現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む51

“現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む”

数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。

皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。(勢い1位の時も多い(^^ )

このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜(^^

話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。

なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ(不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets (Yahoo!でのあだ名が、「一石」)
(参考)http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り!
小学生がいますので、18金よろしくね!(^^

High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ!sage進行推奨(^^;
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー(又は間近)で、新スレ立てる
(スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。)

>>260-262
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ご苦労さまです!(^^

今日は、ダブル羽生でいそがしい日だな
藤井聡太−羽生戦は、藤井聡太勝ちで、朝日杯決勝進出だ

270132人目の素数さん2018/02/17(土) 14:03:23.32ID:axXh/K/2
>>269
書くなよ

271132人目の素数さん2018/02/17(土) 18:10:48.93ID:piKfhfZj
正直なところ数学は独学のほうが身につく

272 ◆QZaw55cn4c 2018/02/17(土) 18:13:37.71ID:9jRO7d0E
>>271
その言葉、日々の支えとさせてください

273132人目の素数さん2018/02/18(日) 00:36:42.63ID:v0+yxXMC
結局口先だけで何一つ証明できないスレ主

274132人目の素数さん2018/02/18(日) 09:11:32.87ID:WqE33pZi

いろいろ忙しいので、まずは大きなところから

>>254

引用
"一般に、次の 定理F が成り立つことに注意せよ。
――――――――――――――――――――――――――――――
定理F:
A ⊂ R は Fσ集合とする。このとき、もし R−A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。
――――――――――――――――――――――――――――――
よって、もし Bf が Fσ 集合ならば、R−B_f が第一類集合のときには
(a,b)⊂B_f なる開区間が必ず取れることが即座に確定する。"
(引用終り)


なんだ?
おれもバカだね。一杯食わされていたのか?(下記スレ49)

(引用開始)
スレ49 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/
13 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2017/12/27(水) 23:36:31.32 ID:hLkm2n+q [1/3]
(抜粋)
例の定理の仮定は「 R−B_f は第一類集合である 」というものである。
もちろん、例の定理の証明は この仮定のもとで進められる。
(引用終り)

だったよね。
というか、あなた、混乱してないか?

つづく

>>276 つづき

1)
要は、第一類集合 → 疎集合 → nowhere dense set → 補集合が開区間を含む(例えば下記渕野「ポーランドとチェコへの数学の旅」”全疎”定義1b)ご参照)ってこと
で、日本語では”疎集合”の用法が混乱していて、使い方が”meagre set” と ”nowhere dense”と、二つの用法あるという(下記 wikipedia 疎集合 注釈 [* 1] ご参照)

そして、同じくwikipedia 疎集合より
「R の部分集合としての、有理数からなる集合は、その「内部の閉包が空である」という性質を持つが、疎集合ではなく、実際 R において稠密である。」とあります
wikipedia 疎集合より
「実数の全体 R に通常の位相を考えたものはベール空間であり、したがって自分自身において第二類である。有理数の全体 Q は R において第一類であり、無理数の全体 P は R において第二類である。」とあります

つまり、第一類集合は、”meagre set”です。なお、ベール空間wikipedia 歴史的定義ご参照

2)
定理1.7”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば”(>>13)だった。
「高々可算和」を場合分けすると(^^
1.有限
2.可算無限だが稠密でない(例 整数)
3.可算無限で稠密(例 有理数、代数的数)
の3つ分けられる

1.と2.とが、”nowhere dense”で、渕野流”全疎”、wikipedia流 ”疎集合”
3.が、ベール空間 歴史的定義の”第一類 (first category) または痩せている (meagre) ”であって、”nowhere dense”ではない。
(上記のように、有理数の全体 Q は R において第一類であり、補集合の無理数のみの開区間はとれない)
だから、定理F不成立と思うよ

以上

つづく

>>277 つづき

(参考)

http://fuchino.ddo.jp/articles/winterreise2016ex.pdf
冬の旅 ? ポーランドとチェコへの数学の旅11 渕野昌 201712
(抜粋)
(以下の文章は,『数学セミナー』2016 年6 月号に掲載された同名の記事の拡張版です.)
P23
ポーランド学派の研究での一つの中心主題は実
数全体R の構造の研究であった. そして,彼らの研究では,測度とカテゴリーに関する
考察が重要な役割を果たしていた. (ただし,ここで言うカテゴリーとは,カテゴリー理
論のそれではなく,第1種(first category) および第2種(second category) の集合に関す
る議論のことである.) 測度とカテゴリーは,多くの場合,大変似た振舞をすることが知
られていて,連続体仮説,あるいは,もう少し一般的に,例えば,マルティンの公理の下
では,実際に,強い形の双対性が測度とカテゴリーの間に成り立っていることが知られて
いる(定理A.3 ).また,フビニの定理とウラム- クラトウスキーの定理,コルモゴロフの
0 - 1則とそれに相当するベールの性質を持つ集合に関する定理など,連続体仮説などの
仮定なしに集合論の枠組みの中で既に証明できるもので,測度とカテゴリーに関して対に
なっている定理が多く見られる.これらのことは,例えば[3] に詳しい.

