面白い問題おしえて～な 26問目

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 00:21:10.33

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/23(水) 10:00:31.64

>>446

歪重角錐 = ねじれ双角錐
trapezohedron = deltohedron = antibipyramid = antidipyramid
の訳語らしい。

http://hp.vector.co.jp/authors/VA026623/image/zatsugo/zukei.htm

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/05/23(水) 10:45:35.61

>>443正六角柱の体積の値があってたみたいでうれしいです。正八面体と同じだったとは。銅メダル二人みたいな。前>>442

歪重角錐か。歪んでるような気がしたんだよなぁ。するとその歪重角錐のさらにその上のビジュアル八面体とやらが0.074いくらで最大値か。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/23(水) 11:04:54.26

ではそろそろ420の正解発表を聞こうか

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/23(水) 11:35:49.76

正解ぷりーず

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/05/23(水) 11:51:08.00

今のところ>>438が最大。正八面体と同じだったことは残念だが。前>>449アンカー訂正。前々>>442前々の前>>441
精度を増すと、
V=√√3/18
≒0.0731152229

歪重角錐は今のところ言葉による想像にすぎないし、四角形と五角形を貼りつける八面体の存在も確認できない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/23(水) 12:10:18.05

四角形４枚と五角形４枚ってこんな感じ？
頂点数＝12 (A～Lとする)
五角形:ABCDE,DEFGH,GHIJK,JKLAB
四角形:AEFL,BCIJ,CDHI,FGKL

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/05/23(水) 14:10:25.08

>>453展開図を描いた。正方形ととなりあうのは正五角形3個と正方形1個。正五角形ととなりあうのは正五角形3個と正方形2個。たしかに存在しますね。
一辺xの正方形と正五角形から中心までの距離をそれぞれa、bとして、
V=(1/3)x^2･a･4+(1/3)(正五角形の面積)･b･4=1

一辺xの正五角形の面積がわからない。
(○+√5)/△
こんな感じだったような。
前>>452

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/05/23(水) 14:38:08.07

前>>454だんだん球体に近づくと考えて、
半径rの球の表面積S=4πr^2=1
r=1/2√π
半径rの球の体積V=(4/3)πr^3
=r/3
=1/6√π
≒0.0940316

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/23(水) 15:10:18.65

>>454
だから、「正方形」とか「正五角形」ではなく
ただの「四角形」とか「五角形」だと何度言えば。

＞たしかに存在しますね。
してません。

>>453
極大となるのが強い対称性を持つ場合だと仮定するなら

五角形CDEAB，FEDHG，IJKGH，LKJBAが互いに相似な
左右対称な五角形（CDEABであればEAの垂直二等分線が対称軸）であり、

四角形LAEF，FGKL，CBJI，IHDCが互いに相似な
等脚台形（LAEFであれば，LF//AE，LA=FE）

となるケースで考えればよいですかね。
五角形の形状が決まれば自動的に四角形の形状も決まります。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/23(水) 15:15:29.02

>>420
正解をどうぞ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/23(水) 15:28:32.45

>>443 >>447 >>448
その用語を見ると、>>439さんが言ってるデューラーの立体（デューラーの８面体）は
「ねじれ重角錐台」に相当するのかな。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/05/23(水) 16:07:07.76

前>>455
ねじれでも腕ひしぎ逆十字でも、俺が出したこれは超えられまい。>>438
V=√√3/18
≒0.0731152229

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/23(水) 18:02:08.85

>>453

1辺がxの正6角形から1つの頂点を取り去った5角形4つを ∧∨∧∨ と並べて正方形柱にする。
辺がx，x√3 の長方形2枚で屋根を葺く。底も同様ですね。

このままだと 1/{6√(3√3)} つまり正８面体と同じ。
よって歪ませて正5角形に近づける？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/23(水) 18:41:14.48

まず五角柱を考えて、その側面の四角形１枚に着目したとき、
上底面と下底面に接続する２辺それぞれに頂点を設けてそれらを結ぶと六角柱になります。
その代わりに、底面でない２辺上に頂点をそれぞれ設けてそれらを結ぶと五角形４枚＋四角形４枚の立体になります。
そう考えると、後者の方がなんとなく球体に近い形にできそうなそうでないような…？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/23(水) 21:49:27.54

ところで「デューラーの立体」って平行六面体の反対の角を切り落としたものだね

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/23(水) 22:29:36.30

>>462
そうね
２つある三角の面がそれ

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/24(木) 00:05:56.52

対称性のあるメディアル８面体を一般化するため
>>453 に合わせて、実際の空間座標を設定してみた。パラメータはa,b,rの3つ。
これで実際に表面積と体積を計算して、最大になるケースを求めればよい。
A(1+a,1-a,-b)，B(1-a,1+a,b)，C(1-ar,0,br)，D(1-a,-1-a,b)，E(1+a,-1+a,-b)，
F(0,-1+ar,-br)，G(-1-a,-1+a,-b)，H(-1+a,-1-a,b)，I(-1+ar,0,br)，
J(-1+a,1+a,b)，K(-1-a,1-a,-b)，L(0,1-ar,-br)

