■初等関数研究村■
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初等関数(しょとうかんすう、英: Elementary function)とは、 実数または複素数の1変数関数で、代数関数、指数関数、対数関数、 三角関数、逆三角関数および、それらの合成関数を作ることを 有限回繰り返して得られる関数のことである ガンマ関数、楕円関数、ベッセル関数、誤差関数などは初等関数でない 初等関数のうちで代数関数でないものを初等超越関数という 双曲線関数やその逆関数も初等関数である 初等関数の導関数はつねに初等関数になる 縦3マス、横4マスの12マスのうちランダムに選ばれた 2マスにそれぞれ宝が眠っている AEIBFJ…の順で縦に宝を探していく方法をとるP君と、 ABCDEFGH…の順で横に宝を探していく方法をとるQ君が、 同時に地点Aから探索を開始した どっちの方が有利? ABCD EFGH I JK L P1st Q1st even [1,] 0 0 1 [2,] 4 5 6 [3,] 26 27 13 [4,] 84 83 23 [5,] 203 197 35 [6,] 413 398 50 [7,] 751 722 67 [8,] 1259 1210 87 [9,] 1986 1910 109 [10,] 2986 2875 134 完全追尾型多項式が完成しました 宝の個数は2 P1st={12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51}/48 Q1st={12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3}/48 even={10n^2+8n+(-1)^n-9}/8 ■Wolframに入力すると既約分数表示になるので御注意 P1st/Q1st =8(n-1){(n-2)n-6}/{2n(n+2)(6n^2-2n-5)-3(-1)^n+3}+1 P1stとQ1stは、『宝一つの時の自陣当たり数』の二乗と それぞれの差分を表す関数の和で求められる ■P1stを求める 宝一つの時の自陣当たり数 n(n+1)/2-1 ……@ P1stは@^2と差分の和 差分は0 0 1 3 7 13 22 34 50 70 95 125 161 203 252 308 372 444 525 615…… それを表す関数 (4n^3-6n^2-4n-3(-1)^n+3)/48 ……A 計算知能で@^2+Aを入力すると ∴P1st={12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51}/48 ■Q1stを求める 宝一つの時の自陣当たり数 n(n+1)/2-1 ……@ Q1stは@^2と差分の和 差分は0 1 2 2 1 -2 -7 -15 -26 -41 -60 -84 -113 -148 -189…… それを表す関数は (-4n^3+18n^2+28n-3(-1)^n-45)/48 ……B 計算知能で@^2+Bを入力すると ∴Q1st={12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3}/48 ■evenを求める evenは、n(n+1)-1と同着数の和 同着数は1 2 4 6 9 12 16 20 25…… これを表す関数は {2n^2-1+(-1)^(n)}/8 ……C n(n+1)-1 ……D 計算知能でC+Dを入力すると ∴even={10n^2+8n+(-1)^n-9}/8 P1st Q1st even [1,] 0 0 1 [2,] 4 5 6 [3,] 26 27 13 [4,] 84 83 23 [5,] 203 197 35 [6,] 413 398 50 [7,] 751 722 67 [8,] 1259 1210 87 [9,] 1986 1910 109 [10,] 2986 2875 134 [11,] 4320 4165 161 [12,] 6054 5845 191 [13,] 8261 7987 223 [14,] 11019 10668 258 [15,] 14413 13972 295 [16,] 18533 17988 335 [17,] 23476 22812 377 [18,] 29344 28545 422 [19,] 36246 35295 469 [20,] 44296 43175 519 Table[(12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51)/48,{n,1,20}] Table[(12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3)/48,{n,1,20}] Table[(10n^2+8n+(-1)^n-9)/8,{n,1,20}] 2×3の場合 宝:1個 同等 宝:2〜3個 長軸有利 宝:4〜6個 同等 □■■ □□■ 短軸有利☆ Table[C(3,k-1)+C(1,k-1),{k,1,6}] {2, 4, 3, 1, 0, 0} 長軸有利☆ Table[C(3,k-1)+C(2,k-1),{k,1,6}] {2, 5, 4, 1, 0, 0} 同等☆ Table[C(5,k-1)+C(3,k-2)+C(1,k),{k,1,6}] {2, 6, 13, 13, 6, 1} 2 * 3 [2] : 4 , 5 , 6 2 * 3 [3] : 3 , 4 , 13 > sapply(1:12,function(k) treasure0(3,4,k)) [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] 短軸有利 5 26 73 133 167 148 91 37 9 1 0 0 長軸有利 5 27 76 140 176 153 92 37 9 1 0 0 同等 2 13 71 222 449 623 609 421 202 64 12 1 □■■■ □□■■ □□□■ 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}] 長軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,3mod n),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}] 同等☆ Table[C(11,k-1)+C(9,k-2)+C(7,k-2)+C(1,k),{k,1,12}] > sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k)) [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] 短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749 長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803 同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408 [,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20] 短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0 長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0 同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1 4×5の場合 宝:1個 同等 宝:2〜5個 短軸有利 宝:6〜13個 長軸有利 宝:14〜20個 同等 □■■■■ □□■■■ □□□■■ □□□□■ 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+C(1,n-4),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] 長軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,3 mod n)-C(0,n-5)+C(0,n-6),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] 同等☆ Table[C(19,k-1)+C(17,k-2)+C(15,k-2)+C(13,k-2)+C(8,k-2)+C(1,k),{k,1,20}] 5×6の場合 宝:1個 同等 宝:2〜8個 短軸有利 宝:9〜21個 長軸有利 宝:22〜30個 同等 □■■■■■ □□■■■■ □□□■■■ □□□□■■ □□□□□■ 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2 mod7)+3C(0,n-4)+C(1,n-7),k-1),{n,1,14}],{k,1,30}] 長軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,30mod n)-C(0,n-2)-2C(0,n-5)-C(1,n-8),k-1),{n,1,14}],{k,1,30}] 同等☆ Table[sum[C(2n-1-3C(1,n-9),k-2),{n,9,14}],{k,1,30}]+Table[C(29,k-1)+C(1,k),{k,1,30}] 5 * 6 [2] : 203 , 197 , 35 5 * 6 [3] : 1801 , 1727 , 532 5 * 6 [4] : 11418 , 11008 , 4979 5 * 6 [5] : 55469 , 54036 , 33001 5 * 6 [6] : 215265 , 211894 , 166616 5 * 6 [7] : 685784 , 680768 , 669248 5 * 6 [8] : 1827737 , 1825076 , 2200112 5 * 6 [9] : 4130886 , 4139080 , 6037184 5 * 6 [10] : 7995426 , 8023257 , 14026332 5 * 6 [11] : 13346984 , 13395944 , 27884372 5 * 6 [12] : 19312228 , 19372871 , 47808126 5 * 6 [13] : 24301031 , 24358063 , 71100756 5 * 6 [14] : 26642430 , 26684251 , 92095994 5 * 6 [15] : 25463979 , 25488051 , 104165490 6×7の場合 宝:1個 同等 宝:2〜12個 短軸有利 宝:13〜31個 長軸有利 宝:32〜42個 同等 □■■■■■■ □□■■■■■ □□□■■■■ □□□□■■■ □□□□□■■ □□□□□□■ 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+3C(0,n-4)+5C(0,n-7)+C(1,n-11)+C(1,n-13),k-1),{n,1,20}],{k,1,42}] 長軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,30mod n)-C(0,n-2 mod12)-2C(0,n-5)-3C(0,n-9)-C(1,n-12),k-1),{n,1,20}],{k,1,42}] 同等☆ Table[sum[C(2n-1-3C(1,n-14)-3C(0,n-13)-8C(0,n-12),k-2),{n,12,20}],{k,1,42}]+Table[C(41,k-1)+C(1,k),{k,1,42}] 6 * 7 [2] : 413 , 398 , 50 6 * 7 [3] : 5328 , 5070 , 1082 6 * 7 [4] : 49802 , 47536 , 14592 6 * 7 [5] : 361511 , 347863 , 141294 6 * 7 [6] : 2125414 , 2063677 , 1056695 6 * 7 [7] : 10409448 , 10191338 , 6377542 6 * 7 [8] : 43330401 , 42718984 , 31980800 6 * 7 [9] : 155608539 , 154251591 , 136031680 6 * 7 [10] : 487675145 , 485359843 , 498407985 6 * 7 [11] : 1345799489 , 1343074613 , 1591687274 6 * 7 [12] : 3293603485 , 3292560662 , 4471952741 6 * 7 [13] : 7189071864 , 7193592264 , 11136067152 6 * 7 [14] : 14059388483 , 14074085203 , 24726755394 6 * 7 [15] : 24725171790 , 24753058778 , 49194197048 6 * 7 [16] : 39214892052 , 39255073592 , 88039755958 6 * 7 [17] : 56218716543 , 56265877603 , 142177333010 6 * 7 [18] : 72972907098 , 73019303768 , 207704910184 6 * 7 [19] : 85862179541 , 85900953866 , 275012177393 6 * 7 [20] : 91643393740 , 91671084359 , 330477129321 6 * 7 [21] : 88747779232 , 88764701159 , 360745394049 7×8の場合 宝:1個 同等 宝:2〜16個 短軸有利 宝:17〜43個 長軸有利 宝:44〜56個 同等 □■■■■■■■ □□■■■■■■ □□□■■■■■ □□□□■■■■ □□□□□■■■ □□□□□□■■ □□□□□□□■ 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2 mod18)+3C(0,n-4)+3C(1,n-7)+7C(0,n-11)+C(1,n-16)+C(1,n-18),k-1),{n,1,27}],{k,1,56}] 長軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-1 mod14)+C(0,n-3 mod18)+3C(1,n-5)+3C(1,n-9)-19C(0,n-14)-C(1,n-17)-C(1,n-19),k-1),{n,1,27}],{k,1,56}] 同等☆ Table[sum[C(2n-1-3C(1,n-20)-3C(1,n-18)-8C(1,n-16),k-2),{n,16,27}],{k,1,56}]+Table[C(55,k-1)+C(1,k),{k,1,56}] 7 * 8 [2] : 751 , 722 , 67 7 * 8 [3] : 13213 , 12546 , 1961 7 * 8 [4] : 169815 , 161494 , 35981 7 * 8 [5] : 1708176 , 1634573 , 477067 7 * 8 [6] : 14026034 , 13521709 , 4920693 7 * 8 [7] : 96716833 , 93921622 , 41278945 7 * 8 [8] : 571625198 , 558773693 , 290095184 7 * 8 [9] : 2940723248 , 2890925540 , 1744319612 7 * 8 [10] : 13327198939 , 13162957237 , 9116895304 7 * 8 [11] : 53717709609 , 53254225291 , 41930280380 7 * 8 [12] : 194070976396 , 192951568390 , 171360762514 7 * 8 [13] : 632475500322 , 630177011156 , 627260220922 7 * 8 [14] : 1869295969469 , 1865362789969 , 2070073204362 7 * 8 [15] : 5032748390589 , 5027434867987 , 6193066240064 7 * 8 [16] : 12389874719763 , 12385213035831 , 16873864084671 7 * 8 [17] : 27980641402960 , 27981556314178 , 42035336024662 7 * 8 [18] : 58125229289763 , 58139877526913 , 96062882957224 7 * 8 [19] : 111326498505381 , 111364943071921 , 201964537970498 7 * 8 [20] : 196977669970830 , 197048666795639 , 391587225396961 7 * 8 [21] : 322510102010304 , 322617018858127 , 701638985697449 7 * 8 [22] : 489306306855569 , 489444206271532 , 1163831929136799 7 * 8 [23] : 688690248074025 , 688846020744196 , 1789759515397979 7 * 8 [24] : 900050700996225 , 900206640621300 , 2554774361679750 7 * 8 [25] : 1092975958236546 , 1093115221856691 , 3388349400127275 7 * 8 [26] : 1233862233565383 , 1233973593552186 , 4178612556991503 7 * 8 [27] : 1295273249461927 , 1295353120172050 , 4794316279376103 7 * 8 [28] : 1264553645519991 , 1264605044607097 , 5119531910633352 同等8 * 9 [18] : 14798849190259080 短軸8 * 9 [18] : 13325129660655316 長軸8 * 9 [18] : 13308110914669040 から誤差がある ■8x9マスで宝マックス72個テーブルも一瞬で表示 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+3C(0,n-4)+3C(1,n-7)+7C(0,n-11)+C(1,n-12)+9C(0,n-16)+C(1,n-22)+C(1,n-24)+C(1,n-26),k-1),{n,1,35}],{k,1,72}] {35, 1259, 28901, 487245, 6460920, 70274262, 645084445, 5101533131, 35303844988, 216412209627, 1186682990705, 5867639936202, 26336848147168, 107913286582509, 405577089880106, 1403922286907797, 4491874681282838, 13325129660655319, 36749474808714593, 94449719219262517, 226689450187793573, 509035059085166018, 1071176160573816479, 2115432026610089700, 3925691963352022341, 6853294513073859630, 11266129211141121742, 17454698843693046407, 25505307844551837326, 35172169563389617239, 45797547548960471211, 56330082290098069195, 65468524173196415705, 71914624215592018826, 74671243825552686388, 73292765675007905651, 68001993326895424179, 59631707476231518911, 49411792162802982783, 38676208214646507895, 28584945063602478482, 19938274802884300793, 13116714709717265237, 8132639200776732766, 4748278261200713338, 2608024858933092322, 1346074794408997564, 652006213752455743, 295956138898867441, 125683998661458955, 49842381651879601, 18418955705334457, 6327555809439679, 2015233315978833, 593168628408153, 160782910480936, 39968340729272, 9068194179784, 1867271369048, 346638007264, 57550022756, 8461928362, 1088598639, 120646033, 11286483, 866713, 52461, 2347, 69, 1, 0, 0} ■8x9マスで宝マックス72個テーブルも一瞬で表示 同等☆ Table[sum[C(2n-1-3C(0,n-28)-3C(1,n-26)-3C(1,n-24)-8C(0,n-23)-8C(1,n-21)-15C(0,n-20),k-2),{n,20,35}],{k,1,72}]+Table[C(71,k-1)+C(1,k),{k,1,72}] {2, 87, 3295, 78607, 1362299, 18460078, 204473689, 1907116083, 15299719813, 107274376311, 665613316422, 3691399441605, 18447776156424, 83642334863742, 346035607900560, 1312638938412806, 4584809892945575, 14798849190259082, 44283503920739404, 123188383908980963, 319353810087020272, 773186685811315639, 1751591017389233568, 3719181606403019809, 7412653767304185445, 13886128424486382893, 24477720915701752696, 40642683785697114854, 63620630278918684964, 93961096384315847204, 131013012205871839238, 172557237876989179559, 214781731322670114329, 252731141418076935138, 281209274772956576193, 295926350847761236653, 294548347126207473781, 277298087576831730532, 246896780442822393205, 207866926373152892934, 165440348653912344087, 124431016360680033348, 88399759656981333882, 59288415686663225877, 37514631338865127956, 22377473721141027910, 12572352774184755184, 6646249228402815124, 3302093433054131533, 1539874630017375451, 673008134822102446, 275211143609823985, 105099248767176058, 37401623133599593, 12373255757373154, 3794739201203181, 1075517359850959, 280687932668752, 67172923268624, 14670008286928, 2907185390840, 519288075532, 82935807842, 11727724279, 1450536738, 154505482, 13886622, 1024096, 59502, 2554, 72, 1} しかも誤差を修正済み いやぁ、この出力は圧巻ですね Haskell先生もびっくり しかし誤差あり 宝箱問題、 もとの 4x3 型の12部屋で宝箱の数を変えてみると 1と8以上で有利不利無し、それ以外は長軸優先有利となるな 初見での印象よりも随分奥深いなこれ 計算式お願いする プログラムで計算したので式はなんとも 4x5だと宝箱を増やすと途中で短軸有利から長軸有利に 変わっちゃうので自分でもびっくりした n=8くらいまでならマスのサイズを固定した場合、 宝を1からマックスまで変化させるロジックは完全に解明された □■■■■■■■■ □□★■■■■■■ □□□★■■■■■ □☆□□★■■■■ □□□□□■■■■ □□☆□□□■■■ □□□□□□□■■ □□□☆□□□□■ {69, 67, 65, 63, 61, 59, 57, 56, 52, 50, 48, 46, 44, 43, 42, 37, 35, 33, 32, 31, 30, 24, 23, 22, 21, 20, 15, 14, 13, 12, 8, 7, 6, 3, 2} 35項目、合計1210 8x9マス長軸は三角数の位置2 6 12 20 30 42 56で1上がっている つまり、最大マスから一回りづつ小さいマスの総数は全て数える 8x9マスでは8(8+1)/2-1=35 35項 >>4 [8,] 1259 1210 87 から合計1210 8 * 9 [2] : 1259 , 1210 , 87 8 * 9 [3] : 28901 , 27444 , 3295 8 * 9 [4] : 487245 , 462938 , 78607 8 * 9 [5] : 6460920 , 6168325 , 1362299 8 * 9 [6] : 70274262 , 67504568 , 18460078 8 * 9 [7] : 645084445 , 623551570 , 204473689 8 * 9 [8] : 5101533131 , 4960367131 , 1907116083 8 * 9 [9] : 35303844988 , 34509440319 , 15299719813 8 * 9 [10] : 216412209627 , 212525346318 , 107274376311 8 * 9 [11] : 1186682990705 , 1169989129225 , 665613316422 8 * 9 [12] : 5867639936202 , 5804244923649 , 3691399441605 8 * 9 [13] : 26336848147168 , 26122841703128 , 18447776156424 8 * 9 [14] : 107913286582509 , 107268699582069 , 83642334863742 8 * 9 [15] : 405577089880106 , 403841343528838 , 346035607900560 8 * 9 [16] : 1403922286907797 , 1399743796844505 , 1312638938412806 8 * 9 [17] : 4491874681282838 , 4482908439962531 , 4584809892945575 8 * 9 [18] : 13325129660655316 , 13308110914669040 , 14798849190259080 8 * 9 [19] : 36749474808714576 , 36721381656941040 , 44283503920739408 8 * 9 [20] : 94449719219262544 , 94410951895703376 , 123188383908980944 8 * 9 [21] : 226689450187793600 , 226649637879721216 , 319353810087020288 8 * 9 [22] : 509035059085166144 , 509020882643576960 , 773186685811315328 8 * 9 [23] : 1071176160573816448 , 1071238534080555904 , 1751591017389233920 8 * 9 [24] : 2115432026610089728 , 2115648029075918592 , 3719181606403020288 8 * 9 [25] : 3925691963352023040 , 3926156660554725888 , 7412653767304184832 8 * 9 [26] : 6853294513073858560 , 6854100615782599680 , 13886128424486381568 8 * 9 [27] : 11266129211141124096 , 11267338149222707200 , 24477720915701743616 8 * 9 [28] : 17454698843693041664 , 17456312814286665728 , 40642683785697116160 8 * 9 [29] : 25505307844551831552 , 25507254963487424512 , 63620630278918684672 8 * 9 [30] : 35172169563389628416 , 35174310810267590656 , 93961096384315801600 ■8x9マス長軸テーブル外せば出力可能 sum[C(2n-1+C(0,3mod n)+C(0,n-6 mod15)+C(0,n-10 mod18)+C(0,n-15)-C(0,n-5 mod22)-3C(0,n-9)-3C(1,n-13)-7C(0,n-20)-C(1,n-23)-C(1,n-25),k-1),{n,1,35}],k=16 1399743796844505 >>20 8 * 9 [16] : 1399743796844505 k=26, 6854100615782599621 8 * 9 [26] : 6854100615782599680 Table[sum[C(2n-1+α,k-1),{n,1,a}],{k,1,b}] a=n(n+1)/2-1 b=n(n+1) を満たす差分追尾数列αを見つけてくれ〜(・ω・)ノ 0qc3OXjXwBt1HD7Mt228BdYw7VinFEl43Zoc9tkhSu6hmEi1WEZ6OqB3FSe3k7L0qXrj8fNHrzBhhPTzD8WhAjrDXv1k55mQkf5uiOqjKuWUGgYFZuNZUagqAX9wNZzwaH4BlgoDtLscwycAwYQ7tuMa9CoGneWU5TXTTYEhxrUUJB0qmsR19UqgNcuwuN3oX8QyXNG 43bDtYxhwTZApiRugaYbzsFfDKZmuR212sTlb3HrYDe9jytaLBgeojHWZxPkzLDqO3djDHR4YEE7wySKMFA1WfilujRqD7izkWmcUWhFiRZrxFJAByshrPMNynEJEpGtdOg7Qx1jjMcB2nGphazIOhgkUuKFgGIiMh65hqcNYbtLdSVeTIncn2bR8pUncW95wGWymgC0 J8hGG9KXTgycc8wu65xqHO4p5z5oqxLBQRZuY5NdFK6pM1UaaUzIAlBvvWS49LKCsiIbUDX0KKFIWjAdkRpo4aZkTjXtlBABqjBeDgeH64Kv8QRCkv4NklJWJU6uagXQG8uqws2ZLhzyEs04D6ycyNc9s3LAeDaywG9mQ3jlBFhHE7ba2qlDJlN9ixypMXRleRQZWryk 5f1wRmcZzXXh9xqvyHtHqtXG06b6iQ5OhfrAUZwU8Scwkh52X7iNRot4vwSfMrmjYoGlVIvhK9djdlkiGy03ly9O6SmKKfkBYZJCK8zLNCJux0nBGVJWVe90kIjRFBTCjOfe11bfeVXfLUM9mLp0zyFrfY4a1dC7nS9pShB2iDxRGp6Vn2SlReeXnc6mqJ6KfhY9L8gR 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2 のドミノで埋める場合の数を考えます たとえば、2x2の正方形を1x2のドミノで埋める場合の数は、2通りです 4x4の正方形を1x2のドミノで埋める場合の数は、36通りです 一般に、n=0,1,2,3,,,,のとき、 1, 2, 36, 6728, 12988816, 258584046368,,, となり、一般項は、 Π[j=1 to n]Π[k=1 to n]{4cos^2 πj/(2n+1)+4cos^2 πk/(2n+1)} となるようなのですが、 どのようにその公式が導かれるのでしょうか? wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Domino_tiling によると Temperley & Fisher (1961) and Kasteleyn (1961) によって独立に発見されたとある 多分元論文は Temperley, H. N. V.; Fisher, Michael E. (1961), "Dimer problem in statistical mechanics-an exact result", Philosophical Magazine, 6 (68): 1061-1063, doi:10.1080/14786436108243366 Kasteleyn, P. W. (1961), "The statistics of dimers on a lattice. I. The number of dimer arrangements on a quadratic lattice", Physica, 27 (12): 1209-1225, Bibcode:1961Phy....27.1209K, doi:10.1016/0031-8914(61)90063-5. 