分からない問題はここに書いてね453

**１３２人目の素数さん** · 2019/05/17(金) 06:10:41.72

さあ、今日も１日がんばろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね452
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1555080760/

(使用済です: 478)

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/02(火) 11:51:17.44

>>835
　初等幾何ぢゃなくてもいいなら
平行線 AD、BC の間隔を１とする。
A (cot(48ﾟ), 1)
B (0, 0)
C (cot(48ﾟ)+cot(54ﾟ), 0)
D (cot(30ﾟ), 1)

cot(48ﾟ) = √{2 + (5+2√5) -2(√3)√(5+2√5)}
cot(54ﾟ) = tan(36ﾟ) = √(5-2√5)
cot(30ﾟ) = tan(60ﾟ) = √3,
より
　cot(30ﾟ) - cot(48ﾟ) - cot(54ﾟ)
= √{2 + (5-2√5) -2(√3)√(5-2√5)}
= cot(84ﾟ)

∠BCD = 96ﾟ
∠ACD = 42ﾟ

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/02(火) 13:17:35.89

前>>845式はできた。
6∫[0～1]{∫[√(t-t^2/4)～√3/2](1-t-√(1-x^2)dx+∫[√3/2～√3-t√3/2](1-t-x/√3)dx}dt
sinθ=√(t-t^2/4),cosθ=1-t/2とおくと、白い三日月が出たほうがいいな、と思えてくる。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/02(火) 15:01:13.13

前>>852
正四面体PABCをz=tで切った断面は、開口部の中心角を2θとして、
3√3(2-t/2)^2-1+3θ-3sin2θ
0≦t≦1のとき0≦θ≦π/3
円柱でくりぬいて残ったガワの体積は、
∬3√3(2-t/2)^2-1+3θ-3sin2θdθdt[θ=0～π/3][t=0～1]

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/02(火) 15:07:16.95

いつまでやってんだこいつ
30分あれば十分な問題だろ

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/02(火) 15:42:06.48

整級数P(z; 1)=納n=0,∞](1/2 C n)(z - 1)^n
の|z|=1の収束円周上の点を中心とするテイラー展開式ってどうなるのでしょうか

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/02(火) 16:13:03.69

前>>853
正四面体PABCをz=tで切った断面は、開口部の中心角を2θとして、
3√3(2-t/2)^2-1+3θ-3sin2θ
0≦t≦1のとき0≦θ≦π/3
円柱でくりぬいて残ったガワの体積は、
∬3√3(2-t/2)^2-1+3θ-3sin2θdθdt[θ=0～π/3][t=0～1]
t=2(1-cosθ)
∫3√3{2-(1-cosθ)}^2-1+3θ-3sin2θdθ[θ=0～π/3]
∫3√3(1+cosθ)^2-1+3θ-3sin2θdθ[θ=0～π/3]
=∫3√3(1+2cosθ+cos^2θ)-1+3θ-3sin2θdθ[θ=0～π/3]
=∫3√3(θ+2sinθ+θ/2+sin2θ/4)-1+3θ-3sin2θdθ[θ=0～π/3]
=3√3{π/3+2sin(π/3)+(π/3)/2+sin2(π/3)/4)-1+3(π/3)-3sin2(π/3)}
=3√3(π/3+√3+π/6+1/2)-1+π-3√3/2
=3√3(π/2+√3+1/2)-1+π-3√3/2
=3√3π/2+9+3√3/2-1+π-3√3/2
=(1+3√3/2)π+8
計算間違えたかな？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/02(火) 18:11:31.76

>>856 もっと単純に行きましょうよ....
円筒を引いて取りすぎた部分の体積(三日月って言ってたやつかな？) なら
↓こんな方針で求められます.

半径1高さ1の円筒を斜め切断した立体の体積 V を求めたい.
底辺の切断位置を a , cos(α) = a として c = cosθ と略記する
V(a) = ∫ [θ= -α ～ +α] dθ { (1/2).(a/cc) + (1/3).(1/c - a/cc) } (c-a)^2 . 1/(1-a)
= ∫ [θ= -α ～ +α] dθ (a + 2c)(cc -2ac +aa) /6cc. 1/(1-a)
= ∫ [θ= -α ～ +α] dθ ( 2c -3a +aaa/cc ) /6 . 1/(1-a)
= { 2.sinα -3a.α +aaa.tanα } / {3(1-a)}
= { (2+aa)√(1-aa) - 3a.acos(a) } / {3(1-a)}

これは 0 ≦ a ≦ 1 での証明ですが、-1 ≦ a < 0 でもそのまま同じ式が使えます. (証明は略す)
例えば V(-1) = π/2 が、きっちり半分体積になってるのは図形の対称性からも明らか.