定義1
b) R の部分集合X は,任意の実数上の区間I に対し,I \ X が空でない開区間を含むと
き,全疎であるという.R の部分集合X は,全疎集合の可算和として表されるとき,
第1類の集合と呼ばれる.
(引用終り)

つづく

>>278 つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%96%8E%E9%9B%86%E5%90%88
疎集合
(抜粋)
数学の分野における、位相空間内の疎集合(そしゅうごう、英語: nowhere dense set)[* 1]とは、閉包の内部が空であるような集合のことである。
この言葉の順番が大事で、例えば、R の部分集合としての、有理数からなる集合は、その「内部の閉包が空である」という性質を持つが、疎集合ではなく、実際 R において稠密である。

疎集合のすべての部分集合はまた疎集合であり、有限個の疎集合の合併もまた疎集合である。すなわち、疎集合は集合のイデアル(無視可能な集合(英語版)に関する適正な概念)を形成する。
可算個の疎集合の合併は、しかし、必ずしも疎集合ではない(したがって、疎集合は必ずしもσ-イデアル(英語版)を形成しない)。そのような合併はやせた集合(英語版)[* 1]あるいは第1類集合と呼ばれる。この概念は、ベールの範疇定理を考える上で重要である。

開と閉
・ある集合が疎集合であることと、その閉包が疎集合であることは必要十分である。
・閉疎集合の補集合は稠密な開集合であり、したがって、疎集合の補集合は稠密な内部を持つ集合である。
・開集合の境界は、閉疎集合である。
・すべての閉疎集合は、ある開集合の境界である。

注釈
[* 1]^ a b 「疎集合」という名称を meagre set のために用い、nowhere dense には「至る所疎」や「至る所非稠密」などの訳語を充てる流儀もある。例えば 渕野昌 (2002) (PDF), 実数の集合論の基礎の基礎
http://math.cs.kitami-it.ac.jp/~fuchino/notes/set-th-of-reals-kiso-no-kiso.pdf
(引用終り)

つづく

>>279 つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベール空間
(抜粋)
歴史的定義
詳細は「第一類集合」を参照
ベールのオリジナルの定義では、範疇の概念が以下のように定義された。

位相空間 X の部分集合が、
・X において疎あるいは至る所疎 (nowhere dense) であるとは、その閉包の内部が空であることを言う。
・X において第一類 (first category) または痩せている (meagre) とは、それが可算個の疎集合の和になっていることを言う。
・X において第二類 (second category) または痩せていない (nonmeagre) とは、それが X において第一類でないことを言う。

これらの言葉でベール空間の定義を述べると次のようになる:「位相空間 X がベール空間となるのは、任意の空でない開集合が X において第二類であるときである」。この定義は先述の現代的定義と同値である。
X の部分集合 A が残留的 (residual, comeagre) であるとは、その補集合 X \ A が痩せていることを言う。位相空間 X がベール空間であるための必要十分条件は、X の任意の残留的部分空間が稠密になることである。


・実数の全体 R に通常の位相を考えたものはベール空間であり、したがって自分自身において第二類である。有理数の全体 Q は R において第一類であり、無理数の全体 P は R において第二類である。
・有理数の全体 Q に R からくる通常の位相を入れた空間はベール空間でない。これは Q が可算個ある各点 q に対応する一元集合 {q}(これは内点を持たない閉集合になっている)の合併として書けることによる。

ベールの範疇定理
詳細は「ベールの範疇定理」https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E7%AF%84%E7%96%87%E5%AE%9A%E7%90%86 を参照
(引用終り)

以上

追記
「無理数の全体 P」とあるね(^^

>>253
(引用開始)
>>248
>だから、2)→3)又は1)→3)が言えれば良い
言えないよ。もしそこが言えたら、
(★) (a,b)⊂B_f なる開区間が存在するなら、f は (a,b) 全体でリプシッツ連続である
ということが示せることになってしまうが、既に見たように
f(x)=0 (x=0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
が(★)の反例になっている。この例では、(−1,1)⊂B_f が成り立つにも関わらず、
f は (−1,1) 上ではリプシッツ連続になってない。
つまり、お前の方針は自動的に失敗する。」
(引用終り)

えーと

>>13
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする.
Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ }
(引用終り)

いいかな
1)Bfの条件は、下記の4つの Dini微分 (D^+ g)(c),(D + g)(c),(D^- g)(c),(D - g)(c)が有限値で収まることを意味している。(下記a))
2)ディニ微分は、もし f が t において微分可能ならば、その t における各ディニ微分は通常の意味での微分に等しい。(下記b))
3)函数 f(x) = x^3/2sin(1/x) (x ≠ 0) かつ f(0) = 0 を閉区間 [0,1] へ制限したものは、コンパクト集合上微分可能だが局所リプシッツでない函数の例を与える。実際、その導函数は有界でない。(下記c))
4)従って、この例は、lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|も、有界でない
5)要するに、 lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞と、リプシッツ連続(=有限なリプシッツ定数を持つ)は、同じことを言っていると思うよ