ただし，パラメータは
-1<a<1，b>0，r>1，ar<1
を満たす範囲で動く。

実際には，0<a<1の範囲を考えればいい気はする。
あとで暇なら計算するが，だれかやって。

なお、線分BA，ED，HG，KJの中点が，xy平面上の原点を中心とする1辺2の正方形をなすように
配置してます。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/24(木) 00:40:21.21

>>462

さらに言えば、

ねじれ双3角錐（ねじれ重3角錐）　>>448

の頂点部を切り落としたもの。（～台）　>>458

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/24(木) 02:26:45.42

>>462

ねじれ双3角錐（切り落とす前）の例
8つの頂点
　±（0，0，3c/√12）
　±（2a/√6，0，c/√12）
　±（-a/√6，a/√2，c/√12）
　±（-a/√6，-a/√2，c/√12）

辺の長さL = √{(2aa+cc)/3}
体積V = aac,
表面積S = 6LL･sinβ = 2a√{3(aa+2cc)},
　　β = arccos((cc-aa)/(2aa+cc))
　　V / S^(3/2) ≦ 1/(6√6),
等号は a=c のとき　（立方体）

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/24(木) 06:17:07.64

>>466
　頂点から k･L まで（Lは辺長、0<k<1) の正3角錐を切り落とす。
　底辺：(√2)ak，底面積：(√3 /2)aak^2，高さ： (1/√3)ck，体積：(1/6)aac･k^3,
　表面積の減少：(1/2)(√3){√(aa+2cc) -a}ak^2,
　V(k) = V(0) - (1/3)aac･k^3
　S(k) = S(0) - (√3){√(aa+2cc) -a}ak^2,

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/25(金) 06:34:50.00

>>466 >>467

V/S^(3/2) が最大となるのは、
k = 1（反正3角柱、アルキメデスの反プリズム）でかつ
c = 2a，β = 60°のとき。
一辺 L = (√2)a の正4面体を切り落とす。残ったのは一辺 L の正8面体か。

>>462 が正しいなら、 >>439 もハズレのような。。。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/05/26(土) 03:00:37.86

>>438これ、正解でよくね？
∥∩∩∥
（(-_-)
（っц)~
｢￣￣￣]前>>459

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 05:12:26.07

本当に人の話を聞かない御仁だな…＞コテハン

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 05:58:03.55

>>464
計算した。

AE = DH = GK = JB = 2(1-a),
BD = EG = HJ = KA = 2(1+a),
CI = FL = 2(1-ar),
CI～DH，CI～JB の距離　√{(1+a)^2 + bb(r-1)^2}

5角形ABCDE = {4 + (r-1)(1+a)}√(aa+bb),

4角形CDHI = {2-(r+1)a}√{(1+a)^2 + bb(r-1)^2}

S = 4{4 + (r-1)(1+a)}√(aa+bb) + 4{2 - (r+1)a}√{(1+a)^2 + bb(r-1)^2}

V = 8(1-aa/3)b + 4(1+a)b(r-1){1-(2+r)a/3},

・a = 0，b = 1/√3，r = 2　のとき
　S = 12√3，　V = 4√3，　V/S^(3/2) = 1/{6√(3√3)},　　　　>>460

・a = 0.1035　　b = 0.379　　r = 3.180　のとき
　　S = 18.7092102　　V = 6.0163648　　V / S^(3/2) = 0.074344865

　やっと正8面体、正6角形、アルキメデス、デューラー etc を超えた。。。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 10:13:30.18

>>466
　は菱形6面体（菱面体）でしたね。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/05/26(土) 12:17:34.10

>>438これ、正解でいいと思うんだけど、ビジュアル八面体とやらが、メディアルか、が座標設定して計算で最大値を更新したのは確からしいな。
ただ、V≒0.074をどうやって出したかまだわからない。
∥∩∩∥V/S^(3/2)の
（(-_-)3/2ってなんだ？
（っц)~　 V/S√Sか。
｢￣￣￣]前>>469

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 12:25:25.83

そろそろ正解が聞きたいなぁ。いろんな計算結果は上がってるけどあくまで数学なんだからそれは正解にはなり得ない。意味ないわけではないけど。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/05/26(土) 12:34:00.52

そもそも題意はS=1だろ。S=1のときVがいくらになるかを求める問題だったはず。
>>438これが正解だ。
∥∩∩∥
（(-_-)
（っц)~
｢￣￣￣]前>>473

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 12:47:38.91

まさか、正解を用意していなかったとかあるまいな

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 13:32:39.72

最初の頃は出題者らしき人がのレス付いてたけど途中から出てこなくなってるから、ちょっと危ない感じもするけど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 13:51:29.80

自分は出題者ではないし>>443でもないが
正解発表という意味では、
>>443 >>444あたりで紹介されてる
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/684_eq3.htm
に記述のある
ゴールドバーグが見つけたメディアル多面体での
0.074488
ってのが現時点でのチャンピオンデータってことなんでしょ？
で、ikuro_kotaro氏の書き方も若干曖昧でゴールドバーグの論文を読んでみないと
本当のところはわからないけど、おそらくそれはまだ局所最適解に過ぎず
すべてのケースをくまなく調べたわけではないから、８面体についても未解決で、
ただゴールドバーグは一般にn面体についても
メディアル多面体において最大値をとると予想してる、って話だよね？