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/02(火) 18:48:34.13

>>853
結局ホントの最終学歴ってなんなん？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/02(火) 19:21:32.59

￣]/＼______前>>856
＿/＼/　　,,､､　　/|
￣＼/　　彡-_-ﾐ　/ |
￣|＼_____U,⌒U､/| |__
］| ∥￣￣￣U~~U | / /
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￣￣￣￣￣￣￣￣￣∥
□　　□　　□　　∥ /
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￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣
間をおいてもうちょい考える。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/02(火) 20:12:58.32

2の2019乗を5で割った余り
合同式を利用してお願いします

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/02(火) 20:37:29.69

2^2 = 4 ≡ -1 (mod 5)

2^(2*1009 + 1) = (2^2)^1009 * 2 ≡ (-1)^1009 * 2 = -2 ≡ 3 (mod 5)

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/02(火) 21:35:50.39

前>>859
高さ1の単位円柱(体積π)の中心角120°の切頭三日月形柱が三日月形柱(体積はわかる)の1/2なのか2/3なのか、正四面体PABCの中と外でいくらに分けられるのか。答えから推定する。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/02(火) 23:08:22.33

円柱は縦に切るのがコツ

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/02(火) 23:24:32.48

前>>862やっと解けた。
正四面体PABC=1/3･3√3･2
=2√3
正四面体PABCのz=1より上の部分(正四面体PABCの1/8)を切り出し、
2√3(7/8)=7√3/4
x^2+y^2＜1の0≦z≦1の円柱(体積π)内部の正三角柱を切り出し、
7√3/4-3√3/4=√3
求める立体の体積=√3-(π-3√3/4)(2/3)
=3√3/2-2π/3
=0.503681109……

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/02(火) 23:46:54.43

突然πが出てきて何事wwwww

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 00:14:38.71

>>842 >>846

π - T[n] = (6/π)Σ[k=n+1 to ∞] 1/kk
　= 2(6/π){1/(2n+1) - 1/[3･(2n+1)^3] + 7/[15･(2n+1)^5] - 31/[21･(2n+1)^7] + ････}

π - S[n] = 4Σ[k=n+1 to ∞] {(-1)^(k-1)} /(2k-1)
　= (-1)^n {1/n - 1/(4･n^3) + 5/(16･n^5) - 61/(64･n^7) + ････ }

う～む、難しい･･･

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 01:05:55.95

だからオイラーマクローリンで1/nで展開できるって。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 01:22:57.14

>>853 >>856
　z = t　　　　(← 無意味?)
　相似比 (2-t)/2,
　△の面積 (3√3){(2-t)/2}^2,
　開口部の三角形の面積は　cosθsinθ = (1/4)(2-t)√{t(4-t)},
　それ以外の扇形の面積は、中心角の半分で、π/3 - θ = π/3 - arccos((2-t)/2),
　矢じり形３つの面積は
　　(3√3){(2-t)/2}^2 - 3cosθsinθ - π+ 3θ
　= (3√3){(2-t)/2}^2 - (3/4)(2-t)√{t(4-t)} - π + 3arccos((2-t)/2),
これを 0<t<1 で積分して 4√3 - 2π

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/03(水) 02:04:49.59

前>>864
>>865πについて解説します。
正四面体PABC(体積2√3)から、
正四面体PABCのz=1より上の部分(正四面体PABCの1/8)を切り出し、
2√3(7/8)=7√3/4
x^2+y^2＜1の0≦z≦1の円柱(体積π)内部の正三角柱(3√3/4)を切り出し、
7√3/4-3√3/4=√3
ここまでだと正四面体内部をナイフで切り出したみたいな状態なわけです。
ここからさらにメロンの中の果肉をスプーンでこ削げ落とすみたいに切り出さないと。
πは高さ1の円柱です。
3√3/4は高さ1の正三角柱です。
求める立体の体積=√3-(π-3√3/4)(2/3) ←2/3というのは三日月形柱の内側を切り出したからです。
三日月形柱を、正四面体PABCの斜めの側面が、内側と外側に2:1に分けるんです。
中心角が120°なんで三日月形というか蒲鉾形です。
=3√3/2-2π/3
=0.503681109……

この(2/3)の比率に気づくのに時間がかかりました。
xy平面もz=1平面も三日月形柱の上底と下底は合同な蒲鉾形です。正四面体PABCの側面で斜めに切ったとき、下向きには一点に収束していく形ですが、上向きには直線に収束していく、すなわち両端の二点に。
これで2:1の比率になることが実感できました。
>>868z=t平面で切って積分するやり方が硬い(強力な)方法かもしれないと思ったんですが、より直感的で幾何学的な、メロンの切り出しのような方法に変更しました。
z=tで切るやり方で同じ値を出すとは、やっぱり0.6……が正解なのか。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 02:12:53.41

いや実感ではなくて証明をして下さい。
何故1:2になるの？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/03(水) 02:43:08.15

