フェルマー最終定理について

[0001 ID:1lEWVa2s 2019/10/02(水) 16:05:45.79 ID:GlwbQM5q]

一つの整数を二つの平方数の差で表すのスレ主です。
まあ、書きましょう。
名前は梅田悠祐で
(31104)’3+(1292966)’3=(1292972)’3
です。

[0900 日高 2020/07/17(金) 20:27:14.92 ID:Hlu4KYUX]

>897
> yに、任意の有理数を代入して、xを求めます。
x^2+y^2=(x+r)^2の場合だと運よく小さい数字を試せば解が見つかります
たとえば(x,y,z)=(3,4,5)

ただしこの場合だと解を見つけることができないのか
本当に整数解(有理数解)が存在しないのかは区別できていません

rが有理数のとき、
yに、任意の有理数を代入すると、xは有理数となります。

[0901 １３２人目の素数さん 2020/07/17(金) 20:53:35.81 ID:PKPkZCwb]

>>900
x^2+y^2=z^2=(x+r)^2の場合においては
それはあなたの証明の内容とは無関係に証明できることです

> rが有理数のとき、
> yに、任意の有理数を代入すると、xは有理数となります。
ではx^p+y^p=z^pでも同じことを結論できますか？というのが本題です

x^3+y^3=z^3=(x+r)^3ではr=√3(無理数)しかでてきていません

[0902 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 00:34:02.36 ID:zCzVR+TU]

>>884

> 5，12，13は、(3)を満たしません。
> (5)を満たします。

よって、「5/4,12/4,13/4が(3)を満たすならば、同じ比の5，12，13も(3)を満たす」は間違いです。
5，12，13はピタゴラスの定理の式を満たし、(3)を満たしません。そういう数が実際にあります。
5,12,13は(5)を満たし、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となり,(3)の解が整数比なので、(5)の解も整数比です。


s、t、uは(3)を満たしません。
(5)を満たします。

よって、「s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})が(3)を満たすならば、同じ比のs、t、uも(3)を満たす」は間違いです。
s,t,uはフェルマーの定理の式を満たし、(3)を満たしません。そういう数が実際にありえます。
s,t,uは(5)を満たし、(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となり,(3)の解が整数比なので、(5)の解も整数比です。

(3)のrが無理数なので、xが無理数、yが無理数の解を探してください。
>>886の証明の中でrが無理数、xが無理数、yが無理数の解を探さない限り、>>886は絶対に正しくなりません。

[0903 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 00:48:53.86 ID:zCzVR+TU]

重要なのはrと整数比になるフェルマーの定理の式の解x、yがあるかどうかであって、
rが有理数か無理数かなんてどうでもいいのです。重要なのは整数比かどうかです。

rが無理数ならrと整数比になるのは必ず無理数です。有理数のyなんて絶対に無理数のrと整数比にならないので考えるだけ無駄です。
rが無理数なら無理数のx、yの中でrと整数比になるものがあるかどうか、そこだけ考えればいいのです。
つまり、>>886でやってるのは全く無駄なことです。

rが有理数ならrと整数比になるのは必ず有理数です。無理数のyなんて絶対に有理数のrと整数比にならないので考えるだけ無駄です。
rが有理数なら有理数のx、yで式を満たすものがあるかどうか、そこだけ考えればいいのです。

[0904 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 08:09:50.19 ID:HN6uUO7T]

>>899
> >896
> > x=s,y=t,z=u は、 x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^pの解には、なりません。
> なんですよね

> z=u=x+p^(1/(p-1))となりません。
正確には
u=s+p^(1/(p-1))となりません。
ですかね。これは私も正しいと思います。

なので、

「x=sw,y=tw,z=uw が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^p の解である」
から
「x=s,y=t,z=u が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^pの解である」
は導けない

という事でよろしいでしょうか。

[0905 日高 2020/07/18(土) 08:36:02.79 ID:+buAyBh6]

>901
x^3+y^3=z^3=(x+r)^3ではr=√3(無理数)しかでてきていません

x^3+y^3=(x+(a3)^(1/2)^3では
a=3のとき、
x^3+y^3=(x+3)^3となります。

[0906 日高 2020/07/18(土) 08:56:49.03 ID:+buAyBh6]

>902
(3)のrが無理数なので、xが無理数、yが無理数の解を探してください。

p=3、x=2w,y=1w、w=√3/{9^(1/3)-2}のとき、
x^3+y^3=(x+√3)^3
となります。

[0907 日高 2020/07/18(土) 09:16:32.35 ID:+buAyBh6]

>903
rが有理数なら有理数のx、yで式を満たすものがあるかどうか、そこだけ考えればいいのです。

この方法は、無理だと思います。

[0908 日高 2020/07/18(土) 09:36:55.09 ID:+buAyBh6]

>904
>「x=sw,y=tw,z=uw が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^p の解である」
から

x=sw,y=tw,z=uwは、x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^p の解では、ありません。

(wが、自明な無理数のときは、解になります。）906参照

[0909 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 10:29:50.39 ID:HN6uUO7T]

>>908
> x=sw,y=tw,z=uwは、x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^p の解では、ありません。
> (wが、自明な無理数のときは、解になります。）906参照
実際の命題の真偽は、また別の議題という事で。

伺っているのは、

> 「x=sw,y=tw,z=uw が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^p の解である」

