面白い問題おしえて〜な 26問目
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>>643 CI = FL = 3.60000 x, … 棟木 とするなら AB = DE = 2.17929 x, BC = CD = 3.743965 x, AE = DH = 4.807435 x, … 軒桁 BD = 5.91628 x, S_5 = 18.08915 xx, CI〜DH間 3.69496 x, … 垂木? S_4 = 15.53246 xx, S = 134.4864 xx, V = 115.9502 x^3, V/S^(3/2) = 0.07434486809323… になるらしい。 >>621 > データは >>489 のほうが…良い(体積が大きい)みたいです。 おっしゃるとおり。 >>637 そうですねぇ... >>642 理論値 f=4 (正4面体) 1/{6√(6√3)}, f=5 (正3角柱) 1/{9√(2√3)}, f=6 (立方体) 1/(6√6), f=7 (正5角柱) 1/{3√30・(5-2√5)^(1/4)}, f=12 (正12面体)1/{(3√15)(√5 -1)(5-2√5)^(1/4)}, >>646 正確な長さが出てるんですね。軒桁4.8xからもう整数比じゃないんですか。 屋根の端も微妙に3.7xじゃないみたいだし。 肉眼で0.074を出した。ここが限界です。 前>>643 ぜんぜん綺麗な比にならないのにこの形で極値をとる。なぞですね。ゴールドバーグさんは論文でこの形になる根拠を示したんですか。 綺麗な形にこだわるならx軸から見てもy軸から見ても正五角形のシルエットをもつ立体を試してみてはどうか 最適解とは異なりながらも0.0743は越えられるはず >>642 V/S^(3/2) はf個の点の配置に関して滑らかな関数だから 1.が本当にランダムなら、何度も試せば1回ぐらいは最大値に収束するはず。 ゴールドバーグの言う S^3/V^2 = 180.23 なる配置は、ネットで探しても見つからなかった。 >>494 が言うように、 > 今は 180.23 という値だけが何か間違っているという疑いの方が強まってる。 >>650 補足すると、 接点と重心の距離について V/S^(3/2) が単調に減少すると考えた。 >>642 すばらしいですね。 多面体の各頂点の座標とか各面の重心の座標とかを求める処理は 1からコーディングすると大変そうだけど、なにかいいツールがあるのでしょうか? (CAD系のツールでは基本処理なのかな?) >>650 > V/S^(3/2) はf個の点の配置に関して滑らかな関数だから > 1.が本当にランダムなら、何度も試せば1回ぐらいは最大値に収束するはず。 そうですね。逆に言うと、>>642 の1回の計算だけでは、局所最適解に引っかかる 可能性があるということですね。 8面体の場合も初期値によっては正8面体に収束するかも。 初期値を変えて試行を繰り返して、なるべく多くの局所最適解を探してみたいところです。 (正解以外の局所最適解に収束する確率はかなり低いと予想されますが) > 今は 180.23 という値だけが何か間違っているという疑いの方が強まってる。 計算機が自由に使える以前の時代の論文の数値計算の間違いというのは、 結構あるのかもしれません… >>649 水平方向から見た(五角形+等脚台形)の射影を正五角形にすると。前>>648 だいぶ平たくなりますね。V(x)が減りそう。五角形が綺麗なわけない。 >>633 を実行してみました。 tha = tan α/2, thb = tan β/2として重心=垂線の足から連立方程式をたててみると (3*tha^7-12*tha^5+9*tha^3)*thb^4 +(-2*tha^8-10*tha^6+38*tha^4-26*tha^2)*thb^3 +(11*tha^7-11*tha^5-11*tha^3+11*tha)*thb^2 +(-26*tha^6+38*tha^4-10*tha^2-2)*thb +9*tha^5-12*tha^3+3*tha = 0 (tha^7+4*tha^5-5*tha^3)*thb^7 +(-15*tha^6-72*tha^4+23*tha^2)*thb^6 +(75*tha^5+120*tha^3-3*tha)*thb^5 +(12*tha^6-197*tha^4-72*tha^2+1)*thb^4 +(-tha^7+72*tha^5+197*tha^3-12*tha)*thb^3 +(3*tha^6-120*tha^4-75*tha^2)*thb^2 +(-23*tha^5+72*tha^3+15*tha)*thb +5*tha^4-4*tha^2-1 = 0 >>621 さんの数値データから得られる値 tha = 0.5006040925763866 thb = 0.1338964782891034 を代入して検算するとそれぞれの左辺値は 8.87931586213142e-6 3.632479806903177e-5 となってます。誤差なんだかどうなんだか。tha消去すると 8181*thb^62 -713988*thb^60+17155890*thb^58-164938703*thb^56+506017027*thb^54+1834844826*thb^52 -13744791488*thb^50+3826451839*thb^48+119593971621*thb^46-128477872952*thb^44-571856278634*thb^42 +693554443761*thb^40+1596500744027*thb^38-1841098161058*thb^36-2706178331076*thb^34+2845687450727*thb^32 +2845687450727*thb^30-2706178331076*thb^28-1841098161058*thb^26+1596500744027*thb^24+693554443761*thb^22 -571856278634*thb^20-128477872952*thb^18+119593971621*thb^16+3826451839*thb^14-13744791488*thb^12+1834844826*thb^10 +506017027*thb^8-164938703*thb^6+17155890*thb^4-713988*thb^2+8181 = 0 既約みたいです。 >>649 真横から見て影が正五角形になるときですね。 (四面体の高さ)=1.8x√(5+2√5) (四面体の高さ)=0.9(3-√5)x√(5+2√5) (四面体の高さ)=1.8(√5-2)x√(5+2√5) 0.074は超えない気がするけど気になってはいます。前>>653 めんどくさいなぁ。 >>654 の連立方程式を数値的に解くと tha = tan(α/2) = 0.500612548452861 thb = tan(β/2) = 0.133888590056153 ぐらいになりました。 >>621 さんの数値データから得られた値も(有効数字は)ほぼ一致してますね^^ >>654 の連立方程式を数値的に解いて得られた、 >>658 α = 53.1862428998954゚ β = 15.2517985158774゚ はゴールドバーグの文献値に近いです。 >>492 また、cosβ = 0.964779066797437 はメディアル8面体の d_4 = d_5 と一致してます。>>582 状況をまとめると、 対称性のあるメディアル多面体を>>464 のように3つのパラメータで表して 数値計算で最大値を求めた結果(>>471 ,489,621あたり)も、 Lindelofの条件のうち円に外接するということを先に前提として使った上で α,βの2つのパラメータで表して、接点が重心という条件で α,βを求めるというアプローチ(>>633 )で得られた結果(>>658 )も、 円に外接する際の接点をランダムに設定した上でそれが各面の重心に近づくよう 接点を動かしてLindelofの条件を満たす状態に近づけていくというアプローチで 得られた結果(>>642 )も、 すべて(誤差を除き)同様の結果となり、 その結果の各面の対象軸からの角度はGoldbergの論文に記されている値と一致した(>>494 ,659) ということですよね。 もうこれは、ここでの結論は > 180.23という値だけが何か間違っている ということで打ち止めでいいんじゃないですかね。これ以上やることもあまりないような。 さすがにこれ以上一つの話題を引きずるのも迷惑だし。 >>654 tha^2 = A,tha*thb = B とおく。 上の式に tha を掛けると (A-1)・{3(A-3)B^4 + 2(-AA-6A+13)B^3 + 11(AA-1)BB + 2(-13AA+6A+1)B + 3(3A-1)A} = 0, … Aについて2次方程式になる。 下の式に tha^4 を掛けると (A-1)(A+5)B^7 + (-15AA-72A+23)B^6 + 3(25AA+40A-1)B^5 + (12A^3 -197AA -72A+1)B^4 + (-A^3+72AA+197A-12)AB^3 + 3(AA-40A-25)AABB + (-23AA+72A+15)AAB + (A-1)(5A+1)AA = 0, 棟木を2x、垂木の最短の長さも2xとすると、屋根は等脚台形で、八面体を水平に見て射影が正五角形になるとき、 五角形の水平な対角線は、 (1+√5)x 八面体の真下にある底辺は、2x 八面体を真横から見て、 (八面体の高さ)=x√(5+2√5) (八面体の高さ)=x/2√(10-2√5 (八面体の高さ)=x√(5+2√5)-2x√(10-2√5) 前>>657 訂正&再考ですが、極値0.074……を超えないとなると、計算をつづけるに値するほど魅力的な式じゃないです。 >>654 です。まだ次の問題でてきてないので私もその前に最後のレス。 >>654 の最後の式既約ではありませんでした。 262144*(thb−1)^3*thb^9*(thb+1)^3*(thb^2+1)^3*(thb^4−10*thb^2+1)*(8181*thb^36−623997*thb^34+10242837*thb^32 −48965288*thb^30−59994180*thb^28+888366516*thb^26−574079300*thb^24−5645292312*thb^22 +4166321790*thb^20+19707900690*thb^18+4166321790*thb^16−5645292312*thb^14−574079300*thb^12 +888366516*thb^10−59994180*thb^8−48965288*thb^6+10242837*thb^4−623997*thb^2+8181) となっていてthbはQ上36次方程式の解になっています。 この36次方程式は複2次式、かつ相反方程式になっているので指数4の部分体を持ちます。 具体的には (tan^2β + 1/tan^2β)/2 = 4/(1-cos 2β) -1 = C とおくとき C は9次の方程式 8181*x^9 -623997*x^8+10242837*x^7 -48965288*x^6-59994180*x^5+888366516*x^4 -574079300*x^3 -5645292312*x^2+4166321790*x+19707900690 = 0 …… (*) の解でおそらく [Q(thb) : Q(C) ] = 4、[Q(C) : Q] = 9 です。 おそらくと書いたのは(*)の左辺の既約性がまだ未確認なんですが、 Maxima君もWolfram先生も因数分解できないのでほぼ確定だと思ってます。 兎にも角にもthbの満たす方程式が得られたので必要に応じていくらでも精度の高い解を得ることができます。 問題が残ってるとすれ(*)がホントに代数的に解くのは無理なのかという事、つまりQ(C)/Qの単純性です。 (*)が代数的に解けるのはQ(C)/QがQ上3次の中間体Q(C)/M/Qを持つときですが、それを確認する方法がなかなかうまく思いつきません。 原理的にはQ(C)/QのGalois閉包のGalois群を計算すればいいんですが、そんなの手計算でやるのも無理だし、コード組むのも一手間だし、 何より、多分Q(C)/Qは単純だった、なら労多くして得るもの少ない感じでちょっとやる気が起きません。 