High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ!sage進行推奨(^^; また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/ 旧スレが512KBオーバー(又は間近)で、新スレ立てる (スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BB%91%E3%82%89%E3%81%8B%E3%81%AA%E9%96%A2%E6%95%B0 滑らかな関数 (抜粋) 滑らかさの分類 関数 f が連続的微分可能(れんぞくてきびぶんかのう、continuously differentiable)であるとは、f に導関数 f′ が存在して、なおかつその f′ が連続関数となることをいう。同様に自然数 k について、f の k 階の導関数が存在して連続であるとき、f は k 階連続的微分可能あるいは k 回の連続的微分が可能であるといい、また f は Ck 級の関数であるという。 微分可能な関数は連続であることから、Ck (k = 1, 2, ...) は包含関係に関して非増加な列を成している。任意有限階の導関数をもつ関数は無限回(連続的)微分可能であるといい、そのクラスは C∞ で表される。
関数のクラス Ck を、k 階の導関数が存在して連続であり、なおかつ k + 1 階の導関数が存在しないかあるいは存在しても連続でない関数全体が成す類とすることもある。この場合、各クラスは交わりを持たない排他的な分類を与える。 さらに強い滑らかさを表すクラスとして、解析関数つまり各点で冪級数展開可能な関数のクラス Cω がある。また場合により、連続関数のクラス C を 0 階連続的微分可能な関数のクラス C0 として、滑らかな関数の仲間に入れて考えることがある。
滑らかさのクラスを考えることは、具体的な定義域と値域をあたえることで、たくさんの関数空間(の台集合)の例を与える。関数の定義域が X であるときそれを明示して、X 上で定義される Ck 級関数全体の成す空間をしばしば Ck(X) のように記す。定義域 X は多くの場合 "滑らかな" 位相空間である。さらに値域 Y をも明示して Ck(X; Y) などと記すこともある。値域 Y はこの空間の係数と見なされる。
滑らかな関数 関数 f が(それが属する文脈での議論に用いるに)十分大きな n に関して Cn-級であるとき、滑らかな関数(なめらかなかんすう、smooth function)と総称される。またこのとき、関数 f は十分滑らかであるともいう。このような語法を用いるとき、n は十分大きければよく、その値が厳密に知られている必要はないし、とくに n は固定して考えないのが通例である。 そのような状況下では多くの場合、「滑らかな関数」のクラスとして無限回微分可能関数のクラス C∞ や解析関数のクラス Cω を考えるのが、議論の便宜からして有用である。
滑らかさの概念は(微分の概念がそうであるように)局所的なものである。つまり、ある点での滑らかさというのは、その点の周りの十分小さな近傍において考察される。有限個の例外を除く各点で滑らかな関数は区分的に滑らかであるといわれる。滑らかさのクラスを明示して、区分的に Ck 級の関数や、区分的に連続な関数を考えることもある。 (引用終わり)
(引用開始) Example 2. The function f : R → R, f(x) =x^3/2 sin(1/x) , x ≠ 0 , =0 , x = 0 , is not Lipschitz near x = 0, but it possesses a Lipschitz weakened derivative f^w(0, v) = 0.
To show that the function f in this example is not Lipschitz near x = 0 put xn = 1/(2n - 3/2)π, yn =1/(2nπ). Then xn → 0, yn → 0 and {f(xn) - f(yn)}/(xn - yn) = 4n/{(3π)^(1/2)(2n - 3/2)^(1/2)}→ ∞ as n → ∞. (引用終り)
ここで、 f(x) =x^3/2 sin(1/x) を微分して
f`(x) =3/2 x^1/2 sin(1/x) -(1/x^1/2) cos(1/x)となる
1) xn =1/(2nπ)とおくと、sin(1/xn)=0, cos(1/xn)=1なので
f`(xn) = -√(2nπ) → -∞ as n → ∞.
2) xn =1/(2nπ+π)とおくと、sin(1/xn)=0, cos(1/xn)=-1なので
f`(xn) = √(2nπ+π) → ∞ as n → ∞.
