整数論を勉強するためのスレッド

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/07(火) 20:19:02.57

>>264
(3)
　(a,b) = (55(N+1), 21(N-1))
　(a,b) = (55(N-1), 21(N+1))　　　Nは2･55･21の倍数
もシマか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 19:51:11.30

志村本届いた
1、2、3章は言われてるほど難しい感じはしない
むしろ、位相群とかRiemann面とかの復習から入っていて、かなり丁寧な本という印象を受ける
まあ、この本の本題は、5章のAbel多様体の虚数乗法論と、7章のAbel多様体のゼータ関数論にあって、ここが難しいのだろうが

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 19:55:39.96

アマゾンレビューを見る限りアーベル多様体の定義自体が現代と異なるらしいから難しそうだな

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/08(水) 20:01:59.04

前書きに、「付録に代数幾何の用語集を付けた。4章以降を読む奴は"専門家でも"必ずここを読め（意訳）」と書いてありますね

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/09(木) 17:43:17.14

Z上で既約な多項式はQ上でも既約といういわゆるGaussの補題の系は、一般のDedekind環とその商体においても成り立つのか？整数環がUFDなら成り立つが
……

base changeして既約でなくなると困るんだけど

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/09(木) 17:47:56.64

とりあえず整閉だから1変数の場合はオーケー

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/15(水) 11:01:19.49

ベルヌーイ数B_rの分子は、p|rかつnot p-1|rなる素数pすべて素因数として含むってすぐ分かりますか？

というのも岩波数論Ⅱで
ζ(1-r)=-B_r/rの分母D_rに対して
p|D_r ⇔ p-1|r
という記述があったのですが
一方、B_r自体の分母D'_rに対しては有名な
p|D'_r ⇔ p-1|r
があるので、これらを比較するとB_rをrで割ったときに
最初に書いたpで約分が起きないといけない気がしました

例えば
B_10=5/(2×3×11)
B_14=7/(2×3)
B_22=(11×131×593)/(2×3×23)
となっていて
たしかに5、7、11が分子にいます

**１３２人目の素数さん** · 2020/07/15(水) 11:02:04.93

ついでなんですが数論Ⅱで
p|D_r ⇔ p-1|r は
D_rを具体的にTateひねりを用いて表現した式
D_r=Π_p ♯(Q_p/Z_p(r))^(Gal(Q(μ_p^∞)/Q))
を使って証明してるんですが
この表示の良い文献があれば教えてください

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/07(金) 14:31:15.78

エタールコホモロジーなどは結果だけ使えればよいと思う

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/10(月) 08:11:14.40

>>230

x - (floor(x) + ceiling(x)-1) /2
　= 1/2 - Σ(k=1,∞) sin(2πkx)/(kπ),

[x] = floor(x),

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/10(月) 09:42:21.75

>>230
x - (floor(x) + ceiling(x)-1)/2
　= 1/2 + arctan(tan(π(x-1/2))/π,

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/21(金) 07:46:00.84

xが整数でないとき
　{x} = x - [x] = x - floor(x) = 1/2 + arctan(tan(π(x-1/2))/π.

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/21(金) 07:47:24.68

　{x} = x - [x] = x - floor(x)
とする。
　Σ(j=1,n) {jk/n} = (n - gcd(n,k))/2.

面白スレ３２－926

**１３２人目の素数さん** · 2020/08/23(日) 09:21:42.50

Σ(j=1,n) [jk/n] = ( (n+1)k - n + gcd(n,k) )/2,

面白スレ３２－927

**１３２人目の素数さん** · 2020/09/09(水) 23:09:01.89

類体論を勉強する

加藤黒川斎藤を読めばええの

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/04(木) 15:52:00.06

あれはマゾ向け

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/04(木) 18:36:31.19

84(n-24)-8000m+37=0
n=0～2000、m=0～20のn,mのうちもっとも上記式が成り立ちやすい(n,m)を求める。

n=95m+n'+24として
-20m+84n'+37=0
-20(m-2)+84n'-3=0
m=4n'+m'+2として-20m'+4n'-3=0
n'=5m'+n''+1として4n''+1=0 よってn''=0
(略)こたえ：m=6

ナニコレ？これなんていう整数導出法なの？

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/29(火) 17:10:37.46

ceilとfloorの代数学？って面白いよね
ステップ、signam、Iverson括弧…
等々を駆使して変な表式を作るのが好きだ

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/06(月) 12:05:01.41

〔例〕方程式
　xx - 3yy ≡ -1　　　(mod 3)
　xx - 3yy ≡ -1　　　(mod 4)
が一般には整数解をもたないことを示せ。

A.O.ゲリファント「方程式の整数解」東京図書数学新書5 (1960)
　銀林浩訳　　p.56-57　例

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/06(月) 12:07:05.46

(上)
xx - 3yy ≡ xx ≠ -1　　　(mod 3)