最後に方程式導出したmaximaのコード貼っときます。 ca(tha,thb) := (1-tha^2)/(1+tha^2); sa(tha,thb) := 2*tha/(1+tha^2); cb(tha,thb) := (1-thb^2)/(1+thb^2); sb(tha,thb) := 2*thb/(1+thb^2); a(tha,thb) := (ca(tha,thb) + cb(tha,thb))/(1+ca(tha,thb)*cb(tha,thb)-sa(tha,thb)*sb(tha,thb)); b(tha,thb) := (sa(tha,thb) - sb(tha,thb))/(1+ca(tha,thb)*cb(tha,thb)-sa(tha,thb)*sb(tha,thb)); c(tha,thb) := (1-b(tha,thb)*sb(tha,thb))/cb(tha,thb); d(tha,thb) := (sa(tha,thb) - sb(tha,thb))/(sa(tha,thb)*cb(tha,thb)); e(tha,thb) := 1/sa(tha,thb); ga(tha,thb) := (2*c(tha,thb)+d(tha,thb))/(3*c(tha,thb)+3*d(tha,thb))*b(tha,thb) + (c(tha,thb)+2*d(tha,thb))/(3*c(tha,thb)+3*d(tha,thb))*e(tha,thb); gb(tha,thb) := ((e(tha,thb)-b(tha,thb))*a(tha,thb)*(e(tha,thb)+2*b(tha,thb)) +2*b(tha,thb)*a(tha,thb)*b(tha,thb) +2*b(tha,thb)*c(tha,thb)*(-b(tha,thb))) /(a(tha,thb)*e(tha,thb)+a(tha,thb)*b(tha,thb)+2*b(tha,thb)*c(tha,thb))/3; factor(ga(tha,thb)-sa(tha,thb)); factor(gb(tha,thb)-sb(tha,thb)); >>663 thb^2 + 1/thb^2 = 2{4/(1-cos 2β) - 1} = C とおくと、上の式の最後の因子は (thb^18){8181*C^9 -623997*C^8 +10169208*C^7 -43973312*C^6 -131473152*C^5 +1169678304*C^4 -130954112*C^3 -9629462016*C^2 +5516962560*C +32871900928} となるので{ }内を0とおいて C = 55.80233866564161431594753276684087477826 thb = tan(β/2) = 0.1338885900561525235645099960430550447846 β = 15.25179851587733214293978022621725452035゚ ですね^^ すいません。Cの方程式まちがった。 2094336*C^9−79871616*C^8+650829312*C^7−1407145984*C^6 −2103570432*C^5+9357426432*C^4−523816448*C^3 −19258924032*C^2+5516962560*C+26289900809 です。改訂版。Cの方程式まで一気に作らせます。 よくよく考えたら関数として定義する意味なかった。 基本これで最後です。 もしCが代数的に解けたりしたらまた書くかも。 いまのとこ望み薄ですけどねぇ。 load ("orthopoly"); ca: (1-tha^2)/(1+tha^2); sa: 2*tha/(1+tha^2); cb: (1-thb^2)/(1+thb^2); sb: 2*thb/(1+thb^2); a: (ca + cb)/(1+ca *cb - sa *sb); b: (sa - sb)/(1+ca *cb - sa *sb); c: (1-b * sb)/cb; d: (sa - sb)/(sa *cb); e: 1/sa; ga: (2*c +d)/(3*c +3*d)*b+ (c +2*d)/(3*c+3*d)*e; gb: ((e-b)*a*(e+2*b)+ 2*b*a*b+ 2*b*c*(-b))/(a*e + a*b + 2*b*c)/3; num(factor(ga - sa)); eq1:part(num(factor(ga - sa)),3); eq2:num(factor(gb - sb)); eqc:part(factor(resultant(eq1,eq2,tha)),7); sum(coeff(eqc,thb,2*k+18)*expand(chebyshev_t(k,C)),k,0,9),factor; コードの最後の行 sum(coeff(eqc,thb,2*k+18)*expand(chebyshev_t(abs(k),C)),k,-9,9),factor; で結果は 256* (16362*C^9−623997*C^8+5084604*C^7−10993328*C^6−16434144*C^5+73104894*C^4−4092316*C^3−150460344*C^2+43101270*C+128405863) でした。スレ汚しスマヌ…orz。 >>666 今更だが、定数項は 16435950464 >>667 たぶん正解 C = 27.90116933282080715797376638342043738913 thb と β は >>665 のとおり。 まぁ面白かった。数値に関しては原論文超えてる?ひとえに計算機のおかげだけど。 気分一新で再開しませんか? nを自然数、xを実数とするとき [nx] ≧ Σ[k=1,n] [kx]/k を示せ。ただし[x]はガウス記号である。 それにしても よく間違う人だった。(他人のことは言えないが…) >>669 論文の値は実際には存在しえない間違った「いい値」だったのではないかという話を ずーーーっとやってたのに、何を見ていたのか… 前>>662 >>639 ー640実測値で、ゴールドバーグ超えたよね。 