面白い問題おしえて～な 26問目

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/19(月) 00:21:10.33

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/24(土) 16:56:19.85

>>28
正解！感想は？

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/24(土) 21:20:28.33

>>24
これいつかのIMOよな

**１３２人目の素数さん** · 2018/02/25(日) 06:01:36.41

〔掛谷の定理〕
正係数のn次多項式を
F（x）= a_0･x^n + a_1･x^{n-1} ＋ …… + a_{n-1｝･x + a_n,
とし、
F（x）= 0 の解をαとする。
　a_0 > a_1 > a_2 > …… > a_{n-1｝> a_n > 0　ならば　｜α｜< 1.
　0 < a_0 < a_1 < a_2 < …… < a_{n-1｝< a_n　ならば　｜α｜> 1.

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/01(木) 17:52:25.94

相異なる３つの素数の平方和は、素数となるか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/01(木) 20:09:04.83

>>32
3^2+5^2+7^2=83

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/01(木) 23:52:59.95

では、相異なる３つの「５以上の素数」の平方和は、素数にならないことを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/02(金) 00:58:19.40

>>34
５以上の素数は、その平方がいずれも３を法として１と合同であり、３つの和が常に３の倍数となるから
「相異なる」の条件は付けなくても問題は成立する

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/02(金) 01:34:29.12

こう書けばよかったんですね、さんくす。
「３と異なる３つの素数の平方和は、素数でない」

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/02(金) 02:26:45.73

2をふたつ使われないよう奇素数かな

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/02(金) 02:27:50.44

寝ぼけてた
見なかったことにして

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/03(土) 16:58:06.28

x^5 +2x^2 + 3x + 4 ≡ 0 (mod 5) の解は、x=0,1,2,3,4を代入して x≡1,2 (mod 5) を分かるけど、
これを無理やり因数分解できないものか？

　 x^5 +2x^2 + 3x + 4
≡x^5 +2x^2 - 2x - 1
＝(x^5-1) + 2x(x-1)
≡(x-1)(x^4 +x^3 +x^2 + 3x + 1) (mod 5)

ここまでいったが、x^4 +x^3 +x^2 + 3x + 1 が x≡2 (mod 5) だけを解にもつから (x-2)をくくりだしたいんだけど。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/03(土) 17:39:08.65

整数係数で割り算して、そのあと商（と余り）を mod 5 すればいい

6 · 2018/03/03(土) 23:54:29.55

>>6の正解

θ=2π/nとする。

(2)
単位円に内接する正n角形の面積は(n/2)sinθ、半周長は(n/2)(√(2-2cosθ))
(1)より
(n/2)sinθ<(n/2)(√(2-2cosθ))
よって、πを下から抑えるときは周長を用いた方がよい。

ちなみに
(n/2)(√(2-2cosθ))=((2n)/2)sin(2π/(2n))
より
(単位円に内接する正2n角形の面積)=(単位円に内接する正n角形の半周長)
である。
面積で抑えようとするのは効率が悪い。

(3)
単位円に外接する正n角形の一辺の長さをaとおけば、面積も半周長もna/2であり等しい。
よって、πを上から抑えるときはどちらを用いても変わりはない。

実際に計算すると
na/2=n√((1-cosθ)/(1+cosθ))=n(1-cosθ)/(sinθ)=n(sinθ)/(1+cosθ)

6 · 2018/03/03(土) 23:55:21.58

【参考】
単位円について
(内接正n角形の面積) < (内接正n角形の半周長) < π < (外接正n角形の面積,半周長)
の一覧

n=3
(3/4)√3 < (3/2)√3 < π < 3√3

n=4
2 < 2√2 < π < 4

n=5
(5/8)(√2)√(5+√5) < (5/4)(√2)√(5-√5) < π < 5√(5-2√5)

n=6
(3/2)√3 < 3 < π < 2√3

n=8
2√2 < 4√(2-√2) < π < 8(-1+√2)

n=10
(5/4)(√2)√(5-√5) < (5/2)(-1+√5) < π < 2(√5)√(5-2√5)

n=12
3 < 3(√2)(-1+√3) < π < 12(2-√3)

n=16
4√(2-√2) < 8√(2-√(2+√2)) < π < 8(√2)(√(2-√2))(2-√(2-√2))

n=20
(5/2)(-1+√5) < (5/2)(√2)(1+(√5)-(√2)√(5-√5)) < π < 5(1+√5)(4-(√2)√(5+√5))

n=24
3(√2)(-1+√3) < 6(√2)√(4-(√2)-√6) < π < 12(1+√3)(-1-(√3)+2√2)

(内接正16角形の半周長)のみ3重根号を用いている。

n=24の不等式を用いてπを評価すると
3.1326… < π < 3.1596…
である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/04(日) 00:56:38.21

ところで>>41,42では
(1/2)(単位円に内接する正n角形の周長) < (1/2)(単位円の円周2π)
を用いている。
「円に内接する(凸)多角形の周長は円周より小さい」
は、各辺(弦)が弧より短いので自明である。

では
「円に包含される凸多角形の周長は円周より小さい」
更には
「凸多角形Aに包含される凸多角形Bの周長はAの周長より小さい」
は、初等数学（できれば初等幾何）で証明可能か？

凸多角形Bは凸多角形Aに包含される
⇒任意のxy座標系において[B(x,y)のxの変域]⊆[A(x,y)のxの変域]かつ[B(x,y)のyの変域]⊆[A(x,y)のyの変域]