それが現時点での最大の結果でしょ？
それ以上の結果が出たらこんなところに書いてる場合じゃなくて論文を書くべき案件。

別に、答えが用意されてるパズルだけが「面白い問題」じゃないよね。
普通に思いつくところが正解ではなくて、まだ正解の探索の途中である問題だって
面白い問題には違いないのだから、それでいいじゃん。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 13:57:49.09

ちなみに、V/S^(3/2)の意味を理解せずに議論に参加してるつもりの人がいるようだが
ある８面体の体積がV、表面積がSのとき、
その８面体と相似で表面積が1の立体の体積がV/S^(3/2)になる。
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/684_eq3.htm では
V/S^(3/2) が最大、ではなく S^3/V^2 が最小という言い方をしてるが、同じこと。
>>443にある値は、そこに紹介されてるS^3/V^2の値をV/S^(3/2)に換算してるだけ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 14:06:15.01

>>471
お疲れさまです。ちゃんと、他のすぐ計算できるケースを超えるポイントが見つかったのですね。
SとVの式は自分も計算してみて同じ結果になりました。

ゴールドバーグはこんな計算から局所最適解を求めたのだろうけど
1935年だから、計算機による数値計算ではなくおそらく手計算だよな。
どうやったんだ…

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 14:30:57.93

別に答えが用意されてようが何だろうがそれはかまわないけど、それならそれでそれは明示しとかんとダメだと思う。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 16:37:28.91

>>479
その辺のメトリックを理解しない数学徒は皆無だろう
理解しない非徒は説明されても理解しない可能性が大

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/05/26(土) 17:10:10.91

立方体の一辺をx、切りとる二つの直角三角錘の二辺と高さをaとする。
八面体の表面積Sについて、
S=6x^2-3a^2+{(√3)/4}(a√2)^2･2=1
6x^2-1=3a^2-a^2･√3
a=√{(3+√3)(x^2-1/6)}――①
一辺xの立方体から一辺aの直角三角錘2個を引く。
八面体の体積V=x^3-2(a^3)/6
V=x^3-(a^3)/3――②
①を②に代入。
V(x)=x^3-(1/3)(3+√3)(x^2-1/6)√{(3+√3)(x^2-1/6)}
V'(x)=3x^2-(2x/3)(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}-(1/3)(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)=0
を満たすxにより、
V(x)=x^3-(1/3)(3+√3)(x^2-1/6)√{(3+√3)(x^2-1/6)}
=x^3-(1+1/√3)(x^2-1/6)√{(3+√3)(x^2-1/6)}

≒？＞0.0731152229
前>>475

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 19:41:49.72

せめて「とある法則」ってのだけは教えてほしいわな

おそらく七角錐，正八面体はダメで六角錐は除外できないってことから
各頂点に接している面の数が3の多面体ってことなんだろうけど

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/05/26(土) 21:31:07.58

F'(x)=3x^2-(2x/3)(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}-(1/3)(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)=0
3x^2=(2x/3)(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}+(1/3)(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)
前>>483辺々を二乗すると、
9x^4=(4/9)x^2･(12+6√3)･(3+√3)(x^2-1/6)+(1/9)(12+6√3)･(x^2-1/6)^2･(3+√3)+2(2x/3)(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(1/3)(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)

9x^4=(4/9)x^2･(36+18+30√3)･(3+√3)(x^2-1/6)+(1/3)(4+2√3)･(x^2-1/6)^2･(3+√3)+(4x/9)(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)
81x^4=12(18+10√3)･(3+√3){x^4-(1/6)x^2}+3(4+2√3)･(x^2-1/6)^2･(3+√3)+4x(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)
81x^4=24(7+4√3){6x^4-x^2}+3(4+2√3)･(x^2-1/6)^2･(3+√3)+4x(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)

大変。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/26(土) 22:03:24.34

>>484
同意❗

【大吉】 · 2018/05/27(日) 00:45:56.58

F'(x)=0でF(x)の最大値を出す法則と四則演算ならわかる。
前>>485

144･7-81+576√3)x^4-24(7+4√3)x^2+3(4+2√3)･(x^2-1/6)^2･(3+√3)+4x(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)=0

(927+576√3)x^4-(168+96√3)x^2+(54+30√3)(x^2-1/6)^2+4x(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)=0

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/27(日) 01:33:00.38

>>483 >>485

　辺長xのうち、頂点からaまでの部分を切り取るのだな。
　V = x^3 - (a^3)/3,
　S = 6xx - (3-√3)aa,

a = {(3-√3)/2}x = 0.6339746x のとき最大で

　V/S^(3/2) = (1/6)√{(1+√3)/15} = 0.0711291315

>>467 で a = c，β = 90ﾟ，L = x の場合でござるな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/27(日) 02:03:28.95

>>471
自分でもプログラムで探してみたけど、
>>464の設定ではそのあたりが限界なのね…
自分の結果は
(a, b, r) = (0.103402, 0.379226, 3.177760) で 0.074344868
S^3/V^2でいうと180.92476とかで、
ゴールドバーグの結果と言われてる180.23とはまだ随分ギャップがあるなあ。
それに近づくには、>>464の対称性を崩さないといけないということ？
（まあ、その値が正しいかどうかもよくわからないが）

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/27(日) 02:13:30.05

>>483 >>485 >>487

　S = 1 に限定すれば
　x = √{(√3 +1)/15} = 0.426774789
　a = √{(√3 -1)/10} = 0.2705643745
でござる。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/05/27(日) 02:40:09.42