実際は全く議論に参加できていないのに無意味な発言や計算を大量に垂れ流して 事情がわからない人が見たらそいつが議論の中心にいるかのような錯覚を招きかねない 存在自体が「叙述トリック」のような奴が1人いる。 遡って話をトレースしたい人のために忠告しておくと、 イナ ◆/7jUdUKiSM とかいうコテハン氏の発言およびそれに対するレスポンスは全部スキップすると、 内容が把握しやすいのでオススメです。 >>670 新しい話題に参加したいけど、難しくて参加できない^^; 何かヒントないですか? 幾何の難問 https://jmoss.jp/mon/old.php?type=viewproblem& ;d=b009 上の問題なのですが凸多面体の定義より 面同士の角は外側から測ると全てπ以上であることと 辺が3本以上あることからは示せますか? 江戸末期の田舎の下級武士に経済ユダヤが支援してテロを起こさせ江戸幕府を転覆させたのが明治維新。 江戸末期から日本は経済ユダヤとの繋がりがありお互いの利益の均衡を目指してきたのが今日までの政治 の中心課題だと言えます。複式簿記 資本主義 株式制度 現在の経済の根幹を作ったのは彼等であり、 全ての産業を掌握する彼等(総資産数京円以上)の意向を無視出来ません。旧ソ連 中国共産党 北朝鮮 ISISを作ったのは彼等であり、日本の技術流出 東芝の半導体事業からの撤退、シャープの倒産全て彼らの シナリオ通りに動いてます。また、ここ数百年における世界の全ての紛争、戦争は彼等によって引き起こさ れました。 彼らの目指している世界は自分達を支配階級とした人類の管理であり歯向かう人間の排除です。 私達が右や左と罵り合う姿は彼らにとって好都合であり、対立は彼らの支配体制の強化になります。そういっ たことを全ての日本人が理解しないと同じことを繰り返し、十数年後 あの時安部が日本を滅茶苦茶にした。 今度の保守の誰々さんこそ日本を救うと喚いてるかもしれません。消費税廃止 移民反対と当たり前のことを 各政治家に要求し続けると同時に政治家は全員ユダヤの手先だと疑い続けないと日本の独立は成し得ません。 世界中の人間が知るべきこと ・世界の全てのメディアはユダ金が牛耳っている。 ・トランプ プーチン 習近平 安部 麻生 テリーザ・メイ メルケル 文在寅 金正恩はユダ金の手下であり仲間である。 テレビに出てる有名な政治家は国内外問わず全員ユダヤの手先だと考える事。右や左などによる対立は茶番である。 ・全てのテロと紛争と戦争は、ユダ金達と軍産複合体によって引き起こされている。 江戸末期の田舎の下級武士に経済ユダヤが支援してテロを起こさせ江戸幕府を転覆させたのが明治維新。 江戸末期から日本は経済ユダヤとの繋がりがありお互いの利益の均衡を目指してきたのが今日までの政治 の中心課題だと言えます。複式簿記 資本主義 株式制度 現在の経済の根幹を作ったのは彼等であり、 全ての産業を掌握する彼等(総資産数京円以上)の意向を無視出来ません。旧ソ連 中国共産党 北朝鮮 ISISを作ったのは彼等であり、日本の技術流出 東芝の半導体事業からの撤退、シャープの倒産全て彼らの シナリオ通りに動いてます。また、ここ数百年における世界の全ての紛争、戦争は彼等によって引き起こさ れました。 彼らの目指している世界は自分達を支配階級とした人類の管理であり歯向かう人間の排除です。 私達が右や左と罵り合う姿は彼らにとって好都合であり、対立は彼らの支配体制の強化になります。そういっ たことを全ての日本人が理解しないと同じことを繰り返し、十数年後 あの時安部が日本を滅茶苦茶にした。 今度の保守の誰々さんこそ日本を救うと喚いてるかもしれません。消費税廃止 移民反対と当たり前のことを 各政治家に要求し続けると同時に政治家は全員ユダヤの手先だと疑い続けないと日本の独立は成し得ません。 世界中の人間が知るべきこと ・世界の全てのメディアはユダ金が牛耳っている。 ・トランプ プーチン 習近平 安部 麻生 テリーザ・メイ メルケル 文在寅 金正恩はユダ金の手下であり仲間である。 テレビに出てる有名な政治家は国内外問わず全員ユダヤの手先だと考える事。右や左などによる対立は茶番である。 ・全てのテロと紛争と戦争は、ユダ金達と軍産複合体によって引き起こされている。 >>676 私の持ってる解答はこんな感じです。 f(x) = [nx] - Σ[k=1,n] [kx]/k とおけば周期1で不連続点以外のとこでは定数、不連続点では右連続です。 (0,1]での不連続点は0≦b<a≦n である互いに素な整数a,bを用いてx = b/aとかける点です。 よってそのようなa,bについてf(b/a)≧0を示せばよいことになります。 >>677 示せない。 例えば正6面体のときは12個ある辺の外角はすべてπ/2でπより大きいということはない。 そもそも通常の幾何学的な本来の意味での角の大きさは0以上π以下です。 いわゆる “一般角” と混同してはいけない。 前>>673 一辺xの立方体の体積は x^3 一辺xの正三角形の面積は x^2√3/4 四角形どうしがとなりあう辺xのビジュアル八面体の体積もこういう一般的なかたちにならないでしょうか。 相似形なら面積は特定の辺の二乗に比例するし体積は三乗に比例する そのことと比例係数が代数的に書けるかどうかは別問題 過去レスにあった通り、例えば半径1の球に外接する多面体に限定すれば表面積Sと体積Vは比例するため、SまたはVの最小化問題のみを考えればよい ただ、この性質を利用して立式しても、五次以上の次数の方程式を解くことになるので結局代数的には解けないんじゃないか、という説が現在有力 「そうじゃない、うまく式を立てれば代数的に解けるはずだ」という可能性があるならトライしてみたらいいんじゃないかな >>680 をすこし進めます。 1≦b≦a≦nである互いに素な整数a,bに対しbk÷aのあまりをr(k)とすると [nb/a] = nb/a - r(n)/a Σ [1≦k≦n] [kb/a]/k = Σ [1≦k≦n] (kb/a - r(k)/a)/k = nb/a - Σ [1≦k≦n] r(k)/(ak) なので 示すべきは r(n)/a ≦ Σ [1≦k≦n] r(k)/(ak) です。 