と「「「仮定」」」したときに、

> 「x=s,y=t,z=u が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^pの解である」

が導けるかどうかです。

どうでしょうか。
「x=sw,y=tw,z=uw が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^p の解である」
の「「「仮定」」」から、
「x=s,y=t,z=u が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^pの解である」
は導けない

という事でよろしいでしょうか。

[0910 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 12:58:16.10 ID:BfrQ/eQL]

x^n+y^n=z^n=(x+r)^nの解において
r={無理数} y={有理数} x,y,zは整数比とならない
という条件をみたす場合のnには2が含まれる

n=2の例として実際にx^2+y^2=z^2=(x+r)^2において
r=√2 (x,y,z)=(√2/2,2,3√2/2)
これらを√2倍してr=2{有理数}にしてもx,y,zは整数比とならない

>>886と同様に考えるとx^2+y^2=z^2は整数比の解を持たないことになる

しかしこれには反例(x,y,z)=(3,4,5)が存在する(たとえば直接計算で求める)

n=3のとき
>>905
> x^3+y^3=(x+3)^3となります

r=√3の解を√3倍してr=3{有理数}にしてx,y,zは整数比とならないことから
x^3+y^3=z^3は整数比の解を持たないという結論を出したいならば
n=2の時の反例(x,y,z)=(3,4,5)に対応する解がn=3では存在しないことを
結局は別の方法で示さなくてはならない

このことに関しては>>907により

> >>903
> rが有理数なら有理数のx、yで式を満たすものがあるかどうか、
> そこだけ考えればいいのです。

> この方法は、無理だと思います。

証明は日高自身により無理だと結論付けられた

[0911 日高 2020/07/18(土) 12:59:21.46 ID:+buAyBh6]

>909
「x=sw,y=tw,z=uw が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^p の解である」
の「「「仮定」」」から、
「x=s,y=t,z=u が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^pの解である」
は導けない
という事でよろしいでしょうか。

x=sw,y=tw,z=uwと、x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^pが等しいならば、
x=s,y=t,z=u と、 x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^pは、等しいということになります。

[0912 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 13:03:14.19 ID:zCzVR+TU]

>>906

つまり、rが無理数、xが無理数、yが無理数の解が(3)に存在する、ということですね。
じゃあその中からx、y、ｚが整数比になるものがあるかどうか、探してください。
>>886のなかでrが無理数、xが無理数、yが無理数で整数比の解があるかどうか探さない限り、>>886は絶対に正しくなりません。

[0913 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 13:04:27.14 ID:HN6uUO7T]

>>911
>
> x=sw,y=tw,z=uwと、x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^pが等しいならば、
> x=s,y=t,z=u と、 x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^pは、等しいということになります。
そんなこと聞いてないですよ。
質問に答えてもらってもよろしいでしょうか？

「x=sw,y=tw,z=uw が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^p の解である」
の「「「仮定」」」から、
「x=s,y=t,z=u が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^pの解である」
は導けない
という事でよろしいでしょうか。

[0914 日高 2020/07/18(土) 13:22:04.74 ID:+buAyBh6]

>910
> rが有理数なら有理数のx、yで式を満たすものがあるかどうか、
> そこだけ考えればいいのです。

> この方法は、無理だと思います。

証明は日高自身により無理だと結論付けられた

この方法では、無理です。別の方法があります。

[0915 日高 2020/07/18(土) 13:27:09.71 ID:+buAyBh6]

>912
じゃあその中からx、y、ｚが整数比になるものがあるかどうか、探してください。

x、y、ｚが無理数で、整数比となるならば、有理数で、整数比となるものがあります。

[0916 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 13:28:34.41 ID:BfrQ/eQL]

>>914
> 別の方法があります。

>>885と>>886とは別の方法があるのなら
まずさっさと>>885と>>886の方法を撤回しないとダメでしょう

[0917 日高 2020/07/18(土) 13:31:04.58 ID:+buAyBh6]

>914
「x=sw,y=tw,z=uw が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^p の解である」
の「「「仮定」」」から、
「x=s,y=t,z=u が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^pの解である」
は導けない
という事でよろしいでしょうか。

「仮定」が成り立つ（正しい)ならば、導けます。

[0918 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 13:33:17.92 ID:HN6uUO7T]

>>917
> >914
> 「x=sw,y=tw,z=uw が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^p の解である」
> の「「「仮定」」」から、
> 「x=s,y=t,z=u が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^pの解である」
> は導けない
> という事でよろしいでしょうか。
>
> 「仮定」が成り立つ（正しい)ならば、導けます。

では証明をお願いしても良いでしょうか。

[0919 日高 2020/07/18(土) 13:33:31.17 ID:+buAyBh6]

【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【証明】x^2+y^2=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)の両辺を積の形にすると、r{(y/r)^2-1}=2x…(2)となる。
(2)はr=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(3)はrが有理数なので、yが有理数のとき、x,y,zは整数比となる。
(2)はr{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(4)となる。
(4)はr=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(5)となる。
(5)の解は(3)の解のa倍となるので、rが有理数のときの解は、整数比となる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。

[0920 日高 2020/07/18(土) 13:34:30.01 ID:+buAyBh6]

【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)はrが無理数なので、yが有理数のとき、x,y,zは整数比とならない。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)の解は(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、rが有理数のときの解は整数比とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。

[0921 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 13:36:12.30 ID:HN6uUO7T]