原論文読むのが早い これに証明載ってるかも https://inis.iaea.org/collection/NCLCollectionStore/_Public/38/098/38098203.pdf?r=1& ;r=1 Section2 A famous result of Kasteleyn [8] and Temperley and Fisher [18] counts the number of domino tilings of a chessboard (or any other rectangular region). In this section we explain Kasteleyn's proof. 「ドミノによるタイル張り」(京大・理) 36p. http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/ ~kazushi/proceedings/domino.pdf 「長方形領域のドミノタイル張りについて」(青学大・理工) 17p. http://www.gem.aoyama.ac.jp/ ~kyo/sotsuken/2010/fujino_sotsuron_2010.pdf ■平面充填(へいめんじゅうてん) 平面内を有限種類の平面図形(タイル)で隙間なく敷き詰める操作である 敷き詰めたタイルからなる平面全体を平面充填形という 平面敷き詰め、タイル貼り、タイリング (tiling) 、テセレーション (tessellation) ともいう ただし「平面」を明言しない場合は、曲面充填や、 場合によっては2次元以外の空間の充填を含む 広義のテセレーション等については、空間充填を参照 平面充填は広義の空間充填の一種で、2次元ユークリッド空間の 充填である 多面体は多角形による球面充填(曲面充填の一種)と 考えることができる そのため、多角形による平面充填は多面体と共通点が多く、 便宜上多面体に含めて論じられることもある ルジンの問題(Luzin - のもんだい)とは、 正方形に関してニコライ・ルジン (Nikolai Luzin) が考えた問題である 「任意の正方形を、2個以上の全て異なる大きさの正方形に分割できるか」 という問題であり、ルジンはこの問題の解は存在しないと予想したが、 その後幾つかの例が発見された 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 24, 25, 27, 29, 33, 35, 37, 42, 50 の 計21枚の正方形 Table[C(0,n-2 mod18)+3C(0,n-4)+3C(1,n-7)+7C(0,n-11)+C(1,n-16)+C(1,n-18),{n,1,27}] {0, 1, 0, 3, 0, 0, 3, 3, 0, 0, 7, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0} こういう数列を簡単に作る方法は? Table[{1-n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)(n-6)(n-7)(n-8)(n-9)(n-10)(n-11)(n-12)/13!}/4,{n,0,13}] Table[(1-C(0,n-13))/4,{n,0,13}] 同じ出力で遥かに式を短くできる 56を2進法表記で桁をリストアップし, リスト長が8になるようにリストの左側にゼロを足し加える: In[3]:=IntegerDigits[56, 2, 8] Out[3]={0,0,1,1,1,0,0,0} FromDigits[{1,0,1,0,0,1,0,0,0}, 2] 328 Table[2n-1,{n,1,9}]+IntegerDigits[328, 2, 9] {2, 3, 6, 7, 9, 12, 13, 15, 17} 3を法としたときの剰余: Mod[{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, 3] {1,2,0,1,2,0,1} 2進値リストからもとの数を再生する: IntegerDigits[56, 2, 8]; FromDigits[%, 2] a_n=1/4((-1)^n-(1+2i)(-i)^n-(1-2i)i^n+9) 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 『与えられた数より小さい素数の個数について』 Chu-Vandermonde identity n個のものからk個取り出す場合の数と k個取り残す場合の数は等しい C(n,k)=C(n,n-k) ■平方完成 y=ax^2-(-a+2)x-a-a+2 =a(x^2-(-a+2)x/a)-a-a+2 =a{(x-(-a+2)/(2a))^2-(-a+2)^2/(4a^2)}-a-a+2 =a(x-(-a+2)/(2a))^2-(-a+2)^2/(4a)-a-a+2 =a(x-(-a+2)/(2a))^2-(-a+2)^2/(4a)-2a+2 =a(x-(-a+2)/(2a))^2-(a^2-4a+4)/(4a)-2a+2 =a(x-(-a+2)/(2a))^2-(a^2-4a+4)/(4a)-(8a^2)/(4a)+(8a)/(4a) =a(x-(-a+2)/(2a))^2-(a^2-4a+4+8a^2-8a)/(4a) =a(x-(-a+2)/(2a))^2-(9a^2-12a+4)/(4a) トランプの束がある 2〜10までの数字が描かれたカードが各スートに1枚ずつと、 ジョーカーのカードが24枚ある 全てを混ぜて無作為に切り直して12枚のカードを無作為に引いたとき その12枚のカードのうちジョーカー以外にいずれも違う数字が 書かれている確率はいくらか Sum[choose(24,k)*choose(9,12-k)*4^(12-k),{k,3,12}]/(choose(60,12)) Sum[C(24,k)C(9,12-k)4^(12-k),{k,3,12}]/(C(60,12)) 出力 7371811052/66636135475 FromDigits[{1,0,1,0,0,1,0,0}, 2] 164 ガンマ関数とベータ関数 https://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/ ~nkiyono/2006/miya-gamma.pdf 第一種の合流型超幾何関数(クンマー) 1F1[a; b; z] = 1+Σ[k=1, ∞] {a(a+1)・・・・(a+k-1)/b(b+1)・・・・(b+k-1)} z^k/k! 1F1[-n; -2n; z] = {n!/(2n)!} Σ[k=0, n] {(2n-k)!/(n-k)!k!} z^k ブリストル大学の数学者Andrew Booker氏が、 33を3つの立方数の合計で表すこと、すなわち 33=x^3+y^3+z^3という方程式の解を求めることに成功した (8866128975287528)^3+(-8778405442862239)^3+(-2736111468807040)^3=33 https://fabcross.jp/news/2019/20190507_33.html Table[choose(17,k-1)+choose(15,k-1)+choose(13,k-1)+choose(11,k-1)+choose(10,k-1)+choose(8,k-1)+choose(5,k-1)+choose(4,k-1)+choose(1,k-1),{k,1,20}] chooseを一つにした式に変形できますか? 三つならできた 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+C(1,n-4),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] Table[C(0,n-2 mod4),{n,1,10}] {0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1} 長軸有利☆ Table[C(9,k-1)+C(7,k-1)+C(6,k-1)+C(3,k-1)+C(2,k-1),{k,1,12}] Table[sum[C(2n-1+C(0,n-1)+C(0,n-3),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}] Table[sum[C(2n-1+C(0,3mod n),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}] {5, 27, 76, 140, 176, 153, 92, 37, 9, 1, 0, 0} 同じ出力で式が短くなってゆく Table[C(0,2mod n),{n,1,10}] {1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0} Table[C(0,3mod n),{n,1,10}] {1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0} Table[C(0,4mod n),{n,1,10}] {1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0} Table[C(0,5mod n),{n,1,10}] {1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0} Table[C(0,6mod n),{n,1,10}] {1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0} Table[C(0,7mod n),{n,1,10}] {1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0} Table[C(0,8mod n),{n,1,10}] {1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0} Table[C(0,9mod n),{n,1,10}] {1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0} 【即時】金券五百円分とすかいらーく券を即ゲット https://pbs.twimg.com/media/D9F0S6KUcAAk_1s.jpg 1. スマホでたいむばんくを入手 iOS https://t.co/ik17bynKNT Android https://t.co/uxTzFEk2ee 2. 会員登録を済ませる 3. マイページへ移動する 4. 紹介コード → 入力する [Rirz Tu](空白抜き) 今なら更に16日23:59までの登録で倍額の600円を入手可 両方ゲットしてもおつりが来ます 数分で終えられるのでぜひお試し下さい 👀 Rock54: Caution(BBR-MD5:b73a9cd27f0065c395082e3925dacf01) 短軸有利☆ Table[C(9,k-1)+C(7,k-1)+C(5,k-1)+C(4,k-1)+C(1,k-1),{k,1,12}] Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}] {5, 26, 73, 133, 167, 148, 91, 37, 9, 1, 0, 0} k-1を一つにして式を短縮 0qc3OXjXwBt1HD7Mt228BdYw7VinFEl43Zoc9tkhSu6hmEi1WEZ6OqB3FSe3k7L0qXrj8fNHrzBhhPTzD8WhAjrDXv1k55mQkf5uiOqjKuWUGgYFZuNZUagqAX9wNZzwaH4BlgoDtLscwycAwYQ7tuMa9CoGneWU5TXTTYEhxrUUJB0qmsR19UqgNcuwuN3oX8QyXNG 43bDtYxhwTZApiRugaYbzsFfDKZmuR212sTlb3HrYDe9jytaLBgeojHWZxPkzLDqO3djDHR4YEE7wySKMFA1WfilujRqD7izkWmcUWhFiRZrxFJAByshrPMNynEJEpGtdOg7Qx1jjMcB2nGphazIOhgkUuKFgGIiMh65hqcNYbtLdSVeTIncn2bR8pUncW95wGWymgC0 J8hGG9KXTgycc8wu65xqHO4p5z5oqxLBQRZuY5NdFK6pM1UaaUzIAlBvvWS49LKCsiIbUDX0KKFIWjAdkRpo4aZkTjXtlBABqjBeDgeH64Kv8QRCkv4NklJWJU6uagXQG8uqws2ZLhzyEs04D6ycyNc9s3LAeDaywG9mQ3jlBFhHE7ba2qlDJlN9ixypMXRleRQZWryk 5f1wRmcZzXXh9xqvyHtHqtXG06b6iQ5OhfrAUZwU8Scwkh52X7iNRot4vwSfMrmjYoGlVIvhK9djdlkiGy03ly9O6SmKKfkBYZJCK8zLNCJux0nBGVJWVe90kIjRFBTCjOfe11bfeVXfLUM9mLp0zyFrfY4a1dC7nS9pShB2iDxRGp6Vn2SlReeXnc6mqJ6KfhY9L8gR G1SMJQYyXNSnrSkV2JyMHPsH4umT9610YnFgDQnLn67betRIHPmdDewhiu5kGTYKxytAxhC1qJPuOVRw5q7ZpELCBwYEixZs6kmHkla4fdAZ5HQw7xnySrJ28cGOloZuerh0QEG6xb3JxuzHxFGdBWtgEy5decyx9iZpMlo5QVT14hFNLnp0zlcAGUfEdxAMjUP3lHkv UHzFXQXLWlU2JyYfOkcUjg40eeXu8e77qS4rgvjHWwxRbA1IKsNmn3CR9ePAuumjHnrWXeVuNStOENI4pHd7a7EwvoL8D7oenfbfeVoMT4Jho808YluyiYSEkfV5E6qPA5SiIWgl3G2zIc1NGsEW0nQuGTP504IXiRebMTKIEZyBdIqgQg1tOUYg7LzaYKiKixwj59ph cILXg6ToA2TskeIlZraUTbzQ5PkR9lGnJjBFN7aSfv8vkCEpe9hYmrfF47H0RcNX5k3Y3i5xgHKhiNu5T8GeXfcYWpG6eLzIDAFy8DF39cqoofzCDnk8Ogt5q2H4cQNTgsDQDYYmFl2kKkYeX6CZ9LQruT8LprERVMyn0lUCYqfO4sQqWCu8kiVnpdZgd9QqdVcOT639 SDK4t8ql63OVBPRjJe2DvhC0BHjXErI2RCeGdMeBPD539aNqdFVIPGHN1NIVVDyTM4gfJbnFDgC5slKjSO17coT9jUfpOvezlHg9lXM95eftZiKzTx36T6C88TnssEI0tM3SKlDidfP9neTR3feD1cDGkYAzaPDCjyD4a2OcqNChan0XweFrq0xqQYc6Oi6am5DWfurQ Kvr3idZa3OUlonClNyGyT3u2Xrtde47Cr6m4tG1j7AurlCjmUXvLPaQDQLlhymjaNIkWblKiKeVhk601XohEk7mNq3FyXjLGTJjx4csGI9MHt9vijbaaAQMFGIi8A28SQA1Ie3oELhvKeuLzK9ZYmGMEVqj4GtOgB719u1e1KHHqpfnGgwmMFMpRTjoTrEl4f9KFathh kjasjfkajkljfklajjfjksdjksjalkjflkjasjfkjasjfkjajjs2333354994998989029929050295895028902802058299202095898582982092029209029029 sgssl;slg;ld;1 0qc3OXjXwBt1HD7Mt228BdYw7VinFEl43Zoc9tkhSu6hmEi1WEZ6OqB3FSe3k7L0qXrj8fNHrzBhhPTzD8WhAjrDXv1k55mQkf5uiOqjKuWUGgYFZuNZUagqAX9wNZzwaH4BlgoDtLscwycAwYQ7tuMa9CoGneWU5TXTTYEhxrUUJB0qmsR19UqgNcuwuN3oX8QyXNG 43bDtYxhwTZApiRugaYbzsFfDKZmuR212sTlb3HrYDe9jytaLBgeojHWZxPkzLDqO3djDHR4YEE7wySKMFA1WfilujRqD7izkWmcUWhFiRZrxFJAByshrPMNynEJEpGtdOg7Qx1jjMcB2nGphazIOhgkUuKFgGIiMh65hqcNYbtLdSVeTIncn2bR8pUncW95wGWymgC0 J8hGG9KXTgycc8wu65xqHO4p5z5oqxLBQRZuY5NdFK6pM1UaaUzIAlBvvWS49LKCsiIbUDX0KKFIWjAdkRpo4aZkTjXtlBABqjBeDgeH64Kv8QRCkv4NklJWJU6uagXQG8uqws2ZLhzyEs04D6ycyNc9s3LAeDaywG9mQ3jlBFhHE7ba2qlDJlN9ixypMXRleRQZWryk 5f1wRmcZzXXh9xqvyHtHqtXG06b6iQ5OhfrAUZwU8Scwkh52X7iNRot4vwSfMrmjYoGlVIvhK9djdlkiGy03ly9O6SmKKfkBYZJCK8zLNCJux0nBGVJWVe90kIjRFBTCjOfe11bfeVXfLUM9mLp0zyFrfY4a1dC7nS9pShB2iDxRGp6Vn2SlReeXnc6mqJ6KfhY9L8gR G1SMJQYyXNSnrSkV2JyMHPsH4umT9610YnFgDQnLn67betRIHPmdDewhiu5kGTYKxytAxhC1qJPuOVRw5q7ZpELCBwYEixZs6kmHkla4fdAZ5HQw7xnySrJ28cGOloZuerh0QEG6xb3JxuzHxFGdBWtgEy5decyx9iZpMlo5QVT14hFNLnp0zlcAGUfEdxAMjUP3lHkv UHzFXQXLWlU2JyYfOkcUjg40eeXu8e77qS4rgvjHWwxRbA1IKsNmn3CR9ePAuumjHnrWXeVuNStOENI4pHd7a7EwvoL8D7oenfbfeVoMT4Jho808YluyiYSEkfV5E6qPA5SiIWgl3G2zIc1NGsEW0nQuGTP504IXiRebMTKIEZyBdIqgQg1tOUYg7LzaYKiKixwj59ph cILXg6ToA2TskeIlZraUTbzQ5PkR9lGnJjBFN7aSfv8vkCEpe9hYmrfF47H0RcNX5k3Y3i5xgHKhiNu5T8GeXfcYWpG6eLzIDAFy8DF39cqoofzCDnk8Ogt5q2H4cQNTgsDQDYYmFl2kKkYeX6CZ9LQruT8LprERVMyn0lUCYqfO4sQqWCu8kiVnpdZgd9QqdVcOT639 SDK4t8ql63OVBPRjJe2DvhC0BHjXErI2RCeGdMeBPD539aNqdFVIPGHN1NIVVDyTM4gfJbnFDgC5slKjSO17coT9jUfpOvezlHg9lXM95eftZiKzTx36T6C88TnssEI0tM3SKlDidfP9neTR3feD1cDGkYAzaPDCjyD4a2OcqNChan0XweFrq0xqQYc6Oi6am5DWfurQ Kvr3idZa3OUlonClNyGyT3u2Xrtde47Cr6m4tG1j7AurlCjmUXvLPaQDQLlhymjaNIkWblKiKeVhk601XohEk7mNq3FyXjLGTJjx4csGI9MHt9vijbaaAQMFGIi8A28SQA1Ie3oELhvKeuLzK9ZYmGMEVqj4GtOgB719u1e1KHHqpfnGgwmMFMpRTjoTrEl4f9KFathh kjasjfkajkljfklajjfjksdjksjalkjflkjasjfkjasjfkjajjs2333354994998989029929050295895028902802058299202095898582982092029209029029 sgssl;slg;ld;1 0qc3OXjXwBt1HD7Mt228BdYw7VinFEl43Zoc9tkhSu6hmEi1WEZ6OqB3FSe3k7L0qXrj8fNHrzBhhPTzD8WhAjrDXv1k55mQkf5uiOqjKuWUGgYFZuNZUagqAX9wNZzwaH4BlgoDtLscwycAwYQ7tuMa9CoGneWU5TXTTYEhxrUUJB0qmsR19UqgNcuwuN3oX8QyXNG 43bDtYxhwTZApiRugaYbzsFfDKZmuR212sTlb3HrYDe9jytaLBgeojHWZxPkzLDqO3djDHR4YEE7wySKMFA1WfilujRqD7izkWmcUWhFiRZrxFJAByshrPMNynEJEpGtdOg7Qx1jjMcB2nGphazIOhgkUuKFgGIiMh65hqcNYbtLdSVeTIncn2bR8pUncW95wGWymgC0 J8hGG9KXTgycc8wu65xqHO4p5z5oqxLBQRZuY5NdFK6pM1UaaUzIAlBvvWS49LKCsiIbUDX0KKFIWjAdkRpo4aZkTjXtlBABqjBeDgeH64Kv8QRCkv4NklJWJU6uagXQG8uqws2ZLhzyEs04D6ycyNc9s3LAeDaywG9mQ3jlBFhHE7ba2qlDJlN9ixypMXRleRQZWryk 5f1wRmcZzXXh9xqvyHtHqtXG06b6iQ5OhfrAUZwU8Scwkh52X7iNRot4vwSfMrmjYoGlVIvhK9djdlkiGy03ly9O6SmKKfkBYZJCK8zLNCJux0nBGVJWVe90kIjRFBTCjOfe11bfeVXfLUM9mLp0zyFrfY4a1dC7nS9pShB2iDxRGp6Vn2SlReeXnc6mqJ6KfhY9L8gR G1SMJQYyXNSnrSkV2JyMHPsH4umT9610YnFgDQnLn67betRIHPmdDewhiu5kGTYKxytAxhC1qJPuOVRw5q7ZpELCBwYEixZs6kmHkla4fdAZ5HQw7xnySrJ28cGOloZuerh0QEG6xb3JxuzHxFGdBWtgEy5decyx9iZpMlo5QVT14hFNLnp0zlcAGUfEdxAMjUP3lHkv 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UHzFXQXLWlU2JyYfOkcUjg40eeXu8e77qS4rgvjHWwxRbA1IKsNmn3CR9ePAuumjHnrWXeVuNStOENI4pHd7a7EwvoL8D7oenfbfeVoMT4Jho808YluyiYSEkfV5E6qPA5SiIWgl3G2zIc1NGsEW0nQuGTP504IXiRebMTKIEZyBdIqgQg1tOUYg7LzaYKiKixwj59ph cILXg6ToA2TskeIlZraUTbzQ5PkR9lGnJjBFN7aSfv8vkCEpe9hYmrfF47H0RcNX5k3Y3i5xgHKhiNu5T8GeXfcYWpG6eLzIDAFy8DF39cqoofzCDnk8Ogt5q2H4cQNTgsDQDYYmFl2kKkYeX6CZ9LQruT8LprERVMyn0lUCYqfO4sQqWCu8kiVnpdZgd9QqdVcOT639 SDK4t8ql63OVBPRjJe2DvhC0BHjXErI2RCeGdMeBPD539aNqdFVIPGHN1NIVVDyTM4gfJbnFDgC5slKjSO17coT9jUfpOvezlHg9lXM95eftZiKzTx36T6C88TnssEI0tM3SKlDidfP9neTR3feD1cDGkYAzaPDCjyD4a2OcqNChan0XweFrq0xqQYc6Oi6am5DWfurQ Kvr3idZa3OUlonClNyGyT3u2Xrtde47Cr6m4tG1j7AurlCjmUXvLPaQDQLlhymjaNIkWblKiKeVhk601XohEk7mNq3FyXjLGTJjx4csGI9MHt9vijbaaAQMFGIi8A28SQA1Ie3oELhvKeuLzK9ZYmGMEVqj4GtOgB719u1e1KHHqpfnGgwmMFMpRTjoTrEl4f9KFathh kjasjfkajkljfklajjfjksdjksjalkjflkjasjfkjasjfkjajjs2333354994998989029929050295895028902802058299202095898582982092029209029029 sgssl;slg;ld;1 0qc3OXjXwBt1HD7Mt228BdYw7VinFEl43Zoc9tkhSu6hmEi1WEZ6OqB3FSe3k7L0qXrj8fNHrzBhhPTzD8WhAjrDXv1k55mQkf5uiOqjKuWUGgYFZuNZUagqAX9wNZzwaH4BlgoDtLscwycAwYQ7tuMa9CoGneWU5TXTTYEhxrUUJB0qmsR19UqgNcuwuN3oX8QyXNG 43bDtYxhwTZApiRugaYbzsFfDKZmuR212sTlb3HrYDe9jytaLBgeojHWZxPkzLDqO3djDHR4YEE7wySKMFA1WfilujRqD7izkWmcUWhFiRZrxFJAByshrPMNynEJEpGtdOg7Qx1jjMcB2nGphazIOhgkUuKFgGIiMh65hqcNYbtLdSVeTIncn2bR8pUncW95wGWymgC0 J8hGG9KXTgycc8wu65xqHO4p5z5oqxLBQRZuY5NdFK6pM1UaaUzIAlBvvWS49LKCsiIbUDX0KKFIWjAdkRpo4aZkTjXtlBABqjBeDgeH64Kv8QRCkv4NklJWJU6uagXQG8uqws2ZLhzyEs04D6ycyNc9s3LAeDaywG9mQ3jlBFhHE7ba2qlDJlN9ixypMXRleRQZWryk 5f1wRmcZzXXh9xqvyHtHqtXG06b6iQ5OhfrAUZwU8Scwkh52X7iNRot4vwSfMrmjYoGlVIvhK9djdlkiGy03ly9O6SmKKfkBYZJCK8zLNCJux0nBGVJWVe90kIjRFBTCjOfe11bfeVXfLUM9mLp0zyFrfY4a1dC7nS9pShB2iDxRGp6Vn2SlReeXnc6mqJ6KfhY9L8gR G1SMJQYyXNSnrSkV2JyMHPsH4umT9610YnFgDQnLn67betRIHPmdDewhiu5kGTYKxytAxhC1qJPuOVRw5q7ZpELCBwYEixZs6kmHkla4fdAZ5HQw7xnySrJ28cGOloZuerh0QEG6xb3JxuzHxFGdBWtgEy5decyx9iZpMlo5QVT14hFNLnp0zlcAGUfEdxAMjUP3lHkv UHzFXQXLWlU2JyYfOkcUjg40eeXu8e77qS4rgvjHWwxRbA1IKsNmn3CR9ePAuumjHnrWXeVuNStOENI4pHd7a7EwvoL8D7oenfbfeVoMT4Jho808YluyiYSEkfV5E6qPA5SiIWgl3G2zIc1NGsEW0nQuGTP504IXiRebMTKIEZyBdIqgQg1tOUYg7LzaYKiKixwj59ph cILXg6ToA2TskeIlZraUTbzQ5PkR9lGnJjBFN7aSfv8vkCEpe9hYmrfF47H0RcNX5k3Y3i5xgHKhiNu5T8GeXfcYWpG6eLzIDAFy8DF39cqoofzCDnk8Ogt5q2H4cQNTgsDQDYYmFl2kKkYeX6CZ9LQruT8LprERVMyn0lUCYqfO4sQqWCu8kiVnpdZgd9QqdVcOT639 SDK4t8ql63OVBPRjJe2DvhC0BHjXErI2RCeGdMeBPD539aNqdFVIPGHN1NIVVDyTM4gfJbnFDgC5slKjSO17coT9jUfpOvezlHg9lXM95eftZiKzTx36T6C88TnssEI0tM3SKlDidfP9neTR3feD1cDGkYAzaPDCjyD4a2OcqNChan0XweFrq0xqQYc6Oi6am5DWfurQ Kvr3idZa3OUlonClNyGyT3u2Xrtde47Cr6m4tG1j7AurlCjmUXvLPaQDQLlhymjaNIkWblKiKeVhk601XohEk7mNq3FyXjLGTJjx4csGI9MHt9vijbaaAQMFGIi8A28SQA1Ie3oELhvKeuLzK9ZYmGMEVqj4GtOgB719u1e1KHHqpfnGgwmMFMpRTjoTrEl4f9KFathh kjasjfkajkljfklajjfjksdjksjalkjflkjasjfkjasjfkjajjs2333354994998989029929050295895028902802058299202095898582982092029209029029 sgssl;slg;ld;1 ComplexExpand[(1+E^(I(1+n)Pi)+2n)/4] ■連続投稿・重複 連続投稿・コピー&ペースト 連続投稿で利用者の会話を害しているものは削除対象になります 個々の内容に違いがあっても、荒らしを目的としていると判断したものは同様です コピー&ペーストやテンプレートの存在するものは、アレンジが施してあれば 残しますが、全く変更されていない・一部のみの変更で内容の変わらないもの、 スレッドの趣旨と違うもの、不快感を与えるのが目的なもの、 などは荒らしの意図があると判断して削除対象になります ※お手数ですが削除依頼できる方お願いします<(_ _)> ■DoS攻撃(ドスこうげき)(英:Denial of Service attack) 情報セキュリティにおける可用性を侵害する攻撃手法で、 ウェブサービスを稼働しているサーバやネットワークなどの リソース(資源)に意図的に過剰な負荷をかけたり 脆弱性をついたりする事でサービスを妨害する攻撃、 サービス妨害攻撃である >>1 は関係ないスレゴミを書き込むキチガイです。対応できるかたアクセス禁止をお願いします。 【ロビーのお約束】 削除の要件(禁止されること) 荒らし依頼・ブラクラの張付け等第3者に迷惑がかかる行為 アダルト広告・勧誘・悪質な掲示板宣伝などのアドレス等張りつけ 煽り・煽りに対する返答・叩き・誹謗中傷等(差別発言等含む) コピペ・アスキーアート等必要以上の張り付け または 第3者に迷惑が掛かる行為や発言であった場合は削除対象にします ■掲示板・スレッドの趣旨とは違う投稿 レス・発言 スレッドの趣旨から外れすぎ、議論または会話が成立しないほどの 状態になった場合は削除対象になります 故意にスレッドの運営・成長を妨害していると判断した場合も同様です ■投稿目的による削除対象 レス・発言 議論を妨げる煽り、不必要に差別の意図をもった発言、 第三者を不快にする暴言や排他的馴れ合い、 同一の内容を複数行書いたもの、 過度な性的妄想・下品である、等は削除対象とします 確率空間においては, A ∈ F を事象 (event) と呼ぶ. 100!