現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む51
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
“現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む”
数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。
皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。（勢い１位の時も多い（＾＾ ）
このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。
なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り！
小学生がいますので、18金よろしくね！（＾＾
High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ！sage進行推奨（＾＾；
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー（又は間近）で、新スレ立てる
（スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。） 大学新入生もいると思うが、間違っても５ＣＨ（旧２ＣＨ）で数学の勉強なんて思わないことだ
このスレは、趣味と遊びのスレと思ってくれ（＾＾；
以下過去スレより再掲
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/7
7 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/19(水) 22:07:49.66 ID:gLi5Ebjw
まあ、過去何年かにわたって、猫さん、別名、￥ ◆2VB8wsVUooさんが、数学板を焼いていたからね
ガロアスレは別として、数学板は焼け跡かな
再生は無理だろう
そもそも、５ＣＨ（旧２ＣＨ）は、数学に向かない
アスキー字に制限され、本格的な数学記号が使えない
複数行に渡る記法ができない
複数行に渡る矢印や、図が描けない（ＡＡ（アスキーアート）で数学はできない）
大学数学用の掲示板を、大学数学科が主体となって、英語圏のような数学掲示板を作った方がいいだろうな、実名かせめてハンドルネーム必須でね、プロないしセミプロ用のを 個人的には、下記は、”知恵袋の人>>> ５ＣＨ（旧２ＣＨ）の人”と思うよ（＾＾
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1484442695/494
494 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/04/17
前にも紹介したが、新入生もいるだろうから、下記再掲しておく。なお、信用できないに、私スレ主も含めること。定義から当然の帰結だが（＾＾；
https://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n98014
Yahoo 知恵袋
数学の勉強法 学部～修士
ライター：amane_ruriさん（最終更新日時:2012/8/6）
ナイス！：5閲覧数：11594
(抜粋)
私は修士1年生ですので、正直に言いますとこの部分はあまり書いているのが正しいとは思えません。趣味で書いているものだと認識していただければ良いのではないかと思っております。
大学3、4年に入ってまず怖いのが数学の本の氾濫でしょう。まず何を読んで何をすればいいのか分からなくなります。
そして、自分のやっていることがいかにちっぽけな存在なのかというのを実感させられます。（多分皆がそうでしょう。）そして、結果が問われてきます。
ここで、数学科は「入るのは易しいけどプロになるのは難しい」ということが実感させられてきます。
2012年8月3日現在、書泉グランデで有名数学者の薦める本がありました。森重文先生を初めとして本の多さに圧倒されました。（足立恒雄先生は信頼と安心のブレなさ）
2. 2ｃｈ*)の内容は信用できるか？
基本的に信用できません。先生＞周りの人＞＞＞ 2ｃｈ*)や知恵袋の人です。何故かというといつも同じことしか言っていないから。多分きちんと検証していないで想像で議論しているだけではないのかと私は思っています。
（まあ、自分もあんまり信用できないけど）
数学をする場合は、問題が解けることも重要なのですが問題設定を作ることが大切です。そういう時に、どういう風に学んできたのかとか、正確な知識がどういう部分でどれだけ持っているのか、調和性や、生まれて来た環境っていうのが重要になってきます。
ただ、それがどうも2ｃｈ*)の人は見られない（し、そもそも偉そうなことを言っている人が本当にできるかどうか分からない。）。こういう類のものは勉強不足ですとか、分かっていませんでしたで済まされるものではないと個人的には思うのですが。
(引用終り) (注*)：2ｃｈは、現5ｃｈ) 過去スレより
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1484442695/338
338 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/09(日) 23:46:26.46 ID:Rh9CzQs6
スレ主は、皆さんの言う通り、馬鹿であほですから、基本的に信用しないようにお願いします
大体、私は、自分では、数学的な内容は、筆を起こさない主義です
じゃ、どうするかと言えば、出典明示とそこからの(抜粋)コピペです
まあ、自分なりに、正しそうと思ったものを、(抜粋)コピペしてます
が、それも基本、信用しないように
数学という学問は特に、自分以外は信用しないというのが基本ですし
”証明”とかいうらしいですね、数学では
その”証明”がしばしば、間違っていることがあるとか、うんぬんとか
有名な話で、有限単純群の分類
”出来た！”と宣言した大先生が居て、みんな信用していたら、何年も後になって、”実は証明に大穴が空いていた”とか
おいおい、競馬じゃないんだよ（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4
単純群
1981年にモンスター群が構成されてからすぐに、群論の研究者たちがすべての有限単純群を分類したという、合計10,000ページにも及ぶ証明が作られ、1983年にダニエル・ゴレンスタインが勝利を宣言した。
これは時期尚早だった、というのはいくつかのギャップが、特に準薄群（英語版）の分類野中で発見されたからである。このギャップは2004年に1300ページに及ぶ準薄群の分類によって埋められており、これは現在は完璧であると一般に受け入れられている。 >>7 補足
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/352
352 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/04/29(土)
みんな、何に価値をおいているか、それぞれだろうが・・
個人的には、数学板で一番価値を置いているのは、確かな情報 つまり 根拠の明確な情報 つまり コピペ
わけのわからん名無しさん（素数さん）のカキコを真に受けるとか、価値をおく人は少ないだろう
きちんと、大学教員レベルの証明があればともかく、匿名板でそれはない（名無しカキコは基本価値なし） >>8 補足
＜数学ディベート＞について
過去スレより
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1494038985/50
50 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/05/06
どこの馬の骨ともしれん連中との、数学ディベートもどきより
URLとコピペやPDFの方によほど価値を見いだすスレ主です（＾＾；
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1494038985/189-190
189 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/05/09
いやはや、（文系） High level people たち（ ID:jEMrGWmk さん含め）の、数学ディベートもどきは面白いですね（＾＾；
”手強い？”とは・・、まさに、ディベートですね
私ら、理系の出典（URL)とコピペベース、ロジック（論証）＆証明重視のスタンスと、ディベートもどきスタイル（２ＣＨスタイル？）とは、明白に違いますね
私ら、（文系） High level people たちとの議論は、時間とスペースの無駄。レベルが高すぎてついていけませんね。典拠もなしによく議論しますね。よく分かりましたよ（＾＾；
190 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/05/09
私ら、理系は、一応従来の議論は調べて、その上でしか議論はしません
そうしないと、大概二番煎じですし、車輪の再発明ですから
典拠もなしによく議論しますね～。よく分かりましたよ（＾＾；
私とは、議論がかみ合わないわけだ・・
”他サイトからのコピペでスレを埋め尽くす行為” なんて非難されましたけどね～（＾＾；
ディベートに勝ちたいからそういう発言なんですね～。典拠もなしで、出した典拠も読まない議論か・・。よく分かりましたよ（＾＾； 過去スレより
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497848835/638
638 名前：現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/07/11(火) 08:40:28.58 ID:+FRiTcES
>>630
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>>まあ、おっちゃんが、上記を理解したら、時枝は終わりにしよう
>マジメに時枝問題のことでスレ主に付き合う気はなく、
>もはやそういうことをする価値もない。
>スレ主自身の主張や考え方が大きく間違っていることを私のせいにするべきではない。
いやいや、おっちゃんよりレベルの低い人と議論するつもりはないんだよ～（＾＾
がまあ、おっちゃんのいう「価値もない」にも一理ある
ということで、皆さん悪いが、時枝は、一時棚上げだ。時々やろう
下記のパロディーで言えば、「数学雑談&ガロア理論 ～おっちゃんとボクと、時々、（時枝 ＆ ￥さん）～」かな（＾＾
まあ、話題を散らしながら、ゆっくりやりましょう（＾＾
おっちゃん！ いま気になっていることを、好きに書いてくれ！（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E3%82%BF%E3%83%AF%E3%83%BC_%E3%80%9C%E3%82%AA%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%81%A8%E3%83%9C%E3%82%AF%E3%81%A8%E3%80%81%E6%99%82%E3%80%85%E3%80%81%E3%82%AA%E3%83%88%E3%83%B3%E3%80%9C
東京タワー ～オカンとボクと、時々、オトン～ - Wikipedia
(抜粋)
『東京タワー ～オカンとボクと、時々、オトン～』（とうきょうタワー オカンとボクと、ときどき、オトン）は、リリー・フランキーの実体験を基にした長編小説である。
2006年と2007年にテレビドラマ化（単発ドラマと連続ドラマ）、2007年に映画化、舞台化されている。
2005年6月29日、扶桑社より発売された[1]。装丁もリリー本人。初版は3万部だった。2006年1月には100万部を突破。2006年10月31日には200万部（扶桑社発表）を越すベストセラーとなった。
久世光彦が「泣いてしまった…。これは、ひらかなで書かれた聖書である」と評価した。
(引用終り) 「現代数学のもとになった物理・工学」の解題：
言わずもがなですが、数学の発展の大きな原動力は、物理です。数学の発展の大きな原動力は、工学です。
別に説明するほどのこともないですが。
古代の幾何学の背景に、実際の土地測量や巨大建築からの要請が原動力にあったことは間違いないでしょう。
ニュートン以来の解析や数論も同様。
で、物理学の背景に、工学に直結する日常のいろいろな事象がある。戦争というのも、大きな要因ではあります。仏エコールポリテクニークなども、ナポレオン戦争遂行のための工学校です。
（https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%9D%E3%83%AA%E3%83%86%E3%82%AF%E3%83%8B%E3%83%BC%E3%82%AF エコール・ポリテクニーク 1804年にナポレオン・ボナパルトによって軍学校とされる）
工学が物理の進展を促した面は多々あります。有名なプランクの熱と光の放射の理論を研究した背景に、当時の工学的課題であった、高温物体を光学測定により正確な温度を知るため（今の光温度計）であったと言われています。
つまり、工学的課題「高温物体を光学測定により正確な温度を知るための光温度計」→物理的課題「高温物体の光放射理論構築」→プランクの量子仮説→量子力学の誕生→作用素環→非可換幾何（現代数学）ということなのです。
コンヌ先生もおっしゃっているそうですが、物理や工学の課題は、いままでもそうですが、現代数学のエネルギー源なのです。
京大数学科がだめになったのは、「20世紀の古い数学に閉じこもってしまった」というようなことがあるのではないでしょうか？ 新しい数学へのチャレンジが無い？
（参考 過去スレ39 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1503063850/476 (抜粋)「自己顕示欲だけが目的で人生を送り、ほんで他人の邪魔ばっかししてるから筑波とか京大みたいになってアカン様になんのや。」 ） 時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）まとめについては
スレ47 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/11-67 ご参照！
ほぼほぼ、時枝は、「ぷふ」さんのおかげで完全終了です！ ＼（＾＾）／ それで、いま前スレ50から引き続いて議論しているのが、下記の定理1.7と関連の系1.8だ
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
証明
このとき, 補題1.5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である.
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)
つづく >>13 つづき
始まりは下記から。定理1.7と関連の系1.8の証明のPDFが、下記リンクからダウンロードできる
（引用開始）
スレ47 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/594
＜422に書いた定理＞
594 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/12/12(火) 17:31:09.14 ID:14lo33mI [4/9]
以下の pdf に証明を書いた。
ttps://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz
なるべく行間が無いように、丁寧に証明を書いたつもりである。
なお、「疎な閉集合」は「内点を持たない閉集合」と同じことであるから、
pdf の中では「疎な閉集合」という概念を導入せず、必要な個所では その都度
「内点を持たない閉集合」
という言葉に置き換えた。
(引用終り)
つづく >>14 つづき
スレ49において、PDFから、証明をアスキー化して、その全文を貼った
（文字化けと誤記はご容赦。読みにくいだろうが、そう思ったら右のURLのPDFを嫁め。（＾＾ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明 ）
スレ49 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/178-186
つづく >>15 つづき
この話を理解するためには、ディリクレ関数、トマエ関数、The modified ruler function などの病的関数の知識が必要だ
そのための参考が下記
（参考）
http://nygsuken.webcrow.jp/article/8.html
病的な関数とは? 西大和学園 数学研究部 2016-04-10
＜The modified ruler function のまとめサイト下記＞
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910 （>>35より）
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007
あと、これ（下記２つのPDF）くらいは、読まないと
スレ49 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/81 より
http://www.unirioja.es/cu/jvarona/downloads/Differentiability-DA-Roth.pdf
DIFFERENTIABILITY OF A PATHOLOGICAL FUNCTION, DIOPHANTINE APPROXIMATION, AND A REFORMULATION OF THE THUE-SIEGEL-ROTH THEOREM JUAN LUIS VARONA 2009
This paper has been published in Gazette of the Australian Mathematical Society, Volume 36, Number 5, November 2009, pp. 353{361.
スレ49 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/366 より
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535. >>13
以前書いていた
>ベールの第一類集合R－Bfについて、１）R中稠密でない場合、２）R中稠密な場合、に、二分できる。
>１）のR中稠密でない場合は、定理1.7の命題は「 P∧Q → Q 」なので、証明可
>２）のR中稠密な場合は、定理1.7の命題は「 P∧ notQ → Q 」なので、証明不可能
>つまり、２）のR中稠密な場合においては、命題レベルで矛盾を含んでいるから、証明不可能
の2)の認識は間違いであることは飲み込めたでしょうか？
それを踏まえた上での話になりますが
現在あなたは定理を
P'∧(Q'1∨Q'2)->Q
すなわち
(P'∧Q'1->Q)∧(P'∧Q'2->Q)
と場合分けし
Q'2が￢Qを含意する
とは
Q'2->￢Qが真
という意味で使っているのですね？
そして現在のあなたの主張は
``Q'2->￢Q が真である場合に P'∧Q'2->Q は真ではない''
ということでしょうか？ "削除依頼を出しました"
ID:MLzjt4SHさんに賛成です（＾＾
”息をするように間違言えるゴミクズ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。”
ID:hREHM7MHさんに賛成です（＾＾ >>18
「ぷふ」さん、どうもスレ主です。
>>２）のR中稠密な場合は、定理1.7の命題は「 P∧ notQ → Q 」なので、証明不可能
>>つまり、２）のR中稠密な場合においては、命題レベルで矛盾を含んでいるから、証明不可能
>の2)の認識は間違いであることは飲み込めたでしょうか？
いいえ。なお、ここは後で詳しく説明します
>Q'2->￢Qが真
>という意味で使っているのですね？
はい
>そして現在のあなたの主張は
>``Q'2->￢Q が真である場合に P'∧Q'2->Q は真ではない''
>ということでしょうか？
はい。Q'2→￢Qが導けますから、P'∧Q'2 → P'∧￢Q → Q となります。
P'∧￢Q → Q で、条件（仮定）命題が真のとき、結論命題Qは偽です。
（下記の真理値表からの引用ご参照）
追伸
先の「2)の認識」は、直上の真理値表による説明の通りです。詳しくは後で。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9C%9F%E7%90%86%E5%80%A4%E8%A1%A8
真理値表
(抜粋)
例1：命題Pの否定「 {\displaystyle \lnot P} \lnot P」の場合、以下のような真理値表になる。
命題 P ￢P
真 偽
偽 真
(引用終わり) >>21 自己レス
>なお、ここは後で詳しく説明します
では、改めて詳しく説明の書き直しを
前スレ >>568より（一部修正）
（前スレ>>195より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終り)
定理1.7：＜言い換え版＞（前スレ>>523より）
f：R → R は、R－B_f が第一類集合であるとする。
このとき、f はある開区間の上でリプシッツ連続である。
(引用終り)
定理1.7のさらに言い換え版1 (前スレ>>577)
Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする
R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。
この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。（この部分は、”ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”と書ける）
定理1.7のさらに言い換え版2 (前スレ>>591)
＜条件（仮定）＞
・命題P’：「Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする」
・命題Q’：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。」
＜結論＞
・命題Q：「この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」（この部分は、”ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”と書ける）
（なお、当然ながら、R－Bfは性質NGを持つ。NGは、Gの否定である。当然GとNGは、相反する）
つづく >>22 つづき
ベールの第一類集合R－Bfについて、
１）R中稠密でない場合、
２）R中稠密な場合
に、二分できる。
１）の場合について、
命題Q’1：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。」
２）の場合について、
命題Q’2：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
命題Q‘＝Q’1∨Q’2 と書ける（場合分けできる）と言っているだけの話で、なんら作為的に￢Qを付加して、「P∧￢Q→Q」を主張しているわけではない
但し、命題Q’2の場合は、（R－Bfが稠密で）暗に”￢Q”（Bfの開区間の否定）を含意していて、みなさん、それを看過しているよと
つづく >>23 つづき
場合分けの２）の場合は
P’∧Q’2→Q
で、Q’2（稠密）が、”￢Q”（開区間の存在否定）を含意しているよと。
こうやって、性質Gを抽象化することで、数理の真相がよく分る
つまり、”性質G”は開集合が取れるかどうかには殆ど影響せず、”補集合 R－BfがR中で稠密か否かが決定的”だということ”を再度強調しておく
つづく >>24 つづき
（前スレ >>578より（一部修正））具体例で考えてみよう
ここで、ある性質Gで： f：R → R BfをRの部分集合で、Bf上関数ｆが連続とする
