面白い問題おしえて～な 26問目
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もうすでに>>305で解かれてるのに何やってんのこいつ？ Ｔ字
1＋(2/3)
＝1.66666666……
Ｙ字(X＋2Y)
＝(8＋7√3)÷12
＝1.67702964……
これらを踏まえ、三本の境界線を分岐点からX＝0.55ずつとり、一本は底辺の垂直二等分線上、底辺から上に0.55の位置でＹ字に分岐させ、あとの二本は左辺または右辺と分岐点の高さよりaだけ上の位置で交差させる。
分割した一つの体積(台形)＝(0.55＋0.55＋a)×(1/2)÷2＝1/3
a＝(4/3)－1.1
＝0.2333……
Ｙ字(3X)
＝1.65
前>>328 底辺の垂直二等分線上、底辺から上に0.54(＞0.5 ∵左右の辺に届かないといけないから)の位置に分岐点をとると、
分割した一つの体積(台形)＝(0.54＋0.54＋a)×(1/2)÷2＝1/3
a＝(4/3)－1.08
＝0.25333……
Ｙ字(3X)
＝1.62
前>>331これ1.6 底辺の垂直二等分線上、底辺から上に0.53の位置に分岐点をとると、
分割した一つの体積(台形)＝(0.53＋0.53＋a)×(1/2)÷2＝1/3
a＝(4/3)－1.06
＝0.27333……
Ｙ字(3X)
＝1.59
前>>332これ1.6切った!! >>333
>>303でも言いましたが線分だけの場合は>>302が最短になります
0.6を切ることはあり得ません 三本の境界線を分岐点からXずつとり、一本は底辺の垂直二等分線上、底辺から上にXの位置でＹ字に分岐させ、あとの二本は左辺または右辺と分岐点の高さよりaだけ上の位置で交差させる。
分割した一つの面積(台形)＝{X＋(X＋a)}×(1/2)÷2＝1/3
a＝(4/3)－2X――①
斜めの分割線について三平方の定理より、
(1/2)^2＋a^2＝X^2――②
①を②に代入して整理すると、
108X^2－192X＋73＝0
1/2＜X＜1に注意して、
X＝(16－√37)/18
3X＝(16－√37)/6
＝1.65287291……
前>>333 等積条件下で長さ最小⇒定曲率
はどうやって示すんですか？ 底辺の垂直二等分線上の分岐を120°、1/12円弧が左右の辺に直交するとして、
境界線の最小値
＝X＋2Y＋πｒ/3
前>>337
円弧の半径ｒ＝1－Y√3
(1/2)^2＋X^2＝Y^2＋ｒ^2
整理すると、
3X＋6Yｒ＋πｒ^2＝4
3X＋6Y(1－Y√3)＋π(1－Y√3)^2＝4
3X＋6Y－6√3･Y^2＋π－2π√3･Y＋3Y^2＝4
X＝4/3－(2－2π√3/3)Y＋Y^2
境界線の合計F(Y)＝X＋2Y＋π(1－Y√3)/3
＝4/3－(2－2π√3/3)Y＋Y^2＋2Y＋πｒ/3
＝4/3＋(2π√3/3)Y＋Y^2＋π(1－Y√3)/3
＝Y^2＋(π√3/3)Y＋π＋(4/3)
(つづく) 1 以上 1000000 以下の自然数のうち、各桁の数が 0, 1, 2 のいずれかであるような 7 の倍数は何個あるか。 底辺から底辺の垂直二等分線上の分岐点までをXとして120°の角度で分岐し、半径1の1/12円弧が左右の辺に直交するとして、
境界線の合計＝X＋π/3
前>>339
分割した面積＝X(1/√3)X(1/2)＋π/12－(1/2－X/√3)(1/2－X/√3)√3(1/2)＝1/3
＝(1/2√3)X^2＋π/12－(√3)/2･(1/2)^2－(√3)/2･(X/√3)^2＋(2X/√3)(√3/2)＝1/3
(1/2√3)X^2＋π/12－(√3)/8－(√3)/6X^2＋X＝1/3
π/12－(√3)/8＋X/2＝1/3
X/2＝1/3＋(√3)/8－π/12X＝2/3＋(√3)/4－π/6
境界線の最小値＝X＋π/3
＝2/3＋(√3)/4＋π/6
＝0.6666666……＋0.4330127……＋0.5235987……
≒1.623278 >>341
正解です
解説はどなたかの希望があれば 〔ウィア=フェラン予想〕
3次元空間を体積Vの泡に分割するとき、境界面積が最小になるのはウィア=フェラン構造（Weaire-Phelan structure)か？