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/05(月) 03:27:18.13

出題！
a,bは0＜a＜bなる実数として
平面図形
{(x,y)∈R^2|a≦x^2+y^2≦b}
を考える。
まあ要するにバウムクーヘンを上から見た形ですね。

これを4つの直線で切って、いくつかの部分に分ける。
最大何個に分けられるでしょう？

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/05(月) 04:49:24.03

>>20

A(0，0) B(L，0) C(L，L) D(0，L) P(x，y)
とおく。
　{L-x，y} 組、{L-y，x} 組はピタゴラス数だから h，m，n により
　L-x-y = ±h{(nn-mm) -2mn},
と書ける。
　その因数は、7，17，47，217，257 などで、１の位の数字は７である。（なぜか?）

(nn-mm) - 2mn = ±(L-x-y)/h
は、下記のようにペル方程式 ff -2gg = ±1 の形になる。
その解は
　f_k = {(1+√2)^k + (1-√2)^k} /2,
　g_k = {(1+√2)^k - (1-√2)^k} /(2√2),
（＋のときはk：偶数とし、－のときはk：奇数とする。）

・(nn-mm) -2mn = 7 のとき
　(nn-mm) -2mn = (n-m)^2 -2mm = {(5m-3n)^2 -2(4m-n)^2}/7 = {(m-3n)^2 -2(2m+n)^2}/7,

・2mn -(nn-mm) = 7 のとき
　2mn -(nn-mm) = (m+n)^2 -2nn = {(5m-n)^2 -2(3m-2n)^2}/7 = {(3m+n)^2 -2(m-2n)^2}/7,

・(nn-mm) -2mn = 17 のとき
　(nn-mm) -2mn = (n-m)^2 -2mm = {(9m-5n)^2 -2(7m-2n)^2}/17 = {(m-5n)^2 -2(3m+2n)^2}/17,

・2mn -(nn-mm) = 17 のとき
　2mn -(nn-mm) = (m+n)^2 -2nn = {(5m+n)^2 -2(2m-3n)^2}/17 = {(7m-n)^2 -2(4m-3n)^2}/17,

・(nn-mm) -2mn = 47 のとき
　(nn-mm) -2mn = (n-m)^2 -2mm = {(9m-7n)^2 -2(8m-n)^2}/47 = {(5m-7n)^2 -2(6m+n)^2}/47,

・2mn -(nn-mm) = 47 のとき
　2mn -(nn-mm) = (m+n)^2 -2nn = {(7m+5n)^2 -2(m-6n)^2}/47 = {(17m-5n)^2 -2(11m-6n)^2}/47,

∴　ff -2gg = ±１の形になる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/05(月) 05:24:46.33

>>44

x = ±d　と　y = ±d で「井の字」
　但し、d = min{ (1/2)√(a+b)，√a }
だと 12個か。
もっと多いんだろうな。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/05(月) 09:15:36.94

新手(荒手とも)の技で導いたので一般的(?)な解放が見たいです(*´ 艸｀)

マクローリンです
ついでにゼータも分解すると(1)の類題だと分かる形になります
因みにRamanijanの発見した恒等式を使用しました

https://i.imgur.com/EkGvNIH.jpg
https://i.imgur.com/bSvsQUN.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/05(月) 10:41:19.19

>>45
(L,x,y)=(6240,711,3080),(26180,3285,24528)という反例もあるけど、7や17の倍数になる例は確かに多いと思います
何か法則が…？

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/05(月) 11:53:26.30

>>45
＞f_k = {(1+√2)^k + (1-√2)^k} /2,
これは1,3,7,17,41,99,239,577,1393,…となると思うんですが、
その中でも特に7と17だけ際立って多く登場するのはなぜでしょうね？

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/03/05(月) 12:30:00.14

┏┳┓>>44>>46
￣┣━━◎￣￣￣/＼
＿◎＿＿＿＿＿_/＼/|
￣ ∩∩￣￣￣￣＼/ |
⊂(_-) )`⌒ つ￣/　|
￣|､＿`υ_＿＿／|　|
］|∥￣￣￣￣∥ | /
＿|∥ □　□ ∥ |/
￣`∥＿＿＿＿∥／
_　￣￣￣￣￣おもしろい。CDに細い紐４本、井桁に置いてずらしていくと、ちょうど頂角36°底角72°の二等辺三角形ができるときが星形で、それまでのあいだだろうなって見当はつく。かぞえるとバウムクーヘンの切れ端は13個あるね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/05(月) 14:00:02.90

>>47

Σ[n=-∞，∞] e^{-πn^2} = θ_3(0, e^{-π}) = 1.086434811213308

Σ[m=-∞，∞] m^2 e^{-πm^2} = 0.0864557352758541

辺々割って　4π.