(下)
xx - 3yy ≡ xx + yy ≠ -1　(mod 4)

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/06(水) 21:15:14.05

藤林丈司

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/14(木) 00:35:21.70

素測地線って数論への応用はあるのですか？
それとも単なる数論的な類似物に過ぎないなのですか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/06(土) 17:11:44.64

(11^5 + 11 + 1)/(11^5 + 11^4 + 1)　を約分せよ。

(略解)
x^5 + x + 1,　x^5 + x^4 + 1 は x=ω, x=ω' (1の3乗根) のとき 0,
因数定理より　(x-ω)(x-ω') = xx+x+1 で割り切れる。

　x^5 + x + 1 = (xx+x+1)(x^3 -xx +1),
　x^5 + x^4 + 1 = (xx+x+1)(x^3 -x +1),
∴　(与式) = (x^3 -xx +1)/(x^3 -x +1)

MathLABO　東大・医 (?)
http://www.youtube.com/watch?v=E4Lv6kerh78 09:30

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/09(火) 23:38:47.25

〔Wilsonの定理〕
　(n-1)! ≡ -1　(mod n)　　　(nは素数)
　(n-1)! ≡ 2　(mod n)　　　(n=4)
　(n-1)! ≡ 0　(mod n)　　　(nは合成数(>4))

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/09(火) 23:40:42.76

1≦m<n なるmのうち, nと素であるものを正則元とよぶ。

〔土岡の定理〕
3以上の自然数nに対して
(1)　Π[1≦m<n, (m,n)=1] m ≡ ±1　(mod n)
(2)　-1 となるのは n=4, n=p^e, n=2p^e のときである。
　　　 (pは奇素数で e≧1)

数学セミナー, vol.39, no.3, 通巻462号 (2000/Mar)
　p.69-70　NOTE

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/09(火) 23:44:15.58

mを自然数とする。次式を因数分解せよ。
　2^{2m+7} + 3^{2m} + 6^{m+2}
　2^{2m+3} + 3^{2m} + 6^{m+1}
　2^{2m-2} + 3^{2m} + 6^m
　2^{2m-4} + 3^{2m+1} + 6^m

[面白スレ３９．472]

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/09(火) 23:45:51.19

2^a + 2^b + 2^c + 2^d + 2^e = n!
の自然数解 (a≦b≦c≦d≦e; n) は何個あるか？

［面白スレ３９.481]

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/10(水) 17:52:33.14

f(x) = (x^100 +1)^100 + (x^2 +1)^100 + 1
は x^3 -1 で割り切れるか。

　2003年京大前期(?)、改作
[高校数学の質問スレPart414．427]

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/10(水) 23:31:02.13

f(x) = (x^100 +1)^100 - (x^2 +1)^100 + x^100 - x^2
は x^3 -1 で割り切れるか。

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/22(月) 13:12:22.82

n進数におけるレピュニット数の性質はnによらず同じ？

**１３２人目の素数さん** · 2022/09/08(木) 18:20:20.06

>>288
イデアル論が代数幾何の基礎になったように
類体論が被覆空間の幾何の基礎になってもよい

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/11(火) 22:20:15.68

葉層理論は数論に応用があるらしい

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/11(火) 22:38:39.08

kwsk

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/04(金) 21:32:00.31

>>299
エントロピーや測度論を介したつながりがある。
この間葉層構造の研究集会で
Littlewood予想の話が出ていた。

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/05(土) 13:04:25.93

素数分布と相互律は不即不離

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/05(土) 13:09:58.72

数学はお経じゃない

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/05(土) 14:10:03.67

無苦集滅道

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/06(日) 09:55:54.97

志村の相互法則

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/06(日) 19:21:35.53

Introduction to arithmetic theory of automorphic functions

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/06(日) 21:17:49.96

A. Gee, Class fields by Shimura reciprocity 1999.

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/20(日) 16:19:47.61

平方剰余の相互法則の証明は
240以上あるそうだね

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/23(水) 17:07:43.18

二つの奇素数を入れ替えることによって
この世界に起きる変化が
それほど多様であるということ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/23(水) 20:35:43.63

PDEを使った証明があるという話を
どこかで読んだような気がする

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/24(木) 06:15:21.28

Has Lewy?

