コラッツ予想がとけたらいいな その2

1righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/10(木) 22:10:23.74ID:ogyKPvh0
コラッツ予想に挑戦するスレです。

前スレ コラッツ予想がとけたらいいな
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1350178359/

>>1の証明(未検証)
https://github.com/righ1113/collatzProof

それより弱い成果もあります(未検証)
コラッツのループはあるとしてもとても長い
https://github.com/righ1113/collatzLongLoop

2righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/10(木) 22:12:02.92ID:ogyKPvh0
今は前スレ>>786氏の予想を検証しています。

自然数aに対し、集合T(a)を
T(a)={b∈N|aとbはコラッツ操作によって同じ数に到達する}
と定める。
T(a)の形の集合を木と呼ぶ。
コラッツ予想が真であることは、自然数全体が1つの木をなすことと同値である。
で、次のように予想した。
予想
Tを木とし、n,kを自然数とする。
このとき、あるa∈Tが存在してa≡k(mod n)が成り立つ。

あるn,kについて予想が正しければ、
「コラッツ予想はa≡k(mod n)を満たす自然数aが初期値の場合だけ調べればいい」

3132人目の素数さん2018/05/10(木) 22:17:20.64ID:vsrY1r+A
>>1

4前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/10(木) 23:48:07.63ID:Ws8+Hi53
前スレ>>786の予想は、以下の場合に証明できています。
以下、0≦k≦n-1 とします。
・n=1,k=0
・n=3^e, e∈N, k は任意
・n が 5 以上の素数、Z/nZ において 2 が原始根、k≠0
・n が 5 以上の素数、Z/nZ において 2 が原始根、n≡2 (mod 3), k=0
・n は 83 以下の奇数, k は任意 (righ1113氏のプログラムによる検証)

また、次が分かっています。
・m∈N とする。もし n=3m の場合に任意の k で予想が正しければ、n=2m の場合も任意の k で予想は正しい。
これにより、n が偶数の場合は n が奇数の場合に帰着されます。

5前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/10(木) 23:53:50.84ID:Ws8+Hi53
あれ、コピペが抜けてた。
>>1

6132人目の素数さん2018/05/11(金) 00:02:28.46ID:lDGPA2LH
自己満足しました

7前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/11(金) 20:23:02.52ID:OFsS5uwl
アルゴリズムのどこに無駄があったのかという話

(前スレ>>967の出力結果を参照してください)
詳しい理屈は後で述べますが、例えば n=15 でいうと
(3) のところは A3 と B1 の組を探す必要がありません。
さらに、A'=A3 としたときの C は [5,10,…] の方のグループは不要です。
新しい方のアルゴリズムでは、このあたりを除いています。


以下、詳しい理屈。

例えば n=15, k=5 の証明をしたいとします。
まずは普通に進めます。

〜〜〜〜〜〜〜〜〜

T を木とし、3 の倍数でない b∈T を任意に取る。

(i) b≡5,10 (mod 15) の場合
b≡5 (mod 15) または 2b≡5 (mod 15) なのでOK。

〜〜〜〜〜〜〜〜〜

次に b が 5 の倍数でない場合ですが、この場合
「偶数から 1 引いて 3 で割る」によって 5 か 10 を作るという方針で考えます。
逆に 5, 10 に 3 をかけて 1 を加えると、それぞれ 16, 31 になるので、
T が mod 45 で 16 か 31 である数を含めばよいことになります。

ここで、Z/45Z の 3 の倍数でも 5 の倍数でもない元をアルゴリズム (1) のようにグループ分けすると
 B0=[1,2,4,8,16,17,19,23,31,32,34,38],B2=[7,11,13,14,22,26,28,29,37,41,43,44]
となります。
16,31 は B0 に属していることが分かります。

以上の操作は、アルゴリズムでいうところの
 A3=[5,10] と B の組をつくる
という部分にあたります。結果として、(A3,B0) という組が得られます。
上で見た通り、A3 と B1 の組ができるかどうかはそもそも考える必要がありません。
ここに無駄がありました。

8前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/11(金) 20:23:37.57ID:OFsS5uwl
証明は次のように進みます。

〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜

(ii) b が mod 45 で B0={1,2,4,8,16,17,19,23,31,32,34,38} に属する場合
b に何度か 2 をかけると mod 45 で 16 になるので、
そこから 1 を引いて 3 で割ることによって、mod 15 で 5 である元を得る。

〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜

あとは mod45 で B2 に属する元について調べるのみです。
B2 の元は mod 135 では
 C1=[7,11,13,14,22,26,28,29,37,41,43,44,52,56,58,59,67,71,73,74,82,86,88,89,97,101,103,104,112,116,118,119,127,131,133,134]
に含まるので、ある B0 の元に 3 をかけて 1 を加えて C1 に属せばOKです。
実際、2∈B0, 2*3+1=7∈C1 なので、証明が完了します。

ここの操作は、アルゴリズムでいうところの
B2=[5,10] と C の組をつくるという部分にあたります。
ここでも B2 と C0 の組ができる必要はありませんが、アルゴリズムではそのような組を探してしまっています。

ちなみに証明の残りの部分は次のようになります。

〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜

(iii) それ以外の場合
b に何度か 2 をかけると mod 135 で 7 になるので、
そこから 1 を引いて 3 で割ることによって、mod 45 で 2 である元を得る。
あとは(ii)に帰着される。□

〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜

新しいアルゴリズムでは、先に A' を決めておくことによって
必要なグループのみ扱うようにしています。

9132人目の素数さん2018/05/11(金) 20:56:06.22ID:b0n49LZW
俺はあんまり素数についてのノウハウ知らないんだよね。
素数のノウハウあれば「n=q,n=qで予想が成り立つ」から「n=pqで予想が成り立つ」へ繋げるアイディアももっと湧くのかもしれない、等と思ったり。

10132人目の素数さん2018/05/11(金) 21:47:49.08ID:b0n49LZW
とりあえず、目の前に大量のデータがあるわけだけど、
こういうのから何か法則を見出すのって、コツとかあるのかな

11前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/11(金) 23:35:34.41ID:OFsS5uwl
とりあえず 5 以上の奇数を次のように分類してみる。

@素数かつ 2 が原始根かつ mod 3 で 2:5,11,29,53,59,83,…
A素数かつ 2 が原始根かつ mod 3 で 1:13,19,37,61,67,…
B素数かつ 2 が原始根でない:7,17,23,31,41,43,47,71,73,79,89,97,…
C合成数:15,21,25,33,35,39,45,49,51,55,57,63,65,69,75,77,85,87,91,93,95,99,…


@は任意の k で証明済み。

Aは n の倍数でない k で証明済み。
現行のプログラムでは、
・A' の候補は {0} のみ、
・B は 2 グループになり、A' と組ができる B は片方のみ
・C は 3 グループに分かれる
というところまでは確実。
その後どうなるか要検証。

Bはまだよく分からない。
とりあえず A は {0} 以外に複数のグループに分かれる、というぐらい。
もっと細かく分類する必要がありそう。

Cはもっと分からない。
これもさらなる分類が必要と思われる。

12132人目の素数さん2018/05/11(金) 23:57:27.27ID:b0n49LZW
ふーむ、まずは分類ですか。
まあいきなりきれいな法則は見つかりそうにないし、正しい方針かも。

13righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/11(金) 23:58:26.25ID:SBH2/eHc
プログラミングは3割ぐらい進みました。
あと2,3日には出来ると思います。
アルゴリズムも進化して、こちらもコーディングのやりやすさを感じています。

14前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/12(土) 01:03:18.42ID:xLUYWUsP
あ、3 の累乗は証明済みなので、>>11では抜いてあります。

15132人目の素数さん2018/05/12(土) 01:06:51.91ID:fD/walWV
なんかこの予想に名前つけたいですね。
名前あったほうが議論しやすいですよね?
>>786なにか名前考えてもらえませんか?

16132人目の素数さん2018/05/12(土) 01:19:48.51ID:fD/walWV
なんかこの予想が肯定的に解決するなら素因数分解が多項式時間でとけちゃうとか、重大な結果に繋がったりしないかな?w

17132人目の素数さん2018/05/12(土) 02:27:14.92ID:fD/walWV
離散対数問題とか絡んできそうな気が若干する

18righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/12(土) 04:55:29.69ID:+tHVZn3R
ジェバンニが一晩でやってくれました
*Main> main
5以上の奇数nを入力してください
7
A : [[0],[1,2,4],[3,5,6]]

[0]
B : [[1,2,4,8,11,16],[5,10,13,17,19,20]]
(4) tuple : [(0,Just 0)]
一度も現れなかったBi : [1]

C : [[5,10,17,20,34,40],[13,19,26,38,41,52],[31,47,55,59,61,62]]
(6) tuple : [(1,Nothing),(2,Nothing),(4,Just 1),(8,Nothing),(11,Just 0),(16,Nothing)]
一度も現れなかったCi : [2]

C' : [[31,47,55,59,61,62,94,110,118,122,124,125,157,173,181,185,187,188]]
(6)' tuple : [(5,Nothing),(10,Just 0),(17,Nothing),(20,Just 0),(34,Nothing),(40,Nothing),(13,Nothing),(19,Nothing),(26,Nothing),(38,Nothing),(41,Just 0),(52,Just 0)]
一度も現れなかったCi' : []

[1,2,4]
B : [[5,10,13,17,19,20],[1,2,4,8,11,16]]
(4) tuple : [(1,Just 1),(2,Nothing),(4,Just 0)]
一度も現れなかったBi : []

[3,5,6]
B : [[1,2,4,8,11,16],[5,10,13,17,19,20]]
(4) tuple : [(3,Just 1),(5,Just 0),(6,Just 1)]
一度も現れなかったBi : []
プログラムは正常終了しました。
*Main>

19132人目の素数さん2018/05/12(土) 09:10:52.54ID:fD/walWV
おお、乙です。

20前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/12(土) 10:47:03.59ID:xLUYWUsP
>>18
はやいw
乙です。

(6) でいちいち全部出力すると後々大変なことになりそうな予感。
もちろんデータが多いのは利点でもあるけど、うーむ

21前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/12(土) 10:55:50.38ID:xLUYWUsP
>>15
剰余コラッツ予想(Residue Collatz Conjecture)とかですかね。
英語で書くとそれっぽく見える不思議。

22132人目の素数さん2018/05/12(土) 16:47:33.40ID:fD/walWV
初代プログラムで121試したら一晩かけても答えでなかったのに2代目だと一瞬で出たんだが?
そんなにパフォーマンス変わってる?
それとも初代で1晩かかったのがおかしいの?

23righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/12(土) 17:25:28.39ID:jylFM2dv
>>22
かなりの高速化に成功しています。
あと実は、初代ではn=85などでうまくいかない不具合がありました。二代目では直っています。

24132人目の素数さん2018/05/12(土) 17:56:15.06ID:fD/walWV
ほう、そいつは素晴らしい

25132人目の素数さん2018/05/12(土) 18:02:57.93ID:fD/walWV
ここのところスレとして毎日なにかしらの成果が挙がってる感じですが
そろそろ停滞しはじめてもおかしくない時期ですかね?
なにか壁がありそうな予感。

26前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/12(土) 19:04:42.48ID:xLUYWUsP
>>22>>23
初代プログラムでは、上に書いた通り本来探す必要のない組を探す必要がありました。
なので多分、その「本来探す必要のない組」の中に「どう頑張っても得られない組」が混ざっていたんだと思います。
出力結果を見せていただければはっきりすると思いますが、
まあ旧版の話なのでそこまで調べる必要も無いですかね。

こういうことが起こる可能性があるということは早くから気づいていて、
実はその解消のため作ったのが二代目です。
なので、初代に不具合があったと聞いてむしろ安心しました。
そうでないと二代目を作った意味がないのでw

それにしても、体感できるほど速度が上がるというのは想定以上ですね。
もしよければ、また出力結果をまとめてアップしてくれると嬉しいです。

27132人目の素数さん2018/05/12(土) 19:19:24.68ID:fD/walWV
うーんまだアルゴリズムをしっかり理解できてないな。
まずはそこからか…

28righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/12(土) 19:24:14.47ID:jylFM2dv
>>20
Nothing消します?重要でない情報なら。

29前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/12(土) 21:48:00.59ID:xLUYWUsP
>>28
今のは今ので残しておいて、別バージョンとして例えば
(4) では得られた B のみ、(6) では得られた C のみ
という風に出力するのは作れるでしょうか。
アルゴリズムを進めるにはその情報だけで十分なので。

それで、大量の n を調べるときは別バージョン、
個別の n を調べるときは今のという風に使い分けていければ一番良いと思います。

30righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/12(土) 23:42:46.59ID:Qz4XKKj5
>>29なるほど良いアイデアですね。
ではそのように。

31righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/13(日) 13:22:27.62ID:Nz2Y2iKL
大量実行バージョン作りました。ノーマルとの違いは2点です。
・(4)では得られたBのみ、(6)では得られたCのみ出力
・初期値nをコマンドライン引数で入れる
  > CollatzMod02Bigdata 85 のように使います。

ログは5から99、101から199まで取ってみました。
両方とも5分以内で実行できました。
https://github.com/righ1113/CollatzMod/tree/master/%E4%BA%8C%E4%BB%A3%E7%9B%AE

32前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/13(日) 14:48:12.95ID:0JEK0/oR
>>31
乙です。

とりあえずざっと見たところ、ほとんどの処理が C' までで終わってますね。
C'' で検索すると 合わせて 4 つしか出てこない (73, 85, 127, 133)。
C''' まで出てくることはあるんだろうか。

33前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/13(日) 16:45:43.20ID:0JEK0/oR
よく見たら想定した挙動とちょっと違うような…
「3 の倍数でも n の倍数でもなく、mod n で見た時 A' に属さない」の
「mod n で見た時 A' に属さない」の部分が上手く判定できてないかもしれない。

例えば前スレ>>989の例を見ると、
A'={1,2,4} としたとき B は {5,10,13,17,19,20} だけ出力されるとなっていますが
>>18 では
B : [[5,10,13,17,19,20],[1,2,4,8,11,16]]
と二組出力されています。

ちょっと見てみてもらえませんか?
これが直ればさらに速度も上がると思います。

34righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/13(日) 17:37:11.27ID:Nz2Y2iKL
>>33
これが正しい出力ですかね。
*Main> main
5以上の奇数nを入力してください
7
A : [[0],[1,2,4],[3,5,6]]

[0]
B : [[1,2,4,8,11,16],[5,10,13,17,19,20]]
(4) tuple : [(0,Just 0)]
一度も現れなかったBi : [1]

C : [[5,10,17,20,34,40],[13,19,26,38,41,52],[31,47,55,59,61,62]]
(6) tuple : [(1,Nothing),(2,Nothing),(4,Just 1),(8,Nothing),(11,Just 0),(16,Nothing)]
一度も現れなかったCi : [2]

C' : [[31,47,55,59,61,62,94,110,118,122,124,125,157,173,181,185,187,188]]
(6)' tuple : [(5,Nothing),(10,Just 0),(17,Nothing),(20,Just 0),(34,Nothing),(40,Nothing),(13,Nothing),(19,Nothing),(26,Nothing),(38,Nothing),(41,Just 0),(52,Just 0)]
一度も現れなかったCi' : []

[1,2,4]
B : [[5,10,13,17,19,20]]
(4) tuple : [(1,Nothing),(2,Nothing),(4,Just 0)]
一度も現れなかったBi : []

[3,5,6]
B : [[1,2,4,8,11,16]]
(4) tuple : [(3,Nothing),(5,Just 0),(6,Nothing)]
一度も現れなかったBi : []
プログラムは正常終了しました。

35前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/13(日) 17:57:57.52ID:0JEK0/oR
>>34
これなら想定通りです。
てっきり「mod n で見た時 A' に属さない」を入れたおかげで早くなったのだと思っていたんですが。
そうじゃなかったんですね。

36righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/13(日) 18:08:42.61ID:Nz2Y2iKL
>>35
初代が遅かった原因は、自分のコーディングのまずさにあったと思っています。

プログラム、アップロードしました。失礼しました。

37righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/13(日) 20:06:20.61ID:Nz2Y2iKL
>>32
n=455でC'''が出てきました。
大量出力でしたが、ログを取りました。
https://github.com/righ1113/CollatzMod/blob/master/%E4%BA%8C%E4%BB%A3%E7%9B%AE/n%3D455.txt

38132人目の素数さん2018/05/13(日) 20:33:55.94ID:EEZthzcB
そんなデカい数まで走らせられるのか
凄いな

39righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/13(日) 21:01:46.58ID:pZHBmlYZ
1つ実行するのに20分ぐらいかかったので、
ここいらへんが限界のようです。

40前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/13(日) 22:47:57.50ID:0JEK0/oR
>>37
やっぱ出ましたか。
こうなると理論上はいくらでも長くなりそう。

455=5*7*13
(Z/5Z)*, (Z/7Z)*, (Z/13Z)* それぞれで 2 の位数は 4, 3, 12
(Z/455Z)* での 2 の位数はその最小公倍数である 12

n がたくさんの素因数を持てば持つほど、また、2 の位数が小さければ小さいほど最初の Z/nZ の分割が多くなるので
わりと納得の結果です。

41前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/15(火) 23:42:53.44ID:zc4kBs+0
証明がちょっと進んだけど
余白が……ではなく時間が足りない。

42132人目の素数さん2018/05/16(水) 00:14:21.05ID:Ux+htuCY
ほう、ちょっとづつだとしても毎日前進してるというのは凄いですな。
アイディアだけでも先行で聞かせてほしい。

43前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/16(水) 00:15:54.58ID:/MdEF5MU
とりあえず状況の整理だけ

n が素数 p である場合を考える。
(Z/pZ)* において 2 が生成する部分群の指数ごとに素数を分類する。
(高校数学の言葉でいえば、2^n≡1 (mod p) となる最小の正の n に対し、(p-1)/n で定まる値が指数である。)

5 以上 200 以下の素数は次の通り。
指数 1 だけは、さらに mod 3 で分けておく。


指数1, mod 3 で 2
5,11,29,53,59,83,101,107,149,173,179,197

指数1, mod 3 で 1
13,19,37,61,67,131,139,163,181

指数2
7,17,23,41,47,71,79,97,103,137,167,191,193,199

指数3
43,109,157

指数4
113

指数6
31

指数8
73,89

指数10
151

指数18
127


概ね指数が大きいほどアルゴリズムの計算量が増えることが見て取れる。
今回は、指数 2 の場合に部分的に予想が証明できた。

44132人目の素数さん2018/05/16(水) 00:22:01.01ID:Ux+htuCY
ほほう、>>786は群論の知識があるのか。
俺にはないorz.

45132人目の素数さん2018/05/16(水) 00:24:30.33ID:Ux+htuCY
でもまあ着実に外堀が埋まっていってる感じですかね?

46132人目の素数さん2018/05/16(水) 20:58:53.07ID:Ux+htuCY
群論的な観点でいえば合成数の場合を素数の場合に帰着する望みはありそうなんですか?

47前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/16(水) 23:09:35.30ID:/MdEF5MU
>>46
n と m が互いに素であるとき Z/mnZ は (Z/mZ)×(Z/nZ) に同型なので
何かしら関連付けることはできるかもしれませんが、
完全に帰着させるのは難しそうというのが正直なところ。

これには根拠がありまして、プログラムの出力結果を見ると
例えば n=35 にかかった計算量は
n=5 と n=7 の計算量の合計よりかなり多いということが見て取れます。
そうすると、n=35 を n=5 と n=7 に帰着させるのは苦しいんじゃないかなあと思うわけです。

48132人目の素数さん2018/05/16(水) 23:17:00.63ID:Ux+htuCY
>>47
ふーむそうなのか。
ありがとうございます。
先は長そうですな。

49前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/16(水) 23:32:04.61ID:/MdEF5MU
このままだと、場合分けが延々と広がって収拾がつかなくなる、
といういつもの感じになりそうな雰囲気がぷんぷんしますけどね。


とりあえず示せたのはこちら。

定理
>>43において指数が 2 であり、かつ p≡3 (mod 4) のとき、
k=1,2,…,p-1 に対して予想が成り立つ。

証明は後日。

50132人目の素数さん2018/05/16(水) 23:38:41.29ID:Ux+htuCY
mod 4 ですか? 意外な数字がでてきましたね。
まあ、証明を楽しみに待ちます。

51前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/20(日) 00:54:51.37ID:Cf9ohYZi
途中まで。

p は 5 以上の素数で Z/pZ において 2 の生成する部分群の指数が 2 であり、p≡3 (mod 4) と仮定する。

乗法群 (Z/pZ)* において、2 で生成される部分群を A1 とし、
A1 に属さない元の全体を A2 とおく。
指数が 2 という仮定より |A1|=|A2|=(p-1)/2。

補題1
(1) A1 は (Z/pZ)* における平方数全体の集合に一致する。
(2) A2 は (Z/pZ)* において λ*(平方数) の形で表せる元全体の集合に一致する。ただし λ は平方数でない任意の (Z/pZ)* の元。

証明
(1) Z/pZ の原始根の一つを α とする。
ある d で α^d≡2 (mod p) となる。
両辺を (p-1)/2 乗すると
 α^(d(p-1)/2)≡1 (mod p)
α の位数は p-1 だから、d(p-1)/2 は p-1 の倍数。
よって d は偶数。α^d≡2 (mod p) より 2 は平方数である。

A1 の元は 2 の累乗なので全て平方数。
A1 の要素数は (p-1)/2、(Z/pZ)* の平方数の個数も (p-1)/2 なので、
A1 は平方数全体に等しい。

(2) Z/pZ の原始根の一つを α とする。
A1 は α の偶数乗全体なので、A2 は α の奇数乗全体。
λは平方数でないので、αの奇数乗。
よって λ*(平方数) もαの奇数乗。
したがって、λ*(平方数) の形の元は A2 に属する。
λ*(平方数) の形で表せる元は (p-1)/2 個。A2 の要素数も (p-1)/2 なので、
A2 はλ*(平方数) の形で表せる元全体に等しい。□

52前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/20(日) 00:55:45.58ID:Cf9ohYZi
次に (Z/3pZ)* におけるグループ分けを考える。
そのために 2 の位数を考える。
(Z/3pZ)* は (Z/3Z)*×(Z/pZ)* に同型で、
(Z/3Z)*, (Z/pZ)* それぞれにおいて 2 の位数は 2, (p-1)/2。
p≡3 (mod 4) より (p-1)/2 は奇数。
よって、(Z/3pZ)* における 2 の位数は 2, (p-1)/2 の最小公倍数である p-1。

一方、(Z/3pZ)* の要素の個数は 2(p-1)。
(Z/3pZ)* において 2 で生成される部分群を B1 とし
B1 以外の元全体を B2 とおくと、|B1|=|B2|=p-1。

補題2
3 の倍数でも p の倍数でもない整数 b に対し、
(1) b が mod 3p で B1 に属する ⇔ b が mod p で A1 に属する
(2) b が mod 3p で B2 に属する ⇔ b が mod p で A2 に属する

証明
(1)のみ示せば十分である。
まず b が mod 3p で B1 に属するとすると、ある d で
 b≡2^d (mod 3p)
と書ける。このとき b≡2^d (mod p) も成り立つので、b は mod p で A1 に属する。
したがって ⇒ が成り立つ。

ここで、射影 π:(Z/3pZ)* → (Z/pZ)* を考える。πは全射。
さらに (Z/3pZ)*, (Z/pZ)* の要素数がそれぞれ 2(p-1), p-1 であることから、πは2対1写像。
⇒ が成り立つことから π(B1)⊂A1 が成り立つが、要素数を比較して π(B1)=A1 を得る。
したがって ⇔ が成り立つ。□

53前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/20(日) 00:56:31.04ID:Cf9ohYZi
補題3
λを平方数でない (Z/pZ)* の元とする。
x,y についての 4 つの方程式
(a) x^2+1≡y^2 (mod p)
(b) x^2+1≡λy^2 (mod p)
(c) λx^2+1≡y^2 (mod p)
(d) λx^2+1≡λy^2 (mod p)
が、(Z/pZ)* に解を持てば、n=p, k=1,…,p-1 の場合に予想が成り立つ。

証明
・k が mod p で A1 に属する場合

T を木とし、3 の倍数でも p の倍数でもない b∈T を任意に取る。
b は mod p で A1 か A2 のいずれかに属するが、A1 の場合は
 b*2^d≡k (mod p)
となる d が存在するのでOK。

b が mod p で A2 に属するとする。b は mod 3p で B2 に属する。
このときは、
 「ある c∈A1 が存在して 3c+1∈B2」 …(*)
が成り立てば予想が成り立つ。
補題1,2 より、条件(*)は
 3x^2+1≡λy^2 (mod p)
を満たす x,y∈(Z/pZ)* が存在することと同値。
この方程式は、3 が Z/pZ で平方数なら
 x^2+1≡λy^2 (mod p)
と同値であり、3 が Z/pZ で平方数でなければ
 λx^2+1≡λy^2 (mod p)
と同値である。

・k が mod p で A2 に属する場合

上の場合において、A1 と A2, B1 と B2 を入れ替えれば同様に議論でき、
「ある c∈A2 が存在して 3c+1∈B1」 …(**)
が成り立てば予想が成り立つ。
補題1,2 より、条件(**)は
 3λx^2+1≡y^2 (mod p)
を満たす x,y∈(Z/pZ)* が存在することと同値。
この方程式は、3 が Z/pZ で平方数なら
 λx^2+1≡y^2 (mod p)
と同値であり、3 が Z/pZ で平方数でなければ
 x^2+1≡λy^2 (mod p)
と同値である。□

54前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/20(日) 00:58:06.31ID:Cf9ohYZi
あとは方程式 (a)〜(d) の解の存在を示せばよい。
とりあえずここまで。

前にもあったけど、こうやって代数方程式に帰着できたのは個人的に面白いと思った。

55righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/20(日) 03:49:10.15ID:lv8XOQh3
ところで流れと関係ない質問ですが、
プログラムの3のところを5に変えたら、
5x+1問題を論じている事になりますか?

