1,b±1) ≧ 2, gcd(a-1,b) ≧ 3, gcd(a,b-1) ≧ 5, gcd(a+1,b) ≧ 7, gcd(a,b+1) ≧ 11, を示せ。 志村が「数学をいかに使うか」シリーズで、「この公式は私の本には書いてあるが他には書いてない」「これについて私の本より上手く説明した本はない」などとやたら自画自賛してるので、Introduction to Arithmetic Theory of Automorphic Functionsを手に入れようかなと思い始めた しかしたとえば、高木貞治が「超幾何級数やゼータ関数などについては解析概論には詳しく書いてあるが、他の微分積分の本には無い」とか「Cauchyの積分定理はGreenの定理を使わずに導出するのがよく、そうしている本は日本では解析概論以外に無い」とか言ったとして、別に解析概論欲しくならんよな >>264 (3) (a,b) = (55(N+1), 21(N-1)) (a,b) = (55(N-1), 21(N+1)) Nは2・55・21の倍数 もシマか? 志村本届いた 1、2、3章は言われてるほど難しい感じはしない むしろ、位相群とかRiemann面とかの復習から入っていて、かなり丁寧な本という印象を受ける まあ、この本の本題は、5章のAbel多様体の虚数乗法論と、7章のAbel多様体のゼータ関数論にあって、ここが難しいのだろうが アマゾンレビューを見る限りアーベル多様体の定義自体が現代と異なるらしいから難しそうだな 前書きに、「付録に代数幾何の用語集を付けた。4章以降を読む奴は"専門家でも"必ずここを読め(意訳)」と書いてありますね Z上で既約な多項式はQ上でも既約といういわゆるGaussの補題の系は、一般のDedekind環とその商体においても成り立つのか?整数環がUFDなら成り立つが …… base changeして既約でなくなると困るんだけど ベルヌーイ数B_rの分子は、p|rかつnot p-1|rなる素数pすべて素因数として含むってすぐ分かりますか? というのも岩波数論Uで ζ(1-r)=-B_r/rの分母D_rに対して p|D_r ⇔ p-1|r という記述があったのですが 一方、B_r自体の分母D'_rに対しては有名な p|D'_r ⇔ p-1|r があるので、これらを比較するとB_rをrで割ったときに 最初に書いたpで約分が起きないといけない気がしました 例えば B_10=5/(2×3×11) B_14=7/(2×3) B_22=(11×131×593)/(2×3×23) となっていて たしかに5、7、11が分子にいます ついでなんですが数論Uで p|D_r ⇔ p-1|r は D_rを具体的にTateひねりを用いて表現した式 D_r=Π_p ♯(Q_p/Z_p(r))^(Gal(Q(μ_p^∞)/Q)) を使って証明してるんですが この表示の良い文献があれば教えてください エタールコホモロジーなどは結果だけ使えればよいと思う >>230 x - (floor(x) + ceiling(x)-1) /2 = 1/2 - Σ(k=1,∞) sin(2πkx)/(kπ), [x] = floor(x), >>230 x - (floor(x) + ceiling(x)-1)/2 = 1/2 + arctan(tan(π(x-1/2))/π, xが整数でないとき {x} = x - [x] = x - floor(x) = 1/2 + arctan(tan(π(x-1/2))/π. {x} = x - [x] = x - floor(x) とする。 Σ(j=1,n) {jk/n} = (n - gcd(n,k))/2. 面白スレ32−926 Σ(j=1,n) [jk/n] = ( (n+1)k - n + gcd(n,k) )/2, 面白スレ32−927 84(n-24)-8000m+37=0 n=0〜2000、m=0〜20のn,mのうちもっとも上記式が成り立ちやすい(n,m)を求める。 n=95m+n'+24として -20m+84n'+37=0 -20(m-2)+84n'-3=0 m=4n'+m'+2として-20m'+4n'-3=0 n'=5m'+n''+1として4n''+1=0 よってn''=0 (略)こたえ:m=6 ナニコレ?これなんていう整数導出法なの? ceilとfloorの代数学?って面白いよね ステップ、signam、Iverson括弧… 等々を駆使して変な表式を作るのが好きだ 〔例〕方程式 xx - 3yy ≡ -1 (mod 3) xx - 3yy ≡ -1 (mod 4) が一般には整数解をもたないことを示せ。 A.O.