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/24(木) 06:21:17.90

訂正
Has-->Hans

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/24(木) 14:45:27.10

正しい定理はどう証明しようとも正しくなるはずだから、
それらの系統の異なる証明の存在の背後には何が隠れているのだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/25(金) 04:55:00.49

二つの奇素数を入れ替えることによって
この世界に起きる変化が
それほど多様であるということ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/01(木) 21:11:20.27

余りとして負の数を許すことによって
対称性が見やすくなるというのが
ガウス

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/07(水) 23:03:27.43

タクシー数が
オイラーやラマヌジャンによって詳しく研究されていたことを
今日初めて知った

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/20(火) 21:58:34.15

ハンバーガーの味わい方-関数等式の歴史-
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo08/08sato.pdf

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/21(水) 03:12:37.31

Hamburgerはモーメント問題を解いただけかと思っていた。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/21(水) 19:12:47.41

>>136
この著書の佐藤先生はあの新谷卓郎先生の弟子
ただ佐藤先生の弟子がいるのかは知らない

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/21(水) 19:15:05.79

斎藤毅さんってどうですか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/21(水) 19:32:19.83

F.Sato, On zeta functions of ternary zero forms (1982)
To the memory of Takuro Shintani
https://repository.dl.itc.u-tokyo.ac.jp/records/39603

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/21(水) 19:52:34.24

B\”ocherer予想の解決を大変喜んでおられたみたいだ

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/21(水) 22:49:54.40

https://i.imgur.com/9DcG0yB.jpg
https://i.imgur.com/bsoYTVs.jpg
https://i.imgur.com/NywdDMk.jpg
https://i.imgur.com/al5e2ja.jpg
https://i.imgur.com/XlYOONp.jpg
https://i.imgur.com/LxWHCrd.jpg
https://i.imgur.com/i4snIQ0.jpg
https://i.imgur.com/3yuzRSi.jpg
https://i.imgur.com/7D0ySSj.jpg
https://i.imgur.com/UVdcYyq.jpg
https://i.imgur.com/atwDkDT.jpg
https://i.imgur.com/XifMIGs.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/22(木) 07:58:20.54

最新の代数学賞

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/22(木) 14:16:14.34

古澤昌秋

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/26(月) 02:41:04.98

ペアノの公理だけで定義される自然数、無限集合としてもっとも単純。
それを元にして符号拡張をして加減乗算ができるようにしただけの整数。
演算するのには連続性も解析性も極限も必要ない。
それだけの前提から、これほど多種多様で難しい問題が生じることが
どうして可能になるのか、なんだかとっても不思議な気持ちがする。
　整数を人類が自由に把握できるようになると考えるのはおこがましいのだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/27(火) 23:02:55.39

Number Theory in Tokyo
March 20-24, 2023
Tokyo Institute of Technology

https://sites.google.com/view/ntint/

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/27(火) 23:11:07.99

金子さんの一派か

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/28(水) 13:51:53.61

剰余群がわからんから、整数論の剰余modに慣れようと初等整数論勉強してみたら初等幾何より難しい。
矢野先生の初等幾何とかは、図示で視覚的に勉強できるが整数論は、そこが違う。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/28(水) 14:06:01.55

初等幾何でも
ユークリッドでもデカルトでもない
射影幾何になると難しい
ポンスレとか

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/28(水) 15:39:41.23

小平邦彦さんの『幾何のおもしろさ』が難しいのでずっと積読状態です。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/28(水) 15:42:04.68

タイトルを『幾何のむずかしさ』にかえてほしいです。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/28(水) 15:48:15.30

公理のところが非常に難しいです。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/28(水) 16:01:18.08

「幾何学大辞典」でも難しいとされていたようだった。
秋山武太郎がいいみたいだ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/28(水) 16:06:33.74

置換群とかは線形代数で学ぶけど剰余群は整数論やってないと初見になるんだよな。

**１３２人目の素数さん** · 2022/12/28(水) 16:08:28.73

商ベクトル空間は
線形代数の範囲

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 16:40:58.44

整数のmod3 による剰余類の集合は
｛0，1，2｝ではなくて
｛｛0,　±3,　±6,....}, 　{1,　1±3，1±6，1±9, ....} ,　 {2,　2±3，2±6，..} }
が本当は正しい。
つまり、それぞれの類は集合だ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 16:55:46.73

Z/3Zの元を毎回そんなふうに書いてるの？

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 18:07:47.57

mod 7の剰余類は普通に日常生活をおくっているひとは身についている

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 22:32:35.81

簡単に　{Z, Z+1, Z+2} と書いてもよかろう。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 22:33:16.29

簡単に　{3Z, 3Z+1,　3Z+2} と書いてもよかろう。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 00:01:37.37