>>915
いちおう書いておきますが、

> x、y、ｚが無理数で、整数比となるならば、有理数で、整数比となるものがあります。

この主張も、>>918の成否にかかっている事をお忘れなく。

[0922 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 13:36:44.54 ID:Jv0DhjmF]

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[0923 日高 2020/07/18(土) 14:33:33.50 ID:+buAyBh6]

>916
>>885と>>886とは別の方法があるのなら
まずさっさと>>885と>>886の方法を撤回しないとダメでしょう

885と>>886とは別の方法とは、言っていません。

[0924 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 14:45:34.09 ID:zCzVR+TU]

>>915

> x、y、ｚが無理数で、整数比となるならば、有理数で、整数比となるものがあります。

間違いです。
5/4,12/4,13/4が(3)を満たすならば、同じ比で(3)を満たす数の組は5/4,12/4,13/4のほかには存在しません。

「s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})が(3)を満たすならば、同じ比で(3)を満たす数の組は「s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})のほかに存在しません。

x、y、ｚが無理数で、整数比の(3)の解となるならば、同じ比の(3)の解は他には存在しません。
ゆえに
yが有理数とき、なんて考えるだけ無駄で、

絶対にx、y、ｚが無理数で、整数比となるもの、それ自体を考えないと駄目です。

>>886の中でx、y、ｚが無理数で、整数比となるもの、それ自体を考えない限り、>>886は絶対に正しくなりません。

[0925 日高 2020/07/18(土) 14:58:05.52 ID:+buAyBh6]

>918
> 「仮定」が成り立つ（正しい)ならば、導けます。

x^p+y^p=z^pと、x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^pが等しいとします。
x=sw,y=tw,z=uwなので、x^p+y^p=z^pは、
(sw)^p+(tw)^p=(uw)^pとなります。
両辺を、w^pで割ると
s^p+t^p=u^pとなるので、
x=s,y=t,z=uとおくと、x^p+y^p=z^pとなります。

[0926 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 14:58:30.87 ID:1O3WB0L7]

>>923

>>910では>>886の方法では調べられない(x,y,z)が存在する
から別の方法が必要であると言っているんですよ

大丈夫？

あるr={無理数}に対してyが有理数のときに限定しているから
明らかにあるr={無理数}における全ての(x,y,z)を調べているわけ
ではないじゃないですか

[0927 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 15:12:00.53 ID:HN6uUO7T]

>>925
それじゃ>>887と変わってないじゃないですかww

問いは
> 「x=sw,y=tw,z=uw が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^p の解である」
> の「「「仮定」」」から、
> 「x=s,y=t,z=u が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^pの解である」
だから、

s^p+t^p=(s+p^(1/(p-1)))^p

を導いてください。

[0928 日高 2020/07/18(土) 15:31:33.48 ID:+buAyBh6]

>924
>x、y、ｚが無理数で、整数比の(3)の解となるならば、同じ比の(3)の解は他には存在しません。

x、y、ｚが無理数で、整数比の(3)の解は、ないですが、あるとすれば、
x、y、ｚが有理数で、整数比の解があります。

[0929 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 15:33:43.71 ID:zCzVR+TU]

>>928

では、5/4,12/4,13/4と同じ比で、(3)を満たす、「5/4,12/4,13/4以外の」数の組　を上げてみてください。

[0930 日高 2020/07/18(土) 15:36:23.37 ID:+buAyBh6]

>926
あるr={無理数}に対してyが有理数のときに限定しているから

これでは、駄目でしょうか？

[0931 日高 2020/07/18(土) 15:43:58.38 ID:+buAyBh6]

>927
s^p+t^p=(s+p^(1/(p-1)))^p

を導いてください。

s^p+t^p=u^pは仮定で、成り立ちますが、
s^p+t^p=(s+p^(1/(p-1)))^pは、完全に成り立ちません。

[0932 日高 2020/07/18(土) 15:48:35.12 ID:+buAyBh6]

>929
では、5/4,12/4,13/4と同じ比で、(3)を満たす、「5/4,12/4,13/4以外の」数の組　を上げてみてください。

5/4,12/4,13/4と同じ比で、(3)を満たす、数の組は、ありません。

[0933 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 16:00:49.13 ID:aDK5aLsj]

では、ここまでの議論を整理します。

「『x,y,zが整数比』と『z=x+p^(1/(p-1))』と『x^p+y^p=z^p』を満たすx,y,zが存在する」
が成立しているとします。

このとき、s,t,uを有理数、wを無理数として、x=sw,y=tw,z=uw
とおくことができます。

これを『x^p+y^p=z^p』に代入し、両辺をw^pで割ることにより、
s^p+t^p=u^p
を得ます。

x=s,y=t,z=u は『x,y,zが有理数』と『x^p+y^p=z^p』を満たすx,y,zですが、『z=x+p^(1/(p-1))』 は満たしません。

以上より、
「『x,y,zが整数比』と『z=x+p^(1/(p-1))』と『x^p+y^p=z^p』を満たすx,y,z』が存在する」
から
「『x,y,zが有理数』と『x^p+y^p=z^p』を満たすx,y,z』が存在する」
を導くことができました。

[0934 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 16:03:04.21 ID:HN6uUO7T]

>>931
> >927
> s^p+t^p=(s+p^(1/(p-1)))^p
>
> を導いてください。
>
> s^p+t^p=u^pは仮定で、成り立ちますが、
> s^p+t^p=(s+p^(1/(p-1)))^pは、完全に成り立ちません。
ずっとこれを聞いているんですよ。