Σ[n=1，∞] (-π)^n / {n! ζ(2n+1)} = -0.568682

Σ[m=0，∞] (-π)^m / {m! ζ(2m+3)} = -0.0452297

辺々割って　12.5732

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/05(月) 21:54:28.59

>>44

d = √{ab/(a+b)} とおく。0<a<b より
　√(a/2) < d < min{(1/2)√(a+b)，√a}.

x = -d,
y = 0 （x軸),
(-d，d）と（d√2，0) を通る直線,
(-d，-d）と（√{(a+b)/2}，0）を通る直線

これで13個だ…

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/05(月) 22:24:30.70

平面をn本の直線で分割するとき、最大でa[n]個の領域に分割するとき、
a[n+1] = a[n]+n+1

平面上に円が１つあって、n本の直線で分割するとき、最大でb[n]個の領域に分割するとき、
b[n]は？

平面上に同心円が２つあって、n本の直線で分割するとき、最大でc[n]個の領域に分割するとき、
c[n]は？

平面上に同心円がm個あって、n本の直線で分割するとき、最大でd[n]個の領域に分割するとき、
d[n]は？

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/05(月) 23:14:45.10

>>49
7や17をL-x-yの素因数に含む場合は複数解を含むケースが多い

L-x-y=833=7・7・17である解3つ
(L,x,y)=(11492,7524,3135),(21125,7524,12768),(43700,7524,35343) いずれも L-y=8357

L-x-y=4879=7・17・41である解2つ
(L,x,y)=(13156,1440,6837),(14355,1440,8036) いずれも L-y=6319

L-x-y=5593=7・17・47である解3つ
(L,x,y)=(9375,7072,7896),(21853,5040,11220),(22472,13260,14805)

L-x-y=6713=7・7・137である解2つ
(L,x,y)=(20280,4795,8772),(282348,15960,259675)

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/06(火) 02:12:22.19

全部映画のタイトル
https://i.imgur.com/LrvkjlK.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/06(火) 08:37:05.23

>>4が未解決ですが、解を知りたいものですね

さて、エレ解の募集です
(用意した想定解は地道にやっています)

xy平面上を点Pが原点(0,0)からスタートして、以下に定められる規則に従って移動する。次の設問に答えよ。

点Pの移動規則:
サイコロを振り、1の目が出た場合(2,0)、2の目が出た場合(1,√3)、3の目が出た場合(-1,√3)、4の目が出た場合(-2,0)、5の目が出た場合(-1,-√3)、6の目が出た場合(1,-√3)だけ点Pは移動する。
サイコロを8回振る。
最終的な点Pの位置をP_8とする。

原点と点P_8の長さが整数になる確率を求めよ。
但し原点と点P_8が一致した場合は長さ0とし、整数に含む。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/06(火) 11:34:45.51

>>56
原点からの距離が14となる場合が18通りあるが、それらの場合における確率がいずれも等しいところが興味深い
自明な結果ではないはず

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/06(火) 13:38:56.07

>>44

直線1本　…　2個
直線2本　…　5個
直線3本　…　9個
直線4本　… 13個？

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/06(火) 13:53:40.61

>>58
内側の円が充分小さければ14個できる

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/06(火) 14:21:06.54

四角形を角の付近を残して中を除けば１１＋３

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/06(火) 14:32:43.92

円の大きさは関係ないかな
4本すべての直線が内側の円の内部を通るようにし、かつ、
どの2直線も図形の内側(内側の円の外部かつ外側の円の内部)の、それぞれ異なる点で交わるようにすると14分割になる

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/06(火) 23:05:51.85

【湖畔の街灯】

観測者が、光源から受ける光の明るさ・電荷から受ける静電気力の大きさ・物体から受ける引力の大きさ…は逆二乗則に従う（すなわち距離の二乗に反比例する）。
観測者が距離1の光源から受ける光の明るさを1とする。
次のとき、θ=0にいる観測者が受ける光の明るさはいくらか？

(n=0)　直径2/πの円周上のθ=πの位置に光源があるとき
(n=1)　直径4/πの円周上のθ=π/2, 3π/2の位置に光源があるとき
(n=k)　直径(2/π)*2^kの円周上のθ={aπ/(2^(k-1))}-{π/(2^k)}の位置に光源があるとき（ただしa=1,2,…,2^k）

一周2^(n+1)の円形の湖に、2^n個の街灯が等間隔で並んでいるイメージである。

無限に大きい円を考えると、どのような数論の公式が導けるか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/07(水) 02:06:27.88

>>53
a[n] = (nn+n+2)/2,

>>61 に従って
直線0：　 y=0 (x軸)
　線分（√a，0）～（√b，0）をn等分する点をP_k　(k=1，…，n-1）
　線分（√a，δ）～（√a，0）をn等分する点をQ_k（k=1，…，n-1）
直線ｋ：　P_k と Q_k を通る直線
とする。　
δ>0 がじゅうぶん小さいとき、n本の直線は小円の内部を通る。

c[n+1] = c[n] + n+2,
c[n] = n(n+3)/2,

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/07(水) 02:14:12.02

>>63
P_n = （√b，0）
P_0 = Q_n = （√a，0）
とおけばいいか…

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/07(水) 02:19:58.34

>>45 >>49

ペル方程式

数セミ増刊「数学・物理　100の方程式」日本評論社（1989）p.16～17

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/07(水) 16:32:10.13

>>63 (補足)

d ' = √b - √a とおく。
線分ｋは放物線
　√{(x-√a)/d '} + √(y/δ) = 1
に接する。その接点は
（√a + (P_0 P_k)^2 /d '，(Q_k Q_n)^2 /δ）

次に、
線分 P_0（√a，0）～ P_n（√a +d '，0）をλ：(1-λ）に内分する点をP
線分 Q_0（√a，δ）～ Q_n（√a，0）を λ：(1-λ）に内分する点をQ とする。
λ = P_0 P / d ' = Q_0 Q / δ.