そんなこと言うなら2を{φ,{φ}}と書くのかって話になってくるじゃん

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 03:25:35.50

>>334,336
実質的には時計の読み方とか帯分数として小学校でやらされてる。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/13(金) 15:38:14.15

>>338
でも足し算はともかく掛け算は曜日では分からんな
1→3→2→6→4→5→1　(×3による巡回)

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/17(火) 16:48:38.80

イデール類群がコンパクトじゃないのはなぜ？

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/17(火) 17:10:22.36

ノルム写像が連続だけど有界ではないからだ

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/19(木) 13:27:26.70

ε-N論法は、整数・自然数の証明に使うという点では数学的帰納法に似ていますね。

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/02(木) 05:56:14.27

今、円分体上で素数を割る方法を勉強中
素イデアルを特定する方法までは分かったが
そこから数を探すのが面倒・・・

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/02(木) 06:03:01.66

簡単のため素数pがmod qで1となる場合について完全分解する方法だけやってる
円分多項式Φqのmod pでの根を探せばいいことはわかった

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 06:24:09.25

>>347
なんか出来たわ
1の11乗根を追加した体で23を分解した
分解の仕方は一意的ではないようだが

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 06:42:12.17

Masleyとmontgomery J.Reine Angev. Math. '1976)によれば
1の11乗根を追加した体はUFD

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 07:23:59.20

Z[ζ_11]はufdだから一意的にできると思うぞ

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 07:46:06.74

ζ_11のQ上の最小多項式は

φ = X^10 + X^9 + ... + X + 1

これをmod 23で因数分解して

φ = f_1^e_1 ... f_g^e_g (mod 23)

となったとすると、(23)の素イデアル分解は、p_i = (23, f_i(ζ_11))として

p_1^e_1 ... p_g^e_g。

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 19:22:55.55

なんかレスが束になってきた

>>350-352
皆様ご指摘の通り
1の11乗根を追加した体
Z[ζ_11]はufdです

ζ_11のQ上の最小多項式
φ = X^10 + X^9 + ... + X + 1
をmod 23で因数分解すると
(X-2)(X-4)(X-8)(X-16)(X-9)(X-18)(X-13)(X-3)(X-6)(X-12)
となります
これはX^11=1となるXをEXCELで求めました

で、mod 23で、
18^2=2,16^3=2,8^4=2,6^5=2,4^6=2,3^7=2,13^8=2,9^9=2,12^10=2
なので,イデアルの代表元として(ζ^n-2)(n=1～10)を取り出して
全部掛ければ23になるかと思ったら・・・2047！

で、2047=23*89で、mod 89でも2は根になるので、
原因はそのせいだと考えた。

その上で解決策として
mod 89で根にならない数3と組み合わせればいいと考え
1の11乗根ζについて積
(ζ　-ζ^8+1)
(ζ^2-ζ^5+1)
(ζ^3-ζ^2+1)
(ζ^4-ζ^10+1)
(ζ^5-ζ^7+1)
(ζ^6-ζ^4+1)
(ζ^7-ζ+1)
(ζ^8-ζ^9+1)
(ζ^9-ζ^6+1)
(ζ^10-ζ^3+1)
を計算したところ、23になりました　やった！

ただ・・・実は積
(ζ　-ζ^9+1)
(ζ^2-ζ^7+1)
(ζ^3-ζ^5+1)
(ζ^4-ζ^3+1)
(ζ^5-ζ+1)
(ζ^6-ζ^10+1)
(ζ^7-ζ^8+1)
(ζ^8-ζ^6+1)
(ζ^9-ζ^4+1)
(ζ^10-ζ^2+1)
でも23になっちゃうことが発覚！

この他、積が23になる場合が2通り、
都合4通り見つかりました
イデアルとしては一意的だが
代表は一意じゃないってことか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 19:57:13.50

単数（単元）があるからね。
一意的というのは、単数を(1)とみなしてということだから。

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 20:36:39.03

>>354
あ、なるほど、そういうことか
ありがとうございます

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 21:06:51.29

面白そう
俺も代数的整数論やろうかな

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 21:23:26.25

>>356
面白いっすよ　学生のころは整数論には手ださなかったけどｗ
tsujimotter氏他、ネットのHPには大いにお世話になりました

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 21:25:54.68

ちなみに23のmod11での分解をやろうと思ったのは
別スレで、1の23乗根を1の11乗根で表す計算やったから
（ちなみにそれも
出てきた式を因数分解してやろうと思ったんで計算してみた

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/03(金) 21:26:29.52

>>358
>ちなみにそれも・・・
EXCELで計算したｗ

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/04(土) 13:58:51.54

平方剰余の相互法則をガウスが発見したのは
何歳の時かご存じの方はいますか。
1795年というのは本に書いてあったので
多分「数学日記」にあると思うのですが。

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/04(土) 16:47:09.67

「数学日記」は1796年からでした。

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/07(火) 15:36:36.94

How can I recover the theory of classical modular forms of SL(2, Z) from the theory of automorphc forms of an adelic algebraic group?
The two theories can be stated in parallel, but a priori, it does not seem that the one theory is a generalization of the other.
As far as I've tried, just restricing the group action to the infinite place cannot derive the classical theory.
Could you tell me the relationship between the two theories?