前>>869でも蒲鉾は斜めに切るほうがいいって……
＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/
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＿/＿/＿/＿/＿ﾁｭ_/＿/
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**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 03:04:22.29

切断面を斜めや真横にスパッと切ると断面に円、楕円が生じて面倒。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 03:33:26.27

今やってみたら>>842解存在しないんじゃね？
p<1だと0になってp≧1だと振動するやん。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 07:55:39.16

>>869
2:1 が云々とあるのは蒲鉾斜め切りが蒲鉾錐になってると思って「底面 * 高さ * (1/3)」を使いました？
水平横断面が全て相似形で頂点からの距離に比例してサイズが変わる (○○錐の特徴) 場合は...
∫ [z=0～h] dz S (z/h)^2 = S.h.(1/3) のように 1/3 ファクターが現れます。
今回のはそうではありません。例えば水平横断面は相似形ではありません。

>>857 で導出した斜め切断の式使えば
V(1/2) = { (2+1/4)√(1-1/4) - (3/2). acos(1/2) } / {3(1-1/2)} = (3/4).√3 - π/3

{四面体 - (1/2).四面体} - {円筒} + {円筒で削りすぎた分}
= (1- 1/8). 2√3 - π + 3. { (3/4).√3 - π/3 } = 4√3 - 2π
これが答えです。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 09:09:14.88

a, b を実数とし、 a < b とする。閉区間 [a, b] は R と濃度が等しいことを以下のヒントを利用して示せ。

ヒント： A ⊂ (a, b) を可算無限集合とすれば、 A ～ A ∪ {a, b} は比較的簡単に示すことができる。これから (a, b) ～ [a, b] を導け。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 09:10:13.38

「A ～ A ∪ {a, b} は比較的簡単に示すことができる」

と書かれていますが、自明ではないのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 09:41:27.26

右辺は要素が増えてるのに濃度が等しくなってますね
自明ではないです

{1}と{1,2,3}明らかに濃度が違いますね

今回はなぜ濃度が等しくなるのでしょうね

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 09:45:23.62

可算無限集合の定義ですが、 N と濃度が等しいときに、可算無限集合と定義しています。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 09:45:59.83

あ、「無限」という字が入っているので、書くまでもないことですね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 09:47:57.36

A = {a_0, a_1, a_2, … }

a_0 → a
a_1 → b
a_2 → a_0
…
a_k → a_{k-2}
…

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 10:19:09.41

領域D_0の内部に正則点a_0をとり，a_0を中心としたテイラー展開式をf_0(z)とする．
f_0(z)の収束円D_1が完全にD_0に含まれている場合，D_1の境界の円周はD_0の境界の曲線に内接することを示せ．

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 10:49:45.24

D_0={|z|<1}で定義された関数1/(z-2)の収束円は|z|=2。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 11:23:29.76

それがどうかしましたか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 11:46:29.92

>>881の反例

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 12:05:21.53

>>881
領域D_0で f(z) が正則（D_0に特異点がない）という条件が抜けてまつよ。

>>884
　f(z) = 1/(z-2)
　D_0 = {z| |z|<1 }
　a_0 = 0,
とすると
　f_0(z) = -1/2 - z/4 - zz/8 - ････
収束円 D_1 = {z| |z|=2 }
この場合は「収束円D_1 が完全に D_0 に含まれている」を満足しません。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/03(水) 12:27:39.13

前>>874
>>871円筒で削りすぎたのは三日月形柱(蒲鉾)の1/3じゃないのか？
(円筒-正三角柱)(1/3)
=(π-3√3/4)(1/3)

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 12:29:03.80

>>D_0は|z|<1。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 12:38:23.42

収束円　D_1 = {z| |z-a0|=R }
収束半径　R = {a_0 から f(z)の特異点までの距離(の最小値)}

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 12:51:42.79

D_0には領域という指定しかない。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 13:44:12.03

>>886
削りすぎたのは斜め切り蒲鉾が３つです。 (緑色)
V(1/2) = (3/4).√3 - π/3
これが斜め切り蒲鉾１つの体積です。高さ１で中心から 1/2 だけズレたとこからの斜め切りです。

なので足す時には３倍しています。+3. { (3/4).√3 - π/3 }

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 14:25:30.61

絵に感心した

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 14:39:26.32

田中一之・鈴木登志雄著『数学のロジックと集合論』を読んでいます。

カントル・ベルンシュタイン・シュレーダーの定理の証明に使う補題1.12（p.57）の証明ですが、
致命的な誤りを発見しました。

このような基本的な命題の証明で誤るというのが信じられません。

しかも、厳密性がもっとも重んじられるロジックや集合論の本においてです。

この著者らは一体何を考えているのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 14:43:21.15

>>881
>>885 の言うように「領域D_0で f(z) が正則」を付け加えると...

f(z) = (1/2πi) ∫_{C} dζ f(ζ) / (ζ - z) この公式が使えます。 (公式の証明はコーシーの積分定理を使う)