ゲリファント「方程式の整数解」東京図書 数学新書5 (1960) 銀林 浩 訳 p.56-57 例 (上) xx - 3yy ≡ xx ≠ -1 (mod 3) (下) xx - 3yy ≡ xx + yy ≠ -1 (mod 4) 素測地線って数論への応用はあるのですか? それとも単なる数論的な類似物に過ぎないなのですか? (11^5 + 11 + 1)/(11^5 + 11^4 + 1) を約分せよ。 (略解) x^5 + x + 1, x^5 + x^4 + 1 は x=ω, x=ω' (1の3乗根) のとき 0, 因数定理より (x-ω)(x-ω') = xx+x+1 で割り切れる。 x^5 + x + 1 = (xx+x+1)(x^3 -xx +1), x^5 + x^4 + 1 = (xx+x+1)(x^3 -x +1), ∴ (与式) = (x^3 -xx +1)/(x^3 -x +1) MathLABO 東大・医 (?) http://www.youtube.com/watch?v=E4Lv6kerh78 09:30 〔Wilsonの定理〕 (n-1)! ≡ -1 (mod n) (nは素数) (n-1)! ≡ 2 (mod n) (n=4) (n-1)! ≡ 0 (mod n) (nは合成数(>4)) 1≦m<n なるmのうち, nと素であるものを 正則元とよぶ。 〔土岡の定理〕 3以上の自然数nに対して (1) Π[1≦m<n, (m,n)=1] m ≡ ±1 (mod n) (2) -1 となるのは n=4, n=p^e, n=2p^e のときである。 (pは奇素数で e≧1) 数学セミナー, vol.39, no.3, 通巻462号 (2000/Mar) p.69-70 NOTE mを自然数とする。次式を因数分解せよ。 2^{2m+7} + 3^{2m} + 6^{m+2} 2^{2m+3} + 3^{2m} + 6^{m+1} 2^{2m-2} + 3^{2m} + 6^m 2^{2m-4} + 3^{2m+1} + 6^m [面白スレ39.472] 2^a + 2^b + 2^c + 2^d + 2^e = n! の自然数解 (a≦b≦c≦d≦e; n) は何個あるか? [面白スレ39.481] f(x) = (x^100 +1)^100 + (x^2 +1)^100 + 1 は x^3 -1 で割り切れるか。 2003年京大前期(?)、改作 [高校数学の質問スレPart414.427] f(x) = (x^100 +1)^100 - (x^2 +1)^100 + x^100 - x^2 は x^3 -1 で割り切れるか。 n進数におけるレピュニット数の性質はnによらず同じ? >>288 イデアル論が代数幾何の基礎になったように 類体論が被覆空間の幾何の基礎になってもよい >>299 エントロピーや測度論を介したつながりがある。 この間葉層構造の研究集会で Littlewood予想の話が出ていた。 Introduction to arithmetic theory of automorphic functions A. Gee, Class fields by Shimura reciprocity 1999. 平方剰余の相互法則の証明は 240以上あるそうだね 二つの奇素数を入れ替えることによって この世界に起きる変化が それほど多様であるということ。 PDEを使った証明があるという話を どこかで読んだような気がする 正しい定理はどう証明しようとも正しくなるはずだから、 それらの系統の異なる証明の存在の背後には何が隠れているのだろうか? 二つの奇素数を入れ替えることによって この世界に起きる変化が それほど多様であるということ。 余りとして負の数を許すことによって 対称性が見やすくなるというのが ガウス タクシー数が オイラーやラマヌジャンによって詳しく研究されていたことを 今日初めて知った Hamburgerはモーメント問題を解いただけかと思っていた。 >>136 この著書の佐藤先生はあの新谷卓郎先生の弟子 ただ佐藤先生の弟子がいるのかは知らない F.Sato, On zeta functions of ternary zero forms (1982) To the memory of Takuro Shintani https://repository.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/records/39603 B\”ocherer予想の解決を大変喜んでおられたみたいだ ペアノの公理だけで定義される自然数、無限集合としてもっとも単純。 