つづく

>>281 つづき

a)
>>200
「lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞」は、
下記の4つの Dini微分 (D^+ g)(c),(D + g)(c),(D^- g)(c),(D - g)(c)が
有限値で収まることを意味している。

https://www.amazon.co.jp/dp/0387984801
https://books.google.co.jp/books?id=MzQ6JA6SiHYC&pg=PA215&lpg=PA215&dq=%22liminf+of+functions%22#v=snippet&q=%20&f=false
Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian 出版社: Springer; Softcover reprint of the original 1st ed. 1999版 (1998/11/1)

P220のパラグラフ5.3.6に4つの Dini微分 (D^+ g)(c),(D + g)(c),(D^- g)(c),(D - g)(c)
と、lim sup, lim inf との関係が載っている
(引用終り)

b)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%8B%E5%BE%AE%E5%88%86
ディニ微分
(抜粋)
注意
もし f が t において微分可能ならば、その t における各ディニ微分は通常の意味での微分に等しい。
(引用終り)

c)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
リプシッツ連続
(抜粋)

可微分だが(大域)リプシッツ連続でない
 ・函数 f(x) = x^3/2sin(1/x) (x ≠ 0) かつ f(0) = 0 を閉区間 [0,1] へ制限したものは、コンパクト集合上微分可能だが局所リプシッツでない函数の例を与える。実際、その導函数は有界でない。
(引用終り)

以上

283132人目の素数さん2018/02/18(日) 11:02:20.61ID:+IRfF0OB
書き込みテスト

284132人目の素数さん2018/02/18(日) 11:04:32.44ID:+IRfF0OB
>>277
>だから、定理F不成立と思うよ

定理F:
A ⊂ R は Fσ集合とする。このとき、もし R−A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。

証明:

STEP1:
A は Fσ 集合だから、高々可算無限個の閉集合 A_k が存在して A_f = ∪_k A_k と書ける。
一方で、R−A は第一類集合だから、高々可算無限個の、内点を持たない閉集合 F_k が存在して
R−E_f ⊂ ∪_k F_k と書ける。結局、R ⊂ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) ということになる。

続く

285132人目の素数さん2018/02/18(日) 11:05:30.39ID:+IRfF0OB
続き

STEP2:
A_k, F_k はどれも閉集合だから、これと R ⊂ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) から、
ベールのカテゴリ定理が使えて、ある A_k もしくはある F_k は内点を持つ。
F_k は内点を持たないのだから、ある A_k が内点を持つしかない。
そのような A_k に対して、(a,b)⊂A_k なる開区間が取れるので、
A = ∪_k A_k に注意して、(a,b) ⊂ A となる。従って、定理F が成り立つ。

上記の証明により、定理F は確実に正しい。
掲示板だと読みにくいとか文句をつけず、この程度の証明は今すぐ読んで理解してくれ。

286132人目の素数さん2018/02/18(日) 11:15:46.22ID:+IRfF0OB
補足:
Fσ集合の補集合はGδ集合であり、逆も然りであるから、定理Fは次のようにも書ける。

定理F1:
A ⊂ R は、R−A がGδ集合とする。このとき、もし R−A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。

実は、より強く次の定理も証明できる。

定理F2:
A ⊂ R は、R−A がGδ集合とする。このとき、もし R−A が第一類集合ならば、
R−A は nowhere dense である。

ここまで来ると、「 R−A 」を1つの塊で1文字にした方がキレイなので、そのように書くと、次のようになる。

定理F3:
A ⊂ R は、A がGδ集合とする。このとき、もし A が第一類集合ならば、A は nowhere dense である。

このことに関しては、"Gδ set of first category" で検索すると、
1件だけだが上記の 定理F3 を使っていると思しき pdf が見つかる。

ttp://fm.math.uni.lodz.pl/artykuly/12/ww.pdf

> Observe that ∩[m=1〜∞] ∪[n≧m] A_n as Gδ set of first category is
> easily seen to be nowhere dense.

このことからも、定理F, F1,F2,F3 は全て正しいと分かる。

287132人目の素数さん2018/02/18(日) 11:18:47.13ID:+IRfF0OB
>>281
>4)従って、この例は、lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|も、有界でない
>5)要するに、 lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞と、
>リプシッツ連続(=有限なリプシッツ定数を持つ)は、同じことを言っていると思うよ

間違っている。A_f(x)<+∞ という条件は、あくまでも

「その点 x において Af(x) は有限値である」

ということを言っているに過ぎない。一方で、お前が言っている「有界でない」とは、

「ある開区間 (a,b) を取ったときに、max_{x∈(a,b)} Af(x) もしくは sup_{x∈(a,b)} Af(x) が有限値に収まらない」

ということである。明らかに、両者は全く意味が違う。そして、お前は両者を混同している。

f(x)=0 (x=0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)

