【激しく】解析と線型代数の本何がいい?【既出】11
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微積分と線型代数の本を一生読み続ける人たちが集うスレです
テンプレは>>2に >線形代数の世界―抽象数学の入り口
満更ウソでもない 解析概論がアルキメデスの原理を誤魔化しているのは事実だが、これを言っている連中の9割はネットで聞いたことの受け売りをしているだけだろう 問題箇所は、1章の区間縮小法の節である。ここに、
(1) デデキントの定理
(2) 上限の存在定理
(3) 有界単調数列の収束性
(4) 区間縮小法
の4つが同値であると書いてある。が、実際には(4) ⇒ (1)にはアルキメデスの性質が必要である。 まあ、たしかに
「区間縮小法の原理とデデキントの定理が同値」
と書くのはちとまずいが、大学一年生向けの教科書(少なくとも当時の)の序章に、正確を期するためだけに非アルキメデス的順序体の存在などを述べる方が非教育的だろう。
該当箇所において既に実数の存在は前提として、実数に関する性質を証明しているのだから、アルキメデス的なものに議論を限るのは何もおかしくない。 ちなみに、アルキメデスの性質が暗黙に使われているのは以下の箇所である。すなわち、区間を二分法で縮小していくと、実数が1つ定まることを示すのに
1/2^n (b - a) → 0 (n → ∞)
を使っているが、ここにアルキメデスの性質が使われている。実際、p進数体ではこれは成り立たない。
しかし、ここで扱っているのは実数なのだから、これが成り立つのは正しい。 大学3年生ぐらいで実数論のガチ講義があるといいな。
数学科以外では(数学科でも?)必修ではなくても良い。 数学の知識が実数論で止まってる奴
あるいは解析の初歩すらいつまでも理解できずに聞きかじりで実数論語ってる奴
の考えだな 数学の知識が実数論で止まってる奴
あるいは解析の初歩すらいつまでも理解できずに聞きかじりで実数論語ってる奴
の考えだな 数学できる奴は、積分の順序交換だとか、曲面上の微分形式の積分だとか、どんどん有用なことをやっているのに、お前はいつまでも実数論。
いい加減、センスが無いと気付いたらどうなんだ? 不思議だよね
世の中にはたとえば、高木の「近世数学史談」みたいな近現代数学の王道に関する入手しやすいリソースがたくさんあるのに、
なぜか、ユークリッド幾何学だとか、ペアノの公理だとか、実数の連続性だとか、そういうつまらないものに興味を持つ人が多い 代数幾何学の具体的な問題を考えずに、いつまでも「スキームは素イデアルの集合」みたいなどーでもいいことを言ってる連中がネットに多いが、馬鹿なのかなと思う 要するにそういう人は、自称数学愛好家だけど、実際は複雑な計算や抽象的な定義が出てくると理解を放棄する
単純な仮定で結論が得られることが分かっている「安易」な問題にしか取り組まない(そして、当人はそれを「美しい」と勘違いしている) 実際は、複雑な概念であっても、それはより初等的な概念の類似や一般化であって、そのように定式化すべき理由はきちんと説明されているのだが、彼らは理解できない。数学の基礎能力が欠けているから。 >>879
>曲面上の微分形式の積分
まあ、それもいうほと大したことじゃないけどね
「ストークスの法則がー」とかいってる奴を見ると
「はよ、ポアンカレの補題に進め」といいたくなるw >>880
一般人は「近世数学史談」読んでも、何がどう面白いのか分からないよ
一般人に理解できるのは
ユークリッド幾何学だとか、
ペアノの公理だとか、
実数の連続性だとか、
なんだよ
エッシャーのCircle Limitが双曲的タイリングだと知ったら
"It's a miracle!"って言っちゃうレベルだから
そういう人は、
相対性理論のローレンツ変換から
双曲幾何が構築できることにでも
感激して成仏してくれw
(岩波でいうと「現代数学の入門」レベル) 一般人は数学の内容を理解できないからな
「数学科では1 + 1 = 2を厳密に証明する」みたいなキャッチーなフレーズに反応するしかできない >>881
>代数幾何学の具体的な問題を考えずに、
>いつまでも「スキームは素イデアルの集合」みたいな
>どーでもいいことを言ってる連中がネットに多い
ああ、「多様体は座標系の貼り合わせ」ってところを
延々となぞってる奴みたいな
