■初等関数研究村■

[0001 ベッセル関数 2019/06/15(土) 22:22:31.75 ID:IIziHdYA]

初等関数（しょとうかんすう、英: Elementary function）とは、
実数または複素数の1変数関数で、代数関数、指数関数、対数関数、
三角関数、逆三角関数および、それらの合成関数を作ることを
有限回繰り返して得られる関数のことである

ガンマ関数、楕円関数、ベッセル関数、誤差関数などは初等関数でない
初等関数のうちで代数関数でないものを初等超越関数という
双曲線関数やその逆関数も初等関数である

初等関数の導関数はつねに初等関数になる

[0002 １３２人目の素数さん 2019/06/15(土) 22:23:32.61 ID:IIziHdYA]

縦3マス、横4マスの12マスのうちランダムに選ばれた
2マスにそれぞれ宝が眠っている
AEIBFJ…の順で縦に宝を探していく方法をとるP君と、
ABCDEFGH…の順で横に宝を探していく方法をとるQ君が、
同時に地点Aから探索を開始した
どっちの方が有利？

ABCD
EFGH
I JK L

P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134

完全追尾型多項式が完成しました

宝の個数は2

P1st={12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51}/48

Q1st={12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3}/48

even={10n^2+8n+(-1)^n-9}/8

■Wolframに入力すると既約分数表示になるので御注意

P1st／Q1st

=8(n-1){(n-2)n-6}/{2n(n+2)(6n^2-2n-5)-3(-1)^n+3}+1

[0003 １３２人目の素数さん 2019/06/15(土) 22:24:30.65 ID:IIziHdYA]

P1stとQ1stは、『宝一つの時の自陣当たり数』の二乗と
それぞれの差分を表す関数の和で求められる

■P1stを求める

宝一つの時の自陣当たり数

n(n+1)/2-1　……�@

P1stは�@^2と差分の和

差分は0 0 1 3 7 13 22 34 50 70 95 125 161 203
252 308 372 444 525 615……

それを表す関数

(4n^3-6n^2-4n-3(-1)^n+3)/48　……�A

計算知能で�@^2+�Aを入力すると

∴P1st={12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51}/48

■Q1stを求める

宝一つの時の自陣当たり数

n(n+1)/2-1　……�@

Q1stは�@^2と差分の和

差分は0 1 2 2 1 -2 -7 -15 -26 -41 -60 -84 -113
-148 -189……

それを表す関数は　

(-4n^3+18n^2+28n-3(-1)^n-45)/48　……�B

計算知能で�@^2+�Bを入力すると

∴Q1st={12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3}/48

■evenを求める

evenは、n(n+1)-1と同着数の和

同着数は1 2 4 6 9 12 16 20 25……

これを表す関数は　{2n^2-1+(-1)^(n)}/8　……�C

n(n+1)-1　……�D

計算知能で�C+�Dを入力すると

∴even={10n^2+8n+(-1)^n-9}/8

[0004 １３２人目の素数さん 2019/06/15(土) 22:25:21.94 ID:IIziHdYA]

P1st Q1st even
[1,] 0 0 1
[2,] 4 5 6
[3,] 26 27 13
[4,] 84 83 23
[5,] 203 197 35
[6,] 413 398 50
[7,] 751 722 67
[8,] 1259 1210 87
[9,] 1986 1910 109
[10,] 2986 2875 134
[11,] 4320 4165 161
[12,] 6054 5845 191
[13,] 8261 7987 223
[14,] 11019 10668 258
[15,] 14413 13972 295
[16,] 18533 17988 335
[17,] 23476 22812 377
[18,] 29344 28545 422
[19,] 36246 35295 469
[20,] 44296 43175 519

Table[(12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51)/48,{n,1,20}]

Table[(12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3)/48,{n,1,20}]

Table[(10n^2+8n+(-1)^n-9)/8,{n,1,20}]