(927+576√3)x^4-(168+96√3)x^2+(54+30√3){x^4-(1/3)x^2+1/36}+4x(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)=0

(773+546√3)x^4-(186+106√3)x^2+(9+5√3)/6+4x(3+√3)√{(3+√3)(x^2-1/6)}(3+√3)(x^2-1/6)√(3+√3)=0
前>>487
もっかい紙の上でやったほうがいいみたい。x出したいわけじゃないし。そうか、aがxの半分超えるぐらいおっきなることもあるんか。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/27(日) 03:46:25.26

>>480

>>443 の文献はここら辺↓に…
http://www.jstage.jst.go.jp/article/tmj1911/40/0/40_0_226/_pdf

Fig.1 の VIII の欄では　>>453 >>457 >>460 と同じ配置

Table 2 で K は等周定数 (S^3 /V^2)
n=8，VIII の欄はたしかに　K = 180.23
また傾き角（軸となす角）は　53ﾟ07'，15ﾟ23'

>>489
　>>464 のような高い対称性をもつか不明でござる。（英語不得手により）

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/27(日) 04:35:27.73

>>483

S = 6xx - (3-√3)aa = 1
から
aa = (3+√3)(xx -1/6)　　… (1)

V(x) = x^3 -(1/3)a^3　　… (2)
　= x^3 - (1/3)(3+√3)^(3/2)･(xx -1/6)^(3/2),

V '(x) = 3xx - x(3+√3)^(3/2) x√(xx -1/6) = 0,
xで割って
　3x = (3+√3)^(3/2) √(xx-1/6),
　9xx = (3+√3)^3 (xx-1/6),
　xx = (√3 +1)/15,
これを (1) に入れて
　aa = (√3 -1)/10,
>>490 が出る。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/27(日) 04:52:26.77

>>492
実は自分も今その論文を眺めてたところ。

>>489で求めた値は、最大になるようなa,b,rの値の組を最初粗い格子点の中から探し
その周辺でさらに細かい格子点の中から探し、というような作業を
スクリプトを使って繰り返して（範囲の設定は手作業）
その精度での局所最適解を求めたのだけど、
その作業をすり抜けるような特異点が存在するとも思えないし、
実際そのa,b,rから各面の傾きを計算すると
その論文の値とほぼ一致するし。
本来は自分の計算の方を疑うべきなのだろうが、
>>471氏の計算とも合致してるので、
今は180.23という値だけが何か間違っているという疑いの方が強まってる。

論文に載ってる２つの角度だけではその８面体の形状は特定できないので
もっと詳しく書いておいてくれればよかったのに＞ゴールドバーグ氏
ネットで検索しても、その立体の展開図みたいなものは見つかるのだが、
細かいサイズや実際のS^3/V^2の値とかの定量的な話が全然書いてないんだよな

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/27(日) 11:27:35.29

この手のはいくらでも先に進めるけれど進んだところで意味が無い計算の1つ
数学の袋小路
これが役に立つ例を他の学問分野から必要とされない限り
よくできましたで賞にしかならない

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/27(日) 11:58:20.93

4色問題もそうだし、おおよその整数野未解決問題もそうなんだよなあ

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/05/27(日) 19:52:43.78

前>>491
F(x)=x^3-(1+1/√3)(x^2-1/6)√{(3+√3)(x^2-1/6)}
もしやただ単にx^2=1/6のときF(x)は最大とかいう話？
F(1/√6)=1/(6√6)
≒0.0680413817

こんな簡単でいいの？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/05/27(日) 20:03:51.93

前>>497ちがうか。やっぱり>>438でF'(x)=0で最大値が出たことを思うと、
F(x)=x^3-(1+1/√3)(x^2-1/6)√{(3+√3)(x^2-1/6)} これもF'(x)=0でできんかなと思うんだよ。
F(x)=？
≒0.074

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/05/28(月) 07:14:10.67

http://www.youtube.com/watch?v=qB76jxBq_gQ
|＿＿＿＿｣
（(-ﾟ-)
＿ '``ちょっと寝る。
だから――。前>>498お願いだ。もっかい微分で解かせてほしい。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/05/28(月) 20:06:22.78

>>490式と計算過程も書いてほしいよ。
前>>499
S=6{x^2-(a^2/2)}+2(√3/4)(a√2)^2
=6x^2-3a^2+√3･a^2=1
(3-√3)a^2=6x^2-1

a^2=(6x^2-1)/(3-√3)
=(x^2-1/6)(3+√3)

V=x^3-2(1/3)(a^2/2)a
=x^3-a^3/3
=x^3-(a/3)(x^2-1/6)(3+√3)
=x^3-(x^2-1/6){1+(√3)/3}a
=x^3-(x^2-1/6){1+(√3)/3}√{(x^2-1/6)(3+√3)}
V'(x)=3x^2-(1/3)(2x)(3+√3)√{(x^2-1/6)(3+√3)}+(1/3)(x^2-1/6)(3+√3)√(3+√3)x=0
3x^2-(2x){1+(√3/3)}√{(x^2-1/6)(3+√3)}+(1/3)(x^2-1/6)(3+√3)√(3+√3)x=0
3x^2-(2x){1+(√3/3)}√{(x^2-1/6)(3+√3)}+(1/3)(x^2-1/6)(3+√3)√(3+√3)x=0