56前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/20(日) 09:48:45.09ID:Cf9ohYZi
>>55
なると思います。

57前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/20(日) 16:32:50.23ID:Cf9ohYZi
>>53の続き

補題4
λを平方数でない (Z/pZ)* の元とする。
x,y についての 4 つの方程式
(a) x^2+1≡y^2 (mod p)
(b) x^2+1≡λy^2 (mod p)
(c) λx^2+1≡y^2 (mod p)
(d) λx^2+1≡λy^2 (mod p)
は、(Z/pZ)* に解を持つ。

証明
以下、≡ を = で書くことにし、「mod p」は省略する。
まず (a) を考える。方程式は
 y^2-x^2=1
 (y+x)(y-x)=1
と変形できる。y+x=t とおくと、t≠0 で y-x=1/t である。
y+x=t
y-x=1/t
を x,y について解くと、x=(t^2-1)/(2t), y=(t^2+1)/(2t)
逆に t∈(Z/pZ)* が与えられたとき、t^2-1≠0, t^2+1≠0 であれば、上のように x,y を定めれば (a) の解になる。
t^2-1=0 となる t は t=±1 の2個。
t^2+1=0 となる t は存在しない (p≡3 (mod 4) より)。
よって、(a) は p-3 個の解を持つ。

次の方程式に移る前に、(a) の解に現れる x が何通りかを見ておく。
(x,y)=(x0,y0) をひとつの解とすると (x,y)=(x0,-y0) も解であり、
x0 を固定したとき対応する y は ±y0 しかない (y について 2 次方程式だから)。
よって、p-3 個の解には同じ x が2回ずつ現れるので、
x は (p-3)/2 通り。

58前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/20(日) 16:33:24.36ID:Cf9ohYZi
(b) x^2+1=λy^2 について考える。
(a) の解に現れる x は (p-3)/2 通りであった。
これはすなわち、x^2+1 が 0 でない平方数となるような x は (p-3)/2 通りあるということに他ならない。
x^2+1 は 0 にならないので、残りの (p-1)-(p-3)/2=(p+1)/2 個の x に対しては
x^2+1 は平方数でない数になる。
このとき x^2+1∈A2, したがって補題1より、ある y で x^2+1=λy^2 が成り立つ。
これは (b) の解である。
((b) の解が p+1 個であることも分かる)

(c)も(b)と同様に考えられる。
(a) の解に現れる y は、x と同様に (p-3)/2 通り。
したがって、y^2-1 が 0 でない平方数となるような y は (p-3)/2 通りある。
y^2-1 は y=±1 のとき 0 になるので、これも除いて残りの (p-1)-2-(p-3)/2=(p-3)/2個の y に対しては
y^2-1 は平方数でない数になる。
あとは (b) と同様に λx^2+1=y^2 の解を得る。
((c) の解は p-3 個ある)

(d)は(a)と同様に計算できる。方程式は
 y^2-x^2=1/λ
 (y+x)(y-x)=1/λ
と変形できる。y+x=t とおくと、t≠0 で y-x=1/(λt) である。
y+x=t
y-x=1/(λt)
を x,y について解くと、x=(λt^2-1)/(2λt), y=(λt^2+1)/(2t)
逆に t∈(Z/pZ)* が与えられたとき、λt^2-1≠0, λt^2+1≠0 であれば、上のように x,y を定めれば (d) の解になる。
λt^2-1=0 となる t は存在しない (λが平方数でないから)。
λt^2+1=0 となる t は 2 個 (-1,λが共に平方数でないから、-1/λ は平方数)。
よって、(d) は p-3 個の解を持つ。□

補題3,4によって以下が示された。

定理
p が 5 以上の素数で、Z/pZ において 2 の生成する部分群の指数が 2 であり、p≡3 (mod 4) であるとき、
n=p, k=1,…p-1 の場合に予想が成り立つ。

59前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/20(日) 16:36:22.12ID:Cf9ohYZi
あ、あと訂正。
>>43で「指数1, mod 3 で 1」の欄に 131 があるけど、
131 は「指数1, mod 3 で 2」の欄でした。

60132人目の素数さん2018/05/20(日) 17:38:06.32ID:faL44BH0
ぬおー複雑すぎてついていくのがしんどいorz
平方数がどうとかいうのは群論でも普通によく使われるテクニックなんですか?

61前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/20(日) 18:16:56.14ID:Cf9ohYZi
>>60
群論というより、どちらかというと整数論ですかね。
少なくとも自分はよく使います。

62132人目の素数さん2018/05/20(日) 22:31:52.19ID:faL44BH0
>>1は理解できてる?
基本このスレには3人しかいないから俺がだめなら>>1しかいない。。。

63righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/21(月) 01:21:10.42ID:zGYj2oYV
>>62
いや〜4割ぐらいっすねー

64132人目の素数さん2018/05/21(月) 20:37:31.44ID:4VRAtjed
とりあえず、この場合の平方数というのは

可換体 K の乗法群 K* の部分集合 {x2 | x ∈ K} (直積集合と紛れるおそれのないときには
これを (K*)2 などと表す)の元を平方数や平方元と呼ぶことがある。(wikipediaより)

であってますかね?

65前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/21(月) 21:02:18.85ID:VLLcdro9
>>64
あってます。
Z/pZ の場合は「平方剰余」という呼ばれ方をすることが多いですが、
私は「平方数」の方が慣れているのでそうしました。

66132人目の素数さん2018/05/21(月) 21:25:13.58ID:4VRAtjed
誠に申し訳ないが乗法群の説明がwikiじゃよくわからんorz.
むかし学校で習ったような気もするがあまりに昔の話で記憶が霞んでるorz.

とりあえずこのページ見つけたけどこれでいい?
https://math-note.xyz/algebra/basis-of-algebra/

67前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/21(月) 21:59:04.76ID:VLLcdro9
>>66
>>51で扱っているものは「環の乗法群」あるいは「体の乗法群」というもので
そこには載ってないですね…

乗法群とは、「積に関して逆元を持つ要素を集めた群」です (群がよく分からなければ集合と読み替えてください)。
Z/nZ の場合、これは 0 から n-1 のうちで n と互いに素な数だけを集めたものになります。
したがって、
Z/pZ の乗法群は {1,2,...,p-1}
Z/3pZ の乗法群は 3 の倍数でも p の倍数でもない元全体の集合
となります。

68132人目の素数さん2018/05/21(月) 22:24:15.94ID:4VRAtjed
>>67
おお、ありがとうございます。
群に関して解説しているお勧めページありましたら教えてください。

69132人目の素数さん2018/05/21(月) 22:54:59.90ID:4VRAtjed
あ〜すいません。
群じゃなくて環、体なんですかね?

70前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/21(月) 23:20:03.77ID:VLLcdro9
有名ですけどこの辺りとか

物理のかぎしっぽ - 代数学
http://hooktail.org/misc/index.php?%C2%E5%BF%F4%B3%D8

群、環、体について基本的なことが載っています。
Z/nZ の話に絞れば、例えば

Excel VBA 数学教室 - 数学辞典 - 整数論入門講座
http://excelmath.atelierkobato.com/kosiki/elementary-number/

この辺りも詳しそうです。

71前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/21(月) 23:34:55.13ID:VLLcdro9
ざっと見たところ、上記のサイトには
>>52で用いた直積の話 ((Z/3pZ)* は (Z/3Z)*×(Z/pZ)* に同型) が載ってなさそうです。
探したらこれに載ってました。

http://nakano.math.gakushuin.ac.jp/~shin/html-files/Algebra_Introduction/2016/08.pdf
(学習院大学の講義資料)

講義資料一覧はこちらから見られるようです。
http://nakano.math.gakushuin.ac.jp/~shin/html-files/Algebra_Introduction/

72132人目の素数さん2018/05/21(月) 23:45:47.55ID:4VRAtjed
ありがとうございます。
1から勉強だなこりゃ

73132人目の素数さん2018/05/22(火) 20:15:30.49ID:GnlOeguJ
私が勉強追いつくのは結構時間かかると思うのでスレは自由に進めてくださいねw

74前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/22(火) 23:49:30.33ID:kTVPAnQh
>>73
まあこちらもそんなに大きな進展はないですけどね。

>>11のAの場合 (n=p、p は 5 以上の素数、Z/pZ で 2 が原始根、p≡1 (mod 3)) で
k=0 だけ抜けてるのをやはり何とかしたいので考え中。

まだ証明はできてませんが、この場合ほとんどの p ではアルゴリズムが C で終わりそうです。
実際、200 以下の出力では n=13 を除いて全ての場合でアルゴリズムが C で終わっています。

75前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/23(水) 00:52:33.04ID:KVhZBaB6
一旦理屈をすっ飛ばしますが、
n=p、p は 5 以上の素数、Z/pZ で 2 が原始根、p≡1 (mod 3) で k=0 のとき、
とりあえず以下の方法で検証できることが分かりました。

(1) 縦2マス横 (p-1)/2 マスのマス目を考え、図のように3色で塗り分ける。
https://i.imgur.com/D3N6fXO.jpg

(2) Z/pZ における数列 {a[n]} を
a[1]=(2p+1)/3
a[n+1]=4a[n]+1 (n≧2)
で定義し、図のようにマス目に添える。
https://i.imgur.com/3goOSBZ.jpg

※ {a[n]} の一般項は ((2p+2)4^(n-1)-1)/3 である。

※ a[n+(p-1)/2] ≡ a[n] (mod p) が成り立ち、周期的な数列となる。

(3) a[i] が Z/pZ で平方数であればその列の下側のマスに印をつける。
そうでなければ上側のマスに印をつける。
https://i.imgur.com/5H1VKGX.jpg

(4) 3色とも少なくとも1つのマスに印がついていれば予想が成り立つ。

76前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/23(水) 00:56:44.28ID:KVhZBaB6
あ、>>75の(4)は「予想が成り立つ」より「アルゴリズムが C で終わる」の方が適切です。

n=13 の場合、次のような結果になります。
https://i.imgur.com/4grIMIw.jpg
黄色マスに印がつかないので、アルゴリズムは C で終わりません。

77righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/23(水) 01:21:25.86ID:1DxWfvsk
プログラムでイレギュラーを見つけました。

プログラムの3を19に変えてn=7で、
---
(4) A' の各元 a に対し、3a+1 がどの Bi に属すかを見る。(どの Bi にも属さないこともある)
---
で全ての3a+1が属さないのです。
プログラム上ではオールNothingになります。

詳しい説明は今晩します。

78righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/23(水) 01:31:18.18ID:1DxWfvsk
正確にはこうです。

プログラムの3を19に変えてn=7で、
---
(4) A' の各元 a に対し、19a+1 がどの Bi に属すかを見る。(どの Bi にも属さないこともある)
---
で全ての19a+1が属さないのです。
プログラム上ではオールNothingになります。

79132人目の素数さん2018/05/23(水) 12:01:38.73ID:m0d+bsHd
 整数論関係で盛り上がっているところで申し訳ないのだが、
二進数表記で ON ビットが二個以上連結すると、
上(偶数に向かうシークエンス)というのが、
ON ビット n に対して n - 1 個連続する。

 2の倍数を XY 座標の の X に取るとすると、
偶数は、「2で割る」操作のどっかでシークエンスに引っかかる
(つーか、奇数になる)。

 コラッツ操作がカオティックな挙動をするというのは、
「3n+1の結果が奇数でありつづける」(つまり、下位のビットが
ON でありつづける)と、「2で割り続ける」と、「偶数は割り続けると、
どこかで奇数になる」という、周期3のループに引っかかっている
せいではないかという気がしてきた。

 「3n+1」で無限大に発散することはありえない
(メルセンヌ数との関連で、それは自明)。

 つーことは、「下位がオンビットの値(奇数)で受けとめきれない」
偶数があるかどうか、みたいな話になりそうな気がする。

80righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/23(水) 19:18:42.10ID:l+nV4t+w
>>79
> 「3n+1」で無限大に発散することはありえない
>(メルセンヌ数との関連で、それは自明)。
詳しく知りたいです。

81132人目の素数さん2018/05/23(水) 20:35:47.24ID:m0d+bsHd
>>80
 メルセンヌ数(2^n - 1)は、たぶん奇数である。

 とはいえ、2^0 - 1 は 1 - 1 なので、「0 は偶数だ」という反論はあると思う。

 これくらいのネタを振っておかないと、数学関係では馬鹿にされるので、とりあえず。

 すべての「“メルセンヌ数”ではない、4 で割って 3 余る奇数(n mod 4 = 3)、かつ 11 (1 + 2 + 8)以上の自然数」は、

 (2^p - 1) + 2^p + (2^( p + 2) × q)

で表される。なんでかというと、二進法で表したときに、「二個以上の 1 と 0 のあと(つーか、上位)に、 0 のみではないビット列が並んでいる」からだ。

 そこに、「三倍して1を足す( 3n + 1 )操作」を繰り返すと、「2^p + (2^( p + 2) × q)」の部分に「三倍して2を足す」操作を p 回繰り返すのと同じことになる。

 その間、「2^p + (2^( p + 2) × q)」の桁数が増えた結果、そのビット列に p 個以上の 1 が現れて、元の p よりも数が増えると、これは発散してしまう恐れがある。

 実際に、それらしい例はある。 31 の場合、31 - 47 - 71 - 107 - 161 の列から 319 - 479 - 719 - 1079 - 1619 - 2029 を経る場合がある。

 ただ、これが「無限に連鎖するか?」という話になると、「メルセンヌ素数は無限に存在するか?」みたいな話になるので、「今のところ、わからん」と言うしかない。

 とりあえず、「すべての自然数が、コラッツ操作によって p と q の網(木)に引っかかるか?」を考えている。

 ただ、「三倍して1を足す( 3n + 1 )操作」の回数は、 p を超えることはないことが判っている。

82132人目の素数さん2018/05/23(水) 20:40:42.01ID:m0d+bsHd
× > そのビット列に p 個以上の 1 が現れて
〇 > そのビット列に p 個以上連続した 1 が現れて

83132人目の素数さん2018/05/23(水) 20:43:34.27ID:m0d+bsHd
あかん。
>> 4 で割って 3 余る奇数(n mod 4 = 3)
は余計だった。すまぬ。

84righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/23(水) 21:07:48.22ID:l+nV4t+w
>>81
なるほど。下位の連続した1のビットに注目しているのですね。
自分もコラッツパターンで考えていました。
http://d.hatena.ne.jp/righ1113/touch/20120514/1336979899

85132人目の素数さん2018/05/23(水) 21:36:38.24ID:amwAZ2U3
お、新人さんかい?

86前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/24(木) 00:50:30.75ID:COzmyM7A
>>77>>78
これ気になるんで詳細待ってます。
正常に動いていれば Nothing 以外も出てくるはずですが…

87righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/24(木) 01:01:12.08ID:BvJJodRF
>>86
すいません今晩はムリでした(>_<)

88前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/24(木) 01:22:11.96ID:COzmyM7A
>>87
さいですか。
まあ、気長に待ちますんでお気になさらず。

89132人目の素数さん2018/05/24(木) 10:37:42.13ID:hntPmxCh
 また通りすがりのプログラマが覗きにきました。お邪魔します。

 「奇数 →(奇数 →)6で割って2余る偶数 → 奇数」

というループに乗っていないのは1だけ。

 「奇数 → 偶数」というルートを通らないのは2の冪乗数だけ。

 それ以外で、“ループではない”「奇数 → 6で割って2余る偶数 → 奇数」という
“ルート”に乗って“いる”のは2の冪乗のうち「6で割って2余る偶数」だけ。

 つまり、ここから先は、上記の条件に引っかからない「6で割って2余る偶数」と
「奇数」だけを考えればいい。

 ここからは、単純に上記の条件に引っかからない「6で割って2余る偶数」と
「奇数」だけを考えればいいような気がする。

 このあたりから始めて、「コラッツ操作を根っこのほうから逆に辿って、
枝がどう伸びているか」を逆に辿ってみようとしているのだが、
辿ってみた結果を どう整理したらいいのかが、正直わからん。484 と 485 とか、
変なところでニアピンしてる奴がいるんだよなぁ(どっちも3ステップ後に
182 を通る)。

 これは三次元表示とかを考えたほうがいいのかね? 映像として見ることで、
なんかしらの法則性が見えてくるということも あるわけだし。

90righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/24(木) 17:50:33.60ID:Ht7/ViD0
>>89
「6で割って2余る数 」か「奇数 」かたっぽだけ調べれば良いような気がします。

画像表示はカオティックなものしか得られずにう〜ん……という感じです。

91132人目の素数さん2018/05/24(木) 19:31:53.90ID:hntPmxCh
>>90
確かにカオスって「断面」で見るからそういう感じはするんだよね orz
つーても一次元で見ても傾向がわからんような気が。

92righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/24(木) 19:35:11.39ID:x3TjQ3yB
>>88
お待たせしました。プログラムとログです。
https://github.com/righ1113/CollatzMod/tree/master/%E3%82%B3%E3%83%A9%E3%83%83%E3%83%84bx%2B1

19x+1でn=7は、
A : [[0],[1,2,4],[3,5,6]]
です。最初の二つは問題ないです。
最後がC'でオールNothingとなり、C''でカラになります。ここで止めました。

どこかプログラムがバグってるんですかね。
自分はてっきり、これが無限走行へ至る道かと思ったのですが。

93132人目の素数さん2018/05/24(木) 19:40:13.49ID:hntPmxCh
漏れは航空宇宙工学科出身なので
「可視化」っつーのは重要だとは思ってるんだけど、
カオス系のように「見えたからって、なんも解決せん」とか、
f^-1 ゆらぎのように「実際に計測してみたら、単なる
対数分布だった」(ラーメンの汁に浮いてる油滴なんかがそう)とか、
ハズレが多いのは分かってるんだが ……
なんかしら別視点に期待する部分は あると思われ。

94前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/24(木) 20:30:26.05ID:COzmyM7A
>>92
>>86は B の段階で全て Nothing になったのだと勘違いしていました
ちゃんと見てみます。

95righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/24(木) 20:34:17.94ID:x3TjQ3yB
ああすみません。
>>78の書き方が悪かったです。

96132人目の素数さん2018/05/24(木) 20:52:34.74ID:c3neDLsf
可視化はいいけどどうやって可視化するかはアイディアあんのか?
3次元表示だけじゃ具体性に乏しい。

97前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/24(木) 21:45:42.25ID:COzmyM7A
>>92
とりあえずこの出力結果は間違ってなさそうです。
詳細は後ほど。

98righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/24(木) 22:08:44.37ID:x3TjQ3yB
おお~~

99132人目の素数さん2018/05/24(木) 22:53:57.29ID:c3neDLsf
>>97
新展開ですか?

100前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/25(金) 00:00:11.96ID:cjcsGDRA
出力結果が正しいことの説明もしたいところですが、その前に別の話を。

まず一応誤解のないように言っておきますが、
この結果から即座に「コラッツ予想の 19n+1 版は成り立たない」とは結論づけられません。

ここで「コラッツ予想の 19n+1 版」とはそもそもなんなのかを考えなければなりませんが、
ここでは
「木を同様に定義したとき、自然数全体の集合が一つの木となる」
というものだとします。
(先行研究は特に知りません。情報があれば教えてください。)


今回の結果の意義について述べるために、改めてコラッツ操作についてまとめます。
一般化して、奇数 k を固定して「奇数は k 倍して 1 を加える」というルールだとします。

操作1:奇数に k をかけて 1 を加える。
操作2:偶数を 2 で割る。
操作3:mod k で 1 であるような偶数から 1 を引いて k で割る。
操作4:数に 2 をかける。

操作1,2 を「コラッツ操作」、操作3,4 を「コラッツ逆操作」と呼ぶことにします。

どんな数から始めても、操作1〜4の繰り返しで目的の数にたどり着けるか、というのが(一般化された)コラッツ予想。
この「目的の数」を mod n で考えたものが私の予想です。

101前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/25(金) 00:01:05.77ID:cjcsGDRA
で、お気づきかもしれませんが、現在のアルゴリズムはコラッツ逆操作しか考えていません。
これが「コラッツ予想の 19n+1 版は成り立たない」とは結論づけらない理由です。
(コラッツ逆操作しか考えていない理由は、これだけでもさしあたってうまくいっていたことと、コラッツ操作まで考えると一気に複雑さが増すことということです)
(逆操作だけというのはかなり制限しているように見えますが、実はそれほどでもありません。また今度話します。)

今回の結果についてですが、
まず出力結果にある C' は「mod 133(=7*19) で 2 のべきである数の集合」になります。(これもまた今度)
このことから今回の結果を次のように述べることができます。

定理
コラッツ予想の 19n+1 版を考える。
このとき、mod 133 で 2 のべきである数からコラッツ逆操作を繰り返しても、
mod 133 で 2 のべきである数以外は得られない。

これはちょっと予想外でした。
3n+1 では今までコラッツ逆操作だけでうまくいってたけど、
そのうちコラッツ操作も考えなきゃいけなくなるかもしれない…

102132人目の素数さん2018/05/25(金) 05:24:49.37ID:FB8NYZZI
>>96
n が 127 以下については、手で描いてみた(A4 の 5mm 方眼紙四枚とか)。
以前誰かが書いてたように、「場合分けが面倒臭いことに
なって手に負えなくなる」という感じのある錯綜したケース
(確かに127 以下はけっこうややこしい)を脱して
ある程度規則性が見えてくるのは、ここより先
(255 とか 1023 とか 2047 とか)らしいんだよね。
そうすると、もう手描きだと追いつかなくなるのと、関係が錯綜して
見づらくなる(つーか、局所的な関係はわかるんだが、全体像が
把握できなくなる)ので、「2で割る」「3n + 1 して 2 で割る」
「その数の大きさ」みたいに次元を分けて空間的に散らばらせて、
ぐるっと見渡せれば何かわかるかな、と。
乱数の品質とかも、二次元空間にマッピングすると「あ、この
アルゴリズムだと、品質悪いな」とか判ったりするじゃん?
あんな感じ。

103righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/25(金) 22:16:46.77ID:cO+AwSH2
>>100-101
う〜む、そんなに単純ではないのですね。

ちなみに、
コラッツ予想の19n+1版において
7で割って
・0,1,2,4余る数→全ての木に現れる
・3,5,6余る数→一部の木にしか現れない
これは言えるのでしょうか?

104前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/25(金) 23:19:00.95ID:cjcsGDRA
>>103
それが言えちゃうとまさに「コラッツ予想の 19n+1 版は成り立たない」になっちゃいます。

・0,1,2,4余る数→全ての木に現れる
これはプログラムによって証明できていますが、

・3,5,6余る数→一部の木にしか現れない
こっちは証明できていません。

105righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/25(金) 23:32:11.70ID:cO+AwSH2
なるほど〜失礼しましたー

106132人目の素数さん2018/05/25(金) 23:45:29.86ID:IeZ+TUSP
しかし実際問題として19n+1版の反例というのはそんなに簡単には見つからないものなんですか?

107righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/26(土) 00:04:16.67ID:n+Y56waB
>>106
bn+1版でbが大きくなると、遷移の上昇幅も大きくなるから、無限大に発散する可能性は高くなると思います。
適当にプログラムを走らせて、どんどん大きくなっていくようなら、この初期値は無限大に発散する可能性が高い、とは言えると思います。
「無限大に発散する!」という証明はかなり難しいと思います。

108前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/26(土) 00:08:59.09ID:PVjl5sK1
>>106
どうでしょうね…あまり考えたことはないので、難易度も分かりません。

109前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/26(土) 00:55:24.03ID:PVjl5sK1
「コラッツ逆操作だけ」というのがそれほど強い制限でないという話。

まず、コラッツ逆操作では操作 3 を行うか操作 4 を行うかで分岐が起こりますが、
コラッツ操作では分岐は起きません。
なので、例えばある数にコラッツ逆操作を行ってからコラッツ操作を行うと、元の数に戻ることになります。

予想を証明するには、
「ある数 a からコラッツ操作、コラッツ逆操作を繰り返してある数 b にたどり着けるか」
を考える必要がありますが、上記のことから
「ある数 a から何度かコラッツ操作を行い、その後何度かコラッツ逆操作を行うことである数 b にたどり着けるか」
という道筋だけ考えればいいということになります。

そうすると、コラッツ逆操作だけを考えるというのは大体、操作の後半だけを考えるということになります。
これが強い制限と思うかどうかは人それぞれですが、
実際にこれまでは多くの場合にうまくいっているので、大した制限じゃないのだろうと私は思っています。

110前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/26(土) 00:55:45.59ID:PVjl5sK1
ちなみにこれまで「コラッツ操作」の方を全く考えていない訳ではなく、

前スレ>>787

命題
T を木とし、k=1 or 2 とする。
このとき、ある a∈T が存在して a≡k (mod 3) となる。

や、前スレ>>851

補題
n を 5 以上の奇数とする。
任意の木には、3 の倍数でも n の倍数でもない数が含まれる。
(元々は奇数でなく素数としていたが、全く同じ証明で奇数の場合も示せる)

ではコラッツ操作を用いています。

111righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/26(土) 05:32:28.98ID:c0tJyFtX
通常のコラッツ予想3x+1ですが、

@プログラムが無限走行→オールNothing出る
(Cを繰り返すと集合が1つになる事が使えないか)

AオールNothing出ない→プログラムは停止

B全てのnでオールNothing出ない(難しい?)

C全てのnでプログラムは停止する

というのを考えたのですが、
実際証明するとなると難しいですかね。

112132人目の素数さん2018/05/26(土) 06:33:58.67ID:SzRdqnm/
 また邪魔なプログラマが通りますよ

 コラッツ逆問題(3n+1版。「1 から出発して、すべての自然数に
到達できるか」)について、「(有限な)すべての偶数は、2で割り続ける
ことによって奇数に帰着するので、奇数についてだけ証明できれば足りる」
のは確か。

 逆コラッツ操作は、

 1)nを2倍する。
 2)nを二倍して1を引いたものが3で割りきれるなら、それ(2n−1)を
3で割る。

が可能。

 で、このとき、「nが3で割りきれる場合は、(1)の操作によって
『nを二倍して1を引いたものが3で割りきれる数』が出てこない」ことが
判っていて、nの偶奇によらず(1)の操作の結果は偶数になるので、けっきょく
奇数は出てこないことがわかる。

 (2)に対応する正のコラッツ操作は、結果的に「nを二倍して1を引いたものが
3で割りきれない数」に「2n+1」操作を繰り返して「6で割って2余る偶数」に
至る“縦のルート”(有限長の上下のルート)を描くことであり、このとき(nの
偶奇によらず)3の倍数が出てきたときは逆コラッツ操作の
(1)(“右へ向かうルート”。こちらは際限なく右に延長できる)は
考慮しなくていい。

 なお、“縦のルート”は、最下位ビットが「2個以上の連続するオンビット」である
状態と関連している。

 この制約条件のもとで、「1を出発点として、すべての奇数に到達できるか?」が、
コラッツの逆問題となる。

 で、「最下位のオンビットが連続しない」数は、「4で割って1余るn」であり、
それが正のコラッツ操作(2)によって「6で割って2になる数」に変換されるはず
だから、それを満たす数について考えればいい ―― ような気がする。

 だけど、コラッツ予想に関する議論で「mod 12」って話が出てきたのを
見た記憶がオレにはないんだよな (-_-!)。

 これって、オレが なにか盛大な勘違いをしているってぇコトなのか?

113righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/26(土) 15:26:37.54ID:R0apbE/z
>>112
>「nを二倍して1を引いたものが3で割りきれない数」に「2n+1」操作を繰り返して「6で割って2余る偶数」に至る“縦のルート”

ここが分かりません。
具体的な一連の数とかありますか?

114132人目の素数さん2018/05/26(土) 17:07:34.51ID:SzRdqnm/
>>113
とりあえずこんな感じかな?

242:242 -> 161 -> 107 -> 71 -> 47 -> 31
728:728 -> 485 -> 323 -> 215 -> 143 -> 95 -> ☆63
1214:1214 -> 809 -> 539 -> 359 -> 239 -> ☆159
1700:1700 -> 1133 -> 755 -> 503 -> 335 -> 223
2186:2186 -> 1457 -> 971 -> 647 -> 431 -> 287 -> 191 -> 127
2672:2672 -> 1781 -> 1187 -> 791 -> 527 -> ☆351
3158:3158 -> 2105 -> 1403 -> 935 -> 623 -> 415
3644:3644 -> 2429 -> 1619 -> 1079 -> 719 -> 479 -> 319
4130:4130 -> 2753 -> 1835 -> 1223 -> 815 -> ☆543
4616:4616 -> 3077 -> 2051 -> 1367 -> 911 -> 607
5102:5102 -> 3401 -> 2267 -> 1511 -> 1007 -> 671 -> ☆447
5588:5588 -> 3725 -> 2483 -> 1655 -> 1103 -> ☆735
6074:6074 -> 4049 -> 2699 -> 1799 -> 1199 -> 799
6560:6560 -> 4373 -> 2915 -> 1943 -> 1295 -> 863 -> 575 -> 383 -> ☆255
7046:7046 -> 4697 -> 3131 -> 2087 -> 1391 -> ☆927
7532:7532 -> 5021 -> 3347 -> 2231 -> 1487 -> 991
8018:8018 -> 5345 -> 3563 -> 2375 -> 1583 -> 1055 -> 703
8504:8504 -> 5669 -> 3779 -> 2519 -> 1679 -> ☆1119
8990:8990 -> 5993 -> 3995 -> 2663 -> 1775 -> 1183
9476:9476 -> 6317 -> 4211 -> 2807 -> 1871 -> 1247 -> ☆831
9962:9962 -> 6641 -> 4427 -> 2951 -> 1967 -> ☆1311

詳細は のちほど。

115132人目の素数さん2018/05/26(土) 17:11:05.80ID:SzRdqnm/
つーか、「コラッツ操作」ということを考えたら、
「->」じゃなくて「<-」のほうが判りやすかったかも。
あ、「3n + 1」じゃなくて、「(3n + 1) / 2」で
表示してるのは、このスレを見てるような人だったら
察してくれるよね?