だから、
> 「x=sw,y=tw,z=uw が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^p の解である」
> の「「「仮定」」」から、
> 「x=s,y=t,z=u が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^pの解である」
> は導けない
のですよね？

[0935 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 16:15:07.15 ID:t5p2OcmZ]

>>933 の整理を踏まえまして、改めて問います。

>>893 の
> 「x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^p は整数比の解を持つ」ならば、
> 「x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^p は有理数解を持つ」となります。

は正しいでしょうか？

[0936 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 16:15:10.32 ID:zCzVR+TU]

>>932

ではそれとまったく同じ話で、
s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})と同じ比で(3)を満たす、s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})以外の数の組は、ありません。

つまり、>>886で、rが無理数の時、それと整数比になるのは無理数だから、(3)に整数比の解があるとすれば必ず無理数の組で、それ以外にはありません。

>>886の中で、無理数で整数比の解があるかないかを調べない限り、>>886は絶対に正しくなりません。

[0937 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 16:40:56.31 ID:BZFDUX5G]

>>930
> これでは、駄目でしょうか？

x^2+y^2=z^2=(x+r)^2のときでもあるr={無理数}に対してyが有理数のとき
に限定するとそれらの中には何倍かすると整数比になる解は存在しないでしょ

[0938 日高 2020/07/18(土) 17:19:26.13 ID:+buAyBh6]

>933
「『x,y,zが有理数』と『x^p+y^p=z^p』を満たすx,y,z』が存在する」
を導くことができました。

はい。

[0939 日高 2020/07/18(土) 17:52:23.00 ID:+buAyBh6]

>934
> 「x=sw,y=tw,z=uw が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^p の解である」
> の「「「仮定」」」から、
> 「x=s,y=t,z=u が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^pの解である」
> は導けない
のですよね？

「仮定」すると、導けます。

[0940 日高 2020/07/18(土) 18:00:02.33 ID:+buAyBh6]

>935
> 「x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^p は整数比の解を持つ」ならば、
> 「x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^p は有理数解を持つ」となります。

は正しいでしょうか？

x,yが整数比の解を持つならば、
「x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^p は有理数解を持つ」
は、正しくありません。

[0941 日高 2020/07/18(土) 18:07:48.04 ID:+buAyBh6]

>936
つまり、>>886で、rが無理数の時、それと整数比になるのは無理数だから、(3)に整数比の解があるとすれば必ず無理数の組で、それ以外にはありません。

rが無理数の時、整数比となる解があるならば、有理数解があります。

[0942 日高 2020/07/18(土) 18:11:03.57 ID:+buAyBh6]

>937
x^2+y^2=z^2=(x+r)^2のときでもあるr={無理数}に対してyが有理数のとき
に限定するとそれらの中には何倍かすると整数比になる解は存在しないでしょ

詳しく説明していただけないでしょうか。

[0943 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 18:28:00.35 ID:HN6uUO7T]

>>939
> 「仮定」すると、導けます。
ですから、>>925,931 で導けなかったじゃないですか。ふざけてるんですか？

> 「x=sw,y=tw,z=uw が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^p の解である」
> の「「「仮定」」」から、
> 「x=s,y=t,z=u が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^pの解である」
> は導けない
のですよね？

[0944 日高 2020/07/18(土) 18:56:32.86 ID:+buAyBh6]

>943
> 「x=sw,y=tw,z=uw が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^p の解である」
> の「「「仮定」」」から、
> 「x=s,y=t,z=u が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^pの解である」
> は導けない
のですよね？

「仮定」しているので、導けます。
「仮定」しない場合は、導けません。
x=sw,y=tw,z=uwと、x=s,y=t,z=uは、同じことです。

[0945 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 19:04:16.76 ID:HN6uUO7T]

>>944
> x=sw,y=tw,z=uwと、x=s,y=t,z=uは、同じことです。
この事から、

> 「x=s,y=t,z=u が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^pの解である」

つまり、

> s^p+t^p=(s+p^(1/(p-1)))^p

を導けますか？

[0946 日高 2020/07/18(土) 20:05:37.54 ID:+buAyBh6]

>945
> 「x=s,y=t,z=u が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^pの解である」
つまり、
> s^p+t^p=(s+p^(1/(p-1)))^p
を導けますか？

つまり、
> s^p+t^p=(s+p^(1/(p-1)))^p
を導けますか？の意味を解説して下さい。

[0947 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 20:14:50.02 ID:yBPjSixo]

>>942
x^2+y^2=z^2=(x+r)^2で

r=2
(x,y,z)=(3,4,5) 4は有理数

(r=√2*√2)

r=√2
(x,y,z)=(3√2/2,2√2,5√2/2) 2√2は無理数
yが有理数であれば(√2x,√2y,√2z)が(3,4,5)になることは決してない

>>888
> > x^2+y^2=(x+2)^2のときの解
> まずこれが存在することをどうやって示しますか？

(r=2の場合は)
> yに、任意の有理数を代入して、xを求めます。

に対応することは

(r=√2の場合は)
yに無理数を代入して整数比になるような無理数のxを求める

[0948 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 20:43:08.53 ID:HN6uUO7T]

>>946

s^p+t^p=(s+p^(1/(p-1)))^p が成り立てば、

「x=s,y=t,z=u が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^pの解である」と言えるので、

s^p+t^p=(s+p^(1/(p-1)))^p を導いてください。
と言っています。

[0949 日高 2020/07/18(土) 20:44:43.71 ID:+buAyBh6]