R－Bf上では、ｆは不連続
R－Bfが、ベールの第一類集合で、R中稠密である。このような関数の例として、有名なトマエ関数およびその類似関数がある
上記２）の場合のトマエ関数およびその類似関数においては、無理数で連続だが、ｆが連続な”開区間（a,b）⊂Bf”は、決して存在しない
だから、この場合、”定理1.7のさらに言い換え版”で性質Gを、連続 or 不連続に取った場合、トマエ関数およびその類似関数が反例になる
さて、ある性質G： f：R → R BfをRの部分集合で、Bf上ｆが不連続として
R－Bf上では、ｆは連続で
R－Bfが、ベールの第一類集合で、R中稠密であるこのような関数。
このような関数は存在しない。つまり、空集合。
∵函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（Gδ-集合）であり、また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）であるから。（後述wikipediaより）
但し、このような場合は、例外である。
多くの場合は、”補集合 R－BfがR中で稠密“な場合が可能であり、補集合 R－Bfは空集合ではない。
（なお、おそらく、リプシッツ連続とリプシッツ不連続についても、Gδ－Fσ理論が当てはまるように思うが、寡聞にして、そのような記述はまだ知らない。
がもし、これが正しければ、連続・不連続と同じように、リプシッツ不連続点で稠密で可算無限個の存在が可能ということになる。）
つづく >>25 つづき
一方で、１）の場合については、補集合が「R中稠密でない」から、“Q”（開集合の存在）を含意しているから、証明の必要もない。
（例えば、そのような例として、ディリクレ関数の変形で、１）整数点のみ1で、他は0の関数、２）有理数p/q で分母がある値m以下（q < m）でのみ1で、他は0の関数、３）区間[0,1] などなど、いろいろ考えられる。）
つづく >>26 つづき
これを纏めると
１）の場合については、補集合が「R中稠密でない」から、“Q”（開集合の存在）を含意しているから、証明の必要もない、トリビアな主張
２）の場合については、一般には、（例えば性質Gが“ｆが連続”）とした場合、稠密な補集合が存在し反例となるか、例外的に補集合が空集合になる。
（反例は、１例をあげればいいが、「例外的に補集合が空集合になる」ことはきちんと別に証明が必要だ。）
３）だから、定理1.7のような、「補集合がベールの第一類集合→”ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”」という形の定理は、まっとうな数学の定理として、相応しくない。
これを、もとの定理1.7について見るに、
性質G“Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”の補集合R－Bfが、（稠密で）開区間の反例として存在しうるのか、あるいは、「例外的に補集合が空集合になる」のか？ そこは分らない。
（>>25で述べたように、Gδ－Fσ理論が当てはまるなら、反例として存在しうるように思う。）
しかし、上記のような事情で、１）の場合については、証明の必要もないトリビアな主張だから、２）の場合だけをきちんと取り上げて、補集合R－Bfが、（稠密で）開区間の反例として存在しうるのか、あるいは、「例外的に補集合が空集合になる」のかだけを、定理として扱うべき。
２）の場合を、”ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”という形で扱うべきではない。
元の定理1.7では
２）の場合は、「P’∧Q’2（補集合が稠密）→P’∧Q’2（開区間（a,b）⊂Bfが存在しない）→Q（ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する）」だ
だから、仮定命題がT（真）のとき、必ず結論命題がF（偽）になる。
命題全体が真になるためには、仮定命題がF（偽）で無ければならない。
そういう命題は、まっとうな数学の命題としては、相応しくない。
つづく >>27 つづき
あと、ここ
スレ50 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1516499937/602
602 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2018/02/08(木) 00:17:44.89 ID:c/0Ko5CH
(抜粋)
証明は既に終わっている。
定理1.7 により、定理1.7.2 は仮定が偽の命題であることが即座に従うｗ
(引用終わり)
その論法は、証明論としては、おかしい。
定理1.7.2は、定理1.7の場合分けした中の一つの場合だから、定理1.7が真とすれば、普通は条件（仮定）命題は“真”だ。
その場合分けの定理1.7.2の仮定も真で無ければならない。つまり、証明の場合分けは、仮定命題を細分化したものだからだ。
「定理1.7の仮定 ＝定理1.7.1の仮定 ∨ 定理1.7.2仮定」 なのだから、定理1.7の仮定が真で定理1.7.2の仮定が偽はありえない。（論理学の基本）
なお、命題「P’∧Q’2（開区間（a,b）⊂Bfが存在しない）→Q（ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する）」は、数学の定理として証明できない。
これは、自明だと思うので、詳細は省略する。
つづく >>26 訂正
３）区間[0,1] などなど、いろいろ考えられる。）
↓
３）区間[0,1] のみがディリクレ関数で他の区間はｆ＝０、などなど、いろいろ考えられる。）
ああ、”息をするように間違言える”(>>20より)が当たっているな～（＾＾； >>28 訂正
「定理1.7の仮定 ＝定理1.7.1の仮定 ∨ 定理1.7.2仮定」 なのだから、定理1.7の仮定が真で定理1.7.2の仮定が偽はありえない。（論理学の基本）
↓
「定理1.7の仮定 ＝定理1.7.1の仮定 ∪ 定理1.7.2仮定」 なのだから、定理1.7の仮定命題全体が真で、定理1.7.2の仮定が偽はありえない。（論理学の基本）
ああ、”息をするように間違言える”(>>20より)が当たっているな～（＾＾； >>30 訂正の訂正
ああ、これも考えると、区間[0,1] が全部不連続区間になるので、
”内点を持たない閉集合”に反するね
なので、面倒だから、３）の場合は取り下げます
ああ、”息をするように間違言える”(>>20より)が当たっているな～（＾＾； ヨーイ、ドン！！
三(卍^o^)卍ﾄﾞｩﾙﾄﾞｩﾙ
三(卍^o^)卍ﾄﾞｩﾙﾄﾞｩﾙ
三(卍^o^)卍ﾄﾞｩﾙﾄﾞｩﾙ
三(卍^o^)卍ﾄﾞｩﾙﾄﾞｩﾙ
三(卍^o^)卍ﾄﾞｩﾙﾄﾞｩﾙ
三(卍^o^)卍ﾄﾞｩﾙﾄﾞｩﾙ
三(卍^o^)卍ﾄﾞｩﾙﾄﾞｩﾙ
三(卍^o^)卍ﾄﾞｩﾙﾄﾞｩﾙ >>32 補足
まあ、言いたかったことは・・
>>26で１）の場合については、補集合が「R中稠密でない」から、
ディリクレ関数の変形で、基本は無理数点でｆ＝０で、有理数の適当に好きな数を選んで、稠密にならないようにｆ＝１にして、他の有理数をｆ＝０にしておく。
選んだ数と数の隙間が、性質G“Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”を満たす
（∵その隙間ではｆ≡０だから、lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜≡０ < +∞ は、明白で証明の必要もない ）
逆に、「証明しました」というのも、おかしな話ということになる
上記の様に、人為的に任意の区間に不連続点を選べるから、言えるのは「不連続点と不連続点の隙間の区間が連続だ！」ということだけだし、それで尽くされている
と >>21
>>>２）のR中稠密な場合は、定理1.7の命題は「 P∧ notQ → Q 」なので、証明不可能
>>>つまり、２）のR中稠密な場合においては、命題レベルで矛盾を含んでいるから、証明不可能
>>の2)の認識は間違いであることは飲み込めたでしょうか？
>
>いいえ。なお、ここは後で詳しく説明します
P∧￢Q->Q
と
P->Q
は同値な命題でありここを飲み込めていないのなら後の分析にコメントを付けても仕方ありません
（同値であるのは背理法によると理解することが出来ます） まず、性質G とかいうゴミのような書き方について整理しておく。
＞命題P’：「Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする」
＞命題Q：「R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」
この2行から分かるように、「性質G」という言葉は「集合」を修飾する言葉になっている
(厳密には、R の部分集合を修飾する言葉になっている)。たとえば、
「 B_f は性質Gを持つ」「 R－B_f は性質Gを持たない」「ある開区間は性質Gを持つ」
などなど。従って、性質Gは R の部分集合 X を与えるごとに決まる命題だと考えるべきであり、
「性質G」ではなく「命題 G(X) 」という書き方をすべきである。すなわち、
「 G(B_f) は真である 」「 G(R－B_f) は偽である 」「ある開区間(a,b)に対してG((a,b))は真である」
といった書き方をすべきである。この場合、命題P',Q',Q は次のように書ける。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
G(X)： R の部分集合 X に対して定義された、何らかの命題
命題P’：「Bf :Rの部分集合で、G(B_f)は真である」
命題Q’：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。」
命題Q：「R中にある開区間(a,b)の上で、G((a,b))は真である」
P ＝ P'∧Q'
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― では、命題 G(X) として何を採用すれば、定理1.7の正しい言い換えになるのか？既に見たように、
G(X)： f は X の上でリプシッツ連続である
とした場合、――あるいは、同じことだが、
G(X)：∃L＞0, ∀x,y∈X [ ｜f(x)－f(y)｜≦ L｜x－y｜]
とした場合、
命題Q：「R中にある開区間(a,b)の上で、G((a,b))は真である」
は命題Qa(前スレ>>583)に一致する。しかし、
命題P’：「Bf :Rの部分集合で、G(B_f)は真である」
がおかしなことになる。なぜなら、
命題P’：「Bf :Rの部分集合で、fはB_fの上でリプシッツ連続である」
となってしまうからだ。定理1.7では、このような仮定は置いていない。また、一般論としても、
fはB_fの上で必ずしもリプシッツ連続にはならない。従って、G(X) を上記のようにしてしまうと、
定理1.7 の言い換えにはならない。では、どんな G(X) にすれば、定理1.7 の正しい言い換えになるのか？
俺は知らないｗ
スレ主とかいうゴミクズが勝手に導入しただけだから、真相はスレ主のみが知っているｗ >>25
＞ここで、ある性質Gで： f：R → R BfをRの部分集合で、Bf上関数ｆが連続とする
この部分を G(X) という書き方で書き直すと、次の2種類に解釈できる。
・ G(X)： Bf 上関数ｆが連続
・ G(X)： X 上関数ｆが連続
それぞれの場合において、
命題Q：「R中にある開区間(a,b)の上で、G((a,b))は真である」
という命題は次のようになる。
・ 命題Q：「R中にある開区間(a,b)の上で、Bf上関数ｆは連続である」
・ 命題Q：「R中にある開区間(a,b)の上で、(a,b)上関数ｆは連続である」
どちらのケースの場合も、定理1.7 とは別物になっているので、
定理1.7 の正しい言い換えになっていないｗｗｗ
定理1.7 の言い換えをしたいわけではなく、単に G(X) の一例を出しただけであるようにも読めるが、
そんなことをするよりも前に、まずは定理1.7の正しい言い換えが得られるような正しい G(X) を提示せよ。 >>25
ちなみに、
＞R－Bfが、ベールの第一類集合で、R中稠密である。このような関数の例として、有名なトマエ関数およびその類似関数がある
この部分は間違っている。トマエ関数及びその類似品は、R－B_f が第一類集合になってないからだ。
俺の言いつけどおり、P∧ notQ や P’∧Q’2 が真になるような f の具体例を
1つ挙げようとしている姿勢は認めてやるが、トマエ関数やその類似品では、
そのような f の具体例になってない。
ゆえに、お前のロジックは破綻したままである。 >>25
＞一方で、１）の場合については、補集合が「R中稠密でない」から、
＞“Q”（開集合の存在）を含意しているから、証明の必要もない。
間違っている。確かに、R－B_f が R の中で稠密でないという性質からは
命題 Qa が導出できるが、その証明は全く自明ではなく、定理1.7 と
ほとんど同じことをしなければならないのである。お前は
「稠密でないケースでは証明の必要がなく、自明に Qa が従う」
と勘違いしている。稠密でないケースでさえも、証明が難しいのであり、
そのときの証明法は定理1.7とほとんど同じなのである。
＞２）の場合については、一般には、（例えば性質Gが“ｆが連続”）とした場合、
＞稠密な補集合が存在し反例となるか、例外的に補集合が空集合になる。
＞（反例は、１例をあげればいいが、「例外的に補集合が空集合になる」ことはきちんと別に証明が必要だ。）
定理1.7 により、「例外的に補集合が空集合になる」ことは自動的に証明されているｗ >>25
＞３）だから、定理1.7のような、「補集合がベールの第一類集合→”ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”」
＞という形の定理は、まっとうな数学の定理として、相応しくない。
意味不明。命題が命題レベルで矛盾しているということと、その命題が
「まっとうな数学の定理として相応しい形状になっているか」ということとは
全く違う話である。お前は当初、「命題レベルで矛盾している」と主張していたのである。
にも関わらず、今回は
「まっとうな数学の定理として相応しい形状になっていない」
などという印象論に終始している。印象論で定理1.7を批判したところで、
それは定理1.7が「命題として矛盾している」ことを意味しないので、
結局お前は、定理1.7について何も批判できてないことになる。 あるいは、次のように言ってもよい。
お前が定理1.7を「ふさわしくない」と思う理由は、R－B_f で場合分けしたときに、
(2)のケースが「 P∧ notQ → Q 」という形をしているからである。
そのことだけを理由に、定理1.7を「ふさわしくない」と言っているのである。
ならば、同じことを定理Cに適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理C：
f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。
スレ主：
前スレで導入した X_f を使って、R－X_f が R の中で稠密か否かで場合分けすると、
(1) f：R → R が原点で微分可能かつ R－X_f が R の中で稠密ではないならば、f は原点で連続である。
(2) f：R → R が原点で微分可能かつ R－X_f が R の中で稠密ならば、f は原点で連続である。
という2種類の命題に場合分けされる。しかし、R－X_f が R の中で稠密なら
f は原点で不連続なので、(2) は P∧ notQ → Q の形になってしまい、
まっとうな定理としての形になっていない。ゆえに、もともとの定理Cは
まっとうな数学の定理として、相応しくない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
↑これがお前の言っていることである。これは一体どういうことだね？ >>28
＞その論法は、証明論としては、おかしい。
＞定理1.7.2は、定理1.7の場合分けした中の一つの場合だから、定理1.7が真とすれば、普通は条件（仮定）命題は“真”だ。
＞その場合分けの定理1.7.2の仮定も真で無ければならない。つまり、証明の場合分けは、仮定命題を細分化したものだからだ。
＞「定理1.7の仮定 ＝定理1.7.1の仮定 ∨ 定理1.7.2仮定」 なのだから、定理1.7の仮定が真で定理1.7.2の
＞仮定が偽はありえない。（論理学の基本）
間違っている。お前のその屁理屈を定理Cに適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理C：
f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。
定理C1：
f：R → R が原点で微分可能かつ R－X_f が R の中で稠密ではないならば、f は原点で連続である。
定理C2：
f：R → R が原点で微分可能かつ R－X_f が R の中で稠密ならば、f は原点で連続である。
スレ主：
定理C2 は、定理Cの場合分けした中の1つの場合だから、定理Cが真とすれば、
普通は条件（仮定）命題は“真”だ。 その場合分けの定理C2の仮定も真で無ければならない。
つまり、証明の場合分けは、仮定命題を細分化したものだからだ。
「定理Cの仮定 ＝定理C1の仮定 ∨ 定理C2仮定」 なのだから、定理Cの仮定が真で
定理C2の仮定が偽はありえない。（論理学の基本）
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
↑このように、お前にとっては、「定理C2の仮定が偽はありえない」という。
これは一体どういうことだね？ >>28
＞なお、命題「P’∧Q’2（開区間（a,b）⊂Bfが存在しない）→Q（ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する）」は、
＞数学の定理として証明できない。これは、自明だと思うので、詳細は省略する。
間違っている。証明可能である。仮定が偽であることを示せば証明したことになるからだ。もしくは、
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/26-30
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/47-48
の方針でも証明可能である。
ちなみに、「仮定が偽であることを証明する」という方針の場合には、
どのように証明が進むのかというと、
「定理1.7により、仮定 P’∧Q’2 は偽である」
と書くだけ。これで証明が終わる。 きちんと読んでいなかったレスがあるので追記する。
>>27
＞これを、もとの定理1.7について見るに、
＞性質G“Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”の補集合R－Bfが、
＞（稠密で）開区間の反例として存在しうるのか、あるいは、「例外的に補集合が空集合になる」のか？ そこは分らない。
＞（>>25で述べたように、Gδ－Fσ理論が当てはまるなら、反例として存在しうるように思う。）
お前がそこで言っていることは結局、
「定理1.7が命題として真なのか偽なのかは現状のスレ主には分からない」
ということである。どうやらこのバカタレは、当初の主張である「命題レベルで矛盾」を
ようやく取り下げたらしい。 >>27
＞しかし、上記のような事情で、１）の場合については、証明の必要もないトリビアな主張だから、
＞２）の場合だけをきちんと取り上げて、補集合R－Bfが、（稠密で）開区間の反例として存在しうるのか、
＞あるいは、「例外的に補集合が空集合になる」のかだけを、定理として扱うべき。
＞２）の場合を、”ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”という形で扱うべきではない。
ヘタクソな場合分けをするからそういう事態に陥るのであり、場合分けせずに
ダイレクトに証明すればいいだけの話である。そして、それを行っているのが定理1.7である。
あるいは、お前のその屁理屈を定理Cに適用すると、次のように言えてしまう。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理C：
f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。
スレ主：
f が原点で連続かどうかで場合分けすると、
(1) f：R → R が原点で微分可能かつ f が原点で連続ならば、f は原点で連続である。
(2) f：R → R が原点で微分可能かつ f が原点で不連続ならば、f は原点で連続である。
という2種類の命題に場合分けされる。(1)は証明の必要もないトリビアな主張だから、
(2)だけを取り上げて、「 f：R → R が原点で微分可能かつ f が原点で不連続 」という
関数 f が存在しうるのか否かを、定理として扱うべきである。
(2)の場合を「 f は原点で連続である」という形で扱うべきではない。
すなわち、定理C は、まっとうな数学の命題としては、相応しくない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
↑これがお前の言っていることである。スレ主にとって、定理Cはまっとうではないらしいｗ
これは一体どういうことだね？ >>27
＞元の定理1.7では
＞２）の場合は、「P’∧Q’2（補集合が稠密）→P’∧Q’2（開区間（a,b）⊂Bfが存在しない）→Q（ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する）」だ
＞だから、仮定命題がT（真）のとき、必ず結論命題がF（偽）になる。
＞命題全体が真になるためには、仮定命題がF（偽）で無ければならない。
＞そういう命題は、まっとうな数学の命題としては、相応しくない。
お前がヘタクソな場合分けをするからそういう事態に陥るだけ。
「 P → Q 」の形をした如何なる定理であっても、イジワルな場合分けをすることで、
(2)に相当する「まっとうでない命題」が出現できる。次のようにすればよい。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理：P → Q
スレ主：
上記の定理を証明したい。「 Q が成り立つ場合」「 ￢Q が成り立つ場合」で
場合分けすると、次のようになる。
(1) P∧Q → Q
(2) P∧￢Q → Q
(1)は証明の必要もないトリビアな主張だから、(2)だけを取り上げて、
仮定の「 P∧￢Q 」が真になりえるのか否かを、定理として扱うべきである。
(2)の場合を "P∧￢Q → Q" という形で扱うべきではない。
すなわち、上記の定理「 P → Q 」は、まっとうな数学の命題としては、相応しくない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
↑これがお前の言っていることである。
スレ主によれば、如何なる「 P → Q 」も、まっとうな数学の命題ではないらしいｗ
これは一体どういうことだね？ >>36
「ぷふ」さんですね
（引用）
「P∧￢Q->Q
と
P->Q
は同値な命題でありここを飲み込めていないのなら後の分析にコメントを付けても仕方ありません
（同値であるのは背理法によると理解することが出来ます）」
(引用終り)
>>18の「2)の認識は間違いであることは飲み込めたでしょうか？」は、それを言いたかったのか
その話は、P→Qという命題が成り立っているときに、外から￢Qを加えてP∧￢Q → Qとしても、元の命題P→Qを否定できないということなのでしょう？
それは分っていますよ
だが、いま問題にしているのは、
仮定命題Pを場合分けして、P ＝ P1∨P2 と書けるという単純な話です
（>>23より）
P1：R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。
P2：R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。
証明論における場合分けを否定されてもね
それを否定したら、教科書の何割かは書き直しでしょうね
以上 >>38-49
一杯書いて、ご苦労さん（＾＾
時間がないので、個別レスは後で
言いたいことは、>>50に尽きる
「いま問題にしているのは、