このとき、線分PQ も上記の放物線に接する。その接点は
（√a + λ^2･d '，(1-λ)^2･δ）
また、2本の接線の交点は
（√a + λ1･λ2･d'，(1-λ1)(1-λ2)δ）

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/07(水) 21:07:05.61

>>56
答え　44.13% 位ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/08(木) 12:23:37.55

>>63-66

>>61 に従って
直線n： y=0（x軸）
大円内でx軸と小円に接する下に凸な曲線Cを書き、n-1本の接線を曳く。

曲線Cの例：
円（x - √{b-d 'd '})^2 + (y-d ')^2 = (d ')^2
　d ' = √b - √a とおいた。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/08(木) 12:46:49.80

>>68

・Cの例
円　(x-√b)^2 + (y-r)^2 = r^2,
　ここに　r = （b-a)/(2√a).

**44です** · 2018/03/08(木) 18:24:18.81

いちおう自分が考えたのと同じ　必ず14　が出ました。
読むのでもう少々お待ちを。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/09(金) 09:58:52.79

>>56
二次元で正六角形を表現するのは面倒だが、三次元内なら簡単に表現できる。サイコロの各出目に対し、
(1,-1,0),(1,0,-1),(0,1,-1),(0,-1,1),(-1,1,0),(-1,0,1)　・・・・（★）
を対応させればよい。この方法を用いると、ｎ回のサイ振り後の、動点Pの位置(x,y,z)は、
x+y+z=0,|x|≦n,|y|≦n,|z|≦n、・・・・・・・・・（☆）
の整数解と1対1に対応できる
(n=1の時、原点もこの方程式の解に含まれるが、動点がここにいることはないのでこれだけは除外する)

問題では一回のサイ振りで2移動するが、この解法では√2の移動に留まる。
従ってこの座標系の距離で√2倍したものが、問題における距離と一致する。
つまり、「動点Pが原点から整数距離にある」⇔「ｍを整数として、2(x^2+y^2+z^2)=ｍ^2と表せる」
m=2kとおき、整理すると　
x^2+y^2+xy=k^2　　　・・・・・・・・・（☆☆）
n=8においてこの解は、{x,y,z}={0,k,-k},{8,-5,-3},{-8,5,3}に限られる。

(★)より、(x/y + x/z + y/z + y/x + z/x + z/y)^8 　・・・・・・（★★）
を展開したとき　x^a y^b z^c の係数が、動点Pの8回のサイ振り後、(a,b,c)に到達するルート数に一致することが判る。
（☆☆）の解に対応させると、
(x/y),(x/y)^2,...,(x/y)^8　の係数の和の六倍、プラス、x^8/(y^5z^3)　の項の係数の十二倍、プラス　定数項
を6^8で割った物が、この問題の答えになる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/09(金) 09:59:22.23

飛び道具があれば、(★★)　を展開し、各係数を見て、計算すれば、それで終了とできる。
だがそでは「エレガント」とは言えないので、別の方法を示す。
最も、煩雑なのが定数項の計算。飛び道具を使う以外に二通りの方法で確認したので、まずそれを示す。

展開式において、x/yをa回、x/zをb回、．．．z/yをf回掛け合わされ、「定数になる」等という条件を式にすると、
a+b+c+d+e+f=8、a+b=d+e,c+d=a+f,e+f=b+c　→　abcdef=004004,013013,021203,022022,...,400400 という21通りの非負整数解を見つけられ、
全ての解において　8!/(a!b!c!d!e!f!)　を計算し、和を取れば、54810　を得られる。（これは、プログラムにより確認した）

問題では八回のサイ振りが求められているので、まずその半分四回までのサイ振り後のルートを全て計算する。
正三角形方眼紙を用いればパパパッとできる。４回後の各地点へ到達するルート数は、原点９０、サイズ１の正六角形の頂点６０、
サイズ２の正六角形の頂点３４、辺の中点４８、その外は頂点から順に１２，１６，１６、その外側は頂点から順に１、４、６、４
このようになる。こうして得られた61カ所に数字の二乗和を取ると、90^2+6*(60^2+48^2+34^2+2*16^2+12^2+6^2+2*4^2+1^2)=54810が得られる。

ところで、（★★）を展開したときの定数項は原点のルート数＝(54810)に当たるが、この式において、
x=yと置き換えた時の定数項は、正六角形の原点を通る対角線上の17個の数字の和に当たることが判る。
これは、（パスカルの三角形みたいなものを書けば）手でも十分計算可能で、2^8*1107という値を得る。
これの三倍で、原点を通る三本の対角線をカバーできるが、原点が３重に数えられているので、その超過分を減じ、
x^8/(y^5*z^3)の項の分8!/(5!3!)=56の12倍を加え、確率に直すと、
(1/6^8)(3*2^8*1107-2*54810+12*56)=741228/6^8=0.441308013...　が得られ、これが>>67で示した結果。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/09(金) 10:08:50.28

訂正
>>71
誤：n=8においてこの解は、{x,y,z}={0,k,-k},{8,-5,-3},{-8,5,3}に限られる。
正：n=8においてこの解は、{x,y,z}={0,k,-k},{8,-5,-3},{-8,5,3}、及び原点に限られる。

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/03/09(金) 22:48:41.28

~人人~ 前>>50
(＿)_)　二重の円を
(_(＿)ﾞ適当な大きさに
(-_-))　描き、
○(`')ﾞバウムクーヘン
○⌒_ﾉ　上で交差する
(_人_)ﾞように５本の線
_υ_υ_ で分割し、内側の円を掠めるようにうまく配置して一本の線をとると、外側の円を含むバウムクーヘンは８つできる。
内側の円を含むバウムクーヘンは二種類あって一つの鋭角を持つ切れ端３つと、一つの鈍角をもつごく小さな切れ端３つが確認できる。
∴8＋3＋3＝14