それを元にして符号拡張をして加減乗算ができるようにしただけの整数。 演算するのには連続性も解析性も極限も必要ない。 それだけの前提から、これほど多種多様で難しい問題が生じることが どうして可能になるのか、なんだかとっても不思議な気持ちがする。 整数を人類が自由に把握できるようになると考えるのはおこがましいのだろうか? Number Theory in Tokyo March 20-24, 2023 Tokyo Institute of Technology https://sites.google.com/view/ntint/ 剰余群がわからんから、整数論の剰余modに慣れようと初等整数論勉強してみたら初等幾何より難しい。 矢野先生の初等幾何とかは、図示で視覚的に勉強できるが整数論は、そこが違う。 初等幾何でも ユークリッドでもデカルトでもない 射影幾何になると難しい ポンスレとか 小平邦彦さんの『幾何のおもしろさ』が難しいのでずっと積読状態です。 タイトルを『幾何のむずかしさ』にかえてほしいです。 「幾何学大辞典」でも難しいとされていたようだった。 秋山武太郎がいいみたいだ。 置換群とかは線形代数で学ぶけど剰余群は整数論やってないと初見になるんだよな。 整数のmod3 による剰余類の集合は {0,1,2}ではなくて {{0, ±3, ±6,....}, {1, 1±3,1±6,1±9, ....} , {2, 2±3,2±6,..} } が本当は正しい。 つまり、それぞれの類は集合だ。 mod 7の剰余類は普通に日常生活をおくっているひとは身についている 簡単に {Z, Z+1, Z+2} と書いてもよかろう。 簡単に {3Z, 3Z+1, 3Z+2} と書いてもよかろう。 そんなこと言うなら2を{φ,{φ}}と書くのかって話になってくるじゃん >>334 ,336 実質的には時計の読み方とか帯分数として小学校でやらされてる。 >>338 でも足し算はともかく掛け算は曜日では分からんな 1→3→2→6→4→5→1 (×3による巡回) ε-N論法は、整数・自然数の証明に使うという点では数学的帰納法に似ていますね。 今、円分体上で素数を割る方法を勉強中 素イデアルを特定する方法までは分かったが そこから数を探すのが面倒・・・ 簡単のため素数pがmod qで1となる場合について完全分解する方法だけやってる 円分多項式Φqのmod pでの根を探せばいいことはわかった >>347 なんか出来たわ 1の11乗根を追加した体で23を分解した 分解の仕方は一意的ではないようだが Masleyとmontgomery J.Reine Angev. Math. '1976)によれば 1の11乗根を追加した体はUFD Z[ζ_11]はufdだから一意的にできると思うぞ ζ_11のQ上の最小多項式は φ = X^10 + X^9 + ... + X + 1 これをmod 23で因数分解して φ = f_1^e_1 ... f_g^e_g (mod 23) となったとすると、(23)の素イデアル分解は、p_i = (23, f_i(ζ_11))として p_1^e_1 ... p_g^e_g。 なんかレスが束になってきた >>350-352 皆様ご指摘の通り 1の11乗根を追加した体 Z[ζ_11]はufdです ζ_11のQ上の最小多項式 φ = X^10 + X^9 + ... + X + 1 をmod 23で因数分解すると (X-2)(X-4)(X-8)(X-16)(X-9)(X-18)(X-13)(X-3)(X-6)(X-12) となります これはX^11=1となるXをEXCELで求めました で、mod 23で、 18^2=2,16^3=2,8^4=2,6^5=2,4^6=2,3^7=2,13^8=2,9^9=2,12^10=2 なので,イデアルの代表元として(ζ^n-2)(n=1~10)を取り出して 全部掛ければ23になるかと思ったら・・・2047! で、2047=23*89で、mod 89でも2は根になるので、 原因はそのせいだと考えた。 その上で解決策として mod 89で根にならない数3と組み合わせればいいと考え 1の11乗根ζについて積 (ζ -ζ^8+1) (ζ^2-ζ^5+1) (ζ^3-ζ^2+1) (ζ^4-ζ^10+1) (ζ^5-ζ^7+1) (ζ^6-ζ^4+1) (ζ^7-ζ+1) (ζ^8-ζ^9+1) (ζ^9-ζ^6+1) (ζ^10-ζ^3+1) を計算したところ、23になりました やった! ただ・・・実は積 (ζ -ζ^9+1) (ζ^2-ζ^7+1) (ζ^3-ζ^5+1) (ζ^4-ζ^3+1) (ζ^5-ζ+1) (ζ^6-ζ^10+1) (ζ^7-ζ^8+1) (ζ^8-ζ^6+1) (ζ^9-ζ^4+1) (ζ^10-ζ^2+1) でも23になっちゃうことが発覚! この他、積が23になる場合が2通り、 都合4通り見つかりました イデアルとしては一意的だが 代表は一意じゃないってことか? 