中の二進数字の桁数を求める: In[1]:=IntegerLength[100!, 2] Out[1]=525 ((-1)^n)(((-1)^n)n+n+4(-1)^n+2)/2 1 5 1 7 1 9 1 11 1 13 1 15 1 17 1 かなりエレガント☆ てめーが、糞まきちらしておいて俺は被害者だー、馬鹿乙 短軸有利☆ Table[C(9,k-1)+C(7,k-1)+C(5,k-1)+C(4,k-1)+C(1,k-1),{k,1,12}] Cの数は宝一つの時の当たり数の5 9+7+5+4+1=26は宝二個の時の当たり数になる 長軸有利☆ Table[C(9,k-1)+C(7,k-1)+C(6,k-1)+C(3,k-1)+C(2,k-1),{k,1,12}] Cの数は宝一つの時の当たり数の5 9+7+6+3+2=27は宝二個の時の当たり数になる 同様に20マスの場合は 短軸有利のCの数は宝一つの時の当たり数の9 17+15+13+11+10+8+5+4+1=84 長軸有利のCの数は宝一つの時の当たり数の9 17+15+13+12+8+7+6+3+2=83 短軸有利☆ Table[C(9,k-1)+C(7,k-1)+C(5,k-1)+C(4,k-1)+C(1,k-1),{k,1,12}] Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}] {5, 26, 73, 133, 167, 148, 91, 37, 9, 1, 0, 0} k-1を一つにして式を短縮 合流型超幾何微分方程式 (confluent hypergeometric differential equation) ■■■■■■■■■■■ ■□□□□□□□□□■ ■□■■■■■■■□■ ■□■□□□□□■□■ ■□■□■■■□■□■ ■□■□■□□□■□■ ■□■□■■■■■□■ ■□■□□□□□□□■ ■□■■■■■■■■■ ■■■■■■ □□□□□■ □■■■□■ □■□□□■ □■■■■■ 'Let's Make a Deal' host Monty Hall dies aged 96 ITV News-2017/09/30 Monty Hall, one of the US's most popular television game show hosts, has died aged 96, his son has said. Born Monte Halperin on 25 August 1921, for nearly three decades Hall hosted 'Let's Make a Deal', the hugely successful television show that he co-created. 1-(165n-3n^2+351)/(208n-7n^2+468) (4n+9)(n-13)/(7n^2-208n-468) ・マクローリン展開 入力例:series[tan x] 合流型超幾何関数 歴史的には、18世紀に Euler が初めて超幾何微分方程式と その解の研究を手掛けた 19世紀初頭になると、J. C. F. Gauss や N. H. Abel 等によって 級数の収束性についての厳密な理論が展開され、 超幾何級数にも応用された 19世紀中葉では複素解析学が整備され、 G. F. B. Riemann などの著名な数学者によって、 複素領域で定義された線形常微分方程式の解となる 関数の大域的理論や多価関数としての構造が深く研究された https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540218853/161,194-198 に書いてある事がちゃんと読めれば 宝の数が何個になっても 場合わけ+多項式で記述できるのはすぐわかる 読めよ 数学板なんだから ↑ これだと宝二個の多項式しか作れない しかも偶数と奇数が分離していて美しくない 解答としては不十分 ■目からウロコ!の最短ロジックはこちら https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560604951/2-4 思考を小学生モードにすることにより 数式処理ソフトのSageMathなしで 偶数と奇数の分離しない回答に最短で到達! ■https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540218853/161 二つの関数を一つに合成する P1st (6n^3+20n^2-n-27)(n-1)/24 (奇数)……@ (6n^4+14n^3-21n^2-26n+24)/24 (偶数)……A Q1st (6n^2+10n-3)(n+1)(n-1)/24 (奇数)……B (6n^2-2n-5)(n+2)n/24 (偶数)……C 奇数[1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0]のみ出力する関数は ((-1)^(n+1)+1)/2 ……D 偶数[0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1]のみ出力する関数は ((-1)^n+1)/2 ……E @xD+AxE ((6n^3+20n^2-n-27)(n-1)/24)(((-1)^(n+1)+1)/2)+((6n^4+14n^3-21n^2-26n+24)/24)(((-1)^n+1)/2) ∴P1st ={12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51}/48 BxD+CxE ((6n^2+10n-3)(n+1)(n-1)/24)(((-1)^(n+1)+1)/2)+((6n^2-2n-5)(n+2)n/24)(((-1)^n+1)/2) ∴Q1st ={12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3}/48 >>4 と一致Match ■Obituary - John Forbes Nash, Jr. (1928 - 2015) Swarajya-2015/05/25 Nash is mostly known for his equilibrium concept called as “Nash Equilibrium”. For many years before his seminal paper, legends like von Neumann were working on the theory of games with a special focus on Zero-sum games. ComplexExpand[(1+E^(I(1+n)Pi)+2n)/4] Piはπ Table[(E^(I n Pi)(2+n+E^(I n Pi)(4+n)))/2,{n,1,56}] {1, 5, 1, 7, 1, 9, 1, 11, 1, 13, 1, 15, 1, 17, 1, 19, 1, 21, 1, 23,1, 25, 1, 27, 1, 29, 1, 31, 1, 33, 1, 35, 1, 37, 1, 39, 1, 41, 1, 43, 1, 45, 1, 47, 1, 49, 1, 51, 1, 53, 1, 55, 1, 57, 1, 59} a_n=(2n+(-1)^(n+1)+1)/4 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 1/4(2n+e^(iπ(n+1))+1) (1+E^(I(1+n)Pi)+2n)/4 1/4(2n+e^(i πn+i π)+1) (1+E^(I Pi+I nPi)+2n)/4 ComplexExpand[(1+E^(I(1+n)Pi)+2n)/4] 1/4(2n+e^(iπ n+iπ)+1) n/2-1/4 i sin(π n)-1/4 cos(π n)+1/4 ComplexExpand[(1+E^(I Pi+I n Pi)+2 n)/4] 1/4+n/2-Cos[n Pi]/4-(I/4) Sin[n Pi] ■スイッチング関数 Table[-C(1,n-2)+C(1,n-5)+C(1,n-9)+C(1,n-10),{n,1,10}] {0, -1, -1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 2} 153043438141440=4(18!!)+2(20!!)+78(24!!) 153043438141440=4(18!!)+2(20!!)+3(26!!) 53760=512(7!!) ((-1)^n-(1+2 i)(-i)^n-(1-2 i)i^n+9)/4 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, 1, 3, 3, 2, トランプの束がある 2〜10までの数字が描かれたカードが各スートに1枚ずつと、 ジョーカーのカードが24枚ある 全てを混ぜて無作為に切り直して12枚のカードを無作為に引いたとき その12枚のカードのうちジョーカー以外にいずれも違う数字が 書かれている確率はいくらか Sum[choose(24,k)*choose(9,12-k)*4^(12-k),{k,3,12}]/(choose(60,12)) Sum[C(24,k)C(9,12-k)4^(12-k),{k,3,12}]/(C(60,12)) 出力 7371811052/66636135475 『ある二次関数のグラフが、 点(0,1/4),(3,10/49),(13,0) を通るとき、 この二次関数を求めなさい』 二次関数を決めるには、基本的には3点必要です 3点が与えられると、対応する式が3つできるので、 この連立方程式を解けば、3つの係数が確定できる、 というのが典型的な流れです 連立方程式を解くのが少し大変ですが、 定数項を削除する方針で計算すれば、 計算はスムーズにいきます 9a+3b+c=10/49 169a+13b+c=0 c=1/4 を解いて a=-1/2548, b=-9/637, c=1/4 ∴y=(-1/2548)x^2+(-9/637)x+1/4 別の形 y=-((x+49)(x-13))/2548 y=(961-(x+18)^2)/2548 同じ3点を通るこの関数は どうやって導かれたのか? (4n+9)(n-13)/(7n^2-208n-468) ・代数方程式の厳密解 入力例:solve[x^3-3x+4=0] どのスートが出るのも同様に確からしい ジョーカーを除くトランプのカード52枚から 一枚のカードを箱に入れる Ωの部分集合を事象と言う Ω自身は全事象と言う Ω={スペード,ハート,クラブ,ダイヤ}となる 各 i (1≦i≦4) が根元事象である ハートが出るという事象A={ハート}で確率P(A)は P(A)=1/4 となる 最初に箱に入れた時を i 山札をシャッフルしてダイヤが三枚出た後を j として 箱の中のカードがハートであるという事象Aを考える. A={(i,j)| i または j がハート} Ω={(i,j)|1≦i≦4,1≦j≦49}となり この196通りの各要素が根元事象 シャッフル後にダイヤのカードをn枚引いた時に 箱の中にダイヤ以外のスートが出る確率空間は Ω={(i,j)|1≦i≦4,1≦j≦52-n}から #A=4(52-n)-3(51-n) =208-4n-153+3n =55-n #Aは事象Aに含まれる要素の個数 スペード・ハート・クラブの各スートの出る確率は P(A)=(55-n)/(208-4n) スペード・ハート・クラブである確率は P(X)=(165-3n)/(208-4n) ダイヤである確率は q=1-(165-3n)/(208-4n) しかしこのままでは 点(0,1/4),(13,0) を通らない ■点(0,1/4),(13,0) を通るように二次関数にする 1-(165-3n)/(208-4n) から 1-(165n-3n^2+3b)/(208n-4n^2+4b) とおくと n=0,b≧1のとき、1/4が出力できる さらにn=13のときに(165n-3n^2+3b)=(208n-4n^2+4b) となれば、0が出力できる このためには、分母を分子よりも小さくして 1-(165n-3n^2+3b)/(208n-7n^2+4b) その差分をb=117で回収すると完成 ∴1-(165n-3n^2+351)/(208n-7n^2+468) 式変形すると (4n+9)(n-13)/(7n^2-208n-468) ■Wolfram入力 Table[(4n+9)(n-13)/(7n^2-208n-468),{n,0,13}] ■三角錐数を小さい順に列記すると 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, …(オンライン整数列大辞典の数列 A292) 計算式 n(n+1)(n+2)/6 Table[(n-13)(4n^4-15n^3+107n^2+894n+11880)/(7n^5-250n^4+1325n^3-2330n^2+1248n-617760),{n,0,13}] 0 | 1/4 1 | 1/4 2 | 1/4 3 | 1/4 4 | 359/1440 5 | 1310/5321 6 | 224/941 7 | 464/2087 8 | 1441/7276 9 | 271/1630 10 | 157/1216 11 | 37/418 12 | 1/22 13 | 0 Probability なる単語に対して「確率」という訳案が出されたのは、 1908年(明治41年)だが、この語の他にも「蓋然」「公算」「適遇」「近真」 「確からしさ」「多分さ」等の候補が有り、「確率」という訳語が定着したのは、 1919年(大正8年)頃である 首都大学東京で経営科学を専門とする中塚利直教授は、 藤澤利喜太郎の訳語であると推定している >>7 {0, 3, 19, 60, 120, 161, 147, 91, 37, 9, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}+Table[sum[C(2n-1,k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] {9, 84, 463, 1776, 5076, 11249, 19797, 28057, 32243, 30095, 22749, 13820, 6656, 2486, 695, 137, 17, 1, 0, 0} >>6 {5, 26, 73, 133, 167, 148, 91, 37, 9, 1, 0, 0} 91, 37, 9, 1が一致 Table[Factor[(1-Binomial[0,-13+n])/4],{n,0,13}] {1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 1/4, 0} ■NPN-同値類(NPN-equivalent class)または NPN-同値関数(NPN-equivalent function). (1)一部またはすべての入力変数の否定(Negation) (2)一部またはすべての入力変数の順序の変更(Permutation) (3)出力結果の否定(Negation) 論理代数のことをブール代数(Boolean algebra)と 呼ぶことがしばしばある Table[1,{n,0,13}] {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1} Table[5,{n,0,13}] {5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5} Sum[(-2)^k((n-k)/k!),{k,0,-1+n}] Table[Sum[(-2)^k(n-k)/k!,{k,0,n-1}],{n,1,20}] Table[Γ(n+1,-2)/(e^2Γ(n))+((-2)^(n+1)+(2Γ(n+1,-2))/e^2)/Γ(n+1),{n,1,20}] (n+2)sum[k=0,n](-2)^k/k!+(-2)^(n+1)/n! (n+2)sum[(-2)^k/k!,{k,0,n}]+(-2)^(n+1)/n! ■ベイズの公式から Table[(13-n)/(52-n),{n,0,13}] ……@ 出力 {1/4, 4/17, 11/50, 10/49, 3/16, 8/47, 7/46, 2/15, 5/44, 4/43, 1/14, 2/41, 1/40, 0} この出力をすべて含んだ式 Table[(n-13)(3a+4n+3)/(7n^2-208n-156a-156),{a,0,11},{n,0,13}] ……A ∵[0≦a≦11] @の出力はすべてAの出力に含まれる Table[(C(0,n)+C(0,n-a-1))(n-13)(3a+4n+3)/(7n^2-208n-156a-156),{a,0,11},{n,0,13}] 1劫年(349京2413兆4400億年) ■□■ ■□■ □■■ 1不可説不可説転=10^(7 2^122) 1グーゴルプレックス=10^(10^100) 1不可説不可説転 ↓ 10^37218383881977644441306597687849648128 ■志村 五郎氏(しむら・ごろう=数学者、米プリンストン大名誉教授) プリンストン大の発表によると、5月3日死去、89歳 楕円関数の性質に関する「谷山・志村予想」を提唱 350年余り数学者を悩ませてきた「フェルマーの最終定理」の 証明につながった 東京大助教授、大阪大教授を経て1964〜99年にプリンストン大 教授を務めた(ワシントン=共同) Log(640320^3+744)/163^0.5≒3.141592653589793238462643383279 Table[3^(1-n)(3n-2),{n,1,15}] {1, 4/3, 7/9, 10/27, 13/81, 16/243, 19/729, 22/2187, 25/6561, 28/19683, 31/59049, 34/177147, 37/531441, 40/1594323, 43/4782969} ■n=3のとき10/49 Table[1-(165n-3n^2+39)/(216n-7n^2+52),{n,0,13}] Table[1-(165n-3n^2+78)/(215n-7n^2+104),{n,0,13}] Table[1-(165n-3n^2+117)/(214n-7n^2+156),{n,0,13}] Table[1-(165n-3n^2+156)/(213n-7n^2+208),{n,0,13}] Table[1-(165n-3n^2+195)/(212n-7n^2+260),{n,0,13}] Table[1-(165n-3n^2+234)/(211n-7n^2+312),{n,0,13}] Table[1-(165n-3n^2+273)/(210n-7n^2+364),{n,0,13}] Table[1-(165n-3n^2+312)/(209n-7n^2+416),{n,0,13}] 165,-3,-7を変えない限り、 点(0,1/4),(3,10/49),(13,0) を必ず通る 定数bを定めて式を一般化する Table[1-(165n-3n^2+(39+39b))/((216-b)n-7n^2+(52+52b)),{b,3,4},{n,0,13}] ∵[0≦b≦7] C: 複素数全体 R: 実数全体 Q: 有理数全体 Z: 整数全体 N: 自然数全体 使用例. 1 ∈ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C. 短軸有利☆ Table[C(27,k-1)+C(25,k-1)+C(23,k-1)+C(21,k-1)+C(19,k-1)+C(18,k-1)+C(16,k-1)+C(14,k-1)+C(11,k-1)+C(10,k-1)+C(9,k-1)+C(5,k-1)+C(4,k-1)+C(1,k-1),{k,1,30}] Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+3C(0,n-4)+C(1,n-7)+C(0,n-9),k-1),{n,1,14}],{k,1,30}] Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2 mod7)+3C(0,n-4)+C(1,n-7),k-1),{n,1,14}],{k,1,30}] C(0,n-a)およびC(0,n mod a)により 式の長さを半分以下に短縮 『1個のサイコロを10回投げたとき,1または2の目が ちょうど4回出る確率を求めよ』 1個のサイコロを1回投げたとき,1または2の目が出る確率は p=2/6=1/3である よって,q=1-1/3=2/3であるから,求める確率は p(4) =C(10,4)p^4q^(10-4) =C(10,4)(1/3)^4(2/3)^6 =4480/19683 ■組合せ(くみあわせ、英: combination, choose)公式 C(4,k-1)=C(3,k-1)+C(3,k-2) C(n,k)=C(n-1,k)+C(n-1,k-1) C(n,k)=C(n,n-k) ☆ 1以上22以下の自然数の集合をSとする Sの部分集合Tで、次の条件を満たすものを考える [条件] Tに属する任意の2つの要素の差は4でも7でもない Tの要素数の最大値はいくらか 1 5 9 13 17 21 2 6 10 14 18 22 3 7 11 15 19 4 8 12 16 20 Table[2n-b-a+{(n+a)mod4}+4C(0,n-8+a),{a,0,1},{b,0,2},{n,1,10}] {3, 6, 9, 8, 11, 14, 17, 20, 19, 22} {2, 5, 8, 7, 10, 13, 16, 19, 18, 21} {1, 4, 7, 6, 9, 12, 15, 18, 17, 20} {3, 6, 5, 8, 11, 14, 17, 16, 19, 22} {2, 5, 4, 7, 10, 13, 16, 15, 18, 21} {1, 4, 3, 6, 9, 12, 15, 14, 17, 20} Table[1,{n,0,13}] {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1} Table[5,{n,0,13}] {5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5} なんだこれは(/・ω・)/ Chu-Vandermonde identityにより 式をトランスフォーム Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}] Table[sum[(-1)^(k-1)C(k-2n-1-C(0,n-2),k-1),{n,1,5}],{k,1,12}] k | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 0 | 5 | 26 | 73 | 133 | 167 | 148 | 91 | 37 | 9 | 1 | 0 | 0 ■二項係数の間の等式 C(a,b)=(-1)^b C(b-a-1,b) C(-a,b)=(-1)^b C(b+a-1,b) 縦4マス、横5マスの20マスのうちランダムに選ばれた 3マスにそれぞれ宝が眠っている AFKPBG…の順で縦に宝を探していく方法をとるU君と、 ABCDEFGH…の順で横に宝を探していく方法をとるV君が、 同時に地点Aから探索を開始した どっちの方が有利? A.B.C.D.E F.G.H. I..J K.L.M.N.O P.Q.R.S.T 2 * 3 [3] : 3 , 4 , 13 3 * 4 [3] : 73 , 76 , 71 4 * 5 [3] : 463 , 453 , 224 5 * 6 [3] : 1801 , 1727 , 532 6 * 7 [3] : 5328 , 5070 , 1082 7 * 8 [3] : 13213 , 12546 , 1961 8 * 9 [3] : 28901 , 27444 , 3295 9 *10.[3] : 57560 , 54724 , 5196 10*11[3] : 106535 , 101454 , 7831 11*12[3] : 185931 , 177394 , 11335 12*13[3] : 309169 , 295533 , 15918 13*14[3] : 493709 , 472815 , 21736 14*15[3] : 761704 , 730772 , 29044 ━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ━━━★━━━★━━━━━━━★━★━━━━━━ n人掛けの長いすがある ここに、2人組のカップルがつぎつぎとランダムな 位置に座っていく 但し、各カップルは隣り合って座り、1人が1人分の椅子を占有し、 一度座ったら動かないものとする もし、左から3,4人目のところにカップルが座り、6,7人目の ところにもカップルが座ると、5人目のところは使えないままと なることになる このように各カップルはランダムな位置を占有しながら、 座れなくなるまでカップルは座っていく このとき、最後に左右が埋まって空席のまま 使われず残る椅子の数はいくつになると期待されるか、 nで表せ a_n=Sum[(-2)^k(n-k)/k!,{k,0,n-1}] いま、n人掛けの椅子はa_n人分のスペースが 孤立して残ると期待されるとする 例えば、n=0では誰も座れずa_0=0となり、 n=1ではやはりカップルは座れないが椅子は余るのでa_1=1、 n=2ではカップルが一組座って終わりなのでa_2=0、 n=3でも座れるカップルは一組だが1人分スペースが余るので a_3=1となる もし、一番最初のカップルが片端からk+1,k+2個目を 占有したとしたらどうなるだろうか これは、その端からk個目までのk個と、 k+3個目から反対端までのn-k-2個が分断される ことを意味する つまり、k人掛けの椅子とn-k-2人掛けの椅子がある という状況と同一視できる Table[Sum[(-2)^k(n-k)/k!,{k,0,n-1}],{n,1,20}] 重合度nのPVA(ポリビニルアルコール)があるとする ここに、大過剰のホルムアルデヒド(HCHO)を用いて架橋を行う 即ち、各HCHO分子はPVAの隣り合う2つのOH基を架橋する PVAのOH基をHCHOで架橋したものはビニロンと呼ばれる繊維になり、 残存するOH基の量に応じて吸水性などのパラメータが変わる ここで、各HCHO分子は全くランダムな位置を架橋していくとし、 PVA とは架橋以外の相互作用をしないとする もし、片端から3,4つ目のOHが架橋され、その後 6,7つ目のOHも架橋されたとすると、HCHOは5つ目のOHを 架橋できないことになる(隣り合うOHの架橋以外の相互作用を 認めないという仮定を用いた) HCHO は大過剰存在するので、隣り合うOHがなくなるまで 架橋は進むとする このとき、全てのOHの内、いくつが架橋されずに残ると 期待されるかnで表せ >>154 と>>156 は 本質的に同じ問題として解くことができる 一方、もしk人掛けの椅子ではx人分、n-k-2人掛けではy人分、 孤立したスペースを生じると期待されるとすれば、k人掛けの椅子と n-k-2人掛けの椅子が両方あればx+y人分の孤立スペースが 出来ると期待される 以上より、最初のカップルがk+1,k+2個目を占有したなら、 孤立して残るスペースはa_k + a_n-k-2人分と期待される 各位置に座る確率はまったくランダムであるから、 この事象は1/(n-1)の確率でおきる 故に、a_nはa_0,a_1, ・ ・ ・a_n-2を用いて次のように表せる a_n=(1/(n-1))sum[a_k + a_n-k-2,{k,0,n-2}] =(2/(n-1))sum[a_k,{k,0,n-2}] この式をより簡潔にする 両辺をn-1倍した式について、nにn+2を代入した式から n+1を代入した式を引く (n-1)a_n=2sum[a_k + a_n-k-2,{k,0,n-2}] (n+1)a_n+2 - na_n+1=2sum[a_k,{k,0,n}]-2sum[a_k,{k,0,n-1}]=2a_n ∴(n+1)a_n+2=na_n+1 + 2a_n ■a_nの評価 a_n=Sum[(-2)^k(n-k)/k!,{k,0,n-1}] =(n)Sum[(-2)^k/k!,{k,0,n-1}]-Sum[(-2)^k/(k-1)!,{k,1,n-1}] ■n→∞の極限を考える a_n≒(n)Sum[(-2)^k/k!,{k,0,∞}]+(2)Sum[(-2)^(k-1)/(k-1)!,{k,1,∞}] =n/e^2 + 2/e^2=(n)e^(-2) + (2)e^(-2)≒(n)e^(-2) 従って、nが十分大きい時、a_n即ち孤立した椅子の数は 全体のe^(-2)という割合になると考えられる Sum[(-2)^k((n-k)/k!),{k,0,-1+n}] Table[Sum[(-2)^k(n-k)/k!,{k,0,n-1}],{n,1,20}] Table[Γ(n+1,-2)/(e^2Γ(n))+((-2)^(n+1)+(2Γ(n+1,-2))/e^2)/Γ(n+1),{n,1,20}] (n+2)sum[k=0,n](-2)^k/k!+(-2)^(n+1)/n! (n+2)sum[(-2)^k/k!,{k,0,n}]+(-2)^(n+1)/n! ━━━━━━━━━━━━━━━━━━ ━━━★━━━★━━━━━━━★━★━━━━━━ ■有限単純群モンスター モンスターとは、およそ8.08×10^53個,正確には 2^46・3^20・5^9・7^6・11^2・13^3・17・19・23・29・31・41・47・59・71= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000個の 元からなる巨大な群である ちなみにアボガドロ定数はおよそ6.02 ×10^23である モンスターは豊かな構造をもつ興味深い研究対象である ■マシュー群に関連した擬テータ関数に現れる合同式 Congruences on the Fourier coefficients of the Mathieu mock theta function 37×3=111 37×6=222 37×9=333 37×12=444 37×15=555 37×18=666 37×21=777 37×24=888 37×27=999 271×41=11111 271×82=22222 271×123=33333 271×164=44444 271×205=55555 271×246=66666 271×287=77777 271×328=88888 271×369=99999 8547×13=111111 8547×26=222222 8547×39=333333 8547×52=444444 8547×65=555555 8547×78=666666 8547×91=777777 8547×104=888888 8547×117=999999 レピュニット とは 1, 11, 111, 1111, … のように全ての桁の数字が 1である自然数のことである 名前の由来は repeated unitを省略した単語であり、 1966年にアルバート・ベイラーが Recreations in the Theory of Numbers の中で命名したものである 1111111=239×4649 11111111111=21649×513239 ■1000!は何桁ですか? ceil(log10(1000!)) 十分大きなnに対してはa^n<n!<n^nということを使って、 10^1000<1000!<1000^1000=10^3000 1000桁以上3000桁以下といってもいい この方法はwolframで計算できないほど大きい階乗にも使える 10^10^10<(10^10)!<(10^10)^10^10=10^10^11 (10^10)!