初等関数（しょとうかんすう、英: Elementary function）とは、
実数または複素数の1変数関数で、代数関数、指数関数、対数関数、
三角関数、逆三角関数および、それらの合成関数を作ることを
有限回繰り返して得られる関数のことである
ガンマ関数、楕円関数、ベッセル関数、誤差関数などは初等関数でない
初等関数のうちで代数関数でないものを初等超越関数という
双曲線関数やその逆関数も初等関数である
初等関数の導関数はつねに初等関数になる
m,n,rは自然数，mnr≠0,r≦91とする
n^2=m(m+1)(m+r)を満たす、
自然数mが存在するか調査
m(m+1)=n，(m+r)=n から、
m(m+1)=(m+r) を調査
∴m^2=r
m=1，(m+1)(m+r)=n^2 から、
2(1+r)=n^2
2+2r=n^2
2r=n^2-2
∴r=(n^2-2)/2
rは平方数か，
(偶数の平方数-2)/2の時だけmは自然数
2はそのどちらでもないので、
∴n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、
自然数mは存在しない
n^2=m(m+1)(m+92) 整数解判定
アルゴリズム
9x23 16x13 13x23
4x23 92
table[{m(m+1)(m+99)}^(1/2),{m,1,50}]
table[{m(m+1)(m+39)}^(1/2),{m,1,20}]
table[{m(m+1)(m+27)}^(1/2),{m,1,20}]
table[{m(m+1)(m+10)}^(1/2),{m,1,20}]
n^2=m(m+1)(m+92) 整数解判定
アルゴリズム
(9x23)(9x23+1)(9x23+4x23)
sqrt(22), 6 sqrt(2), 2 sqrt(39), 2 sqrt(70), 15 sqrt(2),
4 sqrt(42), 2 sqrt(238), 36, 3 sqrt(190), 10 sqrt(22),
6 sqrt(77), 2 sqrt(858), sqrt(4186), 12 sqrt(35), 20 sqrt(15),
4 sqrt(442), 9 sqrt(102), 6 sqrt(266), 2 sqrt(2755), 30 sqrt(14)
sqrt(22)
6 sqrt(2)
2 sqrt(39)
2 sqrt(70)
15 sqrt(2)
4 sqrt(42)
2 sqrt(238)
36
3 sqrt(190)
10 sqrt(22)
m,n,rは自然数，mnr≠0とする
n^2=m(m+1)(m+r^2-2)を満たす、
自然数mが存在するか調査
m(m+1)=n，(m+r^2-2)=n から、
m(m+1)=(m+r^2-2) を調査
m^2=r^2-2
∴m=(r^2-2)^(1/2)
mは必ず無理数となるので、
∴n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、
自然数mは存在しない
m,n,rは自然数，mnr≠0とする
rが偶数のとき、
n^2=m(m+1)(m+r^2-2)を満たす、
自然数mが存在するか調査
m(m+1)=n，(m+r^2-2)=n から、
m(m+1)=(m+r^2-2) を調査
m^2=r^2-2
∴m=(r^2-2)^(1/2)
mは必ず無理数となるので、
∴n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、
自然数mは存在しない
table[(m+1)^3-m(m+1)(m+2),{m,1,50}]
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,
11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,
18, 19, 20, 21, 22, 23, 24,
25, 26, 27, 28, 29, 30, 31,
32, 33, 34, 35, 36, 37, 38,
39, 40, 41, 42, 43, 44, 45,
46, 47, 48, 49, 50, 51
mnは実数，mn≠0とする
n^2=m(m+1)(m+4)を満たす、
自然数mが存在するか調査
m(m+1)=n，(m+4)=n から、
m(m+1)=(m+4) を調査
∴m=2
n^2=m(m+1)(m+4)を満たす、
自然数はm=2
これを参考に、
n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、