{x-(1/√6)}^2=x^2-2x/√6+1/6=x^2-1/6-2x/√6+1/3

x^2-1/6={x-(1/√6)}^2+
2x/√6-1/3

(休憩)

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/05/29(火) 02:49:24.32

>>488
V=0.0711……だったら0074どころか、正六角柱の0073より小さいじゃないか!!
前>>500
感覚的に正六角柱には及ばないと思ったんだよ。計算しようとして、できたわけじゃないけど、無駄な計算だった。
じゃああれだ、大御所、五角形4つと四角形4つで微分、お願いします。
数式で出した最大値はいまだ正六角柱の0.073……ですもんで。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/05/29(火) 09:22:46.22

前>>501
長方形4つの長辺およびホームベース形五角形4つの上辺をxとし、今仮に五角形4つの上辺と向かいあう内角を60°として垂直に柱を建て屋根と同じ形状のものを地下に天地逆で90°水平回転で作る。
S=x(x/√3)4+{x(x/√3)+(x/2√3)(x/2)}･4
(4/√3)x^2+(4/√3)x^2+(x^2)/√3=1
9x^2/√3=1
x^2=(√3)/9
V=x^2{(x/√3)+(x/2√3)}
=(√3)/9{(x/√3)+(x/2√3)}
{(√3)/9}･3x/(2√3)
=x/6
=√(√3)/6･3
=√(√3)/18
=0.0731152……
このゴキブリホイホイを切って天地逆にくっつけたような無用の立体は、先の正六角柱と同値。

さらに体積を増すには、五角形の角度を60°より大きくする手が考えられる。たとえば72°は無理かもしれないが、五角形を正五角形に近づけるべく柱を傾けてはどうか。つまり柱も梁も棟もすべて同じ長さにしたとき体積は最大になるんじゃないか。仮説です。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/29(火) 15:00:58.00

>>502

五角形の内角が 120ﾟ×3、90ﾟ×2 で4辺の長さが (x/√3)
長方形の辺長が x と (x/√3)

>>460 を 1/√3 倍に縮小したものと同じですね。

頂点を垂直方向にずらすだけでは、それ以上改良しないと思われ…

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/29(火) 16:16:31.38

私はやってないのでいう権利ないかもしれないけど、ともかくこれだけ頑張って計算してる人いるんだから、間違ってないならそろそろ＂とある法則”上げてもいいんじゃね？なんか計算の足しになるかもしれないし。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/05/29(火) 16:19:46.35

前>>502
五角形の内角を72°として斜めに柱を突きだし屋根と同じ形状のものを地下に天地逆で90°水平回転で作る。一辺xの正五角形と三辺xの四角形を貼りあわせた八面体の鳥瞰図を描く。
四角形の残りの一辺y(棟と地下のねじれの位置にある一辺も同じく)はやや小さく(y<x)、四角形は面積(x+y)x/2の台形。
S=4(x+y)x/2+4{(1+√5)/2}x^2=1
2x^2+2xy+2(1+√5)x^2=1
2xy+2(2+√5)x^2=1
2xy=1-2(2+√5)x^2
y={1/(2x)}-(2+√5)x

上の棟から真っ二つに切った七面体V/2(上辺t=y→x)
五角形の辺はt一つ、{(1+√5)/2}x二つ、x二つ。
V/2
=∫(t=y→x)

=
>0.0731152……

ちょっと超えるはず。五角形の内角を72°にできれば、八面体V=0.074……

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/29(火) 18:12:11.36

>>471 と >>489 の結果から、(AE + BD)/2 = x　として

五角形ABCDEは
　∠A = ∠E = 104.73844ﾟ，∠B = ∠D = 113.06566ﾟ，∠C = 104.3918ﾟ　（正五角形： 108ﾟ)
　AB = DE = 0.406444x，BC = CD = 0.69826x，AE = 0.89660x，BD = 1.10340x
　S_5 = 0.62920xx

台形CDHIは
　CI = FL = 0.67141x，CI～DH　0.68912x
　∠C = ∠I = 99.2793ﾟ，∠D = ∠H = 80.7207ﾟ
S_4 = 0.54027xx

合計で
　S = 4.6779xx
　V = 0.75219x^3

>>464 と >>471 の設定は x=2 です。

計算はチラシの裏でもできますが…

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/05/29(火) 19:01:38.40

―／￣￣￣/＼
_/＿＿＿_/　|
∥￣￣￣∥　|
∥　　　∥／~~~~
~＼　　／~~~~~
―-＼／~~~
前>>505訂正。72°⇒108°

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/05/29(火) 22:07:16.16

前>>507訂正。>>502角度を60°⇒内角を120°おもしろい問題でしたね。0.074は自力では綺麗に決まりそうにないですが、0.073が二通りも示せたことをうれしく思います。
□ ∥◇/n_n＿_n n_＿＿
。 ∥>//￣￣￣￣￣￣//
_∩∩//＿＿＿＿＿＿//|
(　(`)(-^-)（ -~-)zz..
(っц)_U_Uzz.````_/|_/
_|υυ￣￣￣￣￣￣|＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/05/30(水) 02:31:18.23