「面白い問題おしえて〜な」とのことなので、問題を教えるだけです、っていうか解答いただけると嬉しいです(当方解答を持ち合わせておりません)。 [問題] 1桁の自然数をいくつか掛け合わせて表せない最小の自然数は11である。 では1桁の自然数をいくつか掛け合わせて表せる数 a , b を加えて表せない2以上の最小の整数は何か。もし存在しない場合はそれを証明せよ。 >>685 例えば121は1+120=1+3*5*8で表せてしまうので不適になります。 整数の積と和を組み合わせた問題は、大抵難問。 1000桁前後の自然数に対してこれを応用した暗号が作れるかもね。 235らしい。By Haskell君 parts = sort [a*b*c*d*e*f*g*h | a<-[1,2],b<-[1,3],c<-[1,4],d<-[1,5],e<-[1,6],f<-[1,7],g<-[1,8],h<-[1,9]] isNotSum x = (==Nothing) $ find (==x) [a+b|a<-parts,b<-parts] head [x|x<-[2..],isNotSum x] >>685 311っぽいですな。 1桁の自然数をいくつか掛け合わせて表せない ⇔ 2,3,5,7以外の素因数を持つ ということで、プログラムで検索した結果。 >>688 同じ1桁の数を複数掛けてもいいのでは? (出題意図がどちらなのかはわからないけど。) >>689 ありがとうございます。 意外と小さい数でしたね…… すみません、同じ数は何度掛けてもOKのつもりでした。 235は2*2*5*5+5*7で表せますけど、同じ数がダメだと表せないっぽいですね…… かぶった。 ちなみに、1000以下では 311,479,551,619,622,671,719,839,851,933,937,958 の12個。 10000以下では1099個。 数が大きくなると、出現頻度は増える。 (nが大きくなると、nの周辺で2,3,5,7のみで表される数なんてほとんどなくなるから) >>694 なるほど…… 先の解析結果までご丁寧に教えてくださりありがとうございます。 今更ながらhaskell君にも聞いてみました。 Prelude Data.List> let isgood x = if x == 1 then True else (/= 0) $ head $ [a|a<-[2,3,5,7],mod x a == 0, isgood $ div x a] ++ [0] Prelude Data.List> let ys = [x|x<-[2..],(==0) $ head $ [a|a<-[1..x-1], isgood a, isgood (x-a)] ++ [0]] Prelude Data.List> take 10 ys [311,479,551,619,622,671,719,839,851,933,937,958,1102,1103,1117,1151,1193,1238,1244,1291] 4人でリーグ戦(総当たり戦)を行います。 勝てば3点、引き分ければ1点、負ければ0点を獲得します。 全試合が終わった後、合計点数の順に順位をつけます。 ただし、同じ点数の人がいれば、その人たちでクジを行い、 最終的には無理矢理1位から4位の順位をつけます。 任意の対戦において、勝つ、負ける、引き分けるは 確率 1/3 で起こるものとします。 問0 「x点しかとれなかったけど、2位になった」 「y点も取ったけど、3位だった」 ということが起こる、最小のxと、最大のyを求めよ。 問1 m位の人の合計点数の平均を求めよ(mは1,2,3,4) 問2 合計点数kを取った人が、上位2名に入っている確率を求めよ(kは8を除く9以下の整数) 〔問題〕 最高次の係数が1であるn次の整多項式を Pn(x) とし、 Pn(x) = 0 のn個の解を α1,α2,…,αn とする。 このとき、α1^3,α2^3,…,αn^3 を解にもつ、 最高次の係数が1のn次の整多項式 An(x) を求めよ。 http://www.toshin.com/concours/mondai/mondai29.php P(x) = p0(x^3) + p1(x^3) x + p2(x^3) xx, と表わせる。。。 >>701 いや、問題が見れないんじゃなくて、>>699 は解答になんか自明でない決めつけから始まってるってんでしょ?もう、そういう決めつけから始まる解答になってない。若干おかしいけど大筋治ってる。直す前のやつ見たいなぁと。 ただ、大筋なおってるっていってもPの既約性示せてないからアウトなんだけどね 間違った。既約性ではなく、重解持たないこと。それはPが既約なのでただしい。それ以外の方法で重解持たないこと示せれば問題ないけど解答にはその旨全くない。 挫折して予備校講師になった素人の書いた模範解答だから仕方あるまい。 でもこれ作った人気づいてないと思えないんだよねぇ? Pの既約性がいかにもEisensteinの既約判定使ってねって形になってる。 偶然なのかもしれないけど。 必要なのわかってて、あえて簡単に解けるように見せかけてためにはぶいたんだとしたらあまりにも悲しいけど。 ホントに気づいてないなら論外だけど。 そんなことしてたらかえって東進の名にキズがつくような希ガス。 Y-SAPIX の円順列の問題のときも、模範解答が間違っていて、 「今月は正解者が一人もいませんでした」とか書いていたよな。 そりゃそうだろ、あほか? あとでこっそり模範解答を差し替えて知らんぷりしていたが、正解者は呆れただろうな 解答が不完全なのに気づいてないなら問題外。 問題の作りからしてそれはないと思うけどそれならそれで大問題。 どうせ不完全なの高校生が気づくわけないとみこして敢えて不完全な解答のせて “うわぁ、こんな簡単に解けたのか!” 感を演出のは道義的にいかん希ガス。 >>677 凸多面体Pを 任意の向き(↑Ox)に正射影する。 その輪郭は凸m角形となる。(m≧3) 各辺 e_i に対応するPの稜 L_i があって、それらは相異なる。 稜L_iの両側の2面(j,k)は、こちら向き & あちら向きである。 