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/03/09(金) 23:02:03.51

訂正。前>>74
やっぱり二つの円の中心がズレてました。一つの交点が外側の円を出ます。

8＋3＋2＝13 が最大かと。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/10(土) 01:14:51.00

>>75
星形にこだわるとうまい解はでないかもしれないです
例えばこういう線を考えてみてはどうでしょうかね
・バウムクーヘン>>44のもの。原点を中心に持つ半径aとbの円に挟まれた図形
・１本目の線を、切片(a+b)/2で正の傾きをもち、内側の円を通る(原点からの距離がa未満)線とする
・２本目の線を、切片(a+b)/2で負の傾きをもち、内側の円を通る(原点からの距離がa未満)線とする
・３本目の線を、切片-(a+b)/2で正の傾きをもち、１番目と２番目の線と第１象限にある図形内の点でそれぞれ交わるようにする
・４本目の線を、切片-(a+b)/2で負の傾きをもち、１番目と２番目の線と第２象限にある図形内の点でそれぞれ交わるようにする
このようにすると、>>61に書かれているように、４本の線は互いに図形内の異なる点で交わり、かつ内側の円の内部を通るようにできます
分割数は１４になります

イナ ◆/7jUdUKiSM · 2018/03/10(土) 08:38:58.94

>>76図を書いて確認しました。たしかに14個に分割できますね。前>>75
∥∩∩］∥
（(-_-) ∥
（っφ)ﾟ∥
｢￣￣￣￣]
■/_UU＼■＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿/＿

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/12(月) 10:26:12.21

>>45
＞その因数は、7，17，47，217，257 などで、１の位の数字は７である。（なぜか?）
理由は不明ですが、既約解において、L-x-yの素因数は、その平方が48を法として1に合同なものに限られるらしい
(その場合、当然L-x-yの平方も48を法として1に合同)
何かそうでなければならない理由があるのでしょうか

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/13(火) 07:19:18.20

奇素数 p、自然数 r、gcd(a、p)=1 をみたす整数 a に対して、
x＾2≡a (mod p^r) をみたす整数 x が存在するならば、
y^2≡a (mod p^{r+1}) をみたす整数 y が存在することを示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/14(水) 01:28:54.32

>>79

gcd(2a，p) = gcd(2，p) gcd(a，p) = 1,
∴ 1-2az ≡0　(mod p) を満たす z が存在する。

xx = a + b･p^r
に対して
y = x (1 - z b･p^r)
とおく。
yy = xx (1 - z b･p^r)^2
　= (a + b･p^r) {1 -2z b･p^r + zz bb･p^(2r)}
　≡ a + (1 -2az)b･p^r　　（mod p^(2r))
　≡ a　　　　　　　　　　（mod p^(r+1))

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/14(水) 02:47:19.91

>>80
実に素晴らしいデス！

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/14(水) 18:29:55.30

半径1の円の周および内部に、

(A) どのようにm個の点を配置しても、ある2点間の距離が1以下になる。最小のmを求めよ。全ての2点間の距離が1より大きくなるm-1個の点の配置を示せ。

(B) どのようにn個の点を配置しても、ある2点間の距離が1未満になる。最小のnを求めよ。全ての2点間の距離が1以上になるn-1個の点の配置を示せ。

論点
(A) 5点の配置は余裕、またmが高々7なのは容易に示せるが、m=6,7のどちらだろうか？
(B) 7点の配置はギリギリ可能だが、n=8なのだろうか？

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/15(木) 12:01:35.87

>>56
おそらく
原点は2-2-2-2型と3-3-2型(3は135ダブりか246ダブりのみ)からの計算

軸は、
23○
56□
14△
として
○がk個、□がk個、△が(8-2k)個を並べてから各○□△埋める
2^k×2^k×2^(8-2k)×8!/((8-2k)!k!k!)

が最も近道だと思う

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/15(木) 12:29:57.70

http://i.imgur.com/HY43Cip.gif

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/15(木) 18:08:55.23

>>82
(B)n=8が答え。
8点の中に円の中心が含まれていたら、残りの7点は円周上に無ければならないが、そのような配置は必ずある2点間の距離を1未満にする。
したがって8点とも円の中心と異なる場合のみ考えれば良いが、
ピザを切るように円を7等分すれば、鳩ノ巣原理より同一のピースに含まれるような2点が存在。
2点とも円の中心とは異なるため、必ず距離は1未満になる。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/15(木) 19:55:30.54

>>83
>>原点は2-2-2-2型と3-3-2型(3は135ダブりか246ダブりのみ)からの計算

aaaa(aaaa)~型：　3通り　＊　8!/(4!4!)
aaab(aaab)~型：　6通り　＊　8!/(3!3!)
aabb(aabb)~型：　3通り　＊　8!/(2!2!2!2!)
aabc(aabc)~型：　3通り　＊　8!/(2!2!)
(ABC)^2*AA~型：　6通り　＊　8!/(3!2!2!)