という関数の場合、各点 x で Af(x) は有限値である。実際、x≠0 のときは、
Af(x) は x ごとに明らかに有限値である。また、x=0 のときは

Af(0)=0

であることが計算できる。従って、Af(x) は x=0 のときも やはり有限値である。
しかし、max_{x∈(-1,1)} Af(x) や sup_{x∈(-1,1)} Af(x) は有限値では存在しない。

>>254

>お前が「 Bf は Fσ 集合であろう」と予想するなら、お前は自分自身の手で
>墓穴を掘っていることになるのだ。
>ちなみに、Bf は実際に Fσ 集合である。

下記、Gδ集合wikipediaで
”実数直線の任意の Gδ-部分集合 A に対し、適当な函数 f: R → R が存在して、f は A に属する点のみにおいて連続となるようにすることができる。
このことから、無理数全体の成す集合が連続点集合であるような函数は存在する(トマエの函数(英語版)などを参照)が、有理数の上でのみ連続な函数というのは構成不可能であることが帰結される。”
とあるでしょ? 開集合が取れる? 無理だろ

ここ
f は A に属する点のみにおいて連続となるようにすることができる。
 ↓
f は A に属する点のみにおいてリプシッツ連続となるようにすることができる。
にできるかどうかだ

なお、また、”基本的な性質 Gδ-集合の補集合はFσ-集合である。”も指摘しておく

なので墓穴でもなんでもないだろ

つづく

>>288 つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/G%CE%B4%E9%9B%86%E5%90%88
Gδ集合
(抜粋)
数学の一分野、位相空間論における Gδ-集合あるいは内極限集合 (inner limiting set) とは、位相空間の部分集合で開集合の可算交叉となっているものを言う。

由来については、G というのが開集合を意味するドイツ語の Gebiet から、δ というのが交わりを意味するドイツ語の Durchschnitt からそれぞれとられたものである。

Gδ-集合(およびその双対であるFσ-集合)は、ボレル階層(英語版)において二階 (second level) の集合であり、より正確には Gδ-集合の全体はちょうど Π^0_2-階集合である。

例と反例
・任意の開集合は明らかに Gδ-集合である。
・無理数の全体 P は実数直線 R の Gδ-集合である。実際 P は、q が任意の有理数を亙るときの一点集合 {q} の R における補集合すべての交わりとして表せる。
・有理数の全体 Q は実数直線 R の Gδ-集合ではない。
 実際、Q が開集合列 An の交わりに書けるとすると、各 An は(Q が R において稠密ゆえ)何れも R において稠密でなければならないが、上でやったように無理数全体の集合 P は稠密開集合の可算交叉として書けるから、P と Q との交わりをとれば R の稠密開集合の可算交叉が空集合となるものが存在することとなり、ベールの範疇定理に反する。

つづく

>>289 つづき

性質
距離空間(および位相空間)における Gδ-集合の概念は、ベールの範疇定理と同様に距離空間の完備性の概念と強く関係する。このことは、マズルキェヴィチの定理として述べられる。

定理 (Mazurkiewicz)
(X, ρ) を完備距離空間とするとき、部分集合 A ⊂ X について次は同値である。
1.A が X の Gδ-集合であること
2.A 上の距離函数 σ で ρ|A(X の距離函数 ρ の A への制限)と(位相に関する意味で)同値であるようなものが存在して、(A, σ) がふたたび完備距離空間となること

Gδ-集合の重要な性質は、位相空間から距離空間への連続写像がその上で定義され得るということにある。厳密に言えば、そのような写像 f が連続となるような点全体の成す集合は {\displaystyle G_{\delta }} G_{\delta }-集合を成すということである。これは、点 p における連続性というのが Π^0_2-式で定義されることによる。

実数直線の任意の Gδ-部分集合 A に対し、適当な函数 f: R → R が存在して、f は A に属する点のみにおいて連続となるようにすることができる。
このことから、無理数全体の成す集合が連続点集合であるような函数は存在する(トマエの函数(英語版)などを参照)が、有理数の上でのみ連続な函数というのは構成不可能であることが帰結される。

基本的な性質
・Gδ-集合の補集合はFσ-集合である。
・可算個の Gδ-集合の交わりはやはり Gδ-集合である。また、有限個の Gδ-集合の合併はふたたび Gδ-集合となる(可算個の Gδ-集合の合併は Gδσ-集合と呼ばれる)。
・距離化可能空間において、任意の閉集合は Gδ-集合であり、双対的に任意の開集合は Fσ-集合になる。
・稠密開集合の可算族の交わりを含むような集合は残留的 (comeagre, residual) であるという。残留的集合は函数の成す位相空間の生成的性質(英語版)を定義するのに用いられる。

(引用終り)

以上

291132人目の素数さん2018/02/18(日) 11:25:45.14ID:+IRfF0OB
つまり、

f(x)=0 (x=0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)