>947
(r=2の場合は)
> yに、任意の有理数を代入して、xを求めます。

に対応することは

(r=√2の場合は)
yに無理数を代入して整数比になるような無理数のxを求める

解説していただけないでしょうか。

[0950 日高 2020/07/18(土) 20:52:50.39 ID:+buAyBh6]

>948
s^p+t^p=(s+p^(1/(p-1)))^p が成り立てば、
「x=s,y=t,z=u が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^pの解である」と言えるので、
s^p+t^p=(s+p^(1/(p-1)))^p を導いてください。
と言っています。

s^p+t^p=(s+p^(1/(p-1)))^p が成り立たないので、
「x=s,y=t,z=u が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^pの解になりません。

[0951 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 20:57:07.95 ID:HN6uUO7T]

>>950
> s^p+t^p=(s+p^(1/(p-1)))^p が成り立たないので、
> 「x=s,y=t,z=u が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^pの解になりません。

よって、
> 「x=sw,y=tw,z=uw が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^p の解である」
> の仮定をしても、
> 「x=s,y=t,z=u が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^pの解である」
> は導けない
のですよね？

[0952 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 20:57:30.64 ID:yBPjSixo]

>>949
>>947の前半に例を挙げて解説してあるでしょ

大丈夫？

[0953 日高 2020/07/18(土) 21:05:55.58 ID:+buAyBh6]

>951
> 「x=sw,y=tw,z=uw が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^p の解である」
> の仮定をしても、
> 「x=s,y=t,z=u が x^p+y^p=(x+p^(1/(p-1)))^pの解である」
> は導けない
のですよね？

はい。

[0954 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 21:07:35.41 ID:HN6uUO7T]

>>953
分かりました。ありがとうございます。

[0955 日高 2020/07/18(土) 21:08:32.87 ID:+buAyBh6]

>952
大丈夫？

どういう意味でしょうか？

[0956 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 21:20:28.05 ID:yBPjSixo]

>>955
あなたは正常か？という意味です

>>947の解説部分を飛ばして質問しているから
同じ解説をする意味があるのか知りたいのです

[0957 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 21:49:58.78 ID:zCzVR+TU]

>>941

> rが無理数の時、整数比となる解があるならば、有理数解があります。

あなたは、5/4,12/4,13/4と同じ比で、(3)を満たす、「5/4,12/4,13/4以外の」数の組　をあげることができなかったので、これはウソです。

s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})と同じ比で(3)を満たす、s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})以外の数の組は、ありません。

[0958 １３２人目の素数さん 2020/07/18(土) 22:10:51.63 ID:yBPjSixo]

x^2+y^2=z^2=(x+r)^2でr=√2(無理数)に固定した場合に3:4:5の整数比
になる解(x,y,z)を探す

このような問題設定でまず考えたとして

日高が大丈夫なら>>947の前半部分からでも次のことが容易に理解できるでしょう

x^2+y^2=z^2=(x+r)^2でr=√2のときにyが有理数であると限定すると
3:4:5の比になる解(x,y={有理数},z)は存在しない

[0959 日高 2020/07/19(日) 06:53:25.78 ID:e1tuQoUD]

>956
>>947の解説部分を飛ばして質問しているから
同じ解説をする意味があるのか知りたいのです

どういう意味かわからないので、解説を、お願いします。

[0960 日高 2020/07/19(日) 07:24:03.15 ID:e1tuQoUD]

>952
> rが無理数の時、整数比となる解があるならば、有理数解があります。

例
x^2+y^2=(x+√2)^2
x=3√2/2、y=4√2/2、z=5√2/2
x^2+y^2=z^2
x=3、y=4、z=5

(3)には、同じ比の解は１組しかありません。

[0961 日高 2020/07/19(日) 07:28:07.44 ID:e1tuQoUD]

>958
x^2+y^2=z^2=(x+r)^2でr=√2のときにyが有理数であると限定すると
3:4:5の比になる解(x,y={有理数},z)は存在しない

そうですね。

[0962 日高 2020/07/19(日) 08:08:28.26 ID:e1tuQoUD]

【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。
【証明】x^2+y^2=z^2を、z=x+rとおいてx^2+y^2=(x+r)^2…(1)とする。
(1)の両辺を積の形にすると、r{(y/r)^2-1}=2x…(2)となる。
(2)はr=2のとき、x^2+y^2=(x+2)^2…(3)となる。
(3)はrが有理数なので、yが有理数のとき、x,y,zは整数比となる。
(2)はr{(y/r)^2-1}=a2x(1/a)…(4)となる。
(4)はr=a2のとき、x^2+y^2=(x+a2)^2…(5)となる。
(5)の解は(3)の解のa倍となるので、rが有理数のときの解は、整数比となる。
∴p=2のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持つ。

[0963 日高 2020/07/19(日) 08:09:36.30 ID:e1tuQoUD]

【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺を積の形にすると、r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)はrが無理数なので、yが有理数のとき、x,y,zは整数比とならない。
(2)はr^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}(1/a)…(4)となる。
(4)はr^(p-1)=apのとき、x^p+y^p=(x+(ap)^{1/(p-1)})^p…(5)となる。
(5)の解は(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、rが有理数のときの解は整数比とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。

[0964 １３２人目の素数さん 2020/07/19(日) 08:46:12.17 ID:dCEmvF6E]

