面白い問題おしえて～な 29問目
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ジョーカーを除いたトランプ５２枚の中から１枚の
カードを抜き出し、表を見ないで箱の中にしまった
そして、残りのカードをよく切ってから
３枚抜き出したところ、３枚ともダイヤであった
このとき、箱の中のカードがダイヤである確率はいくらか
最初に箱にしまった時が１／４で
そこから徐々に確率が減ってゆき、
山札から３枚ダイヤが出た時が１０／４９
山札から１３枚ダイヤが出たときに０になる
これを関数で表すことができる
正の整数aを定数、山札からn枚のダイヤが出るとして
［0≦a≦124］，［0≦n≦13］の範囲で成立する関数は
P(D)=((n-13)(a-4n-125))/(a(n-52)-7n^2+92n+6500)
P(D)=((n-13)(a+4n+1))/(a(n-52)+7n^2-216n-52) 障害者無能秘書パイズリ國場のゴキブリ殺害予告暴言秘書ダルマ顔田中奇形クソまみれの米粒自殺しろ
ゴキブリ田中奇形の子供は奇形米粒確定キチガイ遺伝子死滅せよ ＞a(n)=a(n-1)+a(n-2)/((2n-1)(2n-3)),a(1)=0,a(2)=1/3 の一般項
a(n)=Hypergeometric1F1[-n;-2n;-2] ■二つの関数を一つに合成する
P1st
(6n^3+20n^2-n-27)(n-1)/24 （奇数）……①
(6n^4+14n^3-21n^2-26n+24)/24 （偶数）……②
Q1st
(6n^2+10n-3)(n+1)(n-1)/24 （奇数）……③
(6n^2-2n-5)(n+2)n/24 （偶数）……④
奇数［1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0］のみ出力する関数は
((-1)^(n+1)+1)/2 ……⑤
偶数［0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1］のみ出力する関数は
((-1)^n+1)/2 ……⑥
①x⑤+②x⑥
((6n^3+20n^2-n-27)(n-1)/24)(((-1)^(n+1)+1)/2)+((6n^4+14n^3-21n^2-26n+24)/24)(((-1)^n+1)/2)
P1st =｛12n^4+28n^3-42n^2-52n-3(-1)^n+51｝/48
③x⑤+④x⑥
((6n^2+10n-3)(n+1)(n-1)/24)(((-1)^(n+1)+1)/2)+((6n^2-2n-5)(n+2)n/24)(((-1)^n+1)/2)
Q1st =｛12n^4+20n^3-18n^2-20n-3(-1)^n+3｝/48 >>66
ほほう
超幾何級数を使うとシンプルに書けるんですねー 第一種の合流型超幾何関数（クンマー）
1Ｆ1[a; b; z] = 1 + Σ[k=1, ∞] {a(a+1)････(a+k-1)/b(b+1)････(b+k-1)} z^k /k!
1Ｆ1[-n; -2n; z] = {n!/(2n)!} Σ[k=0, n] {(2n-k)!/(n-k)!k!} z^k, 4面が緑色で2面が赤色のサイコロがあるとする
そのサイコロを20回振って、緑色(G)と赤色(R)のどちらが
出たかを記録した
次の3つの選択肢から１つを選ぶとする
もしあなたが選んだ選択肢が20回分の記録のどこかと
一致すれば25ドルもらえる
1.RGRRR
2.GRGRRR
3.GRRRRR
選択肢1は選択肢2に内包されており、また、
他の選択肢よりも短いにも拘わらず、
被験者の65%は選択肢2を選んだ
25ドルの賭金が話の上だけの形の調査でも、
結果に顕著な差は見られなかった スレ27 #795 の一般化をトライ
縦Mマス、横Nマスのフィールド{(x,y)|x∈{1,…,N},y∈{1,…,M}}の相異なる2マスに宝を置き、
縦優先検索((1,1)→…→(1,N)→(2,1)→…)のPと
横優先検索((1,1)→…→(M,1)→(1,2)→…)のQとで
先にいずれかの宝を見つけたほうが勝ちとするゲーム
宝の置かれるパターンの数=MN(MN-1)/2に対して、
P,Qそれぞれの勝つパターンの数をP(M,N),Q(M,N)とする
と言っても、いきなり一般化は難しいので、まずは片方のパラメータを固定していくつか計算してみる
n≡0 (mod 2) のとき P(2,n) = Q(n,2) = (3nn-4n )/4, Q(2,n) = P(n,2) = (5nn-10n+4)/4
n≡1 (mod 2) のとき P(2,n) = Q(n,2) = (3nn-4n+1)/4, Q(2,n) = P(n,2) = (5nn-10n+5)/4
n≡0 (mod 6) のとき P(3,n) = Q(n,3) = (12nn-10n )/6, Q(3,n) = P(n,3) = (15nn-22n+ 6)/6
n≡1 (mod 6) のとき P(3,n) = Q(n,3) = (12nn-13n+1)/6, Q(3,n) = P(n,3) = (15nn-25n+10)/6
n≡2 (mod 6) のとき P(3,n) = Q(n,3) = (12nn-10n+2)/6, Q(3,n) = P(n,3) = (15nn-22n+ 8)/6
n≡3 (mod 6) のとき P(3,n) = Q(n,3) = (12nn-13n-3)/6, Q(3,n) = P(n,3) = (15nn-25n+ 6)/6
n≡4 (mod 6) のとき P(3,n) = Q(n,3) = (12nn-10n+4)/6, Q(3,n) = P(n,3) = (15nn-22n+10)/6
n≡5 (mod 6) のとき P(3,n) = Q(n,3) = (12nn-13n-1)/6, Q(3,n) = P(n,3) = (15nn-25n+ 8)/6
こうしてみるとそれぞれ周期性がありそう。