という関数について、次のような性質が成り立っているわけである。

・ 各点 x で Af(x)<+∞ である。すなわち、各点 x で Af(x) は有限値である( Af(0)=0 に注意せよ)。
・ max_{x∈(-1,1)} Af(x) や sup_{x∈(-1,1)} Af(x) は有限値では存在しない。
・ f は (−1, 1) 上ではリプシッツ連続ではない。

これらのことから、お前が言っている

>5)要するに、 lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞と、
>リプシッツ連続(=有限なリプシッツ定数を持つ)は、同じことを言っていると思うよ

という主張は自動的に間違いだと分かるし、お前の稚拙な方針は自動的に失敗に終わる。

>>274
おつです
それ面白いね

ゆとり世代の
さらにゆとりで、超ゆとり?

>>272
C++さん、あんまりマネしないように

理想は、良い仲間や指導者が身近にいること
独学というより、自分の努力と言い換えた方が良い
それと、楽しめること

独学というのは、良い仲間や指導者が身近にいないときの代案だろう
1.努力、2.良い仲間や指導者
の順だろう

294132人目の素数さん2018/02/18(日) 11:31:38.51ID:+IRfF0OB
>>288
>下記、Gδ集合wikipediaで
>”実数直線の任意の Gδ-部分集合 A に対し、適当な函数 f: R → R が存在して、
>f は A に属する点のみにおいて連続となるようにすることができる。
>このことから、無理数全体の成す集合が連続点集合であるような函数は存在する
>(トマエの函数(英語版)などを参照)が、有理数の上でのみ連続な函数というのは構成不可能であることが帰結される。”
>とあるでしょ? 開集合が取れる? 無理だろ

論理が滅茶苦茶。
トマエ関数は R−B_f が第一類集合になってないので、開集合が取れなくても何の不思議もない。

お前が墓穴を掘っているのは、次のような意味においてである。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
B_f が Fσ 集合であることを認めるなら、R−B_f が第一類集合であるときには
定理F によって (a,b)⊂B_f なる開区間が取れてしまうので、R−B_f は
R の中で稠密に分布できないことが即座に確定する。
すなわち、R−B_f が第一類集合であるとしつつも「Rの中で稠密」なんていう
アホな場合分けをしたがっているお前にとって、「 Bf は Fσ集合である」
という性質はむしろ邪魔な性質なのである。にも関わらず、お前は
「 Bf は Fσ集合である」と予想しているのである(そして、実際に Bf は Fσ 集合である)。
――――――――――――――――――――――――――――――――――

↑このような意味において、お前は墓穴を掘っているのである。
そして、トマエ関数は R−B_f が第一類集合になってないので、
上記の話題の出発点に立っておらず、何の意味も成さない。問題外。

295132人目の素数さん2018/02/18(日) 12:43:20.45ID:8UexphmN
女子高校生に
e^iπ+1=0

i^i=1/√(e^π)
を説明したら感動してもらえて数学は芸術の一部だと気づいてもらえた

296132人目の素数さん2018/02/18(日) 13:34:29.53ID:WqE33pZi

>>282 追加参考

「微分不可能関数への招待」LipschitzとDini方向微係数、ご参照
これは、普通のDini微分の変形版のようだ

https://www.jstage.jst.go.jp/article/sicejl1962/37/11/37_11_791/_article/ - char/ja
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sicejl1962/37/11/37_11_791/_pdf/ - char/ja
微分不可能関数への招待 石塚 陽(上智大学) 計測と制御 1998
(抜粋)
4. Lipschitz関数の一般方向微係数と一般勾配

ここでは簡単のために,関数fは注目している点xの近傍でLipschitzであるとする.

すなわち,以下をみたすx の近傍N(x)と正の数Kが存在するものとする.
|f(x1) - f(x2)|≦K|x1 - x2|for all x1,x2∈N(x)
このとき,fはxの近くでは連続かつほとんどすべての点
で微分可能であり,関数値の変化率は有限で(Kを超えることはない),
以下の2つの値が必ず存在する.

D^+ f(x~;u)=lim t→0 sup{f(x~+tu) - f(x)}/t
D - f(x~;u)=lim t→0 inf{f(x~+tu) - f(x)}/t

これらをそれぞれ,

上方Dini方向微係数(upper Dini directional derivative),
下方Dini方向微係数(lower Dini directional derivative)
という.