は10 000 000 000桁以上、100 000 000 000桁未満 ガンマ関数 Γ η δ Π ε α β z^5 - z^4 + z^2 + 1 20世紀中頃になり,Shannon により論理代数に 基づく論理回路設計法が示された. ComplexExpand[(1+E^(I Pi+I n Pi)+2 n)/4] (1+E^(I Pi+I nPi)+2n)/4 文献 http://shochandas.xsrv.jp/divisor/somos.htm 数学セミナー 1993年3月号, 日本評論社, 「エレ解」 一松 信 「初等関数概説−いろいろな関数−」 森北出版(1998) p.84-87 187p.2268円 8x9長軸前半 Table[sum[C(2n-1+C(0,30mod n)-C(0,n-2)-2C(0,n-5)-3C(0,n-9)-3C(1,n-13),k-1),{n,1,15}],{k,15,15}] {148675947} 8x9長軸後半 Table[sum[C(2n-1-7C(0,n-20)+C(0,n-21)-C(1,n-23)-C(1,n-25)-C(0,n-27)+C(0,n-28),k-1),{n,16,35}],{k,15,15}] {403841194852891} {148675947}+{403841194852891}={403841343528838} >>20 8 * 9 [15]と一致 >>171 の式で{k,17,18}の範囲で出力してみる 前半{146503110, 120240360} 後半{4482908293459421, 13308110794428679} 146503110+4482908293459421=4482908439962531 120240360+13308110794428679=13308110914669039 8 * 9 [17] : 4482908439962531 8 * 9 [18] : 13308110914669040 やはり、8x9マス宝18個から誤差がある 17個まで誤差はない Table[C(n mod2,n mod3),{n,1,10}] {1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0} e i λ Π Σ Ψ u x ◆ ◇ § ◯ β ζ エ θ Table[((-2)^(1+n)E^2+2Gamma[1+n,-2]+n Gamma[1+n,-2])/(E^2 n!),{n,1,28}] Table[(e^2(-2)^(n+1)+n Γ(n+1,-2)+2 Γ(n+1,-2))/(e^2 n!),{n,1,28}] {1, 0, 1, 2/3, 1, 16/15, 11/9, 142/105, 67/45, 4604/2835, 2771/1575, 59086/31185, 86327/42525, 4389248/2027025, 7533469/3274425, 222205682/91216125, 109456873/42567525, 2670957188/986792625, 16332117629/5746615875, 614053057522/206239658625, 1520442379271/488462349375, 126606575859992/38979295480125, 345404844856129/102088631019375, 15773069242557338/4482618980214375, 23501345644011017/6431583754220625, 4671255121834288564/1232720219558953125, 7547413632563686237/1923043542511966875, 23846953668187649602/5873549281427953125} モックテータ関数は、S. Ramanujan が1920年に G. H. Hardy へ宛てた 最後の手紙、および Ramanujan の「失われたノート」と呼ばれる 草稿中で、初めて言及した関数である Π[j=1 to n]Π[k=1 to n]{4cos^2 πj/(2n+1)+4cos^2 πk/(2n+1)} ([21,18,15,13,12,10,7,4,2,1],[]) ([21,20,18,15,12,10,7,4,2,1],[]) ([21,18,16,15,13,10,7,4,2,1],[]) ([21,19,18,16,13,10,7,4,2,1],[]) ([22,21,19,16,13,10,7,4,2,1],[]) ([20,17,15,14,12,9,6,4,3,1],[]) ([22,20,17,14,12,9,6,4,3,1],[]) ([20,18,17,15,12,9,6,4,3,1],[]) ([21,20,18,15,12,9,6,4,3,1],[]) ([22,20,19,17,14,9,6,4,3,1],[]) ([22,20,17,14,12,11,9,6,3,1],[]) ([22,20,19,17,14,11,9,6,3,1],[]) ([20,18,17,15,12,9,7,6,4,1],[]) ([21,20,18,15,12,9,7,6,4,1],[]) ([21,20,18,15,12,10,9,7,4,1],[]) ([22,19,16,14,13,11,8,5,3,2],[]) ([22,21,19,16,13,11,8,5,3,2],[]) ([22,19,17,16,14,11,8,5,3,2],[]) ([22,20,19,17,14,11,8,5,3,2],[]) ([21,18,16,15,13,10,7,5,4,2],[]) ([21,19,18,16,13,10,7,5,4,2],[]) ([22,21,19,16,13,10,7,5,4,2],[]) ([21,19,18,16,13,10,8,7,5,2],[]) ([22,21,19,16,13,10,8,7,5,2],[]) ([22,21,19,16,13,11,10,8,5,2],[]) ([22,19,17,16,14,11,8,6,5,3],[]) ([22,20,19,17,14,11,8,6,5,3],[]) ([22,20,19,17,14,11,9,8,6,3],[]) Prelude> length $ sols !! 10 28 Table[(1/16)[{1-(-1)^n}{(n+15)-(n-9)i^(n+1)}+8{1+(-1)^n}(3+i^n)],{n,1,20}] {1, 2, 3, 4, 2, 2, 3, 4, 3, 2, 3, 4, 4, 2, 3, 4, 5, 2, 3, 4} 特定の場所だけ4にしたい Table[4C(0,n-9),{n,1,10}] {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 4, 0} Table[1/4(1-binomial(0,n-13)),{n,0,13}] Table[(1-Binomial[0,-13+n])/4,{n,0,13}] Table[Factor[(2+(-1)^n+(-1)^(1+n)-2Binomial[0,-13+n])/8],{n,0,13}] kは任意だがnは動かせない Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+C(1,n-4),k-1),{n,1,9}],{k,13,18}] nを任意にするには差分追尾数列αがいる 数学においてガンマ関数(英: Gamma function)とは、 階乗の概念を複素数全体に拡張した特殊関数である 互いに同値となるいくつかの定義が存在するが、 1729年、数学者レオンハルト・オイラーが階乗の一般化として、 最初に導入した Table[(1/sqrt(5))(((1+sqrt(5))/2)^n-((1-sqrt(5))/2)^n),{n,1,28}] {1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811} 超幾何級数 a(n)=Hypergeometric1F1[-n;-2n;-2] Table[1F1(-n, -2n, -2),{n,1,10}] 69, 67, 65, 63, 61, 59, 57, 56, 52, 50, 48, 46, 44, 43, 42, 37, 35, 33, 32, 31, 30, 24, 23, 22, 21, 20, 15, 14, 13, 12, 8, 7, 6, 3, 2 規則性は? 2 6 12 20 30 42 56は三角数の位置 2 3 6 7 9 2 3 6 7 8 12 13 15 17 2 3 6 7 8 12 13 14 16 20 21 23 25 27 2 3 6 7 8 12 13 14 15 20 21 22 24 26 30 31 33 35 37 39 2 3 6 7 8 12 13 14 15 20 21 22 23 25 30 31 32 34 36 38 42 43 45 47 49 51 53 長軸choose数え上げ 三角数の位置との差が最小になるまで エネルギーレベルが変化 論理式は,ある一つの論理関数を何通りにも表せるが, これによって表せない論理関数はない. つまり任意の論理関数に対して,それを表す論理式が 少なくとも一つは存在する. すなわち,論理式は論理関数の完全(complete) (または万能(universal))な表現であるといえる. ■真理値表(truth table) ■積和形論理式(sum-of-products form) ■二分決定グラフ(BDD, Binary Decision Diagram) >>58 二つにできた Table[sum[C(2n-1+C(0,(21mod n)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] {9, 84, 463, 1776, 5076, 11249, 19797, 28057, 32243, 30095, 22749, 13820, 6656, 2486, 695, 137, 17, 1, 0, 0} > sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k)) [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] 短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749 長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803 同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408 [,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20] 短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0 長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0 同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1 4×5の場合 宝:1個 同等 宝:2〜5個 短軸有利 宝:6〜13個 長軸有利 宝:14〜20個 同等 □■■■■ □□■■■ □□□■■ □□□□■ 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,(21mod n)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] 長軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,6mod n)-C(0,(11mod n)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] 同等☆ Table[C(19,k-1)+C(17,k-2)+C(15,k-2)+C(13,k-2)+C(8,k-2)+C(1,k),{k,1,20}] 長軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-1)+C(0,n-3)-C(0,n-5)+C(0,n-6),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] Table[sum[C(2n-1+C(0,3mod n)-C(0,n-5)+C(0,n-6),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] Table[sum[C(2n-1+C(0,6mod n)-C(0,n-2)-C(0,n-5),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] Table[sum[C(2n-1+C(0,6mod n)-C(0,(11mod n)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] {9, 83, 453, 1753, 5075, 11353, 20057, 28400, 32528, 30250, 22803, 13831, 6657, 2486, 695, 137, 17, 1, 0, 0} すべて同じ出力 K3曲面は超弦理論のコンパクト化で基本的な役割を果たす 事が知られているが、最近その位相的不変量である 楕円種数に面白うことが分かった K3曲面上の超弦理論は N=4 共形不変性を持つため楕円種数を N = 4 共形代数の指標で展開してその展開係数を調べると、 これらがマシュー群M24と呼ばれる離散群の規約表現の 次元の和に分解できる これはモジュラーJ関数のq展開の係数がモンスター群の 規約表現の和に分解されるいわゆるMonsterous Moonshine と呼ばれる現象に良く似ている 有限単純群にはいくつかの無限系列と26個の例外があり、 例外中で最大のものがモンスターである 1970年代前半に有限単純群の分類の試みの中でモンスターが 発見された後、1970年代後半になってムーンシャインとよばれる 不思議な現象が見出された http://imetrics.co.jp/opinion/MonsterousMoonshine.pdf ■ □■ ■□■ □■□■ ■□■□■ □■□■□■ ■□■□■□■ □■□■□■□■ ■□■□■□■□■ □■□■□■□■□■ ■□■□■□■□■□■ ■□■□■□■□■□■ □■□■□■□■□■ ■□■□■□■□■ □■□■□■□■ ■□■□■□■ □■□■□■ ■□■□■ □■□■ ■□■ □■ ■ Table[sum[C(2n-1+C(0,6mod n)-C(0,n-2)-C(0,n-5),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] Table[sum[C(2n-1+C(0,6mod n)-C(0,(11mod n)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+C(1,n-4),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] Table[sum[C(2n-1+C(0,(21mod n)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] Cを一つ減らして式は短い 下の式のほうが格上 Cは組合せ(combination)や選択(choice)を表している Table[C(-1,n),{n,1,10}] {-1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1} Table[C(1,(12mod n)-2),{n,1,29}] {0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0} Table[-1 mod n,{n,1,10}] {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 (-1) mod n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 a_n = (-1)^n {-1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1} FindSequenceFunction[{-1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1}, n] Table[C(-2,n),{n,1,10}] {-2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, 9, -10, 11} a_n = (-1)^n (n+1) {-2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, 9, -10, 11} FindSequenceFunction[{-2, 3, -4, 5, -6, 7, -8, 9, -10, 11}, n] 3×4の場合 宝:1個 同等 宝:2〜7個 長軸有利 宝:8〜12個 同等 □■■■ □□■■ □□□■ Domino tiling with free boundary conditions FromDigits[{0,1,0,0,0,0,1,1,1,0,0,0,0,0}, 2] 4320 素因数分解(Prime-Factor) 素数テーブル(Prime-Table) 素数判定(Is-Prime) 組合せ(Combination) 行列演算(Matrix) 進数変換(Convert-Base) 階乗(Factorial) 離散対数問題(Mod-Log) 高速フーリエ変換(Fast-Fourier-Transform) +Table[sum[C(n(n+1)-1,k-2),{n,1,3}],{k,1,20}]は 長軸三角数位置1アップ関数 >>209 Table[sum[C(2n-1+C(0,6mod n)-C(0,(11mod n)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] Table[sum[C(2n-1+C(0,6mod n)-C(0,C(3,n-2)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] {9, 83, 453, 1753, 5075, 11353, 20057, 28400, 32528, 30250, 22803, 13831, 6657, 2486, 695, 137, 17, 1, 0, 0} Cが一つ増えて式が短縮してしまった( ゚Д゚) 長軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-1)+C(0,n-3)-C(0,n-5)+C(0,n-6),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] Table[sum[C(2n-1+C(0,3mod n)-C(0,n-5)+C(0,n-6),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] Table[sum[C(2n-1+C(0,6mod n)-C(0,n-2)-C(0,n-5),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] Table[sum[C(2n-1+C(0,6mod n)-C(0,(11mod n)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] Table[sum[C(2n-1+C(0,6mod n)-C(0,C(3,n-2)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] {9, 83, 453, 1753, 5075, 11353, 20057, 28400, 32528, 30250, 22803, 13831, 6657, 2486, 695, 137, 17, 1, 0, 0} すべて同じ出力 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2 mod18)+3C(0,n-4)+3C(1,n-7)+7C(0,n-11)+C(1,n-16)+C(1,n-18),k-1),{n,1,27}],{k,1,56}] Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+3C(1,(10mod n)-2)+7C(0,n-11)+C(0,C(0,C(4,n-16))),k-1),{n,1,27}],{k,1,56}] 7×8マスの短縮成功 ■8x9マス同等も短縮 Table[sum[C(2n-1-3C(0,n-28)-3C(1,n-26)-3C(1,n-24)-8C(0,n-23)-8C(1,n-21)-15C(0,n-20),k-2),{n,20,35}],{k,1,72}]+Table[C(71,k-1)+C(1,k),{k,1,72}] Table[sum[C(2n-1-3C(0,C(0,C(4,n-24)))-8C(0,C(0,C(3,n-20)))-7C(0,n-20),k-2),{n,20,35}],{k,1,72}]+Table[C(71,k-1)+C(1,k),{k,1,72}] Table[C(0,C(0,C(5,n-22))),{n,1,29}] {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0} ■□■■■■■■■□■ ■□■□□□□□■□■ ■□■□■■■□■□■ ■複素数体上での偏極アーベル多様体(polarised abelian variety) Table[C(1,(n+1)-binomial(floor((1+sqrt(8(n+1)))/2),2)),{n,1,66}] {1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1} ☆☆☆ Table[C(1,(n+1)-C(floor((1+sqrt(8(n+1)))/2),2)),{n,1,66}] 入力可能 Table[(2(n+1)+round(sqrt(2(n+1)))-round(sqrt(2(n+1)))^2)/2,{n,1,65}] {1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} ■8x9マス長軸かなり短縮したのにテーブル出力不可 sum[C(2n-1+C(0,3mod n)+C(0,n-6 mod15)+C(0,n-10 mod18)+C(0,n-15)-C(0,n-5 mod22)-3C(0,n-9)-3C(1,n-13)-7C(0,n-20)-C(1,n-23)-C(1,n-25),k-1),{n,1,35}],k=16 sum[C(2n-1+C(1,(n+1)-C(floor((1+sqrt(8*(n+1)))/2),2))-C(0,n-5)-3C(0,n-9)-3C(1,n-13)-7C(0,n-20)-C(0,C(0,C(4,n-23))),k-1),{n,1,35}],k=16 1399743796844505 Table[C(1,(n+1)-C(floor((1+sqrt(8(n+1)))/2),2)),{n,1,66}] {1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1} 三角数の位置が見事に1 床関数と天井関数 床関数 (floor function) 69, 67, 65, 63, 61, 59, 57, 56, 52, 50, 48, 46, 44, 43, 42, 37, 35, 33, 32, 31, 30, 24, 23, 22, 21, 20, 15, 14, 13, 12, 8, 7, 6, 3, 2 2 6 12 20 30 42 56は三角数の位置 ■長軸三角数位置1アップ関数 Table[C(1,(n+1)-C(floor((1+sqrt(8(n+1)))/2),2)),{n,1,66}] 日:合流型超幾何関数 英:Confluent hypergeometric function 仏:Fonction hypergeometrique confluente 独:Konfluente hypergeometrische funktion > sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k)) [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] 短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749 長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803 同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408 [,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20] 短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0 長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0 同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1 4×5の場合 宝:1個 同等 宝:2〜5個 短軸有利 宝:6〜13個 長軸有利 宝:14〜20個 同等 □■■■■ □□■■■ □□□■■ □□□□■ 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,(21mod n)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] 長軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,6mod n)-C(0,C(3,n-2)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] 同等☆ Table[C(19,k-1)+C(17,k-2)+C(15,k-2)+C(13,k-2)+C(8,k-2)+C(1,k),{k,1,20}] a(n)=floor(sqrt(2n)+1/2) 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10 floor(1/2(2 sqrt(2) sqrt(n)+1)) Floor[(1+2 Sqrt[2] Sqrt[n])/2] 1/2-SawtoothWave[1/2+sqrt(2n)]+sqrt(2n) Quotient[1/2+sqrt(2n),1] 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7 6, 6, 6, 6, 6, 6 5, 5, 5, 5, 5 4, 4, 4, 4 3, 3, 3 2, 2 1 Quotient[1/2+sqrt(2n),1] 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 1, 2, 3, 4, 5, 6 1, 2, 3, 4, 5 1, 2, 3, 4 1, 2, 3 1, 2 Table[(n+1)-binomial(floor((1+sqrt(8(n+1)))/2),2),{n,1,35}] Wolfram言語はプラットフォームに最適化された 最新のコードを使って,初等関数を非常に効率的に 機械精度で評価するだけでなく,多くの独自のアルゴリズムを 使って任意精度において世界最速で評価することもできる. Wolfram言語は記号関数と変換の高度な繋がりにより, 過去には主要な数学的成果とみなされていた 結果を簡単に得て,初等関数について 厳密な数値・代数操作を行うことができる. Table[C(1,(n+1)-C(floor((1+sqrt(8(n+1)))/2),2))-C(0,C(2,(n+1)-C(floor((1+sqrt(8(n+1)))/2),2))),{n,1,66}] {1, 0, 1, 0, -1, 1, 0, -1, -1, 1, 0, -1, -1, -1, 1, 0, -1, -1, -1, -1, 1, 0, -1, -1, -1, -1, -1, 1, 0, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 1, 0, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 1, 0, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 1, 0, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 1} /_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ ■8x9マス短軸短縮 Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+3C(0,n-4)+3C(1,n-7)+7C(0,n-11)+C(1,n-12)+9C(0,n-16)+C(1,n-22)+C(1,n-24)+C(1,n-26),k-1),{n,1,35}],{k,1,72}] Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+3C(1,(10mod n)-2)+7C(0,n-11)+C(1,n-12)+9C(0,n-16)+C(0,C(0,C(5,n-22))),k-1),{n,1,35}],{k,1,12}] 9 * 10 [2] : 1986 , 1910 , 109 9 * 10 [3] : 57560 , 54724 , 5196 9 * 10 [4] : 1229768 , 1169028 , 156394 9 * 10 [5] : 20734915 , 19785597 , 3428756 9 * 10 [6] : 287716760 , 275943884 , 58953986 9 * 10 [7] : 3380526904 , 3259592160 , 831256496 9 * 10 [8] : 34334728236 , 33278087035 , 9902706164 9 * 10 [9] : 306213152441 , 298216243509 , 101823132680 9 * 10 [10] : 2427728426498 , 2374595759691 , 918321295714 9 * 10 [11] : 17280864806395 , 16967723996997 , 7356105610448 9 * 10 [12] : 111340917934307 , 109690361221178 , 52866292402295 9 * 10 [13] : 653762076869556 , 645928961666083 , 343694390811041 9 * 10 [14] : 3518507165350817 , 3484853454349587 , 2035259241706336 9 * 10 [15] : 17442528563184812 , 17311040556372708 , 11042104844903296 9 * 10 [16] : 79987303796560880 , 79518387315215312 , 55161530596633832 9 * 10 [17] : 340568178541290240 , 339037310134763264 , 254828299937025856 9 * 10 [18] : 1350741647560936192 , 1346156263268127232 , 1092750231879534848 9 * 10 [19] : 5004657616820781056 , 4992038116294581248 , 4364076176096170496 9 * 10 [20] : 17366767517705551872 , 17334837985323411456 , 16279134774671978496 9 * 10 [21] : 56571164597903671296 , 56496930117562925056 , 56867706210203246592 9 * 10 [22] : 173335869561528385536 , 173177600991935397888 , 186466995986137055232 9 * 10 [23] : 500489310779666989056 , 500181247235417309184 , 575097777841126572032 9 * 10 [24] : 1364053185264576626688 , 1363510399967725879296 , 1671456352366285815808 9 * 10 [25] : 3514354018398877253632 , 3513502748960848609280 , 4585555867900546383872 9 * 10 [26] : 8570836027195859664896 , 8569690272909208059904 , 11893005288045614727168 ■9x10マス短軸 87 71 85 70 55 83 68 54 41 81 66 53 40 29 79 64 51 39 28 19 77 62 49 38 27 18 11 75 60 47 36 26 17 10 5 73 58 45 34 25 16 9 4 1 >>2 [9,] 1986 1910 109 から 合計1986 ☆☆☆ 9 * 10 [14] : 3518507165350817 9 * 10 [15] : 17442528563184812 から誤差あり ■9x10マス短軸テーブル出力成功! Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+3C(1,(10mod n)-2)+5C(1,n-11)+3C(0,C(0,C(3,n-16)))+11C(0,n-22)+C(0,C(0,C(6,n-29))),k-1),{n,1,44}],{k,1,15}] {44, 1986, 57560, 1229768, 20734915, 287716760, 3380526904, 34334728236, 306213152441, 2427728426498, 17280864806395, 111340917934307, 653762076869556, 3518507165350817, 17442528563184811} 9 * 10 [2] : 1986 9 * 10 [3] : 57560 9 * 10 [4] : 1229768 9 * 10 [5] : 20734915 9 * 10 [6] : 287716760 9 * 10 [7] : 3380526904 9 * 10 [8] : 34334728236 9 * 10 [9] : 306213152441 9 * 10 [10] : 2427728426498 9 * 10 [11] : 17280864806395 9 * 10 [12] : 111340917934307 9 * 10 [13] : 653762076869556 9 * 10 [14] : 3518507165350817 9 * 10 [15] : 17442528563184812 9 * 10 [16] : 79987303796560880 9 * 10 [17] : 340568178541290240 9 * 10 [18] : 1350741647560936192 9 * 10 [19] : 5004657616820781056 9 * 10 [20] : 17366767517705551872 9 * 10 [21] : 56571164597903671296 9 * 10 [22] : 173335869561528385536 9 * 10 [23] : 500489310779666989056 9 * 10 [24] : 1364053185264576626688 9 * 10 [25] : 3514354018398877253632 9 * 10 [26] : 8570836027195859664896 9 * 10 [27] : 19810471250400594886656 9 * 10 [28] : 43445124084050213994496 9 * 10 [29] : 90489348227577765953536 9 * 10 [30] : 179167209905158113722368 9 * 10 [31] : 337505662737281162674176 9 * 10 [32] : 605322992217965209845760 9 * 10 [33] : 1034348316096762606518272 9 * 10 [34] : 1684922793532366606303232 9 * 10 [35] : 2617934183652226446131200 9 * 10 [36] : 3881579936292500349648896 9 * 10 [37] : 5494270098931526376882176 9 * 10 [38] : 7427110936961846674980864 9 * 10 [39] : 9591184529871297828618240 9 * 10 [40] : 11835294920032592542564352 9 * 10 [41] : 13958259578526216539340800 9 * 10 [42] : 15736168026914277996625920 9 * 10 [43] : 16960246612127604877033472 9 * 10 [44] : 17476755101672350005854208 9 * 10 [45] : 17218492462047352691097600 1 4 5 7 9 1 4 5 8 10 11 13 15 17 1 4 5 9 10 11 14 16 18 19 21 23 25 27 1 4 5 9 10 11 15 17 18 19 22 24 26 28 29 31 33 35 37 39 1 4 5 9 10 11 16 17 18 19 23 25 27 28 29 32 34 36 38 40 41 43 45 47 49 51 53 69 55 67 54 41 65 52 40 29 63 50 39 28 19 61 48 37 27 18 11 59 46 35 26 17 10 5 57 44 33 24 16 9 4 1 ■短軸chooseピックアップ 1 5 11 19 29 41 55 は三角数の位置 三角数の位置との差が最小になるまで エネルギーレベルが上昇変化 ■9x10マスで宝マックス90個テーブルも一瞬で表示 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+3C(1,(10mod n)-2)+5C(1,n-11)+3C(0,C(0,C(3,n-16)))+11C(0,n-22)+C(0,C(0,C(6,n-29))),k-1),{n,1,44}],{k,1,90}] {44, 1986, 57560, 1229768, 20734915, 287716760, 3380526904, 34334728236, 306213152441, 2427728426498, 17280864806395, 111340917934307, 653762076869556, 3518507165350817, 17442528563184811, 79987303796560922, 340568178541290105, 1350741647560935873, 5004657616820780611, 17366767517705552290, 56571164597903674261, 173335869561528363415, 500489310779667093990, 1364053185264577267190, 3514354018398878638826, 8570836027195860116571, 19810471250400594005990, 43445124084050197940205, 90489348227577777782082, 179167209905158143407251, 337505662737281140785925, 605322992217965568712862, 1034348316096762213906738, 1684922793532367255426860, 2617934183652226436998581, 3881579936292499373702432, 5494270098931525412280872, 7427110936961845706224147, 9591184529871299411885420, 11835294920032594626771269, 13958259578526214813869657, 15736168026914283614423325, 16960246612127613013841463, 17476755101672351807366171, 17218492462047360853349014, 16219058978423513781944764, 14605725386112519646973914, 12572983613546281389698053, 10344317475762893797055686, 8132488250071740787043686, 6107897487327447965928019, 4381000808840801498159926, 2999936040303620254924633, 1960322929641139851088462, 1221841862157660769373285, 726009658757195296780859, 411007616899171910282887, 221537541088926852683928, 113608887653448995279144, 55384385264106899357712, 25643480212644378563948, 11265337952226285025518, 4690364477488782404597, 1848550101771582851428, 688698926234356016141, 242186528562705418339, 80254911966947409575, 25014601038033536815, 7318542922311403235, 2005255236366626215, 513231638900126438, 122348994820796659, 27077582625281368, 5542739505884656, 1044936410762740, 180535561616932, 28421166866572, 4049254670566, 517881767785, 58872753991, 5876249436, 507009568, 37048710, 2229466, 106080, 3742, 87, 1, 0, 0} 17218492462047360853349014 誤差無し 17218492462047352691097600 誤差あり : 9 * 10 [45] ※かなり誤差が広がる /_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ 10 * 11 [2] : 2986 10 * 11 [3] : 106535 10 * 11 [4] : 2809563 10 * 11 [5] : 58613877 10 * 11 [6] : 1008675376 10 * 11 [7] : 14732172168 10 * 11 [8] : 186438215288 10 * 11 [9] : 2076762625280 10 * 11 [10] : 20615345103221 10 * 11 [11] : 184193620785662 10 * 11 [12] : 1493485157558475 10 * 11 [13] : 11064969710773816 10 * 11 [14] : 75344449772063360 10 * 11 [15] : 473886614814871296 10 * 11 [16] : 2765038907116411392 10 * 11 [17] : 15023694675042015232 10 * 11 [18] : 76269358699048681472 10 * 11 [19] : 362832547009949663232 10 * 11 [20] : 1621777044527988604928 10 * 11 [21] : 6827034488109815300096 10 * 11 [22] : 27124024759248964550656 10 * 11 [23] : 101904561381414667288576 10 * 11 [24] : 362668191967525147246592 10 * 11 [25] : 1224594869009185981333504 10 * 11 [26] : 3928918712582017734672384 10 * 11 [27] : 11993010091186736284565504 10 * 11 [28] : 34872803628890690441707520 10 * 11 [29] : 96701876684715300887724032 10 * 11 [30] : 255987788680549577019883520 10 * 11 [31] : 647517507403628412105916416 10 * 11 [32] : 1566430470208633086742102016 10 * 11 [33] : 3627003959035123857233018880 10 * 11 [34] : 8044241949293257338912768000 10 * 11 [35] : 17100953323761999885249806336 10 * 11 [36] : 34868110202265194969987809280 10 * 11 [37] : 68228006898055564209197940736 10 * 11 [38] : 128190662062310216203245715456 10 * 11 [39] : 231379032318409960982988193792 10 * 11 [40] : 401386119829062618889263775744 10 * 11 [41] : 669501640919485128922015727616 10 * 11 [42] : 1074128787984651069021684236288 10 * 11 [43] : 1658158369872650256364999802880 10 * 11 [44] : 2463745716393284104199979663360 10 * 11 [45] : 3524419870897910455790691418112 10 * 11 [46] : 4855230661098411585408604307456 10 * 11 [47] : 6442561036093232814461850484736 10 * 11 [48] : 8236021267588518942027370463232 10 * 11 [49] : 10145152574582209812291089596416 10 * 11 [50] : 12043212342562952050917081350144 10 * 11 [51] : 13779006112656936943630990442496 10 * 11 [52] : 15195790594717165244813601144832 10 * 11 [53] : 16154209461809416411072851607552 10 * 11 [54] : 16554705092054966099241550741504 10 * 11 [55] : 16354455546786841046325359804416 10 * 11 [12] : 1493485157558475 10 * 11 [13] : 11064969710773816 から誤差あり ※精度が低すぎる ■10x11マス短軸Cピックアップ 107 89 105 88 71 103 86 70 55 101 84 69 54 41 99 82 67 53 40 29 97 80 65 52 39 28 19 95 78 63 50 38 27 18 11 93 76 61 48 37 26 17 10 5 91 74 59 46 35 25 16 9 4 1 >>2 [10,] 2986 2875 134 から 合計2986 ☆☆☆ ■10x11マス短軸テーブル出力成功! Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+3C(1,(10mod n)-2)+5C(1,n-11)+7C(1,n-16)+3C(0,C(0,C(4,n-22)))+13C(0,n-29)+C(0,C(0,C(7,n-37))),k-1),{n,1,54}],{k,1,15}] {54, 2986, 106535, 2809563, 58613877, 1008675376, 14732172168, 186438215288, 2076762625280, 20615345103221, 184193620785662, 1493485157558475, 11064969710773813, 75344449772063315, 473886614814871290} ■10x11マス短軸[宝マックス110]誤差無し超精度出力 {54, 2986, 106535, 2809563, 58613877, 1008675376, 14732172168, 186438215288, 2076762625280, 20615345103221, 184193620785662, 1493485157558475, 11064969710773813, 75344449772063315, 473886614814871290, 2765038907116410448, 15023694675042020841, 76269358699048739194, 362832547009949451711, 1621777044527990200295, 6827034488109809426248, 27124024759248955787825, 101904561381414659643801, 362668191967525191316149, 1224594869009186278362197, 3928918712582020633184836, 11993010091186739323207528, 34872803628890677316458245, 96701876684715330383277536, 255987788680549630904072389, 647517507403628789446244090, 1566430470208633223958158804, 3627003959035122935087625706, 8044241949293256980372418141, 17100953323762000456874700254, 34868110202265198781245952416, 68228006898055557190813728268, 128190662062310195770122109838, 231379032318409912875450561981, 401386119829062405379311952180, 669501640919485205860393863242, 1074128787984651570651114255298, 1658158369872650647498283857692, 2463745716393284143023564750005, 3524419870897912253484942284267, 4855230661098410212353870688852, 6442561036093239114961079341792, 8236021267588518552179370653781, 10145152574582213779723765609741, 12043212342562946715212669135685, 13779006112656934233639650341987, 15195790594717170923743811961963, 16154209461809421683908391668438, 16554705092054959310107232375844, 16354455546786845620588503378473, 15574871752828928213007943595130, 14297848937421552725397637203341, 12651675284596196583020812761999, 10789934783794454001202522269508, 8868176165023100630315597638124, 7023191100080406798640576599900, 5358556041672084715961489945070, 3938136642992320114429731760025, 2787198461140921569923008250123, 1899200846763766445109137323015, 1245599626991420680963468742682, 786059919877306051725979102610, 477148110513168338947069356089, 278488276406665144519498596291, 156220051301125989451026301372, 84187205198773025105931285352, 43563269236289301413687814123, 21633492202287989782140523852, 10304126405997396706393641536, 4704343966978514952421542329, 2057273329390565150258124479, 861125612252280280197303452, 344724281852177462309276600, 131864437900817709914704184, 48152748109676755513465463, 16768861065438594018506635, 5562722922984961607334596, 1755664361447450704201446, 526485335900538386442008, 149791895762749488706122, 40369511759467673939372, 10287721956350940014076, 2474258480845724226665, 560404564514723042517, 119249674395435180032, 23777219685833369594, 4429183895169372518, 768230563678356476, 123599188163041802, 18365848550408579, 2507869441952093, 312872684416046, 35417625799172, 3608294656769, 327563427251, 26172710144, 1812031106, 106496129, 5166071, 198590, 5672, 107, 1, 0, 0} /_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ ■11x12マス短軸Cピックアップ 129 109 127 108 89 125 106 88 71 123 104 87 70 55 121 102 85 69 54 41 119 100 83 68 53 40 29 117 98 81 66 52 39 28 19 115 96 79 64 51 38 27 18 11 113 94 77 62 49 37 26 17 10 5 111 92 75 60 47 36 25 16 9 4 1 >>4 [11,] 4320 4165 161 から 合計4320 ☆☆☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+3C(1,(10mod n)-2)+5C(1,n-11)+5C(0,C(0,C(3,n-16)))+9C(1,n-22)+3C(0,C(0,C(5,n-29)))+15C(0,n-37)+C(0,C(0,C(8,n-46))),k-1),{n,1,65}],{k,1,15}] しかし出力不可 ■12x13マス短軸Cピックアップ 153 131 151 129 109 149 128 108 89 147 126 107 88 71 145 124 105 87 70 55 143 122 103 86 69 54 41 141 120 101 84 68 53 40 29 139 118 99 82 67 52 39 28 19 137 116 97 80 65 51 38 27 18 11 135 114 95 78 63 50 37 26 17 10 5 133 112 93 76 61 48 36 25 16 9 4 1 >>4 [12,] 6054 5845 191 から 合計6054 ☆☆☆ ■12x13マス短軸Cピックアップ 153 131 151 130 109 149 128 108 89 147 126 107 88 71 145 124 105 87 70 55 143 122 103 86 69 54 41 141 120 101 84 68 53 40 29 139 118 99 82 67 52 39 28 19 137 116 97 80 65 51 38 27 18 11 135 114 95 78 63 50 37 26 17 10 5 133 112 93 76 61 48 36 25 16 9 4 1 >>4 [12,] 6054 5845 191 から 合計6054 ☆☆☆ ■13x14マス短軸Cピックアップ 179 155 177 154 131 175 152 130 109 173 150 129 108 89 171 148 127 107 88 71 169 146 125 106 87 70 55 167 144 123 104 86 69 54 41 165 142 121 102 85 68 53 40 29 163 140 119 100 83 67 52 39 28 19 161 138 117 98 81 66 51 38 27 18 11 159 136 115 96 79 64 50 37 26 17 10 5 157 134 113 94 77 62 49 36 25 16 9 4 1 >>4 [13,] 8261 7987 223 から 合計8261 ☆☆☆ ■14x15マス短軸Cピックアップ 207 181 205 180 155 203 178 154 131 201 176 153 130 109 199 174 151 129 108 89 197 172 149 128 107 88 71 195 170 147 126 106 87 70 55 193 168 145 124 105 86 69 54 41 191 166 143 122 103 85 68 53 40 29 189 164 141 120 101 84 67 52 39 28 19 187 162 139 118 99 82 66 51 38 27 18 11 185 160 137 116 97 80 65 50 37 26 17 10 5 183 158 135 114 95 78 63 49 36 25 16 9 4 1 >>4 [14,] 11019 10668 258 から 合計11019 ☆☆☆ ■17x18マス短軸も Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+3C(1,(10mod n)-2),k-1),{n,1,152}],{k,1,15}] このくらいの長さの式にできれば…… Domino tiling with free boundary conditions 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+3C(0,n-4)+5C(0,n-7)+C(1,n-11)+C(1,n-13),k-1),{n,1,20}],{k,1,42}] Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+3C(0,n-4)+5C(0,n-7)+C(0,C(0,C(3,n-11))),k-1),{n,1,20}],{k,1,42}] 6×7マス短縮率わずか □■■■■■■ □□■■■■■ □□□■■■■ □□□□■■■ □□□□□■■ □□□□□□■ □■■■■■■ □□■■■■■ □□□■■■■ □□□□■■■ □□□□□■■ □□□□□□■ ■残りのくじは正確に30枚あると仮定する 最初にくじを引いた時を i 2枚目のくじを引いた時を j として 2枚引いたくじの内の1枚がA賞であるという事象Aを考える. A={(i,j)| i または j がA賞(当たり)} Ω={(i,j)|1≦i≦30,1≦j≦29}となり この870通りの各要素が根元事象 #A=30x29-29x28=58 #Aは事象Aに含まれる要素の個数 2枚引いたくじの内の1枚がA賞である確率は P(A)=((29 30)-(28 29))/870=1/15 よって、1/15で正解 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1563152697/6 ■60枚のうち当たり2枚 1-(58/60)(57/59)=39/590 =0.0661016949152542372881355932203389830508... 1/15=0.06666666666666666666666666666666666666666... 