116132人目の素数さん2018/05/26(土) 17:16:10.29ID:SzRdqnm/
言うまでもないけど、
“☆”がついている値は、
「3の倍数なので、2 の冪乗を掛けても
『2n - 1 が 3 で割りきれる数にならんので、
下に延びる枝(3n + 1 操作の逆操作)がない枝』」
っちゅーことです。

117righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/26(土) 17:54:29.76ID:R0apbE/z
>>114-116

>>112は大体理解できました。mod12は分かりません。

> で、「最下位のオンビットが連続しない」数は、「4で割って1余るn」であり、
>それが正のコラッツ操作(2)によって「6で割って2になる数」に変換されるはず
>だから、それを満たす数について考えればいい >―― ような気がする。
例えば17を見ると、4で割って1余る。
コラッツ操作(2)で26になって、6で割って2余る。
しかし17を2倍して1引いた数が3で割りきれてしまう。
コラッツ操作(2)に違反していると思うのだけど、こういう数はどう処理するの?

118132人目の素数さん2018/05/26(土) 18:02:39.81ID:SzRdqnm/
>>113
ごめん。
>(2)に対応する正のコラッツ操作は、結果的に「nを二倍して1を引いたものが
3で割りきれない数」に「2n+1」操作を繰り返して「6で割って2余る偶数」に
至る“縦のルート”(有限長の上下のルート)を描くことであり、
っつーのは、
>(2)に対応する正のコラッツ操作は、結果的に「nを二倍して1を引いたものが
3で割りきれない数」に「(3n+1)/ 2」という操作(←ここ重要)を繰り返して「6で割って2余る偶数」に
至る“縦のルート”(有限長の上下のルート)を描くことであり、
という意味だ。
とりあえずツッコミは歓迎なのだが、いまは遠山 啓先生の『初等整数論』で
理論武装中なので、殲滅的攻撃は勘弁してくれいm(_ _)m。

119righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/26(土) 18:19:59.67ID:R0apbE/z
>>118
すみません、つい熱くなってしまって……

120132人目の素数さん2018/05/26(土) 18:20:36.68ID:SzRdqnm/
>>117
> 例えば17を見ると、4で割って1余る。
> コラッツ操作(2)で26になって、6で割って2余る。
> しかし17を2倍して1引いた数が3で割りきれてしまう。
> コラッツ操作(2)に違反していると思うのだけど、こういう数はどう処理するの?
典型的な例を挙げたので分かりにくかったと思うが、
(26 ->)17 -> 11 -> 7 というのは確かにあって、
「必ず 3 の倍数で終わる」とかいう話ではないのだ。

つーか、「どのあたりで齟齬が生じているか」について、
数学屋さんと電算屋の間では分かりにくいのだ。
「素数には必ず原始根がある」というのは納得するにせよ、
「原始根って複数あるんじゃないの? そのあたりはどうなの」とか、
「そもそも『指数』という概念がよくわからん」とか、
「QRコードとか乱数生成とか、リクツは判らんでもないけど、
原始多項式うんぬんとか言われても、正直な話、小分かりがせんのよ」
みたいな感想がある。

そもそも「Z/pZ」っつーのが、「演算を定義せんと意味がねぇ」みたいな
話があって、よくわからん(加法なのか乗法なのかとか)。

せっかく大勢の人が見てくれているのだから、「数学的に厳密な記述」
ではない「わかりやすい説明」(まぁ、「『分かりやすい説明』は、
嘘の温床だ」という意見は確かにあるのだが)っつーのも
試みてくれんか。このスレで(見ているだけの奴もいるし、
書いている奴もいるわけだが)“解っている” 人間も
少なかろうと思うので。

121132人目の素数さん2018/05/26(土) 18:35:17.86ID:SzRdqnm/
>> 119
> すみません、つい熱くなってしまって……
いや、熱くなるのはまったく問題ないので、「こちらこそ、数学の門外漢が
半煮えの議論を持ち出してすまん m(_ _)m」とお詫びしたい。
とはいえ、実験数学が未解決問題の解決に貢献することもあるし、
「素人目線からの、視覚化だのなんだの」が有効なことが あるのだ。
数学屋さんには数式という武器があり、
電算屋にはプログラミング言語という武器がある。
(個人的に Wolfram は気に入らないが)Mathematica みたいに
その間を繋ぐツールもある。
とりあえず「共通の土俵」っつーのを用意したいと思う。

122132人目の素数さん2018/05/26(土) 19:04:19.46ID:mODZs90x
具体的にプログラム言語は何使えんのよ?

123132人目の素数さん2018/05/26(土) 19:04:56.28ID:mODZs90x
ちなみに>>1はhaskell使いらしい

124132人目の素数さん2018/05/26(土) 19:52:05.47ID:SzRdqnm/
>>122
> 具体的にプログラム言語は何使えんのよ?
わしゃぁのう、年寄りじゃけん、本当はアセンブラしか解らんのじゃ。
じゃけんども、C とか LISP とかは、理屈がよう分るんじゃ。
Pascal は、P-system があったんで、Java んような「中間言語」とか
「仮想マシン」っちゅーたらコンセプトは分らんでもないんじゃ。
年取ったけん、IDE がなけりゃプログラムなんぞ書けんように
なってしもうた。
そんなわけで、ようやく Java を使ってなんとかプログラムを
書いとるんじゃ。
ごめんつかぁさい。

125132人目の素数さん2018/05/26(土) 20:15:39.62ID:mODZs90x
中身のある話振ってくれるなら歓迎するけどね。
アイディアがあるなら具体的に頼む。

126132人目の素数さん2018/05/26(土) 20:56:17.99ID:SzRdqnm/
>>125
> アイディアがあるなら具体的に頼む。
ありがとう。

生煮えなので申し訳ないのだが、右(2の冪乗)から来る
値は、n ≡ 1(mod 3)か n ≡ 2(mod 3) だというのが
解っている(3 の倍数だったら、下((2n -1 が 3 の倍数になるので、
(3n + 1) / 2 の逆操作ができない)へ行けない))と思う。
そうすると、わりとスケスケな感じで自然数の空間が
視えてくるような気はするのだが、「数直線」という
言葉があるように、フツーは自然数というのは一次元なんだよな?

そのあたり、なんかしらのパラダイム・シフトが必要な気はするんだが、
「それが具体的に何か」と訊かれても、「う〜ん …」になっちゃうのだ。

「6 で割って 2 余る」とか「4 で割って 1 余る」とかいった話は
あるんだけど、6 と 4 の最小公倍数って 12 なんで、「(mod 12) って
ありそうな感じじゃねぇ?」とか言ってみただけな部分はあるわけですよ。

具体的な話をすると、「場合分けがパンクする」っつっても、
Tic-Tack-Toe<(n-th Queen ではない)8-Queen < make 10
< ペントミノ < 四色問題 と並べてみると、組合せ的な話であれば
ペントミノ程度の話なんじゃねーかと思ってるワケですよ。

ただ、「どういうコンセプトで捉えたら、数学的かつ計算器数学的な
問題に落とせるか」っていう切り口がわからんのよね。

そんなわけで、「アイディアがあるなら具体的に頼む。」という問いには、
「こっちが知りてぇよ」と応えざるを得ない。済まぬ m(_ _)m。

127132人目の素数さん2018/05/26(土) 22:12:44.62ID:mODZs90x
逆にxn+1問題で無限大に発散する場合もあるxを探すというのは?

128132人目の素数さん2018/05/26(土) 22:44:42.03ID:9vYDmViG
コラッツ予想をセルオートマトンで可視化する事を試してみました。

ttps://dotup.org/uploda/dotup.org1543060.zip.html

キーは3nplus1です。

大まかに4つのパターンを図示してみました。
1)完全にランダムなパターン
2)1のビットが長く続くパターン(2^n-1)
3)最下位ビットと最上位ビットの間が0のビットで隔てられてるパターン(2^n+1)
4)1のビットが長く続き、さらに離れて最上位ビットが存在するパターン((2^n+1)*2^m-1)

最下位ビットが0の行は赤に塗ってあります。

プログラムに間違いがあればすいませんが、結構興味深い遷移がみられました。

129132人目の素数さん2018/05/26(土) 23:12:06.85ID:9vYDmViG
>128 まとめ

○コラッツ操作を行った際に操作前よりも数が増えるのは最下位ビットから2ビット以上1が連続した場合のみ。それで増加する桁数は連続していた1の桁数よりもおそらく少なくなる。
○0が2ビット以上続いた箇所でグループを分けた場合(1011001101→1011 001101)、コラッツ操作3n+1のうち+1の影響を受けるのは最下位のグループのみ。それ以上のグループは3nの挙動となる。
○n桁の連続した1は3n+1操作で10(n-2桁の1)01になる。これが最下位グループなら+1操作で最下位ビットが繰り上がり10(n-1桁数の1)となる。

とりあえず挙げられるのはこんなところでしょうか。
既知の情報でしたら申し訳ない。

130132人目の素数さん2018/05/26(土) 23:26:44.26ID:mODZs90x
整数をビット列とみなして考えるのは>>1がかなりやってたから>>1の意見を聞きたいね。
まあ、この程度の成果では驚きはないだろうけど。

131132人目の素数さん2018/05/26(土) 23:31:56.87ID:mODZs90x
結構きれいな絵だけどきれいなものだけ抜き出したの?
よくわからんが全部きれいになるならもしかして凄いのかな?

132132人目の素数さん2018/05/27(日) 00:11:19.66ID:PUTG2O+S
>131

綺麗なパターンが出る値を選んでます。
大抵は増えて減ってを繰り返すパターンになると思いますが、その出現に規則性が見られるように思えます。
まぁ勘違いかもしれないんですが orz

133132人目の素数さん2018/05/27(日) 07:33:04.20ID:hLMSuDSm
>>129
「最下位ビットから2ビット以上1が連続した場合」については、
以下のようなことを考えたことがある。

「ここで、新たな操作を追加する。

 (3)n' = 3n + 2

である。
 たとえば "11101" のように、左に '1' が二個以上連続した部分(m 個)が
あるとする。これを、m - 1 個の '1' と '1' に分ける。 "11101" だったら
"11" と "101" だ。このとき、"11101" は、"**"と「 "101" に(3)の操作を
二回施した結果」で表される。

"11" -> "*" + "101"
"111" -> "**" + "10001"
"1101" -> "*" + "10001"
"1111" -> "***" + "101011"
"11001" -> "*" + "10111"」

その他の悪戦苦闘っぷりは
http://animaleconomicus.blog106.fc2.com/blog-category-33.html
を参照されたい。

134132人目の素数さん2018/05/27(日) 08:58:45.44ID:hLMSuDSm
逆コラッツ操作を行なうプログラムの中で、ずっと
「nを二倍して1を引いたものが3で割りきれたら3で割る」
とかいうロジックを使っていたのだが、よく考えたら
「nを3で割って2余る」(n ≡ 2(mod 3))でよかったことに、
いま気づいた。

2*(m + 2) - 1 = 2m + 4 - 1 = 2m + 3

なんだから、3|m(「m が 3 で割切れる」あるいは「m は 3 の倍数」。
遠山 啓さんの『初等整数論』のスタイルだと「3)m」)なら
当たりまえじゃん(だから数学は苦手なんだと(ry)。

 そうすると、

1)nを3で割って2余るなら、二倍して1を引いてから2で割る。(それが終わったら、次にnを二倍して右を探す)
2)nを3で割って1余るなら、右に逃げる(nを二倍して右を探す)。
3)nが3で割りきれるなら、下には行けないし右側にも奇数へ向かう枝が出ないので、ひとつ前(根に近い数)に戻る。

という操作で再帰をかければ、「逆コラッツ操作で出てくる奇数の木を探索する」ことができるはずだ。

こうなったら奇数偶数関係ねぇじゃん。orz

135132人目の素数さん2018/05/27(日) 13:50:43.81ID:OB+BVTS7
個人的最近色々とデータをいじっているんだが、1になるまでの回数にちょっとした発見があるんだけど需要ある??

136132人目の素数さん2018/05/27(日) 13:53:03.11ID:OB+BVTS7
あとは逆コラッツとフィボナッチの関連性やn次のコラッツ、コラッツに群の導入などなど

137righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/27(日) 14:30:36.56ID:TGwE04e6
>>128-129
残念だけど目新しい情報はないかなあ。

138132人目の素数さん2018/05/27(日) 17:28:34.65ID:hLMSuDSm
>>135
> 個人的最近色々とデータをいじっているんだが、1になるまでの回数に
> ちょっとした発見があるんだけど需要ある??

>>136
> あとは逆コラッツとフィボナッチの関連性や、n 次のコラッツ、コラッツに群の
> 導入などなど

ここは、たぶん「『需要ある??』とか、つまんねぇ遠慮なんかしてるんじゃねぇ! さっさと晒せよ!」
…… っつースレですから。燃料を投下していただければ、いくらでも。

139132人目の素数さん2018/05/27(日) 19:19:29.97ID:Eccfjv+j
スレがにぎわい始めましたね。
あとは>>786の議論についていけるレベルの人が来てくれればいい感じなのですが。

140132人目の素数さん2018/05/27(日) 19:52:38.57ID:hLMSuDSm
>> 139
> あとは(前スレの)>>786の議論についていけるレベルの人が来てくれればいい感じなのですが。

つーても、数学板は敷居が高いのよ。
前スレの >>8 の
> 最初に偶数はアウト(1に収束)
> 4の倍数になったらアウト

っつーのも、

×「最初に偶数はアウト」
〇「最初に2の冪乗数はアウト」(つーか、2で割り続ければ奇数に帰着するので、
奇数について証明できればオッケー。てなワケで「4の倍数になったらアウト」と
いうのも、ここに帰着)

とかいったツッコミ(つーか、解説)を誰かしてくれよ、みたいな話にはなる。

むしろ、素人目線の解説を丁寧に してくれるヒトがいてくれると、もっと盛り上がる
ような気がするのだが。

141132人目の素数さん2018/05/27(日) 21:51:55.33ID:Lbd03fNz
藤林丈司

142前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/27(日) 22:57:17.76ID:oX99EjGQ
なんだか盛り上がってますが
とりあえず>>92の出力が正しいことの説明がやっと書けそうなので、投下してから見ます。

143前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/28(月) 00:37:34.73ID:juv57CZY
頭の中では図と数式だけしかないから大したことない議論に思えるけど
ちゃんと書こうとするとどうも長くなってしまう…


>>92の出力が正しいことの説明。

Z/nZ を図で表すイメージを導入します。

まず n が素数のときは、アルゴリズム (1) のようにグループ分けし、
https://i.imgur.com/h7RBsuk.jpg
図のように 2 倍すると右に 1 マス進むように数を並べます。
各グループの左端と右端は繋がっているイメージです。

n が素数べきの場合も同様です。
さらに一般の n でも同様の表現が可能ですが、ここでは別の表現を導入します。

p,q を相異なる素数とするとき、Z/pqZ は
Z/pZ を横軸、Z/qZ を縦軸にとった二次元配列で表せます。
https://i.imgur.com/tboXYk0.jpg
「Z/pqZ は (Z/pZ)×(Z/qZ) と同型」というのはこのことを表します。
例えば下図の赤マスは
https://i.imgur.com/ulP84EU.jpg
mod 7 で 4、mod 3 で 2 であるような数、すなわち 11 を表します。

Z/pqZ の図で数を 2 倍すると、右上のマスに移ります。
ただし、各ブロックで左右の端、上下の端はそれぞれつながっています。
https://i.imgur.com/bvi0vDc.jpg
図は一部のみ示していますが、どの矢印も 2 倍を表しています。

144前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/28(月) 00:38:11.51ID:juv57CZY
ここから>>92の出力の話。
19n+1 版で、プログラムに 7 を入力して、A'={3,5,6} とした状況を考えます。
B は Z/133Z において、
「 19 の倍数でも 7 の倍数でもなく、mod 7 で 3,5,6 出ない数」
を考えるので、Z/133Z の下図の部分だけを見れば十分です。
https://i.imgur.com/TH0hekY.jpg

グループ分けを考えると、2 倍すると右上に進むことから
図のように 3 つのグループに分かれます。
https://i.imgur.com/twmrZQa.jpg
縦のマス数 18 が 3 の倍数であることに注意。

次に {3,5,6} に 19 をかけて 1 を足すと
3*19+1=58≡2 (mod 7)
5*19+1=96≡5 (mod 7)
6*19+1=115≡3 (mod 7)
より 3 に対してのみ B のグループが対応します。
58≡1 (mod 19)、58≡2 (mod 7) より
58 は図の位置になります。
https://i.imgur.com/Lr4sVXl.jpg
よって、緑グループのみ得られます。

145前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/28(月) 00:38:52.08ID:juv57CZY
次の C は、Z/(7・19^2)Z において下図の部分を考えることになります
https://i.imgur.com/9mmsWTp.jpg
縦は 18・19 マスです。グループは 2 つ得られます。

緑マスの数に 19 をかけて 1 を足すわけですが、まず mod 7 だけで考えると
1*19+1=20≡6 (mod 7)
2*19+1=39≡4 (mod 7)
4*19+1=77≡0 (mod 7)
なので、緑マスの中でも mod 7 で 2 である数しか C のグループに対応し得ません。
対応するマスは mod 7 で 4 の列 (一番右の列) のどこかになります。

一方 mod 19 で考えると、ある数に 19 をかけて 1 を足すわけですから、
当然結果は mod 19 で 1 になります。
Z/(19^2)Z で 1 に 2 をかけていくと、mod 19 で 1 である数は 18 回に 1 回現れます。(2 が Z/19Z の原始根であることから)
したがって、緑マスの数に 19 をかけて 1 を足した数は、下から数えて 18k+1 (k∈N) 番目に現れます。

mod 7、mod 19 の話を合わせれば、
緑マスの数に 19 をかけて 1 を足した数は、青グループにしか対応しないことが分かります。
プログラムの出力でいえば、C のうち 1 つだけが得られた、という部分に当たります。

最後に C' の部分ですが、
青グループの数に 19 をかけて 1 を足すことを考えると、
C での議論と全く同じになり、黄グループの数に対応しないことが分かります。
したがって、出力は>>92の通りになります。

146132人目の素数さん2018/05/28(月) 06:02:47.38ID:DIMEHMYY
>>129>>132 から、なんとなく証明への道筋らしきものが見えてきた。
もちろん“道筋らしきもの”なので、完璧な証明に到達できるかどうかは別の話なのだが。

まず、ごく初歩的な話だが、「メルセンヌ数」の話をしておく。「メルセンヌ数」を「メルセンンヌ素数」だと思っているような人は
数学板にはいないだろうが、「素数であるメルセンヌ数」が「メルセンヌ素数」で
あって、メルセンヌ数は単なる「2^n - 1」の形をした数である。
 メルセンヌ数が素数であるかどうかは「リュカ検定(ルーカス・テスト)」に
よって比較的効率よく行えるので、「メルセンヌ素数は無限に存在するか?」
「(偶数の)完全数は無限に」という問題と関連して、コンピュータによる
探索が行なわれている。そうやって見つかった素数は桁数が大きいので
「現在知られている最大の素数」みたいな形で話題になる。

つぎに、任意の有限な数 n をビット列で表したときの、最初のオンビットから
最後のオンビットまでの部分を、“コラッツむし”と呼ぶ。

147132人目の素数さん2018/05/28(月) 06:04:45.60ID:DIMEHMYY
4で割って1余る(n ≡ 1(mod 3))コラッツむし以外のコラッツむしは、
下位に「2個以上連続したオンビット部分」を持っている。ここで、m 個並んだ
オンビットがあるとして、そのうちの下位側の m - 1 個のビットを
「メルセンヌ部分」、残りを「本体」とする。このとき、本体部分に m - 1 回の
「3n + 2」操作を行なったものが、コラッツむしの“真の体長”だと
思うことにしよう。
つまり、n が メルセンヌ部分を持っているときは、メルセンヌむしは
“縮んでいる”わけだ。

3n + 1 操作を受けた“伸びた”コラッツむしの下位側には、0(二進数表記。
オフビット)が現れる。ただし、任意個の 0 は“ないのと一緒”なので、
コラッツむしの体長には含まれない。

そこで、「コラッツ予想が正しいかどうか?」は、「コラッツむしの“真の体長”が
際限なく伸びてゆく場合があるか?」という問題に帰着する。

そうなると、本体部分は「4で割って1余る素数」だ。これに 3n + 1 操作を
行なったときに、メルセンヌ部分がどう表れるかという話になる。この
メルセンヌ部分が際限なく表れると、コラッツむしの真の体長が伸びて、
メルセンヌ予想が破綻する。

148132人目の素数さん2018/05/28(月) 06:06:43.64ID:DIMEHMYY
じゃあ、「『メルセンヌ部分を持たないコラッツむし』が『メルセンヌ部分を
持つコラッツむし』に変態する頻度と、変態後の“真の体長”の変化は、
どのようなものか?」という話になる。

“真の体長”が伸びる可能性があるとすれば、それは操作 3n + 1 による。
このとき、3n + 1 操作が可能なのは n ≡ 2(mod 3) の場合だけだ。で、
これに 3n + 1 操作を行なうと、n' は n' ≡ 1(mod 3) になるので 3n + 1 操作は
「一回休み」になる。

2n 操作によって、mod 3 は 1 -> 2 -> 1 -> 2 と変化する。
また、メルセンヌ数の mod 3 は、桁数が多くなるごとに 1・2・1・2 と
変わる。

つまるところ、「真の体長を伸ばすようなメルセンヌ部分が、どれだけ
出てくるか?」という話になる。

「山よりでかい猪は出ない」わけで、真の体長よりも“長い”メルセンヌ部分が
出ることはない。これを踏まえて、「コラッツむしの真の体長が無限に伸びる
ことがあるのか?」という話になる。このあたりが mod 3 と mod 4 の
絡み合いで組合せによって解決できて、「伸びるにしても限度がある」ことが
示されれば、メルセンヌ予想は肯定的に解かれたことになる。

こう考えると わりと単純な話なので、数学の素人でも手を出しやすいような気が
する。もっとも、コラッツ問題自体が「素人にも手をだしやすいが、素人の手には
負えない」問題なんだから、解けるかどうかはまた別の問題なのだが。

149132人目の素数さん2018/05/28(月) 08:14:16.23ID:DIMEHMYY
一応、まとめてみる。

自然数 p と q を考えよう。

とりあえず、p は措いておいて q について考える。

2^q - 3 は、2 < q のときに、二進数で q - 1 桁になる。いちおう、
「q が 1 のとき、結果がマイナスになるのだが、ちゃんと考えてるか?」
とかいった話もあるが、ここでは正の数だけを考えることにする。

つぎに、メルセンヌ数 p^2 - 1 を考える。これは p - 1 桁の数になる。

これを結合したビット列を考えよう。それは (2^p - 1) + 2^p × (2^q - 3) であり、
桁数としては (p - 1)+(q - 1) 桁であるから、p + q - 2 となる。

このとき、「2^q - 3 に『三倍して2を足す』操作を p 回繰り返した結果に
コラッツ操作を施すことで、どれほどの桁数(これを n とする)になり、
最下位に何桁(これを m とする)のメルセンヌ数が出てくるか?」を
考える(m < n であることに注意)。

m と n を p と q の関数で表して、 n - m が q - 1 よりもどんどん大きく
なっていったら、コラッツ予想は「はずれ」だということになる。

おそらく、最悪のケースで見積もると、“爆発”(無限大に発散)すると思う。
そうでなかったら、コラッツ問題はとっくに解決しているはずだ。
だから、相当に ややこしいテクニックを駆使して「最悪のケース」を避けて
「無限大には発散しない」ことが示せれば、コラッツ予想は肯定的に証明される
ことになる。

そんなにうまくゆくとも思えないし、可能だとしても相当に苦労するだろうとは
思うのだが、方向性としては ちょっと新しいように思うので、「難しい」とか
「ダメっぽい」とか「ここから先で行き詰まった」くらいの実績は残しておいても
いいと思う。
コラッツ予想に関する「やってみたけどダメだった」的な論文というのは
山ほどあるのだから、いまさら何本かのクズ論文が増えたところで
文句を言う奴もおるまい。

1501282018/05/28(月) 08:25:18.74ID:/SyHFjrG
>137
既知の情報だったようですね。失礼いたしました

>146
何かしらのお役に立てたのなら幸いです。

151132人目の素数さん2018/05/28(月) 09:44:13.47ID:DIMEHMYY
>>150 >>128
> 既知の情報だったようですね。失礼いたしました
いやいや、2ちゃん(今は「5ちゃん」だが)でガイシュツは恥ではない。
お気にならさず。

> 何かしらのお役に立てたのなら幸いです。
本当に役に立った。ありがとう m(_ _)m

ついでながら、>>149
> 2^q - 3 は、2 < q のときに、二進数で q - 1 桁になる。
というのは、「5以上の4で割って1余る奇数」のうち、いちばん
みっしりビットが詰まったやつのことである。
このあたりのコンセプトの整理には、本スレに参加している諸氏の意見が
非常に役立った。併せて感謝申し上げる。ありがとうm(_ _)m

152132人目の素数さん2018/05/28(月) 12:54:56.22ID:DIMEHMYY
ようやく前786氏の言ってることが ちょっとだけ理解できたような気がする。
「Z/pZ」(つーか、どうせ自然数なんだから「N/pN」で構わんと思うんだが、
それは「整数論」という括りでいうと「自然数に 0 が入っちゃまずいだろう」という
配慮があるんだろうと思う)というのは、単なる剰余系であって、
「何に関して閉じているか」っつーのは、また別の話なんだよな?

そもそも、「+1 する」という操作に対して p の剰余系 Z/pZ は閉じているので、
「Z/nZ(+1)」は閉じているわけだ。

で、n が p の原始根だとすると、Z/pN が「Z/nZ(×n)について閉じていて、
しかも網羅的である」っつー話なんだよな?

だけど、Z/pZ に対して、任意の i かなんかを持ってくると、Z/nZ(×i)というのは
、「全部廻れる」わけじゃないので、Z/pZ の部分群の和集合という形に
なるんだよな?

で、たぶん前786氏は、「そのあたりを、(Z/pZの)すべての p に対して
(すべての i に対して)ツブしていけば、どっかで何とかなりそうな気がする」と
いう気がするので、「i = 2」に関してツブしてゆこう、という話ではないかと思う。

オレは何かヘンなことを言っていると思ったら、ツッコミを入れてほしい。歓迎する。

153前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/28(月) 15:03:52.79ID:juv57CZY
2 に注目しているのは、
コラッツ操作の「偶数を 2 で割る」
逆操作の「2 をかける」
から来ています。
証明を考えていくと自然とそうなりました。


>「Z/pZ」(つーか、どうせ自然数なんだから「N/pN」で構わんと思うんだが、
>それは「整数論」という括りでいうと「自然数に 0 が入っちゃまずいだろう」という
>配慮があるんだろうと思う)というのは、単なる剰余系であって、
>「何に関して閉じているか」っつーのは、また別の話なんだよな?
ここで何を気にされてるのかいまいちよく分かりませんが、
「閉じている」という表現は全体の一部分を見ているときに使う表現なので、この場合適切でないと思います。

例. 整数全体の中の奇数の集合は、積について閉じていて和について閉じていない。

「どういう演算を考えているか」を気にしているということでしょうか?