一辺xの正方形4つと正五角形4つをおじゃみか玉入れの玉のように互い違いに編んだ八面体の表面積は、
前>>508
4x^2+4{(1+√5)/2}x^2=1
(6+2√5)x^2=1
(1+√5)^2･x^2=1
x={(√5)-1}/4≒0.309……
V(x)=
八面体を正四角錘4つと正五角錐4つに分解したい。
V'(x)=0

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 05:32:35.18

>>505

一辺xの正五角形では、
BD = φx,
CI = FL = x/φ,
5角面の傾き：　arctan{1/√(2φ^3)} = 18.9607099°
となる。ここに、
　φ = (1+√5)/2 = 1.61803399　　(黄金比)
　sin(18ﾟ) = (φ-1)/2,　　　cos(18ﾟ) = (1/2)√(2+φ),
　sin(36ﾟ) = (1/2)√(3-φ),　cos(36ﾟ) = φ/2,

S = 4(S_5 + S_4)
　= {5φ/√(φ+2) + √(3φ-1)} φxx
　= 4(1.7204774 + 0.7941257) xx
　= 10.0584124 xx,

V = {(7φ+4)/12}√(2φ) x^3
　= 2.297540285 x^3,

V / S^(3/2) = 0.072022630

う～む
>>506 を見ると、内角は108ﾟに近いが、辺長は不均衡（AB と DE が短く、AE が長い）
　辺長を変えれば改善するか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 06:12:08.84

>>510

BC = CD = x
BD = φx,
CI と DH，BJ の距離　(1/2)√(3φ-1) x,
CI と BDHJ の高低差　x/√(2φ),
5角面の傾き：　arctan{1/√(2φ^3)} = 18.9607099°
は>>510 のままで

AB = DE = x-φz,
AE = x+z,
CI = FL = x/φ + z,　( =y )
BDHJ と AEGK の高低差　(x-φz)√(φ/2),
とすると…

>>505
　台形の面積は (1/4)(x+y)^(3/2)･√(3x-y) ...

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 07:12:00.25

コンピュータを使うなら以下のような方式はどうか
(1)８枚の面の緒元(法線ベクトルと原点からの距離)をランダムに決める
(2)各面の微小変異(傾きと距離)に対する評価関数(V^2/S^3など)の変量を計算し、最も変量の大きい面について評価関数が最良になるよう調整する
(3)手順(2)を繰り返す

面積は交線で囲まれる図形から、体積は面積×原点距離÷３の総和、ってことで機械的に求められるのではないか

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 07:46:45.48

実は関数方程式も大好物でござる

A. 725.
Let R+ denote the set of positive real numbers.
Find all functions f:R+→R+ satisfying the following equation for all x,y∈R+:
f(xy+f(y)2)=f(x)f(y)+yf(y).

http://www.komal.hu/feladat?a=honap&;h=201805&t=mat&l=en

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 09:56:31.72

>>511

S(x,z) = 4(S_5 + S_4)
　= √(2+φ)･{(φ+2)xx -2φxz +φzz} + √(3φ-1)･(φx+2z)x,

V(x,z) = (1/6)√(φ/2)･{(5φ+2)xx + (2φ^3)xz +zz}(x-φz) + √(φ/2)･{(φφ/3)x + z}xx,

最大となるのは z = 0.2509325x のときで
　BC = CD = x,
　AB = DE = 0.5939827x,
　AE = 1.2509325x,
　CI = 0.8689665x,
　S = 4 (S_5+S_4) = 4 (1.2858838 + 1.0404394)xx = 9.30529256xx,
　V = 2.104005x^3,
　V / S^(3/2) = 0.07412278177

>>471 >>489 には及ばないが、正8面体、正6角柱、などは超えた…

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/30(水) 10:09:10.39

>>514 訂正ｽﾏｿ

S(x,z) = 4(S_5 + S_4)
　= √(2+φ)･{(φ+2)xx -2φxz －φzz} + √(3φ-1)･(φx+2z)x,

なお、以前の解( >>471 >>489 >>506 ) で BC=CD=1 とすると
AB = DE = 0.58208，　AE = 1.28405　となる。。。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/05/30(水) 17:10:49.78

一辺xの正五角形の面積
(x^3)(√(25+10√5)}/4
前>>509
三辺x、一辺(√5-1)/4の台形の面積
{x+(√5-1)x/4}･xsin18°･(1/2)
={(3+√5)/4}x^2･(√5-1)/4･(1/2)
(√5+1)/16･(x^2)

S=(x^3){√(25+10√5)}+(√5+1)(x^2)/4=1

V(x)=
V'(x)=0

台形が2つずつとなりあってるのに対し、正五角形は4つ連なってる。不思議な美しさ。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/05/30(水) 17:39:59.82

前>>516
体積V(x)の八面体の天地を90°ねじれの位置にある短い棟として、台形の長さxの三辺のうちの真ん中の一辺で水平に切る。上中下3つの物体は上と下がまったく同じかたちで、V㊤=V㊦
2つの断面はx×(√5+1)/2の長方形である。
すべての辺がxの関数で表され、正五角形が3次、台形が2次、V(x)は高々4次、微分してV'(x)=0で3次方程式が出て、V(x)=
雨だ――……

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/05/30(水) 21:55:18.04

前>>517訂正。
x(√5+1)/2
⇒(x^2)(√5+1)/2)

