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分からない問題はここに書いてね453
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
0952１３２人目の素数さん
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2019/07/05(金) 16:14:01.35ID:05JfJpeS
もう1題、これもお願いします。

（1）S[n] = Σ[k=1 to n] k!　が平方数となるnを全て求めよ。

（2）S[n]-3　についてはどうか。ただし0は平方数として扱う。
0953１３２人目の素数さん
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2019/07/05(金) 16:34:43.88ID:05JfJpeS
AB=4,BC=5,CA=6の△ABCにおいて、その外接円をR、CAの中点をM、AからBCに下ろした垂線の足をHとする。
また、Mを通りAHと平行な直線と、劣弧CAとの交点をDとする。
このときADの長さを求めよ。
0954１３２人目の素数さん
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2019/07/05(金) 17:47:11.13ID:05JfJpeS
領域D: y ≥ |1/(1+e^x)| とする。
D内を半径1の円Cが動くとき、Cが決して通過できない部分が存在する。
その面積を求めよ。
0955１３２人目の素数さん
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2019/07/05(金) 19:20:31.34ID:8lPu2EUE
なぜ絶対値がついているのでしょうか？
0956１３２人目の素数さん
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2019/07/05(金) 23:17:41.67ID:wye9Rhvp
定積分I[x] = ∫[1 to x] ln(x) dx に対し、
不等式m < I[n] < m+1を満たす自然数nの個数をa[m]とおく。
mがm=1,2,...と正の整数値をとるとき、
b[m]=a[m+1]/a[m]で定義される数列b[m]について、
その増加、減少、m→∞としたときの極限
をそれぞれ述べよ。
0958１３２人目の素数さん
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2019/07/05(金) 23:58:19.07ID:g7vswyLm
>>942
　
コーシー(2)

Xi, Yj ≧ 0 のとき
(X1 + X2 + ････ + Xn)(Y1 + Y2 + ････ + Yn) ≧ (G1 + G2 + ････ + Gn)^2,
ただし　Gi = √(XiYi).

(略証)
(左辺) - (右辺) = Σ[i<j] (XiYj + XjYi -2GiGj)
　= Σ[i<j] {√(XiYj) - √(XjYi)}^2
　≧ 0,
　ラグランジュの恒等式とか云うらしい。
　等号成立は Xi/Yi = (一定)
0962おぽかたぱるこ
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2019/07/06(土) 09:28:20.73ID:13qqswpD
満州先生からの出題です。

０から１の間で
１　有理数は何個あるでせうか。
２　無理数は何個あるでせうか。
３　実数は何個あるでせうか。
４　有理数と無理数では、どちらが多いでせうか。
0963おぽかたぱるこ
垢版 |
2019/07/06(土) 09:30:50.08ID:13qqswpD
これも満州先生からの出題です。
次のうち、正しいのはどれでせうか。

１　1/2+1/4＋1/8＋……は１になる。
２　0.99999……は１である。
３　0.99999……は0.9＋0.09＋0.009＋……と同じではない。
４　0.99999……は最初から9が無限桁並んでいる。
５　有限小数からなる数列の極限値が無限小数である。
６　有限級数からなる数列の極限値が無限級数である。
７　無限小数自体が極限値である。
８　無限級数自体が極限値である。
９　無限小数は実数である。
10　無限小数は必ず極限値をもつ。
11　実無限が存在する。
12　自然数ｎは∞にはならないが、∞自体は存在する。
13　実数は連続性がある。
14　線は点の集合である。
15　数直線上で実数を示す点の集合は線になる。
16　数直線上に非可算個の実数が存在する。
17　無限集合が存在する。
18　可算無限集合は集合ではない。
19 自然数の無限より実数の無限の方が多い。
20　有界な単調数列は収束する（極限値を持つ）。
21　体積２の正立方体が存在する証拠はない。
0964１３２人目の素数さん
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2019/07/06(土) 10:21:40.86ID:bkbnrhxO
>>963
ここはわからない問題を質問する場所でお前が出題者ぶって問題を解かせる場所じゃない
0965１３２人目の素数さん
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2019/07/06(土) 10:26:19.24ID:v5KRa6/7
ここはわからない問題を質問する場所ではありません
わからない問題を書く場所です
0967１３２人目の素数さん
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2019/07/06(土) 10:46:08.70ID:bfApSSBr
高校生です
「中心O、半径1の円を底面とし、高さが1の直円錐がある。点Oを通り面と45°の角で交わる面をPとする。Pで分割された円錐の小さい方の体積を求めよ。」
という問題で、Oを原点、O-頂点をz軸、Pをx=zとおいてy=tで切って積分すると、下の積分を求めなければならず、私の脳では詰んでしまいました

