面白い問題おしえて～な 28問目
レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
前>>849
「等積条件から」
と書くならその式を、
○x^2+△x+□=0
とちゃんと書くべき。
いきなりa=0.122……
b=
r=4.……
θ=13.……
未知数4つならそれを決定する式なり条件なりを4つ書くのがふつうです。
式が4つなくても、a＜b＜rの条件と図からある程度は値が特定できますが、式を書かずに「等積条件から」と書くから、計算過程を書いてほしいと言っているんです。
等積条件から出そうとしているのは同じです。式が足りないから、等積条件の式だけしかないから未知数が特定できないでいます。 前>>851扇形2つから三角形2つを引けばπ/8になる、ってことだと思うけど。 高校数学までを範囲と想定した問題
nを自然数とする。数列{a_n}及びa_0を a_0 = 1 , a_n = a_n-1 +3-(-1)^n と、また数列{p_n}を、素数を小さい方から順に並べた数列と定める。
(1) a_n の一般項を1つの式で表せ。
(2) b_n = a_n / p_n と定める。lim[n→∞] b_1 * b_2 * b_3 * ... * b_n-1 * b_n の収束・発散を調べ、収束する場合はその値を求めよ。 >>642
では未知数はbです。
交角の条件（プラトーの法則) を使って絞り込めば R、θ をbで表わすことが可能です。
その場合には σ(b,θ,R) もbの関数になります。それを π/5 とおけば bが決まります。
しかし、プラトーを使わないと自由度が減らないので計算が煩雑になります。 >>733 nを自然数とする。
n枚のカードがあり、各カードには数字が一つずつ、1からnまでの数字が書かれている。
このカードをシャッフルして山札をつくり、次のようにしてカードを場に並べることを考える。
「山札の一番上からカードを一枚取り、場に並べることを繰り返す。ただし、二枚目以降は、それまでに場に出ているどのカードよりも大きい数字である場合のみ場に並べる。
そうでないとき、そのカードは場には並べず、そこで作業を終了する。」
このようにして場に並べたカードの数字の合計値をS(n)とおく。
S(n)の期待値を求めよ。
(Σや"……"を使わずに、nの式として表現すること) プラトーの法則を使わない場合
たとえばラグランジュの未定乗数法を使います。
目的関数
I(b,θ,R ;λ) = 2b + 4Rθ + λ{σ(b,θ,R) - π/4},
σ(b,θ,R) = (θ+π/6) + b･sin(π/3-θ) - RR(θ-sinθ),
について
∂I/∂b = 2 + λ(∂σ/∂b) = 2 + λsin(π/3-θ) = 0,
∂I/∂θ = 4R + λ(∂σ/∂θ) = 4R + λ{1 -b･cos(π/3-θ) -RR(1-cosθ)} = 0,
∂I/∂R = 4θ + λ(∂σ/∂R) = 4θ + λ･2R(θ-sinθ) = 0,
∂I/∂λ = σ(b,θ,R) - π/4 = 0,
の4つの式を連立させて解きます。
ガンガレ >>854
(1)
a_n = a_{n-1} +3 - (-1)^n
= a_0 + Σ[k=1,n] {3 - (-1)^k}
= a_0 +3n + {1 - (-1)^n}/2,
∴ a_n < 3n+2,
(2)
0<ε<1 とする。
素数定理から、ある自然数mがあって
k>m ⇒ p_k / log(p_k) > (1-ε)(3k+2)/3,
b_k = a_k / p_k < (3k+2) / p_k < 3/{(1-ε)log(p_k)} < r <1,
ratio test より収束。
b_1･b_2････b_n = B･Π[k=m+1,∞] b_k < B･Π[k=m+1,∞] r = 0,
ここに B = Π[k=1,m] b_k >0 >>858
解いていただきありがとうございます。
(1)は問題ないのですが、(2)で素数定理を使うと簡単に解けてしまうので「高校数学までを範囲と想定した問題」と表記した次第です。
>>861
すみません、この手の問題はしょうもないのかもしれません。
自分では面白いと思ったのですが……
一応(2)のヒントとしては{a_n}の性質ですかね 素数定理を1から証明してしまえば全く問題ない
以上 中学入試や算数の難問は好き
高校数学に限定する問題はなんか不自然な制約で好きくない >>864
わかりみが深い
前スレの最後らへんに投げられて結構議論された中学入試のやつが最たる例 前>>853
プラトーの法則だと思うんだけど、
半径rの円弧が、
分岐点(a,0)で、
y=√3(x-a)と接するってことで使ってますよね。 前>>866
短い境界線を2a、長い境界線を4×2πrθとして、
aやrやθをどういう計算過程をもって出したらいい？
今あるのは、rの二次式。
どうやってθを13°いくらと特定するか。解の公式で解けばいいか。 とりあえず>>644の設定でいいならsの満たすべき方程式は
-((12*sin(s)^2+12*cos(s)^2－12*cos(s)+3)*sin(2*s)－24*sin(s)^3+(24*s－8*%pi+2*3^(3/2))*sin(s)^2－24*s*cos(s)^2+24*s*cos(s)－6*s)/(48*cos(s)^2－48*cos(s)+12)
= π/8。
近似解は
s=.8486751477323029=48.6255041427026° 前>>868
>>869「%pi」は文字化けですね。まだこれから式の意味を考える段階ですが、わかったとして、計算過程を書いてほしいです。
a(短い境界線の半分)とr(円弧の半径)を特定することなく、θを弧度法で出さはったということでしょうか？ 正の実数列a_nについて、
Σ(k=1,∞)a_k=1のとき、
Π(k=1,∞)(a_k)^(a_k/k)の最小値を求めよ
ただし、0^0:=1とする >>870
面積の計算が一番面倒なのでそこはグリーンの公式でmaximaに計算してもらった結果が>>869ですが、別に２つの円弧と線分で囲まれた領域の面積なので、
三角形＋三日月？＋三日月でも計算できます。
興味があるならやってみたらいいと思います。
単位円に張り付いてる三日月は半径1, 中心角sなので、1/2×1^2×s-1/2×1^2×sin s。
仕切りに張り付いている方が半径r=sin s/(cos s - 1/2)、中心角5π/6-(s-π/2)。
三角形は1/2 sin s。
足せば>>869になるはずです。
で=π/8をとけば良い。 双対ベクトル、双対テンソルについて
ベクトルとその双対ベクトルに関し、以下は正しいですか？
１．反変ベクトルとは接空間上に与えられたベクトル。
２．共変ベクトルとは余接空間上に与えられたベクトル。
３．あるベクトルが与えられたとき、そのベクトルの双対ベクトルが必ず一つ存在する。
４．反変ベクトルと共変ベクトルは双対の関係にある。
次に上記を行列ないしテンソルに拡張するとして、以下は正しいですか？
１１．反変テンソルとは接空間上に与えられたテンソル。
１２．共変テンソルとは余接空間上に与えられたテンソル。
１３．あるテンソルが与えられたとき、そのテンソルの双対テンソルが必ず一つ存在する。
１４．反変テンソルと共変テンソルは双対の関係にある。 1辺の長さが1の正三角形P₀ABがある。P₀から三角形の内部にむけて光線を照射し、光線が最初に辺ABにぶつかる点をP₁、∠AP₀P₁=θとする。
また、光線は△P₀ABの辺で入射角と反射角が等しくなるように反射し、P₁で反射した光線が次に△P₀ABの辺にぶつかる点をP₂、
P₂で反射した光線が次に△P₀ABにぶつかる点をP₃、
以後光線がn回目に△P₀ABの辺にぶつかる点をPₙとする。
ただし、0°＜θ＜60°とし、光線が△P₀ABの頂点に入射したとき光線は反射しないものとする。
また、光線は△P₀ABの内部で直進するものとする。
△P₀P₁P₂の面積の最大値を求めよ。また、そのときのtanθの値を求めよ。 牧嶋とかいう有能なケライがいたわけですか。
前>>870なぞが解けました。 >>871
a1,a2,...を未知数, λをラグランジュの未定乗数とし条件付き最小化問題として解くと
F(a1,a2,...) = Σ[k=1,∞](ak/k)log(ak) + λ(Σ[k=1,∞]ak - 1),
∂F/∂ak = (1+log(ak))/k + λ = 0
より
ak = e^(-1-λk)
Σ[k=1,∞]ak = 1
より
λ = log((e+1)/e)
このとき
Σ[k=1,∞](ak/k)log(ak)
= Σ[k=1,∞](-1/k-λ)e^(-1-λk)
= -λ-e^(-1)Σ[k=1,∞]e^(-λk)/k
= -λ+e^(-1)log(1-e^(-λ))
= 1-((e+1)/e)log(e+1)
より最小値は
e(e+1)^(-(e+1)/e) >>876
すごすぎ 大正解です
数列空間上の変分問題なるものを無理やり作問したんだけど完全に想定通りの解法です >>856
できた。
カード k が総和に寄与する場合の数を考える。
このカードが i+1 番目に出てかつ1～i+1 まで単調増大となる場合の数は C[k-1,i] (n-i-1)! だから求める場合の数は Σ[i=0,k-1] C[k-1,i] (n-i-1)!。
よって求める期待値を E とすれば
E n! = Σ[k=1,n] k Σ[i=0,k-1] C[k-1,i] (n-i-1)!
. = Σ[i=0,n-1] Σ[k=i+1,n] k! (n-i-1)! /i! /(k-i-1)!
. = Σ[i=0,n-1] Σ[l=0,n-i-1] (l+i+1)! (n-i-1)! /i! /l!
. = Σ[i=0,n-1] (n-i-1)! (i+1) Σ[l=0,n-i-1] C[l+i+1,i+1]
. = Σ[i=0,n-1] (n-i-1)! (i+1) C[n+1,i+2]
. = Σ[i=0,n-1] (n+1)n(n-1)…(i+1) /(i+2)
. = Σ[i=0,n-1] (n+1)n(n-1)…(i+1) /(i+2)
. = (n+1)! - 1
により
E = ((n+1)! -1) /n!。 >>874
tanθ=3√3-2√6,(√3+2√6)/7のとき最大値(3√3-2√6)/4
計算ミスしてそうで心配 >>874
これｎ回目とかいってるけど求めるのは
＞△P₀P₁P₂の面積の最大値
ってP₃以降は関係ないの？ >>879
正解！
自分でつくった問題なんですが、ほぼ同じやり方で計算しました
E*n!の計算の最後3行の部分がよく分かりませんが、答えは合ってるし書き損じですかね？
答えが思いのほか綺麗になるので、もしかすると別の解釈があるのかなと思い少し考えましたが分かりませんでした >>879
(i+1)!で約分してたのか、そこは理解しました
そこからの総和のスムーズな求め方はまだ分かってないけど
自分は(n+1)!をΣの外に出して(i+1)/(i+2)!=1/(i+1)!-1/(i+2)!の総和として計算してました
>>883
ありがとう！ >>884
(n+1)n(n-1)…(i+3)(i+2)(i+1) / (i+2) = (n+1)n(n-1)…(i+2) - (n+1)n(n-1)…(i+3) (ただし i = n-1 のときは第２項は-1と解釈する。強引だけどそれで i=n-1 でも合う。)
によりこれをi : 0～n-1で足し合わせればi=0のときの第１項とi=n-1のときの第２項だけが残って(n+1)! - 1となります。 >>884
なるほど。そっちの方がかっこいいですね。 >>885
なるほど理解しました
(n+1)!を掛けているだけで、本質的には同じやり方っぽいですね Aさんがある平面上に時計を2N個設置する。
そのうちN個は長針と短針が付いており、残りのN個は長針も短針も付いていない。
作動している時計の長針、短針は一般的な速度を刻むが、示している時刻が同じ保証はない。
あなたは長針と短針が付いていないN個の時計に対して、長針と短針をつけて作動させることができる。
ここで「特異な三角形」とは、「異なる3つの時計の中心を頂点に持つ三角形であり、また三角形の内部もしくは辺上に別の時計の中心が存在せず、
3辺すべてが3つの時計の長針と短針の劣角側（長針と短針がちょうど反対側に来るときは長針を上に持ってきたときの左側と定める）に存在しているもの」をいう。
Aさんはある時刻に部屋に入って、時計の中心同士を結ぶ。
ただし結んだ線分同士は全て交わらないように注意する。
あなたは任意の時刻で、「特異な三角形」をN個以下にすることが可能であることを示せ。
ただしAさんが線分を結ぶ時間、及びあなたが時計を作動させる時間は無視できる。 >>879
＞E = ((n+1)! -1) /n!。
これ、E = n+1 - 1/n! としてもいいですか？ >>889
＞ただし結んだ線分同士は全て交わらないように注意する。
これは辺さえ交差してなければ、内部に他の点を含むのはありですか？
例えば正三角形の頂点ABCとその重心Gに時計が配置されてて頂点上の針の狭角に他の全ての頂点が入っていているときに△ABCは「特異な三角形」にカウントされますか？
また内点を共有するのはありですか？
例えば正三角形の頂点ABCとその重心Gに時計が配置されてて頂点上の針の狭角に他の全ての頂点が入っていて、重心の時計の針の狭角にABが入っている場合、
△ABGと△ABCを両方「特異な三角形」とカウントするのはありですか？ >>889
証明作ってみたけど
三角形の個数は N-2 まで少なくできるね
問題の出典は？ >>892
「三角形の内部もしくは辺上に別の時計の中心が存在せず、」の条件から前者は認めません。点を共有する事は認めます。 特異な三角形って、作動していない時計が含まれていても意味がある概念？
(針がついていない場合は、針と辺に関する条件は満たされているものと考える、とか)
そうでなければ作動していない時計の存在意義がないと思うし
あと、特異な三角形と考えるのはAさんがその３つの時計を直線で結んでいる場合のみ？(でないと直線で結ばれている意味がないはず)
「あなたは～することが可能であることを示せ」とあるけど、"あなた"ができるのは時計に針をつけて作動させることだけだよね？
つまり、まだ針のついていない時計の時刻をうまく決定することで条件を満たすようにできることを示す、ということでよい？ >893
自作です
>895
N個の時計は必ず作動させなくてはいけません。
そのあと二つは仰る通りです。
文章が分かりにくくてすいません。 >>874
tanθ = t とおいて、面積Sをtで表わす。
・0<θ<30°のとき
AP1 = sinθ / sin(120ﾟ-θ） = 2t/(√3 +t),
AP2 = AP1 sin(60ﾟ+θ)/sin(60ﾟ-θ)
= AP1 sin(120ﾟ-θ)/sin(60ﾟ-θ)
= sinθ / sin(60ﾟ-θ)
= 2t/(√3 -t),
S(t) = ⊿P0P1A - ⊿AP1P2
= (1/2)sin(∠A) AP1 (1-AP2)
= (1/2)((√3)/2)(2t/(√3 +t))((√3 -3t)/(√3 -t))
= (3/2)t(1-t√3)/(3-tt),
t = 2√6 - √3 のとき極大 (3√3 -2√6)/4 = 0.074293
θ = 16.5505°
・30ﾟ<θ<60°のとき
AP1 = sinθ / sin(120ﾟ-θ) = 2t/(√3 +t),
BP1 = 1 - AP1 = (√3 -t)/(√3 +t),
BP2 = BP1 / AP1 = (√3 -t)/2t,
S(t) = ⊿P0P1B - ⊿BP1P2
= (1/2)sin(∠B) BP1 (1-BP2)
= (1/2)((√3)/2)(√3 -t)(3t-√3)/(t(√3 +t))
= (3/8)(√3 -t)(t√3 -1)/(t(√3 +t)),
t = (2√6 +√3)/7 のとき極大 (3√3 -2√6)/4 = 0.074293
θ = 43.4495° 前>>875午後２時x分に長針と短針が一直線になるとすると、
長針は60分で360°進むからx分で6x°進む。
短針は60分で30°進むからx分で0.5°進む。
今午後２時とすると、長針は短針より60°手前。x分後長針は6x°短針は0.5x°進んでいるから、
6x-60=0.5x+180
5.5x=240
11x=480
x=480/11
=43+2/11
２時43分10(+10/11)秒
（２時43分10秒9090……） >>897
ｔanθ の値を間違えた。
>>880 が正解。 >>893
ちなみにどのような方針で解かれましたか？ S_nをn次対称群とする。
σ∈S_nに対し
s(σ)=(σの符号)∈{-1,1}
f(σ)=(σの固定する要素の数)
と定めるとき、
Σ[σ∈S_n]s(σ)/(f(σ)+1)=(-1)^(1+n)*n/(n+1)
を示せ。 計算機だとどう解くのかねえ
0.初期状態を決める
1.交点の角度の小さなものを少し拡げる
2.面積の小さな領域を少し広げる
3.誤差が許容範囲以内になるまで1～2を繰り返す
こんなところかなあ 直線でいいならプログラムもさほど困難じゃないような気がするんが。 >>760
５角形のときカブトガニと呼ばれてたのを思い出したな。 前>>898
五角形のカブトガニ、分岐は120°だけど、周との交わりがなんか偏ってるよね。 ■速報■
無限に続くと思われていた円周率がついに終りを迎えた
千葉電波大学の研究グループがこれまでの円周率演算プログラムに
誤りがあったことを発見
同大のスーパーコンピュータ「ディープ・ホワイト」を使って
改めて計算しなおしたところ、１０桁目で割り切れたという
１０桁目の最後の数字は「０」だった
千葉電波大学の研究グループの発表によると、
円周率計算に際し、改めて既存の円周率計算プログラムを
点検してみたところ、円周の誤差を修正する数値に
誤りがあることに気が付いた
この数値を正常値に直して計算しなおしてみたところ、
円周率は１０桁で割り切れたという 原点O中心、半径√13の円に内接する正三角形ABCがある。
点Pは最初得点mを持って点Aからスタートし、次のルール(あ)、(い)で点数操作が行われる:
(あ) 点を出発する際に得点は3倍される
(い) 点に到着した際に得点は到着点のy座標の値がそのまま加算される。例えばy座標が-1であれば, -1される
いま、A→B→C→Aの移動を行うとき
(i)1周した後の得点m'の取りうる範囲を、初期の得点mを用いて表し、
(ii)得点m=1でスタートして、得点に変化がない場合、点Bの座標として考えられるものをすべて挙げよ。 >>902
できた。
まず基本的な公式として n≧3 のとき
Σ s(σ) = 0、Σ s(σ)f(σ) = 0、Σ[f(σ) = 0] s(σ) = (-1)^(n-1)(n-1)
が成立する。容易ゆえ証明は略。
自然数 n,i に対し
X[n,i] = Σ[n∈Sn] s(σ)/(f(σ) + i)、
Y[n,i] = (-1)^(n-1) n! (i-1)!/(n+i)/(n+i-2)!
とおく。
X[n,i] = Y[n,i] を示せば十分である。
n≦3 においては容易。
Yが漸化式
Y[n+1,i] = -(n+i)Y[n,i] + (i-1)Y[n, i-1]+ Y[n,i+1] (i≧2)、
Y[n+1,i] = -(n+i)Y[n,i] + (-1)^(n-1)(n-1)+ Y[n,i+1] (i=1)
を満たすことは容易。
σ∈S[n+1] に対し g(σ) をその固定点数とする。
まずn≧3、i≧2 において
X[n+1,i]
= Σ[σ∈S[n],k:1～n+1] s((k n+1)σ)/(g((k n+1)σ)+i)
= Σ[σ∈S[n]]( -(n-f(σ))s(σ)/(f(σ)+i) - f(σ)s(σ)/(f(σ)+i-1) + s(σ)/(f(σ)+i+1) )
= Σ[σ∈S[n]]( -(n+i)s(σ)/(f(σ)+i) + (i-1)s(σ)/(f(σ)+i-1) + s(σ)/(f(σ)+i+1) )
= Σ[σ∈S[n]]( -(n+i)s(σ)/(f(σ)+i) + (i-1)s(σ)/(f(σ)+i-1) + s(σ)/(f(σ)+i+1) )
= -(n+i)X[n,i] + (i-1)X[n, i-1]+ X[n,i+1]
であり、n≧3、i=1において
X[n+1,1]
= Σ[σ∈S[n],k:1～n+1] s((k n+1)σ)/(g((k n+1)σ)+1)
= Σ[σ∈S[n]]( -(n-f(σ))s(σ)/(f(σ)+1) + s(σ)/(f(σ)+2) ) - Σ[σ∈S[n], f(σ)≠0] f(σ)s(σ)/(f(σ))
= Σ[σ∈S[n]]( -(n-f(σ))s(σ)/(f(σ)+1) + s(σ)/(f(σ)+2) ) + Σ[σ∈S[n], f(σ)=0] s(σ)
= Σ[σ∈S[n]]( -(n-f(σ))s(σ)/(f(σ)+1) + s(σ)/(f(σ)+2) ) + (-1)^(n-1)(n-1)
= -(n+i)X[n,i] + (-1)^(n-1)(n-1)+ X[n,i+1]
である。 >>911
想定していた解とは違いますが、正しそうです
問題より強い主張を漸化式を用いて示したわけですね
i≧2の場合の議論は避けられなさそうです
詳しく書いてくださりありがとうございます
ちなみに出典は某数学コンテスト(数オリではない)です >>902
俺もできたけど>>911の方が美しいかな…
一応概略を書いとく
>>911と同じく Σ[σ∈S_n]s(σ)/(f(σ)+i) を求める方針で、使う漸化式が異なる。
なので記号を借りて
X[n,i]=Σ[σ∈S_n]s(σ)/(f(σ)+i) (*)
とおく。
S_n の元を、n-1, n の行き先によって分類する。
(i)n-1, n を固定するもの。
これだけで (*) の和を考えると、X[n-2, i+2] に一致することが分かる。
以下同様に、
(ii)n-1 と n を入れ替えるもの→-X[n-2, i]
(iii)n を固定し n-1 を固定しない→X[n-1,i+1]-X[n-2,i+2]
(iv)n を n-1 に移し、n-1 を n に移さない→-X[n-1,i]+X[n-2,i+1]
(v)n-1 を固定し n を固定しない→(iii)と同じ
(vi)n-1 を n に移し、n を n-1 に移さない→(iv)と同じ
(vii)n-1,n が共に n-2 以下に移る→0 (∵σとσ(n-1 n)で打ち消しあう)
これらの総和をとって
X[n,i]=2(X[n-1,i+1]-X[n-1,i])-(X[n-2,i+2]-2X[n-2,i+1]-X[n-2,i])
を得る。あとは推測して帰納法。 >>913
方針は同じようですね
個人的には>>911の変形の方がより自然なように感じます >>902
のような問題は解けと言われれば解けるけど、なんでこんな式が成立するのか、見つけられるのかがさっぱりわがんね。
なんか背景理論的なものがあるんだろうなぁとしかわがんね。 >>909
虚構新聞ですね。
π =
3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510
5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128
4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091
4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436
7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548
0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798
6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000
0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 前>>908
>>910(i)
点Aを(0,√13)とした場合、
点Bを(-a,-b)、点Cを(a,-b)とおくと、
点数はm→3m→3m-b→9m-3b→9m-4b→27m-12b→27m-12b+√13
m'=27m-12b+√13
bを求める。
AC^2=(√13+b)^2+a^2
BC^2=4a^2
AC=BCより、
(√13+b)^2=3a^2――①
点C(a,-b)は半径√13の円周上にあるので、
a^2+b^2=13――②
①②より、
13+2b√13+b^2=3(13-b^2)
4b^2+2b√13-26=0
2b^2+b√13-13=0
b=(√13)/2
∴m'=27m-5√13 前>>918
(ii)m=m'=1とすると、
1=27-12b+√13
12b=26+√13
b=(26+√13)/12
a^2={(b+√13)^2/3}^2
a=(b+√13)/3
={(26+√13)/12+√13}/3
=(26+13√13)/36
とりうる点Bは、
((26+13√13)/36,(26+√13)/12)
((26+13√13)/36,(-26-√13)/12)
((-26-13√13)/36,(26+√13)/12)
((-26-13√13)/36,(-26-√13)/12) >>909
>１０桁目の最後の数字は「０」だった
やっと気付いたww
芸が細かいwww 前>>919
>>920
π=3.1415926535……
０じゃないんじゃないの？
３じゃないの？ >>910
(i)
27m-26≦m'≦27m+26
(ii)
(-√3/2,-7/2), (√3/2,-7/2) 前>>921範囲か！
>>918修正。
(i)m'=m-12b+√13において0≦b≦
27m-11√13≦m'≦27m+13√13
ちがうか。
点A(√13cosθ,√13sinθ)
点B(√13cos{θ+(2π/3)},√13sin{θ+(2π/3)})
点C(√13cos{θ+(4π/3)},√13sin{θ+(4π/3)})
Aを出発するとき、
m→3m
Bに到着するとき、
3m→3m+√13sin{θ+(2π/3)}
Bを出発するとき、
3m+√13sin{θ+(2π/3)}→3[3m+√13sin{θ+(2π/3)}]
=9m+3√13sin{θ+(2π/3)}
Cに到着するとき、
9m+3√13sin{θ+(2π/3)}→9m+3√13sin{θ+(2π/3)}+√13sin{θ+(4π/3)}
=9m+3√13sin{θ+(2π/3)}+3√13sin{θ+(2π/3)}-√13sin{θ+(2π/3)}
=9m+2√13sin{θ+(2π/3)}
Cを出発するとき、
9m+2√13sin{θ+(2π/3)}→3[9m+2√13sin{θ+(2π/3)}]
=27m+6√13sin{θ+(2π/3)}
Aに到着するとき、
27m+6√13sin{θ+(2π/3)}→27m+6√13sin{θ+(2π/3)}+√13sinθ
∴m'=27m+6√13sin{θ+(2π/3)}+√13sinθ
(0≦θ≦π/2)
このとき0≦sinθ≦1
2π/3≦θ+(2π/3)≦5π/6
sin(5π/6)≦sin{θ+(2π/3)}≦sin(π/2)=1
m'のとりうる範囲は、
27m+6√13sin(5π/6)+√13sin(5π/6)≦m'≦27m+6√13sin(2π/3)
27m+6√13(√13)/2+√13(√13)/2≦m'≦27m+6√13(√13)(√3/2)
27m+39+13/2≦m'≦27m+39√3
27m+91/2≦m'≦27m+39√3 甲乙二人がおのおの32ピストル（当時のお金の単位）の金を賭けて勝負したとする。
そしてどちらかが先に３点を得たものを勝ちとし、勝った方がかけ金の総額64ピストルをもらえるとする。ところが甲が１点を得ただけで、勝負が中止になってしまった。
このとき、二人のかけ金の総額64ピストルを甲と乙にどのように分配すればよいだろうか。
ただし二人の力は互角で、勝つ確率はそれぞれ1/2ずつだとする。 >>925
甲32ピストル
乙32ピストル
∵勝負は中止になった。どちらも3点には満たない。どちらか勝ったほうが64ピストル総取りのルールだったはず。分配なら最初に言っとかないといかん。
前>>923 >>925
何をもって良い分配と見なすかによるでしょ
期待される勝率によって分けるなら
甲:44 乙:20
当初のルールを忘れて甲が勝利したと見なすなら
甲:64 乙:0
勝敗がついていない為に完全な引き分けと見なすなら
甲:32 乙:32
他にもいくらでもこじつけられそう >>760 (下) すべて線分、分岐角120°
L = 4.889287343655
>>903 (上) 線分3 + 円弧4、分岐角120ﾟ、外円との交角90°
L = 4.848096236
かな？ 格子
Γ = { M*(-143+√-2) + N*(401) | M,Nは整数 }
で(原点以外の点で)最も原点に近い点を知るには、やみくもに探す以外に良い計算があるか？
どんな格子でも通用する方法ではなくて、実は格子として長方形型格子 {M+N√-2|M,Nは整数} と相似な格子という仕掛けがあります 四角形の二つの辺の長さがそれぞれ800,1000である。
このうち、向かい合う二つの頂点から平行にそれぞれの対辺に対して二本の線を引く。このとき２つの直線の距離は300である。
このとき引いた直線は対辺をある長さx,yに分割するが、このx,yを求めよ。 >>931
出題者ではないが
時計を置く先手の最善手：
針のある時計を正N角形に配置
針のない時計は外側の任意の位置に置く
針は全て同時刻に合わせ、9時の向きに
正N角形の中心が来るようにする
（針が6時を指した時、正N角形の中の
三角形がすべて有効になる）
針を追加する後手の最善手：
時刻を先手の時計の6時間後に合わせる
文字盤の向きはすべて同じ方角とする
（針のなかった時計の中心を2つ以上含む
三角形が、任意の時刻ですべて無効となる）
三角形を描く先手の最善手：
自分の作った正N角形の外周と
対角線のうちN-3本を結び、N-2個の
三角形を作る
外側は適当に結ぶ
（「特異な三角形」は、6時のとき
最大N-2個）
証明は頭のいい人に任せた >>932
最初の四角形の頂点をA,B,C,Dとして、問題を書き直してはどうか 条件不足で定まらないと思うけどな
もしかして長方形なのか？ >>937
長方形です。
みなさんごめんなさい。面白くないのは承知しています。 前>>926
>>932
x+y=1000
三角形の相似比より、
1000:200√41=300:y
y=60√41
x=1000-60√41 左括弧"("と右括弧")"を2n個並べたとき，正しく括弧が組み合わさっている確率をP_nとする．
[例:(()),()() :正しい, )(((,)(():正しくない]
このとき，lim(n→∞)n√nP_nを求めよ． 連休なのに過疎ってるのでネタを投下してみる
問：表面積が1であるf面体のうち、体積Vが最大であるものは何か？
これに対してメディアル多面体が解となるという予想があった。定義は以下。
26問目スレ 447
＞「メディアルf面体」
＞ [ 6-12/f ] 角形と [ 6-12/f ] +1 角形のみからなるｆ面体。
＞ f≧12 のときは 5角形×12，6角形×(f-12)
これについて調査したところ、以下の場合は反例がありそう。
f=11 V=0.080055026399577983 4角形×2，5角形×8，6角形×1
f=13 V=0.082432267303420834 4角形×1，5角形×10，6角形×2
f=33 V=0.089603827451613424 5角形×13，6角形×19，7角形×1
そこで、以下の問を提案する。
問「表面積が1であるf面体のうち、体積Vが最大である解」がメディアルf面体でないfはいくつあるか？
つまり、条件を満たす f は、上記 11,13,33 がすべてであるか？（そもそも上記の例は最大解と言えるか？） n次正方行列Aが冪零行列のとき、A^p=Oをみたす正整数pの最小値を求めよ。 >>945
連休終わったけど…
ｆ V/S^{3/2}
4 0.05170027 = 1/{6√(6√3)} 正4面体
6 0.06804138 = 1/(6√6) 立方体
8 0.074488 4角形×4, 5角形×4 メディアル8面体
10 0.078740 4角形×8, 4角形×2 （シリコンフラーレン)
12 0.08168837 = φ^{4/7} /{6(√3)･5^{5/8}) 正12面体
14 0.083365 5角形×12, 6角形×2 ねじれ重角錐台（ゴールドバーグ)
16 0.084740 ？
20 0.086610 5角形×12, 6角形×8 メディアル20面体
32 0.089493 5角形×12, 6角形×20 切頂20面体（サッカーボール）
42 0.090565 5角形×12, 6角形×30 切稜12面体
∞ 0.09403160 = 1/(6√π) 球
φ = (1+√5)/2 = 1.61803398875 (黄金比)
http://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/40/0/40_0_226/_pdf >>949
こちらの計算した値は以下：
ｆ V/S^{3/2}
4 0.051700269950116645 正4面体
6 0.068041381743977170 立方体
8 0.074344868093229974
10 0.078734752898039745
12 0.081688371824182551 正12面体
14 0.083349245941114841
16 0.084742718358283536
20 0.086626966830007951 切頂20面体（サッカーボール）
32 0.089493100466131958
42 0.090574499972086386 (切稜12面体=0.090566239172274965)
正多面体とサッカーボール以外では値が多少違っているような。
精度の問題でしょうかね。 >>950
＞20 0.086626966830007951 切頂20面体（サッカーボール）
＞32 0.089493100466131958
サッカーボールは32面体のほうです。
20 0.086626966830007951 メディアル20面体
32 0.089493100466131958 切頂20面体（サッカーボール）
なお、f=20はメディアル20面体には違いないですが、ゴールドバーグ論文のXX-1(1,3,3,(6),3,3,1)やXX-2(1,6,6,6,1)とは異なり
たぶん 2,2,(4),(2,2),(4),2,2 で表されているものに近いのではないかと思います。 レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。