3) いずれにせよ xn → 0, | f`(xn) | → ∞ as n → ∞ であり、微分係数はx → 0で、f`(x)→±∞に発散する数列が作れる
例と反例 ・任意の開集合は明らかに Gδ-集合である。 ・無理数の全体 P は実数直線 R の Gδ-集合である。実際 P は、q が任意の有理数を亙るときの一点集合 {q} の R における補集合すべての交わりとして表せる。 ・有理数の全体 Q は実数直線 R の Gδ-集合ではない。実際、Q が開集合列 An の交わりに書けるとすると、各 An は(Q が R において稠密ゆえ)何れも R において稠密でなければならないが、 上でやったように無理数全体の集合 P は稠密開集合の可算交叉として書けるから、P と Q との交わりをとれば R の稠密開集合の可算交叉が空集合となるものが存在することとなり、ベールの範疇定理に反する。
Gδ-集合の重要な性質は、位相空間から距離空間への連続写像がその上で定義され得るということにある。厳密に言えば、そのような写像 f が連続となるような点全体の成す集合は {\displaystyle G_{\delta }} G_{\delta }-集合を成すということである。これは、点 p における連続性というのが Π02-式で定義されることによる。 具体的に書けば、任意の正整数 n に対して p を含む開集合 U で任意の x, y ∈ U について d(x, y) < 1/n を満たすようなものが取れるが、 一旦 n の値を固定して対応する部分集合 U が取れるような点 p の全体を考えるとそれ自身が(開集合の和として)開集合であり、ここで n に対して普遍量化子を附すことは得られた開集合たちの可算交叉をとることに対応するから、所期の結論を得る。実数直線においてはこの逆も成り立つ:
実数直線の任意の Gδ-部分集合 A に対し、適当な函数 f: R → R が存在して、f は A に属する点のみにおいて連続となるようにすることができる。 このことから、無理数全体の成す集合が連続点集合であるような函数は存在する(トマエの函数(英語版)などを参照)が、有理数の上でのみ連続な函数というのは構成不可能であることが帰結される。
(引用開始) (>>13より) 系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない. 証明 定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である. 一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ. (引用終り)
で、(>>13)”定理1.7 (422 に書いた定理) f : R → R とする.” だけど、ある閉区間I(a,b)(台)に限定して、 f : I → R で考えても、一般性はほとんど失われない なお、”連続的微分可能”は、連続的微分可能かつ微分係数が有限にしておく方がすっきりしていると思う (∵微分係数が∞になると、リプシッツ連続が言えないから)
その上で、「系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : I → R は存在しない.」(>>13) について考えてみると、不連続と微分可能の間の関数の特性として考えられるのは 微分不可能だが、連続であり、それぞれ、リプシッツ連続やα-ヘルダー連続 (0 < α <=1)、一様連続を満たす関数などが考えられる
従来の数学理論が教えるところは、前スレ50の222-223より、下記で 系1.8 の証明は、こちらの数理なんだよね、開区間(a,b)が取れるじゃなく(”each dense”なんだから、開区間(a,b)などとれない) http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 (抜粋) THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets of points that are each dense in the reals. Then g fails to have a derivative on a co-meager (residual) set of points. In fact, g fails to satisfy a pointwise Lipschitz condition, a pointwise Holder condition, or even any specified pointwise modulus of continuity condition on a co-meager set. つづく 0412現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/03/01(木) 12:17:03.40ID:YQzR7z1m>>411 つづき (Each co-meager set has c points in every interval.)
REMARK BY RENFRO: The last theorem follows from the following stronger and more general result. Let f:R --> R be such that the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R. Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite. Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set). This was proved in H. M. Sengupta and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function", Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957), 189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. See also my note in item [15] below. (引用終り)
Notes 1.^ Oxtoby, John C. (1980). "The Banach Category Theorem". Measure and Category (Second ed.). New York: Springer. pp. 62?65. ISBN 0-387-90508-1. https://books.google.com/books?id=wUDjoT5xIFAC&pg=PA62
<上記のPDF> http://math.rice.edu/~michael/teaching/426_Spr14/Banach_Mazur.pdf Measure and Category (Second ed.) Oxtoby, John C. (1980)
Dept. of Mathematics, MS-136 Rice University, P. O. Box 1892 Houston, TX 77251 Professor of Mathematics 0433現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/03/04(日) 17:15:21.20ID:K2uul6/8>>421
定理Fは、こういうこと(下記)かな? (>>254 より) 定理F: A ⊂ R は Fσ集合とする。このとき、もし R−A が第一類集合ならば、 (a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。 (引用終り)
(>>13 より) 定理1.7 (422 に書いた定理) f : R → R とする. Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ } と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、 f はある開区間の上でリプシッツ連続である.
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない. 証明 定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である. 一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ. (引用終り)
>定理F2: >A ⊂ R は、R−A がGδ集合とする。もし R−A が第一類集合ならば、R−A は nowhere dense である。 > >ここまで来ると、「 R−A 」を1文字にした方がキレイなので、そうすると次のようになる。 > >定理F3: >A ⊂ R は、A がGδ集合とする。もし A が第一類集合ならば、A は nowhere dense である。 > >これに関しては、"Gδ set of first category" で検索すると、 > 1件だけだが上記の 定理F3 を使っていると思しき pdf が見つかる。 > >http://fm.math.uni.lodz.pl/artykuly/12/ww.pdf > >> Observe that ∩[m=1〜∞] ∪[n≧m] A_n as Gδ set of first category is >> easily seen to be nowhere dense.