あと一応もう一つ言葉にツッコんでおきますと、
>だけど、Z/pZ に対して、任意の i かなんかを持ってくると、Z/nZ(×i)というのは
>、「全部廻れる」わけじゃないので、Z/pZ の部分群の和集合という形に
>なるんだよな?
この「部分群」もちょっと用法がおかしいです。
例えば Z/7Z を {0},{1,2,4},{3,5,6} に分ける、というような操作に関しての発言だと思いますが、
これを表現したければ「軌道」と言うのが適切かと思います(群論の言葉です)。

154前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/28(月) 15:04:43.97ID:juv57CZY
2 に注目していることについては、
例えば次のような問題を考えれば納得できると思います。

問. どんな自然数からでも、コラッツ操作とコラッツ逆操作を繰り返すことで 9 の倍数に到達できるか?

155132人目の素数さん2018/05/28(月) 15:27:05.72ID:DIMEHMYY
スレの流れからいうと不規則発言なので、「そういうコトを言っている香具師がいる」
くらいに思ってほしい。

なんとなく問題の本質が見えてきたような気がするので、「コラッツ予想」
「コラッツ問題」に関して「他の研究者は、どんなアプローチを取っているんだろうか?」と
思って検索してみた。

 そうすると、「3n + 1 問題」の 3 を「一般の k に拡張したときに」とかいう話が
多いんだよね。

 「逃げちゃダメだ、逃げちゃダメだ、逃げちゃダメだ」と思う。そんなもん、
「3n + 1」を解決してから考えろ、と思う。

mod k からアプローチするのは、基本的に“あり”だと思う。だけど整数論
(群とか環とか体とか)に関していうと、あんまり道具としては使いやすくないので
、「果たして有効だろうか?」と思う。まぁ、数学の素人が言う こったから、
「ふぅーん、あんたはそう思うのね?」くらいの感じで聞き流してくれても
まったく問題がないのだが。

だいたい、「数学」っつーのは“無限”を相手にすることが多い。「実用的な範囲で、
どれくらい抑え込めるのか?」っつーのは、どっちかっていうと有限組合せ数学とか
の範囲の仕事なのだ。だから、純粋数学畑の人はあんまり興味を持たないと思うし、
数式処理システムとか実験数学とかいったものとかとは距離を置きたいと思うのが
当然だと思う。

あとは「整数論方面のほうからのアプローチが どこまで通じるか」という期待が
あるのだが、そっち方面の研究って、あんまり進んでないような気がする。
「有限束の数え上げ」とか「魔円陣(完全ゴロム環)」とかいった話題は、
もう十年以上も取りあげられていないような気がする。

てなワケで、燃料を投下してみた。敲いてくださって結構。かかってらっしゃい。
数学はまるでダメだが、伊達に長年ネットで のたくっていたワケでもないので、
口だけは達者だ。

156132人目の素数さん2018/05/28(月) 15:54:28.71ID:DIMEHMYY
>>153
おお、数学屋さんがマトモに応答してくれるとは光栄だ。これは皮肉ではない。
本当にそう思っている。

> 2 に注目しているのは、
> コラッツ操作の「偶数を 2 で割る」
> 逆操作の「2 をかける」
> から来ています。

私はビット列として考えているので、“コラッツむし”みたいな概念で「シフト演算」
あるいは「ヌルビットの除去」というイメージで捉えているのだ。このあたり、
プログラマという商売柄がある。そんなわけで、「だったら、コテハン(固定ハンドル)を
使って立場を明確にしろ」ということであれば、対応するつもりだ。

157132人目の素数さん2018/05/28(月) 15:56:30.55ID:DIMEHMYY
>>153 つづき
>>「Z/pZ」(つーか、どうせ自然数なんだから「N/pN」で構わんと思うんだが、
>> それは「整数論」という括りでいうと「自然数に 0 が入っちゃまずいだろう」という
>> 配慮があるんだろうと思う)というのは、単なる剰余系であって、
>> 「何に関して閉じているか」っつーのは、また別の話なんだよな?

> ここで何を気にされてるのかいまいちよく分かりませんが、
> 「閉じている」という表現は全体の一部分を見ているときに使う表現なので、
> この場合適切でないと思います。
>
> 例. 整数全体の中の奇数の集合は、積について閉じていて和について閉じていない。
>
> 「どういう演算を考えているか」を気にしているということでしょうか?

「群論」というと、整数論をちょっと齧った人間としては、まず「循環群」
(その集合の要素をすべて網羅すること)を連想してしまうのだよ。
だから、「2 をかける」という操作よりも、「3n + 1 という操作に関して、
その有限集合が閉じているか?」が気になってしまうのだ。そういう意味では、
「どういう演算を考えているか」が気になる。

158132人目の素数さん2018/05/28(月) 15:57:44.90ID:DIMEHMYY
>>153 さらにつづき
> あと一応もう一つ言葉にツッコんでおきますと、
>> だけど、Z/pZ に対して、任意の i かなんかを持ってくると、Z/nZ(×i)というのは、
>> 「全部廻れる」わけじゃないので、Z/pZ の部分群の和集合という形に
>> なるんだよな?
> この「部分群」もちょっと用法がおかしいです。
> 例えば Z/7Z を {0},{1,2,4},{3,5,6} に分ける、というような操作に関しての
> 発言だと思いますが、
> これを表現したければ「軌道」と言うのが適切かと思います(群論の言葉です)。

済まぬ m(_ _)m。「軌道」という言葉は別のサイトで使っちゃってたので、
あえて避けた部分がある。
「軌道」によって排他的(重なる要素がない)集合に分割される「群」の
部分集合、という意味で「部分群」という言葉を使っただけだ。

コラッツ集合を表す「木」という言葉も、「根本のほうで循環してるんだから、
『木』っておかしくねぇか?」みたいな議論は前スレでもあったと思うが、
「ビット列の中で、最初のオンビットから最後のオンビットまでを
“コラッツむし”と命名する」みたいなコンセプトで、「根っこが 1 ビットである
木構造」と捉えると、「木」と呼んでも しっくりくると思うのだが。

159132人目の素数さん2018/05/28(月) 16:37:50.04ID:DIMEHMYY
>>154
> 問)どんな自然数からでも、コラッツ操作とコラッツ逆操作を繰り返すことで
> 9 の倍数に到達できるか?

なんとなく意味は分かるのだが、どういう問題意識があるのかがピンとこない。
mod p の木に奇数 m があり、mod q の木に奇数 q があったとすると、(p と q が
互いに素だとして)Z/pqZ 上では「根である 1 まで下がって、また上がってくりゃ
いいだけの話じゃん?」と思う。

 「p と q の直近の(いちばん近い)共通の奇数 x があり、それぞれコラッツ操作に
よって x -> p と x -> q に至るルートを(効率よく)求める方法を(コラッツ操作と
コラッツ逆操作を それぞれ用いることで)示せ」っつーんなら、「ひょっとしたら、
なんとかなるかも知れん(オレが出来るとは言わんが)」くらいのことは言えるが。

160前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/28(月) 17:29:14.11ID:juv57CZY
>>159
私が考えているのは
「コラッツ予想は、初期値が n で割って k 余る数だけ考えれば十分である」
というのがどんな n, k についても成り立つか、という問題です。

それを証明するための一つの手段として、
「どんな自然数からでも、コラッツ操作とコラッツ逆操作を繰り返すことで n で割って k 余る数に到達できる」
を示そうと思っています。

ところで「mod p の木」とか 「mod q の木」などと私は一度も言っていませんが、何の話でしょうか。
Z/pqZ 上では「根である 1 まで下がって、また上がってくりゃいいだけの話じゃん?」、というのも意味がよく分かりません。

161Mb2018/05/28(月) 19:08:02.21ID:DIMEHMYY
>>160
要するに、
> 「コラッツ予想は、初期値が n で割って k 余る数だけ考えれば十分である」
> というのがどんな n, k についても成り立つか
というのは、
「コラッツ予想は、x ≡ k(mod n) だけ考えれば十分であるというのが、
どんな n, k についても成り立つか?」っつーのと同じことを謂っているように
思うのだが、うちらは「そのあたりに関しては、mod 3 と mod 4 の絡み合いに
関係していそうなので、なんだかんだで場合分けがややこしいことになりそうだ」
という話をしているだけなのだ。

そこで、
> それを証明するための一つの手段として、
> 「どんな自然数からでも、コラッツ操作とコラッツ逆操作を繰り返すことで
> n で割って k 余る数に到達できる」
> を示そうと思っています。
というのが、「コラッツ操作」と「コラッツ逆操作」を混在させてしまうと、
なんとなく迷走してしまいそうで、心配しているだけだ。

その発想だと、「共通の“節点”であるどこか」を経由しないと いかんような気が
するので、「根であるところの 1 へのルートをそれぞれについて求めて、
その差分を取る」みたいなアプローチが成功しそうに思う。

あくまで個人的な感想なのだが。

162Mb2018/05/28(月) 19:28:33.47ID:DIMEHMYY
>>160
> ところで「mod p の木」とか 「mod q の木」などと私は一度も言っていませんが、
> 何の話でしょうか。

原始根は複数個ありうるので、巡回群(剰余系における、全部の要素を辿る乗数系)も
複数個ありうるのだが、「一部の要素」をフォローする(単一の)乗数と、「その他の
要素」をフォローする乗数(その他大勢)が、全体として Z/pZ を隈なく覆う、
という「グループとしての、木の集まり」というものを考えて、「その集まりを
考えたときに、木の本数が、ある一定数よりも大きくならない」ということを
謂っているんだろうと思っているのだ。

それを考えると、「どこかの木に属している」ということは、「他の木に属していない」
という意味になりそうな気がするわけで、そうした「排他的な木」としての
「mod p の木」とか 「mod q の木」という概念はあっていいような気がするし、
それぞれの木が排他的に「すべての自然数」を所有しているとすると、
「グループとしての、木の集まり」がコラッツ問題をカバーしていることになり、
Z/(全部の木の基数の積)Z の存在を示すことができれば、コラッツ予想が肯定的に
証明できることになるような気がする。

163前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/28(月) 21:38:47.13ID:juv57CZY
>>161
mod 3 と mod 4 の絡み合いでややこしくなるとか、コラッツ操作とコラッツ逆操作を混在させて迷走しそうとか
心配はありがたいのですが、既に多数の n や k について証明できているのは見ていただけてるでしょうか。
「なんとなく」の印象だけで話されても困ります。

>>162
>「一部の要素」をフォローする(単一の)乗数
原始根にならない元のことでしょうか。よく分かりません。
数学の言葉でお願いします。

>「その他の要素」をフォローする乗数(その他大勢)
ここはもっとよく分かりません。

>Z/pZ を隈なく覆う、という「グループとしての、木の集まり」
軌道のことでしょうか。

>「その集まりを考えたときに、木の本数が、ある一定数よりも大きくならない」ということを謂っている
なんのことでしょうか。

164righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/28(月) 22:20:56.19ID:7MfED6re
>>142-145
説明ありがとうございます。完全に理解したとは言えないのですが……
このプログラムの実行には12時間以上かかったので、無駄にならなくて良かったです。

165132人目の素数さん2018/05/28(月) 22:30:29.54ID:vACmorEE
若干スレが荒れぎみですがこれも2chの華ですかね?

166前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/29(火) 08:17:04.68ID:uipUXNvy
>>164
よく粘りましたねw
逆に言えば、プログラムで数千、数万回計算して得られた結論がたった3レスで説明できた訳ですから、
この考え方をうまくプログラムに落としこめれば計算量を大幅に削減できる可能性も……

>>165
私の発言でそう思わせてしまったなら申し訳ありません。

167132人目の素数さん2018/05/29(火) 14:20:35.00ID:hqRqM8Wt
「すべての自然数 N に対して、偶数は(素因数分解したときの 2 の乗数について
割ったら)奇数に帰着する。

「『4で割って3余る奇数』は、ビット列で表現したときに、下位のオンビット列
(一個以上のビット列が並んでいるビットパターン)」に帰着するので、
「4で割って3余る奇数」に帰着する。

そうすると、「4で割って1余る奇数」に帰着するすべての自然数が、3n + 1 操作に
対して、「4で割って1余る奇数」に帰着するかどうかが問題になるわけだから、
「ある『n ≡ 1(mod 4)の数が、(3n + 1)/2 操作によって、『n' ≡ 1(mod 4)の数』に
なるとき、n' が単調増加して無限大に発散するかどうか?」という話に帰着する。

そんなわけで、そのとき、2 で割ったときに、「『2 < n| 2^n - 1』が無限連鎖するか?」という話になる。

自分は数学屋ではないので、数式を追っかけて解決する自信がない。

数値実験で見当をつけようと思う。

ロジックに穴があったら指摘していただきたい。m(_ _)m

168righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/29(火) 18:52:19.94ID:MoZwWLVJ
>>167
最後がよく分からないです。

> 2 で割ったときに、「『2 < n| 2^n - 1』が無限連鎖するか?」
詳しい説明が欲しいです。
例えば、ビット列で言うとこう、とか
プログラム(アルゴリズム)で書くとこう、とか。

169132人目の素数さん2018/05/29(火) 19:02:13.73ID:4lgsCN3f
>>166
まあここまでが順調過ぎましたからね
今の方が本来の2chの姿に近いかも
あまりガッカリせずに気長に行きましょう

170132人目の素数さん2018/05/29(火) 21:09:33.77ID:hqRqM8Wt
>>167
> 最後がよく分からないです。
>> 2 で割ったときに、「『2 < n| 2^n - 1』が無限連鎖するか?」
> 詳しい説明が欲しいです。

あ、ごめん。言葉が足りなかった。
最下位に「連続した2個以上のオンビットがある」というのが
n ≡ 3(mod 4)
ということなわけで、
その場合は「下位のメルセンヌ部分を除去したビット列に、
3n + 2 操作を行ないつづけることで、n ≡ 1(mod 4) に帰着する」
ということが謂える。
だから、「メルセンヌ部分を除いた本体が、増えるか減るか」が
肝心なところであって、「最下位に一個以上の 0 があって、本体の長さが
減る」のか、「最下位に二個以上の 1 が現れて、本体の長さが増える」のかが
問題になるわけだ。

その部分に着目すると、コラッツ操作の逆操作を考えたときに、かなり計算量が
減るように思うので、「コラッツ予想は 5 × 2^60 までは成り立つ」みたいな
ショボい話(IEEE の long よりも小さい)ではなくて、メルセンヌ素数的な
デカい数まで(たとえば 10^100 とかまで)コラッツ予想は成り立つことが、
“数値実験的に”ではなく、“数学的に”(といっても、コンピュータによる
実験的な検証が入っているので、数学的な厳密性に欠けているという点については
完璧ではないのだが)「コラッツ予想は成立する」と断言しちゃっていい、
みたいな話になると思うのだ。

171132人目の素数さん2018/05/29(火) 21:10:17.02ID:hqRqM8Wt
少なくとも、「フツーにプログラムを動かしていたら、例外が見つかった」とか、
飛行機が堕ちて死ぬとか巨大彗星が堕ちてきて人類が滅亡するとか、そういった
確率の何百万分の1以下のところまで絞りこめれば、「実用的には、コラッツ問題は
解決した」(とはいえ、コラッツ問題の実用性というのが、あるとは思えないが)と
言っちゃっていいと思う。
暗号理論だって、「偶然、解読のための鍵が見つかっちゃう確率は 0 ではない」という
意味では完璧ではないわけで、「じゃあ、具体的には、コラッツ予想は、どこまでの
範囲で成り立つのか?」という限界を、「可能性がありそうな部分を、一個づつ
ブルート・フォース・アプローチによって潰してゆく」より効率のよさそうな方法で
ツブしてゆくというアプローチがありそうに思う。

で、その過程で、「なんか、こっから先には なんにもなさそうな気がする」という
限界が うっすらと見えてきたら、そこから逆に「じゃあ、このあたりには何があるの?」とかいった見当がつくのかもしれない、と思う。

コラッツ予想はメルセンヌ素数 8,191 に絡んで、2^8191 - 1 あたりで組合せ論的には
頭打ちになると思う。実際にメルセンヌ数から出発してメルセンヌ数に落ちるケースは
127 かなんかが最高だったので、あとは「メルセンヌ数ではない数から出発して、
3n + 1 操作“のみ”によってメルセンヌ数に落ちる」ケースを潰してゆけば、
コラッツ予想が成立する限界点は もっと先まで確認できるように思うし、
ひょっとしたら(四色問題や有限群の分類みたいに)「この先は、組合せ論的にいって
ありえない」みたいなコトになるかもしれない(とはいえ、私は数学の専門家では
ないので、数学者の誰かが証明できたとしても、その証明を理解できる自信は
まったくないのだが(-_-!))。

てなワケで、現在探索を続行中。

172132人目の素数さん2018/05/29(火) 21:15:32.62ID:f2WjLLel
>>171
探索を実行中ってことはもうプログラムがあるってこと?
なんなら>>1みたいに晒してくれてもいいのよ?

173132人目の素数さん2018/05/29(火) 21:38:00.75ID:hqRqM8Wt
>>168
ごちゃごちゃ長文を書いてしまって申し訳ない。m(_ _)m

要するに、「いままで、『n 以下までにはコラッツ予想の
反例はない』というのを示すのに O(n) の手間がかかって
いたのだが、それを O(lon(n)) に持ってくことができたら、
5*2^60 とかいう ショボい話じゃなくて、 2^127 くらい
までは(できれば 2^4095 くらいまでは)持ってけねぇか?」
っつー話。

>>172
> 探索を実行中ってことはもうプログラムがあるってこと?
『Java の宿題ここで答えます』の回答者側の常連だったので、
「とりあえず動く」レベルのものはあるのだが、やっつけで
書いたもんだから(これが Hacker というものだ)あんまり
フツーのプログラマが見て分かりやすいモンじゃねぇんだよな(-_-!)
自前でやってる WebLog のほうに、近々さらすことにして、
ソーズは もうちょっと洗濯させてくれ m(_ _)m

174righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/29(火) 22:09:23.31ID:HdpfadtL
>>173
今ひとつ分からないので、自分はソースを待ちます。

175132人目の素数さん2018/05/29(火) 22:34:19.60ID:f2WjLLel
やはり>>786が論理を構築し>>1がその論理をプログラムで実装するというのがこのスレのベストプラクティス。
なにかいいネタはないかな。

176righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/29(火) 22:53:33.64ID:HdpfadtL
>>175
>>111とか、どうですかね?

177132人目の素数さん2018/05/29(火) 23:17:54.07ID:f2WjLLel
いまいちよくわかってないんだが>>111の@ABはそれぞれ別々に証明する必要があるってこと?
で@ABがいえればCがいえるってこと?

178前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/29(火) 23:19:19.88ID:z3i0m55/
>>175
プログラムの結果を参考にして証明を進める、までできれば私としてはベストですね。
今は>>166で書いた案について考え中。

>>176
>>111の@はなんとかなるかもしれません。
「繰り返すと1つになる」というよりは「繰り返しても集合の個数が増えない」という論法になりそうです。
ちょうど>>166のアイデアにも関連します。
このあと軽く説明します。

179righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/29(火) 23:30:01.77ID:HdpfadtL
>>177
@とAは対偶関係なので、
@を証明する→Bを証明する→Cが言える
です。

180前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/29(火) 23:38:41.79ID:z3i0m55/
そもそも>>92の説明がなぜあれだけで済んだのかというと

・mod 7*19 で考えるところを、mod 7 と mod19 に分けた。

・mod 7*19^2 で考えるところを mod 7 と mod 19^2 に分け、
 さらに mod 19^2 で考えるところは実質 mod 19 で考えるだけで済んだ。

ということが効いているんじゃないかと思います。
それで、一つ目はおいといて二つ目の
 mod 19^2 で考えるところが mod 19 で済む
という部分がポイントで、
こういうのが許されるのはちょうど「C を繰り返して集合が増えないとき」になりそうなんです。

さらに、プログラムを進めていくとどこかで「繰り返しても集合が増えない」となることも証明できそうなので、
これを利用してプログラムの計算量を減らせそう、という考えです。

時間があるときにちゃんと考えようと思います。

181前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/29(火) 23:51:01.24ID:z3i0m55/
(実際のところ、>>154が分かる人がどのくらいるのかちょっと気になる)

182righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/30(水) 00:00:21.34ID:SjK0M6Ur
>>181
自分は分かっている……つもりです……

183132人目の素数さん2018/05/30(水) 05:29:09.70ID:BsxBoGmV
2倍の繰り返しで
1→2→4→8→16≡7→14≡5→10≡1
0→1
3の倍数が残るけど2で割り続けて奇数になったあと
3n→3n×3+1≡1

でおしまい

2倍は「好きなだけ遡れる」ところがポイントかね

184132人目の素数さん2018/05/30(水) 07:45:42.08ID:pjE9OVg/
13 だったらまだ理解できるんだがな。

1 → 2 → 4 → 8 → 16 ≡ 3 → 6 → 12 → 11 → 9
→ 18 ≡ 5 → 10 → 20 ≡ 7

つーても、これがコラッツ予想の解決とどう結びつくのかがわからんが。

185132人目の素数さん2018/05/30(水) 07:46:53.88ID:pjE9OVg/
あ、
×

186132人目の素数さん2018/05/30(水) 07:48:45.57ID:pjE9OVg/
あ、
× 12 → 11 → 9
〇 12 → 24 ≡ 11 → 22 ≡ 9
だった。

187132人目の素数さん2018/05/30(水) 08:09:47.45ID:pjE9OVg/
mod 7、三倍(原始根は 3)
1 → 3 → 9 ≡2 → 6 → 18 ≡ 4 → 12 ≡ 5 → 15 ≡ 1

mod 19、二倍(原始根は 2)
1 → 2 → 4 → 8 → 16 → 32 ≡ 13 → 26 ≡ 7 → 14 →
28 ≡ 9 → 18 → 36 ≡ 10 → 20 ≡ 1

あたりが関係してくるらしいのは見当がつくんだが、
3n + 1 で巡回することを考えてみたらいいのか、
それとも 3 で割って 2 余る数について逆操作の (2n - 1)/3 を
考えたらいいのか …… わからん。

188前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/30(水) 08:32:25.52ID:8DwWThhE
>>183
残念
Z/9Z において 0→1 (3倍して1を足す) は可逆でないので、これだと不十分です。

実際、この方針で例えば 16 から 9 の倍数を作ろうとすると、
2 を 2 回かけて 16→32→64
1 を引いて 3 で割って 64→21
で、9 の倍数になりません。

>>184
確かに私の予想が証明できてもすぐにはコラッツ予想に繋がりませんが、
まあ外堀を埋めるような感覚です。
それに、もし万が一私の予想に反例が見つかれば、その時点でコラッツ予想も不成立となるので、
そういう意味ではコラッツ予想を直接攻めていると言えなくもないかなと。

189132人目の素数さん2018/05/30(水) 15:44:56.54ID:pjE9OVg/
>> 174
> 今ひとつ分からないので、自分はソースを待ちます。
ただ待たせっぱなしにするのも気づまりなので、
「メルセンヌ数から 1 に落ちる途中で メルセンヌ数を経由する」
という例は挙げておこうと思う。

7 <- メルセンヌ素数の 2 番
31 <- メルセンヌ素数の 3 番
127 <- 1 メルセンヌ素数の 4 番

511: 7 を経由
2047: 127 を経由
4095: 127 を経由
8191: 127 を経由
16383: 127 を経由
131071 <- メルセンヌ素数の 6 番。経由せず。
262143: メルセンヌ素数の 7 番。経由せず。
524287: 7 を経由
1048575: 7 を経由
2097151: 31 を経由
4194303: 31 を経由

でもって、

2^61 - 1 -> 31
2^62 - 1 -> 31
2^63 - 1 -> 31
2^64 - 1 -> 31

とかいう話になっているので、「コラッツ予想は数値実験によって
5*2^60 まで正しいことが確認されている」とかいった WikiPedia の
記述は、このあたりに絡んでいるのかもしれないと思う。

190righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/30(水) 18:37:06.75ID:0W4YjiD/
>>189
下位に2^n-1が出てくるだけじゃなくて、実際のメルセンヌ数も絡むの?!
ますます分からなくなる(>_<)

191132人目の素数さん2018/05/30(水) 19:01:13.88ID:pjE9OVg/
>>190
> 下位に2^n-1が出てくるだけじゃなくて、実際のメルセンヌ数も絡むの?!
> ますます分からなくなる(>_<)

だからコラッツ問題は面白いんじゃないですか (^_^)v

192132人目の素数さん2018/05/30(水) 21:14:57.31ID:fCXVi6t2
そういえば剰余コラッツ予想(前>>786の予想)の反例が見つかったと仮定して、
その反例から元のコラッツ予想の反例を求めることは簡単なの?

193前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/30(水) 23:24:08.24ID:8DwWThhE
>>192
(その名前使ってくれてありがとう)
これは簡単です。

剰余コラッツ予想の反例があるということは、
ある自然数 a,n,k が存在して
「a からコラッツ操作、コラッツ逆操作を繰り返しても、n で割って k 余る数に到達できない」
ということです。
このとき特に、a から k に到達することができません。

ここで、もし a,k が共にコラッツ操作で 1 になるとすると、
a→1→k のルートで a から k に到達できてしまい矛盾します。
したがって、a,k のいずれかがコラッツ予想の反例となります。

194132人目の素数さん2018/05/30(水) 23:43:24.81ID:fCXVi6t2
え、じゃあa,kのいずれかは5*2^60より大きくなきゃいけないってことか

195前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/31(木) 00:03:29.44ID:sTlF47Ao
>>194
あ、ほんとだ
素で気づいてませんでした。

ちょっとこれは認識を改めないといけないかもしれない

196righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/31(木) 00:15:22.71ID:hTYeS4Jm
プログラムもそこまでとか、ムリだからねっ

197righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/31(木) 00:24:01.59ID:hTYeS4Jm
>>195
ちなみに今のプログラムで反例が見つかっても>>193に繋げられる?

198前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/31(木) 00:41:52.06ID:sTlF47Ao
>>197
ちょっとまだ分かりません。
反例が見つかったら考えようと思っていました。

ちなみに今のプログラムは剰余コラッツ予想を完全に確かめられるものではない(>>101の話)ので、
5*2^60 以下でもプログラムでの反例が見つかる可能性はあります。

199righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/31(木) 00:46:19.98ID:hTYeS4Jm
弱い成果が得られるやつですよね。

200前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/31(木) 00:58:27.40ID:sTlF47Ao
そうですそうです。

201132人目の素数さん2018/06/02(土) 21:15:03.31ID:2LuxVRMt
n ≡ 1 (mod 4) に 3n + 2 操作を(連続して)行なったときに
何が出てくるかと、
n ≡ 1 (mod 4)に 3n + 1 操作を行なったときに、
n ≡ 0 (mod 2) と 1 ≡ 3 (mod 4) がどんなふうに
出てくるかと、
四進法で 11111 …… がどんなふうに出てくるかで
(これはどっちかというと効率上の問題)、
どうやら 2^63 の壁は突破できそう。
ただ、アルゴリズムの効率がいまひとつなので計算機パワーに
頼っているのと、数学的に理解しやすい表現に落ちないんだよな ……
連分数による無理数の近似を行なおうとすると、φがいちばん
誤差が収束しづらいとか、そんな話になりそうなんだよな。
遠山 啓先生の『初等整数論』の終わりのほうにもそんな話が
出てきてて、「うーん、オレが求めているのは、
そういう結果じゃないんだけどな」と思ってはいるんだが。

202132人目の素数さん2018/06/07(木) 19:47:31.27ID:ddCD53Qi
スレが止まってるが大丈夫か?

203righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/06/07(木) 21:30:24.45ID:hy9kJ5h9
特に進展がないのです……

204132人目の素数さん2018/06/07(木) 21:38:46.18ID:GMXTgnWv
>>202
「大丈夫だ。問題ない」… とは言えんな。
いまのところ2つのアプローチを考えている。
「下位のオンビット列を切り離して、3n + 2 操作を繰り返したあとに
残った 1(mod 4) に 3n + 1 操作を加えたときに
下位に何が(オンの連続かオフの連続か)出るか(そこで 0(mod 4) が
出るまではいいとしても)」、数学的に考えると「下位のオンビット列を
切り離す」操作をどう考えたらいいかとか、操作が複数になるので
理論的にややこしくなるという問題がある。
かといってそれを素直にビット列で考えてコンピュータで
処理しようと思うと、桁数が多くなる(2^63 を超えたあたり)と
31(2^5 - 1)とかが出てきて収拾がつかなくなりそうな
気がする。
数学的素養にしろコンピュータの性能にしろ、
「そんな装備で大丈夫か?」的な不安はある。

205132人目の素数さん2018/06/08(金) 13:40:04.11ID:gOsCxwff
数学板でこれを言ったらボロクソに叩かれるのは承知しているが、
「1 ビットに収束する という制約を外して、セルオートマトンで表現する」
とかいった形で画像にしてみて、
その画像に FFT とか ウェーブレット変換とかをかけて挙動を推測する、
とかいうアプローチは あるんじゃねぇ?
画像で表現したときに、「最終的にONな 1 ビットが移動するだけ」になるのは
(実験的には)確認されているんだから、画像的に逆三角形が「どん」という
感じで出現するかどうか、っつー話なわけだから。

206132人目の素数さん2018/06/08(金) 20:05:54.99ID:ID4JGGod
アイディアを出すのは構わないが実装するのはきみだ

207132人目の素数さん2018/06/08(金) 20:12:20.69ID:gOsCxwff
>>206
> アイディアを出すのは構わないが実装するのはきみだ
解ってる。問題は「他にできる奴がいねぇ」っつー点なんだわ。
やんなくていいから、せめて まともなツッコミくらい
入れてくれないと、気分が萎えるんだよ。

208132人目の素数さん2018/06/08(金) 20:43:30.22ID:ID4JGGod
まともな突っ込みが欲しければもっとアイディアを具体化してくれ。
まだ突っ込み云々の段階じゃないだろ。

209132人目の素数さん2018/06/08(金) 21:15:37.98ID:gOsCxwff
>>208
> まともな突っ込みが欲しければもっとアイディアを具体化してくれ。
わかった。要するにお前は
「下位に 0 または 1 が連続するパターンに、
3n + 1 の逆操作を(偶数を経由せずに)1(mod 4) に
至る数の性質を明らかにしろ」っつーコトだな?

そんなもん、簡単にできたら苦労しねぇよ orz

210132人目の素数さん2018/06/08(金) 21:50:50.71ID:gOsCxwff
>>209
> そんなもん、簡単にできたら苦労しねぇよ orz
いや待て。ちょっと待て。
> 「下位に 0 または 1 が連続するパターンに、
> 3n + 1 の逆操作を(偶数を経由せずに)1(mod 4) に
> 至る数の性質を明らかにしろ」
っつても、「偶数を経由せずに」じゃなくて、
「1(mod 4)を経由せずに」なんじゃねぇの?
(末尾が二進数で 00 とか 01 とか 11 だったら、
別のケースに帰着しちゃうんだから)
これだったら結構 効率よく追っかけられそうな
気はするんだよな
頑張ってみる。サンクス。>>208

211132人目の素数さん2018/06/09(土) 09:51:12.21ID:12rdjGpD
>>210
× 「偶数を経由せずに」じゃなくて、「1(mod 4)を経由せずに」
〇 「偶数を経由せずに」じゃなくて、「1(mod 4)だけを経由して」

212righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/06/09(土) 19:25:47.19ID:3gm5u4YA
プログラムを使って、
n=3037から6367までの素数396個、全て正常終了を確認しました。
オールNothing出ないですね……

213132人目の素数さん2018/06/09(土) 19:32:18.47ID:XXNgJp1+
ほほう。
>>1乙です。

214132人目の素数さん2018/06/09(土) 19:39:31.39ID:XXNgJp1+
ちなみに素数に絞ったのはなにか根拠があるんですか?
それともなんとなくですか?

215righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/06/09(土) 19:59:06.87ID:3gm5u4YA
本当はむしろ合成数をやりたかったのです。
素数なら30分で終わるところが、合成数だと2時間かかったり。
ほんで素数にしました。

216132人目の素数さん2018/06/09(土) 20:20:31.16ID:12rdjGpD
>>212
とりあえずコラッツ予想の反例が出なかった、という意味では
順当な結果だと思います。ともあれご苦労様ですm(_ _)m
そうすると、現時点で「コラッツ予想が成立する数の上限値」と
いうのは、どの程度なんでしょうか。
IEEE の 64 bit INT(=Java の long)までは反例がない、
とかいった話ではあるんでしょうか。

217righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/06/09(土) 20:48:37.47ID:3gm5u4YA
>>216
>>189の後半に
>「コラッツ予想は数値実験によって
>5*2^60 まで正しいことが確認されている」
>とかいった WikiPedia の記述
があるからそれだと思います。

218132人目の素数さん2018/06/10(日) 02:56:21.72ID:tquT+eik
>128ですが、また別のアプローチを試みてみたところ、少し面白い結果が得られたのでご報告。既知の情報だったら申し訳ないですが…

「ある奇数にコラッツ操作(3n+1→奇数になるまで2で割る)を試みた結果どんな数になるか」をまとめたところ、以下のような規則性があるのに気づきました。

操作後の数をAとして、Aを3で割った余りが
○1(1.7.13…)の場合:(A*4-1)/3を初項として、以下(4n+1)と掛け合わせた数がAとなる
(1←1.5.21.85…)(7←9.37.149.597…)

○2(5.11.17…)の場合:(A*2-1)/3を初項として、以下(4n+1)と掛け合わせた数がAとなる
(5←3.13.53.213…)(11←7.29.117.469…)
○0(3.9.15…)の場合:コラッツ操作でAになる数は存在しない


一旦切ります。

2192182018/06/10(日) 03:30:20.71ID:tquT+eik
続きです。

で、余り0はほっといて、余り1と余り2をそれぞれまとめてみました。

1: 1. 5. 21. 85. 341. 1365…
7: 9. 37.149. 597. 2389. 9557…
13:17. 69.277.1109. 4437.17749…
19:25.101.405.1621. 6485.25941…
25:33.133.533.2133. 8533.34133…
31:41.165.661.2645.10581.42325…

5: 3.13. 53. 213. 853. 3413…
11: 7.29.117. 469.1877. 7509…
17:11.45.181. 725.2901.11605…
23:15.61.245. 981.3925.15701…
29:19.77.309.1237.4949.19797…
35:23.93.373.1493.5973.23893…

…縦と横を入れ替えると、全部等差数列になってるんですよね、これ。

もう少し続きます。

2202182018/06/10(日) 03:41:04.40ID:tquT+eik
続きです。長くなってしまって申し訳ない。

3.7.11.5.19.23 初項3 公差4
1.9.17.25.33.41 初項1 公差8
13.29.45.61.77.93 初項13 公差16
5.37.69.101.133.165 初項5 公差32
53.117.181.245.309.373 初項53 公差64
21.149.277.405.533.661 初項21 公差128
213.469.725.981.1237.1493 初項213 公差256
85.597.1109.1621.2133.2645 初項85 公差512
853.1877.2901.3925.4949.5973 初項853 公差1024
341.2389.4437.6485.8533.10581 初項341 公差2048
3413.7509.11605.15701.19797.23893 初項3413 公差4096
1365.9557.17749.25941.34133.42325 初項1365 公差8192

…。

1+2=3
3+2=5
5+8=13
13+8=21
21+32=53
53+32=85
85+128=213
213+128=341
341+512=853
853+512=1365
1365+2048=3413

なんていう分布を見ると、「それぞれの項目が重なり合わないように敷き詰められている」ように思えてなりません。素人なんではっきり証明できる力はないのですがorz

以上、気づいた点のご報告でした。
スレ汚し失礼いたしました。

221132人目の素数さん2018/06/10(日) 08:07:49.10ID:GkYmcQpB
初項2x+1 (x:整数)
漸化式 a_(n+1)=4 a_n+1
で与えられる数列の各項はコラッツ予想の操作で合流する

(2x+1)×3+1=6x+4
(4(2x+1)+1)×3+1=24x+16=4(6x+4)

一般項a_n=((6x+4)/3)^n-1/3

222132人目の素数さん2018/06/10(日) 08:29:53.23ID:GkYmcQpB
重ならないように、というのは、
×4+1した隙間の奇数が次々に出てくるのかな

223132人目の素数さん2018/06/10(日) 09:11:07.49ID:gH+TEyZw
>>202
> 「それぞれの項目が重なり合わないように敷き詰められている」ように思えてなりません。
コラッツ予想は、言い方を変えると「4で割って3余るすべての奇数は、
『3倍して1を足す』『2で割る』という二つの操作によって、
1を根とした二分木上に一意に配置される」ということだから、
その認識は正しいと思います。

> 素人なんではっきり証明できる力はないのですがorz
まぁまぁ、そうおっしゃらずに。数学者は数学的な道具の取り扱いに長けているので、
つい自分の使い慣れた道具で扱おうとして、結果的に灯下探索症候群に
陥ることもあるようですから、素人目線も重要ですよ。
行列を使って永らく未解決だった問題が、連分数や図的解法(古代メソポタミアでは
普通に使われていましたが、二十一世紀に再評価されるまで、ほとんど博物館の
展示物扱いでした)で あっさり解けちゃった例もありますし。
ヘヴィサイドの演算子法みたいに、「とにかく解けるんだからいいじゃないか」と
いうのに後から数学的なリクツがついてきた、という例もあるので。

224132人目の素数さん2018/06/10(日) 09:27:08.31ID:gH+TEyZw
>>218 の指摘は、「二分木上に一意に配置される」という観点からいうと、
ある「4で割って1 余る奇数」を d (odd の d です。o だとゼロと紛らわしい
ので)としたとき、「d が d≡0(mod 3)のときには、そこより先に(次の数 d' が
出てくるような)枝はない」「d が d≡1(mod 3)のときには、奇数枝が出ないので、
あるとすれば偶数枝の先に d' がある」「d が d≡2(mod 3)のときには奇数枝も
出るので、奇数枝と偶数枝の両方の先に d' (とか d'' とか)がある可能性がある」という
話になるんじゃないか、と思います。ですから、非常に納得のゆく視点です。
等差級数うんぬんの話というのは、そこから自然に導かれる帰結なのでは
ないでしょうか。

225132人目の素数さん2018/06/10(日) 09:38:45.60ID:gH+TEyZw
>>224
ごめんなさい。「奇数枝」というのは、「(3n + 1) / 2 操作によって
奇数に至るルート」なので、途中で偶数を経由しています。したがって、
「3n + 1 操作」ベースで考えると、「それは偶数枝として一般的に
扱ったほうが適切なんじゃねぇんの?」という批判は(たぶん)
あるかと思います。

226132人目の素数さん2018/06/10(日) 11:33:20.33ID:GkYmcQpB
1
2
4←1
8
16←5
32
64←21
128
256←85
512


5
10←3
20
40←13
80
160←53
320
640←213
1280

227132人目の素数さん2018/06/10(日) 11:48:45.88ID:GkYmcQpB
一般化するとこんな感じで枝分かれを繰り返してくわけだが

6n+1
12n+2
24n+4←8n+1
48n+8
96n+16←16n+5
192n+32
384n+64←128n+13


6n+5
12n+10←4n+3 「奇数枝」はここかな?
24n+20
48n+40←16n+13
96n+80
192n+160←64n+53

228132人目の素数さん2018/06/10(日) 13:29:24.03ID:gH+TEyZw
>>227
> 12n+10←4n+3 「奇数枝」はここかな?
よく分からんが、たぶんそうだと思う。
>>114 の再録になるが、
> 242:242 -> 161 -> 107 -> 71 -> 47 -> 31
> 728:728 -> 485 -> 323 -> 215 -> 143 -> 95 -> ☆63
> 1214:1214 -> 809 -> 539 -> 359 -> 239 -> ☆159
> 1700:1700 -> 1133 -> 755 -> 503 -> 335 -> 223
> 2186:2186 -> 1457 -> 971 -> 647 -> 431 -> 287 -> 191 -> 127
> 2672:2672 -> 1781 -> 1187 -> 791 -> 527 -> ☆351
> 3158:3158 -> 2105 -> 1403 -> 935 -> 623 -> 415
> 3644:3644 -> 2429 -> 1619 -> 1079 -> 719 -> 479 -> 319
> 4130:4130 -> 2753 -> 1835 -> 1223 -> 815 -> ☆543
> 4616:4616 -> 3077 -> 2051 -> 1367 -> 911 -> 607
> 5102:5102 -> 3401 -> 2267 -> 1511 -> 1007 -> 671 -> ☆447
> 5588:5588 -> 3725 -> 2483 -> 1655 -> 1103 -> ☆735
> 6074:6074 -> 4049 -> 2699 -> 1799 -> 1199 -> 799
> 6560:6560 -> 4373 -> 2915 -> 1943 -> 1295 -> 863 -> 575 -> 383 -> ☆255
> 7046:7046 -> 4697 -> 3131 -> 2087 -> 1391 -> ☆927
> 7532:7532 -> 5021 -> 3347 -> 2231 -> 1487 -> 991
> 8018:8018 -> 5345 -> 3563 -> 2375 -> 1583 -> 1055 -> 703
> 8504:8504 -> 5669 -> 3779 -> 2519 -> 1679 -> ☆1119
> 8990:8990 -> 5993 -> 3995 -> 2663 -> 1775 -> 1183
> 9476:9476 -> 6317 -> 4211 -> 2807 -> 1871 -> 1247 -> ☆831
> 9962:9962 -> 6641 -> 4427 -> 2951 -> 1967 -> ☆1311
みたいな系列だ。

229132人目の素数さん2018/06/10(日) 13:37:00.64ID:gH+TEyZw
あ、念のため。
このスレに集っている方々にとっては常識だろうけれど、
‘☆’がついてるのは、三の倍数(n ≡ 0 (mod 3))の場合な?
「偉そうに」とか「上から目線」とか、そう思われるのは
不本意なので。

230righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/06/10(日) 15:13:02.69ID:FdIQbMom
>>218
自分も昔似たような事を考えていました。
http://d.hatena.ne.jp/righ1113/touch/20120424/1335240503#1335240503
でも後が続かないのですよね……

同じ事を考えた方がいたのは嬉しいです。

231132人目の素数さん2018/06/10(日) 16:52:17.37ID:gH+TEyZw
>>230
> 同じ事を考えた方がいたのは嬉しいです。
つーか、似たようなことを考えてる輩(やから)が
このスレに集まってるんだろうがよ(笑)。

2322182018/06/11(月) 07:22:40.87ID:l+PAssIA
>222

>220を初項の小さい順に並べ直してみると、
1.9.17.25.33.41…a
3.7.11.15.19.23…b
5.37.69.101.133.165…c
13.29.45.61.77.93…d
21.149.277.405.533.661…e
53.117.181.245.309.373…f

a___a___a___a___a___a___a___a___a
_b_b_b_b_b_b_b_b_b_b_b_b_b_b_b_b_
__c_______________c______________
______d_______d_______d_______d__
__________e______________________
__________________________f______

と、フラクタル的な配置が出現しているように思います。
言い換えれば、全ての奇数がこの配置のどこかに格納される事が証明できれば、「とんでもなく大きな数で例外が現れる」可能性を除去できるのではないかと考えたんですが、いかがでしょうか?

あとは、この数列が例外なくコラッツ操作後1に繋がる(1.5.21.85.341.1365…)の数列に帰結する事が証明できれば、コラッツ予想を証明したと言えるのではないかと。
(「そんなんできねーよw」と自分では思ってたんですが、>221が糸口になりそう?)

頓珍漢な事を言ってたら申し訳ないです。

233132人目の素数さん2018/06/11(月) 08:14:51.55ID:CCISXKIi
>>232
いや、発想としては順当だろうと思う。>>205 も発想としては同じだろう。
下向きの三角形というのは、一次元セルオートマトンではしょっちゅう
出てくるパターンだし、タガヤサンミナシ(イモガイの一種)の模様にも
あるような普遍的なパターンなので、シェルピンスキーの三角形みたいに
大きな三角形が「ずどん」と出るケースをうまく避けられれば
証明に結びつくと思う。
…… つーか、そのネタはウラムも思いついていて、ノイマンあたりと一緒に
追いかけてたかもしれない。それでコラッツ→ウラム→ノイマン→角谷と
伝わって、ここでこうして議論されているという話はありうる。

234132人目の素数さん2018/06/11(月) 08:16:22.58ID:CCISXKIi
×シェルピンスキーの三角形
〇シェルピンスキーのギャスケット

235132人目の素数さん2018/06/11(月) 08:42:28.48ID:CCISXKIi
あと、厳密な(解析的な)解決には結びつきそうもないが、
セルオートマトン → チューリング → 二重勾配 → 形態形成
→ フィボナッチ螺旋 → 互除法 → 連分数 みたいなルートは
なんとなく臭い、と思う。「二重勾配」あたりに位置するのが、
「ビットシフト」と「算術演算」(2n + n + 1 = 3n + 1)
であり(こっちが速い過程)、結果的に起きるキャリー(繰上り)の
連鎖とビットパターンの分布の相互作用(こっちが遅い過程)
ではないかと。そのあたりが話をややこしくしているように思う。

236132人目の素数さん2018/06/12(火) 07:21:50.27ID:/TgiGIzK
オートマトンといえば昔考えた、
×3+1を計算する有限オートマトン

文字: 0,1,空白
先頭が下位の2進数、後は空白のテープを考える

状態: 0(×3+0), 1(×3+1, 初期状態), 2(×3+2), 3(停止).
遷移表:(移動は常に右)
遷移|0 |1 |空
s0|0/s0|1/s1|空/s3|
s1|1/s0|0/s2|1/s3|
s2|0/s1|1/s2|0/s1|

例:7×3+1=22
s1: [1]11空空空
s2: 0[1]1空空空
s2: 01[1]空空空
s2: 011[空]空空
s1: 0110[空]空
s3: 01101[空]

停止せずに折り返して先頭の0を空白に置き換えるように改造すればコラッツ問題を再現するけど、停止しなくなる

1…10と0…01が状態s1を保つので、これでうまく分類できないかなぁ、まで考えた

237132人目の素数さん2018/06/12(火) 13:08:59.15ID:B3CrVbdR
>>236
> まで考えた
Java の開発環境があるなら、前にも「それなりに頑張ってるんだけど」
的な話をしたので、 Java のソース貼るけど?
ただ、ム板(プログラム技術板)でも「ソース貼られると
読んでて邪魔だ」と言われて嫌われて、
「どっかいけ」みたいな感じで追い出されたのだが。
『★★ Java の宿題ここで答えます Part 74 ★★』とかに
“出題”してくれれば、名目が立つんだが。

238132人目の素数さん2018/06/12(火) 19:25:58.43ID:psqSBNTM
>>1みたいにgithub使えばよろし
まあ、無理にとは言わんが

239132人目の素数さん2018/06/12(火) 21:30:52.62ID:B3CrVbdR
>>238
> github使えばよろし
> まあ、無理にとは言わんが
WikiPedia によれば、GitHub は
> 2018年にマイクロソフトによる買収が発表されている
そうだ。
ゲイツが死んで三十年くらい経ったら考えてみてもいい。

240132人目の素数さん2018/06/12(火) 21:33:17.05ID:psqSBNTM
もしかして言語がJavaなのもアンチゲイツのせいなのか?w

241132人目の素数さん2018/06/13(水) 09:31:54.51ID:86YPnV22
>>240
Eclipse を使ってるのもアンチゲイツのせいだw
Eclipse の原型は OS/2 で動いてた VisualAge C/C++ なんだぜ。

242132人目の素数さん2018/06/13(水) 19:07:29.31ID:86YPnV22
ところで、このスレはコンピュータ使いが多いと思うんだが、

・計算器で限界に挑戦するなら C 言語
・プログラマが本業だったら、仕事にも使える Java
・研究とかも含めて、ロジックとか そっちの方にも視野を
向けてるんだったら Lisp 系
・教育のほうに向いているんなら N-BASIC とか Mathematica とか

みたいな言語ごとの棲み分けみたいなのがありそうに思うんだが、
お前ら何(=どんな言語)使ってる?

243132人目の素数さん2018/06/13(水) 20:27:07.06ID:9eZXXRM3
そういやコラッツてプッシュダウンオートマトンとかで実装できるの?

244132人目の素数さん2018/06/13(水) 21:21:20.83ID:86YPnV22
>>243
なんかしら Wolfram がチューリングマシンをどうこうして、
どっかの学生が証明したのなんだの、という話が
二三日前の新聞にあったような。

                   ggrks 、とセルフつっこみ。

245righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/06/13(水) 21:27:55.75ID:RdFyYz3+
>>243
チューリングマシンなら、あるんだがなあ。
https://m.youtube.com/watch?v=t9nbkS-5bv8#

246132人目の素数さん2018/06/13(水) 21:33:44.48ID:9eZXXRM3
そりゃチューリングマシンはあるだろうさ

247132人目の素数さん2018/06/13(水) 22:05:18.39ID:6aITicNF
JavaScript で実装してみた
たぶん新しめのブラウザでないと動かない
最上位の1は暗黙の存在とし、内部的には全部'_'になって止まる

第1引数は下位を先頭とする2進数の文字列
(※最上位の1は入力からは除外する)
第2引数は途中で止めたい時用に処理する最大桁数
出力は途中経過の配列(最上位の1は補完)

function collatz(a,m){
const STT=[
['___','___','___'], // 停止
['10L','11L','6_R'], // 最下位まで戻る
['___','___','10L'], // 繰り上がり処理
['30R','41R','11L'], // ×3+0
['31R','50R','20R'], // ×3+1
['40R','51R','21R'], // ×3+2
['6_R','5_R','0_R'], // 割る2
];
let s=6, i=0, r=[a+1];
a=[...a];
while(s>0&&i<m){
let c='01'[a[i]]||'2';
let n=STT[s][c];
s=n[0]; // 状態
a[i]=n[1]; // 文字
i+=(n[2]=='R')?1:-1; // 移動
if(s==6)r.push(a.join('')+1);
}
return r;
}

248132人目の素数さん2018/06/13(水) 22:08:23.72ID:xW9095UW
>>247
ん、これコラッツのプッシュダウンオートマトンなの?

249132人目の素数さん2018/06/13(水) 22:12:54.50ID:6aITicNF
なお出力の途中経過は×3+1,÷2のいずれかが完了したところだけ出してる

250132人目の素数さん2018/06/13(水) 22:13:28.53ID:6aITicNF
あ、プッシュダウンではないね
ただのオートマトン

251132人目の素数さん2018/06/13(水) 22:14:59.61ID:xW9095UW
有限オートマトンのこと?
コラッツってそんな弱いの?

252132人目の素数さん2018/06/13(水) 22:25:22.86ID:6aITicNF
弱い強いはよくわからんが
「ある整数からコラッツ問題の通りに計算を続けて1に到達する」と
「ある整数に対応する初期状態から開始すると止まる」が同値になるオートマトンは作れるかな?
というわけで作ってみたのだが

253132人目の素数さん2018/06/13(水) 23:07:39.84ID:xW9095UW
うーん、プログラムが正しくオートマトンの制限を守ってるかどうか判断できない orz
パッと見、チューリングマシンのようにも見える。LとかRとかあるし。

254132人目の素数さん2018/06/13(水) 23:23:40.12ID:6aITicNF
オートマトンは進む一方か……
チューリングマシンだったねこれ

255132人目の素数さん2018/06/13(水) 23:34:57.10ID:6aITicNF
とりあえずwikipediaで定義を見直してきましたが、チューリングマシンと呼ぶべきですね
チューリングマシンをオートマトンの一種とするならオートマトンといえなくもないかもですが……
有限オートマトンではありません
なんかごっちゃになってましたねー

256132人目の素数さん2018/06/15(金) 19:53:54.10ID:uqoBws9V
まあ、プッシュダウンオートマトンでコラッツを実装で来たらそれはそれで一定の成果なのかな?
コラッツ予想が真なら究極的には1状態有限オートマトンでもおkなわけだから無い話ではないはず。

257132人目の素数さん2018/06/15(金) 21:09:22.84ID:uqoBws9V
プッシュダウンオートマトンで実装で来たら無限に発散しないことが言えてしまう?

258132人目の素数さん2018/06/15(金) 21:10:02.85ID:uqoBws9V
いや、そうともかぎらんか。スマソ

259前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/06/18(月) 00:49:33.21ID:R9ITlpR3
すっかり別の話が進んでいるようですし、
私の方はなかなか次の話ができる見込みがないので、
私から剰余コラッツ予想についての話題を出すのは一旦休みたいと思います。
ここまでお付き合い下さった皆様、ありがとうございました。

260righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/06/18(月) 03:15:08.94ID:WdqZRIIM
残念ですぅ

261132人目の素数さん2018/06/18(月) 08:13:14.97ID:M5JNYBjP
解決に結びつくような話ではないのでスレ違いなんだが、
アラン・チューリングがチューリング・マシンの論文を
発表したのが一九三六年で、ローター・コラッツが
コラッツ予想を提出したのが一九三七年だろ?
なんかしらの関係はあったんだろうかね?

262132人目の素数さん2018/06/18(月) 08:44:33.72ID:M5JNYBjP
やべぇ。コラッツ予想は連続体仮説や選択公理みたいに、
証明不能であるかもしれないという疑惑が出てきた。
>>244 >>245
で話題になってたのは Wolfram が提出した問題なんだが
コラッツ過程を実行するチューリングマシン
(テープ上に、1, 0, -(データなし)の三状態が記録できる。
で、二往復すると、コラッツ過程が1ステップ進む)が、
万能チューリングマシンであることが示されたらしい
>>245 の動画は、その実行例のデモ)。
そうなると、コラッツ予想は万能チューリングマシンの
停止性問題に帰着しそうな気がするんだが、どうだろう。
それとも「遷移規則をうまく構成する」ことで万能チューリングマシンを
実現することができるだけなので、「コラッツ予想を説くための
具体的な遷移規則」を与えたときに停止性が謂えるかどうかは、
まったくの別問題なのかな?

263righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/06/18(月) 10:36:46.36ID:qNaPdH2s
>>262
Wolframが提示して学生が解いたチューリングマシンは2状態3色で、8状態3色のコラッツとは別物ですね。
https://ja.osdn.net/projects/descartes/wiki/ExPzWTuring
またおっしゃる通り、万能チューリングマシンに具体的な遷移規則を与えると、ある1つのチューリングマシンと等価になるので、万能性は消失すると思います。

264132人目の素数さん2018/06/18(月) 13:50:07.33ID:M5JNYBjP
>>263
ありがとう。安心した。

265132人目の素数さん2018/06/18(月) 21:39:43.70ID:mGDl57cN
コラッツ過程を実行するチューリングマシン
(テープ上に、1, 0, -(データなし)の三状態が記録できる。
で、二往復すると、コラッツ過程が1ステップ進む)が、
万能チューリングマシンであることが示されたらしい

これソースあるなら教えてくれる?
ひょっとしたら万能性が消失してないという話なのかもしれないので。
可能性は低いと思うけど。

266132人目の素数さん2018/06/19(火) 06:40:39.47ID:EReiwMfo
>>126
論文はこちら
ttp://www.wolframscience.com/prizes/tm23/TM23Proof.pdf
あとはこことか
ttp://reference.wolfram.com/language/example/VisualizeTheEvolutionOfATuringMachine.html.ja
動画はガイシュツだけどこれ
ttps://m.youtube.com/watch?v=t9nbkS-5bv8#

267132人目の素数さん2018/06/19(火) 06:46:57.18ID:EReiwMfo
あとはこれも
ttp://www.wolframscience.com/prizes/tm23/

268132人目の素数さん2018/06/19(火) 06:53:13.41ID:EReiwMfo
オートマトン関係ないけど、本筋的にはこんなのも
ttp://mathworld.wolfram.com/CollatzProblem.html

269132人目の素数さん2018/06/19(火) 22:10:02.87ID:3mIZP/N3
>>266
コラッツがチューリング完全とは書いてないっぽい

270132人目の素数さん2018/06/21(木) 13:52:02.84ID:qX+RK+7d
「何か進展はあるか?」みたいな話だとスレが進まないだろうけど、
「こういうアプローチはどうだろう?」みたいな
雑談っぽい話はあってもいいように思う。
このスレの住民は、悪戦苦闘したあげくに
このスレにいるわけだから、
たぶんバカにしたりとはしないぞ?
中学生とかが「こんな感じなんですけど、どうでしょうか?」
みたいな話をしたら、たぶん懇切丁寧に説明してくれるはずだ
(逆に、そういう初心者をバカにしたりしたら、総がかりで
ボコられると思う)。
このスレは数学板の中では、かなり優しいスレのうちに
入ると思う。

271132人目の素数さん2018/06/21(木) 19:09:13.28ID:3VWwsuqs
この手の問題は何をしたら証明したことになるのかが難しい
すぐに思いつくのは反例を見つけることだけど見つかる気がしない
この予想が正しかったら証明する方法なくね?って思ってしまう

272132人目の素数さん2018/06/21(木) 20:42:50.94ID:qX+RK+7d
>>271
とりあえず、ルートを逆に辿ることはできるんだから、
一意性は成り立っているわけだ。
だから、「任意の『4で割って1余る数』について、
なんかしらの順序的な保存量が定義できる」というのが表せれば、
証明になるんじゃないか?
現状、コラッツ操作によって値が上がったり下がったりするから、
「順序的な保存量」というのが定義できないわけだから。

273132人目の素数さん2018/06/21(木) 20:46:10.50ID:qX+RK+7d
>>271
あ、保存量として「何ステップで1に到達するか」を取るってのは
ナシだぞ?(笑) 「有限のステップで、必ず1に到達する」って
いうのが証明されてないわけだから。

274132人目の素数さん2018/06/22(金) 09:22:26.66ID:fZs8skv2
>>271
問題構造としては、「原始ピタゴラス数が三分木で表される」って
いうのと、ほぼ逆なんだよな。あっちは「最小の元から初めて、
三つの操作によってすべての元が一意に表せる」ことが解ってて、
「任意の元から最小の元へのルートが求められない」つーのが
問題だった。
コラッツ問題の場合は、「任意の元から最小の元へのルートが求められる
ことは、かなり確からしい(ただし、本当に最小の元へのルートがあるかは、
不明)」。で、「最小の元に二種類の操作を行なうことによって、
すべての元(任意の自然数)が一意に表される」かどうかは、
いまのところ不明であると。
なんか、自然数域から何か別の空間への写像を考えて、その別空間の
なかで、ある量に対する半順序構造が成り立つ、みたいなアプローチに
なるのかな?
たとえば f(128) < f(31) とか。

275132人目の素数さん2018/06/22(金) 09:46:11.31ID:fZs8skv2
わかりきったことを雑多に書くので落書きみたいなことに
なってしまうが、いちおう書いてみる。すまぬ。

2^∞=∞で、「2で割る」操作が無限回必要だから、これは考えない。
したがって、[1, ∞) という自然数の開集合の中で考える。
n が偶数の場合は、n/2 に帰着するので、
「[1, ∞)の中の奇数」({n|n は奇数かつ n∊[1, ∞)})について考えれば足りる。

で、たしか
n が n≡3(mod 4) のときは、そこから先に奇数が出てこないので、
「{n|n ≡ 1(mod 4) ∧ n∊[1, ∞)}」について考えれば足りる。
みたいな話になってたような気がするんだけど、これで議論は
足りてるかな?

276132人目の素数さん2018/06/22(金) 17:03:30.74ID:fZs8skv2
>>275
あ、ぜんぜん足りてねぇな。
n ≡ 0 (mod 3) のケースについての話がなんにもない。
そのあたり、真面目に(高校生にも解るように)書いてると、
なんかしらスレを消費するだけなんだよな。

誰か(スレ主とか)が「やれ」って言ってくれりゃあ、
やるけど。

277132人目の素数さん2018/06/22(金) 20:03:26.94ID:iMFpB+6q
ごめん保存量とか知らない単語が出てきて自分には理解できなかった

自分で考えてて思いついたのは数学的帰納法くらいで
1〜kの自然数が1に収束するならk+1も1に収束する、ということが言えれば証明できるのかなと
k+1が偶数なら次が(k+1)/2 < kだから1に収束する
k+1が4で割って1余るならkは4の倍数で次の3k+4も4の倍数
次の次が(3/4)k+1 < kだから1に収束する
あとはk+1が4で割って3余る場合を考えればいい
でもその先はパターンが無限の組み合わせになりそうだからこの方法では解けなさそう

278righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/06/22(金) 20:38:25.49ID:8OiWJMk5
>>275
ここってどういう意味?
> n が n≡3(mod 4) のときは、そこから先に奇数が出てこないので、

279132人目の素数さん2018/06/22(金) 21:02:12.79ID:fZs8skv2
>>277
> ごめん保存量とか知らない単語が出てきて自分には理解できなかった
いや、数学的には正確になんというか知らんのだが、
全部の要素が順番に並んでて、
「最初のものについて成り立つ」
「あるものについて成り立つならば、“その次のもの”について成り立つ」
「だったら、全部のものについて成り立つ」
っていうのが、数学的帰納法だろ?
現代数学って、「次の数」ベースで成立してる(ペアノの公準。「数え主義」
あるいは「順序数による」定義)で成り立っているので、「加法が成立する」っていう「量に基づく
考え方」(基数による定義)とは、ちょっと相性が悪いんだ。
「1は自然数である」「自然数+自然数は自然数である」みたいなやりかたは、
現代数学じゃなくって、むしろ「算数」の考え方なんだよ。

280132人目の素数さん2018/06/22(金) 21:11:12.96ID:fZs8skv2
>>278
すまん。言葉が足りなかった。
そのあたりは、いちおう前のほうのエントリで議論は尽くされて
いると思うので、あらためて整理してからまた書く。
しばらく待っててくれ。

281132人目の素数さん2018/06/23(土) 07:13:55.05ID:if8U6rKp
話はかなり基礎的な話になる。
コラッツ予想は、“すべての有限な自然数”は、「偶数だったら2で割る」
「奇数だったら三倍して1を足す」という操作を繰り返してゆくと、
“有限回で” “必ず”1に到達する(そして1→4→2→1という
ループに落ちる)という話だ。
コラッツ予想の対偶は、逆操作である「2倍する」「1を引いて3で割る」という
操作を、1に対して有限回おこなうことで、“すべての数”に到達することができる、
というものだ。つまり、有限な自然数は、「2倍する」「1を引いて3で割る」
という二つの操作によって、1を根とした(有限の高さの)二分木構造を
なす、ということだ。

ここまでは、変なことは言ってないと思う。

2^∞を除く2の冪乗数は、プリミティブだから考えなくていい。
すべての偶数は、根のほうから見ると、奇数に2の冪乗数を
乗じたもので表されるから、「奇数の先にある」し
「奇数と奇数の間に出てくる」わけだから、考えなくていい。
このとき、 n が奇数のとき、3n + 1 は必ず偶数になるので、
コラッツ操作 3n + 1 は (3n + 1)/2 とし、逆問題が
「すべての有限な自然数」ではなくて「少なくともすべての有限な
基数(途中に出てくる偶数は、勘定に入れなくていい)」について
証明すれば足りる。

282132人目の素数さん2018/06/23(土) 07:21:29.24ID:if8U6rKp
ある奇数が 3 の倍数のとき、「×2」の操作を何度行なっても、
3 の倍数になる。そうすると、(3n + 1)/2 の逆操作が行なえない
(結果が自然数でなく分数になってしまう)ので、
「(n ではなく d(odd の d)と表記するとして)3 の剰余群
{0, 1, 2} のうち、d ≡ 1 または 2 のすべての有限な奇数が、1 を
根とした木の上にあることが示されれば、コラッツ予想は肯定的に
証明されることになる」と謂える。

283132人目の素数さん2018/06/23(土) 07:31:26.76ID:if8U6rKp
これをもう一段絞りこんで、4 の剰余群 {0, 1, 2, 3} のうち、d ≡ 1 (mod 4) の
場合にだけ注目すればいい、という話にならないか?ということ。
d ≡ 0 (mod 4) と d ≡ 2 (mod 4) は偶数なので、(逆操作の途中には
出てくるけれども)、証明の本質にはかかわってこない。
d ≡ 3 (mod 4) ということは、「下位ビットが 2 個以上の連続した
オンビット」なので、途中には出てくるけれど、d ≡ 1 (mod 4) の場合に
帰着する(つまり、d ≡ 1 (mod 4) の場合に吸収される)はずだ。

その結果、コラッツ予想は 3 と 4 の剰余群の直積集合上で考えていいわけで、
mod 12 で考えても一般性を失わないはず。

ただし、それで証明ができるかは別問題なんだが (-_-!)

284132人目の素数さん2018/06/23(土) 07:48:51.66ID:if8U6rKp
>>278
× > n が n≡3(mod 4) のときは、そこから先に奇数が出てこないので、
〇 > n が n≡0(mod 3) のときは、そこから先に奇数の枝が出てこないので、

285132人目の素数さん2018/06/23(土) 21:10:19.57ID:kMgEMQAn
以下、左が下位の2進表現とする
x→3x+1
10→00 10
01→11 10
10 01→00 11 10
10 01 01→00 11 11 10
10 01 01 01→00 11 11 11 10


27みたいなのはこういうパターンを踏んで大きくなるのか

286132人目の素数さん2018/06/24(日) 06:22:55.46ID:JZQSNXZT
最下位に 1 が連続して出てくると、そこからが
厄介なんですよ。
11 11 11 0### みたいなパターンを
[11 11 1 ]+[10###] と分けたとするでしょう?
そうすると、全体に五回 3x+1 操作を加えることは、
[10###] に5回 3x+2 操作を行なうのと等価になる。
それで 1 への収束が遅れるらしい。

だから、コラッツ予想を (m, n) という2変数に対する操作と
考えて、有限回で (0, 1) に到達するかどうか、と
言い換えるのはどうだろうか、と考えたことがある。

287132人目の素数さん2018/06/24(日) 06:32:53.97ID:JZQSNXZT
31 だと、
11111
*111101
**1110001
***1101011
****10000101
(中略)
*****/*/1101101
*****/*/*10010001
*****/*/**/1110011
*****/*/**/*11011001
*****/*/**/**10010111
*****/*/**/***/11110101
*****/*/**/***/*111000001
*****/*/**/***/**110100011
*****/*/**/***/***1000101001
(中略)
*****/*/**/***/****/*//***/**/111111001
*****/*/**/***/****/*//***/**/*111110111
*****/*/**/***/****/*//***/**/**1111001101
*****/*/**/***/****/*//***/**/***11101100001
*****/*/**/***/****/*//***/**/****11001010011
*****/*/**/***/****/*//***/**/*****101111101001
*****/*/**/***/****/*//***/**/******//1111000111
*****/*/**/***/****/*//***/**/******//*11101010101
*****/*/**/***/****/*//***/**/******//**110000000001
*****/*/**/***/****/*//***/**/******//***101000000011
と、途中で何度も 1 の連続が出てくるんで、なかなか収束しない。

288132人目の素数さん2018/06/24(日) 09:49:32.99ID:Ke8Ud7bS
f(x):=(3x+1)/2
b_k:=2^k-1 (k>1)
とおくと
f(2^(k+1)x+b_k)
=3 2^(k+1)x+3 2^k-2
=2^(k+1)×(3x+1) + (2^k-1) -1
=2^(k+1)f(x)+b_k-1

k>1の場合は
f(2^(k+1)x+b_k)=2×(2^(k)f(x)+b_(k-1))
2で割って以下繰り返すと最後(k=1)は
2f^k(x)になる、と。

なんというか……振り出しに戻された感が。

289132人目の素数さん2018/06/24(日) 10:36:18.55ID:JZQSNXZT
>>288
> なんというか……振り出しに戻された感が。
あるある(笑)
連分数とかやってると、なんだかんだで
また φ に戻ってくるとかな。
とはいえ数学って、「既存のアイディアの世界から
出る」つーのがエポックメーキングな仕事になる場合が
多いみたいな気がするから、そのあたりは宿命だと
思って諦めるしかないと思う。

290132人目の素数さん2018/06/24(日) 10:45:37.45ID:JZQSNXZT
>>288
ひょっとして、けっこう昔からプログラマやってる方?
「:=」って、Pascal とかでしょ。
数学屋さんだったら、
b_k:=2^k-1 (k>1)
より
Me(n) = 2^n - 1 (n = 0 のとき偶数。0 < n のとき奇数)
とか書きそうな気がした。私も元がプログラミング畑だから、
数学の分野の言い回しに慣れるのに時間がかかったな。

291132人目の素数さん2018/06/24(日) 13:11:45.44ID:Ke8Ud7bS
プログラマでもあるけど、
数学でも定義で:=表記を使うことはあるよ
卒論はどうだったかなー、とレジュメ見たら使ってたし

292132人目の素数さん2018/06/24(日) 14:11:36.72ID:JZQSNXZT
>>291
そうか。深読みしすぎてゴメン。
なんにせよ数学畑の人が、
このスレに興味を持ってくれているのが
嬉しい(個人的な感想だから、そのあたりは
スレ主との合意が必要なんだが)。

293132人目の素数さん2018/06/24(日) 14:38:08.41ID:JZQSNXZT
スレ主の 78righ1113 氏と相談なんだが、
コテハン(=固定ハンドル)のほうが、たぶん分かりやすいので、
使っちゃっていいかな?
(別板から変なのが来て、荒れると不本意なので)

294righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/06/24(日) 14:40:49.97ID:prj5qOCW
>>293
使っても良いですよ

295M.B.2018/06/24(日) 15:06:01.07ID:JZQSNXZT
>>294
ありがとうございます。
お婆ちゃんだけど、よろしこ。

前のエントリを明らかにしようと思ったら、
「レスアンカーが多すぎます!」とか言われてハネられちゃったわ。

                  「梅干し婆」と呼ばれるけれど
                  鶯泣かせた春もある

296M.B.2018/06/24(日) 19:41:54.78ID:JZQSNXZT
n を普通の二進数で表すときに「(2)」と表記し、
たとえば 10 = 0101(2)と表すことにする。
これを左右ひっくり返したものを 「(r2)」と
表記することにすると、10 = 0101(2) = 1010(r2) と
なる。

Me(k) = 2^k - 1

とおいて、

X(n) = {Me(p) + 2^p × q}

を、

(p, q)

と表記することにする。

q ≡ 3 (mod 4) のとき、q は (r2) で表したときに、

q は 11### … #(r2) で表される。このとき、

操作 A について、A(p, q) は (p + 1, (q - 1)/2) であるとする。

また、q が偶数であるとき、

操作 B について B(p, q) は (p, q / 2) であるとする。

さらに、1 < p のとき、

操作 C について、C(p, q) は (p - 1, (q × 3) + 2) であるとする。

n = 1 のとき、n = (p, q) = (0, 1) である。これをかりに e とおく。

コラッツ予想は、すべての有限の自然数である n について、
n = BBABCAB……e が有限長の記号列である、という主張と
同義である。

―― みたいなコトを考えたんだけど、これって方向性として、
どう思います?

297M.B.2018/06/24(日) 20:12:12.78ID:JZQSNXZT
>>296
あ、ごめんなさい。
q = 0 かつ q ≡ 1 (mod 4)のとき、
D(p, q) = (p, q) = (p, 3×q + 1) = (0, 3×q + 1) っていうのが
抜けてた。

298M.B.2018/06/24(日) 20:15:43.15ID:JZQSNXZT
>>297
× q = 0 かつ q ≡ 1 (mod 4)のとき、
〇 p = 0 かつ q ≡ 1 (mod 4)のとき、

299righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/06/24(日) 20:30:52.33ID:DiBEd+/F
>>296
う〜ん、今の時点では何とも……
剰余コラッツ予想の時みたいに、何か部分的な成果があると良いのですが……

300M.B.2018/06/24(日) 20:49:40.29ID:JZQSNXZT
>>298
肝心なことを書き忘れていました。
A・B・C・D は、演算子あるいは作用素みたいなものなんです。
これに対して、ノルム(絶対値みたいなものです)を (p, q) に
対して与える関数 N((p, q)) を考えます。
このとき、操作 A・B・C・D に対してノルムが単調減少し、
すべての有限な量 (p, q) に対して N() が有限であるということが
証明されれば、コラッツ予想は肯定的に証明された、と
謂えるように思います。

もっとも、N が実数に対して写像されちゃうと、
「1/2 を何回掛けても 0 にはならない」みたいに
底抜けになってしまうので、N() はあくまで
整数域に対する関数でないと困るわけですが。

301M.B.2018/06/24(日) 21:00:26.22ID:JZQSNXZT
> 剰余コラッツ予想の時みたいに、
> 何か部分的な成果があると良いのですが……
p は上下しながら 0 に向かっているというのは
数値実験上は傾向として掴んでいるのですが、
メルセンヌ数を与えたときに、初期値の p を超えちゃう
場合があるんですよね。
>>287 における p = 5 から p = 6 とか。
ただ、>>287 を見てもらえれば お分かりになると
思うんですけど、この逆転が起きるのは、q に
(3n + 1) / 2 操作を施した場合に限られていそうに
思うんですよ。
そうなると、「p が増加しない」が謂えて、
「無限ループが存在しない」が謂えれば、
なんとか抑えこめそうな気がしています。
剰余コラッツ予想の場合でも、
「かりに無限ループが存在しても、
その周期は 5×2^60 より長い」みたいな
下限は与えられそうに思うんですが。

302M.B.2018/06/24(日) 21:11:52.43ID:JZQSNXZT
>>300
なお、仮に N() が具体的に求められたとしても、μ再帰関数である
アッカーマン関数のように、とんでもなく大きい値を与える
関数になってしまい、具体的な上限値が計算できるようなシロモノ
ではなかろう、と予想しています。

だけど有限は有限なので、「少なくとも無限ではない」という意味で、
証明に結びつきうるのではないかと考えています。

303righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/06/24(日) 21:18:08.31ID:DiBEd+/F
>>300-302
(上から目線でスマナイ)
いくつかの「思う」を『定理』『補題』として言えれば、もっと素晴らしくなると思います。

304132人目の素数さん2018/06/24(日) 22:21:29.01ID:fzgyO7V1
M.B.さんトリップもつけとけば?
念のため。

305M.B.2018/06/25(月) 05:43:48.60ID:i3V6MyI3
>>303
じつは、このアイデアは「原始ピタゴラス数は三分木をなす」という
Barning と Hall の定理(小林吹代『ピタゴラス数を生み出す
行列のはなし』参照)が元ネタです。e = {3, 4, 5} に行列
U・D・A を順次掛けてゆくと、すべての原始ピタゴラス数が
一意に表されます。
原始ピタゴラス数は、「互いに素で偶奇が異なる自然数 (m, n)
(0 < m < n)」、または「互いに素な奇数 (p, q)(0 < p < q)」
で表されます。ここで、m × n または p × q が単調減少し、
その減少のしかたが三通りあって、それぞれが U・D・A を掛ける
操作と対応することを示しました。
この定理の “泣きどころ” は、任意の原始ピタゴラス数を与えたときに、
それを e と U・D・A の列の積の形に分解できない(逆問題が解決
されていない)点だったのですが、このアプローチで解決できました。

306M.B.2018/06/25(月) 05:49:55.64ID:i3V6MyI3
>>305
コラッツ問題は、問題の設定としてはこの逆で、任意の n から
e へのルートがあるのは確からしいのに、それが e に収束するか
どうかが(途中の値が一見カオティックに上下するために)、
「(Barning = Hall 問題のような m × n や p × q のような)
単調減少するノルムに対応させることができていない」という
ところに難関があると考えています。

307M.B.2018/06/25(月) 05:58:56.50ID:i3V6MyI3
>>305
なお、「泣きどころ」うんぬんの話は、細矢治夫『トポロジカル・インデックス ー
フィボナッチ数からピタゴラスの三角形までをつなぐ新しい数学』
にありました。同書には細矢先生が Barning = Hall 問題
にどのようにアプローチしたかが丁寧に書かれていて、興味ぶかく
読ませていただきました。

308M.B.2018/06/25(月) 06:11:49.38ID:i3V6MyI3
スレ違いですが、{x, y, z} が原始ピタゴラス数、すなわち
x^2 + y^2 = z^2 のとき、
{x, y, z} = {n^2 - m^2, 2× m × n, m^2 + n^2}
がいえて、
{m, ABS(n - 2m)} が新しい m, n の値(順不同。小さいほうが m)に
なります。
なお、e = {3, 4, 5} = (1, 2) です。2 - 1×2 が 0 になっちゃうので、
行きどまりになり、ここが三分木の根になります。

309M.B.2018/06/25(月) 06:43:11.89ID:i3V6MyI3
あまり見込みはありませんが、「二つの逆コラッツ操作
(「2倍する」と「2倍して1を引いてから3で割る」)が
実質的に同じものと見なせる」ことを示す、というアプローチも
考えられます。
(m, ABS(n - 2m)) → (m, n)
がなぜ三分木に対応するかというと、この操作の逆操作が
・m に n の二倍を足す
・n に m の二倍を足す
・n の二倍から m を引く
という三つの操作に対応するからです(m × n の長方形を
考えるとわかりやすいです。互除法の変形です。互除法
なので、連分数とかかわってきます)。

ただ、このアプローチはせめて「コラッツ操作によって、
任意の n についての中間値が最大どこまで大きくなるか」の
上限値を n の関数として表せないと無理筋なので、
攻めるとすればここかな?と思っています。つまり、「最下位の
オンビット列の連鎖が、どう現れるのか」です。

連投ごめんなさい。m(_ _)m

310M.B.2018/06/25(月) 17:53:09.88ID:i3V6MyI3
ついでながら、なんでこのスレでのたくっているかというと、
佐藤 郁郎先生(ttp://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/)に
「コラッツ予想も、Barning = Hall 問題のノリで
解けるかもしれない」みたいな話をしちゃったのが
きっかけなんですよ。
みなさん、期待されてます。

311132人目の素数さん2018/06/25(月) 20:22:13.67ID:/XT/YqNK
俺予想
xから始まってコラッツの操作で到達できる数のうち最大のものをcollatz_max(x)とする
あるnとcが存在しn<xならばlog(collatz_max(x))/log(x)<=cが言える。

312M.B.2018/06/25(月) 20:46:18.33ID:i3V6MyI3
>>311
それって、かなり確からしいけど、
リーマン予想みたいに「例外がない」ことを示すのが
難しいっていうのが泣きどころなのよねぇ ……

313132人目の素数さん2018/06/25(月) 21:05:06.15ID:/XT/YqNK
>>312
コテ名乗るならトリつけたほうがよくない?
ひょっとしたらこのスレから世紀の発見ってこともかんがえられるしw

314M.B.2018/06/25(月) 21:17:21.66ID:i3V6MyI3
すでに「コラッツむし」という名前で話題に出ているのですが、
蒸し返しです。

オートマトンに関連する話題なんだけど、
「一斉射撃の問題」というのがあって、これはいろいろ研究されてて
コラッツ問題の解決のヒントになるかもしれないな、と思っています。

「オートマトンが 0 番から m 番まで (m + 1) 個並んでいる。左端の
A0 から、時刻 0 で、ある信号が発せられた。一定の時間後に (m + 1)個が
すべてのオートマトンが同時に特別の状態(「射撃」状態)にはいるように、
オートマトンの動作表を設計せよ。」

これを変形すると、「0 から、ある状態にセットされたオートマトンが
あったときに、その状態は無限遠(m が無限)まで到達できない」ことが
示されるかどうかという話に持ってゆけます。これだと、「2で割る」という
操作は「先頭位置がズレてゆく」ことになりますので、また違った面から
議論できそうに思います。

「歴史的な背景などについては、後藤英一:一斉射撃の問題。数理科学
11−10、42−46(1973)を参照のこと。また、小林考次郎:
オートマトン理論のパズル、数理科学1976年11月増刊「パズルI」にも
解説がある。」とのこと。
出典は 有澤誠『プログラミング レクリエーション ー ソフトウェア実習の
ガイド』(近代科学社)、p.132。

315M.B.2018/06/25(月) 21:20:40.37ID:i3V6MyI3
>>313
べつにいいじゃない。このスレがきっかけになるんなら。
だいたい、独立に発見された定理なんか、山ほどあるでしょうに。

316132人目の素数さん2018/06/25(月) 21:30:29.74ID:/XT/YqNK
ふむ?コテ名乗るような奴はトリもつけたがるものだとおもってたが。
まあ無理強いはしませんがね。

317M.B.2018/06/25(月) 21:36:29.09ID:i3V6MyI3
「コラッツ予想の解決」、つまり「コラッツ予想が正しい/間違って
いる」とはおそらく関係しないけど、「先頭位置が、必ずしも
「一回一回の操作が終了する」まで待たなくてよくて、先頭から
次々とシグナルが送られてゆく、と考えてもいいわけですよね?
だったら、テープワームみたいな形でネットに放して、
空いてるコンピュータ・リソースを総動員して「どこまで正しいか」を
検証するという手はあるかと思います(犯罪っぽいけど)。

318M.B.2018/06/25(月) 21:39:48.99ID:i3V6MyI3
>>316
数学板だと、誰が喋ってんのかわかんないと文脈っつーか
脈絡っつーか、そういうのが分かりにくいんじゃないかなー、という
配慮です。
だいたい、あたしの騙りとかって、難しいと思うよ?

319132人目の素数さん2018/06/25(月) 22:22:25.93ID:/XT/YqNK
xから始まってコラッツの操作で到達できる数のうち最大のものをcollatz_max(x)とする。

n以下の自然数の中にlog(collatz_max(x))/log(x)>=3を満たすようなxが存在するか?
という問いはNP問題になると思う。

これをSATとしてあらわしてSATソルバに食わせて一気にデカいnについて解くというのはどうだろうか?

320132人目の素数さん2018/06/25(月) 22:25:29.22ID:/XT/YqNK
いやにNPならないか。
コラッツの過程を計算するのに指数リソース食うかも

321132人目の素数さん2018/06/25(月) 23:08:39.50ID:/XT/YqNK
xからコラッツ逆操作で到達できる数のうち最小のものをcollatz_inverse_min(x)とする。
xを入力としてxとcollatz_inverse_min(x)が等しいかどうかは多項式時間で判定できるか?

322M.B.2018/06/26(火) 08:03:44.37ID:0z6GeZu4
縦軸に (3n+1)/2、横軸に /2 の回数を取って、
Me(k) についてプロットしてみる、とかいうのも
面白そう。

323132人目の素数さん2018/06/27(水) 20:13:28.48ID:JI1+mB/E
M.Bさんはjava使いなの?