その外向き法線を n_j,n_k とすると、 (↑Ox・↑n_j)(↑Ox・↑n_k) < 0, L_i (n_j,n_k) に対し、この条件を満たす「接する」向き ↑Ox の存在範囲は、 平面jの外側で平面kの内側、または、平面jの内側で平面kの外側 であり、立体角4θ_iの範囲となる。(θ_i は稜L_iの両側の2面のなす角) 一方、任意の向き↑Oxに対し、この条件を満たす「接する」稜が3本以上ある。(m≧3) ∴ すべての稜についての立体角の総和 Σ_i (4θ_i) は 3Ω = 12π 以上でなくてはならない。 ∴ 両辺を4で割れば示すべき不等式を得る。 >>698 http://codepad.org/pfBCZWvD import Data.List import Data.Ratio gameRes = [(3,0),(1,1),(0,3)] results = [[a,b,c,d] | ab <- gameRes, ac <- gameRes, ad <- gameRes, bc <- gameRes, bd <- gameRes, cd <- gameRes, let a = sum [fst ab,fst ac,fst ad], let b = sum [snd ab,fst bc,fst bd], let c = sum [snd ac,snd bc,fst cd], let d = sum [snd ad,snd bd,snd cd] ] posOf0GoFinal result = let p = head result fstPt = head $ reverse $ sort $ result nFsts = length $ filter (==fstPt) result sndPt = head $ tail $ reverse $ sort $ result nSnds = length $ filter (==sndPt) result in case True of _| nFsts >= 2 && p >= fstPt -> 2%(fromIntegral nFsts) | nFsts >= 2 && otherwise -> 0%1 | p == fstPt -> 1%1 | p == sndPt ->1%(fromIntegral nSnds) | otherwise -> 0%1 question1 = id $ map ((*(1%( length $ results))).fromInteger) $ map sum $ transpose $ map sort $ results question2 = [ (pt,totalPosOf0GoFinal / nCases)| pt <-[0..9], let suitCases = filter ((== pt).head) results, let nCases = fromIntegral $ length suitCases, let totalPosOf0GoFinal = sum $ map posOf0GoFinal suitCases, nCases /= 0 ] main = do print question1 print question2 [1073 % 729,779 % 243,127 % 27,4825 % 729] [(0,0 % 1),(1,0 % 1),(2,1 % 81),(3,17 % 216),(4,44 % 81),(5,80 % 81),(6,79 % 81),(7,1 % 1),(9,1 % 1)] >>709 稜L_i の方向から見ると、条件を満たす向き ↑Ox の存在範囲は、 平面jと平面kに挟まれた中心角θ_i の部分×2 だから (θ_i/π)Ω = 4θ_i Ω = 4π 今更ながらよくよく見るとこれあってんの? 勝ち点6取った場合の予選突破確率のほうが 勝ち点5取った場合の予選突破確率より低い? どっか間違った? あってるなら意外でおもしろいんだけどなぁ。 >>710 >>712 私の用意していた数値と一致です。 勝ち/負け/引き分けを同確率という設定が、現実的ではありませんが、とりあえず、 あのオリンピックの時の悲劇(勝ち点6で予選敗退)の様なことは、そう珍しいことでも 無いのかなと思って計算して(させて)みたんですが、予想外に低いのでびっくりしました。 勝ち点2で予選突破できる確率の倍です。 >>勝ち点6取った場合の予選突破確率のほうが >>勝ち点5取った場合の予選突破確率より低い? 勝ち点の分布が 6660(=1弱3竦)となって予選敗退するのと、 勝ち点の分布が 5550(=1弱3平)となって予選敗退するケースの比較になります。 「三チームの勝ち点が同じ」と言っても、3竦みの場合は、a>b>c>a、と a<b<c<a という 二つのケースがあるけど、引き分けの場合は、a=b=c しかないことに由来します。 勝ち点を、3,1,0 と設定していることにも起因していますね。 >>712 サッカーで4チームでの総当たり上位2チーム予選突破、の話な。 勝ち点6取っても予選突破できないのは、3チームが2勝1敗,1チームが全敗のケースだけ 勝ち点5取っても予選突破できないのは、3チームが1勝2分,1チームが全敗のケースだけ どの対戦カードも勝ち負け引き分けがそれぞれ1/3で、 勝ち点が並んだら抽選という単純なモデルで考えると、 勝ち点6を取ったという条件での予選突破できない条件付き確率は2/81 勝ち点5を取ったという条件での予選突破できない条件付き確率は1/81 なので、あながち間違ってはいない。 ただ、もちろんそこまで力が拮抗してるというモデルはあまり現実的ではないし、 引き分けが1/3というのが妥当かも不明だし、 それ以前に、その条件付き確率が意味を持つシチュエーション自体が存在しない。 (全6試合のうち当該チームだけが3試合消化し、残り3試合はまだ実施されていない なんて状況は通常ありえないし、そもそも当該チームが2試合消化した時点で 勝ち点6と勝ち点5の可能性の両方が残ってることはないわけで…) >>714 少し補足すると、リーグ戦全体は、6試合あるので、3^6通り考えることができ、さらに4人いるという 事を考え、分母を4*3^6とする、勝ち点の分布は 0:108 1:324 2:324 3:432 4:648 5:324 6:324 7:324 9:108 となります。 