>>961
> そうですね。

だったら>>963に書いてあるように
> rが無理数なので、yが有理数のとき、x,y,zは整数比とならない。
から
> rが有理数のときの解は整数比とならない
を導けば

x^2+y^2=(x+2)^2の解はx^2+y^2=(x+√2)^2の解の
√2倍となるのでr=2(有理数)のときの解は整数比とならない
となるのは分かりますよね？

あなたが用いている論理では上の間違った結果を導くから
間違っているのです


r=√2(無理数)のときにyが有理数であると限定すると
3:4:5の比になる解(x,y={有理数},z)は存在しない

rを√2(無理数)倍したときに得られる正しい結論は

√2(無理数)倍してr=2(有理数)のときにyが無理数であると限定すると
3:4:5の比になる解(x,y={無理数},z)は存在しない

だから>>963から導かれる結論
> ∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
は正しくない

[0965 １３２人目の素数さん 2020/07/19(日) 08:55:44.77 ID:toDp7JwQ]

>>964の補足

>>963から導かれる結論
> ∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
は正しくない

正しくないのは>>963の論理がという意味なので

>>963では
> ∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pは、整数比の解を持たない。
を証明できない

と書いた方が良いですね

[0966 日高 2020/07/19(日) 09:59:02.04 ID:e1tuQoUD]

>964
x^2+y^2=(x+2)^2の解はx^2+y^2=(x+√2)^2の解の
√2倍となるのでr=2(有理数)のときの解は整数比とならない
となるのは分かりますよね？

わかりません。説明していただけないでしょうか。

[0967 １３２人目の素数さん 2020/07/19(日) 10:51:30.38 ID:AHI2BywA]

>>966

>>963の
> rが無理数なので、yが有理数のとき、x,y,zは整数比とならない
から
> rが有理数のときの解は整数比とならない
を具体的な整数比で書き換えれば

rが無理数なのでyが有理数のときx,y,zは3:4:5の比にならない (***)
から
rが有理数のときの解は3:4:5の比とならない

r=√2のときにyが有理数であると限定すると
3:4:5の比になる解(x,y={有理数},z)は存在しない

において√2は無理数だから(***)を満たす

よってr=2(有理数)のときの解は3:4:5の比にならない
という結論が導かれる

[0968 日高 2020/07/19(日) 11:44:35.28 ID:e1tuQoUD]

>967
よってr=2(有理数)のときの解は3:4:5の比にならない
という結論が導かれる

これは、p=2のとき、の話でしょうか？
それとも、pが奇素数のとき、の話でしょうか？

[0969 １３２人目の素数さん 2020/07/19(日) 12:28:52.98 ID:uYqdRirt]

>>968
今挙げている具体例ではp=2のときなんだけれど
それは具体例(3:4:5の比)を簡単に示せるからであって

rが無理数のときにyが有理数であると限定することがポイント
だからpの値に依存しないですよ

>>963の方針だと
pに2を含めてもx^p+y^p=z^pは3:4:5の比となる解をもたない
も証明できちゃうことになるでしょ


rが無理数のときにyが有理数であると限定することがポイント
だからpの値に依存しないですよ
に少し付け加えると

p=2のときでもpが奇素数のときのどちらでも
r={無理数}を有理数にするにはrがどんな無理数でも無理数倍する
しかないでしょ
するとこのとき有理数に限定されているy={有理数}も
無理数倍するんだから必ず無理数になる

[0970 １３２人目の素数さん 2020/07/19(日) 12:43:18.42 ID:F8jKUgG9]

納得した？

[0971 日高 2020/07/19(日) 12:50:13.94 ID:e1tuQoUD]

>969
>rが無理数のときにyが有理数であると限定することがポイント
だからpの値に依存しないですよ

例をあげてもらえないでしょうか？

[0972 １３２人目の素数さん 2020/07/19(日) 13:01:05.69 ID:VX282ylu]

>>971

>>969の
> p=2のときでもpが奇素数のときのどちらでも
以降に書いてあるでしょ

[0973 日高 2020/07/19(日) 13:50:06.98 ID:e1tuQoUD]

>972
> p=2のときでもpが奇素数のときのどちらでも
以降に書いてあるでしょ

x^2+y^2=(x+√2)^2の場合
yを有理数とすると、解は、整数比となりませんが？

要領が、わかりません。

[0974 １３２人目の素数さん 2020/07/19(日) 14:31:34.29 ID:XcWTAEWR]

>>973
> x^2+y^2=(x+√2)^2の場合
> yを有理数とすると、解は、整数比となりませんが？

それで√2倍すると
r'=√2r=2となってy'=√2yは必ず無理数になるでしょ
yは有理数限定なのだから
そうするとr'=2 (x',y'={無理数},z')は整数比には決してならない

p=2のときでもpが奇素数のときのどちらでも
整数比となる可能性があるのは
r'={有理数} (x',y'={有理数},z')の場合か
r'={無理数} (x',y'={無理数},z')であるけれども
>>963では一切使用されていないので
整数比の解を持たないことを示すことはできない

あんたの間違った主張は>>963で整数比の解を持たないことが示される
ということだけど同じ間違った主張
> rが有理数のときの解は整数比とならない
を用いればp=2でも整数比の解を持たないことが示される
もちろんこれは誤った答えである

[0975 日高 2020/07/19(日) 15:09:44.02 ID:e1tuQoUD]