仮定命題Pを場合分けして、P ＝ P1∨P2 と書けるという単純な話です
（>>23より）
P1：R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。
P2：R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。
証明論における場合分けを否定されてもね
それを否定したら、教科書の何割かは書き直しでしょうね」
ってこと
以上 >>50
>その話は、P→Qという命題が成り立っているときに、外から￢Qを加えてP∧￢Q → Qとしても、元の命題P→Qを否定できないということなのでしょう？
>それは分っていますよ
それはよかった
ずっとそれを主張していて
証明を書いた人に指摘されていたのを理解していない風だったので
>だが、いま問題にしているのは、
>仮定命題Pを場合分けして、P ＝ P1∨P2 と書けるという単純な話です
また若干異なった主張になっていますが現在のあなたの主張は
``P2->￢Qが真であるときP1∨P2->Qは偽である''
ということでしょうか？ ビドュアル 面で 、色覚変異、快走、回想する数学も楽しいよ。 >>53
>仮定命題って何？
http://home.hiroshima-u.ac.jp/fujita/index-jap.html
藤田 聡 広島大学
http://home.hiroshima-u.ac.jp/fujita/Class/Kisoron/2009.html
計算機基礎論のページ（2009年度版）
http://home.hiroshima-u.ac.jp/fujita/Class/Kisoron/logic.pdf
命題論理 藤田聡 広島大学（2009年度版）
(抜粋)
P14
(d) 含意(implication)あるいは条件式
?いまp,qを命題とする
?p→qを「pならばq」であることを主張する言明であると定義する
?pを仮定(hypothesis)又は前提(premise)と呼び、qを結論(conclusion)または帰結(consequence)と呼ぶ
(引用終り) >>56
俺が聞いてるのは「仮定」じゃなく「仮定命題」ね ああ、今見ると>>21～32のレスで、職場で書いたレスが、コテハンとトリップを付け忘れているね
失礼しました。これ、全部私スレ主のです。
専用ブラウザで一度設定するとずっと入るが、新スレのときにしばしば最初忘れて書いていることがあるがご容赦 >>58
私が言っているのは、「仮定命題」：＝「仮定」（藤田聡） >>54
「ぷふ」さんですね
>ずっとそれを主張していて
>証明を書いた人に指摘されていたのを理解していない風だったので
それは失礼しました。私は、自分としては、最初から、条件を付け加えるつもりは無く、あくまで場合分けを主張していたつもりです。
例えば、スレ49 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/19 より下記
19 自分：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/28(木) 07:49:07.81 ID:IsA0R4yK
(抜粋)
第一類集合に、R中で稠密な場合と、稠密でない場合とあるとする。
場合分けが必要だろう？
補集合R-Bfが、R中で稠密な場合を仮定として置きながら、結論で”f は(a; b) 上でリプシッツ連続である”を導くのは、なんか変
(引用終り)
つづく >>61 つづき
>>仮定命題Pを場合分けして、P ＝ P1∨P2 と書けるという単純な話です
>また若干異なった主張になっていますが現在のあなたの主張は
>``P2->￢Qが真であるときP1∨P2->Qは偽である''
>ということでしょうか？
そう難しく考えて貰う必要はないと思います。単純な証明論の場合分けですから
「仮定命題Pを場合分けして、P ＝ P1∨P2 と書けるという単純な話です
（>>23より）
P1：R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。
P2：R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
なお、下記 命題論理 藤田聡 広島大学のPDFの”proof by cases”ご参照
http://home.hiroshima-u.ac.jp/fujita/Class/Kisoron/logic.pdf
命題論理 藤田聡 広島大学（2009年度版）
(抜粋)
＜証明手法＞
P85
proof by cases
(p１∨p２∨・・・∨pｎ)→q
を示すのに
(p１→q)∧(p２→q)∧・・・∧(pｎ→q)
を示す
(引用終り)
つづく >>62 つづき
>>22-23の記法に戻します
(抜粋)
定理1.7のさらに言い換え版2 (前スレ>>591)
＜条件（仮定）＞
・命題P’：「Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする」
・命題Q’：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。」
＜結論＞
・命題Q：「この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」（この部分は、”ある開区間（a,b）⊂Bfが存在する”と書ける）
（なお、当然ながら、R－Bfは性質NGを持つ。NGは、Gの否定である。当然GとNGは、相反する）
ベールの第一類集合R－Bfについて、
１）R中稠密でない場合、
２）R中稠密な場合
に、二分できる。
１）の場合について、
命題Q’1：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。」
２）の場合について、
命題Q’2：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
(引用終り)
２）の場合について、書き直すと
＜条件（仮定）＞
・命題P’：「Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする」
・命題Q’2：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
＜結論＞
・命題Q：「この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」
ここで、仮定命題のQ’2：”Bfの補集合が、ベールの第一類集合で、R中稠密である”ことから、すでに「R中に、性質Gを持つ開区間は取れない」が、含意されています
なので、「P’∧Q’2 → ￢Q」がもっとも素直な結論。逆に「P’∧Q’2 → Q」を、証明することは、”無理筋”だという主張です。
以上 「：＝」
↑ネットで時々見かけるこの記号って何なんだろう？ >>60
＞私が言っているのは、「仮定命題」：＝「仮定」（藤田聡）
「仮定命題」は「命題」や否や？ >>61
＞第一類集合に、R中で稠密な場合と、稠密でない場合とあるとする。
＞場合分けが必要だろう？
＞補集合R-Bfが、R中で稠密な場合を仮定として置きながら、結論で”f は(a; b) 上でリプシッツ連続である”を導くのは、なんか変
その屁理屈は過去スレで既に論破しているので通用しない。本当にゴミクズだなお前。いい加減にしろや。
過去スレの繰り返しになるが、改めて指摘しよう。
お前の その屁理屈を定理Cに適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理C：
f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。
スレ主：
f が原点で連続な場合と、そうでない場合とがある。
場合分けが必要だろ？
f が原点で不連続な場合を仮定として置きながら、結論で " f は連続 " を道部くのは、なんか変
ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形ではない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
↑これがお前の言っていることだよ。これは一体どういうことだね？ >>61
あるいは、次のようにも言える。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理C：
f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。
スレ主：
過去スレで導入した X_f を使ってみる。
R－X_f がR中で稠密なら、f は原点で不連続になることに注意せよ。
さて、R－X_f がR中で稠密な場合と、稠密でない場合とがある。
場合分けが必要だろう？
補集合 R－X_f が、R中で稠密な場合を仮定として置きながら、結論で”f は原点で連続である”を導くのは、なんか変
ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形ではない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
↑これがお前の言っていることだよ。これは一体どういうことだね？ >>63
＞ここで、仮定命題のQ’2：”Bfの補集合が、ベールの第一類集合で、R中稠密である”ことから、
＞すでに「R中に、性質Gを持つ開区間は取れない」が、含意されています
＞なので、「P’∧Q’2 → ￢Q」がもっとも素直な結論。逆に「P’∧Q’2 → Q」を、証明することは、”無理筋”だという主張です。
全く無理筋ではない。仮定が偽であることを証明すればいいだけ(>>46)。
あるいは、お前の屁理屈を定理Cに適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理C：
f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。
スレ主：
f が原点で連続な場合と、そうでない場合とがある。場合分けが必要だろ？
しかし、f が原点で不連続な場合は、
「 fが原点で微分可能 ∧ f は原点で不連続 → fは原点で不連続 」
がもっとも素直な結論。逆に
「 fが原点で微分可能 ∧ f は原点で不連続 → fは原点で連続 」
を証明することは "無理筋" である。
ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形ではない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
↑これがお前の言っていることだよ。これは一体どういうことだね？ くどいようだが、スレ主の屁理屈を一般の「 P → Q 」に適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理：P → Q
スレ主：
上記の定理を証明したい。
Q が成り立つ場合と、￢Q が成り立つ場合とがある。
場合分けが必要だろ？
しかし、￢Q が成り立つ場合を仮定として置きながら、結論で「 Q 」を導くのは、なんか変
ゆえに、上記の定理「 P → Q 」は、数学の命題としてふさわしい形ではない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
あるいは、次のようにもなる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理：P → Q
スレ主：
上記の定理を証明したい。
Q が成り立つ場合と、￢Q が成り立つ場合とがある。
場合分けが必要だろ？
しかし、￢Q が成り立つ場合は、「 P∧￢Q → ￢Q 」がもっとも素直な結論。
逆に「 P∧￢Q → Q 」を証明することは "無理筋" である。
ゆえに、上記の定理「 P → Q 」は、数学の命題としてふさわしい形ではない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
↑これがお前の言っていることだよ。これは一体どういうことだね？ >>71
＞「仮定命題」⊂「命題」
命題の定義を述べよ >>72 つづき
>>42
>定理1.7 により、「例外的に補集合が空集合になる」ことは自動的に証明されているｗ
それは言えないだろう？
>>63 に書いたように、
”仮定命題のQ’2：”Bfの補集合が、ベールの第一類集合で、R中稠密である”ことから、すでに「R中に、性質Gを持つ開区間は取れない」が、含意されています
なので、「P’∧Q’2 → ￢Q」がもっとも素直な結論。逆に「P’∧Q’2 → Q」を、証明することは、”無理筋”だという主張です。”
なお、仮定が偽な命題は、論理学としは成り立っても、それを教科書や論文に書いては、話がおかしい
前スレ >>562 桂田祐史先生 数理リテラシー 例1.6 ”「1 + 1 = 3 → √2は有理数」は真。”などと書かれてもね～
「1 + 1 = 3 → 偽」なら数学としては分る。まあ、文学表現では「二人が力を合わせれば、1 + 1 = 3 だ」などというかもしれませんがね
なお、”空集合”について
前提を実数の範囲に限定しているなら、「x^2 = m で、x = ±√m 」は正しくない命題。（mの正負に応じ、場合分けすべき）
一方、「x^2 = m で m が負ならば、実数解は存在しない（空集合）」は、正しい命題。
なので、”空集合”を言いたいなら、場合分け命題できちんと証明すべき
＜参考＞
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/
桂田祐史の講義のサポート・ページ
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/literacy-2017/logic.pdf
数理リテラシー (2017年度) 講義ノート「Part 1 論理」
(抜粋)
P11
例1.6 「1 + 1 = 3 → √2は有理数」は真。
(引用終り)
つづく >>74 つづき
>>43-44
ここは、上記 桂田祐史先生 ”例1.6 「1 + 1 = 3 → √2は有理数」は真”をご参照
こんな命題を、それが真だからと、論文や教科書に載せる人はいない
つづく >>75 つづき
>>45 & >>67-68
その定理Cは、的外れ
私が言っていることは、>>62の命題論理 藤田聡 広島大学
(抜粋)
＜証明手法＞
P85
proof by cases
(p１∨p２∨・・・∨pｎ)→q
を示すのに
(p１→q)∧(p２→q)∧・・・∧(pｎ→q)
を示す
(引用終り)
ってこと。定理Cは、場合分けとは違う
つづく >>76 つづき
>>46
>間違っている。証明可能である。仮定が偽であることを示せば証明したことになるからだ。
ここは、上記 >>74 ”「1 + 1 = 3 → √2は有理数」は真。”ご参照
>「定理1.7により、仮定 P’∧Q’2 は偽である」
>と書くだけ。これで証明が終わる。
ここは、上記 >>76 場合分けご参照。
なお、証明の場合分けに対し、その論法は典型的な循環論法だろう
つづく >>77 つづき
>>47
>「定理1.7が命題として真なのか偽なのかは現状のスレ主には分からない」
>ということである。どうやらこのバカタレは、当初の主張である「命題レベルで矛盾」を
>ようやく取り下げたらしい。
違うよ。定理1.7は、数学の命題として、適切で無いという主張は取り下げていないよ
これと、”（稠密で）開区間の反例として存在しうるのか、あるいは、「例外的に補集合が空集合になる」のか？ そこは分らない。”という主張とは別物だよ
（上述の通り）
つづく >>78 つづき
>>48-49 & >>69
その定理Cの例示は、証明論の場合分けを曲解しているだけのことだろ
上記>>62の命題論理 藤田聡 広島大学 ＜証明手法＞ P85 proof by cases をご参照
以上 >>73
>＞「仮定命題」⊂「命題」
>命題の定義を述べよ
>>56より
http://home.hiroshima-u.ac.jp/fujita/Class/Kisoron/logic.pdf
命題論理 藤田聡 広島大学（2009年度版）
(抜粋)
P14
(d) 含意(implication)あるいは条件式
いまp,qを命題とする
p→qを「pならばq」であることを主張する言明であると定義する
pを仮定(hypothesis)又は前提(premise)と呼び、qを結論(conclusion)または帰結(consequence)と呼ぶ
(引用終り)
以上 >>72
＞それは言えないだろう？
言える。定理1.7 により、R－B_f が第一類集合なら、f はある開区間の上でリプシッツ連続なので、
「 R－B_f が第一類集合かつ R－B_f はRの中で稠密 」
という性質を満たす f は存在しないことになる。すなわち、P’∧Q’は偽である。
ゆえに、「 P’∧Q’→ Q 」は真である。
無理筋でも何でもない。お前がバカなだけ。
>>76
＞定理Cは、場合分けとは違う
・ fが原点で連続である場合と、そうでない場合とがある。 場 合 分 け が 必 要 だ ろ ？
・ R－X_f がR中で稠密である場合と、そうでない場合とがある。 場 合 分 け が 必 要 だ ろ ？
前者のやり方で場合分けした場合、f が原点で不連続な場合に結論で "fは連続" を導くのは、なんか変。
後者のやり方で場合分けした場合、R－X_f がR中で稠密な場合に結論で "fは連続" を導くのは、なんか変。
ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形をしていない。
これは一体どういうことだね？ >>77
＞>「定理1.7により、仮定 P’∧Q’2 は偽である」
＞>と書くだけ。これで証明が終わる。
＞ここは、上記 >>76 場合分けご参照。
＞なお、証明の場合分けに対し、その論法は典型的な循環論法だろう
それが循環論法に見えるのなら、お前にとって、
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理C2：
f が原点で微分可能であり、f が原点で不連続ならば、f は原点で連続である
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
という定理は一体どうやって証明するつもりだね？
この定理C2 は、仮定が偽の命題であるから、仮定が偽であることを示せば証明が終わるわけだが、
そのためにお前は、いったいどのような論法を使って仮定が偽であることを示すつもりだね？
普通の人間は、「定理C により、仮定は偽である」と書けば終わりだが、お前にとってこれは循環論法なんだろ？
だったら、いったいどのような論法を使って仮定が偽であることを示すつもりだね？ >>79
＞その定理Cの例示は、証明論の場合分けを曲解しているだけのことだろ
・ 定理C について、fが原点で連続である場合と、そうでない場合とがある。 場 合 分 け が 必 要 だ ろ ？
・ 定理C について、R－X_f がR中で稠密である場合と、そうでない場合とがある。 場 合 分 け が 必 要 だ ろ ？
↑これが曲解に見えるのなら、お前が言うところの
・ 定理1.7 について、R－B_f がR中で稠密である場合と、そうでない場合とがある。 場 合 分 け が 必 要 だ ろ ？
↑これは一体どうして曲解ではないのかね？書き並べてみようか？
・ 定理C について、R－X_f がR中で稠密である場合と、そうでない場合とがある。 場 合 分 け が 必 要 だ ろ ？
・ 定理1.7 について、R－B_f がR中で稠密である場合と、そうでない場合とがある。 場 合 分 け が 必 要 だ ろ ？
↑両者の違いは一体どこにあるのだね？
スレ主によれば、定理C の場合は曲解なのに、定理1.7 の場合は曲解ではないという。バカじゃねーの。 同じことの繰り返しになるが、追記する。
>>50
＞だが、いま問題にしているのは、
＞仮定命題Pを場合分けして、P ＝ P1∨P2 と書けるという単純な話です
定理C の場合にも、
―――――――――――――――――――――――
P： f は原点で微分可能
Q： f は原点で連続
P1：f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P2：f は原点で微分可能かつfは原点で不連続
―――――――――――――――――――――――
と置けば、P ＝ P1∨P2 と書けるという単純な話である。そして、
「 P2 の場合に「 P2 → Q 」を導くのは、なんか変。ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形ではない」
と言っているのがお前である。お前はここで「そのような場合分けは曲解である」などと批判しているが、
それは単なる印象論であり、「そのような場合分けは数学的に矛盾している」と言えているわけではないので、
何の批判にもなっていない。それとも、お前にとって P ＝ P1∨P2 は成り立たないのか？
つまり、お前にとって P ＝ P1∨P2 は数学的に矛盾しているのか？ >>62
>そう難しく考えて貰う必要はないと思います。単純な証明論の場合分けですから
いえ
別に難しく考えているわけではなく
あなたの主張のどこが間違いかを指摘するかに必要なことをお尋ねしているだけのことです あなたを強烈に批判している件の証明を書いた人は
正鵠を射る指摘しかしていませんよ >>50
＞P1：R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。
＞P2：R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。
＞
＞証明論における場合分けを否定されてもね
＞それを否定したら、教科書の何割かは書き直しでしょうね
お前のその言い分は、定理C にも完全に適用できるｗ
―――――――――――――――――――――――――――
P1：f は原点で微分可能で、fは原点で連続である、とする
P2：f は原点で微分可能で、fは原点で連続でない、とする
―――――――――――――――――――――――――――
お前は、このような場合分けを「曲解である」と言って否定しているが、
証明論における場合分けを否定されてもねｗ
それを否定したら、教科書の何割かは書き直しでしょうねｗ
実際、上記のように作った P1, P2 に対して、P＝P1∨P2 は確実に成り立ってるからね。それを否定されてもねｗ
書き並べてみようか？
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
P1：R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。
P2：R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。
P1：f は原点で微分可能で、fは原点で連続である、とする
P2：f は原点で微分可能で、fは原点で連続でない、とする
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
どちらのケースでも、「仮定命題Pを場合分けして、P ＝ P1∨P2 と書けるという単純な話です」
「証明論における場合分けを否定されてもね」
「それを否定したら、教科書の何割かは書き直しでしょうね 」 >>61
>それは失礼しました。私は、自分としては、最初から、条件を付け加えるつもりは無く、あくまで場合分けを主張していたつもりです。
場合分けという手法も
単に仮定に条件を付け加えて分類しているだけのことです
P->Qの仮定にP∧￢Q->Qと条件を付け加えてもP->Qと同値であって
付け加える価値はないし付け加えても何の問題もないということを
件の証明を書いた人は再三指摘していたわけです >>90
君は黙っていた方が他の人々同様に頭の悪いことを露見せずに済むと思いますよ >>88
> あなたを強烈に批判している件の証明を書いた人は
> 正鵠を射る指摘しかしていませんよ
ちなみにその人の意見は オマエ＝ぷ の結論『時枝記事の確率は0』に真っ向から対立してるよｗ 時枝不成立なんて未だに考えてるアホがいるんだなｗ
命題の定義すら知らないサル以外にもｗ >>92
>>80が定義しているのはp→q（不完全だが） >>96
>>56より
http://home.hiroshima-u.ac.jp/fujita/Class/Kisoron/logic.pdf
命題論理 藤田聡 広島大学（2009年度版）