「収束円(半径R)が領域境界に接していない」なら
R< R' なる値をとって、中心 a 半径 R' の周回ルート C ＆その内側が D0 に含まれるようにできます。

|z-a| < R' となる任意点 z に対して、
f(z) = (1/2πi) ∫{C} dζ f(ζ) / ( (ζ-a) - (z-a) )
= (1/2πi) ∫{C} dζ f(ζ) Σ (ζ-a)^{-k-1} (z-a)^{k} 　( |z-a|/|ζ-a| =|z-a|/R ' < 1 より級数は収束する)
= Σ g_k /k! (z-a)^k 　( 展開係数: g_k = (k!/2πi) ∫{C} dζ f(ζ) (ζ-a)^{-k-1} は z に依存しません)
これは収束半径が R' 以上である事を意味します。
よって「収束円(半径R)が領域境界に接していない」という前提は誤りです。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 15:08:41.79

領域D_0で正則なんて加えてもダメなのは明らか。
最低でも定義できる極大な(実際にはそれは最大になる)がD_0にならない限りダメ。

ある点での収束半径 = 解析的に接続できない点で一番近い点までの距離

を使わせたいんだろうけどそのためにはD_0が今述べたような領域でないと成立しない。
まぁそう解釈すればギリギリ成立するけど、すると

正則関数 f の解析接続可能な最大領域が滑らかな曲線で囲まれている場合

というほとんど起こらないようなしょうもない設定になってしまう。
一応そういう例はムリクリ作れはするけど。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 15:42:29.09

なるほど
「収束円が D0の内側にある」と
「収束円(半径R)が領域境界に接していない」
は等価ではないですね。
f(z) = Σ g_k /k! (z-a)^k
は D0 を越えて収束する可能性がありますからね。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/03(水) 15:45:26.78

前>>886訂正。
>>890
削りすぎたのは斜め切り蒲鉾が３つ(同意)。
(削りすぎた斜め切り蒲鉾3つ)
=(π-3√3/4)(1/3)

(削りすぎた斜め切り蒲鉾１つ)
=(π-3√3/4)(1/3)(1/3)
高さ１で中心から1/2だけズレたとこからの斜め切り(同意)。

足す時には３倍(同意)。
(π-3√3/4)(1/3)(1/3)3
=(π-3√3/4)(1/3)

求める体積
=(2√3)(7/8)-π
+(π-√3/4)(1/3)
=(7/4)√3-π+π/3-√3/12
=(5/3)√3-(2/3)π
？＞(3/2)√3-(2/3)π

切り出しすぎないよう順に切り出した場合より大きくなった。なぜだ？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 16:07:47.69

> (削りすぎた斜め切り蒲鉾１つ)
> =(π-3√3/4)(1/3)(1/3)
> 高さ１で中心から1/2だけズレたとこからの斜め切り(同意)。

あわわ...
V(1/2) = (3/4)√3 - π/3
これには同意してくれないのな。
俺と同じ方針で積分計算やれとは言わんけど、かなり楽な方だよ。
ネットに転がってる解答見たら苦行かな？と思ったもの。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 16:09:53.50

座標空間上の格子点を、「任意の立方体について頂点のうち少なくとも一つは色が塗られている」ように有限数の色で塗る。
この時すべての頂点が同じ色で塗られているような立方体が存在することを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 16:20:16.12

楽に解くなら求める領域の1/6を縦に切って
6∫[1/2,1] (2-2t)(√3t- √(1-t^2))dt
でいいんだけどな。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 16:51:54.95

それホントに楽かなあ
1/6パーツを直接積分するなら >>834 (俺) こっちがもっと楽では？
最終計算までルートなんたらが出てこないのが美しい。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/03(水) 17:05:16.34

前>>896蒲鉾の比率はやっぱり2:1じゃなかった。
蒲鉾3つどれでも3つすべてでも、蒲鉾の中と外の体積比をn:sとすると、
n:s=8:π√3

∵正三角錘台から正三角柱と蒲鉾3つの中(蒲鉾のn/n+s)を引いた体積と、正三角錘台から円柱を引いて引きすぎた蒲鉾3つの外(蒲鉾のs/n+s)を足した体積が一致するから

n:sが出た。これで計算すると求める体積は0.6……になるかもしれない。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 17:11:39.19

まぁ好き好きはあるが、高校生くらいにやらせるならarccosを使うのが高校生にはそもそもハードルが高い。
計算そのものも>>899は実質

∫[1/2,1]t(1-t)dt
∫[1/2,1]t√(1-t^2)dt
∫[/2,1]√(1-t^2)dt

の三つ。
一番目は楽勝、しかもよくみると1/6公式の半分、二番目も置換で楽勝、三番目だけt=sin θの置換を知ってないと苦しいだけ。
もちろんある程度以上のレベルを目指すならarccosがらみも出来ないとダメだけどね。
円柱は縦に切ると帯領域になって楽になるというのは覚えさせられたし、第一感として縦に割る方から攻めてみるのは定石みたいなもんと思ってた。
受験期にしか役立たないけどwww