Thank you.

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/08(水) 03:23:17.83

アデールと層はどっちが強い？

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/08(水) 11:29:19.78

層は局所と大域の差を測れる
層は代数体や代数曲線の関数体以外にも定義できる

アデールは性質の良い位相が入ってる
アデールは無限素点の情報が入ってる

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/14(火) 15:45:38.71

Witt vectorsって何に使われるの

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/14(火) 23:15:22.56

クリスタリンコホモロジーとか

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/15(水) 13:06:35.62

Virasoro algebra

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/16(木) 11:00:38.39

L/Kを代数体の有限次Abel拡大
C_KはKのイデール類群

相互律写像

K_v^× → C_K → Gal(K_ab/K) → Gal(L/K)
x → (1, 1, ..., x, 1, ...) → Artin reciprocity → 写像の制限

は、Lで分岐するvではどういう写像になるの

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/28(火) 20:42:18.21

WeilのBasic Number Theoryを4章まで読んだ

この本、難解だとよく言われるけど、証明や理論展開自体はかなり明快だと思う

ただ、局所コンパクト位相群の性質からすべてを導いているのが硬派すぎる
代数的整数論の本なのに素イデアルって言葉すらほとんど出て来ない（他の本に比べると整数環が空気）
最初のほうに出てくる mod_K(λ) も具体例思い浮かばないとなんのこっちゃってなるかも

あと、後半で単純環の理論を展開するためだろうけど、非可換な場合を含んだ書き方をしているから
可換な場合だけ念頭に置いて読むと意味分かんなくなるかも

Riemann-Rochのところまでは問題なく読めそう
後半はもっと難しいのだろうか

とりあえずここまで読んだ感想としては、個人的にはとても良い本だと思った

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/01(水) 05:24:00.35

>>とりあえずここまで読んだ感想としては、個人的にはとても良い本だと思った

よかったね

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/01(水) 08:57:44.15

うっとうしいから氏んでくれ

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/01(水) 09:05:51.65

可換環の性質には、局所化で保たれないものがあるけど
付値論的な方法は、そういう性質も調べられるの？
たとえば、代数体Kの整数環O_KがUFDかどうかとか。

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/01(水) 09:20:28.94

>>372
クンマーの理想数の理論は今日では
付値論に含まれるとされるらしい
(足立恒雄の受け売り)
代数体Kの整数環O_KがUFDかどうかは
クンマー理論の主目標だったことは
よく知られている。

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/01(水) 12:43:08.85

代数体Kの整数環O_KがUFDであることとKのイデアル類群が自明であることは同値だが、イデアル類群はイデール群の商で表せる

代数体KのDedekindゼータ函数ζ_K(s)はイデール群上の積分として表せ、Kの類数はその極s = 1での留数から計算できる

二次の不定方程式がQで解持つことと、Rとすべてのpに対するQ_pとで解を持つことが同値（Hasse-Minkowskiの定理）

Artin相互律も、局所的な定理ではなく複数の素点の間の関係を述べるものであるが、イデール類群を用いて書ける

というわけで、局所体への埋め込みの情報を束ねることで、大域的な情報が得られることが多々ある
ただし、三次形式には局所大域原理が成り立たないように、すべてがこの方法で上手くいくわけではない

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/01(水) 13:24:43.07

Hasseの原理が2次形式に成立するからと言って、
3次の場合はどうか、4次の場合は、...
というのは、否定的に解決された現在から見ると、あまりよい問題とは思えない
一方、代数群への拡張は成功しているし、こちらは自然に思える

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/01(水) 13:32:52.23

グンマーの理想
グンマーの野望

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/01(水) 13:36:47.29

Daniel Marcus著『Number Fields』ってどうですか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/01(水) 13:37:57.35

層が茎の直和で表されることと、アデールがZの素イデアルによる局所化の直積で表されることのアナロジーとして、アデールを層で定義するアプローチが自然に思える

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/01(水) 13:51:19.36

アデールには無限素点もついてるし、自己双対的な位相も入ってるし、Fourier解析もできるしな

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/01(水) 14:19:19.96

イデール類群の指標ってようは保型形式のGL(1)バージョンだし、代数幾何で言ったら微分形式に対応するCartier因子やん

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/03(金) 13:07:13.32

曲線に関して言えばアデール（イデール）は可逆層の完全上位互換

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/03(金) 17:59:05.78

アデールから層A^×, O^×を定義して、代数幾何と同様に

0 → H^0(O^×) → H^0(A^×) → Div(K)
→ Pic(K) → ...