模範解答から数値計算するとこの積分までの変形自体は合ってるようなのですが、この積分はどうやったら求められるでしょうか？
（できれば高校範囲まででお願いいたします）
また、Pと平行な面で切って積分すると簡単な計算で求まるようですが、それはなぜで、
どうやったら見抜けるのでしょうか？

https://i.imgur.com/J2I9PS6.jpg
https://i.imgur.com/PcjjXAU.jpg
0968１３２人目の素数さん
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2019/07/06(土) 12:26:18.04ID:kUuQ2U+o
>>967
1-t^2=aとおくとか、t=sinxとおくとか
あと切断面に円弧が出る場合、逆三角関数を習わない高校数学では積分不可のことが多いから気をつけて
0969１３２人目の素数さん
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2019/07/06(土) 12:31:24.68ID:CNACvzxI
そりゃ断面積が簡単に求まる方がいい事が多い。
円錐曲線は母線に平行に切った時に放物線になって一番面積求めやすい。
0970943
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2019/07/06(土) 12:59:24.36ID:jsDX/dGo
>>950 ありがとうございます。自分でも考えてみました。

一般に N個のベクトル a,…,z が与えられた時
★　【a,b,…,z】 ≦ ||a||{N}.||b||{N}… || z ||{N}
が成立する. (N=2 がコーシー=シュヴァルツ不等式を与える)

ただしベクトルの成分は全て非負値を取り、
p-ノルム: ||v ||{p} := (v1^p + v2^p +…+ v[n]^p )^{1/p}
内積: 【u,v】 := u1v1 +…+ u[n]v[n]
【u,v,w】 := u1v1w1 +…+ u[n]v[n]w[n] , … etc.
のように定義されているものとします.
( 3つ以上については内積とは言いません. 記法もここだけの記法です. )

証明
N-1 個のベクトルについては成立すると仮定する.
Z=(b1..z1, b2..z2, …, b[n]..z[n] ),　1/N + 1/N’ = 1 と置く.
【a,b,..,z】 = 【a, Z】 ≦ ||a||{N}.||Z||{N’} (∵ ヘルダーの不等式 (関数解析とかの本に載ってる))

b’ = (b[1]^N’,…,b[n]^N’), ..., z’=(z[1]^N’,…,z[n]^N’) と置く.
( ||Z||{N’} )^{N’} =【b’, …, z’】 ≦ ||b’||{N-1}*…*||z’||{N-1} (∵ 仮定)
||b’||{N-1} = ( b[1]^(N’(N-1)) + …)^{1/(N-1)} = ( b[1]^N + …)^{N’/N} = ( ||b||{N} )^{N’}
∴ ||Z||{N’} ≦ ||b||{N}…||z||{N}　

数学的帰納法により
【a, b, .., z】 ≦ ||a||{N}.||b||{N}…||z||{N}
が示された.
0971１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/07/06(土) 13:07:01.41ID:bfApSSBr
>>968
それらで求まりますか？
変数をそれらを含む色々や、1+√1-t^2と置いたりttを積分して部分積分などはやってみたのですが全く求まらなかったのですが
具体的にどう変形すればいけますかね？
0972１３２人目の素数さん
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2019/07/06(土) 13:44:05.91ID:CNACvzxI
>>971
ヨコだけどできるとは思うけどコレどっかの過去問なん？
このレベルがまだ入試で出てるなら日本もまだ捨てたもんじゃないんだけど。
0973１３２人目の素数さん
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2019/07/06(土) 13:48:52.81ID:bfApSSBr
求まりますか、ありがとうございます。どこかで計算ミスしたのだと思います。もう一度試してみます