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 18:03:59.29

z=tで切るのが一番素直だと思うけどね。変な置換いるわけでもなくそっちでも一発で出るし

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 18:04:42.48

この問題の解法教えていただけないでしょうか？
自分でやったらおそらく間違った答えになってるので・・・
https://imgur.com/eqrfmk0
https://imgur.com/YtAMHeU

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 18:24:29.83

> t=sin θの置換を知ってないと苦しいだけ。
この計算苦手、というか嫌い...
∫ {t=0,x} √(1-t^2)dt = ∫ √(1-sinθ^2)d{sinθ} = ∫ cosθ^2 dθ
= (1/2). ∫ {1 + cos2θ} dθ = (1/2){ Θ + (1/2).sin2Θ }
= (1/2){ Θ + cosΘsinΘ } = (1/2){ asin(x) + x√(1-xx) } (これだって高校生には苦行では？)

まあ検算は楽だけど
(1/2){ asin(x) + x√(1-xx) }’ = (1/2){ 1/√(1-xx) + √(1-xx) - xx/√(1-xx) } = √(1-xx)

[t=1/2, 1 ]なら図形的に値を出してしまいましょう。
∫[1/2,1]√(1-t^2)dt = (1/2).(π/3) - (1/2).{(1/2).(√3 /2)} = π/6 - (1/8).√3

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/03(水) 18:26:28.28

前>>901
正四面体が切った蒲鉾の立場はどうなる？
むだ死にか。
正四面体(体積2√3)が切った蒲鉾(π-3√3/4)の中と外の体積比率n:sからしか求めない。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 18:43:26.52

円柱は縦に切るって意外に全国区のルールじゃないんだなww
まぁ受験期にしか役に立たないからね。
数学板の住人は受験数学ごときでは苦労しないし。
面積に帰着して置換しないのもアリだけどね。
しかし面積に帰着できないときもあるから受験期には置換の方をまず覚えろと言われたな。
今は昔のお話だけど。
こんな話ばっかりだと受験板くさくていかん。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 18:49:15.76

>>905
定積分の置換だからacosに戻さないよ。
積分範囲もπ/6～π/2に変えてそのままぶち込むだけ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 19:26:27.04

2630
ふうL@Fu_L12345654321
学コン1傑いただきました！
とても嬉しいです！

https://pbs.twimg.com/media/D-IuUuqVUAALnAB.jpg

https://twitter.com/Fu_L12345654321/status/1144528199654633477
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/03(水) 20:33:29.21

前>>906
正四面体の側面の勾配が2だから1:2:√5の直角三角形を足しあつめたら蒲鉾を側面で切った外側が出るのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 21:36:30.85

解析接続とか今まで勉強してきて一度も使ったことないんだけど何に役立つの？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/03(水) 21:45:02.82

前>>910
√(1-t)^2を積分するとどうなるんだった？
置換したくないんだが。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/03(水) 21:52:29.49

>>912
>>905

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/03(水) 22:29:17.90

前>>912だから言わんこっちゃない。置換なんかやらせるから。1どころか3を超えたぞ？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/04(木) 00:01:24.10

前>>914
z=tで切った正四面体の切り口の1つの矢じりの面積を考えてるが、
t=0のときは、
6(√3/2-π/6)で、
z=tのとき矢じりの中心の長さは1から2-tまで2-t-1=1-tあるけど、これはz=0のときの図形と相似ではないよね。
t=0のときπ/6あった単位円の中心角が、tが増えるとだんだん減っていくから。
矢じりが小さくなるにつれて、矢じりの鋭さがなくなって矢じり自体が矢じりじゃなくなる。相似ではないものを相似とみなしてはだめだと思った。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/04(木) 00:03:35.93

別スレでやってくれねぇか？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/04(木) 01:30:52.87

前>>915
>>801
四面体PABC=2√3
このうちの0≦z≦1の部分は、
2√3(7/8)=7√3/4
内部の高さ1の単位円柱を引くと、
7√3/4-π
引きすぎた蒲鉾形の、正四面体の側面より外の部分は、側面の勾配が2だから、
6∫[0～1/2](1/2)u･2udu
=6[0～1/2]u^2du
=6{(1/2)^3/3}
=6(1/24)
=1/4
これを足すと、
7√3/4-π+1/4=0.63949626……

最後に足すところでπを絡めたかったんですが。
それとも0≦t≦√3/2で、
ピタゴラスの定理より、
(x+1/2)^2+t^2=1で、
6∫[0～√3/2]x^2dx(dt/dx)
とかやるんでしょうか？
xの一次の項が出るんで、やなんですが。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/04(木) 01:39:02.95