そういう奴に限って
「コンパクトの定義で有限開被覆がとれるってあるけど何がめでたいんだ?」
「連接性の定義で有限生成かつ有限表示みたいなこといってるけど何がめでたいんだ?」
とかいっちゃうんだよな
無限を直接扱えるっていうんならやってもらおうじゃないかw >>882
>複雑な計算や抽象的な定義が出てくると理解を放棄する
しょうがないよ
一般人ができる数学の計算って
連立線型方程式の変数消去
くらいだからw
(ま、純粋数学において「変数消去」的な方法論は重要だけどね)
あとはグラスマン代数を使った連立線型方程式の求解とか
あれ、初心者はスッゲェ!って驚くんだけど(自分がそうだった)
変数が増えたら確実に計算量が指数的に増えてパニックになるから
消去法って地味だけど実は効率的なんだぞ 実数ってなんか抽象的に定義してるけど
例えば[0,1]に属する実数なんて、2進の場合なら
小数点以下を{0,1]^Nに属する無限列として
・n桁目が0で、n+1桁目から先が全部1の無限列
・n桁目が1で、n+1桁目から先が全部0の無限列
の2つを同一視したものと同じになる
10進の場合なら
小数点以下を{0,…,9}^Nに属する無限列として
・n桁目がa∈{0,…,8}で、n+1桁目から先が全部9の無限列
・n桁目がa+1∈{1,…,9}で、n+1桁目から先が全部0の無限列
の2つを同一視したものと同じになる
だから別に無限小数で考えても全然問題ない >>891
一文字修正w
実数ってなんか抽象的に定義してるけど
例えば[0,1]に属する実数なんて、2進の場合なら
小数点以下を{0,1}^Nに属する無限列として
・n桁目が0で、n+1桁目から先が全部1の無限列
・n桁目が1で、n+1桁目から先が全部0の無限列
の2つを同一視したものと同じになる
10進の場合なら
小数点以下を{0,…,9}^Nに属する無限列として
・n桁目がa∈{0,…,8}で、n+1桁目から先が全部9の無限列
・n桁目がa+1∈{1,…,9}で、n+1桁目から先が全部0の無限列
の2つを同一視したものと同じになる
だから別に無限小数で考えても全然問題ない こういう意見が主流になるべき
一昔前の「実数論が大学数学の登竜門」みたいな風潮は、百害あって一利なかった
解析の教科書の評論してる奴に
お前、一生実数論やってるつもりか?(笑)
って自然に煽り入るくらいが健全 1年の微積で雑に扱っておいて位相やってから厳密な話に戻ればいいんだけどね
大学1年前期だと完備・コンパクト・連結などの意味やありがたみがわからない
数学科3年でこの辺の位相の初歩がわかってないと他の必修科目がわからない 溝畑の多変数は、明らかに多様体とルベーグ積分を知ってた方が見通しが良い >>896
集合や写像をひととおりやった人間が位相をはじめて触れるのに適した教本はありませんか?推薦書を是非 >>899
位相なんか教科書かってまじめにやる必要は無い
アールフォルスの前半、松本の多様体の基礎の最初、シンガー・ソープの最初の2章などで勉強すればいい
おそらく、もっと進んだ専門書であっても、位相空間論は付録に証明つきで載っている場合がある。たとえば、スキーム論とか無限次元ガロア理論とかの本
そういうところに共通して載ってる事項だけが重要な事項 河添健氏の微分積分学講義はどのような本ですか?
また独習には向きますか? >>899
高橋渉『集合・位相空間要論』がコンパクトで良かったけど、品切れかな。
同じ著者の『距離空間と位相空間』という本が後継版だろうから、これが良いかも。
副読本的な本として、志賀浩二の『位相への30講』も買っとけばいいと思う。 >>904
トポロジー=位相幾何学、は私の求めるところではないかもしれませんが、アマゾンでポチりました‥‥
>>905
早速、高橋と志賀をアマゾンでポチりました‥‥ >>906
C++のテンプレートのお勧めの本を教えて >>907
https://www.a;mazon.jp/dp/4797376686/
https://www.a;mazon.jp/dp/0321714121/ Sheldon Axlerのlinear algebra done rightって風変わりだけど面白い本。
線形代数の本なのに行列式が全く出てこない。
この著者の行列式への思いは
Down with Determinants!(行列式を排除せよ!)