(抜粋)
P14
(d) 含意(implication)あるいは条件式
いまp,qを命題とする
p→qを「pならばq」であることを主張する言明であると定義する
pを仮定(hypothesis)又は前提(premise)と呼び、qを結論(conclusion)または帰結(consequence)と呼ぶ
(引用終り)
命題とは、p→qを「pならばq」であることを主張する言明であると定義したときの、PとQである >>97
＞命題とは、p→qを「pならばq」であることを主張する言明であると定義したときの、PとQである
零点 >>98
ありがとう
命題とは、p→qを「pならばq」であることを主張する言明であると定義したときの、PとQである
PとQを、命題と呼ぶのは、歴史の産物でしかない
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%91%BD%E9%A1%8C
命題
命題（めいだい、英語: proposition）とは、論理学において判断を言語で表したもので、真または偽という性質をもつもの[1][2]。また数学で、真偽の判断の対象となる文章または式。定理または問題のこと[3]。西周による訳語の一つ[4][5]。
厳密な意味での命題の存在は、「意味」の存在と同様に、疑問を投げかける哲学者もいる。また、「意味」の概念が許容される場合にあっても、その本質は何であるかということにはなお議論のあるところである。古い文献では、語の集まりあるいはその語の集まりの表す「意味」という意味で命題という術語を用いているかどうかということが、つねに十分に明らかにされているわけではなかった[6]。
現在では、論争や存在論的な含みを持つことを避けるため、ある解釈の下で（真か偽のいずれであるかという）真理の担い手となる記号列自体について述べる時は、「命題」という代わりに「文 (sentence)」という術語を用いる。ストローソンは「言明 ("statement")」 という術語を用いることを提唱した。
(引用終り) >>42 戻る
>＞一方で、１）の場合については、補集合が「R中稠密でない」から、
>＞“Q”（開集合の存在）を含意しているから、証明の必要もない。
>「稠密でないケースでは証明の必要がなく、自明に Qa が従う」
>と勘違いしている。稠密でないケースでさえも、証明が難しいのであり、
>そのときの証明法は定理1.7とほとんど同じなのである。
稠密集合：位相空間 X の部分集合 A が X において稠密であるとは、X の各元 x に対し、x の任意の近傍が A の元を少なくとも一つ含むことをいう。（下記）
なので、稠密でないケースでは、「X のある元 x に対し、x のある近傍で ”A の元を一つも含まないもの”が存在する」
その近傍内は、全てBf であり、性質G：＝“Bf ：={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”を満たす
この近傍内に、定理1.7のある開区間を取れば良い
QED
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A8%A0%E5%AF%86%E9%9B%86%E5%90%88
稠密集合
(抜粋)
厳密な定義
位相空間 X の部分集合 A が X において稠密であるとは、X の各元 x に対し、x の任意の近傍が A の元を少なくとも一つ含むことをいう。
(引用終り) >>81
”言える。定理1.7 により、R－B_f が第一類集合なら、f はある開区間の上でリプシッツ連続なので、
「 R－B_f が第一類集合かつ R－B_f はRの中で稠密 」
という性質を満たす f は存在しないことになる。すなわち、P’∧Q’は偽である。
ゆえに、「 P’∧Q’→ Q 」は真である。”
だから、それだったら、
１）稠密でない場合は自明に定理1.7が、成立（上記 >>100 ご参照）
２）稠密でない場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立（仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない）
ということですね >>82-83 & >>86 & >>89
>定理C2：
>f が原点で微分可能であり、f が原点で不連続ならば、f は原点で連続である
その定理C2は、的外れ
私が言っていることは、>>62の命題論理 藤田聡 広島大学のproof by cases（>>76）
f が原点で微分可能の場合分けには、
「f が原点で不連続ならば」は存在しない >>88
>あなたを強烈に批判している件の証明を書いた人は
>正鵠を射る指摘しかしていません
はい
回答は上記>>102 です >>91
>場合分けという手法も
>単に仮定に条件を付け加えて分類しているだけのことです
いいえ
R－Bf が R中で稠密か稠密でないかは、Bfが開区間を有するか否かに決定的に影響します
>>101 ご参照
以上 >>101 訂正
２）稠密でない場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立（仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない）
↓
２）稠密な場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立（仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない）
間違いが多いな。息をしたからかな（＾＾ >>99
何が言いたいのか意味不明
命題の定義（だけ）を述べよ、余計な付け足しは減点対象となることを注意しておく スレ主の成績表
本試験 零点
追試1回目 零点
追試2回目 零点
↑
コピペしてこのザマ >>100
＞その近傍内は、全てBf であり、性質G：＝“Bf ：={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”を満たす
＞この近傍内に、定理1.7のある開区間を取れば良い
＞QED
息をするように間違えるゴミクズ。問題外。
(a,b)⊂Bf なる開区間を取ったとする。
f が (a,b) 上でリプシッツ連続になるかどうかを考えたい。すなわち、
∃L＞0, ∀y,z∈(a,b) [ ｜f(z)－f(y)｜≦L｜z－y｜] … (1)
が成り立つかどうかを考えたい。まず、(a,b)⊂Bf であるから、任意の x∈(a,b) に対して
Af(x)＜＋∞ は言えている。よって、Af(x)＜N を満たす正の実数 N を1つ取れば、y が x に十分近いところでは
｜f(y)－f(x)｜≦ N｜y－x｜
が成り立つことが言える。このことを、やや雑な書き方で表現すると、感覚的には
「 y が x に十分近ければ ｜f(y)－f(x)｜≦ Af(x)｜y－x｜が成り立つ 」
ということである。しかし、Af(x) は x∈(a,b) を動かすごとに「有限値」であるに過ぎないので、
x∈(a,b) を動かしたときの Af(x) が (1) のような一様に有界な L で抑えられるという保証はどこにもない。
ゆえに、単に (a,b)⊂Bf なる開区間を取っただけでは、(1) が成り立つとは言えず、
リプシッツ連続な開区間が取れるかどうかは分からなくなる。
だから、お前のやり方では何も言えてない。ゴミ。
[続く] [続き]
実際の証明法は、(a,b)⊂Bf なる開区間を取ったとき、B_f ⊂ ∪_{N,M≧1} B_{N,M} と合わせて
(a,b) ⊂ ∪_{N,M≧1} B_{N,M}
ということになるので、ベールのカテゴリ定理の開区間版を使うことにより、ある B_{N,M} は内点を持つことになる。
特に、(c,d)⊂B_{N,M} なる開区間 (c,d) が取れる。必要なら(c,d)内の更に小さな区間に差し替えることで、
d－c＜1/M かつ(c,d)⊂B_{N,M} が成り立つとしてよい。このとき、f は (c,d) 上でリプシッツ連続になることが言える。
(a,b)⊂B_f のときと (c,d)⊂B_{N,M} とで何が違うのかというと、前者では x∈(a,b) ごとに Af(x) が
「有限値」であるに過ぎず、Af(x) が一様に有界かどうかが分からなかったのに対し、後者では
x∈(c,d) ごとに Af(x)≦N となっているので、Af(x) が一様に有界なのであり、それゆえに上手く行くのである。
このような事情をお前は全く理解しておらず、単に「 (a,b)⊂B_f 」とするだけで
リプシッツ連続の証明が終わると思い込んでいるバカがお前である。問題外。レベルが低すぎる。
ちなみに、上記の手法をより一般的な状況下で使ったのが定理1.7である。 >>102
＞ f が原点で微分可能の場合分けには、
＞「f が原点で不連続ならば」は存在しない
詭弁である。「仮定が偽でなる」ことと、「場合分けとして存在しない」こととを混同している。
―――――――――――――――――――――――
P： f は原点で微分可能
Q： f は原点で連続
P1：f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P2：f は原点で微分可能かつfは原点で不連続
P ＝ P1∨P2
―――――――――――――――――――――――
↑ほらね。「場合分け P2 」は存在してるだろ？ P2 は偽になっているだけであって、
場合分けとしては確実に「場合分け P2 」が存在してるだろ？ >>102
それとも、お前が定理Cを場合分けすると、次のようになるわけか？
―――――――――――――――――――――――
P： f は原点で微分可能
Q： f は原点で連続
P1：f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P ＝ P1
―――――――――――――――――――――――
これのどこが「場合分け」なんだよｗ
P という仮定から出発してまだ何もしてないのに、
どうしてその時点での場合分けが P1 だけになるんだよｗ
P2 が起こり得ないことを証明しなければ P ＝ P1 は示せないだろｗ
なんで勝手に P2 が消滅して P1 だけになって P ＝ P1 になってるんだよｗ
P という仮定から出発して、その時点で無意識のうちに定理Cを適用してしまって、
それゆえにスレ主が自分勝手に P2 というケースを抹消してるだけだろｗ >>112 のような芸当が許されるなら、俺だって次のようにするよｗ
―――――――――――――――――――――――――――――――
P： R－B_f は第一類集合
Q： f はある開区間の上でリプシッツ連続
P1：f は原点で微分可能かつ f はある開区間の上でリプシッツ連続
P ＝ P1
―――――――――――――――――――――――――――――――
↑なぜこの "場合分け" で P2 に相当するケースが存在しないのかというと、
お前の屁理屈と同様に、P という仮定から出発して、その時点で無意識のうちに
定理1.7を適用することで、P2 に相当するケースを抹消したからであるｗ
これがお前のやっていることだよ。論理がメチャクチャ。 くどいようだが、もう一度言うよ。
―――――――――――――――――――――――
P： f は原点で微分可能
Q： f は原点で連続
P1：f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P2：f は原点で微分可能かつfは原点で不連続
P ＝ P1∨P2
―――――――――――――――――――――――
このように、定理C での上記の場合分けにおいて、「 場合分け P2 」というケースは確実に存在している。
P2 という仮定が偽になっているだけであって、場合分けとしての「 場合分け P2 」は確実に存在している。
そして、お前は次のように主張するのである。
「 P2 の場合に「 P2 → Q 」を導くのは、なんか変。ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形ではない」
しかし、これはお前にとって都合が悪いので、お前は次のような詭弁を使ったのだった。
「定理Cでは "場合分けP2" というケースそのものが存在しない」 しかし、"場合分けP2" そのものが存在しないのであれば、
お前にとっての定理Cの場合分けは次のようになってしまう。
―――――――――――――――――――――――
P： f は原点で微分可能
Q： f は原点で連続
P1：f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P ＝ P1
―――――――――――――――――――――――
これのどこが「場合分け」なんだよｗ
P という仮定から出発してまだ何もしてないのに、どうしてその時点での場合分けが P1 だけになるんだよｗ
P ＝ P1 という等号にしたって、P2 が偽であることを証明しなければ P ＝ P1 は出て来ないだろｗ
なんで何もしてない段階で勝手に P2 が消滅して P1 だけになってるんだよｗ
P という仮定から出発して、その時点で無意識のうちに定理Cを適用してしまって、
それゆえにスレ主が勝手に P2 というケースを抹消してるだけだろｗ
そんな芸当が許されるなら、俺だって定理1.7を適用することで次のようにするぞ。
―――――――――――――――――――――――――――――――
P： R－B_f は第一類集合
Q： f はある開区間の上でリプシッツ連続
P1：f は原点で微分可能かつ f はある開区間の上でリプシッツ連続
P ＝ P1
(P2 に相当するケースは存在しない)
―――――――――――――――――――――――――――――――
…というように、スレ主とかいうゴミクズは論理が滅茶苦茶である。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。 少し戻るが、>>109 について1つ補足しておこう。
(a,b)⊂Bf なる開区間を取ったとする。f が (a,b) 上でリプシッツ連続になるかどうかを考えたい。すなわち、
∃L＞0, ∀y,z∈(a,b) [ ｜f(z)－f(y)｜≦L｜z－y｜] … (1)
が成り立つかどうかを考えたい。つまり、我々のここでの目標は、
「 (a,b)⊂Bf という条件のもとで、(1)を示したい 」
ということである。
――――――――――――――――――――――――――――――――
ここで、もし(1)が成り立つなら何が起きるのかを、「先に」考えてみよう。
もし(1)が成り立つなら、簡単な考察により、
∀x∈(a.b) [ A_f(x)≦L ]
が成り立つことが分かる。すなわち、Af(x) は (a,b) 上で
一様に L で抑えられることになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――
従って、(a,b)⊂Bf という条件のもとで(1)が証明できた暁には、
「 Af(x) は (a,b) 上で一様に有界である」
ことが自動的に証明できることになる。従って、我々は少なくとも、Af(x) が (a,b) 上で
一様に有界であるような (a,b) を B_f の中から選ばなければならないことになる。
しかし、出発点である (a,b)⊂Bf という条件では、任意の x∈(a,b) に対して Af(x) が「有限値」であることが
分かっているだけであって、Af(x) が (a,b) 上で一様に有界であるかどうかは分からない。(a,b) の幅を
さらに狭くした(a',b')の上でも、Af(x) が(a',b')上で一様に有界であるかどうかはわからない。
なぜなら、B_f という集合は、その各点 x で Af(x) が「有限値」と言っているに過ぎないからだ。 実際には、>>110 の手法によって、Af(x) が一様に有界であるような開区間が B_f の中から取れるし、
f はその開区間の上でリプシッツ連続になる。しかし、まさにその
「 Af(x) が一様に有界であるような開区間が B_f の中から取れる 」
ということを言うための手順が全く自明ではなく、そのやり方は >>110 で既に見たとおりであり、
B_f ⊂ ∪_{N,M≧1} B_{N,M}
という包含を使う必要があるし、さらにベールのカテゴリ定理(の開区間版)も必要である。
つまり、スレ主が思っているほど簡単には済まないのである。
もし>>110の手法を使わずに、「 Af(x) は (a,b) 上で一様に有界である」 という性質を満たす
(a,b)が B_f の中から簡単に選べると思うなら、その方法をここに書いてみたまえゴミクズ君。 >>105
>>101,106の
>１）稠密でない場合は自明に定理1.7が、成立（上記 >>100 ご参照）
自明ではありません
なぜならBf内に開区間が存在するだけでは証明にならず
Bfが可算個のB_N,Mで被覆されていること
および
開区間をそのうちのどれかのB_N,Mの中に取れるからこそ証明になるからです
件の証明を書いた人の解説を読みましょう
>２）稠密な場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立（仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない）
定理の仮定は
``R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる''
ですが
あなたの主張は
``R-BfがRで稠密ならばR-Bfは可算個の疎な閉集合で被覆できない''
ということですか？ 人生苦しい
つらい
悲しい
きつい
死にたい
もう疲れた
もう耐えきれない
寂しい
こんなに数学を懸命にやれるのに
なんでまじめにがんばって生きてるほうが馬鹿やらかして生きてる奴らに幸せを搾り取られないといけないんだ
彼女を返せ
彼女を返せ馬鹿野郎
体が究極におかしくなってきた
冷たい
しんどい
めんどくさい
人生つらい
人生悲しい
死にたい
俺は障害者だ
子に病気を負わせて過剰に苦労させるくらいなら
死にたい
永遠の夢をみたい >>119
本気なのかどうか不明だが
下記でも電話したらどうだ？ 声の可愛い女性が相談に乗ってくれるだろう
https://www.inochinodenwa.org/
あなたがつらいときそばにいます 日本いのちの電話連盟
・いのちの電話では、メールによる相談活動を行っております。https://www.inochinodenwa.org/soudan.php#net
・ナビダイヤル 0570-783(なやみ)-556（こころ）
・フリーダイヤル 0120-783(なやみ)-556（こころ）
(引用終り) >>107-108
ご苦労さん
私スレ主は、命題の定義を自分でするつもりは全く無く、必要もない
ただ、いまの瞬間の議論の範囲で使える定義をどこからか、もってくればそれで十分でね。命題の定義の吟味はその方面の趣味の人に任せるよ（＾＾
https://kotobank.jp/word/%E5%91%BD%E9%A1%8C-141120
命題(めいだい)とは - コトバンク
デジタル大辞泉の解説
めい‐だい【命題】
１ 題号をつけること。また、その題。名題。
２ 論理学で、判断を言語で表したもので、真または偽という性質をもつもの。→判断
３ 数学で、真偽の判断の対象となる文章または式。定理または問題。
出典 小学館デジタル大辞泉
(引用終り) >>121
零点
余計な付け足しは減点すると警告した
スレ主の成績表
本試験 零点
追試1回目 零点
追試2回目 零点
追試3回目 零点
↑
コピペ（カンニング）してこのザマ 採点と評価ありがとう
「落第生に落第」と言って貰えると、気が楽だい >>109-110 & >>116-117
ご苦労さん
>ということである。しかし、Af(x) は x∈(a,b) を動かすごとに「有限値」であるに過ぎないので、
>x∈(a,b) を動かしたときの Af(x) が (1) のような一様に有界な L で抑えられるという保証はどこにもない。
>ゆえに、単に (a,b)⊂Bf なる開区間を取っただけでは、(1) が成り立つとは言えず、
>リプシッツ連続な開区間が取れるかどうかは分からなくなる。
「Af(x) は x∈(a,b) を動かすごとに「有限値」」だから
最大値 max(Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
それで終りでしょ？ >>111-115
>＞ f が原点で微分可能の場合分けには、
>＞「f が原点で不連続ならば」は存在しない
>詭弁である。「仮定が偽でなる」ことと、「場合分けとして存在しない」こととを混同している。
やれやれ
こんな下のレベルから、争うわけ？
あなたは>>68
「定理C：f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。」と書いた
仮定P： f：R → R が原点で微分可能
これで尽きている。「不連続」は入る余地なし
だから、微分可能の場合分けには、「f が原点で不連続ならば」は存在しない
微分可能の場合分けとしては、例えば、微分可能性のクラス（下記）とかはあるけどね
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%8F%AF%E8%83%BD%E9%96%A2%E6%95%B0
微分可能性のクラス
関数に一階および二階の導関数が存在し、それらが両方とも連続であるとき、その関数は C2-級にであると言われる。
より一般的に、k-階までの導関数 f'(x), f''(x), ... , f(k)(x) が存在し、すべて連続であるなら、その関数は Ck-級であると言われる。
すべての正の整数 n に対して導関数 f(n) が存在するなら、その関数は滑らか、あるいは、C∞-級であると言われる。
(引用終り) >>118
「ぷふ」さんですね
>>１）稠密でない場合は自明に定理1.7が、成立（上記 >>100 ご参照）
>自明ではありません
これについては、上記>>124 ご参照
つづく >>126 つづき
>>２）稠密な場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立（仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない）
>定理の仮定は
>''R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる''
>ですが
>あなたの主張は
>''R-BfがRで稠密ならばR-Bfは可算個の疎な閉集合で被覆できない''
>ということですか？
いいえ違います。
なお、補足すると
１）Rの部分集合で、''R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる''例として、自然数N、整数Z、有理数Qや代数的数Aがあります
２）一方、''R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる''に反する例として、無理数P*や超越数Tがあります
（*注：Pはあまり使われないが、なにも記号がないのも寂しいのでPでも。P,Q,Rという並びです。iRとして2文字もかったるいしね）
さらに補足
１）の例示は、全て無限集合ですが、これ以外に有限離散点から成る有限集合も可能です。
１）の例示では、a)稠密な場合と、b)そうで無い場合に、二分できます。例示中のQとAがR中稠密で、それ以外の例示はR中稠密ではありません。
つづく >>127 つづき
なお、QとZの組み合わせのキメラのような集合も考えられます。
例えば、区間[0,2]では整数Zを選び、それ以外の区間では整数Qを選んだ集合。
これは、区間[0,2]が稠密でなく、それ以外の区間では稠密です。が、全体としては、R中稠密とは言えません。
この場合、定理1.7の開区間は、(0,1)と(1,2)との二つの区間内で可能です。が、区間[0,2]の外では、R中稠密なので、定理1.7の開区間は取れません。
そして、区間[0,2]のような稠密でない区間が存在しない、つまりR全体の区間にわたって、整数Qを選んだ場合、区間R中のどこにも定理1.7の開区間は取れません
つづく >>128 つづき
さて、ついでに下記を書いておきます
（>>13 より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
証明
このとき, 補題1.5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である.