>974
r'={有理数} (x',y'={有理数},z')の場合か
r'={無理数} (x',y'={無理数},z')であるけれども

この意味がわかりません。

[0976 １３２人目の素数さん 2020/07/19(日) 15:39:30.39 ID:3TNV/YqZ]

>>975
r'={有理数} (x',y'={有理数},z')の場合
解(x',y',z')においてr'=z'-x'が有理数
y'が有理数

r'={無理数} (x',y'={無理数},z')の場合
解(x',y',z')においてr'=z'-x'が無理数
y'が無理数


整数比の解をs,t,uが0以外の整数であるとして
(x,y,z)=(s,t,u)とするとr=u-sは整数でy=tも整数

有理数倍するとr'={有理数} (x',y'={有理数},z')にしかならないし
無理数倍するとr'={無理数} (x',y'={無理数},z')にしかならない

よって整数比の解が存在するかどうかは
この2つの場合のみを調べれば良い

r'={有理数} (x',y'={無理数},z')の場合や
r'={無理数} (x',y'={有理数},z')の場合には
(x,y,z)=(s,t,u)を有理数倍したものあるいは無理数倍したもの
どちらも含まれることはない

[0977 日高 2020/07/19(日) 16:01:56.43 ID:e1tuQoUD]

>976
r'={有理数} (x',y'={有理数},z')の場合
解(x',y',z')においてr'=z'-x'が有理数
y'が有理数

どういう意味でしょうか？

[0978 １３２人目の素数さん 2020/07/19(日) 18:40:14.67 ID:CCx++I/Y]

>>957が無視されたようなので、書き直します。

> rが無理数の時、整数比となる解があるならば、有理数解があります。

嘘です。でたらめです。

(3)の解である5/4,12/4,13/4と同じ比で(3)の解になる数の組は、ほかにありません。

(3)の解であるs/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})と同じ比で(3)の解になる数の組は、ほかにありません

[0979 １３２人目の素数さん 2020/07/19(日) 20:03:48.08 ID:3pNy2OWR]

>>977
> どういう意味でしょうか？

>>975
> r'={有理数} (x',y'={有理数},z')の場合
> この意味がわかりません。

に対する答えで見たままだよ

> r'={有理数} (x',y'={有理数},z')の場合
> 解(x',y',z')においてr'=z'-x'が有理数
> y'が有理数

「r'={有理数}」の意味するところは「解(x',y',z')においてr'=z'-x'が有理数」
「(x',y'={有理数},z')」の意味するところは「y'が有理数」

[0980 日高 2020/07/19(日) 20:10:22.85 ID:e1tuQoUD]

>978
>(3)の解である5/4,12/4,13/4と同じ比で(3)の解になる数の組は、ほかにありません。

r=2のとき、これは、正しいです。

>(3)の解であるs/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})と同じ比で(3)の解になる数の組は、ほかにありません

pが奇素数のときは、s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})は、
(3)の解となりません。
p=2のときは、s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})は、
(3)の解となります。

[0981 日高 2020/07/19(日) 20:18:54.89 ID:e1tuQoUD]

>979
「r'={有理数}」の意味するところは「解(x',y',z')においてr'=z'-x'が有理数」
「(x',y'={有理数},z')」の意味するところは「y'が有理数」

これは、p=2のとき、でしょうか？
pが奇素数のときでしょうか？

これの元となる式は、どのような式でしょうか？

[0982 １３２人目の素数さん 2020/07/19(日) 20:25:11.84 ID:CCx++I/Y]

>>980

pが奇素数のときは、s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})は、
(3)の解となりません。

なんでわかるんです？
だれかが、s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})は(3)の解とならないと証明したんですか？

[0983 １３２人目の素数さん 2020/07/19(日) 20:35:29.46 ID:3pNy2OWR]

>>981
> これは、p=2のとき、でしょうか？
> pが奇素数のときでしょうか？

あのねえ
今の話の流れは>>974からの続きなんだよ

> p=2のときでもpが奇素数のときのどちらでも
> 整数比となる可能性があるのは
> r'={有理数} (x',y'={有理数},z')の場合か
> r'={無理数} (x',y'={無理数},z')であるけれども

> これの元となる式は、どのような式でしょうか？

式は関係ないですよ
>>976の
> 整数比の解をs,t,uが0以外の整数であるとして
以降を読みなさい

[0984 １３２人目の素数さん 2020/07/19(日) 20:36:35.09 ID:CCx++I/Y]

>>980
逆の証明ならできますよ。

s^p+t^p=u^pが成り立つ有理数s,t,uが存在するとき、
(u-s)^(p-1)=apが成り立つようにaを定義することが必ずできて、
s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})を(3)に代入すると
s^p+t^p=u^pとなるので、(3)が成り立つ。
つまり、s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})は(3)の解です。

よって、s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})と同じ比で、(3)を満たす、数の組は、ほかにありません。

[0985 １３２人目の素数さん 2020/07/19(日) 20:47:21.24 ID:CCx++I/Y]

s^p+t^p=u^pが成り立つとしたら、
同じ比の(3)の解はs/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})以外ありません。

s^p+t^p=u^pが成り立つとしたら、同じ比の(3)のｙは絶対に有理数になりません。

s^p+t^p=u^pが成り立つとしたら、同じ比の(3)の解は絶対に無理数で整数比です。

>>963に無理数で整数比の(3)の解があるかないか書かない限り、>>963は絶対に正しくなりません。

[0986 日高 2020/07/19(日) 21:11:25.01 ID:e1tuQoUD]