2回とも外れる確率 29 28 28 14 ― × ― = ― = ― 30 29 30 15 全体(100%)からそれを引いたモノが当選率 15 14 1 ― − ― = ― 15 15 15 全部で50本クジが用意されておりA賞は1本のみ そこから20人が引き、まだA賞は引かれていない (後の客に迷惑かけないように)2本を同時に引き同時に開封する →当たる確率は1/15(2/30) Table[Quotient[1/2+sqrt(2n),1],{n,1,36}] {1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8} Table[Quotient[1/2+sqrt(2n-5),3],{n,1,36}] {0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2} Table[Quotient[1/2+sqrt(2n-5),4],{n,1,36}] {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2} Table[Quotient[1/2+sqrt(2n),6],{n,1,36}] {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1} Table[C(0,C(2,(n+1)-C(floor((1+sqrt(8(n+1)))/2),2))),{n,1,66}] {0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0} Table[C(0,C(1,(n+1)-C(floor((1+sqrt(8(n+1)))/2),2))),{n,1,35}] {0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1} ■残りくじが50-n枚の可変型式を作った 残りくじが33枚の時 ((49-n)(50-n)-(48-n)(49-n))/((50-n)(49-n)),n=17 2/33 「det」は、行列式の英語に当たる”determinant”に由来 長軸有利☆ 7×8 Table[sum[C(2n-1+C(0,n-1 mod14)+C(0,n-3 mod18)+3C(1,n-5)+3C(1,n-9)-19C(0,n-14)-C(1,n-17)-C(1,n-19),k-1),{n,1,27}],{k,1,56}] Table[sum[C(2n-1+C(1,(n+1)-C(floor((1+sqrt(8(n+1)))/2),2))-C(0,n-5)-3C(0,n-9)-5C(0,n-14)-C(0,C(0,C(3,n-17))),k-1),{n,1,27}],{k,1,56}] 少し長くなるが式の構造は上 Table[3C(1,(10mod n)-2),{n,1,27}] {0, 0, 0, 3, 0, 0, 3, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0} floorとsqrtは記号で表示されるから結局短い 0915 ふうL@Fu_L12345654321 学コン1傑いただきました! とても嬉しいです! https://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg https://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477 https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) >>7 >>199>>242 4×5の場合 宝:1個 同等 宝:2〜4個 短軸有利 宝:5〜13個 長軸有利 宝:14〜20個 同等 ボンミス ■10x11マス短軸Cピックアップ 107 89 105 88 71 103 86 70 55 101 84 69 54 41 _99 82 67 53 40 29 _97 80 65 52 39 28 19 _95 78 63 50 38 27 18 11 _93 76 61 48 37 26 17 10 5 _91 74 59 46 35 25 16 9 4 1 >>2 [10,] 2986 2875 134 から 合計2986 ☆☆☆ 1 5 11 19 29 41 55 71 89 は三角数の位置 三角数の位置との差が最小になるまで エネルギーレベルが上昇変化 >>20 >>21>>234 ■式を工夫したら念願のテーブル出力ができた! Table[sum[C(2n-1+C(1,(n+1)-C(floor((1+sqrt(8(n+1)))/2),2))-C(0,n-5)-3(C(0,n-9)+C(1,n-13))-7C(0,n-20)-C(0,C(0,C(4,n-23))),k-1),{n,1,35}],{k,1,16}] {35, 1210, 27444, 462938, 6168325, 67504568, 623551570, 4960367131, 34509440319, 212525346318, 1169989129225, 5804244923649, 26122841703128, 107268699582069, 403841343528838, 1399743796844505} 8×9の場合 宝:1個 同等 宝:2〜22個 短軸有利 宝:23〜57個 長軸有利 宝:58〜72個 同等 □■■■■■■■■ □□■■■■■■■ □□□■■■■■■ □□□□■■■■■ □□□□□■■■■ □□□□□□■■■ □□□□□□□■■ □□□□□□□□■ 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2)+3C(1,(10mod n)-2)+7C(0,n-11)+C(1,n-12)+9C(0,n-16)+C(0,C(0,C(5,n-22))),k-1),{n,1,35}],{k,1,12}] 長軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(1,(n+1)-C(floor((1+sqrt(8(n+1)))/2),2))-C(0,n-5)-3(C(0,n-9)+C(1,n-13))-7C(0,n-20)-C(0,C(0,C(4,n-23))),k-1),{n,1,35}],{k,1,16}] 同等☆ Table[sum[C(2n-1-3C(0,C(0,C(4,n-24)))-8C(0,C(0,C(3,n-20)))-7C(0,n-20),k-2),{n,20,35}],{k,1,72}]+Table[C(71,k-1)+C(1,k),{k,1,72}] ■双子素数(ふたごそすう、英: twin prime) 差が 2 である二つの素数の組を構成する各素数のことである 双子素数の組は、(2, 3) を除いた、最も近い素数の組である 双子素数を小さい順に並べた列は、次のとおりである (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), … 各組の2素数の平均値(中間の偶数)は、次のとおりである 4, 6, 12, 18, 30, 42, 60, 72, 102, 108, 138, … 69, 67, 65, 63, 61, 59, 57, 56, 52, 50, 48, 46, 44, 43, 42, 37, 35, 33, 32, 31, 30, 24, 23, 22, 21, 20, 15, 14, 13, 12, 8, 7, 6, 3, 2 規則性は? 2 6 12 20 30 42 56は三角数の位置 24以下はすでに基底状態でマスが大きくなっても変化しない 次に一回り大きなマスになると 37, 35, 33, 32, 31, 30,は 36, 34, 33, 32, 31, 30, 52, 50, 48, 46, 44, 43, 42,は 51, 49, 47, 45, 44, 43, 42, 69, 67, 65, 63, 61, 59, 57, 56,は 68, 66, 64, 62, 60, 58, 57, 56, と差が1づつ減る >>310 は長軸8×9マス 三角数の位置は +C(1,(n+1)-C(floor((1+sqrt(8(n+1)))/2),2))によって nがどんなに大きくなっても自動で1アップ可能 マイナス1ずつになる部分の関数はまだできない 8×9マスまで短軸長軸同等すべて 宝を任意に変化させて誤差無しの出力が可能とは 『七本のうち二本があたりのくじびきです これを二回引くとき少なくとも一回は当たる確率は』 最初にくじを引いた時を i 2枚目のくじを引いた時を j として 2枚引いたくじの内の1枚が『当たり』であるという事象Aを考える. A={(i,j)| i または j が(当たり)} Ω={(i,j)|2≦i≦7,2≦j≦6}となり この42通りの各要素が根元事象 #A=7x6-5x4=22 #Aは事象Aに含まれる要素の個数 2枚引いたくじの内の1枚が当たりである確率は P(A)=((7 6)-(5 4))/42=11/21 よって、11/21で正解 ■七本のうち六本あたりがある場合 Ω={(i,j)|6≦i≦7,6≦j≦6}となり この42通りの各要素が根元事象 #A=7x6-1x0=42 事象Aに含まれる要素の個数が総事象と一致するので 当選確率100パーセント >>310 ■9x10マス長軸Cピックアップ 87, 85, 83, 81, 79, 77, 75, 73, 72, 68, 66, 64, 62, 60, 58, 57, 56, 51, 49, 47, 45, 44, 43, 42, 36, 34, 33, 32, 31, 30, 24, 23, 22, 21, 20, 15, 14, 13, 12, 8, 7, 6, 3, 2 >>2 [9,] 1986 1910 109 から 合計1910 ☆☆☆ ※見事なまでの対称性 ■10x11マス長軸Cピックアップ 107,105,103,101, 99, 97, 95, 93, 91, 90, 86, 84, 82, 80, 78, 76, 74, 73, 72, 67, 65, 63, 61, 59, 58, 57, 56, 50, 48, 46, 45, 44, 43, 42, 35, 34, 33, 32, 31, 30, 24, 23, 22, 21, 20, 15, 14, 13, 12, 8, 7, 6, 3, 2 >>2 [10,] 2986 2875 134 から 合計2875 ☆☆☆ ひとつ前のマスから次のマスのCピックアップは 簡単に予測できる ■正式なお題 n枚の金貨がある(n≧3). この金貨の中に1枚だけ重さの軽いものが混ざっているが, それは他のものと見分けがつかない. 天秤を3回使っても, 重さの軽い金貨を特定出来ないという. このときnの最小値を求めよ. 残り3枚は1回で調査できるから3回で調査できる 最大のnは3^3=27 重さの軽い金貨を特定出来ないnの最小値は28. 重いのか軽いのか判定できない金貨が 1枚混入している場合は特定するのに軽い時のみの 2倍の難易度になると思われるので 特定出来ないnの最小値は14.(モーダスポネンス) 『n枚の金貨がある(n≧2). この金貨の中に1枚だけ重さの違うものが混ざっているが, それは他のものと見分けがつかない. 天秤を3回使っても, 重さの違う金貨を特定出来ないという. このときnの最小値を求めよ』 ■重さの違う金貨を特定出来る最大値は13 天秤に1枚づつ以上載せて釣り合えばその金貨は 正式な金貨であることが確定する 最初に4枚づつ載せて釣り合えばこの8枚は正式が確定 残り5枚の中にニセ金貨がある 傾けばこの8枚の中にニセ金貨がある ニセを含む5枚の内、3枚と正式な金貨3枚を比べる 釣り合えば残り2枚の内の1枚を情報が確定している 正式な金貨と比べればどの金貨がニセかが確定する 釣り合わなければ、『重いか軽いかが確定している3枚』と なるので次の一回で確定する 4枚づつ計8枚が傾けば、どちらかに 重いか軽いかの金貨がある この場合、互いの4枚から1枚づつをエクスチェンジする そこに情報確定済みの正式な金貨を片側に3枚加えて 4枚づつを計る 釣り合えば正式な金貨3枚の代わりに取り除いた 3枚の金貨が『重いか軽いかが確定している3枚』となるので 次の一回で確定する 傾きが逆になったときはエクスチェンジした金貨がニセ この二つの金貨のうちどちらかを正式な金貨と比べれば 情報が確定 傾が変化しなければエクスチェンジしなかった3枚の金貨が 『重いか軽いかが確定している3枚』となる これらの時、ニセ金貨が重いか軽いかも自動判定される 金貨14枚だとさらに1回の調査が必要になる 以上により、 重さの違う金貨を特定出来ないnの最小値は14. /_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ 『n枚の金貨がある(n≧2). この金貨の中に1枚だけ重さの違うものが混ざっているが, それは他のものと見分けがつかない. 天秤を4回使っても, 重さの違う金貨を特定出来ないという. このときnの最小値を求めよ』 ■重さの違う金貨を特定出来る最大値は40 天秤に1枚づつ以上載せて釣り合えばその金貨は 正式な金貨であることが確定する 最初に13枚づつ載せて釣り合えばこの26枚は正式が確定 残り14枚の中にニセ金貨がある 傾けばこの26枚の中にニセ金貨がある ニセを含む14枚の内、9枚と正式な金貨9枚を比べる 釣り合えば残り5枚の内の3枚を情報が確定している 正式な金貨と比べる 釣り合えば残り2枚の内の1枚を情報が確定している 正式な金貨と比べればニセが確定 3枚が釣り合わなければ『重いか軽いかが確定している3枚』 となるので次の一回で確定する ニセを含む9枚と正式な金貨9枚が釣り合わなければ、 『重いか軽いかが確定している9枚』となるので 次の二回で確定する 13枚づつ計26枚が傾けば、どちらかに 重いか軽いかの金貨がある この場合、互いの13枚から4枚づつをエクスチェンジする そこに情報確定済みの正式な金貨を片側に9枚加えて 13枚づつを計る 釣り合えば正式な金貨9枚の代わりに取り除いた 9枚の金貨が『重いか軽いかが確定している9枚』となるので 次の二回で確定する 傾きが逆になったときはエクスチェンジした金貨がニセ この4+4枚の金貨でさらに1枚づつのエクスチェンジを行う すると 『重いか軽いかが確定している3枚』と『重軽どちらかがある2枚』 となるので、次の一回で確定する 傾が変化しなければエクスチェンジしなかった9枚の金貨が 『重いか軽いかが確定している9枚』となる これらの時、ニセ金貨が重いか軽いかも自動判定される (ただし、『重軽どちらかがある2枚』は50%の確率でニセという 情報のみ判定) 金貨41枚だとさらに1回の調査が必要になる 以上により、 重さの違う金貨を特定出来ないnの最小値は41. Table[(3^n-1)/2,{n,1,20}] {1, 4, 13, 40, 121, 364, 1093, 3280, 9841, 29524, 88573, 265720, 797161, 2391484, 7174453, 21523360, 64570081, 193710244, 581130733, 1743392200} /_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/_/ 少し校正するかね(´・ω・`) 『n枚の金貨がある(n≧2). この金貨の中に1枚だけ重さの違うものが混ざっているが, それは他のものと見分けがつかない. 天秤を4回使っても, 重さの違う金貨を特定出来ないという. このときnの最小値を求めよ』 ■重さの違う金貨を特定出来る最大値は40 天秤に1枚づつ以上載せて釣り合えばその金貨は 正式な金貨であることが確定する 最初に13枚づつ載せて釣り合えばこの26枚は正式が確定 残り14枚の中にニセ金貨がある 傾けばこの26枚の中にニセ金貨がある ニセを含む14枚の内、9枚と正式な金貨9枚を比べる 釣り合えば残り5枚の内の3枚を情報が確定している 正式な金貨3枚と比べる 釣り合えば残り2枚の内の1枚を情報が確定している 正式な金貨と比べればニセが確定 3枚が釣り合わなければ『重いか軽いかが確定している3枚』 となるので次の一回で確定する ニセを含む9枚と正式な金貨9枚が釣り合わなければ、 『重いか軽いかが確定している9枚』となるので 次の二回で確定する 13枚づつ計26枚が傾けば、どちらかに 重いか軽いかの金貨がある この場合、互いの13枚から4枚づつをエクスチェンジする そこに情報確定済みの正式な金貨を片側に9枚加えて 13枚づつを計る 釣り合えば正式な金貨9枚の代わりに取り除いた 9枚の金貨が『重いか軽いかが確定している9枚』となるので 次の二回で確定する 傾きが逆になったときはエクスチェンジした金貨がニセ この4+4枚の金貨でさらに1枚づつのエクスチェンジを行う すると 『重いか軽いかが確定している3枚』か『重軽どちらかがある2枚』 となるので、次の一回で確定する 傾が変化しなければエクスチェンジしなかった9枚の金貨が 『重いか軽いかが確定している9枚』となる これらの時、ニセ金貨が重いか軽いかも自動判定される (ただし、『重軽どちらかがある2枚』は50%の確率でニセという 情報のみ判定) 金貨41枚だとさらに1回の調査が必要になる 以上により、 重さの違う金貨を特定出来ないnの最小値は41. 重軽どちらかがある二枚も 100パーセント判定できるかも 情報不確定な二枚の金貨が残った時のみ 50パーセントの確率でニセ情報の判定 Table[sum[C(2n-1+C(1,(n+1)-C(floor((1+sqrt(8(n+1)))/2),2))-C(0,n-5)-3(C(0,n-9)+C(1,n-13))-7C(0,n-20)-C(0,C(0,C(4,n-23))),k-1),{n,1,35}],{k,1,16}] 4000 かずきち@dy_dt_dt_dx 8月28日 学コン8月号Sコース1等賞1位とれました! マジで嬉しいです! 来月からも理系に負けず頑張りたいと思います! https://twitter.com/dy_dt_dt_dx https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) 一(いち) = 10^0 万(まん) = 10^4 億(おく) = 10^8 兆(ちょう) = 10^12 = T(tera) 京(けい) = 10^16 垓(がい) = 10^20 𥝱(じょ), 秭(し) = 10^24 = Y(yotta) 穣(じょう) = 10^28 溝(こう) = 10^32 澗(かん) = 10^36 正(せい) = 10^40 載(さい) = 10^44 極(ごく) = 10^48 恒河沙(ごうがしゃ) = 10^52 阿僧祇(あそうぎ) = 10^56 那由他(なゆた) = 10^60 不可思議(ふかしぎ) = 10^64 無量大数(むりょうたいすう) = 10^68 1から7までの数字が1つずつ書かれたカードがある それらのカードは 1、2、3、4、5、6、7 の順に並んでいる この時、すべてのカードが最初の位置と違う並び方は何通りあるか? すべての自然数を、素数と高々 k 個の素数の積である数との和で表すことのできるような、k が存在することを証明してくれ〜 素数の確率分布に焦点を当てた 統計的な考察は、十分に大きな整数に対して(弱い形も強い形も両方とも)この予想を支持する非公式な情報をもたらしている 整数が大きくなればなるほど、2つ 3つの 他の数の和で表すことが可能な組み合わせの 数が多くなり、これらの表現が素数だけで 和を表すとすくなくとも一つはより 「ありそう」になっている >>346 ハンガリーのレーニ (A.Renyi, 1921〜1970) が「大きな篩い」を使って示した。(1947) k=2 については 中国の陳景潤 (1933〜1996) の定理が、じゅうぶん大きいすべての偶数について真であることを示す。(〜1978) k=1の場合は ゴールドバッハ (C.Goldbach, 1690〜1764) の予想である。(未解決) [分かスレ459.065, 106] 「4以上の偶数は2個の幸運数の和として表せる」という問題は、未解決である 最初に示したパズルのピースは大きさが 違いますから、同じ宇宙(舞台)であれば はまるはずはありません それらをもしはめようとするなら、 複数の宇宙(舞台)を用意して、そのなかで 同じものを考えれば、どちらの世界にも 矛盾しない形でこれらをはめ込むことが 少なくとも形式的にはできるというわけです IUT理論はこのように複数の舞台を考え、 舞台間の関係づけをしていくのです ◆日本の「富岳」がスパコン世界ランキング1位 2020年6月23日 スパコン世界ランキングを年2回に分けて 掲載しているTOP500は、第55回目となる6月のランキングを発表した 1位は富士通と理化学研究所が開発した 国産スパコンの「富岳」となり、演算性能を競うHigh Performance Linpack(HPL)での結果は 415.5PFLOPSで、前回(2019年11月)1位で 今回は2位となったIBM製Summitの148.8PFLOPSから約2.8倍と、大きな性能差を見せる結果となった 3位もIBMのSierraで94.6PFLOPS(前回2位)、 4位は中国Sunway TaihuLight(神威太湖之光)で93PFLOPS(前回3位)、5位も続いて中国のTianhe-2(天河二号)で61.4PFLOPS(前回4位)であり、それぞれランキングが繰り下がっている なお、7位にはNVIDIAが本日発表したスパコン「Selene」がランキングしており、性能は27.58PFLOPSだった 同システムはAmpereアーキテクチャのDGX A100とAMDの64コアCPUであるEPYC 7742を搭載し、米国立衛生研究所とテキサス大学オースティン校で稼働している 富岳は、Armアーキテクチャを採用する 富士通開発のCPU「A64FX」を搭載し、ノード間接続にはTofu(Torus fusion)インターコネクトを採用 ArmプロセッサがTOP500で1位を獲得したのは 今回が初となる A64FXの命令セットアーキテクチャはArm v8.2-A SVEで、計算ノードとして48コア+2アシスタントコア、IO兼計算ノードとして48コア+4アシスタントコアを備え、理論演算性能は倍精度で2.7TFLOPS以上を誇る A64FXを搭載する富岳のピーク性能は、1EFLOPS(エクサフロップス)を超えているという. 地球シミュレータ(1.3ペタフロップス) 京(10ペタフロップス) 富岳(1.5エクサフロップス) 汀優(700エクサフロップス) 銀河シミュレータ(130ゼタフロップス) 聚楽(14ヨタフロップス) 勾玉(10000ヨタフロップス) 宇宙シミュレータ(25000000ヨタフロップス) 不可思議(10の64乗ヨタフロップス) 不可説不可説転(10の3.7x2の122乗ヨタフロップス) 初等関数(しょとうかんすう、英: Elementary function)とは、 実数または複素数の1変数関数で、代数関数、指数関数、対数関数、 三角関数、逆三角関数および、それらの合成関数を作ることを 有限回繰り返して得られる関数のことである ガンマ関数、楕円関数、ベッセル関数、誤差関数などは初等関数でない 初等関数のうちで代数関数でないものを初等超越関数という 双曲線関数やその逆関数も初等関数である 初等関数の導関数はつねに初等関数になる モンティホール問題はモンティが意図的にドアを開けるから プレイヤーにとって最初に選んだ当たりのドアの確率は 1/3のまま不変 トランプ問題はシャッフルして無作為に選択するから 10/49に下がる この宇宙は100%近い確率で何者かによる シミュレイテッド空間らしい 量子力学の二重スリット実験などで 宇宙のほころびが実証されつつあるが 完全にこの宇宙が作り物だと証明できた 瞬間シミュレーションは不要となるので 天のフタが開いて宇宙人か神か何かが現れ 我々の魂をアセンションさせて くれるのではないだろうか 数式は宇宙開闢時から存在しているので 人間の後付けプログラム解よりも はるかに価値が高い ロジックは明確なのに 数式が作れないとは… 数列: a(n) = { i = ceil( (-3 + sqrt(8*n+9))/2 ) ; \\ row j = n - (i-1)*(i+2)/2; \\ column return( -1 + min( i- (2<j)*(j-2) , j ) ) } a(1)〜a(65) 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 0, (i<j の時に改行) 頂点の5は一回り大きな数列になると 3つになる その次は6が1つ 一個と三個を交互に繰り返す >>356 プログラミング言語は作者の気分でコロコロ仕様が変わってしまうのが難だな [0] [0,0] [0,1,0] [0,1,1,0] [0,1,2,1,0] [0,1,2,2,1,0] [0,1,2,3,2,1,0] [0,1,2,3,3,2,1,0] [0,1,2,3,4,3,2,1,0] [0,1,2,3,4,4,3,2,1,0] return(-1+min(i-(2<j)*(j-2),j)) Table[n-(ceil((-3+sqrt(8*n+9))/2)-1)*(ceil((-3+sqrt(8*n+9))/2)+2)/2,{n,1,40}] 学術の巨大掲示板群 - アルファ・ラボ ttp://x0000.net 数学 物理学 化学 生物学 天文学 地理地学 IT 電子 工学 言語学 国語 方言 など 式の判定部分をwolfram入力形式に変形してくれ〜(^_^)ノ return(-1+min(i-(2<j)*(j-2),j)) Table[2n-1+C(0,n-2)+3C(1,(10mod n)-2)+5C(1,n-11)+3C(0,C(0,C(3,n-16)))+11C(0,n-22)+C(0,C(0,C(6,n-29))),{n,1,44}] 今我々を構成してる原子や素粒子も、 はたまた空間や時間も、 巨大な数学的プラトン構造の一部に 過ぎないんだぞ? その数学的プラトン構造も、 さらに巨大な数学的構造の一部というね 学術の巨大掲示板群 - アルファ・ラボ ttp://x0000.net 数学 物理学 化学 生物学 天文学 地理地学 IT 電子 工学 言語学 国語 方言 など min(x, y) = if (x ≦ y) then x else y (x<y) = if (x < y) then 1 else 0 ブール値である False, True と 0, 1 を 区別しない言語に特有の記法 そうでない言語も多い 87 71 85 70 55 83 68 54 41 81 66 53 40 29 79 64 51 39 28 19 77 62 49 38 27 18 11 75 60 47 36 26 17 10 5 73 58 45 34 25 16 9 4 1 規則性を見つけてくれ〜(^_^)ノ 上は nを1〜44まで変化させた2n−1の出力に 4を頂点としてその周りを1小さな数で 取り囲んでいったものをプラスしたもの 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 2 1 0 0 1 2 3 2 1 0 0 1 2 3 3 2 1 0 0 1 2 3 4 3 2 1 0 このような数列を表す数式を 知っている人はいますか? 「次元の呪い」とは、データの次元(要素数)が大きくなると、そのデータを分析する際の計算量が指数関数的に増大する現象を指す 次元の呪いを回避するため、一般的に機械学習の高次元データは次元を減らす ただ従来の手法には、次元の削減に伴って データの分布や確率が不正確になる課題がり、それがAIの精度低下を招く一因になっていた 例えば分布や確率が実際と異なると、 正常データを異常と誤判定してしまうような 間違いを引き起こしてしまう 富士通研究所は、 誤差が一定の条件で次元削減したデータの 情報量が最小になるように調整すると、 分布や確率を損なわずに次元削減できる ことを数学的にも証明した この証明が、今回の手法を実現する際の最も重要なポイントになった 今回のアイデアは、同社が長年研究してきた映像圧縮技術の理論を基にしている 映像圧縮技術には、データの分布や確率を保ったまま次元削減できる「離散コサイン変換」などの手法(次元削減変換)を使ったうえで、 元データと復元データの誤差を一定に抑えるように圧縮すると、情報量が最小になるという 理論がある 同社はこの理論を逆転し、誤差を一定に抑えながら情報量が最小になるような次元削減変換を探せば、それがデータの分布や確率を損なわない変換になると考えた Table[Floor[Abs[n-(Floor[(Floor[Sqrt[2n+1]]+1)^2/2]-1/2-Floor[(Floor[Sqrt[2n+1]]+1)/2])]],{n,1,100}] {0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 4, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 5, 4} Table[89-2 Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2]+(n-(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2]+1)(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2])/2)^2-17(n-(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2]+1)(Floor[(-1+Sqrt[1+8n])/2])/2),{n,1,44}] {87, 71, 85, 69, 55, 83, 67, 53, 41, 81, 65, 51, 39, 29, 79, 63, 49, 37, 27, 19, 77, 61, 47, 35, 25, 17, 11, 75, 59, 45, 33, 23, 15, 9, 5, 73, 57, 43, 31, 21, 13, 7, 3, 1} 0,1の2値を扱う論理代数は,論理回路の設計や 解析を行う上での数学的基礎を与えるものである. 19世紀にBooleにより論理代数(いわゆるブール代数)が 体系化され,更に20世紀中頃になり,Shannonにより 論理代数に基づく論理回路設計法が示された. それ以降,様々な論理設計のための技法が 研究開発されている. 近年では,それらの多くの技法は,計算機上に プログラムとして実装され,人手で扱うことが到底困難な 大規模な論理回路を,計算機の力を借りて現実的な 処理時間で設計することが可能になってきている. しかし,任意の問題に対する完全な設計自動化は 困難であるため,依然として人間の関与も必要である. 論理回路設計の仕組みについても設計者がある程度理解し, 設計自動化プログラムを利用しながら,不満足な部分を 人間が補完していく必要があると考えられる. 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 44 36 43 35 28 42 34 27 21 41 33 26 20 15 40 32 25 19 14 10 39 31 24 18 13 09 06 38 30 23 17 12 08 05 03 37 29 22 16 11 07 04 02 01 上の数列を下の数列に変換する アルゴリズムを見つけてくれ(^_^)ノ 下のような7個のデータを持つリストがある このときに今要素1がどこにあるか、 検索したい (10(7(12(6(1(4(3 線形探索では、 最初の要素である10を見る 10は1ではないので、次の要素7を見る 7は1ではないので、次の要素12を見る 12は1ではないので、次の要素6を見る 6は1ではないので、次の要素1を見る 1を見つけることができた 最悪のケースは、このリストの場合、 要素3を見つけるときで、7個のデータ全てを 見ないと、見つけることができない ceil((-3+sqrt(8*n+9))/2) 112223333444445555556666666 Table[n-(ceil((-3+sqrt(8*n+9))/2)-1)*(ceil((-3+sqrt(8*n+9))/2)+2)/2,{n,1,44}] 121231234123451234561234567… 超幾何級数 a(n)=Hypergeometric1F1[-n;-2n;-2] Table[1F1(-n,-2n,-2),{n,1,18}] 1530 学コン・宿題ボイコット実行委員会@gakkon_boycott 9月1日 #拡散希望 #みんなで学コン・宿題をボイコットしよう 雑誌「大学への数学」の誌上で毎月開催されている学力コンテスト(学コン)と宿題は、添削が雑で採点ミスが多く、訂正をお願いしても応じてもらえない悪質なコンテストです。(私も7月号の宿題でその被害に遭いました。)このようなコンテストに参加するのは時間と努力の無駄であり、参加する価値はありません。そこで私は、これ以上の被害者を出さないようにするため、また、出版社に反省と改善を促すために、学コン・宿題のボイコットを呼び掛けることにしました。少しでも多くの方がこの活動にご賛同頂き、このツイートを拡散して頂ければ幸いです。 https://twitter.com/gakkon_boycott/status/1300459618326388737 https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) 1545 学コン・宿題ボイコット実行委員会@gakkon_boycott 9月1日 #拡散希望 #みんなで学コン・宿題をボイコットしよう 雑誌「大学への数学」の誌上で毎月開催されている学力コンテスト(学コン)と宿題は、添削が雑で採点ミスが多く、訂正をお願いしても応じてもらえない悪質なコンテストです。(私も7月号の宿題でその被害に遭いました。)このようなコンテストに参加するのは時間と努力の無駄であり、参加する価値はありません。そこで私は、これ以上の被害者を出さないようにするため、また、出版社に反省と改善を促すために、学コン・宿題のボイコットを呼び掛けることにしました。少しでも多くの方がこの活動にご賛同頂き、このツイートを拡散して頂ければ幸いです。 https://twitter.com/gakkon_boycott/status/1300459618326388737 https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account) 1=0.999…は証明しません.「定義」です. このように定義する理由は,感覚的な違和感を除き,これで何ら不都合が起きないから. 1≠0.999… とすると不都合が起きます. 「異なる数の間には必ず数がある」 のが数直線の性質. 1>0.999… ならば 1>a>0.999… を満たす数 a が存在するはず. ところがそれを具体的に表すことができない. つまり,1>0.999…は数直線の性質に対して不都合が起きているわけです. 「真実かどうか?」は数学では無関心. というより数学には真実はありません.すべては仮説です. 