その気になれば多項式と指数関数の組み合わせで書けるのかもしれない。 qを2以上の整数、nを1以上の整数とする。
1の冪根ρ=e^(2πi/q)を使って、
f_q(n)=(q-1)/2+Σ{k=1～(q-1)}((ρ^k)^n * (ρ^k - 1)/(2 - ρ^k - ρ^(-k)))
で表される関数 f_q(n) はどのような値をとるか？ (3!!/3+0)/3!!=1/3
(5!!/3+0)/5!!=1/3
(7!!/3+1)/7!!=12/35
(9!!/3+14)/9!!=47/135
(11!!/3+190)/11!!=731/2079
(13!!/3+2799)/13!!=1772/5005
(15!!/3+45640)/15!!=20609/57915
(17!!/3+823724)/17!!=1119109/3132675
(19!!/3+16372071)/19!!=511144/1426425
(21!!/3+356123690)/21!!=75988111/211527855
━━━━★━━━━━━━━━━★━━━━
1 14 190 2799 45640 823724 16372071 356123690
1
14
190
2799
45640
823724
16372071
356123690
a(n)=((2n-1)!!/3+α)/(2n-1)!!を満たす
多項式αを見つけてくれ～(・ω・)ノ >>74
そんな多項式は存在しません
そもそもスレ違いですし、他のスレでも同じ質問を連投している荒らしのようなのでスルー推奨ですね >>75
多項式αが存在しない証明をしてくれ～(・ω・)ノ https://www.gaiki-seijouki.jp/column1/368/
キチガイニホンザル改ざん統計でもう硬式記録すら信じられない捏造国家ニホンザル消滅せよ >>71 は周期関数で書くとこうなる
P(2,n) = Q(n,2) = (3/4)n^2-n+(1/2)-(1/2)(-1)^n
Q(2,n) = P(n,2) = (5/4)n^2-(5/2)n+(9/2)-(1/2)(-1)^n
P(3,n) = Q(n,3) = 2n^2-(23/12)n+(1/12)+(1/4)(n+1)(-1)^n-(1/3)cos(2πn/3)+(√3/9)sin(2πn/3)
Q(3,n) = P(n,3) = (5/2)n^2-(47/12)n+(4/3)+(1/4)n(-1)^n-(1/3)cos(2πn/3)+(√3/9)sin(2πn/3) >>73
分母は 2 -ρ^k -ρ^(-k) = - (ρ^k -1)^2 /(ρ^k),
k と q-k を組にして計算すると
f_q(n) = (q-1)/2 -(1/2)Σ[k=1,q-1] {ρ^(kn)(ρ^k -1) + ρ^(-kn)(ρ^(-k) -1)}(ρ^k) /(ρ^k -1)^2
= (q-1)/2 - (1/2)Σ[k=1,q-1] {ρ^(k(n+1))(ρ^k -1) - ρ^(-kn)(ρ^k -1)} /(ρ^k -1)^2
= (q-1)/2 - (1/2)Σ[k=1,q-1] {ρ^(k(n+1)) - ρ^(-kn)} /(ρ^k -1)
= (q-1)/2 - (1/2)Σ[k=1,q-1] Σ[j=-n,n] ρ^(kj)
ところで、
Σ[k=1,q-1] (ρ^m)^k
= q-1 (ρ^m=1) (mがqの倍数または0)
= -1 (ρ^m≠1)
-n から n までの整数のうち、qの倍数は (0も含めて) 2[n/q]+1 個だから
f_q(n) = n - q[n/q] = (nをqで割った余り) 【超悪質！盗聴盗撮・つきまとい嫌がらせ犯罪者の実名と住所を公開】
①井口・千明（東京都葛飾区青戸６－２３－１６）
※盗聴盗撮・嫌がらせつきまとい犯罪者のリーダー的存在／犯罪組織の一員で様々な犯罪行為に手を染めている
低学歴で醜いほどの学歴コンプレックスの塊／超変態で食糞愛好家である／醜悪で不気味な顔つきが特徴的である
②宇野壽倫（東京都葛飾区青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸２０２）
※色黒で醜く太っている醜悪黒豚宇野壽倫／低学歴で人間性が醜いだけでなく今後の人生でもう二度と女とセックスをすることができないほど容姿が醜悪である
③色川高志（東京都葛飾区青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸１０３）
※色川高志はyoutubeの視聴回数を勝手に短時間に何百何千時には何万回と増やしたり高評価・低評価の数字を一人でいくつも増やしたり減らしたりなどの
youtubeの正常な運営を脅かし信頼性を損なわせるような犯罪的業務妨害行為を行っています
※色川高志は現在、生活保護を不正に受給している犯罪者です／どんどん警察や役所に通報・密告してやってください
【通報先】
◎葛飾区福祉事務所（西生活課）
〒１２４－８５５５
東京都葛飾区立石５－１３－１
℡０３－３６９５－１１１１
④清水（東京都葛飾区青戸６－２３－１９）
※低学歴脱糞老女：清水婆婆 ☆☆低学歴脱糞老女・清水婆婆は高学歴家系を一方的に憎悪している☆☆
清水婆婆はコンプレックスの塊でとにかく底意地が悪い／醜悪な形相で嫌がらせを楽しんでいるまさに悪魔のような老婆である
⑤高添・沼田（東京都葛飾区青戸６－２６－６）
※犯罪首謀者井口・千明の子分／いつも逆らえずに言いなりになっている金魚のフン／親子孫一族そろって低能
⑥高橋（東京都葛飾区青戸６－２３－２３）
※高橋母は夫婦の夜の営み亀甲縛り食い込み緊縛プレイの最中に高橋親父にどさくさに紛れて首を絞められて殺されそうになったことがある
⑦長木義明（東京都葛飾区青戸６－２３－２０） ※日曜日になると風俗店に行っている ■n=3のとき、10/49となる関数を125種類作成
Table[((n-13)(a-4n-125))/(a(n-52)-7n^2+92n+6500),{a,0,124},{n,3,3}]
■n=0のときはすべて1/4