自然数mが存在するか調査
m(m+1)=(m+2)
∴m=√2
n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、
自然数mは存在しない
m,nは実数，mn≠0とする
n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、
自然数mが存在するか調査
n^2=m(m+1)(m+2)
m(m+1)(m+2)=(m+1)^3-(m+1)
n^2=(m+1)^3-(m+1)
n^2+(m+1)=(m+1)^3……①
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26なので、
n=5,(m+1)=2 のとき、①は成立しない
n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、
自然数mは存在しない
25=m(m+1)(m+2)
m=-1+1/3 (675/2-(3sqrt(50613))/2)^(1/3) +(1/2 (225+sqrt(50613)))^(1/3)/3^(2/3)
ゲーデル
「完全なんてものは存在しません」
パスカル
「数学は世界の一部に過ぎません
神の世界には、完全も矛盾も存在する
のです」
n^2=m(m+1)(m+92) 整数解判定
アルゴリズム
((4+5)x23)(9x23+1)((4+4+5)x23)
((4+5)x23)((4+4+5)x16)((4+4+5)x23)
m,nは実数，mn≠0とする
n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、
自然数mが存在するか調査
n^2=m(m+1)(m+2)
m(m+1)(m+2)=(m+1)^3-(m+1)
n^2=(m+1)^3-(m+1)
n^2+(m+1)=(m+1)^3……①
x^2+2=y^3 (自然数解はx=5,y=3)…[定理A]
(m+1)=3 のとき、
①は[定理A]を満たさない
∴n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、
自然数mは存在しない
ピタゴラスは友愛数というものも
提案していた
友愛数はペアになった二つの数で、
一方の数が他方の数の約数の和になる
ようなものをいう
ピタゴラス教団は220と284が
友愛数だというめざましい発見をした(220の約数の1,2,4…55,110の合計は284で、
284の約数の合計が220になる)
フェルマーも完全数や友愛数に
興味をもっていた
ピタゴラス以降、
友愛数は220と284のペアしか
見つけていない
フェルマーはただちに17296と18416の
ペアを発見した
この発見は友人たちを刺激して、
デカルトは3番目のペア
(9363584と9437056)を発見し、
オイラーにいたっては楽々62通りもの
ペアをあげてみせた
調子にのったフェルマーは、
さまざまな奇妙な発見をする
たとえば25・26・27という整数の
連続には、26が25(5x5)と27(3x3x3)に
挟まれるという特徴をもっている
いろいろ調べてみると、
このような26にあたるような数が
ほかにないらしいことがわかった
フェルマーは得意になった
ほかにそういう数があるなら
出してみなさいと言わんばかり
なのである
こうしてフェルマーは
ピタゴラスの式をいじって、
驚くべき発見に至ったのである
それがフェルマーの最終定理とよばれ
たものになる
フェルマーはこう書いていた、
「ある3乗数を二つの3乗数の和で
あらわすこと、あるいはある4乗数を
二つの4乗数の和であらわすこと、
および一般に2乗よりも大きいベキの
数を同じベキの二つの数の和で
あらわすことは不可能である」
星裕一郎 IUTT理論入門
何か物事を説明する際,
その説明の方法は一意的ではなく,
そして, “最善なもの” というものも
通常は存在しないと思います.
本稿で行われている解説は,
あくまで,
“ある時点での筆者が選択した方法” に
よる1つの解説に過ぎません.
別の方が本稿のような解説を行えば,
まったく別の方法による解説が
得られるでしょう.
あるいは,
筆者が数年後に再び
この理論の解説を試みれば,
また別の方法による解説が得られる
かもしれません.
宇宙際Teichmu ̈ller理論の本格的な
理解を目指すならば,
どうしても原論文の精読が不可欠である,
という当たり前な事実を,
ここに指摘します.