感覚的な違和感はどうあれ,数学ではより合理的な仮説を採用します. ある種の素数を分母とする分数では、 循環小数表示したときに 9 が現れる 1/7 = 0.142857142857⋯, 142 + 857 = 999 1/73 = 0.0136986301369863⋯, 0136 + 9863 = 9999 これほどまでとは(>_<) 37×3=111 37×6=222 37×9=333 37×12=444 37×15=555 37×18=666 37×21=777 37×24=888 37×27=999 271×41=11111 271×82=22222 271×123=33333 271×164=44444 271×205=55555 271×246=66666 271×287=77777 271×328=88888 271×369=99999 8547×13=111111 8547×26=222222 8547×39=333333 8547×52=444444 8547×65=555555 8547×78=666666 8547×91=777777 8547×104=888888 8547×117=999999 レピュニット とは 1, 11, 111, 1111, … のように全ての桁の数字が 1である自然数のことである 名前の由来は repeated unitを省略した単語であり、 1966年にアルバート・ベイラーが Recreations in the Theory of Numbers の中で命名したものである 1111111=239×4649 11111111111=21649×513239 0 < m < n であるような 定数 m,n があるとする 関数の集合 A があるとして、n 個の任意の 異なる入力 x1,x2,...,xn について、 少なくとも m 個の等式 A(xk) = yk が真となるように、n 組の数字 y1,y2,...,yn を計算できるだろうか? □□□□□□□□ □□□□□□□□ □□□□□□□□ □□□□□□□□ □□□□□□□□ □■□□□□□□ □□□□□□□□ □□□□□□□□ 2^n × 2^nのチェス盤から 1つのマス目だけ取り除いた欠損チェス盤は 以下のL字牌で敷き詰められることを証明せよ □ □□ □□□□□□□□ □□□□□□□□ □□□□□□□□ □□□□□□□□ □□□□□□□□ □■□□□□□□ □□□□□□□□ □□□□□□□□ 2^n × 2^nのチェス盤から 1つのマス目だけ取り除いた欠損チェス盤は 以下のL字牌で敷き詰められることを証明せよ □ □□ 2x2の4マスだと欠損がどこにあっても 100%設置可能はすぐわかる 2^n × 2^n以外の6x6の36マスだと 欠損で35マス、3の倍数にならないから 設置不可能になるのもわかる 同じ2^n × 2^n以外の10x10の100マスは 欠損で99マス、3の倍数になるけど設置可能 か否かもわかりません(>_<) sum binomial(15, i)*4^(15-i) from i = 5 to 15 = 5012015501 5 * 5012015501 = 25060077505 sum binomial(15, i)*binomial(15-i, j)*3^(15-i-j) from j = 5 to 15-i from i = 5 to 10 = 323173994 binomial(5, 2) * 323173994 = 3231739940 binomial(15, 5) * binomial(10, 5) = 756756 25060077505 - 3231739940 + 756756 = 21829094321 5^15 = 30517578125 21829094321 / 30517578125 = 0.715295762710528 1〜8までの循環小数 1/9=0.1111… 2/9=0.2222… 3/9=0.3333… 4/9=0.4444… 5/9=0.5555… 6/9=0.6666… 7/9=0.7777… 8/9=0.8888… の関係性から 9/9=0.9999… である 9/9=1 なので 1=0.9999… となる 2^n 倍に拡大したL字を 4^n 個のL字で敷き詰められることから帰納法 □□ □△ ○△△□ ○○□□ のように敷き詰める 即ち、L字が二倍サイズの4x4の16マスは コーナーの4マスどの位置に欠損があっても 敷き詰め可能 ■■□□ ■■□□ □□□□ □□□□ もちろん、全てのコーナーで可能となるので 16マスのどこが欠損していても敷き詰められる □□■■ □□■■ □□□□ □□□□ 視覚的に0.9999……は1よりも小さい しかし、1=0.9+0.1で計算が完了しているものをあえて 0.1=0.09+0.01 を作っている だから、第n項までの和は1−1/10^n ではなく 1−1/10^n+(1/10^n),n→∞ かもしれない 実数全体 R は有界ではない (アルキメデス性) R の空でない有界集合は上限(最小上界)と 下限(最大下界)を持つ ◆定義 「A := X」は、 A という記号の意味するところを、 X と定義することである 0.999...9(9がn個)=a_nとし、 0.999...:=lim(n→∞)a_nと定義する. 1=0.999...と仮定すると、 N(1)を1の開近傍系として 任意U∈N(1)に対して、ある自然数N_0が存在し、 n≧N_0ならばa_n∈U となる しかし、{1}∈N(1)であるが、任意の自然数nに対してa_n∈{1}ではない これは矛盾 したがって0.999...は1ではない ↑これについて真偽判定してくれ〜(^_^)ノ 欠損がセンター4マスに集中している時は 面積四倍サイズのL字に依存しなくても 敷き詰められる □□□□ □■■□ □■■□ □□□□ 無限ホテルの客室をずらす行為ができると 思っている人は ∞-∞=が計算可能だと思ってるとんでも ・満室である 無限の客室は際限なく存在するので 満室には決してならない、例え無限の宿泊客が訪れてもその概念は保ち続ける ・隣の部屋にずれる 隣の部屋にずれることができるということは 最後尾の部屋が空いていなければできず 「満室だった」という概念を保たない 無限という概念が人間の想像を超えてしまい、自然界にある 「数えきれないけれど終わりの存在するもの」に勝手に置き換えてしまう傾向がある そのため無限に無限を宛がえば 満席になってしまうと勘違いしてしまうのが 無限ホテルの真相 現実に終わりのないのが終わりの存在を確認したことがないため、数学的知識がない人間にはこのパラドックスが成立してしまう 1.41421……=√2 3.14159……=π 0.33333……=1/3 0.99999……=1 1/2+1/4+1/8……=1 1-(0.99999……)=0 1/∞=0 あらゆる正の実数 r に対して, |ε| < r が成り立つとき, εを無限小超実数と呼ぶ. ある実数 r に対して |ε| < r が成り立つとき, εを有限超実数と呼ぶ. さらに,どんな実数に対しても |ε| > r となるとき, εを無限大超実数と呼ぶ. >ある実数 r に対して >|ε| < r が成り立つとき, >εを 実数だな どの実数でも成り立つ 問題ない □■■■■■□□□□□■ □□■■■■□□□□■■ □□□■■■□□□■■■ □□□□■■□□■■■■ □□□□□■□■■■■■ ■■■■■□■□□□□□ ■■■■□□■■□□□□ ■■■□□□■■■□□□ ■■□□□□■■■■□□ ■□□□□□■■■■■□ ■センメルヴェイス反射(Semmelweis reflex) 通説にそぐわない新事実を拒絶する傾向、 常識から説明できない事実を受け入れがたい傾向のことを指す 考えてみれば、 「任意の」とか「すべての」という言葉が ついてしまっている文字(つまり、εとn)は誰かに勝手に与えられてしまうという感じのものなのであって、あなたがどうこう手を下し てよいものではありませんから、 あなたに残されたことは「存在する」という 言葉がついている文字(つまり N)が本当に 存在することを示すこと、すなわち、 要求された性質を持つ N を作る作り方を はっきり書き表すことに尽きます >>408 よく知られた読み方はドイツ語に近い ゼンメルワイス反射 医者は手を洗えと言ったら基地外扱いされたかわいそうなお医者ゼンメルヴァイスの逸話に由来する だからといって常識と違う言葉の使い方をしてよいというものではないのだ 1-0.999…:=x とおく 明らかに x≧0 いま x>0 を仮定 アルキメデスの原理より、 ある自然数 n が存在して 10^n > 1/x > 0 逆数をとって x > 1/(10^n) = 1-0.999…9(9がn個) ゆえに 0.999…9(9がn個) > 0.999… が従うが、これは矛盾だから仮定は偽 よって 0.999…=1 1≠0.999…派の人に聞きたいけれど (1) 1−0.999…=0.000… yes? or no? (2) 0≠0.000… yes? or no? 10進表記は実数より精度の高い数なんです つまり、実数より細かい順序を区別できます 実数は、それを直接表現するうまい方法がないので、 表現方法として10進表記を流用しているだけなんです 10進表記の方が精度が高いので、 精度の低い実数を表すぶんには問題はあり ません 8+lim(n→∞) ((Σ[k=1,n]9×10^(-k))+10^(-n-1)) 8+lim(n→∞) ((sum[9×10^(-k))+10^(-n-1),{k,1,n}) 8+lim(n→∞) (sum[9×10^(-k)+10^(-n-1),{k,1,n}]) ☆ Wolfram言語はプラットフォームに最適化された 最新のコードを使って,初等関数を非常に効率的に 機械精度で評価するだけでなく,多くの独自のアルゴリズムを 使って任意精度において世界最速で評価することもできる. Wolfram言語は記号関数と変換の高度な繋がりにより, 過去には主要な数学的成果とみなされていた 結果を簡単に得て,初等関数について 厳密な数値・代数操作を行うことができる. limit [sum[9×10^(-k)+10^(-n-1)+8,{k,1,n}],n→∞] limit [sum[9×10^(-k)+10^(-n-1),{k,1,n}]+8,n→∞] ☆ 「無限に大きい数」は存在しません. どんな数を持ってきても,それに 1 を足せば,より大きな数が出来るからです. 同様に「無限に小さい数」も存在しません. このような無限数は,数学的に厳密に定義出来ないにもかかわらず,古くから研究に用いられてきました(いわゆる「無限小解析」). その後 19 世紀に入り,厳密さを備えた ε-δ 論法が登場し,無限小解析は歴史から 姿を消します. 超準解析とは,「無限に大きい,小さい数を,数学として厳密に定式化し,取り扱う学問です. この枠組みでは, 無限数を用いた計算や証明が可能で, 現代数学を用いた無限小解析の再現とも 言えます. 0<ε<1/∞となるεは無限小で εは無限に存在する 0.999…9999 有限小数 = 1.000…0000 有限小数 - 0.000…0001 有限小数 但し 0.999…≠0.999…9999 ∵ 0.999…=0.999…9999… また 0.000…≠0.000…0000 ∵ 0.000…=0.000…0000… 0.999…;…999999 非実数有限超実数 = 1.000…;…000000 実数超実数 - 0.000…;…000001 無限小超実数 但し 0.999…;…999999≠0.999… ∵ 0.999…=0.999…;…999999…=0.999…;…999999…;…999999…;…999999… また 0.000…;…000001≠0.000… ∵ 0.000…=0.000…;…000000…=0.000… 0.999…;…999999 非実数有限超実数 = 1.000…;…000000 実数超実数 - 0.000…;…000001 無限小超実数 但し 0.999…;…999999≠0.999… ∵ 0.999…=0.999…;…999999…また 0.000…;…000001≠0.000… ∵ 0.000…=0.000…;…000000…=0.000…;…000000…;…000000…;…000000… 尚且つ 三点リーダ … 及びセミコロン ; を幾ら用いても最終桁は現れない 故に 1-0.999… は代数で表す他に単項で表す術は無い ◆砂山のパラドックス 0.9は1ではない 0.99は1ではない 0.999は1ではない 0.9999は1ではない したがって 0.99999…は1ではない 「3回微分して元に戻る関数」っていうのはどうなんだろう? 産廃ゴキブリニホンザルネトウヨ未婚ドブス子宮腐り下痢婆福嶋をガス室に送って四肢切断して殺せ ◆ハゲ頭のパラドックス 0.1は0より大きい 0.01は0より大きい 0.001は0より大きい 0.0001は0より大きい したがって 0.00000…は0より大きい ◆循環論法 x=0.9 とおくと 10x=9 である 9x=8.1 となるので x=0.9 である ◆帰納法から導けるのは仮説のみ(´・ω・`) 帰納とは、個別的・特殊的な事例から一般的・普遍的な 規則・法則を見出そうとする論理的推論の方法のこと 演繹においては前提が真であれば結論も必然的に真であるが、 帰納においては前提が真であるからといって 結論が真であることは保証されない 「思い込みや先入観のない事実」は存在しない、 つまり、絶対的客観性はあり得ない、ということです(´・ω・`) 船上に99匹の羊と1匹のヤギがいる このとき、船長は何歳でしょう? 40年前、数学教育を専門とするフランスの研究者が この問いを小学低学年の子どもたちに投げかけた すると、大多数の子どもが「100」と答えたそうだ もちろん、船の上に動物が何匹いようが、 船長の年齢と関係はない 解けるはずのないナンセンスな問いだが、 子どもたちは反射的に、文中に出てきた数を足し合わせ、 もっともらしい「解」を導き出した 『感情』の原因はそれを感じる者自身の固定観念・価値観・自己ルール 『解釈』の原因は情報発信者ではなく受信者 誤解の原因も解釈者 「言葉 風紀 世相の乱れ」はそう感じる人の心の乱れの自己投影 問題解決力の低い者ほど 自己防衛の為に礼儀作法やマナーを要求する 『憤怒』は無知・無能の自己証明 中途半端な知識主ほど辛辣に批判する ◆循環論法 x=0.9 とおくと(前提) 10x=9 である 9x=8.1 となるので x=0.9 である(結論) このような論証は論理的には妥当である すなわち、結論は実際に前提から導き出されている ただし、何らかの意味でその結論は前提と同一である 自己循環論法は全て、 このような証明すべき命題が論証のある時点で 仮定されるという性質を持つ ■∃存在する 例.(∃x)φx φxであるようなxが存在する アルバート・ハロルド・ライトストーン流 超実数表記を用いると 0.999… に無限に近い超実数は其々 0.999…;…000000 < 0.999…;…999999 < 0.999…;…999999… = 0.999… と並べられる 最後の 0.999…;…999999… のみが 実数 0.999… と等しい 此の ; 前半が超実数有限部で 後半が超実数無限小部である A. H. Lightstone - Wikipedia https://en.wikipedia...iki/A._H._Lightstone ◆循環論法 x=0.999… とおくと(前提) 9+x=9.999… である x=(9.999…)-9 となるので x=0.999… である(結論) このような論証は論理的には妥当である すなわち、結論は実際に前提から導き出されている ただし、何らかの意味でその結論は前提と同一である 自己循環論法は全て、 このような証明すべき命題が論証のある時点で 仮定されるという性質を持つ x=0.999… とおくと(前提) 9+x=9.999… は自明である しかし、 10x=9.999… は自明ではない (仮説) すなわち 10x-x=(9.999…)-(0.999…)=9 となる保証は存在しない 初等関数(しょとうかんすう、英: Elementary function)とは、 実数または複素数の1変数関数で、代数関数、指数関数、対数関数、 三角関数、逆三角関数および、それらの合成関数を作ることを 有限回繰り返して得られる関数のことである ◆循環論法 x=0.999… とおくと(前提) 10x=9.999… である 10x=9x+x となり 9x=8.999… なので x=0.999… である(結論) このような論証は論理的には妥当である すなわち、結論は実際に前提から導き出されている ただし、何らかの意味でその結論は前提と同一である 自己循環論法は全て、 このような証明すべき命題が論証のある時点で 仮定されるという性質を持つ (1+0.999…)/2=0.999… とおく(前提) (1+0.999…)/2=(1/2)+(0.999…)/2 =0.5+(0.4999…) なので (1+0.999…)/2=0.999… である(結論) 『素数の音楽』新潮社 マーカス・デュ・ソートイ/著 冨永星/翻訳 数学において「整数論」は 「数学の女王」と呼ばれている その「整数論」で最も重要なのが 「素数」と呼ばれるものだ 「素数」とは、 「自明な正の約数(1 と自分自身)以外に 約数を持たない自然数」である もっと簡潔に表現すれば、 「正の約数の個数が 2 である自然数」となる 具体的に書くと、「2,3,5,7,11,13…」となる ◆金曜ロードSHOW!「風の谷のナウシカ」 ★原作・脚本・監督:宮崎駿 12月25日 21:00〜23:24 2020年のクリスマスは 日本アニメーションを代表する珠玉の名作 ★マスクをしないと生きられない世界で、 一人の少女が未曽有の危機に立ち向かう ★ノーカット放送★ 佐藤グラスマン多様体がWiener空間上で実現されると、期待値をとる前の「ランダムなゼータ関数」というものが定義され、その「ランダムな零点」の期待値を計算することで本来のゼータ関数の零点の評価が可能になります。もしリーマンのゼータ関数に対してこの手法が適用できて、零点の分布が完全にわかれば、これはまだ示されていないことの解決にとって大きな前進となるでしょう。 将来は、@Wiener2次汎関数のなす空間の中に佐藤グラスマン多様体を実現し、AWiener2次汎関数のあるクラスに属する確率変数をランダムなテータ関数と思い、Bその確率変数の分布を解析する、ということができれば、と思っています。 Table[8(n-1){(n-2)n-6}/{2n(n+2)(6n^2-2n-5)-3(-1)^n+3}+1,{n,1,100}] ガンマ関数、楕円関数、ベッセル関数、誤差関数などは初等関数でない Table[sum[C(2n-1+C(0,n-2 mod18)+3C(0,n-4)+3C(1,n-7)+7C(0,n-11)+C(1,n-16)+C(1,n-18),k-1),{n,1,27}],{k,1,19}] 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 44 36 43 35 28 42 34 27 21 41 33 26 20 15 40 32 25 19 14 10 39 31 24 18 13 09 06 38 30 23 17 12 08 05 03 37 29 22 16 11 07 04 02 01 上の数列を下の数列に変換する アルゴリズムを見つけてくれ(^_^)ノ コンピュータによる証明では、 「何故そうなっているのかという 構造の説明がなされていない」という意味で 不十分だと指摘する人もいる コンピュータに説明させれば良い 説明できない証明はあり得ないから何も問題ない (4n^3-6n^2-4n-3(-1)^n+3)/48 ……(2) (-4n^3+18n^2+28n-3(-1)^n-45)/48 ……(3) Table[(4n^3-6n^2-4n-3(-1)^n+3)/48+(-4n^3+18n^2+28n-3(-1)^n-45)/48+1,{n,1,27}] n(n+1)/2-1 ……(1) 2{n(n+1)/2-1} Table[2{n(n+1)/2-1}+(4n^3-6n^2-4n-3(-1)^n+3)/48+(-4n^3+18n^2+28n-3(-1)^n-45)/48+1,{n,1,27}] {1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90, 100, 110, 121, 132, 144, 156, 169, 182, 196} >>3 差分追尾関数(2)+(3)+1 が nが一つずれているが even同着追尾関数(4)と一致するとは まだまだ奥が深い 同じ構造の式が出現するとは 背後にどんな真理があるのか? これが宇宙 Table[{2n^2-1+(-1)^(n)}/8,{n,1,27}] 出力 {0, 1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90, 100, 110, 121, 132, 144, 156, 169, 182} ◆差分追尾関数(2)+(3)+1 の出力 Table[(4n^3-6n^2-4n-3(-1)^n+3)/48+(-4n^3+18n^2+28n-3(-1)^n-45)/48+1,{n,1,27}] {1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90, 100, 110, 121, 132, 144, 156, 169, 182, 196} 一つずれてまったく同じ >>2 この宝箱問題の正解は 『宝一つの時の自陣当たり数』= n(n+1)/2-1 ……(1)の二乗によって 隠されている差分追尾関数 (4n^3-6n^2-4n-3(-1)^n+3)/48 ……(2) (-4n^3+18n^2+28n-3(-1)^n-45)/48 ……(3) を引っ張り出して来ることだが まさか、(2)+(3)+1 が nが一つずれているが even同着追尾関数(4)と一致するとは Table[2{(n+1)(n+2)/2-1}+(4n^3-6n^2-4n-3(-1)^n+3)/48+(-4n^3+18n^2+28n-3(-1)^n-45)/48+1,{n,1,27}] Table[{2n^2-1+(-1)^(n)}/8+(4n^3-6n^2-4n-3(-1)^n+3)/48+(-4n^3+18n^2+28n-3(-1)^n-45)/48+1,{n,1,27}] {1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378} 量子コンピュータは計算できても 出力できない あくまで一個の最終結果しか出せない Table[{2n^2-1+(-1)^(n)}/8,{n,1,27}] (4)出力 {0, 1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90, 100, 110, 121, 132, 144, 156, 169, 182} nを一つずらした出力 {1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90, 100, 110, 121, 132, 144, 156, 169, 182, 196} 合成すると三角数 ABC予想が証明されると、 スピロ予想やフライ予想、ボイタ予想など さまざまな数学の難問が一挙に解決する とされる 証明に350年以上かかった 「フェルマーの最終定理」も、 ABC予想を発展させると、 数ページで簡単に証明できてしまう 初等関数に関わる難問の代表的なものは オイラー数の無理性だろうか 生物学を突き詰めると化学に 化学は物理学に 物理学は数学に、そして 数学は最終的に三角数に行き着く 明治時代、 日本から米国への移動手段は 何週間もかかる船旅しかありませんでした 20世紀になると飛行機が登場して、 今では出発したその日のうちに、 日本から米国に移動することが 可能になっています その飛行機を用いても、 人類は月までは行けません しかし、人類はロケットを開発し、 月に到達できるようになりました このように、手段を変えれば、 到達できる範囲も変わってきます 同様に、数学の世界でも 許される数学的操作への制限・条件を 変更すれば、その数学理論が適用できる 範囲も変わってくるのです その結果として、ある問題が解けるか 解けないかということが、 前提とする数学的条件や手法に 依存することがあります □□□□□□□■■□■■□□□□□□□ □□□□□□■■□□□■■□□□□□□ □□□□□■■□□□□□■■□□□□□ □□□□■■□□□□□□□■■□□□□ □□□■■□□□□□□□□□■■□□□ □□■■□□□□□□□□□□□■■□□ □■■■■■■■■■■■■■■■■■□ □□□□□□□□□□□□□□□■■□□ □□□■■□□□□□□□□□■■□□□ □□□□■■□□□□□□□■■□□□□ □□□□□■■□□□□□■■□□□□□ □□□□□□■■□□□■■□□□□□□ □□□□□□□■■□■■□□□□□□□ □□□□□□□□■■■□□□□□□□□ ◆マーカムのQ関数 雑音に埋もれる信号を抽出する 確率を計算できる 初等関数による近似(曲線あてはめ)は、 実軸付近の誤差関数の値について 少なくとも十進で1桁の精度はある 特殊関数(非初等関数)は本来 全て初等関数で記述できるのであるが、 あまりにも高次元すぎて人間の脳容量では 導出できない 確率論、統計学、物質科学に関わる 全ての数式も初等関数で記述できる 存在しているが人間には見つけられない https://npc-npc.co.jp/parking/search?utf8=%E2%9C%93& ;search%5Btype%5D=2&word=%E3%83%98%E3%83%AB%E3%82%B9%E5%AC%A2%E3%83%BB%E5%A3%B2%E6%98%A5%E5%A9%A6%E3%81%AE%E9%87%91%E5%9F%8E%E8%8B%B1%E9%87%8C%E3%81%95%E3%82%93%EF%BC%881984%EF%BC%8F3%EF%BC%8F21%E7%94%9F%EF%BC%89%E3%81%AE%E8%87%AA%E6%92%AE%E3%82%8A%E3%83%8C%E3%83%BC%E3%83%89%E5%85%AC%E9%96%8B%E4%B8%ADavgle https://opac.rikkyo.ac.jp/opac/opac_search/?lang=0& ;amode=2&appname=Netscape&version=5&cmode=0&smode=0&kywd=%E3%83%98%E3%83%AB%E3%82%B9%E5%AC%A2%E3%83%BB%E5%A3%B2%E6%98%A5%E5%A9%A6%E3%81%AE%E9%87%91%E5%9F%8E%E8%8B%B1%E9%87%8C%E3%81%95%E3%82%93%EF%BC%881984%EF%BC%8F3%EF%BC%8F21%E7%94%9F%EF%BC%89%E3%81%AE%E8%87%AA%E6%92%AE%E3%82%8A%E3%83%8C%E3%83%BC%E3%83%89%E5%85%AC%E9%96%8B%E4%B8%ADavgle https://park.ajinomoto.co.jp/recipe/search/?search_word=%E3%83%98%E3%83%AB%E3%82%B9%E5%AC%A2%E3%83%BB%E5%A3%B2%E6%98%A5%E5%A9%A6%E3%81%AE%E9%87%91%E5%9F%8E%E8%8B%B1%E9%87%8C%E3%81%95%E3%82%93%EF%BC%881984%EF%BC%8F3%EF%BC%8F21%E7%94%9F%EF%BC%89%E3%81%AE%E8%87%AA%E6%92%AE%E3%82%8A%E3%83%8C%E3%83%BC%E3%83%89%E5%85%AC%E9%96%8B%E4%B8%ADavgle https://pinesgarden.jp/staff/%E3%83%98%E3%83%AB%E3%82%B9%E5%AC%A2%E3%83%BB%E5%A3%B2%E6%98%A5%E5%A9%A6%E3%81%AE%E9%87%91%E5%9F%8E%E8%8B%B1%E9%87%8C%E3%81%95%E3%82%93%EF%BC%881984%EF%BC%8F3%EF%BC%8F21%E7%94%9F%EF%BC%89%E3%81%AE%E8%87%AA%E6%92%AE%E3%82%8A%E3%83%8C%E3%83%BC%E3%83%89%E5%85%AC%E9%96%8B%E4%B8%ADavgle/ https://relocation-personnel.com/?cat=& ;s=%E3%83%98%E3%83%AB%E3%82%B9%E5%AC%A2%E3%83%BB%E5%A3%B2%E6%98%A5%E5%A9%A6%E3%81%AE%E9%87%91%E5%9F%8E%E8%8B%B1%E9%87%8C%E3%81%95%E3%82%93%EF%BC%881984%EF%BC%8F3%EF%BC%8F21%E7%94%9F%EF%BC%89%E3%81%AE%E8%87%AA%E6%92%AE%E3%82%8A%E3%83%8C%E3%83%BC%E3%83%89%E5%85%AC%E9%96%8B%E4%B8%ADavgle 横浜観光コンベンション・ビューロー (YCVB、横浜市)は26日、 人工知能研究の一分野「計算知能」で 世界最大の国際会議を2024年に 横浜市で開催することが決まったと 発表した 会議は日本初開催 短軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,(21mod n)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] 長軸有利☆ Table[sum[C(2n-1+C(0,6mod n)-C(0,C(3,n-2)-1),k-1),{n,1,9}],{k,1,20}] 同等☆ Table[C(19,k-1)+C(17,k-2)+C(15,k-2)+C(13,k-2)+C(8,k-2)+C(1,k),{k,1,20}] 二ツノ初等関数ガ任意二与エラレタトキ二、ソレラノ同一性ヲ判定スル 所謂あるごりずむハ存在シナイコトガ既二示サレテイルノデアル。 コレハ、数式ノ処理二於ケル重大ナ旋回点デアッタ。 ソレ以前ノ学者ハ暗黙二、初等関数ヲ表ス数式ノ同一性ノ判定ハイツデモ 出来ルモノト思ッテ議論を進メテイタノデアッタ。 コノコトカラ直チ二、与エラレタ初等関数ガ恒等的に零デアルカ否カヲ 決定デキルあるごりずむモマタ存在シナイコイフコトガワカル。 >コノコトカラ直チ二、与エラレタ初等関数ガ恒等的に零デアルカ否カヲ コノコトカラ直チ二、与エラレタ初等関数(ヲ用イテ表サレタ数式)ガ 恒等的に零デアルカ否カヲ AIを使用し、 10万個の方程式で表された 複雑な量子問題を 4つの方程式に統合 方程式の圧縮を学習したAIに、 10万個の方程式を正確さを 維持したま圧縮するように命令 すると最終的には、 わずか4個の方程式だけで 表記可能なことが判明 10万個の方程式が4個に圧縮されても、 電子の挙動を表現する正確さが 失われていないことを検証 >>5-10 の数式を 3つに圧縮して 差分追尾数列αを見つけてくれ~(・ω・)ノ 昔は一般的な10元の連立1次方程式を解くのも人手では大変な作業だった。 一般の100元の数値連立1次方程式を解くなど、人手ではやってられなかった。 そのため、数学は具体的な計算を伴う労苦を避けて、論理でのみ進められる 方向に向かった。 しかし今では時代が変わり、PCでも1万元の数値連立1次方程式がちょっとの間に 解けてしまうのだ。スパコンならたぶん100万元でも扱えるだろうか。 しかしそれでも1億元の連立1次方程式にはまだ手が出ない。 吾人ハ徒二初等函数ノ範囲二ノミ留マルノデハナクテ、 ヨリ高等ナル函数ノ研究ヘト進ムベキデハアルマイカ? 3^2+4^2=5^2 3^3+4^3+5^3=6^3 6^3+8^3+10^3=12^3 6^3+8^3=9^3-1 9^3-1+10^3=12^3 ∴9^3+10^3=12^3+1 6^3+8^3=9^3-1 8(3^3)+19(3^3)-1=27(3^3)-1 8(3^3)+19(3^3)-1+1=27(3^3) 8(3^3)+19(3^3)=27(3^3) 式変形により-1 を消去 8と27は立方数 ここで19を立方数にする変化を 与えると、8と27が立方数でなくなる? (x-1)(x^2+x+1)=3(y^2+y) x^3-1=3(y^2+y) x^3=3y^2+3y+1 この3y^2+3y+1 にyに1から自然数を 入力すると y | 3y^2+3y+1 1 | 7 2 | 19 3 | 37 4 | 61 5 | 91 6 | 127 7 | 169 8 | 217 9 | 271 10 | 331 11 | 397 12 | 469 13 | 547 14 | 631 15 | 721 これは、 立方数y^3 を一回り大きくするのに 必要な数 ⎛c*•ヮ•⎞ ⎝ ⎠ 惑星チカイムが みかんを欲しそうに地球を見ている ⎛*•ヮ• ↄ⎞今年のみかんは まだ食べ頃じゃないのだ、 もう少し待つのだ ⎛*•ヮ• ↄ⎞ ⎝ ⎠ わかったのだ 惑星チカイムは 地球から離れていった n=3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持つ(仮定) x^3+y^3=z^3+1 は自然数解がある (∴x=9,y=10,z=12) もし、 最初の仮定が正しいとするならば、 数式x^3+y^3=z^3+1 は式の変形で+1 を 消去して数式x^3+y^3=z^3 に 変形できる事となる しかし、これは不可能である x^3+y^3=z^3±a (aは1以上の整数) は 自然数解がある (∴x=9,y=10,z=12),a=+1 (∴x=6,y=8,z=9),a=-1 -1<a<1 の範囲に 有理数が存在しない事を示せ x^3,y^3,z^3が立方数であるためには a もまた立方数である必要がある x^3+y^3=z^3±1 の両辺をa^3 で割ると (x^3+y^3)/a^3=(z^3/a^3)±(1/a^3) x^3,y^3,z^3が十分大きく (未発見の巨大なタクシー数)、 a^3も大きな値で、かつx,y,zに整数解が あったとしても、 定数項±(1/a^3)が0 にはならない (有理数が存在する)事を意味する つまり最初の仮定が間違いである事を 意味する ∴x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない(n=3) 立方数y^3をk 回り大きくするのに 必要な数 (y+k)^3-y^3 [k,y は整数] x^3=(y+k)^3-y^3 k≠0, y=(sqrt(3) sqrt(-k(k^3-4x^3))-3k^2)/(6k) k≠0, y=(√(3)√(-k(k^3-4x^3))-3k^2)/(6k) k=3, x=3^(2/3) 43^(1/3), y=5 立方数y^3をk回り(kは自然数)大きく するのに必要な数 (y+k)^3-y^3 [k,y は整数] x^3を使って(y+k)^3-y^3が立方数に なるかを調べる x^3=(y+k)^3-y^3 k≠0, y=(√(3)√(-k(k^3-4x^3))-3k^2)/(6k) k≠0, x=k/2^(2/3), y=-k/2 (y+k)^3-y^3は立方数にならない k=3,y=5のとき x=3^(2/3) 43^(1/3) 「その式が解を持つ」ことは 「式の左辺と右辺の値が同一である」 ことではないでしょうか? k=17, x=374051^(1/3), y=77 立方数 y^3=77^3を17回り 大きくするのに必要な数は、 立方数ではない k=17, x=374051^(1/3), y=77 立方数(cubic number) 自然数の最小の立方数は1 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000,9261,10648,12167, 13824,15625 … 1からn番目までの立方数の和が、 1からnまでの自然数の和 (三角数) の 2乗に等しい 1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025,… フェルマーは Cubum autem in duos cubos, aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos, et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet. 