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/31(木) 03:44:32.13

そろそろ次の問題出していい？

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/31(木) 11:12:45.39

三辺x、一辺(3-√5)x/2の台形の面積

{x + (3-√5)x/2}･x cos(18ﾟ)･(1/2)
= {(5-√5)/2}xx･√(10+2√5)/4･(1/2)
= √(50-10√5)/8･xx
= 0.6571639 xx,

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/05/31(木) 12:03:08.39

>>520台形の一辺が違ってましたか？
一辺xの正五角形の面積
(x^3)(√(25+10√5)}/4
三辺x、一辺(√5-1)x/4の台形の面積
台形の一辺は(3-√5)x/2ですか――。
前>>518

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/31(木) 12:22:47.56

拘束条件がなさすぎて数学の問題としてやるには難しすぎるし、そういうアプローチをしてる人もいないし無意味

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/05/31(木) 14:11:34.74

一辺xの正五角形4つと、
三辺x、一辺xよりやや小さい台形4つで、表面積が1で、
前>>521
八面体の体積出して微分して=0にして、体積0.074が出ればそれでじゅうぶんです。
もっと大きな八面体があるいは存在するかもしれませんが、一辺xの正五角形4つと、三辺x、一辺xよりやや小さい台形4つで、表面積が1のやつは一意に決まると思うもんで、それがまずは知りたい。
この問題、競りのようでおもしろい。自分が最高値を出すのを楽しみにしてる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/31(木) 14:36:51.92

>>519
どうぞどうぞ。
KYで声のでかい奴の専用スレじゃないので。

**１３２人目の素数さん** · 2018/05/31(木) 15:04:47.94

>>519
少し遡れば解かれずに放っとかれてる問題ある程度あるし気にせず出しちゃえ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/01(金) 22:29:12.26

左右の次数が一致しない漸化式（例えばa_(n+1)=(a_n)^2+1）は一般には解けないが、初項を置き換えるとうまくいくことがある。

(1)
-1≦a_1=A≦1
a_(n+1)=2(a_n)^2-1
の一般項を求めよ。

(2)
b_1=B∈R
b_(n+1)=(b_n)^2-2
の一般項を求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/01(金) 23:21:09.08

倍角？

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/02(土) 01:38:49.70

>>526

(1) a_n=cosθ[n] と置くと cosθ[n+1]=cos(2θ[n])
この解は θ[n]=θ[1]*2^(n-1),
a_n=cos(2^(n-1) arccos A)

Wlfram Alphaの解答 http://www.wolframalpha.com/input/?i=RSolve%5Ba%5Bn%2B1%5D%3D%3D2*a%5Bn%5D%5E2-1,a%5Bn%5D,n%5D

(2) (1)と同様に b_n=e^(z[n])+e^(-z[n]) と置くと
b_n=α^(2^(n-1))+β^(-2^(n-1)), (α,β=(B±√(B^2-4))/2)

Wlfram Alphaの解答 http://www.wolframalpha.com/input/?i=RSolve%5Bb%5Bn%2B1%5D%3D%3Db%5Bn%5D%5E2-2,b%5Bn%5D,n%5D

類題：√Xの開平計算で使うNewton法 x_0=1, x_(n+1)=((x_n)^2 +X)/(2x_n)
の一般項はx_n=coth(y_n)と置くと
x_n=(√X){(1+√X)^(2^n) + (1-√X)^(2^n)}/{(1+√X)^(2^n) - (1-√X)^(2^n)}

Wlfram Alphaの解答 http://www.wolframalpha.com/input/?i=RSolve%5Bx%5Bn%2B1%5D%3D%3D(x%5Bn%5D%5E2-X)%2F(2x%5Bn%5D),x%5Bn%5D,n%5D

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/02(土) 02:27:05.94

(2) は両辺2で割って a_n = (1/2)b_n とおいて(1)使えばよいのでわ？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/06/02(土) 05:51:13.38

正五角形4つの各辺と台形4つの三辺をxとし、台形どうしの接する屋根の棟および逆屋根の下端に位置する辺をy(x>y)とすると、
前>>523(図は省略)
y^2-2xy+(38/√5-19)x^2=0
y={1-√(20-38/√5)}x
棟の長さがxで表せた。
あとは体積。
V(x)=
V'(x)=0
上棟するには微分するしかない。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/06/02(土) 08:38:40.89

y^2-2xy+(38/√5-19)x^2=0
前>>530おかしい。
y=x-√{x^2-(38/√5-19)x^2}
=x-x√(20-38/√5)
={√(20-38/√5)-1}x
=0.7337482……･x
台形の接合線yは、xの7割ぐらいだとは思うんだが｡
V(x)をどうやって出すか。V(x)=y/10ぐらいだと理想的。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/02(土) 08:46:00.26

>>528

√a の開平計算で使うNewton法は

x_{n+1} = x_n - 2x_n {(x_n)^2 -a}/{3(x_n)^2 +a}

　　= x_n {(x_n)^2 +3a}/{3(x_n)^2 +a}

でござる。これの一般項も出せぬか??