Table[((n-13)(a-4n-125))/(a(n-52)-7n^2+92n+6500),{a,0,124},{n,0,0}]
■n=13のときはすべて0
Table[((n-13)(a-4n-125))/(a(n-52)-7n^2+92n+6500),{a,0,124},{n,13,13}]
318 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/03/07(木) 18:00:45.97 ID:TVoNUVmm
■無量大数の世界でも10/49を出力する
Table[((n-13)(a-4n-125))/(a(n-52)-7n^2+92n+6500),{a,10^68,10^68+150},{n,3,3}] 『桃が5個あります
3個もらうと全部で何個になりますか』
2
8だろがボケ
一部所有者が変わるだけで5個のままじゃね？
誰が何を貰うか書いてない
ネズミがクッキーを3個もらうのかもしれない
すもももももももものうちかも 20までの自然数を重複を許さず10個ずつに分けa[1], a[2], a[3], ...a[10]、b[1], b[2], b[3], ...b[10]とする。そして
S = Σ(k=1→10)a[k]b[k] = a[1]b[1]+a[2]b[2]+a[3]b[3]+……+a[10]b[10]
とする。色々な分け方についてSを考えたとき、Sの最大値と最小値、及びその時の分け方はどのようなものか
さらに一般に2n個の数(nは自然数)をn個ずつ2組に分けて、
a[1]、a[2]、a[3]、…… および b[1]、b[2]、b[3]、……
とし
S = Σ(k=1→n)a[k]b[k] = a[1]b[1]+a[2]b[2]+a[3]b[3]+……a[n]b[n]
とする。色々な分け方についてSを考えたとき、Sの最大値と最小値、及びその時の分け方はどのようなものか >>85
(19,20)のペアがなければ最大ではない。
∵ (a,19),(b,20)の組み合わせの時
19・20 + a・b - 19・a - 20・b = (20 - a)(19-b) > 0
以下同様にして最大値は
1・2 + 3・4 + ‥ + 19・20 = 1430
(1,20)のペアがなければ最小ではない。
∵ (a,1),(b,20)の組み合わせの時
1・a + 20・b - a・b - 1・20 = (20 - a)(b - 1) > 0
以下同様にして最小値は
1・20 + 2・19 + ‥ + 10・11 = 770 >>86
正解です
しっかり示すのはやや面倒かと思いましたがそんなことなかったですかね 下の図で, △FJGは正三角形, 四角形FBCEは正方形である. ∠KJGの大きさを求めよ.
https://i.imgur.com/h43Hkcg.jpg >>88
KからBCに垂線を加えて交点をPとする
JB=(1/√3)BF
BP=PK=(1/(1+√3))BF
BP/JB=PK/JB=((√3)/(1+√3))
tan∠KJG=PK/(JB+BP)
=((√3)/((1+√3)+(√3)))
=(6-√3)/11
∠KJG≒21.2°
きれいな値にはならんね 出題ガイジが適当に絵描いて出してる問題なんだから当たり前 ここは出題スレだから自作問題出すのは無問題。
今回のはチェックが甘かったね。
計算機使えるなら検算してからにすればよかったのに。 あまり見ない、アプローチ法を思いついたので、投稿
(1) Σ[k=1,n]cot^2(kπ/(2n+1)) = n(2n-1)/3 を示せ
(2) 上を使って、n(2n-1)/(2n+1)^2 < (3/π^2)Σ[k=1,n]1/k^2 < 2n(n+1)/(2n+1)^2 を示せ □■■■■
□□■■■
□□□■■
□□□□■
□■■■■■■
□□■■■■■
□□□■■■■
□□□□■■■
□□□□□■■
□□□□□□■ > sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749
長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803
同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408
[,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]
短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0
長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0
同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1
４×５の場合
宝：１個 同等
宝：２～５個 短軸有利
宝：６～１３個 長軸有利
宝：１４～２０個 同等
(17!/(18-k)!)/(k-1)!+(15!/(16-k)!)/(k-1)!+(13!/(14-k)!)/(k-1)!+(11!/(12-k)!)/(k-1)!+(10!/(11-k)!)/(k-1)!+(8!/(9-k)!)/(k-1)!+(5!/(6-k)!)/(k-1)!+(4!/(5-k)!)/(k-1)!,k=5 >>95
(2)を利用したらζ(2)=π^2/6を示せる？ 8と83に補正が必要
Table[(17!/(18-k)!)/(k-1)!+(15!/(16-k)!)/(k-1)!+(13!/(14-k)!)/(k-1)!+(11!/(12-k)!)/(k-1)!+(10!/(11-k)!)/(k-1)!+(8!/(9-k)!)/(k-1)!+(5!/(6-k)!)/(k-1)!+(4!/(5-k)!)/(k-1)!,{k,1,20}] >>98
ですね
>>100
(1)の導出は困難だと思うけど、入試問題になっていたとは．．．orz >>101
いや(1)の不等式が入試問題になってたんじゃないよ。