単数(単元)があるからね。 一意的というのは、単数を(1)とみなしてということだから。 >>354 あ、なるほど、そういうことか ありがとうございます >>356 面白いっすよ 学生のころは整数論には手ださなかったけどw tsujimotter氏他、ネットのHPには大いにお世話になりました ちなみに23のmod11での分解をやろうと思ったのは 別スレで、1の23乗根を1の11乗根で表す計算やったから (ちなみにそれも 出てきた式を因数分解してやろうと思ったんで計算してみた >>358 >ちなみにそれも・・・ EXCELで計算したw 平方剰余の相互法則をガウスが発見したのは 何歳の時かご存じの方はいますか。 1795年というのは本に書いてあったので 多分「数学日記」にあると思うのですが。 How can I recover the theory of classical modular forms of SL(2, Z) from the theory of automorphc forms of an adelic algebraic group? The two theories can be stated in parallel, but a priori, it does not seem that the one theory is a generalization of the other. As far as I've tried, just restricing the group action to the infinite place cannot derive the classical theory. Could you tell me the relationship between the two theories? Thank you. 層は局所と大域の差を測れる 層は代数体や代数曲線の関数体以外にも定義できる アデールは性質の良い位相が入ってる アデールは無限素点の情報が入ってる L/Kを代数体の有限次Abel拡大 C_KはKのイデール類群 相互律写像 K_v^× → C_K → Gal(K_ab/K) → Gal(L/K) x → (1, 1, ..., x, 1, ...) → Artin reciprocity → 写像の制限 は、Lで分岐するvではどういう写像になるの WeilのBasic Number Theoryを4章まで読んだ この本、難解だとよく言われるけど、証明や理論展開自体はかなり明快だと思う ただ、局所コンパクト位相群の性質からすべてを導いているのが硬派すぎる 代数的整数論の本なのに素イデアルって言葉すらほとんど出て来ない(他の本に比べると整数環が空気) 最初のほうに出てくる mod_K(λ) も具体例思い浮かばないとなんのこっちゃってなるかも あと、後半で単純環の理論を展開するためだろうけど、非可換な場合を含んだ書き方をしているから 可換な場合だけ念頭に置いて読むと意味分かんなくなるかも Riemann-Rochのところまでは問題なく読めそう 後半はもっと難しいのだろうか とりあえずここまで読んだ感想としては、個人的にはとても良い本だと思った >>とりあえずここまで読んだ感想としては、個人的にはとても良い本だと思った よかったね 可換環の性質には、局所化で保たれないものがあるけど 付値論的な方法は、そういう性質も調べられるの? たとえば、代数体Kの整数環O_KがUFDかどうかとか。 >>372 クンマーの理想数の理論は今日では 付値論に含まれるとされるらしい (足立恒雄の受け売り) 代数体Kの整数環O_KがUFDかどうかは クンマー理論の主目標だったことは よく知られている。 代数体Kの整数環O_KがUFDであることとKのイデアル類群が自明であることは同値だが、イデアル類群はイデール群の商で表せる 代数体KのDedekindゼータ函数ζ_K(s)はイデール群上の積分として表せ、Kの類数はその極s = 1での留数から計算できる 二次の不定方程式がQで解持つことと、Rとすべてのpに対するQ_pとで解を持つことが同値(Hasse-Minkowskiの定理) Artin相互律も、局所的な定理ではなく複数の素点の間の関係を述べるものであるが、イデール類群を用いて書ける というわけで、局所体への埋め込みの情報を束ねることで、大域的な情報が得られることが多々ある ただし、三次形式には局所大域原理が成り立たないように、すべてがこの方法で上手くいくわけではない Hasseの原理が2次形式に成立するからと言って、 3次の場合はどうか、4次の場合は、... というのは、否定的に解決された現在から見ると、あまりよい問題とは思えない 一方、代数群への拡張は成功しているし、こちらは自然に思える Daniel Marcus著『Number Fields』ってどうですか? 