https://www.axler.net/DwD.html
で知ることができる。 >>909
行列 A の逆行列 A^{-1} はどう表現しているのですか? 小平は初等関数の定義が詳しい
和と極限の順序交換ができるためのマニアックな十分条件が2つほど紹介されていた気がするが、あれはLebesgue積分を学べば不要
あと、多変数関数の極値問題が書いてないし、曲面上の積分の記述が甚だ不足しており、実用的ではない
高木はGoursatの劣化コピー
6章以降は全く読む必要は無い
1〜5章はわかりやすいんじゃないだろうか
ただし複素解析もこれだけじゃ全く足りない 線形代数は永田
ただし最終章は読まなくていい
一体なんの意図でこの章を入れたのか全く不明
線形代数をやったら一般の加群の理論へ進むことが多いが、群の表現をやった方がいい 高卒だけどこのスレの内容理解したい
積分までしかやってないからその先どう学んでいけば良いのか >>915
>>2,3にお勧めの教科書が書いてある、大学の数学は新たに数学を始めるつもりでやったら >>916
ありがとう
まずは線形解析の教科書を読み進めればいいのかな >>917
数学科のカリキュラムが公開されてるからそれにそってやればいい、ところで何をやりたいの? やりたいことはプログラミング
画像処理や音声処理で頻出するフーリエ変換やフーリエ逆変換なんかを理解できるようになりたい >>919
それが工学部の数学で十分だね、ぷ板で聞いた方がいいよ >>920
きちんと理解するのは、工学部向けの数学の本では無理ではないでしょうか? >>92
人の意見は聞かないのに、なぜ人に質問するんだ?馬鹿アスペ二号 微積分(1変数)のあと、ルベーグ積分前に、集合・位相をやっておいたほうがいい
ユークリッド空間を、距離空間、位相空間の立ち位置から見たときの特殊性など
コンパクト、完備、連結、分離公理、など個々の定義などもしっかりと学ぶ
古いが亀谷本、または松坂本でほぼ事足りる
読み物だが、位相のこころ、で少し補足情報を入れておくのもいい 解析概論以外の本を探せ、でも結局のところ、解析概論に戻る、という流れ
微分方程式がない、多変数がダメ、とか欠点はいろいろあるけど第1章、第5章を
読んで理解して感動した記憶(感覚)は死ぬまで多分消えない 今は、線型代数(線形代数)の本は自分に合う本を選べる
(選べるくらいに、種類が多い)
昔は、佐武本または斎藤本の二択だった クレームではなく事実を
ちくま学芸文庫 吉田洋一 微分積分学
の記述順序が、1章 微分法から始まり、数列と級数が10章に来るなど、
他の多くの微積分の本の順序とは大いに異なるため、最初戸惑う
実数の連続性、デデキントの公理、アルキメデスの公理、の記述をつい探してしまう
(なかった) >>927
解析概論も解析入門も微分法のあとに級数だが 解析概論の章立て
第1章 基本的な概念
第2章 微分法
第3章 積分法
第4章 無限級数、一様収束
第5章 解析関数、とくに初等函数
第6章 Fourier式展開
第7章 微分法の続き(影伏函数)
第8章 積分法(多変数)
第8章 Lebesgue積分
附録
実数の連続性、デデキントの定理、区間縮小法、上限下限、数列の収束の基本、連続函数の基本的性質などを第1章に盛り込んである 戸惑うのはお前のレベルが低いからだよ
至って普通の構成 だから何だって感じ
大学初年度向けや工学部向けで実数の公理やεδ論法が無い本なんかたくさんある
何が言いたいのか不明 >>67
圏論は、層係数コホモロジーをやるとき必要になる。
代数幾何でスキームをやるときも必要だろう。 なんで微積って解析てカテゴリーに括るのていう
微積で何を解析するのか高校生に教えてないのに解析ていうカテゴリーで教えてる不思議
て何十年も経った今思った 圏論は、集合のある意味、一般化だろ、 ・(点)を→に一般化したようなもの
集合に群構造をいれたものが、ふつうの圏論
Cが圏で、a ,b,c ∈ Cが矢印だとすると
結合法則 a(bc)=(ab)c