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)
これを書き直すと
仮定P： f : R → R とする．Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }と置く。
R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる
結論Q：f はある開区間の上でリプシッツ連続である
で、上記>>127-128 で見たように
a)稠密な場合は、定理1.7の集合Bf内に、開区間は取れません
以前に述べたように、定理1.7で、”a)稠密な場合”には、１）反例となるか、２）仮定Pが偽（空集合）（＝このような場合が存在しない）か、どちらかということです。
１）の反例となる場合は、定理1.7不成立
２）の仮定Pが偽の場合は、結論Qが真であることが保証されません（論理学の基本）
これを踏まえて、上記系1.8を見ると、有理数の点はR中稠密ですから
上記の１）又は２）のどちらの場合でも、その証明中の主張”定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である”は、言えないことになります
なので、系1.8の証明は成立していません
以上 >>127
> >>２）稠密な場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立（仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない）
> >定理の仮定は
> >''R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる''
> >ですが
> >あなたの主張は
> >''R-BfがRで稠密ならばR-Bfは可算個の疎な閉集合で被覆できない''
> >ということですか？
>
> いいえ違います。
ではどういうことですか？上記で不成立とする仮定とはなんでしょう？ ＞最大値があるとは言えませんよ
スレ主のファンタジー数学ではスレ主が「ある」と言えばあるのです。 数日ぶりにレスをする、おっちゃんです。
土日(金曜の夜を含む)と休日、祝日の振り替えとの合計日間で大体100レス進んだのかな。
ということは、土日だと一日当たり大体30～40近くレスが書き込まれるということか。
スレ主は相変わらず頑固に屈さないな。
数学はディベートというか討論とは違うんだけどな。スレ主は討論会だと負けないだろうね。 p を仮定、qを結論とする。命題 p⇒q の真偽について、
p、q が両方共に真のとき、 p⇒q は真、
p が真、q が偽のとき、 p⇒q は偽、
p が偽、q が真のとき、 p⇒q は真、
p、q が両方共に偽のとき、 p⇒q は真。
これは基本。
あと、命題 p∧q → q については、仮定の p∧q で結論のqが仮定されていることになるから、p∧q → q は必ず成り立ち真になる。
逆に、命題 q → p∧q については、qが真かつpが偽のとき p∧q が偽になって反例になるから、必ずしも真になるとは限らない。 >>127
>無理数P*や超越数Tがあります
普通、無理数全体の集合は R＼Q 、超越数全体の集合は C＼CL(Q) (CL(Q) は有理数体Q上の代数的閉包を表すとする) で表す。
但し、線型代数が出来れば、任意の超越数は実超越数と実代数的数とから構成出来て、
実超越数全体の集合を R＼( CL(Q) ) で表すことと同じになることが分かる。 で、今スレ主が反論のネタにしているのは ε-δ の関数の連続性や微分可能性のことだから、
言葉で反論している限り、無理数や超越数なんて関係ない。 >>125
＞「定理C：f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。」と書いた
＞仮定P： f：R → R が原点で微分可能
＞これで尽きている。「不連続」は入る余地なし
＞だから、微分可能の場合分けには、「f が原点で不連続ならば」は存在しない
間違っている。スレ主は、その場合分けが「証明の中での議論」であったことを忘れている。
証明の中の場合分けで先に定理Cを使うことで特定の場合分けを排除してしまったら循環論法であり、
それでは定理Cの証明にならない。
このことを丁寧に書くと、まずお前は次のように言っていることになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――
定理C:
f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。
スレ主：
定理Cを証明しよう。f は原点で微分可能とする。f は原点で連続であることを示したい。
ここで、次のような場合分けをする。
(1) f は原点で連続 (2) f は原点で不連続
しかし、f は原点で微分可能なのだから、fは原点で連続なのであり、(2)は起こりようがない。
よって、(2)は場合分けとして入る余地がない。すなわち、f が原点で微分可能としたときの
場合分けには、「f が原点で不連続ならば」は存在しない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
↑これがお前の言っている屁理屈である。この屁理屈の何が間違いなのかと言うと、
今は定理Cを証明しようとしている段階なのに、
＞しかし、f は原点で微分可能なのだから、fは原点で連続なのであり、(2)は起こりようがない。
このように書いてしまったら、「先に定理Cを適用している」ことになって循環論法なのである。
つまり、これでは定理Cの証明にならないのである。 あるいは、次のように言ってもよい。もし >>137 の論法が許されるなら、俺も次のような論法を使わせてもらう。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理1.7:
R－B_f が第一類集合なら、f はある開区間の上でリプシッツ連続である。
俺：
定理1.7を証明しよう。R－B_f は第一類集合とする。
f はある開区間の上でリプシッツ連続であることを示したい。
ここで、次のような場合分けをする。
(1) R－B_f は R の中で稠密ではない (2) R－B_f は R の中で稠密である
しかし、R－B_f は第一類集合なのだから、fはある開区間の上でリプシッツ連続なのであり、(2)は起こりようがない。
よって、(2)は場合分けとして入る余地がない。すなわち、R－B_f が第一類集合としたのきの場合分けには、
「 R－B_f は R の中で稠密である 」は存在しない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
↑お前が言っているのは、こういうバカげた主張なのである。
＞しかし、R－B_f は第一類集合なのだから、fはある開区間の上でリプシッツ連続なのであり、(2)は起こりようがない。
↑このように、証明の中で先に該当の定理を使ってしまったら、起こり得ない場合分けが先に排除できるのは
当たり前である。でも、それじゃあ循環論法であって、定理の証明にならないのである。
しかし、そのような芸当を定理Cの証明に対しては平気で使っているのがスレ主である。キチガイ。 さて、上記の理由により、定理C の証明の中で P1,P2 と場合分けした場合には、
"場合分けP2" を事前に排除することは不可能であることが確定した。従って、当初の予定通り
―――――――――――――――――――――――
P： f は原点で微分可能
Q： f は原点で連続
P1：f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P2：f は原点で微分可能かつfは原点で不連続
P ＝ P1∨P2
―――――――――――――――――――――――
という場合分けになる。そして、お前は次のように主張するのである。
「 P2 の場合に「 P2 → Q 」を導くのは、なんか変。ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形ではない」
これは一体どういうことだね？ >>124
＞「Af(x) は x∈(a,b) を動かすごとに「有限値」」だから
＞最大値 max(Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
＞それで終りでしょ？
ぜんぜん終わらない。息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。
x∈(a,b) を動かすごとに Af(x) が「有限値」であっても、
max_{x∈(a,b)} Af(x) が有限値で存在するとは限らないだろバカタレ。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
具体例：
f(x)＝0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
と置くと、f は任意の点で微分可能なので、特に B_f ＝ R が成り立つ。
従って、(a.b)⊂B_f なる開区間は取り放題である。
特に (-1, 1) ⊂ B_f という開区間を採用してみよう。このとき、
max_{x∈(－1,1)} Af(x)
は有限値として存在しない。このことを、グラフを書いて確かめてみよ。
原点の近傍にいくらでも傾きが大きい点が存在するので、(－1,1) 上では
有限値としての max は存在しない。にも関わらず、各点で Af(x) は有限値である。
――――――――――――――――――――――――――――――――――― もちろん、>>140 の場合は、(2, 3)⊂B_f とでもすれば max_{x∈(2,3)} Af(x) が
有限値として存在する。しかし、スレ主風に言えば、次のような疑問が生じることになる。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
f の原点での振る舞いが、原点のみならず R 上で稠密に分布するような
別の関数 g であって、しかも B_g ＝ R が保たれたままであるような上手い g が
もし存在したとすると、(a,b)⊂B_g なる開区間は取り放題であるにも関わらず、
max_{x∈(a,b)} Ag(x) が有限値になるような (c,d) は1つも存在しないことになるし、
この g はどの開区間の上でもリプシッツ連続にならない。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
このように考えると、B_f が開区間を含んでいるという条件下でも、
f がリプシッツ連続になる開区間が取れることは全く自明ではないことが分かるだろう。
あるいは、少し別の視点から考えてみると、
――――――――――――――――――――――――――――
A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
A_f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
――――――――――――――――――――――――――――
が成り立つような上手い関数 f：R → R がもし存在したとすると、
この f に対しても B_f＝R が成り立っているので、(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題であるが、
しかし max_{x∈(a,b)} Af(x) が有限値になるような (c,d) は1つも存在しないし、
この f はどの開区間の上でもリプシッツ連続にならない。
むろん、実際には、上記のようなヘンな関数は存在しない。すなわち、(a,b)⊂B_f なる開区間が取れるなら、
ある開区間の上で max Af(x) が有限値で存在するし、f はある開区間の上でリプシッツ連続になる。
ただし、そのことを証明するための方法は>>110なのであって、スレ主とかいうゴミクズが
考えているような単純な状況には決してなっていない。 >>129
＞２）の仮定Pが偽の場合は、結論Qが真であることが保証されません（論理学の基本）
間違っている。スレ主とかいうゴミクズは目的と手段をはき違えている。
・ 目的：「 P → Q 」という命題全体が真であることを証明したい。
・ 手段： P という仮定のもとで結論Qを導けばよい。
お前はここで、次のように勘違いしているのである。
「 P → Q が真であることを証明するには、P という仮定のもとで Q を導くしか方法がない 」
明らかに目的と手段をはき違えている。目的はあくまでも、「 P → Q 」という命題全体が真であることを
証明することである。もし仮定 P が偽であることが示せたなら、その時点で「 P → Q 」という命題全体が
真であることが確定するので、既に目的は達成されている。すなわち、この場合には Q を導く必要が無いのである。
Q を導くという方針は、あくまでも1つの手段に過ぎないのであり、「 Q を導くことが絶対に必要である」
ということにはならない。すなわち、次のようにすればいいのである。
―――――――――――――――――――――――――――――
P → Q が成り立つことを示したい。
P が成り立つとする。Q が成り立つことを示せばよい。
(～～何らかの議論～～)
ゆえに、￢P が成り立つ。すなわち、P ∧ ￢P が成り立つ。
従って、実は P は偽だったということになる。
よって、「 P → Q 」という命題全体は真であることが確定する。
―――――――――――――――――――――――――――――
↑このように、P が偽であることが判明した場合、もはや Q を導く必要がないのである。
目的と手段をはき違えて、「 Q を絶対に導かなければならない」と思い込んでいるバカタレがスレ主である。 ちなみに、P が偽であることが判明した場合、議論をそこでやめずに Q を導くことも
実際には可能である。次のようにすればよい。
――――――――――――――――――――――――――――――――
P → Q が成り立つことを示したい。
P が成り立つとする。Q が成り立つことを示せばよい。
(～～何らかの議論～～)
ゆえに、￢P が成り立つ。すなわち、P ∧ ￢P が成り立つ。
これは「矛盾」である。矛盾した命題からは無条件に任意の命題を導出してよいので、
特に「 Q 」を導出してよい。よって、Q が成り立つ。
以上より、P が成り立つという仮定のもとで Q が導出できたので、P → Q は真である。
―――――――――――――――――――――――――――――――― >>129
＞これを踏まえて、上記系1.8を見ると、有理数の点はR中稠密ですから
＞上記の１）又は２）のどちらの場合でも、その証明中の主張”定理1.7 が使えて,
＞f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である”は、言えないことになります
＞なので、系1.8の証明は成立していません
背理法を理解できないキチガイ。題意の関数が存在しないことを示すために、
そのような関数の存在性を仮定しているに過ぎないことが理解できないゴミクズ。
「リプシッツ連続になり得ない」関数を仮定しているのに、どういうわけか
「リプシッツ連続になる」という不条理が導かれるのだから、そのような関数は存在しないってこと。
この論法は背理法であり、証明として完全に成立している。すなわち、系1.8の証明は
完全に成立している。一方でお前は、
「リプシッツ連続になり得ない関数を仮定しているのだから、リプシッツ連続である、は決して言えない」
と勘違いしている。実際には、ある性質の組み合わせを仮定しただけでは、
「その性質の 否定命題 は決して導けない」
ということには な ら な い 。なぜなら、その性質の組み合わせは矛盾している可能性があるからだ。
もし矛盾しているなら、その性質の否定命題が導出できても何らおかしくはない。なぜなら、矛盾した命題からは
どんな命題も導出できるからだ。
実際、系1.8の証明を、証明の外からメタ的に見てみると、存在しない関数の存在性を仮定してから
議論を始めているのだから、矛盾した仮定から出発していることになり、ゆえに原理的にはどんな命題も
導出できるのであり、そして実際に「リプシッツ連続になる」という不条理が導出されているのであり、
ゆえに証明の中の世界では「背理法」によって「そのような関数は存在しない」ということになるのである。
なぜかお前は、このような背理法がらみの論法がいつまで経っても理解できないでいる。キチガイ。頭がおかしい。 >>129
＞これを踏まえて、上記系1.8を見ると、有理数の点はR中稠密ですから
＞上記の１）又は２）のどちらの場合でも、その証明中の主張”定理1.7 が使えて,
＞f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である”は、言えないことになります
＞なので、系1.8の証明は成立していません
お前のその屁理屈を、以下の正しい議論に適用してみよう。
――――――――――――――――――――――――――――――――
定理C3：
原点で微分可能かつ原点で不連続であるような関数は存在しない。
定理C3 の証明：
そのような関数 f が存在したと仮定する。…(*)
このとき、f は原点で微分可能だから、ご存知の「 定理C 」が適用できて、
f は原点で連続である。一方で、f の仮定から、f は原点で不連続なのだった。
これは矛盾。よって、(*)の仮定は間違っていたことになる。
すなわち、そのような関数は存在しない。
――――――――――――――――――――――――――――――――
[続く] [続き]
上記の正しい議論に対して、お前は次のように言うのである。
――――――――――――――――――――――――――
スレ主：
定理C3 の証明の中では、f は原点で不連続ですから、「 f は原点で連続 」は、
言えないことになります。なので、定理Cは適用できず、定理C3 の証明は成立していません。
――――――――――――――――――――――――――
実際には、「原点で微分可能かつ原点で不連続」という性質は矛盾しているので、そのような仮定を置いた時点で、
矛盾した命題から出発していることになり、そして矛盾した命題からは何でも導出できるがゆえに、
「 f は原点で連続」が導出できても何らおかしくはないのである。
つまり、f が原点で不連続という仮定があっても、その他の条件とのセットで仮定が矛盾していた場合には、
「 f が原点で連続」は言えるのである。今回の場合は、「fは原点で微分可能」という条件とのセットで
矛盾した状態から出発するので、「 f が原点で連続」は言えるのである。ただし、証明者の視点では、
仮定を置いた時点で既にその仮定が矛盾していることが分かるのではなく、不条理を導いた時点で初めて
「仮定が矛盾していた」ことが判明するのである(背理法)。ここで、なぜかスレ主は、不条理を導くことを
完全放棄し、「 f は原点で不連続 」という仮定に縛られて、
「 f は原点で微分可能 」
という条件があるにも関わらず定理Cを適用しようとせず、「 f は原点で連続、は決して言えない」と考え、
「定理Cは適用できない。定理C3 の証明は成立していない。」とほざくのである。証明者の視点から見ると、
スレ主のこのような行為は、背理法によって不条理を導くことを放棄しているだけの単なる愚行でしかない。
つまり、スレ主とかいうゴミクズは、背理法が全く理解できていないのである。キチガイ。 「 東京タワーが塔ならば、鍋料理は複数存在する。」は真。
こんな奇妙な世界が記号論理。一般論として使うと目も当てられなくなる。 >>147
今の議論にそういう頭を捻るような例は出てませんよ 背理法が理解できないなら高校一年生に教えてもらえばいい
数学板に来るのは時期尚早 >>130
>最大値があるとは言えませんよ
まあ、じゃ下記で
最大値 max(Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
↓
最大値 lim sup (Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m >>133
おっちゃん、どうも、スレ主です。
お元気そうでなによりです（＾＾ 話題散らしのために、これ面白かったから貼る（＾＾
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/cft.pdf
類体論 田口雄一郎先生 「 整数論札幌夏の学校」( 2006年8月28日 ～ 9月8日 ) 初日の講義ノート。
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/
田口雄一郎先生関連
March, 1988 : Graduated from University of Tokyo
June, 1993 : Degree of Doctor (University of Tokyo)
September, 1993 -- August, 1995: Member of the Institute for Advanced Study
April, 1998 -- March, 2001: Associate Professor of Mathematics, Hokkaido University
April, 2001 -- February 15, 2016: Associate Professor of Mathematics, Kyushu University
February 16, 2016 --: Professor of Mathematics, Tokyo Institute of Technology
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/bunsho.html
数学関係の文章
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/cft.html
http://coe.math.sci.hokudai.ac.jp/sympo/060828/index.html
「 整数論札幌夏の学校」( 2006年8月28日 ～ 9月8日 ) >>151 再訂正
すまん
これ、lim supの使い方間違っているな。院試だったら、大減点だな。
なので、
最大値 lim sup (Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
↓
最大値 sup (Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
とします
（余談だが、こういう基本的な用語を間違うと、採点官の心象が悪くなる。
要は、院試なんて、基礎的な勉強をしているか否かと基礎力を測るものだから、基本の標準用語の定義などは、間違わないことだ。
”数学は定義だ”などというが、基本的用語について、自分勝手な定義は（こいつ勉強不足だろうと）心象悪いだろう。
頭良すぎて、試験の現場で新定義作って「ホームラン答案」を狙うのは（頭良すぎる東大生にいそうだが）、（採点基準外の）大外しの可能性があるだろう）
http://web.cc.yamaguchi-u.ac.jp/~hiroshi/basic/basic.pdf
解析学の基礎 卒研ゼミ用のテキスト (柳原 宏) 山口大
(抜粋)
P37
最大値, 最小値はいつでも存在するとは限らないので, 条件(i) を
みたすかどうかは問題にしないことにして(ii) をみたす数をE の上界(upper bound) と呼ぶことにしよう.
P39
定義2.3.10 E が上に有界とする. このとき上界の最小値
b0 = minU(E)(= min{b 2 R : b はE の上界})
が存在すればb0 をE の最小上界(least upper bound), または上限(supremum)
といいsupE と表す.