https://en.wikipedia.org/wiki/Smith%E2%80%93Volterra%E2%80%93Cantor_set Fat Cantor set Smith?Volterra?Cantor set (抜粋) In mathematics, the Smith?Volterra?Cantor set (SVC), fat Cantor set, or ε-Cantor set[1] is an example of a set of points on the real line ? that is nowhere dense (in particular it contains no intervals), yet has positive measure. (引用終り)
http://www.se16.info/hgb/nowhere.htm Some nowhere dense sets with positive measure and a strictly monotonic continuous function with a dense set of points with zero derivative Henry Bottomley. May 2005. (抜粋) If there were no overlaps, the total measure of the intervals removed would be 1/2, but as there are overlaps, the measure removed is less, leaving a set of positive measure of more than 1/2 which turns out to be 0.5355736804357782247533428..., (引用終り)
https://en.wikipedia.org/wiki/Nowhere_dense_set Nowhere dense set (抜粋) The union of countably many nowhere dense sets, however, need not be nowhere dense. (Thus, the nowhere dense sets need not form a sigma-ideal.) Instead, such a union is called a meagre set or a set of first category. The concept is important to formulate the Baire category theorem.
Nowhere dense sets with positive measure A nowhere dense set is not necessarily negligible in every sense. For example, if X is the unit interval [0,1], not only is it possible to have a dense set of Lebesgue measure zero (such as the set of rationals), but it is also possible to have a nowhere dense set with positive measure.
For one example (a variant of the Cantor set), remove from [0,1] all dyadic fractions, i.e. fractions of the form a/2n in lowest terms for positive integers a and n, and the intervals around them: (a/2n ? 1/22n+1, a/2n + 1/22n+1). Since for each n this removes intervals adding up to at most 1/2n+1, the nowhere dense set remaining after all such intervals have been removed has measure of at least 1/2 (in fact just over 0.535... because of overlaps) and so in a sense represents the majority of the ambient space [0,1]. This set is nowhere dense, as it is closed and has an empty interior: any interval (a, b) is not contained in the set since the dyadic fractions in (a, b) have been removed.
Generalizing this method, one can construct in the unit interval nowhere dense sets of any measure less than 1, although the measure cannot be exactly one (else its complement would be a nonempty open set with measure zero, which is impossible).
Fat Cantor set にVolterra's functionのリンクがあったので、貼っておきます(^^ ここに面白い図が載っているよ https://en.wikipedia.org/wiki/Volterra%27s_function Volterra's function (抜粋) Definition and construction The function is defined by making use of the Smith?Volterra?Cantor set and "copies" of the function defined by f(x)=x^{2}sin(1/x) for x ≠ 0 and f(0)=0. The construction of V begins by determining the largest value of x in the interval [0, 1/8] for which f ′(x) = 0. Once this value (say x0) is determined, extend the function to the right with a constant value of f(x0) up to and including the point 1/8. Once this is done, a mirror image of the function can be created starting at the point 1/4 and extending downward towards 0. This function will be defined to be 0 outside of the interval [0, 1/4]. We then translate this function to the interval [3/8, 5/8] so that the resulting function, which we call f1, is nonzero only on the middle interval of the complement of the Smith?Volterra?Cantor set. To construct f2, f ′ is then considered on the smaller interval [0,1/32], truncated at the last place the derivative is zero, extended, and mirrored the same way as before, and two translated copies of the resulting function are added to f1 to produce the function f2. Volterra's function then results by repeating this procedure for every interval removed in the construction of the Smith?Volterra?Cantor set; in other words, the function V is the limit of the sequence of functions f1, f2, ... (引用終り)
しかし、だからと言って、定理1.7が使えないということにはならない。 定理1.7の仮定は「 R−B_f が第一類集合ならば 」というものであり、 今の場合 R−B_f=Q は第一類集合なのだから、定理1.7は適用できるのである(そして矛盾が生じる)。 0448現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2018/03/06(火) 08:45:35.08ID:9z9pXImQ カントール集合は面白いね(^^ https://en.wikipedia.org/wiki/Smith%E2%80%93Volterra%E2%80%93Cantor_set#cite_ref-2 Smith?Volterra?Cantor set (抜粋) In mathematics, the Smith?Volterra?Cantor set (SVC), fat Cantor set, or ε-Cantor set[1] is an example of a set of points on the real line ? that is nowhere dense (in particular it contains no intervals), yet has positive measure. The Smith?Volterra?Cantor set is named after the mathematicians Henry Smith, Vito Volterra and Georg Cantor. The Smith-Volterra-Cantor set is topologically equivalent to the middle-thirds Cantor set.
References 1^ Aliprantis and Burkinshaw (1981), Principles of Real Analysis (引用終り)
W.Sierpi?ski, Sur une propriete topologique des ensembles denombrables denses en soi, 1920, Fund.Math.1, pp11-16 で発表されたようです。Fund.Math.の創刊号ですね。 この定理の証明が載っている本は知りませんが、ネット上になんかあるんじゃないかな