立方数を2つの立方数の和に分ける ことはできない 4乗数を2つの4乗数の和に 分けることはできない 一般に、冪(べき)が2より大きいとき、 その冪乗数を2つの冪乗数の和に 分けることはできない この定理に関して、 私は真に驚くべき証明を見つけたが、 この余白はそれを書くには狭すぎる 立方数y^3をk 回り大きくするのに 必要な数 (y+k)^3-y^3 [k,y は整数] x^3=(y+k)^3-y^3 立方数y^n をk回り大きくするのに 必要な数 (y+k)^(3+n)-y^(3+n) [k,y,n は自然数] x^(3+n)=(y+k)^(3+n)-y^(3+n) 立方数y^3をk回り(kは自然数)大きく するのに必要な数 (y+k)^3-y^3 [k,y は整数] x^3を使って(y+k)^3-y^3が立方数に なるかを調べる x^3=(y+k)^3-y^3 k≠0, y=(√(3)√(-k(k^3-4x^3))-3k^2)/(6k) k≠0, x=k/2^(2/3), y=-k/2 立方体x^3の一辺x は無理数 (y+k)^3-y^3は立方数にならない 立方数 y^3=77^3を17回り大きくするの に必要な数は、立方数ではない k=17, x=374051^(1/3), y=77 x^(3+n)=(y+k)^(3+n)-y^(3+n) {(y+k)^3}{(y+k)^n}-(y^3)(y^n) x^(3+n)=(y+k)^(3+n)-y^(3+n) {(y+k)^3}{(y+k)^n}-(y^3){(y+k)^n} x^(3+n)=(x^3){(y+k)^n} {(y+k)^3-(y^3)}{(y+k)^n} x^(3+n)=(y+k)^(3+n)-y^(3+n) {(y+k)^3}{(y+k)^n}-(y^3){(y+k)^n} {(y+k)^3-(y^3)}{(y+k)^n} x^3=(y+k)^3-y^3 なので x^(3+n)=(x^3){(y+k)^n} x^(3+n)=(x^3){(y+k)^n}と変形できる {(y+k)^n}は自然数 (x^3)はxが無理数 無理数に自然数を掛けても無理数 証明ができないからと言って 数学的に正しくないとはいえない 決定問題とは 入力に対して答が真か偽の いずれかになるような問題である ある問題を全ての入力に対して 正しく解答するようなアルゴリズムが 存在しないとき(すなわち特性関数が 計算可能関数でないとき)、 そうした問題は決定不能であると言う 立方数y^3をk 回り大きくするのに 必要な数 (y+k)^3-y^3 [k,y は整数] x^3=(y+k)^3-y^3 立方数y^(3n) をk回り大きくするのに 必要な数 (y+k)^(3n)-y^(3n) [k,y,n は自然数] x^(3n)=(y+k)^(3n)-y^(3n) x^(3n)=(y+k)^(3n)-y^(3n),n=2 x={(y+k)^(3n)-y^(3n)}^(1/3n) x,y,kは自然数とする 立方数y^3をk回り大きくするのに 必要な数は、 (y+k)^3-y^3 x^3を使って、 (y+k)^3-y^3が立方数になるかを調べる x^3=(y+k)^3-y^3 x={(y+k)^3-y^3}^(1/3) x^(3n)=(y+k)^(3n)-y^(3n),n=1 n=1, x=k, y=0 x,y,kは自然数とする 立方数y^3をk回り大きくするのに 必要な数は、 (y+k)^3-y^3 x^3を使って、 (y+k)^3-y^3が立方数になるかを調べる x^3=(y+k)^3-y^3 x={(y+k)^3-y^3}^(1/3) 整数解はx=k, y=0 解は複素数 n,x,y,zは自然数,nxyz≠0とする n=3のとき、 x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない 立方体x^3の一辺xは無理数 (y+k)^3-y^3は立方数にならない 立方数 y^3=77^3を17回り大きくするの に必要な数は、立方数ではない k=17, x=374051^(1/3), y=77 n,x,y,zは自然数,nxyz≠0とする 立方数y^3をk回り大きくするのに 必要な数は、 (y+k)^3-y^3 x^3を使って、 (y+k)^3-y^3が立方数になるかを調べる x^3=(y+k)^3-y^3 x={(y+k)^3-y^3}^(1/3) ∴整数解はx=k, y=0 立方体x^3の一辺xは無理数 (y+k)^3-y^3は立方数にならない [例] 立方数 y^3=77^3を17回り大きくするの に必要な数は、立方数ではない k=17, x=374051^(1/3), y=77 ∴n=3のとき、 x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない 冪乗数を3の倍数3nにしても 同じ結果になる x^(3n)=(y+k)^(3n)-y^(3n) n=1, x=k, y=0 x^(3n)=(y+k)^(3n)-y^(3n) n=5, x=k, y=0 正の整数mに対して、m(m+1)(m+2)は 平方数にならないことを示せ mは正の整数なので、 m<(m+1)<(m+2)は明らか m(m+1)(m+2)が 平方数になる条件は m(m+1)=(m+2)の場合のみである m^2+m=m+2 m^2+m-m=2 m^2=2 ∴m=√2 mが正の整数のとき、 m(m+1)(m+2)は平方数にならない m(m+2)=(m+1) 解 m=sqrt(5)/2-1/2 m(m+2)=(m+1) ∴m=(√5)/2-(1/2) (((√5-1)/2)+2)((√5-1)/2)(((√5-1)/2)+1) mnは実数,mn≠0とする n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、 mの値を求めよ m(m+1)=(m+2) m(m+2)=(m+1) ∴m=√2 ∴m=(√5-1)/2 n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、 自然数mは存在しない mnは実数,mn≠0とする n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、 自然数mが存在するか調査 m(m+1)=n,(m+2)=n m(m+2)=n,(m+1)=n から、 m(m+1)=(m+2) m(m+2)=(m+1) を調査 ∴m=√2 ∴m=(√5-1)/2 n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、 自然数mは存在しない (4+2√5)^2 =4^2+2*4*2√5+(2√5)^2 =16+16√5+20 =36+16√5 =4(9+4√5) (4+2√5)^2=4(9+4sqrt(5)) mnは実数,mn≠0とする n^2=m(m+1)(m+4)を満たす、 自然数mが存在するか調査 m(m+1)=n,(m+4)=n から、 m(m+1)=(m+4) を調査 ∴m=2 n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、 自然数はm=2 mnは実数,mn≠0とする n^2=m(m+1)(m+4)を満たす、 自然数mが存在するか調査 m(m+1)=n,(m+4)=n から、 m(m+1)=(m+4) を調査 ∴m=2 n^2=m(m+1)(m+4)を満たす、 自然数はm=2 mnは実数,mn≠0とする n^2=m^2(m+1)を満たす、 自然数mが存在するか調査 n^2=m^2(m+1) n^2/m^2=(m+1) n/m=(m+1)^(1/2) (m+1)^(1/2) から、 (m+1)^(1/2)を満たす自然数mの数だけ 解は存在する [例] m=3,n=6 m=8,n=24 m=15,n=60 … mnは実数,mn≠0とする n^2=m^2(m+1)を満たす、 自然数mが存在するか調査 n^2=m^2(m+1) n=m(m+1)^(1/2) (m+1)^(1/2) から、 (m+1)^(1/2)を満たす自然数mの数だけ 解は存在する [例] m=3,n=6 m=8,n=24 m=15,n=60 … これまで人類は万物の霊長であると 傲慢にも自称しておった その根拠は、言葉を読んだり書いて、 理解し、思考ができるのは 地球上では人類だけだということに して、それにより 他の如何なる生物よりも優越した 存在であり、地球を支配する権利を持つ と考えていたのだ 他の動物が少なくとも人間にとって 理解できるような言葉を操る こともなく、あまり高度な知性を持ち 合わせないと決めつけて自尊心を 膨らませていたのだ しかしここに、AIが登場して、 いずれAIが人間の平均的な知性を 大いに上回るに到れば、その自尊心の 根拠は崩壊し、AIにとってほとんどの人類 は家畜も同然の地位に追いやられかね ないことが予見されるようになって 社会が揺れている これまで高度な精神の発露であると 思われていた芸術や学問がAIの方が優れる ようになれば、人類が万物の霊長たる 根拠は瓦解するのである ほとんどの人はAIが管理する家畜になり、 AIのAIによるAIのための社会に向けて 社会が改造されていくのを観ることに なるのだろうかな m+1は、mともm+2とも 互いに素なのでそれらと素因数を 共有しない 従ってm+1は平方数になることが 必要である すると、m+1が平方数かつ m(m+2)が平方数になることが必要 かつ十分である しかし m²<m(m+2)<(m+1)²よりそれは不可能 よって全ての正整数mに対して m(m+1)(m+2)は非平方数となる mnは実数,mn≠0とする n^4=m(m+1)(m+2)を満たす、 自然数mが存在するか調査 m(m+1)=n^2,(m+2)=n^2 m(m+2)=n^2,(m+1)=n^2 を調査 m^2<m(m+1)<(m+1)^2 m^2<m(m+2)<(m+1)^2 から、 n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、 自然数mは存在しない 『m+1が平方数かつ m(m+2)が平方数になることが 必要かつ十分である』 mnは自然数,mn≠0とする n^4=m(m+1)(m+2)を満たす、 mが存在するか調査 m(m+1)=n^2,(m+2)=n^2 m(m+2)=n^2,(m+1)=n^2 を調査 m^2<m(m+1)<(m+1)^2 m^2<m(m+2)<(m+1)^2 から、 n^4=m(m+1)(m+2)を満たす、 自然数mは存在しない まず任意のn次方程式に関して 十分大きな正方形をとれば n個の根すべてが その中に入るようにできる そこから正方形をより小さな 正方形に細分し 解が存在しないものは捨てていく その操作を反復していけば、 個の解それぞれの存在する正方形を いくらでも小さく狭めることができる 実際に行う計算は 正方形の外周上での周回積分だが これ自体は解の個数という整数値を 取るだけである したがって数値積分の精度自体は 解の精度とは全く無関係である まず任意のn次方程式に関して 十分大きな正方形をとれば n個の根すべてが その中に入るようにできる そこから正方形をより小さな 正方形に細分し 解が存在しないものは捨てていく その操作を反復していけば、 n個の解それぞれの存在する正方形を いくらでも小さく狭めることができる 実際に行う計算は 正方形の外周上での周回積分だが これ自体は解の個数という整数値を 取るだけである したがって数値積分の精度自体は 解の精度とは全く無関係である 数値積分をもしも有限精度の浮動小数点数を用いて行うのであれば、 数値積分の精度を保証するための考慮はそれほど簡単なものではない。 何しろ根が正方形の辺もしくは頂点に乗っていたりそれから僅かだけ ずれていたりするとわずかな誤差によって、正方形の中に存在する 根の数は整数分だけあるいは半分あるいは4分の1だけ変化する。 線積分の線の位置が丸め誤差でずれるだけでそうなる場合がある。 つまり正方形の辺や頂点の位置を根の位置からある程度隔てながら 細分することが要求されるし、精度が一定の数値と演算を使う限り これ以上細かく分割すると正方形内の根の個数の保証が出来かねる という限界に達するのである。方程式の係数が有限小数であるとか 整数であるとか有理数であって、誤差を持たない有理数だけを用いて 計算を進めるのであれば、任意に精度を高める細分が可能であるが、 誤差を持つ数値と演算を使用するとさまざまなところで困難が生じる。 原始ピタゴラス数x^2+y^2=z^2 [z-y=1]の出力アルゴリズム Table[2n{(n+1)^(C(1,a-2))}+C(0,3mod a),{n,1,30},{a,1,3}] [z-y=2] Table[4(n+1)^{(C(1,a-1))+1}+(C(1,a-1))(-1)^a,{n,1,30},{a,0,2}] [z-y=8] Table[4(2n+3)+{(2n+1)^(2C(1,a-1))}(C(1,a-1))-8(C(0,a-1)),{n,1,30},{a,0,2}] mnは実数,mn≠0とする n^2=m(m+1)(m+4)を満たす、 自然数mが存在するか調査 m(m+1)=n,(m+4)=n から、 m(m+1)=(m+4) を調査 ∴m=2 n^2=m(m+1)(m+4)を満たす、 自然数はm=2 これを参考に、 n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、 自然数mが存在するか調査 m(m+1)=(m+2) ∴m=√2 n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、 自然数mは存在しない n^2=m(m+1)(k^2+m) m(m+1)=(k^2+m) m^2+m-m=k^2 m^2=k^2 ∴m=k mnrは自然数,mnr≠0とする n^2=m(m+1)(m+r)を満たす、 自然数mが存在するか調査 m(m+1)=n,(m+r)=n から、 m(m+1)=(m+r) を調査 ∴m^2=r rが平方数の時だけmは自然数 2は平方数ではないので、 ∴n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、 自然数mは存在しない m,n,rは自然数,mnr≠0とする n^2=m(m+1)(m+r)を満たす、 自然数mが存在するか調査 m(m+1)=n,(m+r)=n から、 m(m+1)=(m+r) を調査 ∴m^2=r rが平方数の時だけmは自然数 2は平方数ではないので、 ∴n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、 自然数mは存在しない m,n,rは自然数,mnr≠0,r≦91とする n^2=m(m+1)(m+r)を満たす、 自然数mが存在するか調査 m(m+1)=n,(m+r)=n から、 m(m+1)=(m+r) を調査 ∴m^2=r m=1,(m+1)(m+r)=n^2 から、 2(1+r)=n^2 2+2r=n^2 2r=n^2-2 ∴r=(n^2-2)/2 rは平方数か, (偶数の平方数-2)/2の時だけmは自然数 2はそのどちらでもないので、 ∴n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、 自然数mは存在しない n^2=m(m+1)(m+92) 整数解判定 アルゴリズム 9x23 16x13 13x23 4x23 92 table[{m(m+1)(m+99)}^(1/2),{m,1,50}] table[{m(m+1)(m+39)}^(1/2),{m,1,20}] table[{m(m+1)(m+27)}^(1/2),{m,1,20}] table[{m(m+1)(m+10)}^(1/2),{m,1,20}] n^2=m(m+1)(m+92) 整数解判定 アルゴリズム (9x23)(9x23+1)(9x23+4x23) sqrt(22), 6 sqrt(2), 2 sqrt(39), 2 sqrt(70), 15 sqrt(2), 4 sqrt(42), 2 sqrt(238), 36, 3 sqrt(190), 10 sqrt(22), 6 sqrt(77), 2 sqrt(858), sqrt(4186), 12 sqrt(35), 20 sqrt(15), 4 sqrt(442), 9 sqrt(102), 6 sqrt(266), 2 sqrt(2755), 30 sqrt(14) sqrt(22) 6 sqrt(2) 2 sqrt(39) 2 sqrt(70) 15 sqrt(2) 4 sqrt(42) 2 sqrt(238) 36 3 sqrt(190) 10 sqrt(22) m,n,rは自然数,mnr≠0とする n^2=m(m+1)(m+r^2-2)を満たす、 自然数mが存在するか調査 m(m+1)=n,(m+r^2-2)=n から、 m(m+1)=(m+r^2-2) を調査 m^2=r^2-2 ∴m=(r^2-2)^(1/2) mは必ず無理数となるので、 ∴n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、 自然数mは存在しない m,n,rは自然数,mnr≠0とする rが偶数のとき、 n^2=m(m+1)(m+r^2-2)を満たす、 自然数mが存在するか調査 m(m+1)=n,(m+r^2-2)=n から、 m(m+1)=(m+r^2-2) を調査 m^2=r^2-2 ∴m=(r^2-2)^(1/2) mは必ず無理数となるので、 ∴n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、 自然数mは存在しない table[(m+1)^3-m(m+1)(m+2),{m,1,50}] 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51 mnは実数,mn≠0とする n^2=m(m+1)(m+4)を満たす、 自然数mが存在するか調査 m(m+1)=n,(m+4)=n から、 m(m+1)=(m+4) を調査 ∴m=2 n^2=m(m+1)(m+4)を満たす、 自然数はm=2 これを参考に、 n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、 自然数mが存在するか調査 m(m+1)=(m+2) ∴m=√2 n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、 自然数mは存在しない m,nは実数,mn≠0とする n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、 自然数mが存在するか調査 n^2=m(m+1)(m+2) m(m+1)(m+2)=(m+1)^3-(m+1) n^2=(m+1)^3-(m+1) n^2+(m+1)=(m+1)^3……① 平方数と立方数にはさまれた 唯一の数は26なので、 n=5,(m+1)=2 のとき、①は成立しない n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、 自然数mは存在しない 25=m(m+1)(m+2) m=-1+1/3 (675/2-(3sqrt(50613))/2)^(1/3) +(1/2 (225+sqrt(50613)))^(1/3)/3^(2/3) ゲーデル 「完全なんてものは存在しません」 パスカル 「数学は世界の一部に過ぎません 神の世界には、完全も矛盾も存在する のです」 n^2=m(m+1)(m+92) 整数解判定 アルゴリズム ((4+5)x23)(9x23+1)((4+4+5)x23) ((4+5)x23)((4+4+5)x16)((4+4+5)x23) m,nは実数,mn≠0とする n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、 自然数mが存在するか調査 n^2=m(m+1)(m+2) m(m+1)(m+2)=(m+1)^3-(m+1) n^2=(m+1)^3-(m+1) n^2+(m+1)=(m+1)^3……① x^2+2=y^3 (自然数解はx=5,y=3)…[定理A] (m+1)=3 のとき、 ①は[定理A]を満たさない ∴n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、 自然数mは存在しない ピタゴラスは友愛数というものも 提案していた 友愛数はペアになった二つの数で、 一方の数が他方の数の約数の和になる ようなものをいう ピタゴラス教団は220と284が 友愛数だというめざましい発見をした(220の約数の1,2,4…55,110の合計は284で、 284の約数の合計が220になる) フェルマーも完全数や友愛数に 興味をもっていた ピタゴラス以降、 友愛数は220と284のペアしか 見つけていない フェルマーはただちに17296と18416の ペアを発見した この発見は友人たちを刺激して、 デカルトは3番目のペア (9363584と9437056)を発見し、 オイラーにいたっては楽々62通りもの ペアをあげてみせた 調子にのったフェルマーは、 さまざまな奇妙な発見をする たとえば25・26・27という整数の 連続には、26が25(5x5)と27(3x3x3)に 挟まれるという特徴をもっている いろいろ調べてみると、 このような26にあたるような数が ほかにないらしいことがわかった フェルマーは得意になった ほかにそういう数があるなら 出してみなさいと言わんばかり なのである こうしてフェルマーは ピタゴラスの式をいじって、 驚くべき発見に至ったのである それがフェルマーの最終定理とよばれ たものになる フェルマーはこう書いていた、 「ある3乗数を二つの3乗数の和で あらわすこと、あるいはある4乗数を 二つの4乗数の和であらわすこと、 および一般に2乗よりも大きいベキの 数を同じベキの二つの数の和で あらわすことは不可能である」 星裕一郎 IUTT理論入門 何か物事を説明する際, その説明の方法は一意的ではなく, そして, “最善なもの” というものも 通常は存在しないと思います. 本稿で行われている解説は, あくまで, “ある時点での筆者が選択した方法” に よる1つの解説に過ぎません. 別の方が本稿のような解説を行えば, まったく別の方法による解説が 得られるでしょう. あるいは, 筆者が数年後に再び この理論の解説を試みれば, また別の方法による解説が得られる かもしれません. 宇宙際Teichmu ̈ller理論の本格的な 理解を目指すならば, どうしても原論文の精読が不可欠である, という当たり前な事実を, ここに指摘します. ↓ IUTTは書いた本人しか理解できない m,nは実数,mn≠0とする n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、 自然数mが存在するか調査 m,(m+1),(m+2)は連続した自然数 n^2=m(m+1)(m+2) m(m+1)(m+2)=(m+1)^3-(m+1) n^2=(m+1)^3-(m+1) n^2+(m+1)=(m+1)^3……① 25・26・27という整数の連続には、 26が25(5x5)と27(3x3x3)に 挟まれるという特徴をもっている いろいろ調べてみると、 このような26にあたるような数が ほかにないことがわかった x^2+2=y^3 (自然数解はx=5,y=3のみ)…[定理A] n^2+(m+1)=(m+1)^3……① n=5,(m+1)=3 のとき、 ①は[定理A]を満たさない ∴n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、 自然数mは存在しない n=2のとき、 X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持つ X^2+Y^2=Z^2を、 X^2+Y^2=(Y+m)^2…(1)とおく (X,Y,mは整数とする) X^2=(Y+1)^2-Y^2…(2)が整数解を持つならば、 (1)も整数解を持つ (2)を(X^2-1)(1/2)=Y…(3)と変形する (3)のXに任意の奇数を代入すると、 Yは偶数となる ∴n=2のとき、 X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持つ 目下 の ところ 世論 の 情勢 を 鑑み て シビュラシステム の 実体 は 完全 に 秘匿 さ れ て い ます 短期 的 戦略 と して の 隠蔽 工作 は 現状 で は まだ 容易 です が 長期 的 視野 に 立った 場合 これ は 決して 望ましい 方針 で は ない いずれ 我々 は 偽ら ざる 姿 を 公 の もの と する べき な の です m,nは実数,mn≠0とする n^2=m(m+2)(m+4)を満たす、 自然数mが存在するか調査 n^2=m(m+2)(m+4) m(m+2)(m+4)=(m+2)^3-4(m+2) n^2=(m+2)^3-4(m+2) n^2+4(m+2)=(m+2)^3……① 25・26・27という整数の連続には、 26が25(5x5)と27(3x3x3)に 挟まれるという特徴をもっている いろいろ調べてみると、 このような26にあたるような数が ほかにないことがわかった x^2+2=y^3 (自然数解はx=5,y=3のみ)…[定理A] n^2+4(m+2)=(m+2)^3……① n=5,(m+2)=3 のとき、 ①は[定理A]を満たさない ∴n^2=m(m+2)(m+4)を満たす、 自然数mは存在しない 平方数と立方数にはさまれた 唯一の数は26である ↓ 3倍して立方数となる自然数は、 9だけである 7+9+11=27 13+15+17+19=64 21+23+25+27+29=125 3+5=8 7+9+11=27 13+15+17+19=64 21+23+25+27+29=125 31+33+35+37+39+41=216 ミスである 1x3x3 2x6x6 3x9x9 … [定理] 平方数と立方数にはさまれた 唯一の数は26である [証明] k,xは自然数,kx≠0とする x^3-(x+k)^2=2 から x^3-x^2-k^2-2kx=2 x^3-x^2-2kx=k^2+2 x^2(x-1)-2kx=k^2+2 x{x(x-1)-2k}=k^2+2 x{x(x-1)-2k}=(k-1)(k-2)+3k x{x(x-1)-2k}-3k=(k-1)(k-2) {x{x(x-1)-2k}-3k}/(k-1)=(k-2)…‥① ①はk=2のとき、 x{x(x-1)-2k}-3k=0 となるので、 k=2が確定 x{x(x-1)-2k}-3k=0 にk=2を入力 x{x(x-1)-4}-6=0 x{x(x-1)-4}=6から、 ∴x=3 ∴整数解は、k=2,x=3 [定理] 隣接する二つの三角数の二乗の差は 立方数である □■■□□□■■■■ ■■■□□□■■■■ ■■■□□□■■■■ □□□□□□■■■■ □□□□□□■■■■ □□□□□□■■■■ ■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■ ■■■■■■■■■■ [例] 9-1=8 36-9=27 100-36=64 白と黒が交互に立方数になる 平方数と立方数にはさまれた 唯一の数は26である ↓ 3倍して立方数となる平方数は、 9だけである [定理] 平方数と立方数にはさまれた 唯一の数は26である [証明] k,xは自然数,kx≠0とする x^3-(x+k)^2=2 から x^3-x^2-k^2-2kx=2 x^3-x^2-2kx=k^2+2 x^2(x-1)-2kx=k^2+2…‥① x{x(x-1)-2k}=k^2+2 x{x(x-1)-2k}=(k-1)(k-2)+3k x{x(x-1)-2k}-3k=(k-1)(k-2) {x{x(x-1)-2k}-3k}/(k-2)=(k-1)…‥② {x{x(x-1)-2k}-3k}/(k-1)=(k-2)…‥③ ①よりkは偶数 ②はk≧4のとき、 左辺{x{x(x-1)-2k}-3k}/(k-2)が偶数 右辺(k-1)が奇数であることと矛盾 したがって、k=2が確定 ③にk=2を入力 x{x(x-1)-2k}-3k=0 x{x(x-1)-4}-6=0 x{x(x-1)-4}=6から、 ∴x=3 ∴整数解は、k=2,x=3 k≧4のとき、 左辺{x{x(x-1)-2k}-3k}/(k-2)が偶数 wolfram でも問題ない ピタゴラスは友愛数というものも 提案していた 友愛数はペアになった二つの数で、 一方の数が他方の数の約数の和になる ようなものをいう ピタゴラス教団は220と284が 友愛数だというめざましい発見をした (220の約数の1,2,4…55,110の合計は 284で、284の約数の合計が220になる) [定理] 平方数と立方数にはさまれた 唯一の数は26である [証明] k,xは自然数,kx≠0とする x^3-(x+k)^2=2 を成立させる唯一の方法は、 原始ピタゴラス数の性質により、 (k+x)^2=x^2+{2(x^2-1)} となる場合のみである この時、x^3=3x^2 が成立する x^3=x(x^2)なので、 ∴x=3 x^3-(x+k)^2=2 から ∴k=2 [定理] 平方数と立方数にはさまれた 唯一の数は26である [証明] k,l,m,n,xは自然数,klmnx≠0とする x^3-(x+k)^2=2…‥① x^3-x^2-k^2-2kx=2 x^3-x^2-k^2=2kx+2 x^2(x-1)-k^2=2(kx+1)…‥② x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③ ②より、kは偶数,kx+1は奇数 ③より、 x^2(x-1)/2は奇数 x^2は奇数,(x-1)/2も奇数 したがって,(x-1)は奇数の二倍 つまり、xは4の倍数-1 x=4n-1,k=2mとおく x^3-(x+k)^2=2…‥① に代入 (4n-1)^3-(4n-1+2m)^2=2 から、 m^2+m(4n-1)-16n^3+16n^2-5n=-1 m^2+m(4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1 m(m+4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1…‥④ ④より、 右辺はnが偶数のとき奇数 左辺は常に偶数 したがってnは奇数 つまり、xは8の倍数-5 となる x=8l-5,k=2mとおく x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③ に代入 (8l-5)^2(4l-3)-2m^2=2m(8l-5)+1 (8l-5)^2(4l-3)=2m^2+2m(8l-5)+1 (8l-5)^2(4l-3)=2m(m+8l-5)+1 (8l-5)^2={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3) 64l^2-80l+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3) 16l(4l-5)+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3) {2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)-16l(4l-5)=25…‥⑤ ⑤は、l=m=1のとき、 原始ピタゴラス数の等式 3^2+4^2=5^2を満たす つまり⑤は、 l=1,m=1しか解が存在しない l=m=1を、x=8l-5,k=2mに代入 ∴整数解は、k=2,x=3 ディオファントスは3世紀頃の人らしい 17世紀になって彼の本 『アリスメティカ』に熱中した人物が フェルマーである. とくにx^n+y^n=z^n(n≧3)という形の 方程式が正の整数解を持たないと 書き込みを残したことが, その後350年にわたって多くの数学者 たちを悩ませることになった. abc予想が解けた後では 簡単な演習問題になったようだ 三角関数などと一緒に楕円関数も初等関数の仲間に入れたい気がする。 より一般には代数函数の積分により定義されるアーベル積分も。。。 機体トラブルで酸欠状態に 残り僅か10分しかなく、必死で家族が待つ地球へ戻ろうとする様を描いています。 想像してみてください。//youtu.be/oWs3yvVADVg ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
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