>>885 >>888
「領域D_0 で f(z)が正則」が成立しないとする。
　D_0 内に f(z) の特異点(解析接続できない点) z~ がある。
　収束半径R = min{ |z~-a_0|, a_0 ～ ∂D_0の距離}

したがって
　|z~ - a_0| が a_0～∂D_0 よりも大きい場合は >>881 は成立するが
　|z~ - a_0| が a_0～∂D_0 よりも小さい場合は >>881 は不成立。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/04(木) 02:21:48.07

前>>917
仮に4√3-2πが正解の場合、
2√3(7/8)-π+蒲鉾外=4√3-2π
∴蒲鉾外=9√3/4-π
(蒲鉾外1つ=3√3/4-π/3)
2√3(7/8)-3√3/4-蒲鉾㊥=4√3-2π
∴蒲鉾㊥=2π-3√3
(蒲鉾㊥1つ=2π/3-√3)
蒲鉾(π-3√3/4)に対する割合は、
蒲鉾外――41.0040324％
蒲鉾㊥――58.9959676％
6:4てことは3:2
1:1と2:1のあいだぐらいか。なんて穢い比率だ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/04(木) 03:16:27.91

長方形ABCD（AB<AC）の∠Aを2等分する半直線をL1とする。
L1上に点Pを、直線PCと対角線BD（線分BD）が交点を持つようにとる。
このとき、以下を示せ。
「PC=BDとなるための必要十分条件は、PCとBDが直交することである。」

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/04(木) 11:22:57.08

前>>919高さ1の単位円柱内にある中心角120°の蒲鉾を勾配が2の正四面体側面で切った内側の体積が、この蒲鉾の59％にあたるとして実証する。
正四面体PABC(体積2√3)から、
正四面体PABCのz=1より上の部分(正四面体PABCの1/8)を切り出し、
2√3(7/8)=7√3/4
x^2+y^2＜1の0≦z≦1の円柱(体積π)内部の正三角柱(3√3/4)を切り出し、
7√3/4-3√3/4=√3
高さ1の単位円柱内の蒲鉾㊥3つを切り出し、
求める立体の体積=√3-(π-3√3/4)(59/100)
=(1+1.77/4)√3-0.59π
=(1.4425)(1.7320508)-(0.59)(3.14159265)
=2.4984892-1.8535396
=0.6449496……
≒0.645

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/04(木) 11:36:36.84

集合 A 上の演算を考える。

例えば、2項演算は、 A^2 から A への関数です。

定数は、 A^1 から A への関数なのかと思ったら、 A^0 から A への関数であると書いてありました。

なぜでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/04(木) 13:04:31.88

最初の2行の意味は分かってんの？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/04(木) 13:06:48.43

>>923

どういうことでしょうか？

そういえば、2項演算を3項演算と考えることもできますね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/04(木) 14:05:08.24

(Q, 0, +, <) と (Q^+, 1, ×, <) は同型か否か？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/04(木) 14:13:56.34

>>925

同型じゃないですね。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/04(木) 14:54:54.79

4nπ+8=16を満たすnを求めよ

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/04(木) 15:24:30.52

>>927
2/π

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/04(木) 20:04:44.31

R_0 := φ
R_{n+1} := P(R_n)

で R_n を定義する。ただし、P(A) は集合 A のすべての部分集合の集合を表す。

R_ω := ∪_{n ∈ N} R_n

とする。

R_ω は帰納的であることを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/04(木) 20:17:48.11

>>929

この問題の標準的な解答はどんな感じでしょうか？

解答：

(1)

φ ∈ {φ} = R_1 ⊂ R_ω

(2)

次に、数学的帰納法により、すべての自然数 n に対して、

R_n ⊂ R_{n+1}

が成り立つことを以下で示す：

R_0 = φ ⊂ R_1

R_k ⊂ R_{k+1} と仮定する。

x ∈ R_{k+1} とする。

x ⊂ R_k ⊂ R_{k+1}

∴ x ∈ R_{k+2}

よって、 R_{k+1} ⊂ R_{k+2} が成り立つ。

x ∈ R_ω とする。

x ∈ R_n となる 1 以上の自然数 n が存在する。

{x} ⊂ R_n である。

x ⊂ R_{n-1} ⊂ R_n である。

∴ x ∪ {x} ⊂ R_n
∴ x ∪ {x} ∈ R_{n+1} ⊂ R_ω

以上から、 R_ω は帰納的である。

x ∪ {x} ⊂ R_{n-1}

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/04(木) 20:18:06.86

>>930

は標準的ですか？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/04(木) 22:14:59.82

前>>921
>>829がわかればなぁ。
rがなにを表してるかがわからないんですよ。
rθで円弧の長さを表すとしたら、
(円弧の長さ×高さ)(1/2)で直角三角形の旗竿みたいな面積が出るのかな？
0≦r≦1と0≦θ≦π/3で積分して6倍するのと同じかなぁ？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/04(木) 22:32:21.59