東工大のはチェビシェフの多項式使って
Σ(sin kπ/2n)^(-2)
を求めさせる問題。1990年見たい。これを一工夫するとζ(2)が計算できる。
なぜかリンクが貼れないけど “入試問題研究 90東工大” で検索すると出てくる。
ちなみにほぼ同じ内容のPDFを神大の先生が作ってた記憶もある。 >>95
このζ(2)の解法の出典は1953年のロシア語の論文
http://mi.mathnet.ru/eng/umn8256
で、wikipediaによると1960年代には広く知られるようになったそうです。 >>106
岩波の公式集をぱらぱらめくってて 興味深い公式を見つけました >>95 の(1)です。
どうやって示すのか考えていると、バーゼル問題に使えることに気づきました。
多くの人にも、面白いと思っていただけると思い、ここに投稿しましたが、
広く知られている解法だったようですね。寡聞でした。
情報ありがとうございます。 Table[(17!/(18-k)!)/(k-1)!+(15!/(16-k)!)/(k-1)!+(13!/(14-k)!)/(k-1)!+(12!/(13-k)!)/(k-1)!+(8!/(9-k)!)/(k-1)!+(7!/(8-k)!)/(k-1)!+(6!/(7-k)!)/(k-1)!+(3!/(4-k)!)/(k-1)!+(2!/(3-k)!)/(k-1)!,{k,1,20}]
長軸有利
完全一致☆>>97 Table[(17!/(18-k)!)/(k-1)!+(15!/(16-k)!)/(k-1)!+(13!/(14-k)!)/(k-1)!+(11!/(12-k)!)/(k-1)!+(10!/(11-k)!)/(k-1)!+(8!/(9-k)!)/(k-1)!+(5!/(6-k)!)/(k-1)!+(4!/(5-k)!)/(k-1)!+(1!/(2-k)!)/(k-1)!,{k,1,20}]
短軸有利☆
{9, 84, 463, 1776, 5076, 11249, 19797, 28057, 32243, 30095,
9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095
22749, 13820, 6656, 2486, 695, 137, 17, 1, 0, 0}
22749 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0
完全一致>>97
補正完了>>99 > sapply(1:12,function(k) treasure0(3,4,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12]
短軸有利 5 26 73 133 167 148 91 37 9 1 0 0
長軸有利 5 27 76 140 176 153 92 37 9 1 0 0
同等 2 13 71 222 449 623 609 421 202 64 12 1
□■■■
□□■■
□□□■
Table[(9!/(10-k)!)/(k-1)!+(7!/(8-k)!)/(k-1)!+(6!/(7-k)!)/(k-1)!+(3!/(4-k)!)/(k-1)!+(2!/(3-k)!)/(k-1)!,{k,1,12}]
長軸有利☆
Table[(9!/(10-k)!)/(k-1)!+(7!/(8-k)!)/(k-1)!+(5!/(6-k)!)/(k-1)!+(4!/(5-k)!)/(k-1)!+(1!/(2-k)!)/(k-1)!,{k,1,12}]
短軸有利☆
■全12マス完全一致
Table[(12!/(12-k)!)/k!-(2((9!/(10-k)!)/(k-1)!+(7!/(8-k)!)/(k-1)!)+(6!/(7-k)!)/(k-1)!+(5!/(6-k)!)/(k-1)!+(4!/(5-k)!)/(k-1)!+(3!/(4-k)!)/(k-1)!+(2!/(3-k)!)/(k-1)!+(1!/(2-k)!)/(k-1)!),{k,1,12}]
同等☆ 図形の問題だったらこんなのはどうか
Q. xy平面上に x^2+y^2=1+|x|y を図示せよ |x|^2 - |x|y + yy = 1,
は左右対称
軸を45ﾟ回して
(x+y)/√2 = u, (x-y)/√2 = v,
とおく。
x≧0 のとき
1 = xx -xy +yy = (1/2)uu + (3/2)vv,
x≦0 のとき
1 = xx +xy +yy = (3/2)uu + (1/2)vv,
楕円を2等分して貼り合わせたもの。ハート形？ 時事問題を1つ投入してみる。
当然答えはないが、いくつか意見が出たら自分の回答を出そうと思う。
あなたは新元号のイニシャル(アルファベット1文字)を当てる賭けに参加することになった。
次の条件のとき、あなたはどのように賭けを行うか？
・新元号のイニシャルを当てれば掛け金の3倍を得られ、外れれば掛け金は回収される。
・複数のイニシャルに賭けることも可能で、それらの賭け金は異なってもよい。
・その次の元号が発表される時にも同様な賭けが開催されることが予想される。 久々に投稿。（個人的に）未解決なので注意
～～～～～～～～～～～～～～～～
次の主張は成り立つか：球面S^2（⊂R^3）を
・S^2 = ∪_(n=1～5) f_n(D)
(ただし D は S^2 のルベーグ可測な部分集合、f_i は直行群の元で表される１次変換)
・n≠m の時 f_n(D)∩f_m(D) は（可微分多様体としてのS^2の）零集合
を満たすように合同な５つのパーツ f_n(D) (n=1,…,5) に"分割"する時、
f_n○(f_m)^(-1) (n≠m)
と表される全ての合成変換に共通する実固有ベクトルが存在する。
～～～～～～～～～～～～～～～～
５分割でなく、例えば4,6,8,12,20であれば正多面体を利用して自明でない合同分割が得られ、
少し工夫すると60や全ての８の倍数も可能。
（合同分割が自明であるとは、上のような状況設定で共通する実固有ベクトルが「存在する」ことをいう。
