コラッツ予想がとけたらいいな その2

1righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/10(木) 22:10:23.74ID:ogyKPvh0
コラッツ予想に挑戦するスレです。

前スレ コラッツ予想がとけたらいいな
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1350178359/

>>1の証明(未検証)
https://github.com/righ1113/collatzProof

それより弱い成果もあります(未検証)
コラッツのループはあるとしてもとても長い
https://github.com/righ1113/collatzLongLoop

569righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/07/29(日) 14:30:52.71ID:z6BL7vg2
>>566

>>561の案についてはどうしましょうか?
ビット列を左から書くようにすると、
ビット列とコラッツ展開が『左右反転している』 → 『同一である』
になって分かりやすいと思うのですが。

5705662018/07/29(日) 14:59:40.32ID:QwhF8wXZ
>>569
じゃあ採用してみましょうか
お願いします

571righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/07/29(日) 16:26:02.64ID:z6BL7vg2
>>570
できました。
https://github.com/righ1113/CollatzMod/tree/master/CE02
CE02_n=10.txt
CollatzExpansion02.exe
CollatzExpansion02.hs

572132人目の素数さん2018/07/29(日) 16:49:37.95ID:QwhF8wXZ
ありがとうございます
いま外にいるので帰ったらみてみます

573132人目の素数さん2018/07/29(日) 17:29:22.44ID:oePH1MMB
ん、これコラッツ展開のビットのほうを左右反転させたんじゃなくて
コラッツ展開に対応する自然数のビットを反転させたってことですかね?

574righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/07/29(日) 17:53:25.69ID:z6BL7vg2
いや、両方反転させてるような......
なのに『同一』???

575132人目の素数さん2018/07/29(日) 18:13:30.45ID:oePH1MMB
>>574
つまりどういうことだってばよ?

576righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/07/29(日) 18:15:38.20ID:z6BL7vg2
>>574は無視してください。
コラッツ展開のビット(初項)を反転させています。

577132人目の素数さん2018/07/29(日) 18:34:34.10ID:oePH1MMB
すまん、まだよくわかってないんだが、
そうするとこの10進で表示してあるのは何を表してるの?

578righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/07/29(日) 18:41:19.06ID:z6BL7vg2
>>577
初項がコラッツ展開のビットで、
第二項が初期値(2進数)で、
第三項が初期値(10進数)です。

579132人目の素数さん2018/07/29(日) 18:44:40.84ID:oePH1MMB
第二項は左右反転してません?

580righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/07/29(日) 18:53:23.89ID:z6BL7vg2
してますね〜 う〜ん

581132人目の素数さん2018/07/29(日) 19:20:56.12ID:oePH1MMB
字下げされているデータは、上からn番目にあると第三項もnになる
という法則はありそうなきがする

582righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/07/29(日) 19:26:26.92ID:z6BL7vg2
>>581
あ、それはコラッツ展開のビットを1から順番に並べているので、
コラッツ展開と初期値が一致するなら、当然そうなると思われます。

583righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/07/29(日) 19:31:39.53ID:z6BL7vg2
>>573-580
色々とすみませんでした。
プログラムの説明不足でした。

584132人目の素数さん2018/07/29(日) 19:36:14.28ID:oePH1MMB
どうでもいいことだけど、いま私のメインマシンが壊れていて
古いノートPC(32bit OS)使ってます。
githubにあげてもらったexeは64bit版ですかね?動きませんでした。
私はソースのほう使ってるのでそれでも大丈夫ですが。

585前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/07/29(日) 21:59:54.79ID:sVL1UhWV
・コラッツ展開の表記は元のまま。縦の並び順だけを変えている。
・2進数表記は反転させている。
という状態みたいですね。

2進数表記を変えると混乱を招きそうなので
コラッツ展開の方を反転させた方がいいかも?。
つまり
("0000000000","0000000000",1024)
("0000000001","0101010101",341)
("0000000010","1010101010",682)
("0000000011","0011100011",227)
("0000000100","0101010100",340)


と出力させる感じで。

586righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/07/31(火) 21:40:25.63ID:RSiZq6mC
       |
   \  __  /
   _ (m) _ピコーン
      |ミ|
    /  `´  \
     ('A`)
     ノヽノヽ
       くく

587righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/07/31(火) 22:16:53.79ID:RSiZq6mC
コラッツ展開の一部が、コラッツ値の2進表示下位nビットと一致するなら、
「コラッツ展開の一部を2進数で覆う」と言う事にします。

例を挙げます。
9',14,7',11,17,26',13,20',10,5,8,4',2,1,...
1' 0 1' 1 1 0' 1 0' 0 1 0 0' 0 1

9'
1' 0 (0 1) 2進
7'
1' 1 1 2進
26'
0' 1 (0 1 1) 2進
20'
0' 0 1 0 (1) 2進
4'
0' 0 1 2進
繋げると1' 0 1' 1 1 0' 1 0' 0 1 0 0' 0 1になります。
この後の0,1の繰り返しは2の2進数01で覆えます。

588righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/07/31(火) 22:20:11.18ID:RSiZq6mC
そして、
「コラッツ展開を、下位2ビット以上の2進数の連結で覆い尽くせる」→「コラッツ操作で1に辿り着く」
が言えれば良いと思うのです。

589132人目の素数さん2018/07/31(火) 23:08:52.93ID:M/YYnaxA
ん、よくわからん。
前786さん、わかります?