の21通り合計、54810ですね。
（※aに対し、「a~」で、aと反対の方法を、A,B,Cは、お互い120度をなす方向を表し、ABCで元の位置に戻ります。）
（※二つの数字は、方向パターンと並べ替えパターン）
この方法は、「型の列挙」に漏れや重複がないか核心で、別の独立な方法で確認できたなら、自信が持てますよね。

軸の方の
Σ[k=0,4]2^k×2^k×2^(8-2k)×8!/((8-2k)!k!k!) =283392=1107*2^8
はシンプルですね。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/16(金) 04:18:56.25

>>82
(A) m=6
・6点のどれかが円の中心ならば、他の点までの距離は１以下。
・6点とも円の中心でない場合、
　6つの中心角の合計が360ﾟだから、最小のものは60ﾟ以下となり、60ﾟの扇形に含まれる。
　∴ 距離は１以下。

　円周上の正５角形

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/16(金) 23:32:33.66

有名問題かもしれないけど
「全ての自然数は、3の階乗の足し引きで表されることを示せ。」
例えば4=3+1 11=9+3-1 とかな

高校数学解法辞典？っていうのに載ってて、難易度が難だった
難レベルは同書に数問しか入ってなかった
やや難の問題の方が難しく感じたけどなw

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/17(土) 00:28:31.07

>>88
3!=6だが...?

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/17(土) 00:37:00.45

>>89
書き間違えくらい、忖度してやれ

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/17(土) 00:42:15.69

足すか、引くか、足しも引きもしない、の3通りが選べる。
これが全ての数について言えるから

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/17(土) 00:56:58.05

>>90
土曜日だからね！

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/17(土) 09:43:19.88

>>89
階乗じゃなくて累乗やんけ
ごめんなさい

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/17(土) 09:45:59.36

n=3^0+3~0+…+3~0 (n個の和)

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/17(土) 09:59:07.80

>>88 だけど、問題の定義が曖昧すぎたので原文まんま上げます
考えてた人はごめんなさい
http://imgur.com/FJFbctS.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/17(土) 10:25:23.68

>>92
Sonntag する
ってそりゃ日曜日

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/18(日) 00:13:23.85

>>96
もう日曜だが…

博多どんたくの語源はオランダ語の zondag.（日曜日）らしい

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/18(日) 00:28:53.70

>>88
で、肝心の問題だが…

平衡３進法とか云うらしい...
http://www5e.biglobe.ne.jp/~emm386/2015/numeration/nb01.html

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/18(日) 13:46:22.49

平衡3進法、
天秤と重さ3^kの分銅がk=0,1,2,...について1個ずつあれば、正の整数の重さは全部表せるってやつだね

（天秤進法→）天進法の名前で商標登録してるやつがいるけどどうなの

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/18(日) 14:04:54.73

↑その人、コラッツ予想を証明してしまっているようだなあ。
数学というより、精神医学の話題なんじゃないの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/18(日) 23:28:02.32

>>98
ほー、そう呼ばれてるのか
勉強になったわ、サンクス
証明どうする？載せた方がいい？
上のサイトに比べたら大したものじゃないけど

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/19(月) 15:52:34.75

>>101
あくしろよ

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/19(月) 18:19:55.56

80.6 < Σ[k=1→24]√k < 80.65 を示せ

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/20(火) 00:15:22.04

お待たせ
当時の俺はこんなので感動したもんだ
ちなみにmが最終的に0になることの証明してないけど自明の理だよな？
もしあれだったら数学的帰納法で頑張って
http://imgur.com/3OwwL4R.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/20(火) 00:45:44.86

x+1/3 を普通に３進展開するだけなんじゃないの？

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/20(火) 04:43:15.16

mより大きな111...1[3]を、mに加えて三進法表示し、2→1、1→0、0→-1　とすればいいだけだろ

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/20(火) 05:04:38.68

>>103 （右）

y=√x は上に凸だから
√k > ∫[k-1/2，k+1/2] √x dx,

（与式）> ∫[1/2，24+1/2] √x dx
　=［（2/3）x^(3/2）］（x=1/2，49/2)
　=（2/3)(7^3 - 1)/(2√2）
　= 57√2
　= 80.610173

積分計算を避けたいなら、
AM-GM より
(kk -1/4)^3 ≧ kk･(kk -3/8)^2,

｛(k+1/2)^(3/2) - (k-1/2)^(3/2)}^2 = 2k(kk +3/4) -2(kk -1/4)^(3/2)
　≦ 2k(kk +3/4) -2k(kk -3/8)
　= 9k/4,

√k ≧ (2/3）｛(k+1/2)^(3/2) - (k-1/2)^(3/2)},
以下は同様。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/20(火) 05:33:56.73

>>103 (左)

y=√x は上に凸だから
｛√k + √(k+1)}/2 < ∫[k，k+1] √x dx,

(与式) < 1 +√2 +√3 +（1/2)√4 + ∫[4，25] √x dx -（1/2)√25
　= 2 +√2 +√3 +［（2/3）x^(3/2）］(x=4，25) - 5/2
　= 2 +√2 +√3 +（2/3)(125-8） -5/2
　= 80.6462644

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/20(火) 05:54:38.66

〔問題〕
（2√6 + 5)/2 < ∫[24，25] √x dx,
を用いて
√6 < （485/6)/33 = 2.449494949…
を示せ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/20(火) 07:17:04.24

〔応用問題〕
不等式
　｛√k + √(k+1)}/2 < ∫[k，k+1] √x dx,　　　>>108
を用いて次を示せ。

(2)　√2 < 99/70 = 1.41428571… 　　　(k=8)
　　√2 < 1393/985 = 1.41421320… (k=49)
　　 √2 < (19601/6)/2310 = 1.4142135642… (k=288)

(3)　√3 < (1351/6)/130 = 1.73205128… (k=48)