>982
pが奇素数のときは、s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})は、
(3)の解となりません。

なんでわかるんです？
だれかが、s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})は(3)の解とならないと証明したんですか？

s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})は整数比だからです。よって、(3)の解には、なりません。

[0987 日高 2020/07/19(日) 21:13:33.75 ID:e1tuQoUD]

>983
> r'={有理数} (x',y'={有理数},z')の場合か
> r'={無理数} (x',y'={無理数},z')であるけれども

これは、どのように、読めばよいのでしょうか？

[0988 日高 2020/07/19(日) 21:16:02.98 ID:e1tuQoUD]

>984
よって、s/(a^{1/(p-1)}),t/(a^{1/(p-1)}),u/(a^{1/(p-1)})と同じ比で、(3)を満たす、数の組は、ほかにありません。

そうですね。

[0989 日高 2020/07/19(日) 21:23:42.54 ID:e1tuQoUD]

>985
>>963に無理数で整数比の(3)の解があるかないか書かない限り、>>963は絶対に正しくなりません。

963に無理数で整数比の解があるならば、有理数で整数比の解があります。

[0990 １３２人目の素数さん 2020/07/19(日) 21:28:57.04 ID:CCx++I/Y]

>>989

r^(p-1)=pのとき、rは無理数です。
無理数と整数比になる数は、無理数です。
無理数と整数比になる有理数はないので、yが有理数の時なんて考えるだけ無駄です。
無理数で整数比の(3)の解の数の組は、>>963で探していません。

r^(p-1)=pでないとき、r^(p-1)=apが成り立つようにaを定義することが必ずできます。
(5)の解は(3)の解のa^{1/(p-1)}倍となるので、(5)の解の数の組が有理数の時、(3)の解の数の組は無理数で整数比です。
無理数で整数比の(3)の解の数の組は、>>963で探していません。

>>963のなかで無理数で整数比の(3)の解の数の組があるかないかを書かない限り、>>963は絶対に間違いです。

[0991 １３２人目の素数さん 2020/07/19(日) 21:34:57.26 ID:CCx++I/Y]

>>989

>　963に無理数で整数比の解があるならば、有理数で整数比の解があります。

解、とは、どの式を満たす数のことですか？
r^(p-1)=pですか？
r^(p-1)=apですか
(3)ですか？
(5)ですか？

何度も書いていますが、(3)の解と同じ比の(3)の解は他にはありません。1つだけです。
(5)の解と同じ比の(5)の解は他にはありません。1つだけです。

[0992 １３２人目の素数さん 2020/07/19(日) 21:35:31.87 ID:3pNy2OWR]

>>987

>>979を読みなさい

[0993 １３２人目の素数さん 2020/07/19(日) 21:36:52.25 ID:CCx++I/Y]

>>991追記
>>989には、「解」という言葉が2回出てきているので、どちらも答えてくださいね。

1つ目の「解」とは、どの式を満たす数のことですか？
r^(p-1)=pですか？
r^(p-1)=apですか
(3)ですか？
(5)ですか？

2つ目の「解」とは、どの式を満たす数のことですか？
r^(p-1)=pですか？
r^(p-1)=apですか
(3)ですか？
(5)ですか？

[0994 日高 2020/07/20(月) 06:48:37.09 ID:/WKeu5tg]

>990
無理数で整数比の(3)の解の数の組は、>>963で探していません。

無理数で整数比の解を、共通の無理数で割ると、有理数となります。

[0995 日高 2020/07/20(月) 06:53:27.97 ID:/WKeu5tg]

>991
>　963に無理数で整数比の解があるならば、有理数で整数比の解があります。

解、とは、どの式を満たす数のことですか？

x^p+y^p=z^pを満たす数のことです。

[0996 日高 2020/07/20(月) 07:02:38.61 ID:/WKeu5tg]

>993
1つ目の「解」とは、どの式を満たす数のことですか？
r^(p-1)=pですか？
r^(p-1)=apですか
(3)ですか？
(5)ですか？

(3)の解で、無理数で、整数比となる自明な解はあります。

[0997 １３２人目の素数さん 2020/07/20(月) 07:13:48.17 ID:h0FobE7Z]

質問には絶対まともに答えないんだな。
見てるだけでも気分が悪いくなる。

[0998 １３２人目の素数さん 2020/07/20(月) 13:31:18.16 ID:0GDGPa+3]

>>997
わかっていてわざとやってるのかな？

[0999 １３２人目の素数さん 2020/07/20(月) 14:20:18.08 ID:0GDGPa+3]

>>963 日高
これだけ疑問点を出されているんだからきちんと補ったものを載せるべきじゃないか？

[1000 日高 2020/07/20(月) 14:36:41.23 ID:/WKeu5tg]

>990
>>963のなかで無理数で整数比の(3)の解の数の組があるかないかを書かない限り、>>963は絶対に間違いです。

x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)
x=sw、y=twとおく。(s,tは有理数、wは無理数）
(3)に代入すると、
(sw)^p+(tw)^p=(sw+p^{1/(p-1)})^pとなる。
両辺をw^pでわると、
s^p+t^p=(s+(p^{1/(p-1)})/w)^pとなる。
(p^{1/(p-1)})/wが有理数のときは、(5)となる。
(5)の解は(3)の解の、定数倍となるので、(5)のx,yは共に有理数とならない。
よって、s,tは共に有理数とならない。