確か早稲田？だと思います
0975イナ ◆/7jUdUKiSM
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2019/07/06(土) 14:17:54.72ID:OSXhALk1
前>>947
>>829
∠BOC に含まれる扇形部分の体積v
その各点の極座標を (r,θ) とすると 0≦r≦1, -60ﾟ≦θ≦60ﾟ
各点における高さは h(r,θ) = 2(1+y) = 2(1-r･cosθ)
　v = ∫[0,1] ∫[-60ﾟ,60ﾟ] h(r,θ) dθ rdr = 2(π-√3)/3
↑
これを∠AOBでやっても値は同じですよね？
その各点における極座標を(r,θ)とすると、
0≦r≦1
0°≦θ≦120°
各点における高さは、
h(r,θ)=2(1-rcosθ)
ここが図で理解できないところです。
v=∫[0,1]∫[0°,120°]h(r,θ)dθrdr
=2(π-√3)/3←これはどうやって出すんですか？
0976１３２人目の素数さん
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2019/07/06(土) 14:43:18.37ID:bfApSSBr
>>974
何年かは不明ですか早稲田でした。

1-t^2=aとおくとかt=sinxとおくとかとても解ける気がしないので具体的な変形を教えて下さい。
0977１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/07/06(土) 16:36:38.38ID:s+i5OOaq
とりあえず強引に立式すれば断面積は
1/2(1-t)^2acos (t/(1-t)) -t√(1-2t)
だと思う。
原理的にはできるけど受験でこの積分するのはオススメできないからやっぱり斜めに切るべきだね。
あるいは立式だけして円柱座標使ってパップスギュルタンの一般化使って
cos(t)(2+cos(t))/(1+cos(t))^2/3
を-π/2〜π/2で積分するのが楽ちん。
0978１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/07/06(土) 17:20:54.88ID:wrjfkGEA
Dmg = Atk * (1.00+x1+x2) * (1.00+y1+y2)

・Atk … 武器の基礎ダメージ
・変数 x1,x2 … 装備品Xが持つ補正値 (対象の種族により +0〜10% まで)
・変数 y1,y2 … 装備品Yが持つ補正値 (対象の兵装により +0〜10% まで)
{0.00 < x1 < 0.10} (x2,y1,y2 も全て同様)

この時、なるべく少ない補正値の装備らの組み合わせで
大きいダメージを出したい。

問い
Atk = 5100 で、6000ダメージ以上を目指すとする。

その1
6000 =< 5100 * (1.00+x1+x2) * (1.00+y1+y2)
最適な (x1,x2,y1,y2) の組み合わせは何か？

その2
Yが +10% の補正値を1つ持つのが確定しており、
y2 = 0.10 と固定できるとする。
この時、最適な (x1,x2,y1) の組み合わせは何か？
0979イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2019/07/06(土) 17:56:39.64ID:OSXhALk1
前>>975
>>829
2(π-√3)/3はどうやって出すんですか？
何行か計算過程があるはずだ。
0982１３２人目の素数さん
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2019/07/06(土) 19:53:38.10ID:fIB5snyh
>>976
この手の三角関数の有理式ではx=tan(s/2)と置換するのが定石で、ほぼ全て解ける
ただこれは大学で習う置換で、便利だけど高校ではほぼ使わない
納得いかないならこれで計算して
0983１３２人目の素数さん
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2019/07/06(土) 20:19:34.32ID:bfApSSBr
>>982
それは知っていますが、それでうまく行くのは三角多項式の時ではないですか？
これはlogついていますが行けますか？
0984１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/07/06(土) 20:20:45.67ID:bfApSSBr
試した感じ三角関数系の置き換えでは厳しいのではないかという感触を得たのですが
スッキリ解ける方いらしたらお願いしますm(_ _)m
0986１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/07/06(土) 21:03:14.23ID:DXoHadM0
>>982
理系の高校生なら普通に知ってるんでね
0991１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/07/06(土) 22:20:29.75ID:6Jv3I2z8
https://i.imgur.com/KPdarxm.jpg