のようにできる？
Div(K)はKのイデアル群
Pic(K)はKのイデアル類群

アデールから局所自由層を定義して、そのChern類は考えられる？

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/07(火) 15:13:33.11

類体論はエタールコホモロジーに対するポアンカレ双対性なんだそうだ
だから究極的には、あらゆるコホモロジーの双対定理も、ラングランズ対応も、物理学における双対性も、ひとつの原理で説明できる
と思う

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/08(水) 12:29:51.46

Basic Number Theoryの単純環の章、おもろいやん
アデールと同じやり方で中心的単純環に対してもゼータ関数が考えられる

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/08(水) 15:16:32.06

吉田敬之, 保型形式論
高瀬幸一, 保型形式とユニタリ表現

Selbergの跡公式、志村多様体を解説した和書があれば、この分野も大分学びやすくなると思う

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/08(水) 16:29:08.75

代数的サイクルとエタールコホモロジーも、日本語で読めるのはありがたい

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/08(水) 16:40:28.69

>>386
うーん、そうか？
代数的サイクルとエタールコホモロジーは演習問題が載ってるが回答がない
「この演習問題分からないな、Fultonのintersection theoryを見てみよう」ってどうせなるんなら、初めからFultonのintersection theoryや他の洋書を読んだ方が良い

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/08(水) 18:14:14.21

演習問題なんか解かんし

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/09(木) 12:24:41.12

Knapp「Elliptic Curves」を読んだ人いますか？
SilvermanのAECや、KoblitzのModular Formsと比べてどうですか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/11(土) 13:19:02.76

Basic Number Theoryって和訳あるの？

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/11(土) 13:49:32.68

ない

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/12(日) 10:53:51.23

ワシントンのサイクロトミックフィールドの和訳はあるの？

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/12(日) 11:15:55.88

正標数の非可換体の例って何

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/12(日) 13:21:05.69

成分が有限体の行列とか

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/12(日) 18:27:56.22

>>394
正気かお前

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/12(日) 18:28:01.45

>>394
正気かお前

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/12(日) 18:49:32.35

有限斜体は可換だ
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Wedderburn%27s_little_theorem

**１３２人目の素数さん** · 2023/03/13(月) 00:06:36.29

間違えたw

**１３２人目の素数さん** · 2023/04/02(日) 22:01:55.80

>>385
伊吹山本も

**１３２人目の素数さん** · 2023/04/16(日) 12:59:12.06

ε-N（δ）論法って、唐突にδ=√(4+ε)-4を持ってきたりする時点で使いにくい。
整数論に数学的帰納法が使われてもε-N論法の出番が少ないのはそのためか。

**１３２人目の素数さん** · 2023/04/17(月) 09:21:04.05

>>400
>>唐突にδ=√(4+ε)-4を持ってきたりする時点で使いにくい。
微積の授業でそういう工夫に凝りだしたら終わりだ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/04/19(水) 14:49:03.56

PDEの大家が談話室でその工夫を吹聴して
失笑を買った

**１３２人目の素数さん** · 2023/05/07(日) 06:32:56.01

乗算が結合法則を満たさない代数は如何に用いられているだろうか
（どのような応用があるのだろうか？）。

**１３２人目の素数さん** · 2023/05/07(日) 06:33:57.68

結合法則は満たさないが可換な代数というものは存在するか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/05/07(日) 15:15:02.19

乗法は交換法則より結合法則のほうが代数的に重要みたいだね。だから四元数は重要視されるが八元数は重視されない。

**１３２人目の素数さん** · 2023/05/07(日) 17:21:33.57

もちろん８元数は交換法則も満たさない。

結合法則を満たさない代数というものは
実数や複素数を要素とする行列による
乗算の線形表現が存在しないのが不便なのだろう。

さらに崩れていて（左右の）分配法則も満たさないような
代数だったなら、いったいどうなるのだろう？

**１３２人目の素数さん** · 2023/05/08(月) 08:08:36.78

>>405-406
非結合代数で重要なのがリー環リー代数。

**１３２人目の素数さん** · 2023/05/09(火) 02:46:05.14

行列表現できなかった？

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/18(日) 20:52:31.49

jordan algebra

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/18(日) 21:19:35.07

機体に穴があき酸欠状態に陥り
あと１０分しかなく、必死に家族が待つ地球へ戻ろうとする様を描いています。
想像してみてください。
//youtu.be/oWs3yvVADVg