つまり上の主張は「球面の5-合同分割は全て自明である」と言い換えられる） >>119 の補足
つまるところ、球面の中で「基本領域」なるものを定めて
それと合同な図形何枚かを球面にモレなくダブリなく貼り合わせるのが合同分割。
nがどんな正の整数でも左の図みたいにすればうまいことn-合同分割ができるんだけど、
これはどの領域から別のどの領域に移すにもある共通の直線を"軸"にして動かせば良いことから、
これらはそれほど面白みのない合同分割として「自明」なものと定めた。
真ん中の6-合同分割は共通の"軸"にあたるものが存在しないため非自明。
右は非自明な32-合同分割。点線が軸になりそうだけど、
矢印で示したあたりの部分のせいで共通の軸とならない。他の８の倍数も同様。
（線がぐにゃぐにゃですまん。マウスで絵描くのむずい…）
>>120
連結でなくとも構わない。でかルベーグ可測な集合であれば何でもＯＫ
（ルベーグ可測性は、どうしても生じるレベルのもれやだぶりを零集合でごまかせるように、という意図） > sapply(1:20,function(k) treasure0(4,5,k))
[,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11]
短軸有利 9 84 463 1776 5076 11249 19797 28057 32243 30095 22749
長軸有利 9 83 453 1753 5075 11353 20057 28400 32528 30250 22803
同等 2 23 224 1316 5353 16158 37666 69513 103189 124411 122408
[,12] [,13] [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20]
短軸有利 13820 6656 2486 695 137 17 1 0 0
長軸有利 13831 6657 2486 695 137 17 1 0 0
同等 98319 64207 33788 14114 4571 1106 188 20 1
4×5の場合
宝：1個 同等
宝：2～5個 短軸有利
宝：6～13個 長軸有利
宝：14～20個 同等
□■■■■
□□■■■
□□□■■
□□□□■
短軸有利☆
Table[choose(17,k-1)+choose(15,k-1)+choose(13,k-1)+choose(11,k-1)+choose(10,k-1)+choose(8,k-1)+choose(5,k-1)+choose(4,k-1)+choose(1,k-1),{k,1,20}]
長軸有利☆
Table[choose(17,k-1)+choose(15,k-1)+choose(13,k-1)+choose(12,k-1)+choose(8,k-1)+choose(7,k-1)+choose(6,k-1)+choose(3,k-1)+choose(2,k-1),{k,1,20}]
同等☆
Table[choose(19,k-1)+choose(17,k-2)+choose(15,k-2)+choose(13,k-2)+choose(8,k-2)+choose(1,k),{k,1,20}] >>119 が肯定的に解決したので報告。ヒントを言うと、やはり正20面体を利用するものでした。
ちなみに全ての偶数や３でも可能。７以上の奇数はまだ目途が立っていないのでよければそちらも… 連投失礼。
>>124 この場合肯定的にというのは、主張の反例が見つかったということです
（自明でない5-合同分割があればいいなと期待しながら調べていたものでつい…） 自分も5の場合の(連結なDによる)非自明分割はみつけた
2nの場合は、自明n分割からさらに赤道による分割を考えればいけるね (1)次の条件を満たす 有理数 s,t を見つけよ
・0 ≦ t ≦ 1/√2
・61/80 ≦ s
・s^2 = 2t^2-2t+1
(2)次の条件を満たす 凸多角形 を見つけよ。
・すべての頂点は、単位円の周上または内部にあり、両座標は有理数
・すべての辺長は、有理数
・周長は 31/5 以上 >>126
おお、連結なの見つけたのか すごい
2nの場合、もし左の図のことを言ってるのなら残念。これはどう変換しても軸は不変だから非自明じゃないんだ
（共通の固有ベクトルを持つだけで良いから、固有値まで一緒じゃなくても良い。例えば、
①から②への変換では軸は固有値1の固有ベクトル、①から③への変換では軸は固有値-1の固有ベクトルとなる）
一応非自明な5-合同分割のひとつの例を右図に挙げておきます。
わかりにくいですが正二十面体を立体射影で平面に落としたみたいなノリで描いてます。
外円の円周は本来は一点を表し、各同じ色の領域全体が一つのパーツになってます。
本来曲線で描かれるべきところもありますが、辺を共有してる、点だけ共有してる等の位置関係は保ってるので
そこから本来の形状を想像していただけたらとorz
>>128
②→③の変換を、２つの領域の共有する1点の方向に軸をとって回転させる、とすればよいのでは？ >>129
実際それは固有ベクトルの１つなんだけど、絵に描かれてる直線も固有ベクトルであることに変わりはないよね
それで、自明の定義が「～～共通する実固有ベクトルが存在する」だから、他の固有ベクトルの存在に関わらずこれは自明になるんだ
"軸"と表現すると各変換で一つしかないように思えるけど（これはこちらの言葉選びが良くなかったと思う、すまない）
その図の場合、言及してもらった方向にx軸をとれば、②から③への変換は f(x,y,z)=(x,-y,-z) と表せるから
(1,0,0) の他に (0,cosθ,sinθ) という無数の"軸"を持つことがわかる（そして図の直線の方向もその中に含まれる） >>130
そういや元の定義は固有ベクトルを共有しないって話でしたね
考えてるうちに失念してました、失敬 >>127 (1)
与式は
s^2 = t^2 + (1-t)^2