↑は実数論の一命題をデデキントの切断を使って証明しています。

無茶苦茶ややこしくないですか？

Cantor 式のほうがいいですよね？
0992１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/07/06(土) 22:23:52.67ID:6Jv3I2z8
あ、これは実数の性質というより有理数の切断の性質ですね。

こんな定理なんで証明しているんですかね？
0994１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/07/06(土) 22:45:24.13ID:6Jv3I2z8
α = <A, A'>

r ∈ A ⇒ <R, R'> < <A, A'>

r ∈ A' ⇒ <A, A'> ≦ <R, R'>

ということを示しています。

有理数 r と <R, R'> （R = {q ∈ Q | q < r}, R' = {q ∈ Q | r ≦ q}）を同一視するということですけど、

もともとの有理数 r と考えるか切断 <R, R'> と考えるかを都合のいいように決めていいんですか？
0995１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/07/06(土) 22:56:23.69ID:6Jv3I2z8
有理数 r と同一視する <R, R'> についてですが、 R = {q ∈ Q | q < r}, R' = {q ∈ Q | r ≦ q} ですから、
オリジナルの有理数を使って定義されています。

こんなことしてもOKなんですか？

例えば、実数 α = <A, A'> の A や A' は有理数の集合です。

A の要素はオリジナルの有理数なのかオリジナルの有理数と同一視された切断なのか？

もし、切断だとするとその切断 = <R, R'> の R や R' を構成する有理数は、

オリジナルの有理数なのかオリジナルの有理数と同一視された切断なのか？

もし、切断だとするとその切断 = <R, R'> の R や R' を構成する有理数は、

オリジナルの有理数なのかオリジナルの有理数と同一視された切断なのか？

…
0997１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/07/06(土) 23:50:19.39ID:NMmJDS6F
>>978
その１
5100*1.08*1.08=5948.64
5100*1.08*1.09=6003.72
なので、{x1+x2,y1+y2}={0.08,0.09}
具体的には、x1,x2,y1,y2　の内三つが0.04で、一つが0.05 というのが、最大補正が最小で済む

その２
y1=0.00の時、x1+x2=0.07　∵　5100*1.06*1.10=5946.6、5100*1.07*1.10=6002.7
y1=0.01の時、x1+x2=0.06　∵　5100*1.05*1.11=5944.05、5100*1.06*1.11=6000.66
y1=0.02の時、x1+x2=0.06　∵　5100*1.05*1.12=5997.6、5100*1.06*1.12=6054.72
y1=0.03の時、x1+x2=0.05　∵　5100*1.04*1.13=5993.52、5100*1.05*1.13=6051.15
y1=0.04の時、x1+x2=0.04　∵　5100*1.03*1.14=5988.42、5100*1.04*1.14=6046.56
y1=0.05の時、x1+x2=0.03　∵　5100*1.02*1.15=5982.3、5100*1.03*1.15=6040.95
...
x1,x2,y1の内一つが0.02で、二つが0.03で というのが、最大補正が最小で済む
0999１３２人目の素数さん
垢版 |
2019/07/07(日) 03:34:21.49ID:NQih2PzA
>>960

　(1+cos(x))/sin(x) = sin(x)/(1-cos(x))
を使うと
　∫(与式) dx = {cos(x)/(1-cos(x))} sin(x)dx
　= ∫(1-z)/z dz　　　　　{z = 1-cos(x)}
　= ∫(1/z -1) dz
　= log(z) - z + c
　= log(1-cos(x)) + cos(x) + c',
10011001
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