D.Weaire & R.Phelan： Phil. Mag. Lett., ６９, p.107-110 (1994) "A counter-example to Kelvin's conjecture on minimal surfaces" >>345
切頂８面体（ケルビン14面体）の境界面積は
S = (3/4){4^(1/3)}(1+√12) V^(2/3) = 5.3147397 V^(2/3)
Weaire-Phelan 構造の境界面積はこれより約 0.3% 小さい。
S = 5.30 V^(2/3) 岩波 数学公式IIIのp.2より引用の公式:
Γ(1/4)=2^(3/4)√π[(3/5)・(7/9)・(11/13)・(15/17)…]^(1/2)
は正しいか？もし誤りであれば誤りの原因を考察し訂正せよ。 無限乗積表示
Γ(1/4) = 1/4e^(γ/4)Π((4m+1)/4m)e^(-1/4m)
Γ(3/4) = 3/4e^(3γ/4)Π((4m+3)/4m)e^(-3/4m)
と倍角公式
Γ(1/2) = Γ(1/4)Γ(1/4 + 1/2)/√(2π)
をうまくつかってΓ(3/4)を消去しようとして失敗したくさいねぇ。無限乗積はΠ((4m+1)/4m)とかΠ((4m+3)/4m)は各々単独では収束しないからあとのe^~と切り離せないのに。信じられんミスですな。 >>347
岩波「数学公式I」p.229 を見ると
Γ(1/4) = 2 π^(1/4) √Ｋ(1/√2),
Ｋ(1/√2) = 1.85407467730137191843385034719526 (*)
Γ(1/4) = 3.625609908221908311930685155867672
(*) Ｋ(k) は第１種の完全楕円積分。
Ｋ(k) = ∫[0，π/2] 1/√{1 - (k･sinθ)^2} dθ
= (π/2){1 + Σ[r=1，∞] {(2r-1)!!/(2r)!!}^2･k^(2r) } 正しくΓ(3/4)を消去すれば
Γ(1/4)^4 = 48√2π Π(1+3/4m)/(1+1/2m)^3
ですな。 訂正
Γ(1/4)^4 = 48√2π Π(1+3/(4m))/(1+1/(4m))^3 >>349の左辺も正しくは逆数ですね。
まぁまぁあうなぁ
gamma(1/4)^4,numer;
48*sqrt(2)*%pi*(product ((1+3/4/i)/(1+1/4/i)^3, i, 1, 10000)),numer;
(%o45) 172.7922660636603
(%o46) 172.7955056790521 >>352
正解ですがsinの無限乗積を用いれば、もう少しきれいな形にできて
√2=2sin(π/4)=(π/2)Π(1-1/(4m)^2)
から√2を消去して
Γ(1/4)^4 = 24π^2 Π(1-1/(4m))(1+3/(4m))/(1+1/(4m))^2
= 8π^2 (3/1)・(3/5)・(7/5)・(7/9)・(11/9)・(11/13)・(15/13)…
が得られ、これを1/4乗したのが訂正式だと思われます。
ここまでの式は正しいのですが、不用意に分母を1つずらして
二乗でくくってしまうと例の誤りの公式になります。 >>341
フェルマーの小定理から
10「abcdef」-「bcdefa」= (10^6 - 1)a ≡ 0 (mod 7)
∴ ローテートしても剰余は変わらない。
（1000000は7の倍数でないから省いてよい） >>356
まちがえた。
・剰余が0の場合はつねに0
・剰余が0でない場合は1～6を巡回する。 >>357
それが示せたとしてちょうど７個に一個は７の倍数ってしめせる？
そもそも>>340は６桁以下である意味ほとんどないけど。１０桁以下でも[3^10/7]だよ。 >>340の話題まだ続いてたの？
「1 以上 1000000 以下の自然数のうち、各桁の数が 0, 1, 2 のいずれかであるような数」の集合は
S_10={s|s=Σa_i・10^iかつa_i∈{0,1,2}かつ1≦s≦10^6}となるが、この集合は