ピタゴラス数だから、自然数 a, b により
s = (aa+bb)/N,
t = (aa-bb)/N,
1-t = 2ab/N,
と表わせる。
N = aa+2ab-bb,
s ≧ 61/80 より
0.41421356 = √2 -1 < a/b < (61-√1042)/19 = 1.51157764 または 4.90947499 = (61+√1042)/19 < a/b,
0 ≦ t < 1/√2 より
1 ≦ a/b < {1+√(4-2√2)}/(√2 -1) = 5.02733952
これらより
1 ≦ a/b < (61-√1042)/19 = 1.51157764
ならば十分。
例) a=b, s=1, t=0, >>132
訂正ｽﾏｿ
s ≧ 61/80 より
0.41421356 = √2 - 1 < a/b < (19+√4082)/61 = 1.35886117
0 ≦ t < 1/√2 より
1 ≦ a/b < 1 + √2 + √(4+2√2) = 5.02733949
これらの共通部分は
1 ≦ a/b < (19+√4082)/61 = 1.35886117 >>127 の出題者です。
まず最初に (1) の第一条件 「0 ≦ t ≦ 1/√2」 を「1/2 ≦ t ≦ 1/√2 」に変更させてください。
これは、(2)における、「凸多角形」を「多角形」としてしまうような重大なミスでした。申し訳ありません。
にもかかわらず、132さんには、「1/2 ≦ t ≦ 1/√2 」と変更されたとしても、対応可能なほど、
丁寧に解いていただき、感謝いたします。
s,tの表現や、4.90947499=(61+√1042)/19 < a/b < {1+√(4-2√2)}/(√2 -1)=5.02733952
などから、十分過ぎる内容です。
a:b=5:1を採用すると、自然と、(s,t)=(13/17,12/17) が導けますから。
すでにお気づきだとは思いますが、この問題作成のきっかけは、有名な入試問題「π>3.05を証明せよ」です。
61/80という数字は、そこから持ってきたものです。 >>127
しょうがねぇから (2) も解くか････
A (1, 0)
B (1 - 8nn/(nn+1)^2, 4n(nn-1)/(nn+1)^2)
C (c, c)
とおく。
ただし c = {21(n^4-6nn+1) + 80n(nn-1)}/{41(nn+1)^2} < 1/√2,
n≧6 のとき凸16角形（の 1/8）となる。
AB は 横2n：縦(nn-1) の直角⊿の斜辺ゆえ
AB = 4n/(nn+1),
BC は 横20：縦21 の直角⊿の斜辺ゆえ
BC = (29/41){1 - 4n(nn+2n-1)/(nn+1)^2},
周長L = 8 (AB+BC),
・L が 31/5 以上となるのは n=7,8,9 の場合。
n=6, L = 8 (0.64864865 + 0.12451674) = 6.185323095
n=7, L = 8 (0.56000000 + 0.21615610) = 6.20924878
n=8, L = 8 (0.49230769 + 0.28409872) = 6.21125126
n=9, L = 8 (0.43902439 + 0.33619651) = 6.20176724
n=10, L = 8 (0.39603960 + 0.37726813) = 6.18646187 お疲れ様でした。この問題は整数問題ととらえて平方根を外すことを主眼に解こうとするとドツボにはまると思います。
特定の角度をもつ、ピタゴラス三角形をあらかじめ探し出し、目的の多角形の一辺に合うように
縮小し、座標に当てはめていけば見つけられます。以下、用意しておいた解答です。
11sin(π/11)=3.099...、12sin(π/12)=3.105なので、辺の数が12以上でなければ6.2を超えないことが判ります。
そこで、第一象限内に、A(a,a)、B(b,c)、C(c,b) を考え、残りは対称コピーしてできあがる12角形を考えます。
丁度、時計を15度傾けたとき、数字のある位置を頂点とする様な配置の仕方です。
この場合、必要とするピタゴラス三角形は、斜辺の角度が60度のものです。1:√3:2の比の三角形ですが、
これに近いものとして、120:209:241 を採用することとします。A(a,a)が、上のような配置の正十二角形の
一頂点だとしたら、一辺の長さは(√3-1)aとなります。√3-1=0.7320...に近い値として11/15=0.7333...を採用すると、
b=a+(11a/15)*(120/241)=329a/241、 c=a-(11a/15)*(209/241)=1316a/3615
この場合全周は、8*(11a/15+1316a/3615)=31736a/3615 で、(√2)aで割ると6.207673となり、
12角形を用いたのですが、ぎりぎり満足できそうなことが判ります。
aとして、241*3615/Floor[241*3615*sqrt(2)+1]=58081/82139 を使うと
A(58081/82139,58081/82139)、B(79289/82139,317156/1232085)、C(317156/1232085,79289/82139)
ほかにも、三種類のピタゴラス三角形を用いて、
X0=(1,0)、X1=X0+(3/7)*(-9/41,40/41)、X2=X1+(9/20)*(-204/325,253/325)、X3=X2+(18/37)*(-1161/1289,560/1289)
で定まる14角形などもあります。 >>135 をﾁｮﾄ変えてみた。
A (1,0)
B (1 - 8nn/(nn+1)^2, 4n(nn-1)/(nn+1)^2)
C' (c', c')
とおく。
ただし c' = (4/7){1 + n(n-3)(3n+1)/(nn+1)^2},
n≧6 のとき凸16角形（の 1/8)となる。
c' < 1/√2 = 0.70710678 より n≧8.