これらの定義式中で,
lim t→0+ sup(lim t→0 - inf)は,正の方からtをゼロに近づけていっ
た時の差商{f(x~+tu) - f(x~)}/tの極限は一般にtのゼロ
への近づき方によっていろいろな値をとりうるので,それ
らの中で最大(最小)のものをとることを意味している.
(引用終り)

石塚陽先生は、亡くなられているようです。合掌
http://sikyo.net/ - /1086773
(抜粋)
石塚陽
いしづか よう
1958 - 2003
上智大教授 システム最適化理論 新潟県
亡くなってから14年233日過ぎました。
45歳で亡くなりました。もし現在も生きていたら60歳です。
1958年に誕生、2003年06月30日に亡くなりました。
(引用終り)

前スレ >>632の 追加

以前、スレ48のNo 140でも紹介したが、再録しておきます
”位相空間”は、図が多いのがいいね。位相入門を併読すると良さそう
http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/
川崎徹郎 学習院

http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/16isoukuukan.pdf
位相空間 川崎徹郎 学習院 2016

http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/HTML-isou-nyuumon-enshuu/html-17isou-nyuumon-enshuu.html
位相入門テキスト(演習問題) 解答例 (章別)
http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/HTML-isou-nyuumon-enshuu/17isou-nyuumon-text.pdf
位相入門 川崎徹郎 学習院 2017

現代数学の系譜 ガロア理論 位相空間 川崎徹郎 学習院

>>295
乙です
桜陰トップか(^^

小平奈緒さん、「金」おめでとうございます!(^^
https://mainichi.jp/sportsspecial/articles/20180219/k00/00m/050/101000c
スピードスケート【詳報】小平が「金」日本女子では初 500m
恩師から自立、強く 小平奈緒「金」
毎日新聞2018年2月18日
(抜粋)
 小平が世界最速女王になるまでの道のりは、恩師からの自立の軌跡とも言える。

 母校・信州大の教授で、現在も指導を受ける結城匡啓(まさひろ)コーチ(52)との「出会い」は、11歳の時にさかのぼる。
1998年長野五輪。長野県茅野市に生まれ、3歳からスケート靴を履いていた小平は男子500メートル金メダルの清水宏保、女子500メートル銅メダルの岡崎朋美の姿にあこがれ、競技者を志した。長野五輪で清水を日本スケート連盟のスタッフとして支え、その後に指導者になった結城コーチの存在も程なくして知った。

 信州大に進学したのは、滑走中の動作解析を研究する結城コーチがいたからだ。就職活動でも結城コーチの指導を引き続き受けられることを条件に挙げた。ともすれば依存に思える関係が変化したのは、500メートル5位、1000メートル13位に終わった2014年ソチ五輪後。強豪国オランダへ練習拠点を移した頃だった。
(引用終り)

301132人目の素数さん2018/02/19(月) 00:18:24.31ID:bHNOKlCc
おっちゃんです。
スレ主はオリンピックを見ているのか。
ところで、よく分からないんだが、
テンポが遅いクラシック音楽に合わせて滑る
フィギュアスケートの面白さってどこにあるの?
その採点基準とかが全然分からないんだが、
クラシック音楽とは違うところに何某かの面白さがあるんだろ。

>>299
数学の楽しさを理解出来る女子高生は、桜蔭だけにいる訳ではないだろうよ。

302132人目の素数さん2018/02/19(月) 09:37:57.19ID:pl8GOd4o
>>300
小平奈緒は茅野市出身、小平邦彦の親父権一も茅野市出身、
親類か?

303132人目の素数さん2018/02/19(月) 23:12:11.26ID:EJjEbi9w
NHK教育を見て54640倍賢く2355
http://nhk2.5ch.net/test/read.cgi/liveetv/1519048027/

突然ですが、貼っておきます(^^

http://www.phys.cs.is.nagoya-u.ac.jp/~tanimura/
谷村 省吾 TANIMURA Shogo 教授 博士(理学) 名古屋大
http://www.phys.cs.is.nagoya-u.ac.jp/~tanimura/lectures/tanimura-category.pdf
「物理学者のための圏論入門」 研究会「量子と古典の物理と幾何」にて講演(2017年2月)

>>278 追加引用

http://fuchino.ddo.jp/articles/winterreise2016ex.pdf
冬の旅 ? ポーランドとチェコへの数学の旅11 渕野昌 201712
(抜粋)
P22

A.3 測度とカテゴリー(ただし,ここで言うカテゴリーとは,カテゴリー理
論のそれではなく,第1種(first category) および第2種(second category) の集合に関す
る議論のことである.)

ゼロ集合は測度の意味で小さい集合であるのに対し,第1類の集合はカテゴリーの意味で
小さな集合である. なお,第1類の集合は最近の文献ではmeager set と呼ばれることの
方が多いようである. “meager” は「痩せこけた」という意味である.
可算集合は,ゼロ集合,かつ,第1類の集合である.また,カントル集合も,ゼロ集合,
かつ,第1類の集合であるような例の一つである.しかし,ゼロ集合は,必ずしも第1類
の集合であるとは限らないし,逆に,第1類の集合も,必ずしもゼロ集合とは限らない:

定理A.2 第1類の集合M で,R \ M がゼロ集合になるようなものが存在する. 特に,
M はゼロ集合ではなく,R \M は第1類の集合でない.