層が茎の直和で表されることと、アデールがZの素イデアルによる局所化の直積で表されることのアナロジーとして、アデールを層で定義するアプローチが自然に思える アデールには無限素点もついてるし、自己双対的な位相も入ってるし、Fourier解析もできるしな イデール類群の指標ってようは保型形式のGL(1)バージョンだし、代数幾何で言ったら微分形式に対応するCartier因子やん 曲線に関して言えばアデール(イデール)は可逆層の完全上位互換 アデールから層A^×, O^×を定義して、代数幾何と同様に 0 → H^0(O^×) → H^0(A^×) → Div(K) → Pic(K) → ... のようにできる? Div(K)はKのイデアル群 Pic(K)はKのイデアル類群 アデールから局所自由層を定義して、そのChern類は考えられる? 類体論はエタールコホモロジーに対するポアンカレ双対性なんだそうだ だから究極的には、あらゆるコホモロジーの双対定理も、ラングランズ対応も、物理学における双対性も、ひとつの原理で説明できる と思う Basic Number Theoryの単純環の章、おもろいやん アデールと同じやり方で中心的単純環に対してもゼータ関数が考えられる 吉田 敬之, 保型形式論 高瀬 幸一, 保型形式とユニタリ表現 Selbergの跡公式、志村多様体を解説した和書があれば、この分野も大分学びやすくなると思う 代数的サイクルとエタールコホモロジーも、日本語で読めるのはありがたい >>386 うーん、そうか? 代数的サイクルとエタールコホモロジーは演習問題が載ってるが回答がない 「この演習問題分からないな、Fultonのintersection theoryを見てみよう」ってどうせなるんなら、初めからFultonのintersection theoryや他の洋書を読んだ方が良い Knapp「Elliptic Curves」を読んだ人いますか? SilvermanのAECや、KoblitzのModular Formsと比べてどうですか? Basic Number Theoryって和訳あるの? ワシントンのサイクロトミックフィールドの和訳はあるの? ε-N(δ)論法って、唐突にδ=√(4+ε)-4を持ってきたりする時点で使いにくい。 整数論に数学的帰納法が使われてもε-N論法の出番が少ないのはそのためか。 >>400 >>唐突にδ=√(4+ε)-4を持ってきたりする時点で使いにくい。 微積の授業でそういう工夫に凝りだしたら終わりだ。 PDEの大家が談話室でその工夫を吹聴して 失笑を買った 乗算が結合法則を満たさない代数は如何に用いられているだろうか (どのような応用があるのだろうか?)。 結合法則は満たさないが可換な代数というものは存在するか? 乗法は交換法則より結合法則のほうが代数的に重要みたいだね。だから四元数は重要視されるが八元数は重視されない。 もちろん8元数は交換法則も満たさない。 結合法則を満たさない代数というものは 実数や複素数を要素とする行列による 乗算の線形表現が存在しないのが不便なのだろう。 さらに崩れていて(左右の)分配法則も満たさないような 代数だったなら、いったいどうなるのだろう? >>405-406 非結合代数で重要なのがリー環リー代数。 機体に穴があき酸欠状態に陥り あと10分しかなく、必死に家族が待つ地球へ戻ろうとする様を描いています。 想像してみてください。 //youtu.be/oWs3yvVADVg 数学的帰納法:貧乏人が1円もらったところで貧乏人だから、何円獲得しようとも貧乏人である。 ε-N論法:1億円以上持っていたら、金持ちである となるのかな。 コンパクト集合の補集合が 包含関係についてなす有向系の 射影極限の連結成分 2次元でエンドが2ならシュタインでない とはそういう意味だったんですね 多変数正則関数の解析接続について もっとも基本的な事実を知らなかったとは驚いた Grauertのいう「Komplexe Räume」(1958)を リーマン面の高次元版と思っていいんですか 射影平面の標準因子Kを計算した。 