(5)　√5 < 2889/1292 = 2.236068111… 　(k=80)

(6)　√6 < (485/6)/33 = 2.4494949…　　(k=24)

(7)　√7 < 2024/765 = 2.645751634…　　(k=63)

(10)　√10 < 117/37 = 3.16216216…　　　(k=9)
　　　√10 < (27379/6)/1443 = 3.1622776622… (k=360)

(11)　√11 < 3970/1197 = 3.316624895… (k=99)

(17)　√17 < 268/65 = 4.123076923…　　 (k=16)

(37)　√37 < 882/145 = 6.08275862…　　(k=36)

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/20(火) 10:22:23.02

問題を作ってみた

https://i.imgur.com/92Mge5T.jpg
https://i.imgur.com/Ns9fhzw.jpg
https://i.imgur.com/0Y8gffb.jpg
https://i.imgur.com/9CIYnFV.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/20(火) 14:30:10.64

>>111
そんな難しい問題を解けるやつはこの板にいない

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/20(火) 14:32:28.91

>>112
その手には乗りませんよ、ザーボンさん

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/20(火) 14:41:21.16

>>111
1枚目は行けそう

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/20(火) 20:01:34.88

>>114
それはそう
行けそうというか見ただけでいける
ただ2と3が難しい

(1)
|z||1-kw|=|w|
k|w-1/k|=|w|
1/kが表す点をAとする。wはOAをk:1に内分する点と外分する点をそれぞれ直径の両端とする円周上にある。

(2)
PQ=|z-w|=k|w|
また(1)より、
wの中心はk/(k+1)(k-1)、
半径は1/(k+1)|k-1|
したがって、
|w|の最大値
=k/(k+1)|k-1|+1/(k+1)|k-1|
=1/|k-1|
|w|の最小値
=|k/(k+1)|k-1|-1/(k+1)|k-1||
=1/(k+1)
以上より、
PQの最大値=k/|k-1|
PQの最小値=k/(k+1)

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/20(火) 23:21:38.16

大学学部レベル質問スレ 10単位目 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1519715377/647

nを正の整数、X={x_1,x_2,...,x_{2n+1}}を実数からなる(多重)集合とする。
Xから任意に1つの元を取り除いたとき、残った2n個の元を和の等しいn個ずつの
組に分けることができるならば、x_1=x_2=…=x_{2n+1} である。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/21(水) 03:15:09.46

>>110
　kが平方数のときは、不等号が逆向きでござる。

(2)　√2 > 1393/985 = 1.41421320… (k=49)

(10)　√10 > 117/37 = 3.16216216…　　　(k=9)

(17)　√17 > 268/65 = 4.123076923…　　 (k=16)

(37)　√37 > 882/145 = 6.08275862…　　(k=36)

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/21(水) 12:36:42.69

>>116
Xが生成する加法群をYとおくと、Yは捩れなし有限生成アーベル群であるからZ^m(Zは整数全体からなる加法群、mはある非負整数)と同型。
したがって、x_1=…=x_{2n+1}でないならば、群準同型f:Y→ZであってfによるXの像f(X)が単元でないようなものが存在する。
x'_i=f(x_i-x_1) (i=1,…,2n+1)とおくと
X'={x'_1,x'_2,…,x'_{2n+1}} (⊂Z) も X と同様の性質を持つが、
S-x'_i (ただしS=x'_1+…+x'_{2n+1}) が全て偶数にならなければならないので、x'_iの偶奇は全て一致する。x'_1=0 は偶数であるから、他の全てのiについてもx'_i は偶数。
これより、 x''_i=(x'_i)/2 とおけば
X''={x''_1,x''_2,…,x''_{2n+1}} (⊂Z) もXと同様の性質を持つ。無限下降法よりx_1=…=x_{2n+1}でなければならない。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/21(水) 23:09:48.08

R^n の微分式ωで、R^nの全ての平行移動で不変なものω を決定せよ。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/21(水) 23:16:51.36

(a/p) を平方剰余記号とする。

(1) (123/769) の値を求めよ。
(2) (1234567/987654323) の値を求めよ。
(3) (a/p) の値を求めよ。ただし、a, pの値は以下とする。

a = 289589985200426886037189479736335834688462115581329068039
p = 579179970400853772074378959472671669376924231162658136139

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/22(木) 00:44:22.48

>>119
微分形式？平らじゃんR^n

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/22(木) 01:28:08.85

>>111
2枚目は、分かスレ４４１-603，608-609 を参照

(1)
f(x) -（ax+b) =（1-a)x + log{1 + e^(-2x)｝+ b,
∴　a = 1，　b = - lim［x→∞］log{1 + e^(-2x)｝= 0,

(2)
左　シュワルツ不等式で
　(x +1/2)･log(1 +1/x）= ∫[x，x+1] u du・∫[x，x+1］1/v dv >｛∫[x，x+1] du}^2 = 1,
右
　GM-AM より
　1/x - 1/(x+1）= 1/(x(x+1)）<｛1/x + 1/(x+1)}/{2√(x(x+1))｝= -｛1/√(x(x+1))} '
　あるいは、√(x(x+1)）- x は単調増加ゆえ
　1 <｛√(x(x+1))} '
　1/x - 1/(x+1) = 1/(x(x+1)）<｛√(x(x+1))} '/(x(x+1)）= -｛1/√(x(x+1))} '
　x～∞で積分して
　log{(x+1)/x｝< 1/√(x(x+1)),