ABは 横2n：縦(nn-1) の直角⊿の斜辺ゆえ
AB = 4n/(nn+1),
BC'は 横3：縦4 の直角⊿の斜辺ゆえ
BC' = (5/7){1 - 4n(nn+2n-1)/(nn+1)^2},
周長L = 8 (AB+BC),
・L が 31/5 以上となるのは n=8,9,10,11 の場合。
n=7, L = 8 (0.56000000 + 0.21828571) = 6.22628571, c' = 0.71222857 (失格)
n=8, L = 8 (0.49230769 + 0.28689772) = 6.23364328, c' = 0.70667794
n=9, L = 8 (0.43902439 + 0.33950880) = 6.22826549, c' = 0.69992352
n=10, L = 8 (0.39603960 + 0.38098506) = 6.21619729, c' = 0.69298528
n=11, L = 8 (0.36065574 + 0.41444312) = 6.20079088, c' = 0.68629785
n=12, L = 8 (0.33103448 + 0.44195685) = 6.18393070, c' = 0.68003397 >>136
なるほど。
(1,0) (0,1) を通さなければ 12角形で可能でござるな。
(1,0) (b,c) (c,b) (0,1) の12角形は、中央の辺長が |b-c|√2 なので即アウトでござる。
また
A (1,0)
B (1 - 8nn/(nn+1)^2, 4n(nn-1)/(nn+1)^2)
D (4m(mm-1)/(mm+1)^2, 1 - 8mm/(mm+1)^2)
E (0,1)
の12角形も
BD = {(mn-m-n-1)^2 - 2(m+n)^2}/[(mm+1)(nn+1)]・√2
でアウトでござる。 >>136
BA = AC = 638891/1232085 = 0.51854458
B~B = CC~ = 2･(317156/1232085) = 0.51482812
L = 4 (BA+AC+CC~) = 7648376/1232085 = 6.20766911
確かに可能でござる。 >>137
ある頂点から、有理数条件(x座標変位、y座標変位、距離すべてが有理数)を満たす点を探すだけなら、
簡単です。どんなものでもいいので、ピタゴラス三角形を持ってくればいいのです。しかも縮尺も
有理数倍でさえあれば自由です。いわば自由端問題で >>136 で記した二つは両方ともこの方針によるものです。
しかし、(t,t)型の頂点からも同時に有理数条件を満たさなければならないとなれば、大変です。
一定方向にのみ動かせますが、いわば固定端問題です。私はこの方針は面倒そうだと思い、端からあきらめて
いましたが、>>137 等では、それを行っています。よく見つけられたと、感歎してます。
実際にプロットしてみましたが、ｎの変化によって、頂点の分布が結構変化しますね。
凸条件を満たさないものや、単位円の外に出るものもありましたが、一定の範囲内のnに対し、
条件を満たします。
nは整数に限りません。有理数でokですね。すばらしい解答だと思います。 >>127
問題の趣旨に添う回答じゃないかもだけど一応。自然数 n に対して
a = 4n^4+8n^3-4n-1 = (2n^2-1)(2n^2+4n+1),
b = 8n^3+12n^2+4n = 4n(n+1)(2n+1),
c = 4n^4+8n^3+8n^2+4n+1 = (2n^2+2n+1)^2,
d = 8n^3+12n^2+8n+2 = 2(2n+1)(2n^2+2n+1)
と定めて α=(a+bi)/c とおけば、|α|=1, |1-α|=d/c と有理数になってくれるから、
うまいこと自然数 m を定めて複素平面上の点集合 {a^n}_(n=-m,…,m) を順に結べば周長以外の条件を全て満たす。
点集合を順に結んで（α^m と α^(-m) も結んで）凸多角形ができるために m が満たすべき条件はというと、
α^1 から α^m までが全て上半平面にあることのみ。（このため m の大きさはだいたい πn/2 程度に制限される）
n を十分大きくとればそれだけ辺が円に近づくから、周長が 31/5(<π) を超えるように n をとることは可能。
…そして実際にとれれば解決なんだけど、計算が煩雑になるため計算機に頼るしかないのが難点。一応理論だけ以上の通り > nは整数に限りません。有理数でokですね。
そうであったか。しからばチト修正････
>>135
・凸条件 (nn-1)/2n > 1+√2 から
n > 1+√2 + √{2(2+√2)} = 5.02733949
・c = (21/41){1 + (8/21)n(2n-5)(5n+2)/(nn+1)^2} < 1/√2 から
n > {881 + (29√2)[29+√(2･29･29+881√2)]}/(17･47) = 5.36862925
・L が 31/5 以上となるのは
6.45963968 < n < 9.13156611
>>137
・凸条件 (nn-1)/2n > 1+√2 から
n > 1+√2 + √{2(2+√2)} = 5.02733949
・c' = (4/7){1 + n(n-3)(3n+1)/(nn+1)^2} < 1/√2 から
n > {31 + (5√2)[5+√(50+31√2)]}/17 = 7.93257298
・L が 31/5 以上となるのは
6.10446338 < n < 11.04823360
これらの共通部分は
7.93257298 < n < 11.04823360
でござるか。 >>141
c+a = 2{2n(n+1)}^2,
c-a = 2{(n+1)^2 - n^2}^2,
c = {(n+1)^2 + n^2}^2
cc - aa = bb,
b = 2{2n(n+1)}{(n+1)^2 + n^2},
dd - (c-a)^2 = bb,
d = 2{(n+1)^2 - n^2}{(n+1)^2 + n^2} = 2{(n+1)^4 - n^4} >>141
θ = arcsin(b/c),
とおくと
m = [ π/θ ]
L = 2m(d/c) + 2sin(mθ),
n=3