過程も含めてお願いします
https://i.imgur.com/ss0AOkS.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/04(木) 23:31:18.69

>>933 あまり自信ないけど参考までに

色を c1, c2, ... , c6 と順序づけて区別する
(1) まず c1 で前面を塗り、背面の色は５色の選択が可能 (× 5)
残り４色の中で一番若い順番の色で上面を塗る
残り3面の塗り方はそれぞれ異なる塗り方となる (× 3! )
計: 5 * 3! = 30 通り

(2) 5色で6面を塗るので、ある色については 2面で重複塗りとなる (× 5)
重複色で全面/背面を塗る
残り４色の中で一番若い順番の色で上面を塗る
下面の塗りを残り3色から選択する (× 3)
残り2面の塗り方は回転対称により同値となる
計: 5 * 3 = 15 通り

(3) 塗り条件により 3面以上での重複色はありえない
4色で6面を塗るので、ある２色ついてそれぞれ２面での重複塗りが発生する (× C{4,2})
その内で若い順番の色を前/背面に、残りを上/下面に塗る
残り2面の塗り方は回転対称により同値となる
計: C{4,2} = 6 通り

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/04(木) 23:47:43.29

>>932
>>829は
底面の面積形式×高さ
を底面で面積分すると体積が出るという大学の教養数学レベルがわからないと理解できない。

例1)
√(1-r^2)rdrdθ を0≦r≦1、-π≦θ≦πで積分すると半径1の半球の体積となり、0≦r≦1/2、-π≦θ≦πで積分するとそのうち底面の半径が1/2の円柱に含まれる部分の体積になる。

例2)
(1-r)rdrdθ を0≦r≦1、-π≦θ≦πで積分すると半径1、高さ1の円錐の体積となる。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/04(木) 23:58:18.46

>>935どうもありがとう。変数が2つでも微小な面積を足し集めればいいと思ったんですが。前>>932いかにも分からない問題だとわかりました。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/05(金) 02:37:29.65

年間２００万円からのスタートで年３０万円の昇給と半年ごとに１０万円の昇給では後者の方が得。
（検証）
年３０万円の昇給の場合、ｎ年後の昇給額は、３０ｎ万円。
半年で１０万円ずつの昇給の場合、ｍ回目の昇給は１０ｍ万円。年間２回の昇給だから１年では、１０ｍ＋１０（ｍ＋１）＝２０ｍ+１０万円。
ｍ+１=２ｎなので、半年ごとの昇給のｎ年目の昇給は、２０（２ｎ－１）+１０＝４０ｎ―１０万円。
後者―前者は１０ｎ－１０万円なので、結局同額となるのは１年目だけで、その後は、半年に１回の昇給の方が、昇給は大きくなることが分かる。

半年ごとに10万昇給の計算がおかしいと思うのですが、この検証は合ってますでしょうか？
また、半年ごとに給与が支払われるという前提でもない限り前者の方が有利になると思うのですがどうでしょうか？
ご教示よろしくお願いいたします。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/05(金) 02:48:21.31

まぁ感覚的には微小な体積足し合わせるという理解で行けなくはない。
>>935の例2ならrdrdθが底面積。
Δr、Δθだけrとθが変化した時半径r+Δr、中心角Δθの扇型から半径r、中心角Δθの扇型をぬいたものを底面とすると、その底面積はrΔrΔθ。
その地点での円錐の側面までの高さは1-rだから、その柱の体積は(1-r)rΔrΔθ。これを足し合わせると円錐の体積。
でΔrΔθをdrdθと読み替えて>>935の範囲内で積分する。
まずrで積分すれば
∫[0,1](1-r)rdr = 1/6。
これをθで積分して
∫[-π,π] 1/6dθ = π/3
となり底面積×高さ÷3 に一致する。
この程度の理解でほぼ実用上は問題ない。
この方法で四角錐とか色々やってみて実際計算の勘所がわかってからちゃんとした理論を勉強してみるのもアリ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/05(金) 03:55:57.84

a,b,c,x,y,zは全て正の実数として、xyz=1とする。このとき

(ax^2+bx+c)(ay^2+by+c)(az^2+bz+c) ≧(a+b+c)^3　　を示せ

よろ

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/05(金) 04:02:24.93

座標平面上の(0,0),(1,0),(1,1),(0,1)を頂点とする正方形Sがある。
Sの周上または内部に、異なる2点A(a,p),B(b,q)が固定されている。
Sと合同な正方形Tを、Tの周上にA,Bがともに乗るように動かす。
このとき、SとTの共通部分の面積が最大となるTの置き方を説明せよ。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/05(金) 11:53:35.65