偶然(?)にも、勝ち点5や6となるケース数は一致します。 従って、勝ち点5や6で予選落ちする確率の比較は、パターン数の比較に 置き換えて考えることができ、>>713 のような検討が可能となります。 >>714 の後半をみると、「自分が勝ち点6or5をとった場合」として計算されているようですが、 この問題の設定やプログラムでは、「3^6通りあるリーグ戦全体の結果」を平等にあつかい、 その中で、勝ち点が5や6になるケースを抽出して比較してるので、ご安心ください。 リロードしてなかったので、混乱させたならすまない。 >>714 は別に誰かに反論するというような意図で書いたわけではないので。 >>670 >>680 >>684 もう答えかきますね。>>684 の続き。 Σ [1≦k≦a-1] r(k)/(ak) ≧ (a-1)/a を示せば十分である。aとbは互いに素であるのでb×はZ/aZ上の全単射をあたえているからr(1),…,r(a-1)は1,…,a-1の並べ替えになっている。 よってΣ [1≦k≦a-1] r(k)/(ak)はr(k)が ”小さいもの順” に並んでいるときの値以上である。よって Σ [1≦k≦a-1] r(k)/(ak) ≧ Σ [1≦k≦a-1] k/(ak) =(a-1)/a。 □ 参考までに等号成立はx≦[x]+1/nのときです。 > Σ [1≦k≦a-1] r(k)/(ak) ≧ (a-1)/a > >を示せば十分である。 なんでこのケースだけ示せば十分なんですか? >>720 >>684 で >なので 示すべきは > >r(n)/a ≦ Σ [1≦k≦n] r(k)/(ak) まできていて 左辺≦(a-1)/a 右辺≧ Σ [1≦k≦a] r(k)/(ak) なので >>721 ありがとうございました。 「 a≦n 」という条件を見落としてました。 >>670 >>680 >>684 >>717 面白い問題でした。最後はチェビシェフの不等式 Σ(乱順序積) ≧ Σ(逆順序積) で決まりですね。 別スレでプロの数学者でもパズル系は苦手とする人もという話題がでてたのでちなんだ問題を。 Peter Winklerの数学パズルの本に載ってた問題、曰く、"Conway Immobilizer"。 ---- 1,2,3と表面に書かれたカードが1枚づつ、計3枚のカードとカードの山をおける三ヶ所の場所A、B、Cがある。 三ヶ所それぞれにカードを分けて表面を上にして山を作り配置した状態を考える。 たとえばAに下から順に1,2をおき、Bに3をおき、Cには何も置かないなどである。 あなたの仕事は機械をプログラムしてAの山に上から順に1,2,3という順でカードが置かれている状態(終了状態とよぶ)に移行させることである。 機械にできることは山の一番上に乗っているカードの数字を読み取り、その数字の組み合わせのみに応じていずれかの山の一番上のカードを別の山の一番上に乗せ変えることだけである。 機械には状態を記憶する能力はなく、常にその時の各山の一番上に見えているカードの組み合わせのみに応じてしか次に行う操作を決めることしかできない。 たとえば先の例の状態であれば各山に見えているカードはA:2、B:3、C:空であり、この状態においてあなたは例えば機械にA→CやB→Aのような形で行う操作を指定できる。 無論C→Aなどは指定できない。 山の見えている最上面の状態は23通りあり得るので、あらかじめその23通りそれぞれに対して可能な操作を一つずつ指定しておいて、いかなる状態からスタートしても機械が自動的に最終的に終了状態に到達できるようにしてほしい。 なお、機械は終了状態になれば自動的に終了する装置がついているので、操作を終了させる条件について考慮する必要はないとする。 ---- このパズル問題を出題された著名な数学者 JOHN CONWAY が6時間(だったかな?)考え込んで思考の泥沼にはまってしまったという逸話つきの問題です。 ネットで検索すれば解答は出てくるとは思いますがよかったら考えてみて下さい。 >>724 なぜ23通り? 1つ見えている:3通り 2つ見えている:18通り 3つ見えている:6通り で、計27通りではないの? 何か問題文読み間違ってる? >>725 失礼しました。 1枚見えてる:3(=どのカードが見えてるか)×3(=どの山に見えてるか)=9 2枚見えてる:3(=どのカードが見えてるか)×6(=どの山に見えてるか)=18 3枚見えてる:1(=どのカードが見えてるか)×6(=どの山に見えてるか)=6 です。 多分正しく解釈されてると思います。 >>726 では、例えばこんな感じ? 左から順にA,B,Cとする。ただし、Aの左隣はC,Cの右隣はAと解釈する。 この設定で、以下のルールで処理すればよい。 (1) 1枚のみ見えているときは、その1枚を左隣に移動する (2) 3枚とも見えているときは、2のカードを左隣に移動する (3) 2枚のみ見えているときは、2空1の場合を除き、 空いている場所の右隣のカードを空いている場所に移動する (4) 2空1の場合、C→A (3)の例外と(4)がなければ、すべてのパターンから同じ無限ループに収束するが、 (4)のルールがループを切って、ゴールへの道が見える。 (4)のルールで分岐するケースは3の場所により2通りあるが、 どちらにせよゴールにたどり着く。 まあ、(1)のルールは、見えているカードをどこに移動しても構わないのだけど。 >>727 正解のようです。 http://codepad.org/BGh67AnT この手の問題は結局コード組んでみないと正解かどうかわからないので組んでみました。 かなり遅いですが実用上問題なしということで。 可読性優先。 では発展でカードの枚数が n ではどうでしょうか? >>727 >>729 ちょっと “プログラム” っぽく書き換えました。 http://codepad.org/d8BCopy3 >>727 さんのルールが見えやすくなったと思います。 シンプルなルールでよいですね。 >>717 これもおながいします。 〔問題602〕 正整数nと、1より大きい正の実数xに対し、 Σ(k=1,n) {kx}/[kx] < Σ(k=1,n) 1/(2k-1) {x} = x - [x] を表し、[x] はxを超えない最大の整数を表すものとする。 