S_3={s|s=Σa_i・3^iかつa_i∈{0,1,2}かつ1≦s≦3^6}と、同一の有限数列{a_i}を持つ要素同士での一対一対応がある。
(S_10とS_3のいずれの定義でも、異なる{a_i}に対してsの値が異なるから)
また、10≡3 (mod 7) だから Σa_i・10^i≡Σa_i・3^i (mod 7) であり、これらのことから、S_10 と S_3 に含まれる7の倍数の個数は等しい。
S_3 は1以上3^6以下の自然数の集合となる。したがって、S_3 に含まれる 7 の倍数の個数は[3^6/7]個。
S_10 に含まれる 7 の倍数の個数もこれと等しく[3^6/7]=104個。 >>347 の類題まだあるようです
岩波 数学公式IIIのp.13、Eulerの定数γの積分表示
γ = ∫[0,1] log|log t|dt
は正しいか？ 数学公式なんて必要なの
インターネットでじゅうぶんじゃないの？ 一般化して考えると、人間の発見した数学の知識は本にする必要があるか？
電子化してしまえば便利で使い勝手が良いではないか？
という質問になると思うけど、難しい質問ですね。 人類の紙離れハードコピー離れの問題とか言った方がいいのでは そりゃ書籍なんてどんどん厚くなってくわけだし
OEISみたいにとっとと電子化した方がよい 電子化に「頼り切った」場合、データが吹っ飛んだ場合の復旧は大丈夫なのか。
紙なら数百年は持つが。 >>365
データ構造とか
資料と知識ある人が亡くなれば
ブラックボックス化してしまうよな そういえばCOBOLみたいな化石言語を使える後継者がいなくて、システムの維持が困難だとかあるらしいね 卒業アルバムをCD-ROMで配布したら数十年後にはみんな読めなくなってるみたいな >>360
は数値計算させてみると
romberg(exp(-x)*log(x),x,0.01,1)+romberg(exp(-x)*x,1,500)+501*exp(-500),numer;
%gamma,numer;
(%o51) －.005043828410193907
(%o52) .5772156649015329
でo51＞∫[0,1] log|log t|dt
だから全然ダメっぽいけど何をどう間違ったのかはさっぱりわからんorz 1≦k≦nをみたすkのうち2^(k-1)の最高位が4であるものの数をx_nとして(x_n)/nの極限を求めよ
東大模試の問題ですが良く分かりません 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,
1024,2048,4096,8192,16384,32768,65536,131072,262144,524288
1048576,2097152,…
（2^10≒10^3は有名）
帰納的に
10^(3n)≦2^(10n)<10^(3n)+10^(3n-1)
を示すとか >>373
なんとなくだけど
常用対数でlog(5/4)じゃない？
log2が無理数だから、n･log2の小数部は0以上1未満の間の値を均等にとる。それがlog5とlog4の間にある確率を出せばよい >>373
なに使っても良いならそれですな。いわゆるワイルの一様分布定理。blog n/log10 の小数部は[0,1)で一様に分布する。でも最高位が4の場合はそんな難しいもん使わなくても解けるというのがミソですな。受験数学なら意味あるけどねぇというやつですな。 >>360に丸一日悩んでしまった。Γ(s)=∫[0,∞]x^(s-1)exp(-x)dxの両辺微分してs=1放りこんでるだけかorz。まぁおかげでいい勉強になった。 >>379
正解です。単純な問題で申し訳ない。
おそらく著者はlogに絶対値をつけるときに符号を勘違いしたのではないかと推察。 以下の収束性を議論し、収束するなら収束値を求めよ。
(1) lim[x→1-0]Σ[n=0,∞] (-1)^n x^(n^2)
(2) lim[x→1-0]Σ[n=0,∞] (-1)^n x^(2^n) 既出かもしれないけど
袋のなかに赤玉６球、白玉７球、黒玉８球入っている。一球ずつ順に取り出す。
黒玉が他の色より一番先にすべて取り出される確率を求めよ。 {a[i]}は自然数の無限列である(i=0,1,2,...)