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/20(火) 18:57:43.78

3次元の複素可解リー群がいじれない

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/24(月) 22:27:50.94

いじっているうちに論文になった

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/31(月) 06:07:35.10

エンドが二つになったので慎重に検討しないと

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/31(月) 15:23:36.57

数学的帰納法：貧乏人が1円もらったところで貧乏人だから、何円獲得しようとも貧乏人である。
ε-N論法：1億円以上持っていたら、金持ちである
となるのかな。

**１３２人目の素数さん** · 2023/08/01(火) 08:32:08.61

保型表現おもしろい

**１３２人目の素数さん** · 2023/08/14(月) 15:18:14.46

深すぎ

**１３２人目の素数さん** · 2023/08/14(月) 17:00:12.92

エンドって何ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/08/14(月) 17:49:37.72

コンパクト集合の補集合が
包含関係についてなす有向系の
射影極限の連結成分

**１３２人目の素数さん** · 2023/08/14(月) 18:05:49.97

端点のことですね
わかりました！

**１３２人目の素数さん** · 2023/08/14(月) 18:09:33.28

２次元以上のシュタイン多様体のエンドの個数は１

**１３２人目の素数さん** · 2023/08/14(月) 18:28:56.25

２次元でエンドが２ならシュタインでない
とはそういう意味だったんですね

**１３２人目の素数さん** · 2023/08/14(月) 22:12:12.67

多変数正則関数の解析接続について
もっとも基本的な事実を知らなかったとは驚いた

**１３２人目の素数さん** · 2023/08/15(火) 07:36:15.25

Grauertのいう「Komplexe Räume」(1958)を
リーマン面の高次元版と思っていいんですか

**１３２人目の素数さん** · 2023/08/15(火) 08:25:33.03

Grauert-Remmert

**１３２人目の素数さん** · 2023/08/19(土) 13:17:35.07

射影平面の標準因子Kを計算した。

まず、P2の斉次座標をx, y, zとおく
x ≠ 0の部分の座標を

Y = y/x
Z = z/x

y ≠ 0の部分の座標を

X' = x/y
Z' = z/y

とおくと
xy ≠ 0の部分では

Y = 1/X'
Z = Z'/X'