前>>936
>>938そのとおり、π/3になりました。が違ってたみたいです。
底面の単位円の外にrをとり(0≦r≦1)、玉葱の皮を足し集めるように、求める体積の1/6を求めたと思いました。
r=0のとき、
半径1の弧の長さはπ/3
玉葱の皮の高さは1
玉葱の皮の面積は、
(π/3)･1･(1/2)=π/6
r=1のとき、
半径2の円弧の長さは0
玉葱の皮の高さも0
玉葱の皮の面積も0
rに対する、
半径1+rの弧の長さは、
中心角θ(0≦θ≦π/3)として、
(1+r)θ
玉葱の皮の高さは1-r
玉葱の皮の面積は、
(1+r)θ(1-r)(1/2)
=(1-r^2)θ/2
求める体積は、
6∬[r=0～1][θ=0～π/3]{π(1-r^2)θ/2}drdθ
=3π(r-r^3/3)θ[r=0～1][θ=0～π/3]
=2πθ[θ=0～π/3]
θはどうすればいいのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/05(金) 11:54:03.23

>>939
コーシー(3)を使う。
　
Xi, Yj, Zk ≧ 0 のとき
(X1 + X2 + ････ + Xn)(Y1 + Y2 + ････ + Yn)(Z1 + Z2 + ････ + Zn) ≧ (G1 + G2 + ････ + Gn)^3,
ただし　Gi = (XiYiZi)^(1/3).

(略証1)
(左辺) - (右辺)
= Σ[i≠j] (XiYjZj + XjYiZj + XjYjZi - 3GiGjGj)
+ Σ[i<j<k] (XiYjZk + XiYkZj + XjYiZk + XjYkZi + XkYiZj + XkYjZi - 6GiGjGk)
≧ 0,

(略証2)
コーシー(2)を2回使って
(X1 + X2 + ････ + Xn)(Y1 + Y2 + ････ + Yn)(Z1 + Z2 + ････ + Zn)(G1 + G2 + ････ + Gn)
≧ (G1 + G2 + ････ + Gn)^4,
∵　(XiYiZiGi)^(1/4) = Gi,

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/05(金) 12:56:17.68

>>942
コーシー=シュヴァルツ不等式の仲間なのか...
こんなのどこで知りました？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/05(金) 13:01:49.31

(略証1) で、いきなり ≧ 0 と評価できる理由も知りたい

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/05(金) 13:18:15.89

自然数の集合が全順序集合であることってどうやって証明するんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/05(金) 13:23:59.97

あ、数学的帰納法ですね。

慣れが必要ですね。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2019/07/05(金) 13:31:58.33

前>>941修正。
求める体積は、
6∬[r=0～1][θ=0～π/3]{π(1-r^2)θ/2}drdθ
=3π(r-r^3/3)[r=0～1]∫[θ=0～π/3]θdθ
=2π･π/3
=2π^2/3
なわけないですよね。
rが増えるとθは減る。
反比例じゃないかと。
それを一つの式の中で掛けあわせてるのがおかしいような。
三角形(1/2)(1+r)rcosθから扇形(1+r)θを引いた断面積(1/2)(1+r)rcosθ-(1+r)θを0から1まで足し集めるほうがいいかも。
6∬[r=0～1][θ=0～π/3]{(1/2)(1+r)rcosθ-(1/2)(1+r)θ(1+r)}drdθ
3∬[r=0～1][θ=0～π/3]{(1+r)rcosθ-(1+r)θ(1+r)}drdθ
変数が2つあるでなぁ。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/05(金) 13:55:46.55

>>946
その答になるってことはペアノ方式か
「最小の順序数」なら定義だね

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/05(金) 14:12:05.65

>>868 の続き

矢じり３つの面積は
　(3√3){(2-t)/2}^2 - 3cosθsinθ - π + 3θ
= (3√3){(2-t)/2}^2 - (3/4)(2-t)√{t(4-t)} -π + 3arccos((2-t)/2) = S(t)
これを 0～z で積分して
∫[0, z] S(t) dt = (2√3)[1 - {(2-z)/2}^3] - (1/4){z(4-z)}^(3/2) -πz -3(2-z)arccos((2-z)/2) + 3√{z(4-z)},
そこで z=1 とおくと 4√3 - 2π

円内の各点の高さ h(r,θ) を積分した体積3vを V=2√3 から引いた値と一致。 >>829

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/05(金) 14:21:53.45

>>944
上の行は
　(XiYjZj + XjYiZj + XjYjZi)/3　= AM　(相加平均)
　GiGjGj　=　GM　(相乗平均)
　AM ≧ GM
下の行も同様。

**１３２人目の素数さん** · 2019/07/05(金) 16:05:56.41

すみません、改めてこの問題をお願いします。

長方形ABCD（AB<AD）の内角∠Aの2等分線をLとする。
L上に点Pを、直線PCと対角線BDが交点を持つようにとる。
このとき、以下を示せ。
「PC=BDとなるための必要十分条件は、PCとBDが直交することである。」