上の定理でのM は,カテゴリーの意味では,小さい集合だが,測度の意味では,ほと
んどすべての実数を含んでいることになる.
先に,連続体仮説の仮定のもとで,ゼロ集合と第1類の集合の間に強い形の双対性が成
立すると書いたが,このことは正確に言うと次のようになる:

定理A.3 (シェルピンスキーの双対原理) 連続体仮説を仮定する.この時,全単射f : R →
R で,任意のR の部分集合E に対し,E がゼロ集合であることとf(E) が第1類の集合
であることが同値になるようなものが存在する.

つづく

>>305 つづき

したがって,連続体仮説のもとでは,ゼロ集合に対し,ある命題が成り立っているとき,こ
の情況を,上の定理のf によって“翻訳” することにより,これに対応する第1類の集合に
関する命題が成り立っていることが証明できる.逆方向の“翻訳” についても同様である.

測度論では,可測集合と呼ばれるR の部分集合の族が考察されるが,カテゴリーで可
測集合に対応するのは,ベールの性質を持つ集合である.可測集合は可算個のR の閉集
合の和集合ににゼロ集合を付け足して出来る集合であるが,一方,ベールの性質を持つ集
合は,可算個の開集合の共通部分に第1類の集合を付け足して出来る集合である.開集合
や閉集合の集合論的振舞は,比較的単純であるので,可測集合,あるいは,ベールの性質
を持つ集合の全体に関する問題の研究は,多くの場合,それに対応するゼロ集合や第1類
の集合に関する問題について調べることに帰着される.特に,連続体仮説が成り立ってい
るときには,定理A.3 により可測集合の全体とベールの性質を持つ集合の全体の性質は,
たいへん似たものになる.

(引用終り)
以上

>>305 補足

渕野先生の話は、下記など、いつも面白いね(^^

”可算集合は,ゼロ集合,かつ,第1類の集合である.また,カントル集合も,ゼロ集合,
かつ,第1類の集合であるような例の一つである.しかし,ゼロ集合は,必ずしも第1類
の集合であるとは限らないし,逆に,第1類の集合も,必ずしもゼロ集合とは限らない:

定理A.2 第1類の集合M で,R \ M がゼロ集合になるようなものが存在する. 特に,
M はゼロ集合ではなく,R \M は第1類の集合でない.

上の定理でのM は,カテゴリーの意味では,小さい集合だが,測度の意味では,ほと
んどすべての実数を含んでいることになる.
先に,連続体仮説の仮定のもとで,ゼロ集合と第1類の集合の間に強い形の双対性が成
立すると書いたが,このことは正確に言うと次のようになる:

定理A.3 (シェルピンスキーの双対原理) 連続体仮説を仮定する.この時,全単射f : R →
R で,任意のR の部分集合E に対し,E がゼロ集合であることとf(E) が第1類の集合
であることが同値になるようなものが存在する.”

>>302-303
レスありがとう(^^
オリンピック見るので、忙しいんだ(^^

>>301
おっちゃん、どうも、スレ主です。

採点基準は下記
https://matome.na
ver.jp/odai/2139261598632542001
転んでも勝つのはナゼ?クマでも分かるフィギュアスケートの採点方法 2018年02月12日

あと、音楽はクラシックが多いが、以前のキムヨナの金メダル曲は映画007の曲だよ(下記)
2010年のカナダ大会という場所に似合う曲ということで、クラシックよりこちらを選んだと思う
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1446484484
キムヨナが使用した007のテーマ曲の題名は何ですか kitakantou_na_1さん yahoo 2010/9/507:28:44

渡部暁斗さん、残念でしたが、お疲れさまでした
http://www.yomiuri.co.jp/olympic/2018/ski/20180220-OYT1T50114.html?from=ytop_top
渡部暁斗は5位、メダル獲得ならず…複合LH 読売 2018年02月20日
(抜粋)
 前半飛躍で、134メートルを飛び、首位に立った渡部暁は、NHを制したエリック・フレンツェル(独)らの猛追を受け、6キロ過ぎには先頭集団は6人に。残り1周となる7・5キロ地点では7人になった。この大混戦の中、残り1キロを切って他の選手と接触し、失速した。

 優勝は、ヨハネス・ルゼック(独)。距離を4〜6位でスタートしたドイツ勢が表彰台を独占した。
(引用終り)

>>301
>数学の楽しさを理解出来る女子高生は、桜蔭だけにいる訳ではないだろうよ。

まあな
うちの子が、小学生のとき、塾に行っていて、そこの塾の模試で常に算数で、男の子を押さえてトップ陣に食い込む女の子が居た
その子は、桜陰から東大理I に入った(数学科進級じゃないが)

それを思い出したんだ
おそらく、数学もできただろうと

>>301

(抜粋)
5 圏論のご利益

圏論が役に立つことがあるのか?と問われると,なかなか答えに窮しますが,数学の中で
役に立つことと,数学外の分野で役に立つこととを分けて考えるのがよいと思います.