微分dY∧dZは

dY∧dZ
= d(1/X')∧d(Z'/X')
= -dX'/X'^2 ∧ (dZ'/X' - Z'dX'/X'^2)
= -dX'/X'^3

だから、零点はなく、x = 0に3位の極をもつ
よって、Hを超平面とすると

K ～ -3H

より一般に、Pnの標準因子Kは

K ～ -(n + 1)H

**１３２人目の素数さん** · 2023/08/20(日) 07:29:57.96

正解

**１３２人目の素数さん** · 2023/08/20(日) 22:07:27.20

このn+1は藤田予想のn+1

**１３２人目の素数さん** · 2023/08/20(日) 22:49:23.71

あっそ

**１３２人目の素数さん** · 2023/08/20(日) 23:13:04.62

藤田は小平邦彦賞の藤田ではない
念のため

**１３２人目の素数さん** · 2023/08/21(月) 10:03:54.26

藤田隆夫

**１３２人目の素数さん** · 2023/08/21(月) 22:51:37.04

4次元以下は解決済みらしい

**１３２人目の素数さん** · 2023/08/22(火) 09:25:50.30

こいつ一体何年数学板に粘着してるんだ

**１３２人目の素数さん** · 2023/08/22(火) 10:27:51.96

>>432
2005年以来ですが何か？

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/02(土) 08:49:00.34

2011年以来の問題について
最近の報道の質が低すぎる

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/03(日) 03:30:59.68

どういうこと？

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/03(日) 07:25:19.18

>>435
海洋放出

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/07(木) 15:02:17.93

BS環境があれば観れる放送大学では「多面体と素数」やってるね。ちなみに教育TVの物理基礎はラストもの人生論が面白い。

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/09(土) 07:31:12.18

昔の教育テレビの放送で
山崎先生の話の結びが「ハイゼンベルクはそういう人でした」だったことを憶えている。

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/09(土) 09:02:31.92

整数は自然数の話に帰着できる。
自然数はペアノの公理で尽きているから、整数の性質はそれですべて尽くされている。

1）集合Nはある元"0"を含む。
2）Nの任意の要素ｘに対して　succ(x)はNの要素である。
3）Nは性質　1）と2）を満たす最小の集合である。

蛇足、集合Nはsucc(x)が"0"となるようなxをその要素として含まない。

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/14(木) 20:12:05.13

志村五郎「数学で何が重要か」の7. 代数的整数論で何に注意すべきかのp72-73 定理7.5. の「K ⊗_F P」は、「K ⊗_F F_P」ですよね？

以下にその前後を引用します。

Fを有限次代数的数体、KをFの有限次拡大とし、PをFの素イデアル、Q_1, ..., Q_gをKの素イデアルでPを含むものとする。
（中略）
FのPに関する完備化をF_P、KのQ_iに関する完備化をK_Qiと書く。J_PをF_Pの中のP-進整数全体とし、J_QiをK_Qiの中のQ_i-進整数全体とする。この時、次の定理が基本的である。

定理7.5. K_P = K ⊗_F Pとすれば

(7.7) K_P ～ K_Q1 ⊕ ... ⊕ K_Qg

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/15(金) 00:13:53.75

テータ関数の表現論がメタプレクティック群とかWeil表現とかあるけど、エータ関数にはないの？

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/25(月) 23:22:39.40

オイラー積←素因数分解
解析接続←メリン変換
関数等式←ポワソンの和公式

なのか

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/27(水) 08:53:58.77

K3曲面のモジュライ空間は
偏極によっては数体上定義されるのですか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/10/15(日) 22:05:19.56

最近、ずっとひとり時間楽しんでる。

**１３２人目の素数さん** · 2023/10/23(月) 07:31:53.22

>>443
Elkies-Kumarを参照

**１３２人目の素数さん** · 2023/10/23(月) 13:40:00.16

ヒルベルト保型形式

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/24(金) 14:34:23.98

剰余関連はmod10をから考えると、わかりやすいな。日常使っている10進数の下一桁がmod10。あとmod2も偶数奇数で扱えるか。

**１３２人目の素数さん** · 2024/01/11(木) 12:19:23.62

Neukirch's book covers a lot of topics, but seems to lack the philosophy to organize them. Although the first two chapters are accessible to beginners, from chapter 3, the book rapidly becomes difficult. I think the best approach to claas field theory is Cassels-Fröhlich or Weil's book.

**１３２人目の素数さん** · 2024/01/11(木) 16:06:25.13

9 名前：１３２人目の素数さん 2024/01/11(木) 12:03:52.95 ID:lcnCNZs5
類体論は使えればよい

**１３２人目の素数さん** · 2024/01/12(金) 01:16:05.79

だそうなので、計算してみた。

K = Q、m = 4Z⊂Zとする

AをQのアデール群とする
U = Π U_p ⊂ A^×を

p = ∞なら、U_p = R^×_{>0}
p ≠ 2なら、U_p = Z_p^×
p = 2なら、U_p = 1 + 4Z_2

とする

Q_abをQの最大Abel拡大とする
Uは1の原始4乗根を動かさないわけなので、Uで不変なQ_abの部分体はQ(√-1)

Gal(Q(√-1)/Q) ～ A^×/Q^× U ～ Z_2^×/(1 + 4Z_2) ～ Z/2Z

pを2以外の素数とする
a(p)∈A^×を

v ≠ pなら、a(p)_v = 1
v = pなら、a(p)_v = p∈Z_p

で定める

A^× → A^×/Q^× U ～ Gal(Q(√-1)/Q)

によるa(p)の像は、p≡1 (mod 4)なら1, p≡3 (mod 4)なら-1。

**１３２人目の素数さん** · 2024/01/12(金) 08:59:03.95

はい、よくできました💮

ちゃんとチェックしてないけど

**１３２人目の素数さん** · 2024/01/12(金) 13:39:13.58

あなたは世の中に必要ない人間です
いなくなって下さい

**１３２人目の素数さん** · 2024/02/21(水) 05:30:13.13

Poisson和公式
→テータ函数の変換公式
→Riemannゼータ函数の函数等式

非自明なDirichlet指標χに対してL(1, χ)≠0
→算術級数定理

**１３２人目の素数さん** · 2024/02/21(水) 07:30:14.72

最近チェビシェフの偏りを知った

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/30(火) 09:51:50.79

素数分布に関するチェビシェフの定理の
エルデシュによる初等的証明

**１３２人目の素数さん** · 2024/04/30(火) 23:36:45.57

３０９

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/01(水) 07:51:02.32

５５

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/01(水) 07:51:02.67

５５