(引用終り)
http://web.cc.yamaguchi-u.ac.jp/~hiroshi/index-j.html
卒研ゼミ用のテキスト (柳原 宏)
http://web.cc.yamaguchi-u.ac.jp/~hiroshi/
Hiroshi Yanagihara (柳原 宏) Department of Applied Science Faculty of Engineering Yamaguchi University
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8A%E6%A5%B5%E9%99%90%E3%81%A8%E4%B8%8B%E6%A5%B5%E9%99%90
上極限と下極限
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%AC%E8%B3%AA%E7%9A%84%E4%B8%8A%E9%99%90%E3%81%A8%E6%9C%AC%E8%B3%AA%E7%9A%84%E4%B8%8B%E9%99%90
本質的上限と本質的下限
(抜粋)
性質
inf f <= lim inf f <= ess inf f <= ess sup f <= lim sup f <= sup f
(引用終り) >>140
あなたのそういう具体例を作る力は認めるけれども、例示は論点を外していると思う
>具体例：
>f(x)＝0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
>特に (-1, 1) ⊂ B_f という開区間を採用してみよう。
（>>13 より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終り)
重箱の隅を突いても仕方ないので、簡単に
”f はある開区間の上でリプシッツ連続である”という主張だから、(-1, -δ+0)と(+δ+0, 1)と二つに分ければいいだけのこと（どちらか一つで定理の主張を満たす）
(-1, -δ+0)と(+δ+0, 1)とは、どちらも、”ある開区間の上でリプシッツ連続である”を満たしている。
ここに、δは「 1> δ >0 」の適当な実数とする
以上 >>155
これは、「ぷふ」さんだね
>>156と>>157とをご参照
>>157に書いたように
定理1.7より
”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”
を満たすある開区間(a,b)が存在するとして
その区間内どこも「リプシッツ連続ではない」と言えるんですかね？ はて？
まあ、また例によって、定理1.7を証明した人が、新しい例を示してくれるかも知れないが >>137-139
>間違っている。スレ主は、その場合分けが「証明の中での議論」であったことを忘れている。
>証明の中の場合分けで先に定理Cを使うことで特定の場合分けを排除してしまったら循環論法であり、
>それでは定理Cの証明にならない。
意味わからん
私スレ主が言っている”場合分け”は、普通に 命題論理 藤田聡 広島大学のPDFの”proof by cases”のこと
特別のことをいうつもりはない。”場合分け”は、多分古典論理学内で、古代ギリシャからあると思う
（>>157）定理1.7
”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”の条件下で、
一つの典型例が、系1.8の「有理数＝R－Bf」の場合で、この場合、「有理数＝R－Bf」はR中で稠密だ。だから、その補集合たる「無理数＝Bf」内には、開区間は取れない
もう一つが、「整数＝R－Bf」で、稠密でないから、「Bf」内に、開区間が取れる
ところが、場合分けとして、「無理数＝R－Bf」とか、「超越数＝R－Bf」は、できない
”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”の条件に、合致しないからだ
同様に、「定理C: f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である」 で、場合分け ”(1) f は原点で連続 (2) f は原点で不連続”は不可
命題論理 藤田聡 広島大学のPDFの”proof by cases”をご参照
http://home.hiroshima-u.ac.jp/fujita/Class/Kisoron/logic.pdf
命題論理 藤田聡 広島大学（2009年度版）
(抜粋)
＜証明手法＞
P85
proof by cases
(p１∨p２∨・・・∨pｎ)→q
を示すのに
(p１→q)∧(p２→q)∧・・・∧(pｎ→q)
を示す
(引用終り) >>141
これなんか、へんなことを書いていると思った
引用
「あるいは、少し別の視点から考えてみると、
――――――――――――――――――――――――――――
A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
A_f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
――――――――――――――――――――――――――――
が成り立つような上手い関数 f：R → R がもし存在したとすると、
この f に対しても B_f＝R が成り立っているので、(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題であるが、
しかし max_{x∈(a,b)} Af(x) が有限値になるような (c,d) は1つも存在しないし、
この f はどの開区間の上でもリプシッツ連続にならない。」
(引用終り)
>>157に書いたように
定理1.7より
”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”
この「 lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ 」は、過去スレで指摘したように、この条件はディニ微分可だったよね？
だが、上記で
A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
A_f(x)＝ 0 (xは無理数)
とすれば、これはディリクレ関数と同じ性質を持つ。
つまり、すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。微分不可だから、ディニ微分不可。
だから、B_fは空集合
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%8B%E5%BE%AE%E5%88%86
ディニ微分
以上 >>160 訂正
すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。微分不可だから、ディニ微分不可。
↓
すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。不連続だから、ディニ微分不可。
また、間違えてしまった。息をしたからか・・（＾＾ >>156
>最大値 sup (Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
どう書いても存在するとは限りません >>144-146
>背理法を理解できないキチガイ。題意の関数が存在しないことを示すために、
>そのような関数の存在性を仮定しているに過ぎないことが理解できないゴミクズ。
違うよ。
場合分けを曲解していることによる誤解だな
定理1.7を場合分けして、その場合分けのR-Bfが稠密で、
系1.8の「有理数＝R－Bf」の場合で、この場合、「有理数＝R－Bf」はR中で稠密だ（>>159より）
この場合、Bf内に開区間など取れない。
稠密な場合は、開区間には、必ず「R－Bf」が入るから、定理1.7の「開区間がリプシッツ連続だ」という主張は、もともと無理でしょ？ >>158
あるいはBfの中に開区間(a,b)が存在する場合
その区間内にリプシッツ連続である区間が存在することを証明する必要があります
はて？というのはむしろあなたを批判している人が持つ疑問であり
あなたは上記を主張しているのですからそれを証明する必要があるわけです
しかもあなたは自明だとも言っているのですから
相当に単純な証明が示されて然るべきと期待しますよ
なお
件の証明を書いた人はそれを証明しています >>163
>場合分けを曲解していることによる誤解だな
というより
場合分けすることなく証明できているのに
なぜ場合分けをしなくてはいけないと思っているか解せないというのが
件の証明を書いた人の気持ちであろうと思いますね >>162
>>最大値 sup (Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) ＜＝ m
>どう書いても存在するとは限りません
それでも結構だが
定理1.7の条件「 Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }」で、これを満たすある開区間（a,b)が存在するとして
その区間内全ての点で、「Af(x) ＜＝ m」を満たさない？
あるいは、「Af(x) ＜＝ m」の点はどこにも存在しない？
それでも、開区間（a,b）の中に、リプシッツ連続である開区間（a',b'）が取れる？
取れるというのが、定理1.7の主張ですよね？
余談だけれど、定理の証明というのは、一番成立し難い場合にも、その前提条件を付加してきちんと証明できないと、その証明は信用されませんよ
上記の定理1.7の補集合が稠密な場合とか、いまの場合の「その区間内全ての点で「Af(x) ＜＝ m」を満たさない？ あるいは、「Af(x) ＜＝ m」の点はどこにも存在しない？」場合とかを
易しい場合だけ証明して、「ＱＥＤ！」はないですよ >>166
>その区間内全ての点で、「Af(x) ＜＝ m」を満たさない？
>あるいは、「Af(x) ＜＝ m」の点はどこにも存在しない？
自明と書いたのはあなたですから
ぜひ証明してください >>161-160 訂正の訂正
念のため
すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。不連続だから、ディニ微分不可。
↓
すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。不連続だから、ディニ微分有限値不可。
とします。理由は、下記の「補完数直線上では、各ディニ微分は常に存在する」より。定理1.7の仮定は、「< +∞」ですので、元のままでも、「+∞ や ?∞」は除外されていますが。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%8B%E5%BE%AE%E5%88%86
ディニ微分
(抜粋)
注意
・補完数直線上では、各ディニ微分は常に存在する。しかし、それらの値は有限とは限らず、+∞ や ?∞ となることもある（すなわち、ディニ微分は「拡張実数値」の意味において、常に存在する）。
・f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。もし f が t において微分可能ならば、その t における各ディニ微分は通常の意味での微分に等しい。
(引用終り) >>165
>>場合分けを曲解していることによる誤解だな
>というより
>場合分けすることなく証明できているのに
>なぜ場合分けをしなくてはいけないと思っているか解せないというのが
>件の証明を書いた人の気持ちであろうと思いますね
話は逆で、場合分けして、証明できない場合があれば、それは「定理が成り立たない」ってことですよ
定理1.7の場合、それは補集合R-Bfが稠密な場合で、その場合、集合Bf内に開区間なく、またリプシッツ連続な区間もない
「場合分けして、証明できない場合があれば、それは定理が成り立たない」は、反例による証明でも同じ理屈ですよ
反例は１つで良い。反例が成立する場合が１つあれば良いのです
例えば、「素数は全て奇数である」という定理には、反例素数の２があります。
だが、「２を除く素数は、全て奇数である」は、正しい定理です。
同様に、定理1.7においては、補集合R-Bfが稠密な場合は、集合Bfを満たす開区間は取れません。
「補集合R-Bfが稠密な場合は、集合Bfを満たす開区間は取れない」という仮定と、R内で「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」という結論とは、両立しませんよ。 >>164 ＆ >>168
Bfを満たす開区間（a,b）が存在し→その開区間内にリプシッツ連続である開区間（a',b'）が取れる
という証明の流れと思います
証明は考えてみますが、結論「リプシッツ連続である開区間（a',b'）が取れる」の前提として、仮定「Bfを満たす開区間（a,b）が存在」するが必要と思っています
なので、ここを強調しておきます
なお、「Bfを満たす開区間（a,b）の存在」が否定される場合は、結論「リプシッツ連続である開区間（a',b'）が取れる」も否定されると思いますよ
もし、証明可能と言われるなら、逆にどうぞと申し上げておきます
なお、>>170をご参照ください >>167
（>>131より）
>>127
> >>２）稠密な場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立（仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない）
> >定理の仮定は
> >''R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる''
> >ですが
> >あなたの主張は
> >''R-BfがRで稠密ならばR-Bfは可算個の疎な閉集合で被覆できない''
> >ということですか？
>
> いいえ違います。
ではどういうことですか？上記で不成立とする仮定とはなんでしょう？
(引用終り)
回答します
１．（>>13）「系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.」に対し、定理1.7を適用するのは適切ではないと考えます
２．理由は、>>170-171に述べました（R-Bfが稠密な場合には、定理1.7は数学の定理として成り立っていない） >>147
>「 東京タワーが塔ならば、鍋料理は複数存在する。」は真。
>こんな奇妙な世界が記号論理。一般論として使うと目も当てられなくなる。
バートランド・ラッセルのこんな話かな？（＾＾
まあ、「裏庭に東京タワーがあれば、入場料を取って、大もうけができる」は真かな？
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB
バートランド・ラッセル
(抜粋)
記述理論
記述理論(Theory of Description)は指示対象が存在しない「現代のフランス王」や「ペガサス」といった語句を解釈する際に、フレーゲのようにそのような語句を含んだ文を無意味としたり、それら非存在者の指示対象としてなんらかの概念の「存在」を仮定することなしに、解釈を可能とするためにラッセルが発見した手法である。
1905年の『表示について』で初めて発表された。
記述理論とは、以下のような手法である。
「現代のフランスの王ははげである」
という文章の意味を考える場合、この文を、
「あるものが存在し、そのものは一つであり、フランスの王であり、かつはげである」
と翻訳する。すると、実在しない「現代のフランスの王」が示す指示対象として存在者をなんら仮定することなく有意味に文を解釈でき、その真偽を確定できる。
(引用終り) >>159
＞ところが、場合分けとして、「無理数＝R－Bf」とか、「超越数＝R－Bf」は、できない
＞”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”の条件に、合致しないからだ
その場合分けは「仮定が偽」になることが明白なだけであって、その場合分け自体は可能である。
あるいは、次のように言ってもよい。お前がそこで言っていることはつまり、
「仮定が偽のケースは場合分けとしては不可能である」
という屁理屈である。だったら、その屁理屈を拝借すれば、全く同じように、
「 R－B_f は R の中で稠密」という場合分けも不可能である。
なぜなら、その場合「 R－B_f が第一類集合 」の条件に合致しないからだ(定理1.7により)。 >>159
＞同様に、「定理C: f：R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である」 で、
＞場合分け ”(1) f は原点で連続 (2) f は原点で不連続”は不可
その場合分けは やはり可能だし、どちらのケースでも、
「仮定が偽」になることは全く明白ではない。特に (2) のケースは、
「結論に合致しないケース」
なのであって、「仮定に合致しないケース」ではないので、スレ主の言い分である
「仮定が偽のケースは場合分けとしては不可能である」
という屁理屈にすら全く当てはまっていない。
あるいは、お前にとっては、(2)の場合に仮定が偽になることが明白に見えるかもしれないが、
それは 定理C を先に適用してしまっているからであって、既に述べたように循環論法である。
ゆえに、定理C の場合には、(1),(2)による場合分けは可能である。 さて、上記の理由により、定理C の証明の中で P1,P2 と場合分けした場合には、
"場合分けP2" を事前に排除することは不可能であることが確定した。従って、当初の予定通り
―――――――――――――――――――――――
P： f は原点で微分可能
Q： f は原点で連続
P1：f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P2：f は原点で微分可能かつfは原点で不連続
P ＝ P1∨P2
―――――――――――――――――――――――
という場合分けになる。そして、お前は次のように主張するのである。
「 P2 の場合に「 P2 → Q 」を導くのは、なんか変。ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形ではない」
これは一体どういうことだね？ 追記。
＞ところが、場合分けとして、「無理数＝R－Bf」とか、「超越数＝R－Bf」は、できない
＞”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”の条件に、合致しないからだ
繰り返しになるが、お前がここで言っていることはつまり、
「仮定が偽のケースは場合分けとしては不可能である」という屁理屈である。
その一方で、世の中には次のような定理が存在する。
定理：a^b が有理数になるような無理数 a,b が存在する。
この定理の証明として、次のような有名なものがある。
――――――――――――――――――――――――――――――
証明：c＝√2 と置くと、これは無理数であることが知られている。
そこで、c^c の値に注目し、以下のように場合分けする。
(1) c^c は有理数である (2) c^c は無理数である
(1) の場合、a＝b＝c と置けばよいことになるので、証明が終わる。
(2) の場合、a＝c^c と置けば、まず a は無理数である。
また、b＝c と置けば、これも無理数である。c＝√2 だったから、
a^b ＝ (c^c)^c ＝ c^{c^2}＝ (√2)^(√2^2) ＝ 2
となるので、a^b は有理数である。よって、(2) の場合も証明が終わる。
――――――――――――――――――――――――――――――――
[続く] [続き]
上記の証明はよく知られた証明であり、「正しい証明である」ことに注意せよ。
一方で、c^c すなわち √2^√2 は実際には「無理数」であることが
証明されている(簡単には証明できないらしいが)。となると、上記の証明における
(1) c^c は有理数である
のケースは、仮定が偽ということになる。従って、お前の屁理屈によれば、そもそも
＞(1) c^c は有理数である (2) c^c は無理数である
という場合分け自体が不可能ということになる。その一方で、上記の証明は
よく知られた証明であり、「正しい証明」なのである。たとえば、
https://ja.wikipedia.org/wiki/排中律
に全く同じ証明が載っている。にも関わらず、スレ主の屁理屈によれば、
そもそも (1),(2) による場合分け自体が不可能となってしまい、
上記の証明は「間違っている」ことになってしまう。
これは一体どういうことだね？ >>173
聞いていることに答えていただけますか？
``定理1.7の仮定が不成立''
のその``仮定''とは何のことでしょう？ >>171
あなたはそれを``自明''と書いたのですよ？
実のところ
その部分を証明するのが件の証明の``キモ''なのです
自明でないと認識できたのなら証明を読みましょう >>170
>話は逆で、場合分けして、証明できない場合があれば、それは「定理が成り立たない」ってことですよ
場合分けせずに証明できていますから
当然ながら
場合分けしても証明が出来ています
場合分けした条件を使う必要が無いというだけのことです >>163
＞この場合、Bf内に開区間など取れない。
＞稠密な場合は、開区間には、必ず「R－Bf」が入るから、
＞定理1.7の「開区間がリプシッツ連続だ」という主張は、もともと無理でしょ？
「R－B_f が第一類かつ R－B_f が R の中で稠密」という仮定は「偽」なので、
スレ主の屁理屈によれば、そもそもそのような場合分け自体が不可能である。
つまり、スレ主は自爆している。
あるいは、次のように言ってもよい。
「R－B_f が第一類かつ R－B_f が R の中で稠密」という仮定は「偽」なので、
矛盾した命題からはどんな命題も導出できるがゆえに、
「ある開区間の上でリプシッツ連続だ」という主張も導出できる。
スレ主は「導出できない」などとほざいているが、実際には導出できるのである(仮定が偽だから)。
では、なぜ「R－B_f が第一類かつ R－B_f が R の中で稠密」が偽であると分かるのか？
それは、定理1.7 から従う。 >>171
>なお、「Bfを満たす開区間（a,b）の存在」が否定される場合は、結論「リプシッツ連続である開区間（a',b'）が取れる」も否定されると思いますよ
当たり前です
証明をお考えください
件の証明よりも簡単なものになれば
それは件の証明をした人も喜ぶでしょうよ あるいは、同じことの繰り返しになるが、次のように言ってもよい。
＞この場合、Bf内に開区間など取れない。
＞稠密な場合は、開区間には、必ず「R－Bf」が入るから、
＞定理1.7の「開区間がリプシッツ連続だ」という主張は、もともと無理でしょ？
お前のこの屁理屈を定理Cに適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――
P： f は原点で微分可能
Q： f は原点で連続
P1：f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P2：f は原点で微分可能かつfは原点で不連続
P ＝ P1∨P2
スレ主：
P2 の場合には、f が原点で不連続であることが仮定されているのだから、
f が原点で連続であるという主張はもともと無理である。
つまり、P2 の場合には、定理C は証明できない。
ゆえに、定理C は数学の定理としてふさわしい形をしていない。
――――――――――――――――――――――――――――
お前はここで、「定理Cの場合は P1,P2 による場合分けが不可能だ」という屁理屈を
何度も述べているようだが、全く同じ屁理屈は定理1.7にも適用できるので、
お前の屁理屈はどちらに転んでも完全に破綻している。というか、もともと論理が滅茶苦茶。問題外。 >>160
＞だが、上記で
＞A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
＞A_f(x)＝ 0 (xは無理数)
＞とすれば、これはディリクレ関数と同じ性質を持つ。
＞つまり、すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。微分不可だから、ディニ微分不可。
＞だから、B_fは空集合
息をするように間違えるゴミクズ。俺は
f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
と書いたのではない。
A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
A_f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
と書いたのである。すなわち、 f そのものをディリクレ関数っぽい値に設定したのではなく、
A_f の方をディリクレ関数っぽい値に設定したのである。もしそのような性質が成り立つ f が
存在したとすると、(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題なのに、f はどの開区間の上でも
リプシッツ連続にならないので、
「 (a,b)⊂B_f の場合はリプシッツ連続性が自明に分かる」
というスレ主の直観は破壊されることになる。
[続く] [続き]
ここでお前は、次のように言うかもしれない。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
A_f(x) がディリクレ関数っぽい状態なら、その前の f だってディリクレ関数っぽいはずであり、
ゆえに f はどの点でも微分不可能のはずで、B_fは空集合になるだろう。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
しかし、この意見は的外れであることを先に指摘しておく。
なぜなら、A_f(x) は おかしな挙動をある程度は取り得るからである。たとえば、
f(x)＝0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
という例の場合、A_f(x) は原点で 不 連 続 であることが確認できる。
もちろん、この f の場合は、A_f(x) は原点以外のところでは連続になっているが、
しかし原点では不連続なのである。
ところで、f の原点での挙動を、他の有限個の点 x_1, x_2, …, x_n に "移植" することは
明らかに可能であるから、そのように移植した新しい関数を g とするとき、A_g(x) は
x＝0, x_1, x_2, …, x_n において不連続ということになる。もちろん、A_g(x) は
各点で「有限値」のままである。
というように、少なくとも有限個の点で A_f(x) が不連続になることは実際に「ある」。
問題は、A_f(x) が R 全体でディリクレ関数っぽい状況になることがあり得るのかということであるが、
俺が書いた>>110の手法を使えば、そのような関数は「無い」ことが分かる。
しかし、それは>>110を使ったからこそ「無い」ことが分かるのであって、
「無いことは自明である」ということにはならないのである。 突然ですが、
平野、２大会連続の銀メダルか。おめでとう。金を狙っていて残念だが、若いからまだ次があるよね（＾＾
http://www.yomiuri.co.jp/olympic/2018/snowboard/20180214-OYT1T50006.html?from=ytop_top
平野、２大会連続の銀メダル…スノボ男子ＨＰ 2018年02月14日 >>175-179 & >>183 & >>185
>＞ところが、場合分けとして、「無理数＝R－Bf」とか、「超越数＝R－Bf」は、できない
>＞”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”の条件に、合致しないからだ
>
>その場合分けは「仮定が偽」になることが明白なだけであって、その場合分け自体は可能である。
>あるいは、次のように言ってもよい。お前がそこで言っていることはつまり、
>
>「仮定が偽のケースは場合分けとしては不可能である」
>
>という屁理屈である。だったら、その屁理屈を拝借すれば、全く同じように、
>「 R－B_f は R の中で稠密」という場合分けも不可能である。
>なぜなら、その場合「 R－B_f が第一類集合 」の条件に合致しないからだ(定理1.7により)。
普通の証明論の場合分けを否定されてもね。それ無理筋ですよ
（”場合分け”は、私の独自説ではなく、ごく一般の数理です）
集合論で言えば、仮定で有理数Qを問題にしているときに、集合Qの中での場合分けは可能です
が、集合Qの外、つまり、「無理数＝R－Bf」とか、「超越数＝R－Bf」は、できない。それをやれば、プロレスの場外乱闘ですよ
それから、”「 R－B_f は R の中で稠密」という場合分けも不可能である。
なぜなら、その場合「 R－B_f が第一類集合 」の条件に合致しないからだ(定理1.7により)”という主張も無理筋でしょう
それをいうなら、（>>13）”系1.8 有理数の点で不連続”には、適用できないということですよね
「 R－B_f は R の中で稠密」という場合分けが、定理1.7で存在しないなら、「系1.8 有理数」には定理1.7は適用できませんね
以上 >>186
これは、どうも失礼。私の早とちりでしたね
あなたは、こういう例を考える力はすごくあるね～（＾＾
「f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
と書いたのではない。
A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
A_f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
と書いたのである。すなわち、 f そのものをディリクレ関数っぽい値に設定したのではなく、
A_f の方をディリクレ関数っぽい値に設定したのである。もしそのような性質が成り立つ f が
存在したとすると、(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題なのに、f はどの開区間の上でも
リプシッツ連続にならない」
(引用終わり)
なるほど。でもね、この例は、諸刃の剣というやつでしょ
（一般性を損なわず”A_f(x)＝0 (xは無理数)”とします）
１）∀p ∈Q を考えた場合、”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”で、
無理数x=irに収束するQ内のコーシー列が取れる。分母q→∞。だから分子もp→∞。
２）補足：1/2=0.5に近い無理数x=irを考えると、コーシー列pn/qnで、分母qn→∞のとき、分子p =～ 0.5q→∞となる
３）なので、「(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題」ではない
つづく >>190 つづき
以下参考
(>>13より)
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
(引用終わり)
http://yusuke-ujitoko.hatenablog.com/entry/2017/05/17/005434
リプシッツ連続 緑茶思考ブログ 2017-05-17
(抜粋)
定義:リプシッツ連続
関数f(x)が任意の実数x,yに対し、
?f(x)?f(y)??k?x?y?
を満たす0以上のkがとれるとき、関数f(x)はリプシッツ連続であるといい、kをリプシッツ定数という。
x=yのとき、任意の実数について上式は成り立つので、
「関数f(x)がリプシッツ連続」であることは、「x≠yとなる任意の実数x,yに対して
?f(x)?f(y)/(x?y)? ? k
を満たす0以上の定数kがとれることと同値である。
つまり関数f(x)がリプシッツ連続であるとは、関数y=f(x)のグラフ上の任意の異なる2点(a,f(a)),(b,f(b))を通る直線の傾きが、?k以上k以下である、
すなわち、関数f(x)の変化率の絶対値はkを超えないということである。
(引用終わり)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A リプシッツ連続
以上 >>191 えらく文字化けしたが、原文見てください >>189
＞が、集合Qの外、つまり、「無理数＝R－Bf」とか、「超越数＝R－Bf」は、できない。それをやれば、プロレスの場外乱闘ですよ
「場外乱闘」などという言葉を使ってみても、お前が言っている内容は全く変わらない。
お前がそこで言っていることはつまり、
――――――――――――――――――――――――――――――――――
R－B_f が第一類集合なのに「 R－B_f＝無理数」としてしまえば、
R－B_f が第一類集合であることに矛盾するので、この場合分けは出来ない
――――――――――――――――――――――――――――――――――
ということである。この屁理屈を>>178-179に適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
c＝√2 とすると、c^c は無理数であることが知られている。すると、
c^c は無理数なのに「 c^c は有理数 」としてしまえば、
c^c が無理数であることに矛盾するので、この場合分けは出来ない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
つまり、スレ主は>178-179の証明が「間違いだ」と言っていることになるのである。
しかし、>178-179の証明は、よく知られた「正しい証明」である。
これは一体どういうことだね？ >>195
＞なぜなら、その場合「 R－B_f が第一類集合 」の条件に合致しないからだ(定理1.7により)”という主張も無理筋でしょう
＞それをいうなら、（>>13）”系1.8 有理数の点で不連続”には、適用できないということですよね
＞「 R－B_f は R の中で稠密」という場合分けが、定理1.7で存在しないなら、「系1.8 有理数」には定理1.7は適用できませんね
何度も同じことを言わせるな。定理1.7は系1.8の証明の中で適用可能である。
なぜなら、定理1.7 の主張は
「 R－B_f が第一類集合なら、f はある開区間の上でリプシッツ連続」
というものだからだ。系1.8 だけでなく、
一般に R－B_f が第一類集合でありさえすれば、定理1.7が適用可能。 >>190
＞（一般性を損なわず”A_f(x)＝0 (xは無理数)”とします）
＞１）∀p ∈Q を考えた場合、”Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }”で、
＞ 無理数x=irに収束するQ内のコーシー列が取れる。分母q→∞。だから分子もp→∞。
＞２）補足：1/2=0.5に近い無理数x=irを考えると、コーシー列pn/qnで、分母qn→∞のとき、分子p =～ 0.5q→∞となる
＞３）なので、「(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題」ではない
計算の仕方が意味不明。お前がそこでやっていることは、
「 1/2 に近い無理数 x を1つ取り、有理数列 pn/qn であって pn/qn → x を満たすものを取った」
ということに過ぎない。このときに pn → ＋∞, qn → ＋∞ が成り立つのは当たり前の話。
で？どうしてそこから 「(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題ではない」という結論が出るんだ？
(a,b) ⊂ B_f が "成り立たない" ためには、(a,b) 内のある点 z において Af(z)＝＋∞ が
成り立たなければならないんだぞ？どうやってそのような点 z を見つけるんだ？
お前の書き方だと、あたかも Af(x)＝＋∞ が成り立つかのように書かれているが、
pn/qn を取っただけでどうして Af(x)＝＋∞ が出るんだ？
｜(f(x)－f(pn/qn))/(x－pn/qn)｜
↑この式で n→∞ としてみても、Af(x)＝＋∞ は全く出て来ないぞ？ >>190
もしかしてお前、A_f(x)＝0 と f(x)＝0 を混同してるんじゃないか？
あるいは、A_f(q/p)＝|p| と f(q/p)＝|p| を混同してるんじゃないか？
お前は f(x)＝0, f(pn/qn)＝ |qn| として計算しているんじゃないか？
何度も言うけど、俺は
f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
と書いたのではなくて、
＞A_f(x)＝ |p| (xは有理数で x＝q/p で p と q は互いに素),
＞A_f(x)＝ 有限値なら何でもよい (xは無理数)
と書いたのだぞ？あたま大丈夫？あるいは、
「 pn/qn → x かつ Af(pn/qn)＝|qn| → ＋∞ だから、Af(x)＝＋∞ 」
だと勘違いしてるんじゃないか？Af(z) は z の関数として連続ではないのだから、
pn/qn → x かつ Af(pn/qn) → ＋∞ でも Af(x)＝＋∞ なんて言えないぞ？ 準備
>>191 修正再録
http://yusuke-ujitoko.hatenablog.com/entry/2017/05/17/005434
リプシッツ連続 緑茶思考ブログ 2017-05-17
(抜粋)
定義:リプシッツ連続
関数f(x)が任意の実数x,yに対し、
|f(x)-f(y)|<= k|x-y|
を満たす0以上のkがとれるとき、関数f(x)はリプシッツ連続であるといい、kをリプシッツ定数という。
x=yのとき、任意の実数について上式は成り立つので、
「関数f(x)がリプシッツ連続」であることは、「x≠yとなる任意の実数x,yに対して
|f(x)=f(y)/(x-y)| <= k
を満たす0以上の定数kがとれることと同値である。
つまり関数f(x)がリプシッツ連続であるとは、関数y=f(x)のグラフ上の任意の異なる2点(a,f(a)),(b,f(b))を通る直線の傾きが、?k以上k以下である、
すなわち、関数f(x)の変化率の絶対値はkを超えないということである。
(引用終わり) 準備追加
（>>13より）f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
(引用終り)
「lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞」は、
下記の４つの Dini微分 (D^+ g)(c),(D + g)(c),(D^- g)(c),(D - g)(c)が
有限値で収まることを意味している。
https://www.amazon.co.jp/dp/0387984801
https://books.google.co.jp/books?id=MzQ6JA6SiHYC&;pg=PA215&lpg=PA215&dq=%22liminf+of+functions%22#v=snippet&q=%20&f=false
Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian 出版社: Springer; Softcover reprint of the original 1st ed. 1999版 (1998/11/1)
P220のパラグラフ5.3.6に４つの Dini微分 (D^+ g)(c),(D + g)(c),(D^- g)(c),(D - g)(c)
と、lim sup, lim inf との関係が載っている
(引用終り) 準備追加2
(>>169 追加引用)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%8B%E5%BE%AE%E5%88%86
ディニ微分
(抜粋)
定義[編集]
連続関数 f: R → R の上側ディニ微分（しばしば右上微分とも呼ばれる[1]）は、
f'_{+}(t) def＝ limsup _h → {0+} {f(t+h)-f(t)}/h
により定義される。ここで limsup は上極限を表す。同様に、下側ディニ微分は
f'_{-}(t) def＝ liminf _h → {0+} {f(t+h)-f(t)}/h
により定義される。ここで liminf は下極限を表す。
注意
・補完数直線上では、各ディニ微分は常に存在する。しかし、それらの値は有限とは限らず、+∞ や -∞ となることもある（すなわち、ディニ微分は「拡張実数値」の意味において、常に存在する）。
・f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。もし f が t において微分可能ならば、その t における各ディニ微分は通常の意味での微分に等しい。
D 記法と追加の定義
しばしば f'_{+}(t) の代わりに D^{+}f(t), f'_{-}(t)の代わりに D_{+}f(t) が記号として用いられ[1]、また
D^{-}f(t) def＝limsup _{h→ {0-} {f(t+h)-f(t)}/h, D_{-}f(t) def＝liminf _{h→ {0-} {f(t+h)-f(t)}/h
が定義される。
つまり、ディニ微分の「D 記法」は、プラスかマイナスかの符号によってそれぞれ左側、右側からの微分を表し、その符号の位置が上か下かによってそれぞれ上極限、下極限を表すのである。
(引用終り) 余談だが、投稿前に５CHバカ板で使えない文字をチェックする機能はないのかね～？
wikipediaのマイナス記号が化けるなど、ちょっと数学板とはしては、困ったものです（＾＾ >>199-202 の準備で何をしたかったのかというと
１．ディニ微分を間に入れて
定理1.7の条件；lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞
↓↑
ディニ微分
↓↑
定理1.7の結論；リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）
という関係を見ようとしたわけだ
２．まず、「lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞」から、４つのディニ微分がいずれも有限値だと
それは、即ちリプシッツ連続だということだ
３．逆もまた言えるわけだ。
リプシッツ連続だと、４つのディニ微分がいずれも有限値であると
そして、４つのディニ微分がいずれも有限値だと、「lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞」だと
（この部分は、ディニ微分を介さずとも、直接
”|f(x)-f(y)|<= k|x-y|” → ”lim sup y → x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞” が見易いかと思う）
つづく >>204 つづき
１．まず、リプシッツ連続”|f(x)-f(y)|<= k|x-y|” → ”lim sup y → x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞”
の方が分かりやすいので、ここからいくと
（>>13より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終わり)
で、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である
↓
f はある開区間の上で ”lim sup y → x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞”である
が言える
２．つまり、定理1.7が成り立つと、仮定の集合Bfもまた、ある開区間を含む
だから、定理1.7が成り立つと、補集合R－Bfが稠密ではないという結論になる（補集合R－Bfが稠密なら、Bfは開区間を含みえない）
３．繰り返すが、定理1.7が成り立つ場合は、補集合R－Bfが稠密ではない（∵開区間が存在するため）という結論になる
つづく >>205 つづき
１．さて、もう一つの下記
a) lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞
↓
b) リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）
を認めると、前記と併せて、a)とb)は同値ということになる
２．また、「仮定の集合Bfが、ある開区間を含む」場合
a)→b)を認めると、「仮定の集合Bfが、ある開区間を含む」→「その開区間でリプシッツ連続」が言える
以上 補足
なにが、自明（トリビア）かは、人によると思うが
”ディニ微分を間に入れて
定理1.7の条件；lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞
↓↑
ディニ微分
↓↑
定理1.7の結論；リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）
という関係を見”ると（>>204）
定理1.7の構造がよく見えるだろうと
以上 >>197-198
この例は、諸刃の剣というやつでしょ(>>190)
>>204より
リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）
↓↑
im sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞
が言えるから、リプシッツ連続を否定する例を作ると、自分に跳ね返って、
”im sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞”が、否定されるってことでしょ >>210 補足
定理1.7の証明を読んだが
（なお、定理1.7が分からない人は>>15-17ご参照）
１）
・f : R → R で Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
・Bf内のある点 x0 ∈ Bf の回りに、近傍（x0 - δ、x0 + δ）を取って
・近傍（x0 - δ、x0 + δ）内が、すべてBf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }を満たす
↓
近傍（x0 - δ、x0 + δ）内に、リプシッツ連続な開区間 （x0 - δ’、x0 + δ’）が取れるという
証明のストーリーと読みました
２）が、それ、暗黙に、”近傍（x0 - δ、x0 + δ）内が、すべてBf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }を満たす”を使っていますね？
３）その条件は、補集合R－BfがR中稠密な場合は、使えないでしょ
この点を補足しておきます。
なお、>>205も再度強調しておきます。
以上 >>206
> a) lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞
> ↓
> b) リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）
まず
もう少し正確な表現で描き直した上で証明をしてください
（成り立たない例は件の証明を書いた人が挙げていますよ？） >>211
>３）その条件は、補集合R－BfがR中稠密な場合は、使えないでしょ
ですので
R-BfがRで稠密な場合は定理の条件を満たすfは存在しないということになります
あなたが定理を``間違っている''と主張する場合
R-Bfが稠密でかつ可算個の疎な閉集合で被覆できるfの例を作れなければ
説得力は皆無ですよ >>212
ご苦労さまです
少々ご猶予を（＾＾
なにせ、私は、この板では証明を書かない主義です
といって、定理1.7のようにPDFをアップロードするつもりなく
まあ、分かりやすい証明を考えますよ（＾＾ >>213
ご苦労さまです
（引用）
「> ３）その条件は、補集合R－BfがR中稠密な場合は、使えないでしょ
ですので
R-BfがRで稠密な場合は定理の条件を満たすfは存在しないということになります」
(引用終わり)
いやいや、流石にそれは強引な主張では？（下記ご参照）
>あなたが定理を``間違っている''と主張する場合
>R-Bfが稠密でかつ可算個の疎な閉集合で被覆できるfの例を作れなければ
>説得力は皆無ですよ
私の主張は逆で、
定理1.7で、補集合R－BfがR中稠密な場合は、
きちんと、条件設定”補集合R－BfがR中稠密”を付加した上で、そういう関数ｆが存在しないというなら、
それを筋道立てて、証明すべきであると。それをやらないと説得力なしです。
以前も書いたように
ケース１
f : R → R で、Rの部分集合Bfがfの連続な点の集合で、補集合R－Bfが不連続な点の集合の場合
ケース２（上記の逆で）
f : R → R で、Rの部分集合Bfがfの不連続な点の集合で、補集合R－Bfが連続な点の集合の場合
この２つの場合で
ケース１では、”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆でき、R中稠密” な関数ｆは存在します。例としては、トマエ関数です
ケース２では、”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆でき、R中稠密” な関数ｆは存在しせん。理由は、下記の”不連続性の分類”をご参照ください
なので、問題の定理1.7のR－BfがR中稠密な場合は、きちんとした別証明が必要と思いますよ（みそくそ一緒の定理1.7の証明でなく）
そして、
ケース１のように、そのような「関数ｆ」が存在するなら、系1.8へ定理1.7を適用して矛盾を導くことはできません
ケース２のように、そのような「関数ｆ」が存在しないなら、系1.8の証明は、開区間の存在を経由することはありません
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
不連続性の分類
(抜粋)
関数の不連続点の集合
函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり（Gδ-集合）である。また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併（Fσ-集合）である。
(引用終わり)
以上 >>200 補足
この
https://www.amazon.co.jp/dp/0387984801
https://books.google.co.jp/books?id=MzQ6JA6SiHYC&;pg=PA215&lpg=PA215&dq=%22liminf+of+functions%22#v=snippet&q=%20&f=false
Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian 出版社: Springer; Softcover reprint of the original 1st ed. 1999版 (1998/11/1)
は、定理1.7を書いた人から、教えてもらったテキストです
一言補足です 再録
スレ48 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/439
439 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む 2017/12/23(土) 10:37:20.53
http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/real_analysis_2009_proceedings.pdf
典型的連続関数のDini微分 斎藤新悟 (Shingo SAITO) 九州大学大学院数理学研究院
(抜粋)
1 Dini微分とDenjoy-Young-Saksの定理
x = 0, 1 においては Dini 微分のうちいくつかが定義されないため，以下では (0, 1) の点における Dini 微分を主に考える．
Dini 微分に関する最も重要な定理の 1 つが次の Denjoy-Young-Saks の定理である：
定理 1.2（Denjoy-Young-Saks の定理）
f : [0, 1] → R とする．このとき，ほとんどすべての x ∈ (0, 1) に対して次のいずれかが成立する：
(1) D^+f(x) = D+f(x) = D^-f(x) = D-f(x) ∈ R，すなわち f は x で微分可能．
(2) D^+f(x) = D-f(x) ∈ R, D^-f(x) = ∞, D+f(x) = -∞．
(3) D^-f(x) = D+f(x) ∈ R, D^+f(x) = ∞, D-f(x) = -∞．
(4) D^±f(x) = ∞, D±f(x) = -∞．
注意 1.3 この定理では，f の連続性や可測性は仮定する必要がない．歴史的には最初にDenjoy, Young が独立に連続関数について示し，次に Young が可測関数にまで拡張し，最後に Saks が任意の関数について証明した．証明は例えば [2] の §3.5 を参照．
Denjoy-Young-Saks の定理の威力を実感するため，この定理から直ちに従う 2 つの系を述べる．
系 1.5 任意の f : [0, 1] → R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である．
証明 f ′(x) = ∞ なる x ∈ (0, 1) では Denjoy-Young-Saks の定理の (1), (2), (3), (4) のいずれも成立しないことから系が従う．
http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/talks.html
研究集会での講演 斎藤新悟 九州大学基幹教育院准教授
(抜粋)
36．典型的連続関数の Dini 微分 (2009/10/23) ［日本語講演，60 分］
実解析学シンポジウム 2009 ＠ 城西大学 坂戸キャンパス 関連文書：アブストラクト，報告集
(引用終り)
（追加）
https://en.wikipedia.org/wiki/Denjoy%E2%80%93Young%E2%80%93Saks_theorem
Denjoy?Young?Saks theorem
以上 おっちゃんです。
背理法のからくり。
基本的に、背理法で示せる命題は、有限回の推論で矛盾を導くことで示せるようになっている。
Pを仮定、Qを結論とする。P、Qが両方共に真或いは偽のどちらか一方になるのときの命題 P→Q を示すことを考える。
命題 P→Q を背理法で示すとする。Qを否定する。その上で元の仮定のPも仮定する。
そうすると、P、Qは両方共に真か偽のどちらか一方だから、命題 P∧ ￢Q を偽と仮定したことになる。
そして、偽の命題 P∧ ￢Q から始めて、有限回の推論で、背理法で示すべき命題 P→Q を示すことになる。
これを行うにあたり、Qの否定 ￢Q からいえることだけを適用して有限回の推論で矛盾を導けて P→Q を導けるとする。
そうすると、P、Qは両方共に真か偽のどちらか一方で、示すべき命題 P→Q は元々真だから、
仮定のPを任意の(Pとは異なる他の)仮定 P' で置き換えて P'→Q を背理法で示せることになる。
つまり、一般論として、結論Qが与えられた上で、任意の仮定 P' に対して、命題 P'→Q を背理法で示せることがいえる。
だが、これはあり得ない。有限回の推論の過程においてこのあり得ない事柄を導いて矛盾を得られた原因は、
背理法で命題 P→Q を示すにあたり、偽の命題 P∧ ￢Q から推論を始めて、
￢Q だけから行える有限回の推論に基づくことのみを適用して有限回の推論で矛盾を導けたことにある。
従って、背理法で命題 P→Q を有限回の推論で示すにあたり、命題 P∧ ￢Q を偽と仮定して、
￢Q だけから行える有限回の推論に基づくことのみを適用して有限回の推論で矛盾を導いて P→Q を導いてはならない。