まず、P2の斉次座標をx, y, zとおく x ≠ 0の部分の座標を Y = y/x Z = z/x y ≠ 0の部分の座標を X' = x/y Z' = z/y とおくと xy ≠ 0の部分では Y = 1/X' Z = Z'/X' 微分dY∧dZは dY∧dZ = d(1/X')∧d(Z'/X') = -dX'/X'^2 ∧ (dZ'/X' - Z'dX'/X'^2) = -dX'/X'^3 だから、零点はなく、x = 0に3位の極をもつ よって、Hを超平面とすると K ~ -3H より一般に、Pnの標準因子Kは K ~ -(n + 1)H 2011年以来の問題について 最近の報道の質が低すぎる BS環境があれば観れる放送大学では「多面体と素数」やってるね。ちなみに教育TVの物理基礎はラストもの人生論が面白い。 昔の教育テレビの放送で 山崎先生の話の結びが「ハイゼンベルクはそういう人でした」だったことを憶えている。 整数は自然数の話に帰着できる。 自然数はペアノの公理で尽きているから、整数の性質はそれですべて尽くされている。 1)集合Nはある元"0"を含む。 2)Nの任意の要素xに対して succ(x)はNの要素である。 3)Nは性質 1)と2)を満たす最小の集合である。 蛇足、集合Nはsucc(x)が"0"となるようなxをその要素として含まない。 志村五郎「数学で何が重要か」の7. 代数的整数論で何に注意すべきかのp72-73 定理7.5. の「K ⊗_F P」は、「K ⊗_F F_P」ですよね? 以下にその前後を引用します。 Fを有限次代数的数体、KをFの有限次拡大とし、PをFの素イデアル、Q_1, ..., Q_gをKの素イデアルでPを含むものとする。 (中略) FのPに関する完備化をF_P、KのQ_iに関する完備化をK_Qiと書く。J_PをF_Pの中のP-進整数全体とし、J_QiをK_Qiの中のQ_i-進整数全体とする。この時、次の定理が基本的である。 定理7.5. K_P = K ⊗_F Pとすれば (7.7) K_P ~ K_Q1 ⊕ ... ⊕ K_Qg テータ関数の表現論がメタプレクティック群とかWeil表現とかあるけど、エータ関数にはないの? オイラー積←素因数分解 解析接続←メリン変換 関数等式←ポワソンの和公式 なのか K3曲面のモジュライ空間は 偏極によっては数体上定義されるのですか? 剰余関連はmod10をから考えると、わかりやすいな。日常使っている10進数の下一桁がmod10。あとmod2も偶数奇数で扱えるか。 Neukirch's book covers a lot of topics, but seems to lack the philosophy to organize them. Although the first two chapters are accessible to beginners, from chapter 3, the book rapidly becomes difficult. I think the best approach to claas field theory is Cassels-Fröhlich or Weil's book. 9 名前:132人目の素数さん 2024/01/11(木) 12:03:52.95 ID:lcnCNZs5 類体論は使えればよい だそうなので、計算してみた。 K = Q、m = 4Z⊂Zとする AをQのアデール群とする U = Π U_p ⊂ A^×を p = ∞なら、U_p = R^×_{>0} p ≠ 2なら、U_p = Z_p^× p = 2なら、U_p = 1 + 4Z_2 とする Q_abをQの最大Abel拡大とする Uは1の原始4乗根を動かさないわけなので、Uで不変なQ_abの部分体はQ(√-1) Gal(Q(√-1)/Q) ~ A^×/Q^× U ~ Z_2^×/(1 + 4Z_2) ~ Z/2Z pを2以外の素数とする a(p)∈A^×を v ≠ pなら、a(p)_v = 1 v = pなら、a(p)_v = p∈Z_p で定める A^× → A^×/Q^× U ~ Gal(Q(√-1)/Q) によるa(p)の像は、p≡1 (mod 4)なら1, p≡3 (mod 4)なら-1。 はい、よくできました💮 ちゃんとチェックしてないけど あなたは世の中に必要ない人間です いなくなって下さい Poisson和公式 →テータ函数の変換公式 →Riemannゼータ函数の函数等式 非自明なDirichlet指標χに対してL(1, χ)≠0 →算術級数定理 read.cgi ver 07.5.0 2024/04/24 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる