数理論理学（数学基礎論） その13
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数学基礎論は、数学の基礎づけを目的として誕生したが
現在では、数理論理学として、証明論、再帰的関数論、
構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野
に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも
若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、
代数幾何学、英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化などを参照）
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その12
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1509638068/ フィボナッチ数列の最初の2項を
2, 1 に置き換えた数列の項をリュカ数という
2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843,
1364, 2207, 3571, 5778, …
この数列の一般項は
Ln=((1+sqrt(5))/2)^n+((1-sqrt(5))/2)^n ついこの前から新井の｢数学基礎論｣を読み始めたんですけど、
Henkinの定理みたいなので一々言語Lを拡張するって議論が一瞬ややこしくなって面倒だわ 1階述語論理の完全性定理って証明法が複数種類あるけど、実際どれぐらいあるもんなのかな？
俺が見てきただけでも4パターンぐらいあるような気がする 普通順序数の和･積･冪って超限帰納法で定義すると思うんだけど、
Jechのだったっけ？、一旦和･積･冪に対応した整列集合を作ってから、その順序型としての順序数で和･積･冪を定義してたよな
この時の整列集合の見た目がゴチャゴチャしてるッぷりは目障りだった
何でこんな事するんだよ Kunenのset theoryもJechと同じ方法だしそっちの方が普通だと思われる
で、同じくset theoryでは後にクラス上の超限帰納法でも順序数の和などを定義できることを確認しているが、恐らくクラス上の超限帰納法の方が更にややこしいから後に回してるんだろう 冪はともかく、和と積は別に
ごちゃごちゃしてないと思うけど……
視覚的イメージをもって把握した方が、
結合法則とかが明らかだし
単に集合論に慣れてないだけだと思います Kunen二冊の和訳を担当した藤田さんが、公理的集合論の初歩からCHの独立性までの教科書を書いてるようですね
強制法は集合論で必要不可欠の知識ですし、それこそKunenのset theoryでは補えない現代的な内容や、より深い説明を期待したいところですね このスレの住民なら｢数学基礎論講義―不完全性定理とその発展｣これに目を通したことはあるだろうけど
これって証明が行間だらけで腹立つよな
全然教科書じゃ無い
単に各トピックスをツアーみたいにさぁーって流していくだけ Henkin法で言語を「完備化」するやり方は議論の整合性の確認が大変に面倒臭い。
発想は極めてシンプルで素晴らしいのだが…
証明を完遂するのが困難。
その細部の確認は演習にして読者丸投げの本ばっかだし。 >>796
東京での集会に出てたから
大体どういう内容か知ってるんだけど、
その本はCHとその否定の強制法による
（相対）無矛盾性証明くらいまでの本になるはず。
Jechとかで適当に書いてあるところをきちんと書いて
強制法の勉強でありがちな「気持ちが分からん」
という事が無いように解説する本。
世界一丁寧な強制法の教科書、という感じになるはず >>797
まあ実際、教科書じゃないしね。
四人の著者によるオムニバス形式の本だし。
当時、その本で扱ってるような内容の本は
ほぼ無かったので、基礎的な事から解説を初めて
ロジックの面白い所まで一冊の本の中で
到達しようとすると、当然ああいう本になるかと、
基礎論の本は証明を行間が無いようにガチガチに
書くべきだというのは、基礎論に興味を持つ
タイプの人の或る種の思い込みみたいなもので、
別に必ずしも正当な考えでもない訳だし。 >>801
>基礎論の本は証明を行間が無いようにガチガチに
そんなの無理
証明は
読者にある程度のレベルを期待して書くもの >>800
>世界一丁寧な強制法の教科書、という感じになるはず
大いに期待するなあ >>801-802
文学部出身でなおかつ数学コンプ丸出しなので数学の土俵に乗れない知能と努力量で土俵ごと突き崩してやろうと基礎論齧り出す輩どもに教えようという態度よりも
計算機に実装できる厳密性として議論するほうが無難だよねえ。
我の肥大した連中のおもちゃにされるのは避けるべきというのはかなり一般的な規範だ。 証明･記述に於いて或る程度の数学的読解力を読者に要求するのは当然だが
だからといって行間すっ飛ばしで自分の理解や頭の中の数学的議論を自分だけの目線で押しつけるのも間違ってる
｢俺がこれこれを理解してるんだから、お前らにはこれだけ言ってれば分かるだろ｣という上からの押しつけは最悪
個人的には数学科3,4年生の読解力を想定して書いて欲しい。
でも読解力という言葉って意味の幅があるんだよな
理解力自体は低いけど、当該分野についての基礎知識をある程度溜めてるからその多い知識を援用させて高度な議論を理解する人も居れば
逆に当該分野の知識は少ないけど、理解力は高いから、その高さで高度な議論を理解する人も居る
大体数学なんかやってプライドを高めてる人ってどちらかというと後者の方に比重置いてるような気がする 河合文化研究所の 倉田令二朗「数学基礎論入門」良いよ 基礎論の勉強で問題となりがちなのは、演繹体系にどのシステムを使うかだな。
楽で簡単そうだからとHilbert形式選んだけど、やっぱGentzenが良いかと右往左往して中々学習が進まん。
また、各流儀決めてもこれまた方言がいっぱいある。
後々の応用考えて十分一般的な枠組みの論理体系でお勉強したいのだが… 俺、数理論理学厨が喉から手が出るほど欲しい？本持ってるよ
ヒューズ･クレスウェルの｢様相論理入門｣
アンドリュースの｢数理論理学とタイプ理論｣ >>810
Hilbert 方式の定式化と Gentzen 方式の定式化の同値性が、
>>808 で紹介された、河合文化研究所の 倉田令二朗「数学基礎論入門」
に証明付きで載っていますよ。 >>806
>個人的には数学科3,4年生の読解力を想定して書いて欲しい。
それほぼほぼ無理 >>810
一般的って言うなら論理演算4つと量化子2つ出てくる方がいいしょ
ゲンちゃんの自然演繹からシーケントへ ラッセル著の数理哲学序説は難しくないですか。まだ3章までしか読めてませんが後裔、祖先、遺伝的、帰納的、N-遺伝的、R-遺伝的、R-祖先、後者など定義を理解することが難しいです。自然数とは直接の前者という関係に関する0の後裔であると書かれています。 中高生に自然数とは何ですか？と聞かれたら「自然数とは直接の前者という関係に関する0の後裔です。」と答えれば完璧ですねwwwww 集合論勉強しててあまりヒルベルト式かシークエントかとかって意識したことないんだけれど、
普通はやるものなのかな >>819
論理や証明を形式化する必要があるときだけだよ 証明を簡単にするために、論理記号は￢と⇒だけみたいな感じで少なめにして欲しいわ >>824
ただし古典論理の場合な
論理回路組む人には
NANDと言った方が通る
NANDかNORで済むことは
広く知られていよう XORって呼ぶのが一番好きだな。
フリップフロップス 2ちゃんのスレタイで
Trick xor Treat！
というのがあった メタ数学における集合って一体何を指しているんですか？ 「わしらの住む宇宙はZFにルールに従うか？」とか聞いとるのか？
メタレベルで使う「集合」とは何ぞやてか 基礎論門外の人はメタとか対象とかとは考えず、
論理式や公理的集合論の記号を自然言語でやる議論は
曖昧で間違い易いので導入した記号って考えるよね。
1階の述語論理よりは高階の述語論理的見方で考えるのが普通の感覚か。 そう
メタレベルでいう｢集合｣とはなんなの？直観的、素朴な立場で考えている集合なのですかね？
その素朴な立場で捉えている集合に関して許される操作や命題ってどこまでのものが認められるんですかね
ZFCの無矛盾性すら証明されていないのに、メタレベルでの集合に関する操作として選択公理を使うのって明らかに気持ち悪いし。 せやかて結局はAC使うしかないやろ。
使わんと証明出来る定理のクラスが小さくなって不便。 メタ理論で選択公理出てこないだろ
勿論ZFCをメタ理論とするなら話は別だが >>835
確かに普通に数学やる限り、有限個の記号や個体で間に合うなw
超越的な操作や存在は対象の世界に閉じ込めてしまええって、それって作り話フィクションの一種？ 数学とメタ数学という言い方有るけど
それって数理論理学の思い上がりだと思うな
形式論理（数理論理学）と数学というべきだと思う 形而上学的議論って呼ぶとディスりなんだからメタ物理学ぐらいにはディスり呼称ではあるんじゃないの？。 上部構造使う数学の議論って面倒臭いよね。
普通の人は民主主義ですよ。
対象とメタを差別せず平等に扱うのがコモン。
差別はイカんとです。
両者を峻別、区別するなんて鬼畜なことするべからず。
メタと対象が、同じレベルに仲良く棲む理想郷。
それが、正常人の世界だと思います。 ケプラー予想の解決にはHOL Light等が用いられたが、そのHOL Lightが正しく作動するかは論理コアの部分400行を人間がじっと眺めたり他の証明支援系を用いて確かめたりした 強制法の名前を使った議論がいまいち苦手なのって俺だけ？
分かりやすい本があったら教えてほしい 自分より上のレベルの人なのか下のレベルの人なのか
分かんないからコメントしづらい件
ShelahのPIF読んでで途中で分からなくなったとか
言われると頑張って下さいとしか言いようがない シェラハのproper and improper forcingか
ありがとう、読んでみる 数理論理学なんて嫌われるのは当たり前。
難しいだけでの苦行な学習が延々続くし、
読み易い教科書もほとんど無い。
読んでると力仕事はウンザリって気分になる。 高卒レベルから大学院レベルまでの証明論の知識を身に付けるに良い学習順
戸田山の｢論理学を作る｣→前原の｢復刊 数理論理学序説｣→安井邦夫の｢現代論理学｣→竹内外史の｢復刊 証明論入門｣
この順でやれば高卒レベルから苦労なくゲーデルの第1,2不完全性定理、自然数論の無矛盾性まで理解出来る >>846
いや、Kunenなんて難しい教科書の代表みたいに
言う人いるけど、分かってから読むと、
よく何でもかんでも噛んで含めるように
ここまで丁寧に説明できたものだなあ、と思うよ。
他の分野でここまで言葉を尽くして説明する本
ほとんど見たことない。
ただ何でもかんでも言葉を尽くして説明すると、
本題にたどり着くまでに200ページ要るとか
そういうことになるんで、もっと大雑把に
だいたいこんな感じ、みたいに書いてある本がJech。
しかも書いてある話題が多いから、それぞれの
テーマについてはかなりサラッと書いてある感じで
意外と内容が薄い感じでもある本。 具体例と解答付きの演習問題がいっぱいある本が欲しいな。
この分野で。
特にモデル理論。 >>850
自分が分かってるとはとても言いがたいが、別の本などで勉強してから読むと、本当にこれはある
でもやっぱり、理想が高すぎるのかも知れんが、分からない人が読んで分かるものでは無いんだなと過去の俺を見ると思う www.sankei. com/premium/171114/prm1711140005-a.html
強姦が仕事の血税泥棒気持ち悪いニホンザルレイパー強姦奇形官と産廃キチガイ捏造便所紙を射殺するために展開している 公理的集合論の一番正当派というか一番読まれてるというか一番お勧めされる本って
Kunen,Jechのやつ？ だろうな
Jechは和訳されてない分Kunenの方が多い気はするが >>858
Twitterに集合論専門の数学者が大量にいる むしろ集合論最近面白いテーマが見つかったなと思ったけどな
まあ大体の集合論研究のモチベーションは巨大基数だろうが 公理的集合論から始めて巨大基数の論文を読み始めるにはどういう流れで勉強して何ヶ月ぐらいかかりますか？
証明論は2年ぐらい勉強して数理論理学の議論には慣れてます とりあえず読むなら、マサ斎藤の『数学の基礎』でおｋ？ 4面が緑色で2面が赤色のサイコロがあるとする
そのサイコロを20回振って、緑色(G)と赤色(R)のどちらが
出たかを記録した
次の3つの選択肢から１つを選ぶとする
もしあなたが選んだ選択肢が20回分の記録のどこかと
一致すれば25ドルもらえる
1.RGRRR
2.GRGRRR
3.GRRRRR
選択肢1は選択肢2に内包されており、また、
他の選択肢よりも短いにも拘わらず、
被験者の65%は選択肢2を選んだ
25ドルの賭金が話の上だけの形の調査でも、
結果に顕著な差は見られなかった ゲンツェン流の証明体系で、上式が3つ以上のシーケントとなっているような推論規則ってありますか？ 圏論の方が数学の基礎として良いって意見あるけど(T○mとか)、
トポス圏でnatural number object作るのも大概難しいし直感的でもないよな
理論上は圏論でもZFCのメタ理論にはなれるんだろうけど、誰もやってないのがそれを表してる気がする 俺も圏論が集合論の上位互換のような気がしてるが
逆に集合論の一部とも言える 逆にというか普通の圏論はZFCの一部
メタ理論としては組み合わせ論的技法も苦手だし独立性証明もやりづらいから、ZFCの方がusefulなんだよね
しかも圏論で自然数を作るのも大変と来たもんだ 0=φ
1={φ}
を受け入れるかはともかく高校の集合が分かれば理解できるけど、
圏論の場合まずトポス理解するまでにどれだけ掛かるんだよっていうね
ただでさえややこしい議論を敢えて難しくする理由もないだろう 稲垣武の 一般集合論 (1964年) (近代数学新書 福原満洲雄監修) 新書 ? 古書, 1964
今これ読んでますけど、素朴集合論の立場から基数の話ではケーニヒの補題、順序数の話では順序数の多項式や正則順序数までやってます
説明がかなり丁寧なので黙読だけで大分スラスラ読めます 数学基礎論ってゲーデルの不完全性定理以降何か面白い成果あったの？ ただ単に聞いてみるだけだけど、自然数論の無矛盾性証明で、寝転びながら読めるぐらい分かり易い証明って読みたい？ ⊥も人も見かけるのにＴは見てもΥは見たことない不思議 【超悪質！盗聴盗撮・つきまとい嫌がらせ犯罪者の実名と住所を公開】
①井口・千明（東京都葛飾区青戸６－２３－１６）
※盗聴盗撮・嫌がらせつきまとい犯罪者のリーダー的存在／犯罪組織の一員で様々な犯罪行為に手を染めている
低学歴で醜いほどの学歴コンプレックスの塊／超変態で食糞愛好家である／醜悪で不気味な顔つきが特徴的である
②宇野壽倫（東京都葛飾区青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸２０２）
※色黒で醜く太っている醜悪黒豚宇野壽倫／低学歴で人間性が醜いだけでなく今後の人生でもう二度と女とセックスをすることができないほど容姿が醜悪である
③色川高志（東京都葛飾区青戸６－２３－２１ハイツニュー青戸１０３）
※色川高志はyoutubeの視聴回数を勝手に短時間に何百何千時には何万回と増やしたり高評価・低評価の数字を一人でいくつも増やしたり減らしたりなどの
youtubeの正常な運営を脅かし信頼性を損なわせるような犯罪的業務妨害行為を行っています
※色川高志は現在、生活保護を不正に受給している犯罪者です／どんどん警察や役所に通報・密告してやってください
【通報先】
◎葛飾区福祉事務所（西生活課）
〒１２４－８５５５
東京都葛飾区立石５－１３－１
℡０３－３６９５－１１１１
④清水（東京都葛飾区青戸６－２３－１９）
※低学歴脱糞老女：清水婆婆 ☆☆低学歴脱糞老女・清水婆婆は高学歴家系を一方的に憎悪している☆☆
清水婆婆はコンプレックスの塊でとにかく底意地が悪い／醜悪な形相で嫌がらせを楽しんでいるまさに悪魔のような老婆である
⑤高添・沼田（東京都葛飾区青戸６－２６－６）
※犯罪首謀者井口・千明の子分／いつも逆らえずに言いなりになっている金魚のフン／親子孫一族そろって低能
⑥高橋（東京都葛飾区青戸６－２３－２３）
※高橋母は夫婦の夜の営み亀甲縛り食い込み緊縛プレイの最中に高橋親父にどさくさに紛れて首を絞められて殺されそうになったことがある
⑦長木義明（東京都葛飾区青戸６－２３－２０） ※日曜日になると風俗店に行っている 論理学でこれを公理とする宗派もある
(A1) φ→(ψ→φ)
(A2) (φ→(ψ→χ))→((φ→ψ)→(φ→χ))
(A3) (¬φ→¬ψ)→(ψ→φ) ｢自由変数｣の厳密な定義って案外厄介だよな
よくよく考えると、単に｢論理式φに現れる変数記号xが自由変数であるとは～｣だけじゃだめで
例えば、｢左から数えてφのｎ文字目に現れている変数記号xが自由変数であるとは～｣ってな具合で位置まで指定しないと意味が無いから >>882
限量子の限定する範囲にない変数
で終い >>880
前に出てた
| (NAND)
だけだと
どんな公理で古典論理と同じになるの？ ■嘘には三つの種類がある
ただの嘘と
真っ赤な嘘と
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