双曲線関数は複素関数としての三角関数
sinh(x)=sin(iz)

放物線関数を作るなら、楕円関数を参考にすれば、
y=(1/2)x^2の原点から(x,x^2)までの弧長をuとおいて、
sinp(u)=x,
arcsinp(x)=u=∫√(1+x^2)dx=(1/2)x√(1+x^2) +(1/2)log(x+√(1+x^2))
とか？