或るs∈ℝが存在し、任意の自然数iに於いて
0<a[i]-a[i-1]≦sが従う
此のとき、任意のn∈ℕに於いて
a[i]の相異なるn個の要素で等差数列が作れることを示せ >>381
(1)
Σ[n=0，∞] (-1)^n x^(nn) = {θ_4(0，x) - 1}/2 → -1/2 (x→1-0)
ここに
θ_4(a，x) = Π[k=1，∞] {1 - x^(2k)} {1 - ｅ^(2ai)･x^(2k-1)} {1 - e^(-2ai)・x^(2k-1)}
はヤコビの楕円テータ函数 >>394
以下自然数の全体Nのm個の同値類に分けたとき各自然数の属する類を色とよぶ。
van der Waerdenの定理 (1927) 任意の正の整数k,mに対して、或る正の整数N(k,m)が存在して次が成り立つ: N≥N(k,m)なる任意の整数Nに対して、1からNまでの整数をどのようにm色に塗り分けたとしても、必ず同じ色で塗られた長さkの等差数列が存在する。
http://integers.hatenablog.com/entry/2017/03/08/025731
条件を満たす自然数列a[n]をとりf(n) = min{c|c+n = a[i]∃i}、C_c = {n | f(n) = c}とおけば N = C_0 ∪…∪ C_[s]である。任意のkに対してvan der Waerdenの定理よりいずれかのC_cは長さkの等差数列をもつがその各々の項にcを加えた列はa[i]の項からなる。 >>395
これはどうでしょう？
ai-a(I-1)は当然整数なので条件より取り得る値は1,2…［s-1］,［s］のいずれか
iは無数の値をとるので鳩の巣原理より
ai-a(I-1)がある同じ値をとるiは無数のに存在する
よって題意は示された >>398
だめ。
a[2j-1] = 2^j
a[2j] = 2^j + 1
と定めればa[i] - a[i-1] = 1となるiは無限にあるけど、a[i]が含む等差数列の長さは４以下。 >>395
http://jmoss.jp/
JMO夏季セミナー → 問題コーナー → 第45回（2011/4/10～2011/5/10）解説 うーん
ちょっと本質からずれた質問しますが
これもしvan der Weardenの定理を全く知らなかったら
どんな答案になりますか？
定理自体、色っていう概念使ってて知らないとできないから
そういう前提下だとどういったものになるのかなぁと (1)内角が全て等しく、辺の長さが全て整数の素数角形は必ず正多角形となることを示せ.
