【万年】黒木玄を語ろう【助教】 その2
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f(x)=a、f(y)=b
ab=f(x)f(y)=f(xy)=f(yx)=f(y)f(x)=ba
Rは可換環 ea=f(1)f(x)=f(1x)=f(x)=a
ae=f(x)f(1)=f(x1)=f(x)=a ab=00となったとする
ab=f(x)f(y)=f(xy)=00=f(0)
fは単射であるから
xy=0⇔x=0∨y=0
f(x)=f(0)⇔a=00
f(y)=f(0)⇔b=00
よってR'も整域である
fは同型写像なので全単射、1対1対応の写像
x≠0とする。fは同型写像とする
f(0x)=f(0)=f(0)f(x)
f(0)=0またはf(x)=e
xは任意であるからfの単射性によりf(x)=eとはならない。よってf(0)=0である この行列に複素数a+bi a, b∈ℝ
が対応する。
Mₙ≅ℂ
a+bi、-b+ai
(ab-ba)(1i) 係数体Fが複素数体ℂのとき
複素線型空間
複素Vector空間 体F上の線型空間
∑[k=1, n] aₖxₖ
線型結合 ax=0
a∈F、x, 0∈𝕍
a≠0のときa⁻¹が存在し
a⁻¹ax=a⁻¹0⇔ex=0⇔x=0
x≠0のとき∀i、aᵢ=0 0x+x=0x+ex=(0+e)x=ex=x
∴0x=0
a0+ax=a(0+x)=ax
∴a0=0
よつてa=0∨x=0⇒ax=0となる ax=0のとき
a=0⇒0x=0となる
a≠0のときa⁻¹が存在し
a⁻¹ax=a⁻¹0⇔x=0となる 𝕍をℝ²としW=x=0、U=y=0とする
x+y=(1, )∉W∪Uである x、y
ax+by
線型関係=0が自明な場合を除き成り立たない場合→線型独立
Sa+tb=0⇔s=t=0の場合のみ
st斜交座標系をなす 〈x₁, x₂, …, xₙ〉
x₁、x₂が線型独立
a₁x₁+a₂x₂=0⇔a₁=a₂=0
少なくともx₁, x₂, , …, xₙは全て0ではない 線型従属の時,
n個のVectorのうち少なくとも1つは他のVectorたちによって表される。従ってdim{x}≤n-1
よって少なくとも1つのVectorは0である。 少なくとも1つ有限集合で線型従属なものを含めば線型従属 線型空間𝕍の有限部分集合Sか0を含めばSは線型従属である 部分集合m≤n
必要ならば適当に順番を変えてVectorの本数のみに着目する 唯1つのVectorxに対して
{x}が線型独立⇔x≠0∧a=0
{x}が線型従属⇒x=0∧aは任意 𝕍ⁿのn本のVectorで0を表したい
∑ax=0
xᵢが線型独立⇒aは全て0となる
dim=n
xᵢが線型従属⇒aは全て0とは限らない、∀a≠0であっても∑ax=0となり得る。少なくとも1つのVectorは0となる。dim≤n-1 ax+by+cz=0、y=kxのときk≠0
yが消去出来て
ax+bkx+cz=0
a+bk=0、c=0
a b c→a+bk 0 c
y成分は0ということになる
これは一意的ではなくxを消去しても良い。0 b+a/k c 線型独立⇔∀Vector≠0、∀a=0
線型従属⇒∃Vector=0、∃a≠0
a+bk=0∧a, b, k≠0
例、a+3b=0、a=-3b≠0でも成り立つ このスレッドは１０００を超えました。
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