a=527, b=336, c=25^2, d=14･25, θ=0.56758821841666, m=5,
sin(5θ) = 28515500892816/(c^5) = 0.29900669864185 ∈ Q
L = 2･5･(14/25) + 2sin(5θ) = 6.1980133972837
n=4
a=1519, b=720, c=41^2, d=18･41, θ=0.44262888469558, m=7,
sin(7θ) = 1637671530080839800240/(c^7) = 0.043177033944429 ∈ Q
L = 2･7･(18/41) + 2sin(7θ) = 6.2326955313035
・L が 31/5 以上 ････ n≧4
n=17
a=373319, b=42840, c=613^2, d=70･613, θ=0.1142546313550, m=27,
sin(27θ) = 0.056687202872879 ∈ Q
L = 2･27･(70/613) + 2sin(27θ) = 6.2797691855174
n=18
a=466487, b=50616, c=685^2, d=74･685, θ=0.10808179674906, m=29,
sin(29θ) = 0.00722048512511925 ∈ Q
L = 2･29･(74/685) + 2sin(29θ) = 6.2801344009072
・L が 6.28 以上 ････ n≧18 >>144
どうもありがとう。n=3 の時点でもう10ケタ超えてたのね…
そして n=4 と意外と早いタイミングで条件が満たされてやや驚き 底円の中心Oの半球を底円と平行な平面αで体積が半分になるように切断した
さらに、底円とαの中央にそれらの平面と平行な平面βで半球を切断する
βによる断面の中心をO'、周上の点をPとするとき、
∠OPO'を求めよ 前>>42
>>146
半径1の半球を底円から高さωまで足し集めたとき、体積が球(体積4π/3)の1/4とすると、
π/3=π∫0～ω(1-t^2)dt
1/3=[t-t^3/3]0～ω
1/3=ω-ω^3/3
ω^3-3ω+1=0――①
ω=sin∠OPO'
①を微分すると、
3ω^2-3=0
y=f(ω)=ω^3-3ω+1のグラフの形より、
ω=-1のとき極大、
ω=1のとき極小値-1をとる。
①の値が0となるωは、
0＜ω＜1のうちやや0寄りのとき。
∠OPO'≒18° 前>>147訂正。
{sin(20°)}^3-3sin(20°)+1=0.0139483266≒0
20°よりわずかに大きいが、整数値では20°がもっとも近い。 π∫[0,a](1-x^2)dx = 1/2・2π/3より
a-a^3/3 = 1/3 。
∴ (2b) - (2b)^3/3 = 1/3。
∴ 3b - 4b^3 = 1/2。
∴ 3(sinθ) - 4(sinθ)^3 = 1/2。
∴ sin3θ = sin(π/6)。
∴ θ=π/18。 >>149-150え？ 10°はうすいよ。そんなうすっぺらの円盤が半球の1/3になるの？ 前>>148そうかなぁ？ 10°で1/3か。
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￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ 白玉18個と黒玉2個の計20個の玉が袋に入っている。
「無作為に袋から玉を1つ取り出しその玉は戻さない」ということを繰り返す。
初めて黒玉が出るまでに白玉が出た個数として、最も確率の高いのを0, 6, 9, 18のうちから答えよ。 たぶん春休みの宿題を丸投げしたんだろう。レベル的にも納得いく。 >>152白玉1個食べて戻さない確率は18/20=9/10。白玉2個食べて戻さない確率は(9/10)(17/19)=63/190。白玉3個食べてｫｴｯ戻さない確率は(63/190)(16/18)=28/95。白玉4個食べてﾌｰｯ戻さない確率は(28/95)(15/17)=84/323。
白玉5個食べてｱｰ!! (84/323)(14/16)=72/323。白玉6個――(72/323)(13/15)=312/1615。9個かな？ 前>>151
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￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ V(θ) = π∫[0～2sinθ] (1-xx) dx
= (2π/3) [(3/2)x - (1/2)x^3](x=0,2sinθ)
= (2π/3) {3sinθ - 4(sinθ)^3}
= V(π/6) sin(3θ),
面白い。 よくあるキャッチコピー「2人に1人ががんになる」
実は、これには数字のカラクリがあるのだ
実際には、日本人が50歳までに罹る確率は、統計上では、なんと2％
60歳でも7％以下に過ぎない
80歳でも37％以下
90歳や100歳まで生きる人すべてを合わせて、ようやく「2人に1人」となる
（国立がん研究センターがん対策情報センター「最新がん統計」より） >>157
何いってんだ
死ぬ前までにガンにかかる確率、という言葉通りの当たり前の定義だぞ なんで式いっしょなのに答え違うんだろ？ 計算間違えたかな？ 10°かな？ 前>>155
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￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ 前>>160
底円とαの中央にそれらの平面と平行な平面β
ここが難しい。
底円と平面αに平行な平面βという意味ではないのか？ 中央は点だ、点に平行ってのはおかいしな。 >>155
不正解です
20回続けて取り出した時、黒が出るタイミングはC(20,2)=190通りあります
これらは全て同様に確からしいです
うち初めに黒が出るのは19通り。6回白が出て黒が出るのは13通り。同様に選択肢順に10通り、1通り。
よって0が最も確率が高いと結論されます ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