不等式スレ9 - 602 xyz座標空間上の曲面P:z=x^2-y^2について P上の二点を結ぶP上の曲線で長さが最短となるものはただ一つのみであることを示せ >>731 でけたかも。 x>0においてf(x) = Σ(k=1,n) {kx+k}/[kx+k] ,g(x) = lim[e→+0] f(x-e) とおく。 このとき g(x) = (kx+1+[-kx])/(k-1-[-kx]) である。 またf(x)≦g(x)で等号が成立するのはf(x)の連続点のみである。 さらに与式の右辺はg(1)に一致する。 よってg(x)がx=1においてまたその点においてのみ最大値を持つことを示せば良い。 またg(x)は右連続で連続点において単調増大だから1でない不連続点xにおいてg(x) < g(1)を示せば良い。 またg(x+1)<g(x)から0<x<1として良い。 よって0<b<a≦nである自然数a,bをもちいてx=b/aとおける。 r(k) = a[-bk/a] + bkとおくとき g(b/a) = Σ(k=1,n) (a-r(k))/((a+b)k - (a-r(k))) となる。 [-bn]≦c≦[-b]であるcを固定し[-bk]=cであるkの全体をl,l+1,…,mとおく。 l≦k≦mにおいてr(k) = px+qとなるp,qがとれる。 d(x) = 1/(2x-1) - (px+q)((a+b)k-(px+q)) とおく。 l,mのとり方からpl+q≦b, pm+q≦aがわかるから特にD((l+m)/2)≧0がわかる。 さらにl≦x≦mにおいてd(x)は単調減少、下に凸より任意のl≦m'≦mに対して Σ(k=1,m') (a-r(k))/((a+b)k - (a-r(k)))≧0 がわかる。 等号が成立するにはl=m, pl+q = b,pm+q=aのすべてが成立しなければならないがb<aによりそれは不可である。 y年の大会では y≡2 (mod 8) のとき、1次リーグを2位で通過するもベスト16止まり y≡-2 (mod 8) のとき、1次リーグで敗退 という経験則がある。これを確率論で説明できるか? >>732 ガウス・ボネの定理を認めるとあっさり解けますね。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%9C%E3%83%8D%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 Pが測地2角形Mを持つとする。 Mの角∠A,∠Bはいずれも∠A,∠B<π。 z=x^2-y^2上の点(a,b,c)においてx=a,y=bでの切断の曲率が異符号だからガウス曲率Kは負。 ∂Mは測地線からなるから∫[∂D]k_g=0。 よって ∫[D]KdA + ∫[∂D]k_g < ∠A + ∠B < 2π。 一方でMは一点とホモトピー同値だから χ(M) = χ(pt) = 1。 よって 2πχ(M) = 2π。 以上はガウス・ボネの定理 ∫[D]KdA + ∫[∂D]k_g = 2πχ(M) に反する。 ………ガウス・ボネの定理勉強せねばww >>735 すごい 正解 まさにこの定理を使ってほしかった >>714 > 引き分けが1/3というのが妥当かも不明だし、 ワールドカップの892試合では、勝負あり 694、引分け 198 (22.2%) です。 日本代表の関係する21試合では、勝ち 5、負け 11、引分け 5 (23.8%) です。 xyz座標空間上の曲面Q:z^2 = x^2 - y^2 -1について Q上の二点を結ぶQ上の曲線で長さが最短となるものが唯一つでない場合があることを示せ。 K=0 らしい >>739 これはまともに測地線求めるしかなさそうな…… >>739 z^2 = x^2 - y^2 -1を整理するとy^2+z^2 = x^2-1 これはx≧1の部分とx≦-1の部分に分かれる二葉双曲面 a>1として x≧1の部分に2点A(a,√(a^2-1),0),B((a,-√(a^2-1),0)をとる。 Qのz=0による断面に沿った曲線ABの長さをL_1 Qのz=a-xによる断面に沿った曲線ABの長さをL_2とすると、 lim_{a→∞}(L_1/a) = 2√2 = 2.828… lim_{a→∞}(L_2/a) = √3+(1/√2)log(√2+√3) = 2.5425… lim_{a→∞}(L_1/a) > lim_{a→∞}(L_2/a)より あるaが存在してL_1 > L_2となる。 よって、そのようなaについては、L_1はQ上でABを結ぶ曲線の長さの最小値ではなく、 最小となる経路はQのz=0による断面以外の場所を通る。 その最小の経路の1つをCとすると、Cはz=0上にないので、z=0に対してCと対称な曲線をC'とすると C'はCと異なるもう1つの最小経路となる。 lim_{a→∞}(L_2/a)の計算が少し不安… >>741 x^2 = y^2+z^2+1のx=aに沿うAB間の距離はπ√(a^2-1)じゃないの? 切り口は半径=√(a^2-1)の円だから。 aで割って極限とってπ>2√2なのでこのルートはすてた。 もっと漸近線のなす角が小さければいけそうなんだけど。 あ、ごめん。x=aでなくてx+z=aか。すこし斜めにとるのね。 なるほど。ならL_2の計算は難しそうww 信じることとしよう!! lim_{a→∞}(L_1/a)やlim_{a→∞}(L_2/a)の計算は実はそんなに真面目にやらなくても Qを1/aに縮小した図形はa→∞とすると円錐面y^2+z^2=x^2に近づくので それで計算しても多分大丈夫。 そうすると、lim_{a→∞}(L_1/a)=2√2は何も計算しなくてもわかるし、 lim_{a→∞}(L_1/a)については 放物線 x=(1+y^2)/2 かつ z=(1-y-2)/2 の -1≦y≦1 の長さ ∫_{-1〜1}√(2y^2+1)dyとして求まる。 そのままやっても出来ない計算ではないがちょっと大変。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
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