↓
IUTTは書いた本人しか理解できない
m,nは実数，mn≠0とする
n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、
自然数mが存在するか調査
m,(m+1),(m+2)は連続した自然数
n^2=m(m+1)(m+2)
m(m+1)(m+2)=(m+1)^3-(m+1)
n^2=(m+1)^3-(m+1)
n^2+(m+1)=(m+1)^3……①
25・26・27という整数の連続には、
26が25(5x5)と27(3x3x3)に
挟まれるという特徴をもっている
いろいろ調べてみると、
このような26にあたるような数が
ほかにないことがわかった
x^2+2=y^3 (自然数解はx=5,y=3のみ)…[定理A]
n^2+(m+1)=(m+1)^3……①
n=5,(m+1)=3 のとき、
①は[定理A]を満たさない
∴n^2=m(m+1)(m+2)を満たす、
自然数mは存在しない
n=2のとき、
X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持つ
X^2+Y^2=Z^2を、
X^2+Y^2=(Y+m)^2…(1)とおく
(X,Y,mは整数とする)
X^2=(Y+1)^2-Y^2…(2)が整数解を持つならば、
(1)も整数解を持つ
(2)を(X^2-1)(1/2)=Y…(3)と変形する
(3)のXに任意の奇数を代入すると、
Yは偶数となる
∴n=2のとき、
X^n+Y^n=Z^nは自然数解を持つ
目下 の ところ 世論 の 情勢 を 鑑み て
シビュラシステム の 実体 は
完全 に 秘匿 さ れ て い ます
短期 的 戦略 と して の 隠蔽 工作 は 現状 で は まだ 容易 です が
長期 的 視野 に 立った 場合
これ は 決して 望ましい 方針 で は ない
いずれ 我々 は 偽ら ざる 姿 を 公 の もの と する べき な の です
m,nは実数，mn≠0とする
n^2=m(m+2)(m+4)を満たす、
自然数mが存在するか調査
n^2=m(m+2)(m+4)
m(m+2)(m+4)=(m+2)^3-4(m+2)
n^2=(m+2)^3-4(m+2)
n^2+4(m+2)=(m+2)^3……①
25・26・27という整数の連続には、
26が25(5x5)と27(3x3x3)に
挟まれるという特徴をもっている
いろいろ調べてみると、
このような26にあたるような数が
ほかにないことがわかった
x^2+2=y^3 (自然数解はx=5,y=3のみ)…[定理A]
n^2+4(m+2)=(m+2)^3……①
n=5,(m+2)=3 のとき、
①は[定理A]を満たさない
∴n^2=m(m+2)(m+4)を満たす、
自然数mは存在しない
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である
↓
3倍して立方数となる自然数は、
9だけである
7+9+11=27
13+15+17+19=64
21+23+25+27+29=125
3+5=8
7+9+11=27
13+15+17+19=64
21+23+25+27+29=125
31+33+35+37+39+41=216
ミスである
1x3x3
2x6x6
3x9x9
…
[定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である
[証明]
k,xは自然数，kx≠0とする
x^3-(x+k)^2=2 から
x^3-x^2-k^2-2kx=2
x^3-x^2-2kx=k^2+2
x^2(x-1)-2kx=k^2+2
x{x(x-1)-2k}=k^2+2
x{x(x-1)-2k}=(k-1)(k-2)+3k
x{x(x-1)-2k}-3k=(k-1)(k-2)
{x{x(x-1)-2k}-3k}/(k-1)=(k-2)…‥①
①はk=2のとき、
x{x(x-1)-2k}-3k=0 となるので、
k=2が確定
x{x(x-1)-2k}-3k=0 にk=2を入力
x{x(x-1)-4}-6=0
x{x(x-1)-4}=6から、
∴x=3
∴整数解は、k=2,x=3
[定理]
隣接する二つの三角数の二乗の差は
立方数である
□■■□□□■■■■
■■■□□□■■■■
■■■□□□■■■■
□□□□□□■■■■
□□□□□□■■■■
□□□□□□■■■■
■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■
■■■■■■■■■■
[例]
9-1=8
36-9=27
100-36=64
白と黒が交互に立方数になる
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である
↓
3倍して立方数となる平方数は、
9だけである
[定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である
[証明]
k,xは自然数，kx≠0とする
x^3-(x+k)^2=2 から
x^3-x^2-k^2-2kx=2
x^3-x^2-2kx=k^2+2
x^2(x-1)-2kx=k^2+2…‥①