(2)任意の4以上の合成数nに対して、内角は全て等しくて辺の長さは全て整数であるが、正多角形ではないn角形が存在することを示せ. >>401
どうなんだろうねぇ？色云々は単なる説明に “雰囲気” を出す為に持ち出されただけであんまり本質的な意味はないと思う。平たく掛けば
―――
N = A_1 ∪ A_2 ∪ … ∪ A_n
なる分割(disjoint でなくとも良い)をあたえればいずれかのA_iはいくらでも長い等差数列を含む。
―――
と色なんて言葉を持ち出す必要はない。ただ>>397のサイトの証明では証明の概念を直感的に理解しやすいように “色” だの “車輪” だのの言葉をつかってるだけ。
まぁこの定理使わないで力技でもできるとは思うけど、割と使いまわせそうな定理だから素直に “へぇ、こんな定理あるんだ” でいいと思う。力技にも興味はあるけど。 >>402
(1)pを素数とし各頂点の外角が2π/pで各辺の長さa_i(0≦i≦p-1)が整数であるものをとる。(ただしa_iは正の向きに順に図ったものとする)
ζ=exp(2π/n)、f(x) = Σa_i x^i とおけばf(ζ)= 0である。よってf(x)はx^(p-1)+…+1で割り切れるからa_iはすべて等しい。
(2)nを合成数としpをその素因子とする。
a_i = 1 (p|i),
=2 (otherwise)
として辺の長さが正の向きに順にa_iで外角の大きさがすべて2π/nの多角形をとればよい。 >>402
(2)
n = k ･ L (k≧2，L≧2)
とする。
内角は全て π - 2π/n とし、
辺の長さは任意の自然数 m_1, m_2, m_3, …, m_k をL回繰り返す、とする。
L回対称 >>399
・公差が１のとき
{a[i]} はある a[2j-1] と a[2j] を含む。（または、a[2] と a[3] を含む。)
{a[i]} は i=1～4 または長さ2以下。
・公差が2以上のとき
a[k "] < a[k] < a[k '] が長さ3の等差数列だったとする。
a[k] - a[k"] ≦ a[k] - a[1] = a[k] - 2,
また、a[k'] - a[k] > 1 から
a[k'] - a[k] ≧ a[k+1] - a[k] = a[k] - 1,
したがって
a[k'] - a[k] ≧ a[k] - 1 > a[k] - 2 ≧ a[k] - a[k"],
となり矛盾する。 >>406 (修正)
・公差が2以上のとき
……
k " < 2j < k ' のとき
a[k '] - a[2j] ≧ a[2j+1] - a[2j] = a[2j] - 2 = a[2j] - a[1] ≧ a[2j] - a[k"]
∴ 長さ3の等差数列は a[1] < a[2j] < a[2j+1] に限る。
このとき
a[2j+3] - a[2j+1] = a[2j+1] > a[2j] - 2
となるから、長さ4以上の等差数列はない。 2011広島大学後期改
qを６と互いに素な素数ベキ、Fをq元体とし
X={(x,y,z)∈F×F×F | x^2+y^2+z^2=0}
Y={(x,y,z)∈X | xyz≠0}
Z={(x,y,z)∈Y | x≠y, y≠z, z≠x}
とする。X,Y,Zの元数を求めよ。 >>373
>>374 のリンクより。
aの最高位の数字が4 ⇔ a/4 と 2a が同じ桁数。
{1，2，…，2^(n-1)} のx_n カ所では同じ桁に4数、それ以外では同じ桁に3数がある。
(n -x_n -1)/3 ≦ n･log_10(2) < (n - x_n +1)/3,
∴ x_n / n → 1 - 3log_10(2) = 0.09691 (n→∞) >>420一辺xの正八面体の一つの面は正三角形で、面積は、
(1/2)x×(√3/2)x=1/8
x^2=1/(2√3)
八面体の体積=(1/6)(x/√2)^3
=(1/12√2)x^3 (/12√2)×√3)√(2√3)
=1/48√(3√3)
違うかも。 >>421
これ八面体ってのは例えば底面が六角形の走らないとか七角形の錐とかもありなん？ 走らないでなく柱ね。底面が六角形の注柱。これもありやとアホほど計算しなあかん希ガス >>420鉛筆を水平に斬る。前>>421
一辺xの正六角形を上底下底とする高さyの正六角柱の体積P(x,y)=(√3)/4x^2･y
P'(x,y)=0でyを消すと、
P'(x)=0を満たすxに対して、P(x)の最大値が出そうな気がします。 >>423
>>424
ありです
とにかく面が八つある多面体は八面体です
ただとある法則を使えばそういうものは除外出来ます ごめんなさい「ある法則」で除外できる多面体は七角錐だけでした
六角柱は個別で議論する必要あるかも 正六面体の角を２つ削ったようなやつもはいるよね。
三角柱から角５つ削るとか。アホほどあるなぁ。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