590前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/08/01(水) 13:01:17.37ID:p3PictoW
どういう操作をしてるかはなんとなく分かりましたけど、
なんかNGワードがあるとかで書き込めないので画像にて失礼。
https://i.imgur.com/uYeyPKq.png

そこからの>>1さんの主張は私もはっきりとはわかりませんが、
「常に 2 ビット以上覆う」ということを利用してコラッツ予想を証明できないか、みたいな感じでしょうか。

591righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/08/02(木) 10:26:14.57ID:dbqVsLkv
>>590
そうです、こんな感じです。
(確かに26は3ビット覆えますね)

592righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/08/04(土) 14:45:23.85ID:T94V2xDI
うまくいきませんでした。

593132人目の素数さん2018/08/06(月) 20:24:49.16ID:msOD46p7
登って下がってというループで山が四つくらいまでのループは無いらしいが、この方面では難しそうだ
Zudilin あたりが書いた 超越数の≪(3/2)^n≫ あたりからなんか言えんかね
ABC が絡むような話もどこかにあったような気がするのは気がふれたみたいだからさようなら

594righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/08/08(水) 20:15:08.57ID:owzSvaKk
ちょっと思い出話でも。
自分がスレを立てる前のコラッツスレに、
「割数列」というものがありました。

コラッツ操作で2で割った回数を並べます。
これを割数列と名付けます。
例えば9の場合は、コラッツ列は
9,28,14,7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1
ですから割数列は
[2,1,1,2,3,4]
となります。

初期値が3の倍数の割数列を完全割数列と名付けます。
(コラッツ予想は3の倍数だけ調べれば良いのは周知です)
9[2,1,1,2,3,4]は完全割数列です。
7[1,1,2,3,4]はふつうの割数列です。

595前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/08/08(水) 22:53:01.75ID:4mjRQHYS
(割数列の話を始めたのも私だったり)

596righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/08/08(水) 23:11:14.38ID:owzSvaKk
マジっすか!?

597righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/08/08(水) 23:29:36.29ID:owzSvaKk
star変換というものがありました。
(名前は勝手に僕がつけました)

長さnの完全割数列→長さn+1の完全割数列
まず、長さnの完全割数列を、初項に0をつけたn+1型で表す。
長さnの完全割数列でできる最終値を9で割ったあまりが・・
3 ・・ A:[6,-4]orB:[1,-2]をつける
6 ・・ C:[4,-4]orD:[3,-2]をつける
0 ・・ E:[2,-4]orF:[5,-2]をつける
元の初項が負になる場合はあらかじめG:[+6]をおこなう。


21≡3(mod 9) 21[0,6]
このとき、21[6,6-4]と3[1,6-2]が存在する。

598前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/08/08(水) 23:56:36.04ID:4mjRQHYS
いやあ、懐かしいですねぇ

ちなみに割数列とコラッツ展開は密接に関係しています。
実はコラッツ展開は、割数列から派生して得られたものだったりします。

例えば 9 のコラッツ展開は
 1,0,1,1,1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,…
ですが、このとき 1 が現れてから次の 1 が現れるまでの項数を見ていくと
 2,1,1,2,3,4
となり、これが割数列に一致します。

599righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/08/09(木) 00:04:34.00ID:h30rXcjy
なるほど。そんな歴史があったのですね。

600righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/08/09(木) 05:30:13.84ID:h30rXcjy
>>597
前スレで、「全てのstar変換後の完全割数列は、全ての3の倍数の奇数を尽くす」事を証明しました。

しかし、後ろに無限に長く、base caseである21[6]にたどり着かない
完全割数列を排除できなくて、その時は挫折しました。

601righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/08/09(木) 23:59:53.30ID:h30rXcjy
star変換後に、割数列の要素が0や負になる事は禁止していますが、
これを認めたらどうなるでしょうか。
2つほど試してみます。

9[2,1,1,2,3,4]
↓ F[5,-2] y=8x/3-3
21[5,0,1,1,2,3,4]
・確認の計算
割数列を逆から辿る。4->3->2->1->1まででコラッツ値は7だから
(7*2^0-1)/3 = 2
(2*2^5-1)/3 = 21 辻褄は合ってます