単位元 1a = a1 = a
を満たす
下はWikipediaのコピペ
圏 (数学) - Wikipedia
定義
圏 C は以下のものからなる:
対象の類 ob(C)
対象の間の射の類 hom(C)
このとき、任意の三対象 a, b, c ∈ ob(C) に対し、射の合成と呼ばれる二項演算が存在して以下の公理を満足する:
結合律: f: a → b, g: b → c, h: c → d ならば h ? (g ? f) = (h ? g) ? f が成り立つ。
単位律: 各対象 x ∈ ob(C) に対して x の恒等射と呼ばれる自己射 idx = 1x: x → x が存在して、任意の射 f: a → x および g: x → b に対して 1x ? f = f and g ? 1x = g を満たす。 結合法則の部分は、始点や終点が一致する矢印でないと駄目で、任意ではないが やさしい微積分ってやつ買ってきたわ
とりあえずこれから始める 杉浦の解析入門ってsinxやcosxの和積公式載ってないじゃん
これ読めば受験数学も余裕で解けるようになるかと思ったけどそうでもなさそうっすね 物理の学生です
僕は一年時に吉本武史というひとの本が微積も線型代数も分かりやすくて周りにも好評でした
数学の人から見ればやはりいいかげんな本ですか? 高瀬 正仁 古典的名著に学ぶ微積分の基礎 共立出版 (2017/8/10)
数学史家の手による本で、読み物として面白いと思った
第ゼロ冊目としてはいいかもしれない
ほかに歴史的展開にくわしい教科書ってある? 森毅先生の本は歴史が詳しく書いてあって
面白いコメントもついているので愛読した。 『数学セミナー2022年03月号』の「ガウスの数論から現代数学へ(II)」(栗原将人)
「また、種の理論が相互法則だけで組み尽くせない力を持っていることも、わかっていただけると思う。高瀬正仁氏は[3]155ページで「ガウスの目には、
ガウス以前の素数の形状問題は特別な形で表現された平方剰余の理論のように映じたでしょう」と述べているが、これらの表はそうではないことを
語っていると思われる。」
脚注には、以下のように書かれています。
「[2]212ページには「ガウスの目には、素数の形状問題は平方剰余の理論の一区域のように見えたのではないかと思います」と同じ主張が述べられている。」
以下の文献を上の文章を書くためだけに引用しています。
[2] 高瀬正仁『ガウスの数論、わたしのガウス』筑摩書房(2011年)
[3] 高瀬正仁『ガウスに学ぶ初等整数論』東京図書(2017年) >>946
知らんけど、微積分や線形代数の本は、多少いい加減でも計算能力や「健全な感覚」が身につく方がいいだろう。
どうせ完璧に書き切ることなどできないし。
自分にとってわかり易かったなら、それでいいのでは。 線型代数の本は彌永小平「現代数学概説Ⅰ」が最も分かりやすかったな 小林昭七著『続微分積分読本』
陰関数の定理のステートメントが間違っている。
n + k 変数の n 個の関数の連立方程式の k 個の変数が残りの n 個の変数の k 個の関数として書けるなどと書かれています。
これはたちの悪い誤りですよね。 数学科には駄目だけど工学部の人ならおすすめは
「システム制御のための数学(1)線形代数編」
です
(2)の関数解析編も良いです >>953
佐武の本は冗長で読みにくい
永田のようなスッキリした本の方が分かりやすいと思うが 教授陣は顔をしかめるマセマだが、これ読んで過去問やればどの大学院でも合格できるんだよな 東大京大は無理だろ
そのほか地方帝大なら受かるが
数学系の大学院の下位層はどこも終わってるだけ
その終わってる地方帝大に受からないカスはもう仕方ない 分点 分割 a=bの場合を除く
Πmᵢ=m個の分割
Iₖ、k∈K(⊿) v(I)=∑v(Iₖ)、k∈K(⊿) 分割
d(⊿)=Max d(Iₖ)、k∈K(⊿) 直径 レス数が950を超えています。1000を超えると書き込みができなくなります。