　なお、x → e^(2x）とすれば
　2e^(-2x)/{2 + e^(-2x)｝< log{1 + e^(-2x)｝< e^(-2x)/√{1 + e^(-2x)｝

(3)　e^x･dx = dθ/(cosθ)^2,　より
　∫[0，p］e^(-2x)/√{1 + e^(-2x)｝dx = ∫[π/4，arctan(e^p)］1/(sinθ)^2・cosθdθ
　= ［ -1/(sinθ）](θ：π/4～arctan(e^p)）
　= √2 - √{1 + e^(-2p)}
　→　√2 - 1　　（p→∞）

(4)
∫ 2e^(-2x)/{2 + e^(-2x)｝dx = -log{2 + e^(-2x)},
∫[0，∞］2e^(-2x)/{2 + e^(-2x)｝dx = log(3）- log(2）= 1.098612 - 0.693147 = 0.405465
S(∞）= ∫[0，∞］log｛1 + e^(-2x)｝dx = 0.4112335
√2 -1 = 0.41421356

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/22(木) 01:40:23.13

>>120
(1) 320^2≡123 (mod 769) より 1
以下ヤコビ記号を使用する。すなわちbが奇数の合成数のときb=pb'なる素数pについて(a/b)=(a/p)(a/b')
(2) (1234567/987654323)=-(723/1234567)=(406/723)=-(203/723)=(114/203)=-(57/203)=-(32/57)=-1
(3) (a/p)=-(61/a)=-(57/61)=-(4/57)=-1

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/22(木) 01:41:25.13

>>111
3枚目

∠ACB = θ とおく。
AC > AB > 0 より 0 < θ < π/2,

デカルト座標（x，y）を以下のようにとる。
A (0，0)
B (2 sinθ，0)　　　　　AB = 2 sinθ,
C (0，2 cosθ)　　　　　AC = 2 cosθ,
D (AD cosθ，AD sinθ)　　AD = 2 AC sinθ = 2 sin(2θ),
E (2 sinθ，2 cosθ)　　AE = BC = 2,
F (2 sinθ，2(sinθ)^2 /cosθ)
G (2 sinθ，1/cosθ)　　FG = {1-2(sinθ)^2}/cosθ = cos(2θ)/cosθ,

直線AD：　y = x tanθ,
直線BE：　x = 2 sinθ,
直線CD：　x/tan(2θ）+ y = AC = 2 cosθ,

以上により
△AFG = (1/2) AB FG = tanθ・cos(2θ）=（√T)(1-T)/(1+T),
ここに T =（tanθ)^2，　（0<T<1)

φ =（1+√5)/2 = 1.618034　（黄金比と云う）を使うと
（5φ -8)(1+T)^2 - T(1-T)^2 =（φ-T)(T+3-2φ)^2 ≧ 0,
∴（△AFG)^2 = T（1-T)^2/(1+T)^2 ≦ 5φ -8 = 0.090170
∴ △AFG ≦ √(5φ -8）= 0.300283

等号成立は T = 2φ-3 = √5 -2 = 0.236068 のとき。
cos(2θ）= 1/φ =（√5 -1)/2 = 0.618034
θ = arctan(√T）= 0.452278447 (rad) = 25.91 (ﾟ)

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/22(木) 09:47:30.38

>>116
x_1からx_{2n+1}の中の最大値をM、最小値をmとする。
全ての元にTを加えた、X'={x_1+T,x_2+T,...,x_{2n+1}+T}という多重集合も、
「X'から任意に1つの元を取り除いたとき、残った2n個の元を和の等しいn個ずつの組に分ける」
ことができなければならない。

さて、X'において、ある元を除き、和が等しくなるようにn個ずつ分けた組の合計は、
下限がn*(m+T)、上限がn*(M+T)となるが、T >> M の様なケースを考えれば、下限、上限ともに、
n*Tが支配的な量になることから、X'の元の s 個の和＝ X'の元の r 個の和　→　s = r　となる必要がある。

ところで、Tとして、(-1)*x_1　を考えると、(少なくとも)一つの元が0なので、
その元の加算は、和に影響を与えないので、左辺側にこの元が含まれると、
X'の元の n-1 個の和＝X'の元の n 個の和　；（左辺側にこの元が含まれる）
という事が起こる。この矛盾を回避するためには、「n 個の和」と思っていた物も、実質「n-1 個の和」
と等しければよく、これは、x_1と同じ値を持つ物が、右辺側にも含まれていることを意味する。
取り除く元としてx_1を選んだとき、どちらかのグループに、x_1と同じ値を持つ元が有るので、反対の
グループには、さらに、x_1と同じ値をもつ元がなければならない。
以下同様に、x_1と等しい元が、奇数個ある事が確認できている場合には、値不明の元を取り除く元として選び、
x_1と等しい元が、偶数個ある事が確認できている場合には、x_1と同じ値を持つ物を取り除く元として選べば、
順次、x_1と等しい新しい元の存在が確認でき、最終的に全ての元が、x_1と等しくなければならないことが示される。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/22(木) 12:59:12.35

次の条件を満たすn次正方行列の固有値を全て求めよ。

1≦m≦nを満たす全ての整数mについて第m行の行ベクトルは0が連続してn-m個並ぶその右に1/mがm個並んだものである。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/22(木) 13:41:36.02

矛盾してないから回避は不要。

**１３２人目の素数さん** · 2018/03/22(木) 18:26:09.42

あ．．．、思い込みでミスってました。>>125は取り下げます。