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/02(土) 11:37:24.31

>>352

cothの3倍角の公式：coth3x=(coth x)(coth^2x + 3)/(3coth^2x+1)から
x_n=(√a)coth z_n と置くと coth z_{n+1} = coth 3z_n
∴ z_n=3^n z_0,
x_n=(√a)coth(3^n arccoth(x_0/√a))

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/02(土) 11:51:16.40

>>532 の間違い。

一般にp次収束するNewton法は、(収束先)*[1+(p^nの指数関数)]という形になり、
一般項が簡単な式であらわされる場合があります。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/02(土) 16:54:14.55

某botで唯一☆12(Legend)を付けられている問題

a,b,c,dが正のとき
(a-b)(a-c)/(a+b+c)
+(b-c)(b-d)/(b+c+d)
+(c-d)(c-a)/(c+d+a)
+(d-a)(d-b)/(d+a+b)
≧0
を示せ。

模範解答は3つあるが、いずれもエレガントな解き方ではない

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/02(土) 16:56:52.26

ちなみに縮小（拡張の反対）したバージョン2通り

(1)
(a-b)(a-c)/(a+b+c)
+(b-c)(b-a)/(a+b+c)
+(c-a)(c-b)/(a+b+c)
=(a^2-ac+b^2-ba+c^2-cb)/(a+b+c)
=(1/2)(2a^2-2ac+2b^2-2ba+2c^2-2cb)/(a+b+c)
=(1/2)((a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2)/(a+b+c)
≧0
等号成立はa=b=c

(2)
(a-b)/(a+b)
+(b-c)/(b+c)
+(c-d)/(c+d)
+(d-a)/(d+a)
≧0？

(a-b)/(a+b)
+(b-c)/(b+c)
+(c-d)/(c+d)
+(d-a)/(d+a)
=((a-b)(b+c)(c+d)(d+a)+(a+b)(b-c)(c+d)(d+a)+(a+b)(b+c)(c-d)(d+a)+(a+b)(b+c)(c+d)(d-a))/((a+b)(b+c)(c+d)(d+a))
=2(abca+abdd+accd-acda+bbcd-bbda-bcca-bcdd)/((a+b)(b+c)(c+d)(d+a))
=2(a-c)(b-d)(ac-bd)/((a+b)(b+c)(c+d)(d+a))
a≦c≦b≦dのとき負であるから偽

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/02(土) 16:58:09.50

>>536
訂正
最後の行は「a<c<b<dのとき負であるから偽」

**526** · 2018/06/03(日) 22:40:41.09

>>528　(1),(2)正解

(2)は(c+1/c)^2=(c^2)+1/(c^2)+2が思い出せるかが鍵であった。

(1)も初項を(1/2)(c+1/c)（これはc=e^xとすればcosh(x)の定義）とおけば解ける。

>>529
b_1∈[-2,2]の場合は確かに2cosθとおくと解ける

初項を三角関数でおくと解けるような漸化式のパターンは整理してまとめる必要があるかもしれない

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 09:18:52.07

>>533 >>534
　かたじけのうござる。

>>535 [100]
　 IMO-2008 Short List A.7
　a-c=x，b-d=y の2次式と考えて、半正定値となることを示す。
　確かに面倒くせぇ…

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/06/04(月) 14:37:57.78

>>420
ほととぎすの鳴き声を聴きながら、黄金二等辺四面体の中にある、正五角形4つと三等辺台形4つからなる八面体を切りだすことを考えています。前>>531

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/06/04(月) 14:54:40.80

前>>540
y={(√5-1)/2}x≒0.618x<x
これはあってるはず。

八面体を囲む黄金二等辺四面体の高さh'も、二等辺三角形{二辺(1+√5)x、底辺2x}の高さhと同様、xで表せるはず。

あとはそこから切り落とす部分。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/06/04(月) 14:55:01.70

前>>540
y={(√5-1)/2}x≒0.618x<x
これはあってるはず。

八面体を囲む黄金二等辺四面体の高さh'も、二等辺三角形{二辺(1+√5)x、底辺2x}の高さhと同様、xで表せるはず。

あとはそこから切り落とす部分。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/04(月) 15:38:18.38

>>536

(1) は (a+b+c) を掛けた方が分かりやすい…

(2) の類題
[166]　a～d>0 のとき
　　(a-b)/(b+c) + (b-c)/(c+d) + (c-d)/(d+a) + (d-a)/(a+b) ≧ 0,
　　クロアチア MEMOTST-2009 day1-Q.1

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/06/05(火) 05:22:33.74

>>420近似値を求めよとは言ってない。
>>438にあるように、
V=√(√3)/18
のような確定的な値を示すべきだ。
前>>542
一辺xの正五角形4つと三等辺台形[三辺がxで、あと一辺は{(√5-1)/2}x]4つからなる八面体の体積を0.074という近似値ではなく、
V=√(√3)/18
のような確定的な値で示せないか。これが示せて初めて正解だろ。
もっともxやx^2の値は、表面積1の条件から近似値が求まる。が、求める値はxやx^2の値ではないし、そもそも近似値は近い似た値であって正解じゃない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/05(火) 05:53:05.51

続けたまえ

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/05(火) 06:32:38.78

>>539
　礼には及ばぬ。お気に召さるな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/06/05(火) 10:22:27.38

>>544
方程式が代数的に解けない可能性があることを忘れずに。
先の>>464を偏微分で解こうとして式をたててみたところ、rについて５次の項が出てきたので、その可能性はあると考えている。
なので、まず解析的に解くという方針は正しいかもしれない。