324M.B.2018/06/27(水) 20:36:49.75ID:dy3jMf1T
>>323
『【好調】Java の宿題ここで答えます【三巡目】』
(ttps://pc5.5ch.net/test/read.cgi/tech/1100565043/)
>>38 以降とか。
兄者は件のサーバーアプリを再興しようと、
マ板でのさばっておりますわん。

325righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/06/29(金) 00:06:15.82ID:iQFgCDGa
剰余コラッツ予想の例のプログラムですが、
Coqに移植できました。

Coqの関数は全て停止するので、例のプログラムも停止する事になって、
『剰余コラッツ予想は真!』
……と言いたいところですが、怪しさ満載ですので、今しばらく調査します。

326前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/06/29(金) 01:00:09.65ID:CMkNZo9B
わくわく

Coq については名前を聞いたことがあるぐらいで詳しくは知りませんが、
なにか手伝えることがあればおっしゃってください。

327righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/06/29(金) 01:15:11.78ID:iQFgCDGa
おーお久しぶりです。
Coqというプログラミング言語(定理証明支援系)では、再帰関数を作る際に、停止性をチェックされて、それをパスした関数だけが定義されます。

手伝って欲しいことは後々出てくると思うので、よろしくお願いします。

328132人目の素数さん2018/06/29(金) 03:51:44.66ID:iREabCnd
>>327
> Coqというプログラミング言語(定理証明支援系)では、再帰関数を作る際に、停止性をチェックされて、それをパスした関数だけが定義されます。

最近のCoqの現状は全く知らないのですが、そもそもCoqの文法に従って(チェックされなければ)停止しない関数を書けるような構文になってましたっけ?
Coqは構成的型理論と呼ばれるものに属する形式的体系の1つに基づいているので、その基づいている型理論に即して素直に項の構文(関数はこの構文を使って定義することになるので
この構文がその構成的型理論の体系が与えるプログラミング言語に相当する)を作ると、そもそも停止するか否かがわからないような関数を定義することは構文的に不可能だと理解しているのですが

それとも最近のCoqは書きやすさとかのためにgeneral recursionのような書き方を許す構文も導入しているのかなあ

329M.B.2018/06/29(金) 06:56:09.36ID:bG5MqPr9
>>325 >>326
おかえりなさ〜い!

330righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/06/29(金) 07:10:56.55ID:iQFgCDGa
>>328
質問の答えになっているか分からないですが、
今回の方法だと、再帰関数を書き終えた時点で証明モードに入って、そこでの証明を終えると、関数が定義されます。
具体的には、Coq.Program.Wfをインポートして、減少する引数をmeasureで指定して、Program Fixpointで関数を書きます。
https://www.google.com/url?q=http://d.hatena.ne.jp/airobo/touch/20130729/1375109706&sa=U&ved=0ahUKEwiAtI7aq_fbAhUIjpQKHc5jA0wQFggLMAA&usg=AOvVaw0Z5Y7z7Pexxi_2FgNFFFX2

331132人目の素数さん2018/06/29(金) 19:22:32.47ID:PBV1h0j5
もし本当なら相当な成果?

332righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/06/29(金) 19:58:55.32ID:IWPhIwZs
いや、待って下さい。なんかダメっぽいんです。詳細はこの後書きます。

333132人目の素数さん2018/06/29(金) 21:27:05.32ID:KSe/m9fx
それにしてもCoq使えるのは凄いな。
あれは高度な数学力とプログラミング力を要するからな。

334righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/06/29(金) 21:29:41.42ID:R9VAP49J
>>333
前スレで教えてもらいました。

335132人目の素数さん2018/06/29(金) 22:20:51.29ID:iREabCnd
>>330
レスありがとうございます。

> 今回の方法だと、再帰関数を書き終えた時点で証明モードに入って、そこでの証明を終えると、関数が定義されます。
> 具体的には、Coq.Program.Wfをインポートして、減少する引数をmeasureで指定して、Program Fixpointで関数を書きます。

例を拝見しました。なるほど、関数そのものは構文としては文字通りのfixpointつまりgeneral recursionで定義するのを許す代わりに
停止性を保証するmeasureを自分で与えて停止性証明を正しく構成しなければ関数定義として認めないということですか。
構造帰納法で上手く定義できない関数を扱う上では強引な印象もありますが、実用的にはとても役に立ちそうなアプローチですね。

御教示どうもありがとうございました。

336132人目の素数さん2018/06/29(金) 23:49:39.74ID:KSe/m9fx
はよはよw

337righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/06/30(土) 00:17:51.21ID:ePd1LYGC
>>332
問題点は、19x+1版にしても、Coqは「停止する」って言っているのです。
19x+1版は、>>92で反例が出ています。

以下が考えられます。
・Coqの停止性の証明が間違っている
・オールNothingが出ても無限走行するとは限らない

これらを調査しないといけないのですが、
すみませんがマイペースでやらせて下さいf(^_^;

338132人目の素数さん2018/06/30(土) 00:31:00.91ID:P0VnQOuD
つか、Coqが間違ってないとすれば計算が進むたびに減少するなにがしかの量を>>1が見つけたってことだよね?
>>272が言ってたことだよね?
ホントならかなりすごいよね?

339righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/06/30(土) 00:44:28.49ID:ePd1LYGC
>>326
>>786氏に見て欲しいことがあるのです。
・オールNothingが出ても無限走行するとは限らない
オールNothingが出た後、本当に無限走行するのか、アルゴリズムで見ていただけないでしょうか。

340前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/06/30(土) 08:42:24.23ID:f79gd0NI
>>339
なるほど了解です。考えてみます。

>>338
これは剰余コラッツ予想(>>2)についての話なので>>272は関係ないかと…

341前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/06/30(土) 10:23:33.09ID:f79gd0NI
って、これはほとんど明らかのように思います。

例えば
「C の元を 3 倍して 1 を加えて C' のどのグループに属するか調べる」
のときにオールNothingが出たとします。
この後に「上の作業で得られた C' のグループ」を用いて組を探すことになりますが、
これは空集合なので再びオールNothingとなります。
以下同様に繰り返し、延々とオールNothingが繰り返さることになります。

342righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/06/30(土) 13:47:05.15ID:LW37VaWU
>>341
ありがとうございます。
ということは、僕のCoqの証明がどこか間違っているのですね。お騒がせしました。

343M.B.2018/06/30(土) 19:28:50.32ID:ckl4mAPG
>>340
剰余系で考えると関係ないですねぇ。順序性が成り立たないので。
ちなみに >>272 は私。

344132人目の素数さん2018/06/30(土) 21:37:24.40ID:P0VnQOuD
うーん、残念。
移植の際になにかアルゴリズム変えたとか考えられないの。

345righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/07/01(日) 10:37:15.78ID:EGw3ladd
いや〜

346M.B.2018/07/03(火) 21:20:35.06ID:E9NFMLeH
マジスレは伸びが遅いからツラいわぁ〜。
これは「あんたが真面目にプログラム書いて、結果を出して書け」って
いうことなのよね?
雑談レベルでもいいから、進捗でも聞きたいわぁ。

347132人目の素数さん2018/07/03(火) 22:16:57.74ID:k+GYaRHt
雑談のネタすら出尽くした感あるからな。

348前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/07/04(水) 00:59:10.40ID:5hzvz8Kq
最近思いついた小ネタ
"コラッツ操作を3進法で考えると計算しやすい"
多分証明には役立たない。


そもそも3進法なら「3 倍する」という操作が楽になるというのはすぐわかるが、
さらに手間を減らす方法を見つけた。
3進法では、コラッツ操作は次の操作で代用できる。

「2 で割った商と余りを求め、余りが 0 なら商を次の数とする。余りが 1 なら商の末尾に 2 を付け加えたものを次の数とする。」

この操作により、偶数は 2 で割った数に、奇数は 3 倍して 1 足して 2 で割った数になる(証明略)。

例えば奇数 212 (十進法では 23) でやってみる。
まず普通のコラッツ操作では
 212→(3倍して1を足す)→2121→(2で割る)→1022
となる。
上の操作をすると
 212→(2で割る)→102あまり1→(商の末尾に2)→1022
で、同じ結果になる。


3 進法では奇数か偶数かの判定がしづらいが、この方法なら判定の必要がなくなる。
ひたすら数を 2 で割っていくだけで操作が進むので、なかなか楽。

349M.B.2018/07/04(水) 09:28:44.07ID:j9YYwXR+
>>347
根から辿ってくときに mod 3 で考えるのはやったけど、
正の操作で三進法で考えるっていうのは盲点だったわ。

350132人目の素数さん2018/07/04(水) 11:07:08.33ID:tkaOgGjn
三進法だと2を除するのが簡単でないのよね
全部の桁を見ないと偶奇が判断できないわけだし。

351前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/07/04(水) 12:32:19.99ID:T5pAcVUI
>>350
偶奇の判断はいらないって言ったじゃないですかー!

2 で割るのはまあ……慣れですかね

352M.B.2018/07/04(水) 14:25:09.10ID:j9YYwXR+
あのさぁ、そろそろ夏休みも近いんだよね。
最近は義務教育でもプログラミングとか教えてるんだよね。
「夏休みの自由研究」的な感じで、コラッツ問題について
基礎から解説するとかいった話はあっていいんじゃないの?
スレも伸びてるし、このスレには解ってるヒトがいるわけだし。
うちらとしても、「いっぺん基礎から見直す」っていうのは
大事なことだと思うのね?
昔の『Java の宿題ここで答えます』みたいに、ソースコードを
ベタベタに貼っちゃっていいんだったら、やっちゃうよ?
ム板じゃなくて数学板だから遠慮してたけどさぁ。

353M.B.2018/07/04(水) 14:43:49.52ID:j9YYwXR+
>>351
> 偶奇の判断はいらないって言ったじゃないですかー!
「オンドゥルルラギッタンディスカー!」
「(笑)」ってつけなかったから許してね。
ネタ元は自分でググッてちょうだい。

354M.B.2018/07/04(水) 14:47:29.20ID:j9YYwXR+
>>350
そこで六進法ですよ。

355righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/07/04(水) 14:51:32.25ID:s2K0d62t
>>352
ソース貼ってもいいっすよ。

356前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/07/04(水) 18:58:15.26ID:eTkck1YB
なるほど六進法……って、それだと ×3 も ÷2 も面倒になって本末転倒なような。

(>>351はどちらかというと「梅雨明けてないじゃないですかー!」を意識して……ってどうでもいいですね)
(オンドゥル語は半角がジャスティス)


コラッツ予想の基礎ってどういう内容ですかね

357M.B.2018/07/04(水) 19:14:40.38ID:j9YYwXR+
>>356
> コラッツ予想の基礎ってどういう内容ですかね
それ言ったら、ラザフォードじゃないけど
> 剰余コラッツ予想(Residue Collatz Conjecture)
ってどういう概念なのよ?ってウェイトレスに説明できないと
ダメなんじゃないの?っていう話に戻ってきちゃいそうに
思うんですが。
「2で割る」「三倍して1を足す」っていう操作は、
「小学生にも理解できる」っていうのがコラッツ問題の
醍醐味なんだから。

358前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/07/04(水) 19:43:54.51ID:eTkck1YB
>>357
いや、貴方が>>352で仰った案について具体的に話を進めようと思っただけなんですが……
今は剰余コラッツ予想の話をするつもりはありませんよ。

359132人目の素数さん2018/07/04(水) 20:04:35.43ID:tkaOgGjn
>>351
済まんね
偶奇の判断をする事と2で割った余りを求める事の違いが良くわからなかったよ
今もわからん

なお3進数なら全体に含まれる1の数を数えれば事足りるが、いずれにしても全体を見る必要がある事に違いはない

360M.B.2018/07/04(水) 20:08:45.05ID:j9YYwXR+
>>359
いや、ここで敬語を使われても気まずいので、せめて
タメ口でお願いします(^_^!)。罵倒されるのは
慣れてるんですけど。

少なくとも、「奇数について証明すれば足りる」
「n ≡ 1 (mod 4) について言えれば足りる」
みたいな話は、参考文献とか、とりあえずの証明とかは
示しておいたほうがよさそうだなー、と。
コラッツ問題に関する、まとまった文献というのは、
おそらく簡単に入手できるような形では、出回ってないと
思うんですよ。
だったら、ネット上で簡単に見つかるような形で
提示しておくのが親切かなー、と。そういう話です。
WikiPedia に書いておく、というのも ひとつの手ですが、
あそこは「要出典」とか「独自研究?」とか
言われちゃいそうなので。

361132人目の素数さん2018/07/04(水) 20:16:46.82ID:tkaOgGjn
まあ
3進法で2で割る操作を先にしてしまえば計算が省けるという点はよいと思う

ただ
セルオートマトンで考えたとき、次の世代のパターンが周辺のいくつかのセルから求まると都合がいいので、セル全体を見る必要がある表現には問題ある、ということを言いたかった

その意味では6進法は意外と良い発想かもしれない

362M.B.2018/07/04(水) 20:26:25.59ID:j9YYwXR+
>>360
いま見たら、WikiPedia の「プリンプトン322」の項目が
だいぶ変わってた(笑)
あれは、うちの上司と同僚の功績のような気がします。
このスレの住人はプログラムを書けるヒトが多いと思うので
言っちゃうけど、あれは「0 < p < q < 180」の奇数について、
「q^2 - p^2, p*q, p^2 + p^2」からなる長方形(縦横の
辺と対角線が自然数の比で表される長方形)のうち、
正方形と黄金長方形の間にあるもので、縦横比を六十進数で
表現したときに有限小数になるもの、があの十五個だというので
ほぼ決着したようです。

363132人目の素数さん2018/07/04(水) 20:28:10.22ID:ek6yEHt4
>>361
コラッツ予想については、次の世代のパターンに必要なのは「セル全体」だよ。
これはどんな表現を使っても同じこと。

・ オートマトンで考えるなら、パターンに必要なのは「セル全体」。
・ コラッツ予想を漸化式の形で表すなら、漸化式を弄っていくと式自体が爆発的に複雑になって手に負えなくなる。
・ 剰余コラッツ予想にしても、単純なステップの組み合わせで予想全体が証明できるということがなく、
  チェック項目が際限なく爆発していく。

どんな手段を使っても、結局はコラッツ予想が持っている本来の爆発的な複雑さが
大きな壁となって出現する。だからコラッツ予想は難しいわけ。

364M.B.2018/07/04(水) 20:32:06.42ID:j9YYwXR+
>>361
六進法の泣きどころは、「六進数」っていうのが、あんまり普及して
いないところなんですよね。
『ベッドルームで群論を ― 数学的思考の愉しみ方』なんかだと、
三進法とかだったら、意外に筋がいい、みたいな話はあるんですけど。

個人的には、古代メソポタミアまで戻って六十進法とかで
議論したほうが、話が通じやすいような気はします。

365132人目の素数さん2018/07/04(水) 20:34:16.63ID:ek6yEHt4
結局何が言いたいかというと、

「セル全体を見る必要がある表現には問題ある」(>>361)

という認識の仕方はズレていて、

「どう転んでもセル全体を見るしかない構造のバケモノ問題にどうやって向き合えばいいのか」

という認識の仕方をしないと前進しないってこと。
もちろん、正しい向き合い方が誰も分からないから未解決問題なのだが。

366132人目の素数さん2018/07/04(水) 20:34:53.65ID:tkaOgGjn
>>361
6進数で数を表現した場合

コラッツ操作とは:
まず3を掛けて、
・1の位が3ならそれを4に置き換える
・1の位が0なら右に1つシフトする

3を掛けるとは:
その桁とひとつ下の桁を見て
・00 01 20 21 40 41 のいずれかなら 0
・02 03 22 23 42 43 のいずれかなら 1
・04 05 24 25 44 45 のいずれかなら 2
・10 11 30 31 50 51 のいずれかなら 3
・12 13 32 33 52 53 のいずれかなら 4
・14 15 34 35 54 55 のいずれかなら 5

とすれば良いので、セルオートマトン向きの問題になるかなと。

367M.B.2018/07/04(水) 20:37:16.91ID:j9YYwXR+
>>362
あ、ごめん。
×「q^2 - p^2, p*q, p^2 + p^2」
〇「(q^2 - p^2) / 2, p*q, (p^2 + p^2) / 2」
テヘッ。

368132人目の素数さん2018/07/04(水) 20:46:06.70ID:x4dIsVJo
空気を読まずに2進法ネタ。

正整数xの2進表現を下位から
1から最初の0 または 0から最初の1
で区切っていく

3x+1の2進表現は
区切られた各々の最下位を反転(0⇔1)して、
全体の上位に1を付け加えたものになる

369前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/07/04(水) 21:10:13.60ID:eTkck1YB
>>359
確かに余りを見ることで偶奇の判定をしていると言えますが……

「わざわざ偶奇の判定のためだけに割く労力が(ほぼ)ない」とか言った方が適切だったかもしれません。
2 で割った商を求めるのは必要な計算で、その副産物として余りが求まるので。

370132人目の素数さん2018/07/04(水) 21:48:46.13ID:G1SbPY+q
ぶっちゃけ何進数にしようが計算機で回すときにネイティブ2進数より速度が出るとは思えないがな。
ネイティブ2進数より速度アップするならそれはそれで一定の成果といえるかも。

371M.B.2018/07/04(水) 21:55:59.01ID:j9YYwXR+
>>359 >>369
現在のコンピュータのアーキテクチャは二進法ベースなので、
偶奇を判定するには最下位ビットのオンオフだけ見ればいいという
利点はあるのよね。
三相のアーキテクチャのマシンもそれなりに現実性があるので、
コラッツ問題が解決するときに(解決したとして)、「どっちが
貢献したか」という話には、なるかもしれないと思いますけど。

372M.B.2018/07/04(水) 22:03:07.75ID:j9YYwXR+
>>370
そのあたりの議論は、ノーバート・ウィーナーの『サイバネティクス』あたりが
起源なんだけど、「二進法と三進法のどっちがいいか」については、「どうやって
実装するか」の問題もあって、まだ結論は出てないのよね。
お婆ちゃんが口出ししてごめんね。

373M.B.2018/07/04(水) 22:11:28.76ID:j9YYwXR+
>>370
そのあたりの議論は、>>364 の文献を参照してねぇ〜

374132人目の素数さん2018/07/04(水) 22:39:56.95ID:tkaOgGjn
>>366
4入力1出力のセルを用意し、その状態遷移関数fを以下のように定義する
f(E,I,X,E)=f(X,E,I,F)=0
f(E,J,X,E)=f(X,E,J,F)=1
f(E,K,X,E)=f(X,E,K,F)=2
f(F,I,X,E)=f(X,F,I,F)=3
f(F,J,X,E)=f(X,F,J,F)=4
f(F,K,X,E)=f(X,F,K,F)=5
但し上の表現で
Eは0,2,4のいずれか、Fは1,3,5のいずれか、
Iは0,1のいずれか、Jは2,3のいずれか、Kは4,5のいずれか、
Xは0,1,2,3,4,5のいずれかを指す

現在の状態{S_k}(k≧0,S_kは0,1,2,3,4,5のいずれか)に対して次の状態{S'_k}を
S'_k=f(S_(k+1),S_k,S_(k-1),S_0) k>0のとき
S'_0=f(S_1,S_0,0,S_0)
で定義する

どんな正整数mについても k>m ⇒ S_k=0 となる初期状態{S_k}(k≧0) からは必ず k≧m ⇒ S_k=0 となる状態に遷移するのか、
あるいはその否定で
ある正整数mが存在して k>m ⇒ S_k=0 となる初期状態{S_k}(k≧0) のうち k≧m ⇒ S_k=0 となる状態に決して遷移しないものが存在するのか

という問題を考えたらコラッツ予想と同じ問題を扱っていることにならないか

375M.B.2018/07/04(水) 22:51:00.84ID:j9YYwXR+
>>374
なんかマッチョな方がいらっしゃって頼もしいわぁ〜
だけど、アルゴリズム系の話の証明は、単調減少する
加算無限量に落としこまないと、なかなか数学的な
証明に結びつかないのよね。
そういう意味では、「二で割る」っていう操作が
けっこうクセモノのように思うんだけど、
そのあたりの意見は聞きたいと思う。

376M.B.2018/07/05(木) 18:11:01.74ID:G+U/rWyk
>>375
×加算無限量
〇可算無限量
要するに、アレフ・ゼロ(自然数とか整数とか有理数とか)と、
アレフ1(実数とか)の違いね?

そういえば、高校のときに、「アレフ 0 は『すけすけぎっちり』
(稠密だけど連続じゃない)で、アレフ 1 は『べったり』(稠密かつ
連続)」だというのを教わったけど、「そんなのが何の役に立つんだ」
とか思ってなかったのよね。大学に入って解析の時間に(微積分とかの
絡みで)ε=δ とか使ってコリゴリやらされるとは思わなかったわぁ。

377M.B.2018/07/06(金) 17:24:33.58ID:mC4p97C0
>>386
このあたりの話は、自然数だったら単調減少すれば 1 に収束するのは
確実なんだけど、実数だと、単調減少しても必ずしも一定値(だいたい
ゼロだけど)に収束するとは限らないところに問題があるのよね。
そのあたり、数学屋さんに念入りにツッコミを入れてもらえると、
たぶん、このスレも伸びがいいと思うんだけど。

378132人目の素数さん2018/07/08(日) 01:21:38.13ID:BpK1sXCu
単調減少すれば1に収束するといえばM.B.さんはグッドスタインの定理ってご存知?

379M.B.2018/07/08(日) 09:25:12.51ID:v0TMFGoL
>>378
いま初めて知ってググってみたら、
スタインハウスの多角形表記とか
竹内 郁雄さんの tarai 関数とか思い出した。

「たかだか有限個」っても侮りがたくデカい
数というのがあるんだよなぁ ……

380M.B.2018/07/08(日) 09:44:20.18ID:v0TMFGoL
ちょっとスレ汚しさせていただきます。

その1)
航空宇宙工学科と数学科は、日大ではどちらも理工学部である。
航宇「レポートが19個もたまっちまったよ!」
数学「フン、たかだか有限個」

その2)
理工学部の二人の学生が試験を受けた。空のヤカンとガスコンロがあって、
「湯を沸かしなさい」という。二人とも、流しにいってヤカンに水を入れ、
コンロに載せて火をつけた。
次に、コンロの上に水の入ったヤカンが載っていて、「湯を沸かしなさい」
という。
航宇の学生は、コンロに火をつけた。
数学の学生は、流しにいってヤカンの水を捨てた。「これで前問に帰着した」

381M.B.2018/07/08(日) 13:24:34.43ID:v0TMFGoL
「なんか次のレスとか上がってないかなー」とか
思って、このスレを覗いてるヒトがいるかもしれないので、
スレ汚しは承知の上でヒマネタ(スレ主さんごめんなさいm(_ _)m)。

弟子「ε=δ が理解できません。一言で言えば、要するになんですか」
師匠「“矢でも鉄砲でも持ってこい”だ」

逆数で考えると、「山より大きい猪は出ない」になりそうな気がします。

>>378 さん、グッドスタインの定理はいろいろ面白いので感謝してます。
とくにペアノの公準が通用しなそうだ、という話は、数学基礎論の
関連で面白いと思いました。

だけど、「数学基礎論とコンピュータサイエンスの世界では、0を自然数に
含める」みたいな偏見と闘わなければならないのかな?とは思ったりします。
「0 と ∞を含む閉集合と、含まない開集合で考えてるだけじゃない!」と
思うんですけど。このあたり、数学畑のひとは、どういう意見をお持ちなんで
しょうか。トポロジー(とくにカタストロフィ理論とか)なんかでは、
「閉集合と開集合の関係」に関して、かなり厳密に研究されているので、
そのあたりの話は聞きたいと思ってるんですけど。

382132人目の素数さん2018/07/08(日) 13:57:22.60ID:qI7WVHvt
偏見?闘う?なに言ってるんだこのアホは。

グッドスタインの定理は、自然数に0を含めるか含めないかという話とは無関係。
グッドスタインの定理で対象となっている数は

0,1,2,3,…

という数である。これを「自然数」と呼びながらグッドスタインの定理を記述するのが気に食わないなら、
「非負整数」とでも呼びながらグッドスタインの定理を記述すればいいだけの話。

対象となっている 0,1,2,3,… をどのような総称(自然数 or 非負整数 or etc)で
表記するのかを気にしているのが M.B. とかいうアホ。
しかし、そんなものはグッドスタインの定理とは全く関係がない。
書いている内容がトンチンカンすぎて話にならない。

383132人目の素数さん2018/07/08(日) 14:23:10.26ID:qI7WVHvt
トンチンカンと言えば、ついでだからもう1つ。

M.B.「ソースコードをベタベタに貼っちゃっていいんだったら、やっちゃうよ?」(>>352)

↑このレスよりも前から貼る貼る言ってた気がするが、未だに何も貼る気配が無い。
 そもそも何を貼りたいのかも意味不明。

M.B.「コラッツ問題について基礎から解説するとかいった話はあっていいんじゃないの? 」(>>352)
前786「コラッツ問題の基礎ってどういう内容ですか?」(>>356)
M.B.「(返答に窮するので話題逸らしのために) それ言ったら剰余コラッツ予想ってどういう概念なの?」(>>357)
前786「アホかてめーは。話を逸らすな。お前の話に乗ってやってるんだろうが。」(>>358)

↑このやりとりでの M.B. は特に酷い。

総評:M.B.は浅はかな思い付きで独りでおしゃべりしてるだけのアホ。
レスの内容も「言葉のサラダ」の一歩手前で、意味が通るギリギリのラインを攻めた
おかしな文章ばかりであり、何かの病気にかかってるように見える。
前々から気になってはいたが、いい加減にウザったいので もう書き込まないでほしい。
誰もいないクソスレだからって、下らないおしゃべりで埋めていいわけではない。

384M.B.2018/07/08(日) 14:35:50.69ID:v0TMFGoL
>>382 >>383
なんかヘンなのが来ちゃったなぁ。
みなさん、ごめんなさい。 m(_ _)m

385M.B.2018/07/08(日) 14:47:21.04ID:v0TMFGoL
>>282
ひとつ謂っておくと、
空集合というのは、「すべての空集合は同一な空集合」なんですよね。
たとえば、「空のみかん箱」も、「空のりんご箱」も、
「空のトントカ芋の箱」も、基本的にはまったく同じものであって、
Java だったら「==」で比較して「真」が返ってくるものなんで、
「equals()」で比較するのとは、また別な話なんですよ。
このあたりをニコラ・ブルバキ(まぁ、アンドレ・ヴァイユ他の
合同ペンネームなんですけど)あたりが整理しようと思ったらしいですけど、
ちょっと前に出た「グッドスタインの定理」云々の話みたいに、
数学基礎論的には、まだ未解決なんですよ。

386M.B.2018/07/08(日) 15:12:54.47ID:v0TMFGoL
>>385
× >>282
>>382
ごめんなさい。

387132人目の素数さん2018/07/08(日) 15:13:00.75ID:qI7WVHvt
>>385
これもトンチンカン。
なぜいきなり空集合が出てくるのか意味不明。

グッドスタインの定理に空集合は何の関係もない。

ペアノ算術における「0」を空集合と勘違いしているのかもしれないが、
ペアノ算術における「0」は空集合とは無関係である。
なぜなら、ペアノ算術は集合論とは無関係に定義されるからだ。
集合論と無関係に記述できる時点で、ペアノ算術における「0」は空集合と無関係である。

ペアノ算術に相当するものをZF集合論の中で実装しようとしたときには、
標準的な実装のもとでは空集合を 0 に割り当てることが多いが、
それは 0 が空集合を意味することにならない。なぜなら、実装の一例として空集合を
利用しているだけだからだ(実際、空集合以外の集合を割り当ててペアノ算術を実装することも可能である)。

388132人目の素数さん2018/07/08(日) 15:24:55.18ID:qI7WVHvt
>>385
>Java だったら「==」で比較して「真」が返ってくるものなんで、
>「equals()」で比較するのとは、また別な話なんですよ。
>このあたりをニコラ・ブルバキ(まぁ、アンドレ・ヴァイユ他の
>合同ペンネームなんですけど)あたりが整理しようと思ったらしいですけど、
>ちょっと前に出た「グッドスタインの定理」云々の話みたいに、
>数学基礎論的には、まだ未解決なんですよ。

ここに関しては「言葉のサラダ」としか言いようがない。意味が通ってない。

基礎論的には何かが未解決問題であると読めるが、
では一体「なにが」未解決問題なのかきちんと書かれていない。

また、グッドスタインの定理はペアノ算術の範囲で記述される定理であり、
Java で記述される定理ではない。仮に Java で記述したとしても、その Java の上で
「==」や「equals()」によってナニカを比較したときの両者の "差異" に関する話は、
Java 言語の内部的な実装の話もしくは Java 言語の意味論に関する話であり、
グッドスタインの定理とは何の関係もない。

389M.B.2018/07/08(日) 15:37:03.15ID:v0TMFGoL
>>387
そのあたりは >>297 あたりの議論を把握してから来てほしいように
思います。べつに、好きなことを仰っても、誰にも止める権利は
ありませんけどね(そのかわり、あたしたちにも好きなことを
言っていい権利はありますけど)。

390M.B.2018/07/08(日) 15:42:21.56ID:v0TMFGoL
>>388
集合には、外延的定義と内包的な定義があるんですけど、
外延的定義による集合があったとしても、
内包的な定義は無数にありうるんですよ。
ですから、外延的には空集合は「ただ一つ」
なんですけど、内包的な定義は無数にありうるんです。
このあたりは、プロの数学者でも、うっかりするような
話なんですが。

391132人目の素数さん2018/07/08(日) 15:50:59.75ID:qI7WVHvt
>>389
レス番号が合っていると思えない。
>>297はコラッツ予想に関する話であり、今はグッドスタインの定理に関する話である。
そして、グッドスタインの定理に空集合は何の関係もないのである。
つまり、君のレスは>297を考慮してもなおトンチンカンのままなのである。

ちなみに、君のレスは>297に対してもトンチンカンである。
なぜなら、>297は空集合と無関係に記述できるからだ。

392132人目の素数さん2018/07/08(日) 15:54:07.76ID:qI7WVHvt
>>390
集合の内包的な定義が無数にあるからと言って、それが何?