x{x(x-1)-2k}=k^2+2
x{x(x-1)-2k}=(k-1)(k-2)+3k
x{x(x-1)-2k}-3k=(k-1)(k-2)
{x{x(x-1)-2k}-3k}/(k-2)=(k-1)…‥②
{x{x(x-1)-2k}-3k}/(k-1)=(k-2)…‥③
①よりkは偶数
②はk≧4のとき、
左辺{x{x(x-1)-2k}-3k}/(k-2)が偶数
右辺(k-1)が奇数であることと矛盾
したがって、k=2が確定
③にk=2を入力
x{x(x-1)-2k}-3k=0
x{x(x-1)-4}-6=0
x{x(x-1)-4}=6から、
∴x=3
∴整数解は、k=2,x=3
k≧4のとき、
左辺{x{x(x-1)-2k}-3k}/(k-2)が偶数
wolfram でも問題ない
ピタゴラスは友愛数というものも
提案していた
友愛数はペアになった二つの数で、
一方の数が他方の数の約数の和になる
ようなものをいう
ピタゴラス教団は220と284が
友愛数だというめざましい発見をした
(220の約数の1,2,4…55,110の合計は
284で、284の約数の合計が220になる)
[定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である
[証明]
k,xは自然数，kx≠0とする
x^3-(x+k)^2=2
を成立させる唯一の方法は、
原始ピタゴラス数の性質により、
(k+x)^2=x^2+{2(x^2-1)}
となる場合のみである
この時、x^3=3x^2 が成立する
x^3=x(x^2)なので、
∴x=3
x^3-(x+k)^2=2 から
∴k=2
[定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である
[証明]
k,l,m,n,xは自然数，klmnx≠0とする
x^3-(x+k)^2=2…‥①
x^3-x^2-k^2-2kx=2
x^3-x^2-k^2=2kx+2
x^2(x-1)-k^2=2(kx+1)…‥②
x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③
②より、kは偶数，kx+1は奇数
③より、
x^2(x-1)/2は奇数
x^2は奇数，(x-1)/2も奇数
したがって,(x-1)は奇数の二倍
つまり、xは4の倍数-1
x=4n-1，k=2mとおく
x^3-(x+k)^2=2…‥① に代入
(4n-1)^3-(4n-1+2m)^2=2 から、
m^2+m(4n-1)-16n^3+16n^2-5n=-1
m^2+m(4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1
m(m+4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1…‥④
④より、
右辺はnが偶数のとき奇数
左辺は常に偶数
したがってnは奇数
つまり、xは8の倍数-5 となる
x=8l-5，k=2mとおく
x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③ に代入
(8l-5)^2(4l-3)-2m^2=2m(8l-5)+1
(8l-5)^2(4l-3)=2m^2+2m(8l-5)+1
(8l-5)^2(4l-3)=2m(m+8l-5)+1
(8l-5)^2={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
64l^2-80l+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
16l(4l-5)+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)-16l(4l-5)=25…‥⑤
⑤は、l=m=1のとき、
原始ピタゴラス数の等式
3^2+4^2=5^2を満たす
つまり⑤は、
l=1，m=1しか解が存在しない
l=m=1を、x=8l-5，k=2mに代入
∴整数解は、k=2,x=3
ディオファントスは3世紀頃の人らしい
17世紀になって彼の本
『アリスメティカ』に熱中した人物が
フェルマーである．
とくにx^n+y^n=z^n(n≧3)という形の
方程式が正の整数解を持たないと
書き込みを残したことが，
その後350年にわたって多くの数学者
たちを悩ませることになった．
0604１３２人目の素数さん2023/06/11(日) 22:42:03.88ID:ZLUCTYLG
abc予想が解けた後では
簡単な演習問題になったようだ
0605１３２人目の素数さん2023/06/15(木) 13:17:22.51ID:wYuvfGiD
三角関数などと一緒に楕円関数も初等関数の仲間に入れたい気がする。
より一般には代数函数の積分により定義されるアーベル積分も。。。
0606１３２人目の素数さん2023/06/21(水) 02:19:33.73ID:wn/367VJ
機体トラブルで酸欠状態に
残り僅か１０分しかなく、必死で家族が待つ地球へ戻ろうとする様を描いています。
想像してみてください。//youtu.be/oWs3yvVADVg