圏論が数学の中で役に立つ側面としては,さまざまな数学分野に繰り返し現れるパターン
を横断的に特徴付けるという圏論の役割があります.例えば,群には部分群・正規部分群・
商群,環には部分環・イデアル・商環,ベクトル空間には部分空間・商空間といった,よく
似た構造があり,群論・環論・線形代数のどの理論でも準同型定理と呼ばれるそっくりの定
理が成り立ちます.準同型定理はどの理論でもほぼ同様のルーチンワークで証明できます.
また,いま挙げたどの理論にも直積と呼ばれる構造があって,直積の一意性は同様のルーチ
ンワークで証明できます.圏論は,こういったさまざまな理論に見られる相似構造を抽出し
て,まとめて面倒を見ることができます.

また,圏論を使うと,異なる数学理論の間の関係を一段高い視点から見ることができます.
例えば,位相空間論と群論は別の理論ですが,ホモトピーは位相空間の圏から群の圏への関
手だと言えます.位相空間の一つ一つの点が群の一つ一つの元と対応しているわけではない
ので,ホモトピーは位相空間から群への写像ではありません.けれども,ホモトピーは関手
だという視点に立つと,位相空間の世界と群の世界とが連動していることがよくわかるので
す.元のレベルでone-to-one 対応はしていないけれども,元を束ねた空間とか群のレベル
でmany-to-many 対応している様子を関手はうまく捉えるのです.「木を見て森を見ず」
という言葉がありますが,圏論は,まさにその逆の「木を気にせず森を見る」ような視点を
提供してくれるのです.

つづく

>>312

訂正 >>301>>304

つづき

ホモロジーは位相空間の圏から加群の圏への関手だと言えます.位相空間の境界という概
念を関手を通して加群の方に写すと,ホモロジー代数という構造が見えてきますが,これは
加群だけを見ていたのでは見抜けないような構造だと言えます.ホモロジー関手も,点レベ
ルにまで分解されたone-to-one 対応では見抜けない,structure-to-structure 対応とで
もいうべき関係を見させてくれるのです.

また,二つの一見異なる数学分野の概念が互いに変換可能であることを主張する双対性
(duality) という高次の概念がしばしば見い出されますが,そのような概念は圏論の随伴
(adjunction) という概念を使うと適切に捉えられます.
このように,数ある数学理論の共通構造を横断的に見い出したり,異なる数学理論の連動
する性質を的確に言い表したりするのに圏論は役に立ちます.そういった意味で,圏論は大
風呂敷を広げるようなところがあります.それが圏論の魅力でもあるし,何にでも通用す
るような当たり前のことばかり言って何も固有の主張がないように見えて,「圏論はgeneral
nonsense だ」,「abstract nonsense だ」と
やゆ(揶揄)されるところでもあります.

たしかに,圏論
だけを勉強することは論理的には可能ですが,いろいろな数学分野を知っていないと圏論の
ありがたみがわからないし,圏論以外の数学を知らないと面白い圏や関手の例を作ることす
らできないと言えます.

(引用終り)

以上

314132人目の素数さん2018/02/21(水) 00:02:28.74ID:er9RHyGj
>>311
> うちの子が、小学生のとき、塾に行っていて、

スレ主のお子さんも既に大きいでしょうに そんな馬鹿ばかりやってていいんですか?

>>248
(引用開始)
>>204より)
1)定理1.7の条件;lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ ( lim supが有限)
  ↓↑
3)定理1.7の結論;リプシッツ連続 (”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より)(k 有限)

3)が見かけ一番強い条件で、3)→1)を見るのは易しい(>>205に書いた)
だから、1)→3)が言えれば良い
(引用終り)

<経過報告2>
・1)→3)を主張する文献は見つかっていない。というか、命題1)があまり無い。3)のリプシッツ連続は山ほどある(^^
・背理法より、対偶証明で行けるのではと思う
・つまり、¬3)→ ¬1)が言えるだろう
 ¬1):”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”
 つまり、ある開区間(a,b)内で、リプシッツ連続でない点x0があるとして、
 x0では、実数y→x0 に対し |f(x0)-f(y)/(x0-y)| →∞ を満たすことになり
  ↓
 lim sup y→x |(f(y) − f(x0))/(y − x0)|= +∞ となる
 QED
 かな?(^^
・証明? なんか書けるだろう。例えば、ここで背理法で
 lim sup y→x |(f(y) − f(x0))/(y − x0)|=k < +∞ にも関わらず、 |f(x0)-f(y)/(x0-y)| →∞ は矛盾とか・・
 結局、背理法かも・・
・あんまり進んでないな・・(^^

>>314
はい
そっくり、お返しします

まあ、マジレスすれば
数学をやっていると
私らの住んでいる技術の世界は、鳥無き郷のコウモリでいられるし
なにか、技術文献読むときも、目が慣れていると「ふんふん」と進むし
だれかが、新しい数学ネタを入れた論文でも(昔実際にあったのがδ関数を使ったやつ)、「それ知ってる」で終わる
とかね
実益ありです(^^

318132人目の素数さん2018/02/21(水) 01:35:47.90ID:INI2YWN5
と、εδも命題もわからぬバカがマジレスしています

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