「グッドスタインの定理に空集合は何の関係もない」

という事実は揺るがないよ?つまり、君のレスがトンチンカンであるという事実は揺るがないよ?

393M.B.2018/07/08(日) 16:22:07.17ID:v0TMFGoL
>>392
> 集合の内包的な定義が無数にあるからと言って、それが何?
外延的な定義による集合が一個あって、それを内包的な定義によって
示せば、数学的には正しいのよ。
{2}は、「最小の偶数」であったり「最小の素数」であったり「唯一の
遇素数」であったりするわけなんだけど、「x^n + y^n = z^n」が成り立つ
最大の自然数とかでもあるわけです。
こんなの、あたしみたいなお婆ちゃんに説教されなくても、そこいらの
数学をマジメにやってる若い衆に訊けば、すぐ教えてくれそうに思うんですけど、
あんた、数学板に出張ってきてるくらいだったら、そういう友達っていないの?

394132人目の素数さん2018/07/08(日) 16:27:15.36ID:qI7WVHvt
>>393
グッドスタインの定理は集合論とも空集合とも関係がない、という俺の指摘に対して、
なぜ君は懲りずに無関係な集合論の話でレスを返してくるのだね?
俺がさっきからずっと言っていることは、

(1) ペアノ算術は集合論と無関係に定義される。

(2) ペアノ算術における「0」は空集合とは無関係。

(3) グッドスタインの定理も空集合とは無関係。

(4) グッドスタインの定理で対象となっている数は 0,1,2,3,… という数であり、
  これを「自然数」と呼びながらグッドスタインの定理を記述するのが気に食わないなら、
  「非負整数」とでも呼びながらグッドスタインの定理を記述すればいいだけの話。

ということ。

「Javaで == や equals() を使ってナニカを比較すると、両者には "差異" がある」
「空集合は外延的には1つに定まるが、内包的な記述の仕方は無数にある」
「外延的な定義による集合が一個あって、それを内包的な定義によって示せば、数学的には正しい」

といったレスは、1ミリたりとも(1)〜(4)の反論になってない。
集合論とは関係がない、という内容の(1)〜(4)に対して、
なぜ君は懲りずに無関係な集合論の話でレスを返してくるのだね?

君のレスは極めてトンチンカンである。

395M.B.2018/07/08(日) 16:35:53.00ID:v0TMFGoL
>>388
> グッドスタインの定理はペアノ算術の範囲で記述される定理であり、
なのは解ってるけど、ペアノ算術の範疇で正否が証明できるかどうかは
別問題なのよ。それはゲーデルの第一不完全性定理によって証明されてるでしょ?
WikiPedia には
「ペアノ算術の範囲では証明も否定の証明もできないが、集合論の公理系、
特に無限集合の公理を用いると真であることが言える。」
って書いてあるし。
このスレの住民をナメたらいかんぜよ!

396132人目の素数さん2018/07/08(日) 16:44:42.71ID:qI7WVHvt
>>395
>> グッドスタインの定理はペアノ算術の範囲で記述される定理であり、
>なのは解ってるけど、

それが分かってたら

>だけど、「数学基礎論とコンピュータサイエンスの世界では、0を自然数に
>含める」みたいな偏見と闘わなければならないのかな?とは思ったりします。

こんなトンチンカンなこと書けない。

397M.B.2018/07/08(日) 16:48:52.49ID:v0TMFGoL
冷静に考えたら、前スレにも けっこう荒らしはいたのよね。
数学板のヒトは耐性がないんじゃないかと思って心配してたんだけど
杞憂だったみたいね。
じゃ、おいしそうじゃないエントリは、基本スルー進行で。

とはいえ、スレ主にごめんなさいm(_ _)m

398132人目の素数さん2018/07/08(日) 16:51:23.03ID:qI7WVHvt
なぜトンチンカンかというと、繰り返しになるが、グッドスタインの定理は、
自然数に0を含めるか含めないかという話とは無関係だからだ。
グッドスタインの定理で対象となっている数は 0,1,2,3,… という数である。
これを「自然数」と呼びながらグッドスタインの定理を記述するのが気に食わないなら、
「非負整数」とでも呼びながらグッドスタインの定理を記述すればいいだけの話。
「非負整数」でも気に入らないなら、何か自分で新しい名前を考案して、その名前を使えばいいだけの話。

グッドスタインの定理を証明するときに集合論を使う場合でも、
ペアノ算術を集合論の中で実装するのに空集合を使う必要は無いので、
空集合がどうこうという話はこの文脈においても依然としてトンチンカンのまま。

また、そこで得られた集合論的ペアノ算術を、集合論の中で「自然数」と呼ぶか「非負整数」と呼ぶか、
はたまた自分で考案した新しい名前で呼ぶかは、やはり集合論と無関係であり、どのような名称で
呼び出いのかという生理的な話にすぎない。つまり、

>だけど、「数学基礎論とコンピュータサイエンスの世界では、0を自然数に
>含める」みたいな偏見と闘わなければならないのかな?とは思ったりします。

というレスは、集合論の中でペアノ算術を考えてもなおトンチンカンのまま。

結局、君の発言は、ペアノ算術の中で考えるとトンチンカンであり、
集合論を持ち出して議論するときも やはりトンチンカンのまま。

399132人目の素数さん2018/07/08(日) 16:58:36.75ID:qI7WVHvt
>>397
このスレにとっては君自体が荒らしだよ。
スレ主にごめんなさいをするなら、君自体がもう書き込まないことだね。

君の発言は浅はかな思い付きのいい加減なレスばかりである。
そういうレスにマジメに「おかしい」と指摘すると、
さらにたくさんの的ハズレなレスが飛んでくる。問題外である。

そして、君の代表的な振る舞いは、>>383で2つ掲載している。
2つ目の振る舞いは特に酷い。

400M.B.2018/07/08(日) 16:59:27.73ID:v0TMFGoL
>>386
> だけど、「数学基礎論とコンピュータサイエンスの世界では、0を自然数に
> 含める」みたいな偏見と闘わなければならないのかな?とは思ったりします。
わりと最近の『数学セミナー』で見かけたんだけど、あたしの気のせいかなぁ …

401M.B.2018/07/08(日) 17:06:22.16ID:v0TMFGoL
あの有名な、「角の三等分」的なヒトなのかしら。
コラッツ問題が解けそうな人だったら、円積問題とか、
立方体倍積問題とか解いてもらえるかも知れないわよ?
みんなで応援する?
あと、連続体仮説とか選択公理とか。

402132人目の素数さん2018/07/08(日) 17:10:50.97ID:qI7WVHvt
>>400
言ってるそばから的外れなレス。トンチンカン。
自然数に0を含めるか含めないかという話とは無関係な話題であるにも関わらず

> だけど、「数学基礎論とコンピュータサイエンスの世界では、0を自然数に
> 含める」みたいな偏見と闘わなければならないのかな?とは思ったりします。

という発言が出てくることのおかしさを、俺はずっと指摘しているのである。

君が見た数学セミナーには、グッドスタインの定理という、
自然数に0を含めるか含めないかという話とは全く関係のない話題から出発しているのか?
そのような無関係の話題から出発して

> だけど、「数学基礎論とコンピュータサイエンスの世界では、0を自然数に
> 含める」みたいな偏見と闘わなければならないのかな?とは思ったりします。

という話に繋がっていくのか?そんな滅茶苦茶な論理展開が数学セミナーに載っているのか?
違うだろ?

滅茶苦茶なのは君だけなんだよ。

403M.B.2018/07/08(日) 18:05:41.48ID:v0TMFGoL
えー、今日は釜の火ぃ落としてお酒飲んじゃったから営業終了。
こっからはグチだからスルーしてね。スレ主さんごめんなさーい!

だいたいねぇ、ユークリッド幾何学の基本の「定規とコンパス」の
「コンパス」の定義っていうのが曖昧なのよ! もともと
「長さを移す」ってことができないのが、ユークリッド幾何学に
おける「コンパス」なのよ! だったら、「任意長の線分と、
その他に任意の点を与えて、その点を中心とした、与えられた
線分と同じ半径の円を描け」っていうことでしょう?
そういうのを、中学校の数学教師とかが理解してないのよねぇ。

数学板の住民として、腹立たない?

404M.B.2018/07/08(日) 18:11:04.08ID:v0TMFGoL
コラ、そこで ROM ってニヤニヤしてる奴、ちょっと来い。
ババァの酌じゃ酒飲めないってぇのかコラ。

405前786 ◆5A/gU5yzeU 2018/07/08(日) 18:49:53.49ID:HJ7RZOoz
概ねID:ql7WVHvtさんに同意ですが、
>>357>>358に関しては>>360で返答をいただいたので特に気にしていませんので。

406M.B.2018/07/08(日) 20:27:02.31ID:v0TMFGoL
>405
うん。構成的な数学というものに対する真摯な態度というのは
尊重するんだけど、たとえば「背理法」というものに対する
態度っていうのに関しては、いささか疑問があるのよね。
狭義の背理法と広義の背理法って、あるじゃないですか。
「二重否定の除去」っていうのは、古典論理の上でしか成り立たないでしょう?
直観論理の上では、二重否定の除去は成り立たないじゃないですか。
同じ前提からAと¬Aが導出できたら、そりゃあ「おかしい」と思うけどさ、
だったらゲーデルの第二不完全性定理はどうなるのか?っていう話とか、
「前提が偽だったら、あらゆる命題は真であるということが証明可能である」
みたいな話に向かっちゃいそうに思うんだけど。
このあたり、ルイス・キャロルも『亀がアキレスに言ったこと』で
問題にしてたように思うんだけど ……

コラッツ問題とは とりあえず関係ないとは思うんだけど、単調減少する
自然数域に写像できるんだったら、とりあえず証明は可能な感じは
するんだけど、WikiPedia によれば『ところがペアノ算術からは
全てのグッドスタイン数列が収束することは証明できないので、
ペアノ算術はこのチューリングマシンが計算しているのが全体関数で
あることを証明できない。』とかいった話なので、基礎論寄りの
議論をしないと決着はつかないのかなー、と。

407132人目の素数さん2018/07/09(月) 06:15:21.65ID:RfKEQZmA
>>406
>基礎論寄りの議論をしないと決着はつかないのかなー、と。

これもトンチンカン。次から次へとトンチンカンなレスが飛び出す。
俺は最初からずっと

> だけど、「数学基礎論とコンピュータサイエンスの世界では、0を自然数に
> 含める」みたいな偏見と闘わなければならないのかな?とは思ったりします。

というレスに対して話をしているのである。このレスは基礎論の話と無関係であり、
グッドスタインの定理とも無関係であり、このレスに関する議論は既に決着がついている。

「 M.B. は浅はかな思い付きによるバカな発言をした」

これが決着。

408132人目の素数さん2018/07/09(月) 06:18:19.30ID:RfKEQZmA
何度も言うが、グッドスタインの定理は、自然数に0を含めるか含めないか
という話とは無関係である。無関係であるにも関わらず

> だけど、「数学基礎論とコンピュータサイエンスの世界では、0を自然数に
> 含める」みたいな偏見と闘わなければならないのかな?とは思ったりします。

という発言が飛び出すのは極めておかしい。何かを盛大に勘違いしている。
おそらく、グッドスタインの定理の記述に「自然数」という言葉が使われていて、
なおかつそこでの「自然数」が 0 から始まっているのを見て、
特に意味もなく思い付きで上記のようなバカな発言をしたと推測される。
このことに関して >>400 で飛び出したコメントは、

「数セミには "自然数に0を含めるか否か" の話題が載ってた気がするんだけどなあ」

という、これまた思い付きのバカな発言である。

俺は、"自然数に0を含めるか否か" というトピックスそのものの話をしているのではない。
そのトピックスとは無関係の話題なのにそのトピックスが飛び出すことのおかしさを、
俺はずっと指摘しているのである。

数セミには、そのトピックスとは無関係の話題から出発してそのトピックスが飛び出すような
滅茶苦茶な構成で文章が書かれているのか?違うだろ?

滅茶苦茶なのは君だけなんだよ。

409132人目の素数さん2018/07/09(月) 06:23:43.21ID:RfKEQZmA
また、M.B. は(お茶を濁すために)どうしても基礎論の話に繋げたいようなので、基礎論の話として

> だけど、「数学基礎論とコンピュータサイエンスの世界では、0を自然数に
> 含める」みたいな偏見と闘わなければならないのかな?とは思ったりします。

というレスを考察してみる。すると、このレスは基礎論の話と無関係であることが分かる。
なぜなら、ペアノ算術で 0 を自然数に含めるか否かは、0,1,2,3,… という数をどのような名称で
呼びたいかという生理的な話に過ぎないからだ。0,1,2,3,… を「自然数」と呼ぶのが嫌なら
「非負整数」とでも呼べばいいし、それも嫌なら、何か新しい名称を自分で考えてその名前で呼べばいい。

このことは、0,1,2,3,… という数を集合論の中で実装しても全く同じ。
集合論的に実装した 0,1,2,3,… という数を「自然数」と呼ぶか「非負整数」と呼ぶか、
あるいは新しい名称を自分で考えてその名前で呼ぶかは、基礎論とも集合論とも無関係であり、
単に自分がどういう名前で呼びたいかという生理的な話にすぎない。結局、

> だけど、「数学基礎論とコンピュータサイエンスの世界では、0を自然数に
> 含める」みたいな偏見と闘わなければならないのかな?とは思ったりします。

このレスは基礎論の話とも集合論の話ともグッドスタインの定理とも無関係な
トンチンカンなレスであるという事実は揺るがず、ここで決着はついている。

410132人目の素数さん2018/07/09(月) 06:37:43.49ID:RfKEQZmA
なお、昨日からのやり取りで、M.B. からは正常な反応が全く返って来ないことが
経験上確定している。また、M.B. がどう言葉を取り繕っても、今回の件に関しては

「どの視点から考察しても M.B. の発言はおかしい」

ことで決着がついている(>>409)。

ゆえに、これ以上は >>409 の繰り返しになるだけなので、
俺の方からはもう M.B. にはレスしないことにする。

願わくば、M.B. には さっさとこのスレから出て行ってほしいものである。

411M.B.2018/07/09(月) 08:31:02.69ID:7iwDxU/z
そろそろ夏休みが近づいてきたので、夏休みの自由研究の
お役に立てるようなプログラムを上げようかな、と
思ってるんですけど、Java のプログラムって、いろいろ
面倒臭いんですよ。
まず、IDE として Eclipse を立てるのがめんどくさい(とはいえ
ラズパイ立てると Java の IDE は最初から入ってるらしいんだよね)。
つぎに、わざわざ Object を extend するとか Exception を投げるとか
書くと鬱陶しい(普通は省略しちゃうけど、プログラムの規模が
大きくなってくると「いかがなものか」になってくる。try 〜 catch とかも
丁寧に行なったほうがいい)。
その場しのぎで書くんなら、ところどころで print してもいいんだけど、
木構造を追うんだったら、適当なコンテナクラスに押しこんでおいて、
後でまとめて出力したほうがいい。ところが、それやるとイテレータだの
コンパレータだのとかいう話になってきて、数学の話をしてるんだか
Java 言語の話をしているのかが分からなくなる。
あと、中学・高校で使われている情報処理のテキストの出来があんまり
よくなくて、再帰や loop - until - do - repeat(いわゆる、n + 1/2 型の
ループ)といった制禦構造をちゃんと取りあげてなくて、「なんだこれ?」
になってしまう。かといって、若いうちにヘンな癖をつけちゃうのもなぁ。
オブジェクト志向っていうのは、ある程度 “使えるコード” が溜まってこないと
有難みが実感できないところがあって、初心者のころに屑コード溜めちゃうと
あとあとツラい(C から Java に移行してきた、とかいうヒトなら、問題
ないんだろうけど)。
数学教育とプログラミングって、どういう形で折り合うのが正解なんですかね?

412M.B.2018/07/09(月) 08:55:47.87ID:7iwDxU/z
>>411
> 数学教育とプログラミングって、どういう形で折り合うのが
> 正解なんですかね?
というのは、明治三十八年に発行された算数の国定教科書、
いわゆる「黒表紙教科書」のベースになった「数え主義」と
のちに遠山 啓・銀林 浩さんらが「水道方式」「量の理論」の
基礎となった「直観主義」(論理学でいう直観主義とは別)との
対立、みたいなものを意識しています。

明治三十八年っていったら一九〇五年なんですよね。
「ヒルベルトの23の問題」が発表されてから五年だから、
現代数学はカッコよかったんだろうなぁ。ゲーデルの
不完全性定理の証明あたりで風景変わっちゃったけど。

413M.B.2018/07/09(月) 13:26:41.75ID:7iwDxU/z
数学板とはまったくなじみがないので、要するにヒマネタです。

>>411 で、「コンパレータ」の話をしましたが、順序関係を
表す関数っていうのは、けっこう面倒臭い話があるんですよ。
束(そく)なんかだと、半順序構造を持っているので、「そんなん
当たり前でしょ?」という話にはなるんですが、普通の紙の辞書の
順番に辞書データを整列させるときに、「どっちが順序的に先になるか?」
という関数を書こうとすると、順序関係が三すくみになったりして、
整列用のルーチンが止まらなくなったりします。

で、どうするかというと、単語の読みの登録時に、整列用のキーを
隠しデータとして生成しとくんですよ。

これ、事務系のシステム組んでるひとに「人名とか社名とか、
面倒臭いですよね?」みたいにネタ振ると、ちょっと威張れますよ?

414M.B.2018/07/09(月) 13:38:32.68ID:7iwDxU/z
蒸し返しになっちゃって荒らしを呼んじゃうかもしれないけど、

WikiPedia によると、現在知られている「ペアノの公理」は、
集合論との絡みで、「自然数」に 0 を含めることが多いようです。
ただし、ペアノ自身による記述によれば、「1 は自然数である」から
始まっているそうなので、0 は含まれていないようです。
とはいえ、全単射をもつ集合は、みんな同型ですから、
べつに 0 を含めても不都合があるわけではありません。
「そっちのほうが扱いやすい場合がある」というのは、もちろん
ありますし。ソフトウェアの世界でいう、「いけにえ」みたいな
ものだと思います。

415132人目の素数さん2018/07/09(月) 15:39:22.30ID:a07ZflcW
自然数が0以上か1以上かの話題は専用のスレがあるので、本論と関係ないならばここでの議論は避けるべきと思います。必ず荒れる元となる話題でもありますし。

基本的に、ペアノの公理を論じるのであれば、自然数の初元がいくつであるかは本質的な意味を持たない。
また、0にゼロ元としての意味を持たせる意図があって「0以上の整数」「1以上の整数」を表現する場合は、自然数の語を用いるべきではなく、「非負整数」「正整数」の語を用いるのが潔い。

416M.B.2018/07/09(月) 15:44:03.54ID:7iwDxU/z
>>415
> 必ず荒れる元となる話題でもありますし。
そうか、荒れるんだ。
いちおう、
> 全単射をもつ集合は、みんな同型
とは断ってはおいたんだけどね。

417M.B.2018/07/10(火) 05:29:15.02ID:jbCcXMIJ
本筋の話ですが、
>>348>>365 の視点って、既存の数学的
手法とは違うアプローチなんで、「ひょっとしたら
有望」と思わせてくれるという希望がある。
で、まだ思いつきの段階を出てないんだけど、
コラッツ問題は「2で割る」のと「算術加算」が
問題をややこしくしているものの、3ビットからなる
円環構造で考えれば、1 → 4 → 2 → 1 とビットが
移動してるだけなんだよね。
で、剰余系で考えた場合は上位と下位が切られてる
感じなんだけど、これを「伸縮する円環上に配置される
オートマトン」みたいな形で記述できたら、
「円環の周長が増大する際の最大値」と「最終的に
周長は3に落ちつく」というところに持ってけないか?
とか考えてしまう。
三倍することで、どうしたって上にキャリーが上がってく
のは間違いないわけだし、「1を足す」というのは
下からキャリーが上がってくるのと同じことなんだから。
現状、オートマトンの遷移規則がどうなるかを考えているところ。

418M.B.2018/07/10(火) 17:35:16.45ID:jbCcXMIJ
>>415
> 自然数が0以上か1以上かの話題は専用のスレがあるので、
> 本論と関係ないならばここでの議論は避けるべきと思います。
> 必ず荒れる元となる話題でもありますし。

『0は自然数か?』
(ttps://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1504541889/)
の話だったら、「¥」氏は荒らしにこないと思うんですが、どうでしょうか。
いまさっき見たばっかりで全部は読んでいないんですが、
>>122 とか >>133 とかあたりの議論は、とりあえず、このスレ民にとって
傾聴に値すると思うんですが。

あと、連投してごめんなさい。m(_ _)m

419M.B.2018/07/12(木) 15:36:42.59ID:PNZKOllK
>>415
前スレと『0は自然数か? [無断転載禁止]©2ch.net 』
(ttps://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1504541889/)
に登場していらっしゃった「¥ ◆2VB8wsVUoo」さんは、
口下手でいらっしゃるようですが、わざわざ数学板を選んでくるあたり、
それなりに思うところはあるのではないかと思います(私はム板とマ板と
レシピ板がホームグラウンドです。数学板は、たまたま顔を出した
だけです)。
とりあえず、「必ず荒れる元となる話題でもありますし。」とかいった
案件でもなさそうですし、コラッツ問題は数論とか数学基礎論とかと
関連しそうな話題でもあるので、あえて避けるべき理由はなさそうに
思います。

うちの同僚がチョッカイを出しに行ってきましたが、「特に
荒れる様子もなかった」そうですから(とはいえ、馬鹿が
マ板で炎上騒ぎを起こしてはいたり、あたくしも他人事では
ないんですが(-_-!))。

420132人目の素数さん2018/07/12(木) 16:13:04.91ID:mdqI16AR
>うちの同僚がチョッカイを出しに行ってきましたが、「特に
>荒れる様子もなかった」そうですから

キチガイやね。何が同僚だよ。書いたのお前自身じゃん。
今日の分のIDが完全に一致してるぞ。

そこから遡っていくと、646, 649, 650 は文脈上すべてお前の書き込みだと確定する。
何でこんなことで他人のフリするのかなこのバカは。

421M.B.2018/07/12(木) 19:22:39.37ID:PNZKOllK
>>410
あら。
> 俺の方からはもう M.B. にはレスしないことにする。
って言ってたのは誰かしら。

422132人目の素数さん2018/07/12(木) 20:03:19.48ID:mdqI16AR
自演してた事実は否定しないんだなw
やっぱりキチガイやね。そもそも自演する意味が無い箇所なのに、
なぜか自演して同僚がどうこうとか抜かす頭のおかしい人。普通に

「向こうのスレに書き込んでみたけど荒れてなかった」

と言えばいいだけなのに、なぜそこで

「うちの同僚がチョッカイを出してきたが荒れてなかった」

とか言って他人のフリしてるんだよ。本当に頭おかしい。

423132人目の素数さん2018/07/12(木) 20:05:54.32ID:mdqI16AR
>>410については、

「今回の件に関しては>>409で決着がついており、これ以上は >>409
 繰り返しになるだけなので、俺の方からはもう M.B. にはレスしないことにする」

と明確に釘打ってある。
つまり、例の話題ではもうレスしないで打ち切りにするっていうだけの話。
今後一切 M.B. に触れないということではない。

424132人目の素数さん2018/07/12(木) 20:38:19.34ID:mdqI16AR
今気づいたが、>>418の ID:jbCcXMIJ の時点で既に向こうの

> 646132人目の素数さん2018/07/10(火) 20:22:42.17ID:jbCcXMIJ

とIDが一致している。最初から自演が成功するはずも無かったわけだ。

ム板とマ板とレシピ板がホームグラウンドとか言ってるが、
今見てきたらマ板とレシピ板はIDが表示されない(ム板はIDあり)。
もしかしたらこいつ、IDが出ないのをいいことに、
普段から手癖で自演ばかりやってるキチガイなのかもな。

425M.B.2018/07/12(木) 20:53:32.21ID:PNZKOllK
『【初心者】Java の宿題はここで答えます【歓迎】』
(ttps://pc5.5ch.net/test/read.cgi/tech/1100559011/)
106 :M.B.:04/11/18 20:32:22
>>104
ふはははははははは。
「M.B.」は一人ではないっ!

108 :デフォルトの名無しさん:04/11/18 22:43:48
>>106
(゚д゚) いままで本気で一人だと思ってた

 …… まぁ、誰が書いても数学的に正しいことは正しいわけだし。
天皇陛下が書いても小学生が書いても、三角形の内角の和は
180度なのよ。数学板でそういう方向性の話はいかがなものかしら?

426132人目の素数さん2018/07/13(金) 02:53:41.25ID:9Kl0te3e
とりあえずこの魔人ブウのひとをまともに相手しちゃいけないことはわかった

427M.B.2018/07/14(土) 11:58:57.87ID:Ggh1kztE
>>426
未解決問題の一つくらいは解いてから、
出直していらっしゃいねー。

428132人目の素数さん2018/07/14(土) 14:01:38.67ID:CjHlVpdT
猫の方が無意味な分マシだな

429132人目の素数さん2018/07/14(土) 20:22:15.19ID:Ggh1kztE
>>428
「猫」とは懐かしい名前を聞いたな。
規制されてどっか行っちゃったという話を聞いた
ことがあるけど、今はどうしてるんだろう。

430M.B.2018/07/15(日) 12:10:00.29ID:rdBmsX90
>>417
うーん、やっぱり、どこかに小数点にあたる特異点みたいなものが
ないと、環状のデータ構造で表すのはムリみたいですねぇ。
いわゆる「魔円陣」において 1 が起点になるみたいに、
どっかで起点になるようなところを設けないとダメなのかしら。

魔円陣だと、たしか「基数 6 のときに解がない」っていうのがあったけど、
そんな感じで、ものすごい大きな数のところから、ループを作る数が
離散的にいくつも出てくるっていう可能性はあるのかもしれないですよね。

4313192018/07/19(木) 21:26:06.57ID:2Y1iW8Lv
log(collatz_max(x))/log(x)>=3を満たすようなxは存在するか?
存在するとしたら有限個か?
このあたりが中間ゴールとしていい感じだと思うんだが。

そういえば>>1はコラッツについてまとめた本持ってたよね?
なんかこの辺について載ってない?

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