15[1,1,1,5,4]
↓ C[4,-4] y=x/3-2
3[4,-3,1,1,5,4]
・確認の計算
割数列を逆から辿る。4->5->1->1まででコラッツ値は23だから
(23*2^-3-1)/3 = 5/8
((5/8)*2^4-1)/3 = 3 辻褄は合ってます

どちらも、コラッツのルールからは外れるけれども、
(3x+1)/2^pの計算自体は出来ているようです。

602righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/08/10(金) 00:28:24.11ID:tK64NAzp
全ての場合でうまくいく訳ではありません。
star変換それぞれについて見てみます。

・3 mod 9
A[6,-4] y=4x/3-7 x=3+9t ⇒ y=3(4t-1) t=0は禁止する
B[1,-2] y=x/6-1/2 x=3+9t ⇒ y=3t/2 t:奇数は禁止する
・6 mod 9
C[4,-4] y=x/3-2 x=6+9t ⇒ y=3t t=0は禁止する
D[3,-2] y=2x/3-1 x=6+9t ⇒ y=3(2t+1) オールオッケー
・0 mod 9
E[2,-4] y=x/12-3/4 x=9t ⇒ y=(3/4)(t-1)
               t-1が4の倍数でない時禁止する
F[5,-2] y=8x/3-3 x=9t ⇒ y=3(8t-1) オールオッケー


変換後のコラッツ値が、0や負や分数になるものを禁止すれば、
この変換は、3の倍数から3の倍数に写ります。
これで得られる割数列を「拡張完全割数列」「拡張コラッツ予想」と呼ぶ事にします。

603righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/08/10(金) 23:41:44.61ID:tK64NAzp
拡張完全割数列のうちで、後ろに無限に長く、base caseである21[6]にたどり着かない、
最小反例を考えます。
この割数列にstar変換を施したものも、後ろの方は変わっていないので、反例です。
この反例が最小反例よりも小さければ、矛盾を引き出すことができます。
こういう目論見です。

604righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/08/13(月) 15:49:38.48ID:7T5v8z4w
考えていた物と別の証明が浮かんだので、そっちを書きます。
>>603の最小反例に、コラッツ値が偶数のものはありません。
2で割るとさらに小さくなるからです。
ということは、拡張完全割数列でコラッツ値が偶数のものは有限項です。
これに、star変換を逆に施した、普通の完全割数列も有限項(1に辿り着く)ということです。

605righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/08/13(月) 15:53:03.94ID:7T5v8z4w
普通の完全割数列に、star変換を施して、変換後のコラッツ値が偶数になるものを見てみましょう。
・3 mod 9
各star変換 変換関数 返還前 変換後
A[6,-4] y=4x/3-7 x=3+18t ⇒ y=24t-3 偶数はない
B[1,-2] y=x/6-1/2 x=3+18t ⇒ y=3t t:偶数でyは偶数 ⇒ x=36t+3は有限項
・6 mod 9
C[4,-4] y=x/3-2 x=15+18t ⇒ y=6t+3 偶数はない
D[3,-2] y=2x/3-1 x=15+18t ⇒ y=12t+9 偶数はない
・0 mod 9
E[2,-4] y=x/12-3/4 x=9+18t ⇒ y=(3/2)t t:4の倍数でyは偶数 ⇒ x=72t+9は有限項
F[5,-2] y=8x/3-3 x=9+18t ⇒ y=48t+21 偶数はない

606righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/08/13(月) 16:12:32.34ID:7T5v8z4w
コラッツ値x=36t+3とx=72t+9は1にたどり着く事が分かりました。
(3と9は手計算で、ということにしましょう)
ここで思ったのですが、このパターン、剰余コラッツ予想で解かれてなかったっけ!?

>>4
>前スレ>>786の予想は、以下の場合に証明できています。
>・n は 83 以下の奇数, k は任意
36は81に帰着されるので有効、
72は243なので今のところout

607righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/08/14(火) 15:24:26.87ID:jD9M+OTo
偶数は「最小でない反例」の可能性があるのですね。
失礼しました。
>>604-606は無しでお願いします。

608righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/08/15(水) 13:30:28.73ID:GlbaFw1x
>>603を証明します。

拡張完全割数列のうちで、後ろに無限に長く、base caseである21[6]にたどり着かない、 
最小反例cを考えます。
「cは奇数」であり、「c≠3」「c≠9」とします。
「c≡3 mod 9」「c≡6 mod 9」「c≡0 mod 9」で場合分けをします。

・c≡3 mod 9のとき
  star変換B[1,-2]をおこないます。変換関数はy=c/6-1/2
  入力は
   c=9t+3 (t≦0) から始めて
   cは奇数なので c=18t'+3 (t'≦0)
   cは3ではないので c=18t'' +21 (t''≦0)
  変換関数に代入すると
   y=3t'' +3 < c  より小さい反例が得られました。

・c≡6 mod 9のとき
  star変換D[3,-2]をおこないます。変換関数はy=(2/3)c-1
  入力は
   c=9t+6 (t≦0) から始めて
   cは奇数なので c=18t'+15 (t'≦0)
  変換関数に代入すると
   y=12t' +9 < c  より小さい反例が得られました。

609righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/08/15(水) 13:33:56.44ID:GlbaFw1x
・c≡0 mod 9のとき
  star変換E[2,-4]をおこなうと、分数になる場合があります。
  なので入力を分割します。
   c=9t+9 (t≦0) を
    c1=36t'+9 (t'≦0)  9を除いて36t'' +45 (t''≦0)
    c2=36t'+18 (t'≦0)  偶数なので除外
    c3=36t'+27 (t'≦0)
    c4=36t'+36 (t'≦0)  偶数なので除外

   ・c1のときはE[2,-4]をおこなう
     y=c1/12-3/4 = 3t'' +3 < c1  より小さい反例が得られました。
   ・c3のときは、以下をそれぞれF後のmod9に応じておこないます。
     F → C  (1/3)((8/3)c3-3)-2 = (8/9)c3 -3 < c3
     F → B  (1/6)((8/3)c3-3)-1/2 = (4/9)c3 -1 < c3
     F → E  (1/12)((8/3)c3-3)-3/4 = (2/9)c3 -1 < c3
       どの場合も、より小さい反例が得られました。

 なお、F → Eのときは循環する可能性がありますが、
 y=(8/3)(27+36t')-3 = 72+96t'-3 = 27+ 42+96t'
  42+96t' = 36t'' とおくと、一次不定方程式になりますが、
  42はgcd(96, 36)=12 の倍数ではないので、この式は整数解を持ちません。
  よって、27+36t' ―F→ 27+36t'' になることはありません。


いずれの場合も、より小さい反例が得られたので、
最小反例cは存在しません。

610righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/08/15(水) 13:38:16.32ID:GlbaFw1x
拡張完全割数列に対して、無限項のものがないと分かりました。
よって、全ての項が正である、通常の完全割数列に限定しても、無限項のものはありません。
以上より、全ての3の倍数の奇数は、1に辿り着くことが言えました。

611132人目の素数さん2018/08/15(水) 16:53:18.16ID:GLWugf1o
えっ
ちょい待ち
全ての6n-3が1を含む枝に属する事が証明できた?
コラッツ予想の証明完了じゃん

612righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/08/15(水) 17:00:20.05ID:GlbaFw1x
>>611
そうなりますねぇ......

613132人目の素数さん2018/08/15(水) 23:30:39.14ID:kdLKmBaZ
マジで?
記念パピコ

614前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/08/16(木) 00:57:42.04ID:M+raKM1N
>>608で、c=18t''+21 から y=3t''+3 への変換で
対応する割数列の変換が本当に B[1,-2] になってるかが怪しいような。

615righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/08/16(木) 05:27:05.36ID:TWEwRPxI
>>614
c=18t''+21 ーB[1,-2]→ y=3t''+3 を
先頭5個を手計算してみました。

21[0,6] → 3[1,4]
39[0,1,1,2,1,... → 6[1,-1,1,2,...
57[0,2,1,2,2,... → 9[1,0,1,2,...
75[0,1,2,8] → 12[1,-1,2,8]
93[0,3,1,5,4] → 15[1,1,1,5,4]

ひとまずうまくいっているようです。

616righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/08/16(木) 07:46:18.73ID:SnTp/ir+
c≡0 mod 9のときに不備がありそうです。
調査します。

617前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/08/16(木) 10:23:39.87ID:M+raKM1N
0 や負の項を許しているのを失念していました。
ただそうすると、一つの数に対して複数の数列が対応することになります。

c=18t''+21 の割数列に変換 B[1,-2] を施すと、y=3t''+3 の拡張完全割数列の一つが得られますが、
それは y=3t''+3 の通常の割数列と同じとは限らず、通常の割数列が無限に長いとは言い切れない、
すなわち反例になっているとは言い切れないと思います。

618righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/08/16(木) 13:10:13.37ID:1OdknrZ/
うーむ……
もうちょっと考えてみます。

619132人目の素数さん2018/08/17(金) 03:14:56.80ID:vsonpbq1
せっかく解けない問題があるんだから、何かに使えないんでしょうか

数独のようなパズルを作る
乱数を作る
暗号システムを作る

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