だから、背理法で命題 P→Q を有限回の推論で示すには、単に ￢Q からいえることだけではなく、
元の仮定Pに含まれているすべての事柄から行える推論に基づくことも適用して有限回の推論で矛盾を導いて命題 P→Q を示さないといけない。 (>>218の続き)
そうして背理法の枠組みの中で命題 P→Q を示すにあたり、偽の命題 P∧ ￢Q を仮定して、
有限回の推論で矛盾を導くと、矛盾を導けた原因は偽の命題 P∧ ￢Q を仮定したことにあるから、
命題 P→Q を示すにあたり仮定した偽の命題 P∧ ￢Q は否定されることになる。
そうすると、背理法の推論の過程では P∧ ￢Q を否定した命題 ￢(P∧ ￢Q)＝￢P ∨ ￢￢Q＝￢P ∨Q が得られることになる。
つまり、Pでない または Qである といえることになる。示すべき命題 P→Q を背理法で示すにあたり、
仮定のPは元から仮定されているから、Pであることがいえて、「Pでない」ということはあり得ない。
だから、「Qである」ことがいえる。つまり結論Qが得られる。
そのようにして、命題 P→Q を背理法で示すようになる。背理法の推論の仕組みとしては、そのようになっている。
スレ主は、今回の場合、仮定のPにあたる定理1.7の「R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる」を完全に適用していない。
それ故に、背理法を正しく適用出来ていないことになる。 まあ、>>219の
>命題 ￢(P∧ ￢Q)＝￢P ∨ ￢￢Q＝￢P ∨Q
は正しくは
>命題 ￢(P∧ ￢Q)≡￢P ∨ ￢￢Q≡￢P ∨Q
である。スレ主に、今回の背理法による推論のからくりは教えた。
だが、定理1.7を背理法で示すにあたり、
「R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる」を完全に適用するには ε-δ だけでなく
最低でも位相空間は必要だな。 >>215
＞定理1.7で、補集合R－BfがR中稠密な場合は、
＞きちんと、条件設定”補集合R－BfがR中稠密”を付加した上で、そういう関数ｆが存在しないというなら、
＞それを筋道立てて、証明すべきであると。それをやらないと説得力なしです。
＞
＞なので、問題の定理1.7のR－BfがR中稠密な場合は、きちんとした別証明が必要と思いますよ（みそくそ一緒の定理1.7の証明でなく）
その屁理屈は聞き飽きた。同じ屁理屈を 定理C に適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理C で、「 f が原点で不連続」な場合は、きちんと条件設定 "f は原点で不連続" を
付加したうえで、そういう関数ｆが存在しないというなら、それを筋道立てて、証明すべきであると。
それをやらないと説得力なしです。 なので、問題の定理Cの「 f が原点で不連続な場合」は、
きちんとした別証明が必要と思いますよ（みそくそ一緒の 定理C の証明でなく）
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
ここでスレ主は、定理C のときだけは、次のような別の屁理屈を繰り出すのである。
――――――――――――――――――――――――――――――
定理Cの場合は、f が原点で不連続という場合分けは存在しない。
なぜなら、f が微分可能なら f は原点で連続になるからだ。
なぜそうなるかって？定理Cにそう書いてあるじゃないか。
――――――――――――――――――――――――――――――
だったら、同じ屁理屈を定理1.7にも適用すれば、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――
定理1.7 の場合は、R－B_f が R の中で稠密という場合分けは存在しない。
なぜなら、R－B_f が第一類集合なら、f はある開区間の上でリプシッツ連続だからだ。
なぜそうなるかって？定理1.7 にそう書いてあるじゃないか。
――――――――――――――――――――――――――――――――
結局、スレ主とかいうゴミクズの屁理屈は、どちらに転んでも自爆に終わるのである。 >>204
＞２．まず、「lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞」から、４つのディニ微分がいずれも有限値だと
＞ それは、即ちリプシッツ連続だということだ
息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。
お前の屁理屈を適用すると、
「 Af(x) が各点で有限値なら、f はどの区間の上でもリプシッツ連続だ 」
ということになる。しかし、既に見た
f(x)＝0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
という関数が反例であると何度も言っている。この f は原点の近傍でリプシッツ連続にならないのである。
任意の点で A_f(x) が有限値であるにも関わらずな。
>>206
＞１．さて、もう一つの下記
＞ a) lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞
＞ b) リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）
＞ を認めると、前記と併せて、a)とb)は同値ということになる
(a)と(b)は同値にならない。理由は上に同じ。上で挙げた関数 f について、
A_f(x) は任意の点で有限値であるが、この f は原点の近傍でリプシッツ連続ではない。 >>205
＞２．また、「仮定の集合Bfが、ある開区間を含む」場合
＞ a)→b)を認めると、「仮定の集合Bfが、ある開区間を含む」→「その開区間でリプシッツ連続」が言える
まさしく「息をするように間違えるゴミクズ」。
上記の関数 f について、B_f＝R が成り立つので、(a,b)⊂B_fなる開区間は取り放題である。
特に (－1, 1)⊂B_f という開区間を取ってみよう。すると、お前が言うところの
＞「仮定の集合Bfが、ある開区間を含む」→「その開区間でリプシッツ連続」が言える
を適用すれば、f は (－1, 1) 全体でリプシッツ連続ということになるが、
しかし f は (－1, 1) 上ではリプシッツ連続にならない。 >>208
＞この例は、諸刃の剣というやつでしょ
原理的には諸刃の剣であることは俺も理解している。しかし、
「 >>110により、そのような関数は存在しない 」
と何度も添えているので、実際には俺の方は無傷なのである。一方で、お前はノーダメージとはいかない。
なぜなら、>>190のような関数が存在しないことを>>110を経由せずに自明に証明できなければ、
「 (a,b)⊂B_f なる開区間が存在するなら、f がある区間の上でリプシッツ連続になるのは自明だ」
というお前の直観が破壊されるからである。
というか、今までのお前の立場を考慮すると、お前の方から自発的に
>>190のような関数の有無に拘るべきなのである。にも関わらず、お前には
「 (a,b)⊂B_f なる開区間が存在するなら、f がある区間の上でリプシッツ連続になるのは自明だ」
というアホな "思い込み" があるので、お前は上記のような考察をせず、
なぜか俺の方から そのような考察をするという逆転した状況になっているのであるｗ >>211
＞・f : R → R で Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
＞・Bf内のある点 x0 ∈ Bf の回りに、近傍（x0 - δ、x0 + δ）を取って
＞・近傍（x0 - δ、x0 + δ）内が、すべてBf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }を満たす
＞ 近傍（x0 - δ、x0 + δ）内に、リプシッツ連続な開区間 （x0 - δ’、x0 + δ’）が取れるという
＞ 証明のストーリーと読みました
微妙に間違っている。正確には、もっと強いことを言っている。
・ ある B_{N,M} に対して、(a,b) ⊂ B_{N,M} なる開区間が存在する
・ この開区間の中にリプシッツ連続な区間が取れる
このように、B_f ではなく B_{N,M} 内に開区間が取れると言っている。
これは、B_f の中に開区間が取れることよりも遥かに強い条件になっている。
なぜなら、既に述べたように、B_f の各点xでは A_f(x) がただ単に有限値であるにすぎないのに対して、
B_{N,M} 上では一様に A_f(x)≦N が成り立つからだ。
＞２）が、それ、暗黙に、”近傍（x0 - δ、x0 + δ）内が、
＞すべてBf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }を満たす”を使っていますね？
微妙に間違っている。正確には、もっと強いことを使っている。上で述べたように、
「ある B_{N,M} が (a,b) ⊂ B_{N,M} なる開区間を含む」ということを使っている。
この場合、(a,b)内の各点 x に対して Af(x)≦N が成り立つことになる。
そのような強い条件を使っているのである。
[続く] [続き]
＞３）その条件は、補集合R－BfがR中稠密な場合は、使えないでしょ
使える。なぜなら、R－B_f が第一類集合なら、ベールのカテゴリ定理より、ある B_{N,M} に対して
(a,b) ⊂ B_{N,M} なる開区間が存在するからだ。すなわち、「 R－B_f が第一類集合 」という条件は
「 ある B_{N,M} に対して (a,b) ⊂ B_{N,M} なる開区間が存在する 」
という滅茶苦茶に強い条件を暗黙のうちに含意しているのである。
特に、R－B_f が第一類集合なら、R－B_f は R の中で稠密になりえないのである。
そういう「なりえない条件」を最初から付け加えたところで、仮定が偽になるだけである。
お前の屁理屈を使えば、
「そのような場合分けは存在しない」
のである。文句があるなら「ベールのカテゴリ定理」を批判したまえ。 というか、何のための「第一類集合」だと思っているのだ。一般に、A ⊂ R が
「 R－A は第一類集合 」
という条件を満たすならば、A ⊂ ∪_k F_k なる可算無限個の閉集合 F_k を
任意に取るとき、ベールのカテゴリ定理により、ある F_k は内点を持つことになる。
すなわち、(a,b)⊂F_k なる開区間が取れることになる。大事なことなのでもう一度言う。
――――――――――――――――――――――――――――――
R－A が第一類集合ならば、「 A 」の方については、
A ⊂ ∪_k F_k なる可算無限個の閉集合 F_k を任意に取るとき、
ある F_k は内点を持つ(ベールのカテゴリ定理より)。
――――――――――――――――――――――――――――――
すなわち、R－A が第一類集合ならば、「 A 」の方は非常に強い性質を持っているのである。
にも関わらず、お前はこのことをずっと無視しつづけており、機械的に「第一類集合」という言葉を
振り回すだけで、第一類集合から導かれる上記の「強い」性質を全く視野に入れていない。
「 A 」が非常に強い性質を持つならば、その性質から暗黙のうちに含意される
様々な派生の性質があるはずで、それらの性質に矛盾するような条件は、お前から言わせれば
条件として追加できないはずであり、「場合分けとして存在しない」はずなのである。
しかし、お前は機械的に「第一類集合」という言葉を振り回すだけで、この条件から
何が言えるのか全く考慮してないために、お前が思いついた場合分けは何でも可能だと
思い込んでいる。いや、実際にはどんな場合分けも可能(おかしな場合分けは仮定が偽になるだけで、
場合分け自体は可能)なのだが、お前に言わせれば、「矛盾する場合分けは最初から
場合分けとして存在しない」はずである。にも関わらず、お前は追加した条件が
矛盾しているかどうかを全く考慮していないのである。やってることに一貫性がなくて滅茶苦茶。 とりあえず、これだけは言っておこう。
R－B_f は第一類集合とする。このとき、「 B_f 」の方は次の性質を満たす。
――――――――――――――――――――――――――――――――
B_f ⊂ ∪_k F_k なる可算無限個の閉集合 F_k を任意に取るとき、
ある F_k は内点を持つ(ベールのカテゴリ定理より)。
――――――――――――――――――――――――――――――――
↑お前は今までずっとこの性質を無視し続けてきたので、これからはこの性質を使いたまえ。 あと、定理1.7とは違う話になるが、練習問題も出しておく。
以下、f：R→R に対して、f の不連続点全体の集合を E_f と書くことにする。
連続点ではなく、「不連続点」の集合な。
このとき、次の定理が成り立つ。
――――――――――――――――――――――――――――――――
定理E：
R－E_f が第一類集合ならば、(a,b) ⊂ E_f を満たすa,bが存在する。
――――――――――――――――――――――――――――――――
↑この 定理E は正しい定理である。スレ主にはその理由が分かるかな？ >>215
>いやいや、流石にそれは強引な主張では？（下記ご参照）
強引ではありませんよ
P->Q
と
P∧￢Q->矛盾 （もしくはP∧￢Qは偽）
は同値だからです
この定理は
P:R-Bfが可算個の疎な閉集合で覆える
Q:fがリプシッツ連続となる開区間が存在する
というものであり
ｆにリプシッツ連続となる開区間が存在するならR-BfがRで稠密にならないのは自明ですので
''R-Bfが可算個の疎な閉集合で覆える"∧"R-BfがRで稠密"->矛盾
となる訳です
件の証明を書いた人が再三指摘しているあなたの思考法の難点は
背理法を理解していないことにあるようですね 結局
>>131
にはお答えいただけないようですね >>231
お前だって質問に答えないだろうがw
人には厳しいのね ぷ ＞なにせ、私は、この板では証明を書かない主義です
と、教科書を読まない主義、勉強をしない主義のバカが申しております >>215
>きちんと、条件設定”補集合R－BfがR中稠密”を付加した上で、そういう関数ｆが存在しないというなら、
>それを筋道立てて、証明すべきであると。それをやらないと説得力なしです。
P->Q
が真である場合
A->￢Q
が真であっても（なくても）
P∧A->Q
も真ですよ
また
A->￢Q
が真である場合
P∧A->Q∧￢Q
も真となりますので
P∧Aは偽
ということです
ここで
P:R-Bfが可算個の疎な閉集合で覆える
Q:fがリプシッツ連続となる開区間が存在する
A:R-BfがRで稠密
を想定してください >>215
>>あなたが定理を``間違っている''と主張する場合
>>R-Bfが稠密でかつ可算個の疎な閉集合で被覆できるfの例を作れなければ
>>説得力は皆無ですよ
>
>私の主張は逆で、
>定理1.7で、補集合R－BfがR中稠密な場合は、
>きちんと、条件設定”補集合R－BfがR中稠密”を付加した上で、そういう関数ｆが存在しないというなら、
>それを筋道立てて、証明すべきであると。それをやらないと説得力なしです。
背理法を理解していないことが納得がいかない元凶です
また
あなたの主張の1つは``件の定理は間違っている''というものですから
間違っていることを証明するか成立しない例を挙げるかその主張を取り下げるかしかありません
``間違っている''という主張を取り下げた上で``間違っていそうな気がする''程度であれば
数学的に間違ったことを主張しているということでの批判はされはしないでしょう あなたの主張の1つは``時枝戦略は間違っている''というものですから
間違っていることを証明するか成立しない例を挙げるかその主張を取り下げるかしかありませんよ >>236
``間違っていそうな気がする''
程度であってもバカにされることを気にするかも知れませんね
証明を読んで納得することが肝要ですよ >>236-238
>あなたの主張の1つは``件の定理は間違っている''というものですから
>間違っていることを証明するか成立しない例を挙げるかその主張を取り下げるかしかありません
えらく根源的なレベルまで、話が戻っていますかね？
私の主張は、数学の理論というのは、定理：P→Q で、
定理が成立するというのは、P真→Q真が成り立っていて、命題PからQがきちんと導かれる（＝証明がつけられる）
べし だと
そうして、定理の連鎖による数学の理論体系を構築する。定理：P→Q、定理：Q→R、・・・と続いて連鎖と理論体系を成すべし
その中に、「実は、P偽→Q偽で、命題自身は真なのですが・・」なんてのを、混ぜたら、みんなズッコケでしょう？
つづく >>239 つづき
これを定理1.7に見るに（>>13より）
命題P中 「R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」を、普通に場合分けすると
（>>23より）
１）R中稠密でない場合、
２）R中稠密な場合
に、二分でき
１）の場合について、
命題P’1：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。」
２）の場合について、
命題P’2：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
となる
そこで
>>205より、「定理1.7が成り立つと、仮定の集合Bfもまた、ある開区間を含む
だから、定理1.7が成り立つと、補集合R－Bfが稠密ではないという結論になる（補集合R－Bfが稠密なら、Bfは開区間を含みえない）」
なので、命題P’2のい場合ついては、仮定P’2（稠密で開区間なし）と、 結論：ある開区間がリプシッツ連続 →この開区間は仮定のBfの条件を満たす
従って、仮定P’2と結論とが矛盾しているので、ここはきちんと場合分けをすべきだと
そして、「証明が正しいから、これで良いのだ」と仰るが、それはおかしい
繰り返すが、本来、定理の命題と証明は分離されるべきもので、例えば、定理が正しければ、元の証明以外の別証明もありうるわけだし
数学の定理の命題は、上記のように数学の理論体系の一部をなすべきものであるから、
命題の論理の連鎖がつながるように、最低限の体裁を整えないといけませんね
２）の場合について、
命題P’2：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
↓
結論：この場合は、ｆは空集合（存在しない）
という定理を立てるなら、それはまっとうな数学の定理と言える
しかし、
「結論：ある開区間がリプシッツ連続」
で、この場合は空集合で、条件が偽です。
「それで良い。条件が偽で命題は正しいし、証明が正しいから」
では、まずいと思いますよ
以上 >>237
時枝については、確率過程論や、ランダム現象の数理の中に、当てられない数列の例が、存在します
それが反例ですが、その理解が難しいんでしょうね
なお、ここらは、日本の伊藤清先生らの系譜で、日本数学の伝統の分野です >>240 補足
系1.8については、別の理論で証明されています。それは既述の通りです。多分、ここは合意でしょう。
そして、背理法は系1.8の部分です。
問題は、定理1.7です。
ここは、背理法以前です。
定理1.7で、上記>>240 ２）の場合について、
命題P’2：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
が、本当に空集合になるのかどうか？ それは知りません
おそらく、空ではなく、反例として存在するのではないかと思っています
まあ、普通の連続・不連続で、R中の部分集合として連続がFσ、不連続がGδとして存在するの類似かな？と
つまり、「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }」が連続に相当しFσ
補集合 R－Bf が、不連続に相当しGδだろうと
残念ながら、そういう理論の論文は見つかりませんでした
そして、これも残念ながら、リプシッツ連続や上記のBfと R－Bf とについて
「Fσ vs Gδ」理論を構築するような”かしこい頭”は、私にはありません（＾＾
どなたか、これに関する文献などあれば、ご紹介ください
「そんなこと簡単にできるよ」と、どなたか実行して頂ければ、さらに幸甚です（＾＾
以上
追伸
命題の仮定と結論レベルで矛盾している定理を、「証明しました」というのは、普通は「？」ですよ >>218
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ご苦労さまです
>有限回の推論に基づくことのみを適用して有限回の推論で矛盾を導いて
数学的帰納法や超限帰納法は、有限ですか無限ですか？
>>219
定理1.7は、背理法ではありませんよ
だから問題なんです
系1.8は、背理法です。
>>220
「完全に適用していない」とか、関係ないでしょ？ 一部だけの使用でも矛盾が導ければ同じと考えます
以上 >>231
>>>131
>にはお答えいただけないようですね
なんども同じことを書いていますが
>>239-240 & >>242 をご参照ください >>244 補足
(>>240より)
仮定P’2：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
↓
結論：この場合は、ｆは空集合（存在しない）
は、証明可能かもしれません。（定理1.7の証明で、「自動的に証明できている」という主張は無茶では？）
しかし
仮定P’2：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
↓
f はある開区間の上でリプシッツ連続である
↓
結論： f はある開区間（＝リプシッツ連続な開区間）の上で ”lim sup y → x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞”である
が言える （つまり、リプシッツ連続→”lim sup y → x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞” が成立。つまり、Bf内に開区間ありと）
（>>205より）
ですから、繰り返しますが
仮定は、補集合がR中稠密で、Bfは開区間など持ち得ない
結論は、Bfは開区間を持つ
です
だから、仮定から結論は、導けない。
この証明は不可能でしょう
だから、
仮定：補集合がR中稠密で、Bfは開区間など持ち得ない
から出発して
結論(A)：そのようなｆは空集合（存在しない）
結論(B)：そのようなｆは存在し、反例になる
このように、結論(A)か結論(B)か、どちらかをきちんと証明すべきです
（繰り返すが、仮定：補集合がR中稠密で、Bfは開区間など持ち得ない だから、結論が、Bf内に開区間あり は、まずいよと）
以上 >>235
>P->Q
>が真である場合
１）
P：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」（>>245）
Q：「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」
↓
f はある開区間（＝リプシッツ連続な開区間）の上で ”lim sup y → x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞”である
が言える （つまり、リプシッツ連続→”lim sup y → x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞” が成立。つまり、Bf内に開区間ありと）
ですから、P→Q（”Bf内に開区間あり”）です
２）
一方で、”Bfの補集合が、R中稠密”ですから、Bf内に（Bfのみの）開区間なし（必ずBfの補集合R－Bfがその開区間に交じります）
ですから、P→￢Qです
３）
P→QとP→￢Qとは両立しません。どちらかを捨てるしかありません（排中律）
P→￢Qは”R中稠密”から自明ですので、P→Qを捨てることになります。
以上 >>230
引用
「この定理は
P:R-Bfが可算個の疎な閉集合で覆える
Q:fがリプシッツ連続となる開区間が存在する
というものであり
ｆにリプシッツ連続となる開区間が存在するならR-BfがRで稠密にならないのは自明ですので
''R-Bfが可算個の疎な閉集合で覆える"∧"R-BfがRで稠密"->矛盾
となる訳です
件の証明を書いた人が再三指摘しているあなたの思考法の難点は
背理法を理解していないことにあるようですね」
(引用終わり)
ここは、>>246ご参照
”P→QとP→￢Qとは両立しません。どちらかを捨てるしかありません（排中律）
P→￢Qは”R中稠密”から自明に成立ですので、P→Qを捨てることになります。”ってことです
背理法とは、明白に異なっています
以上 >>214 補足
>まあ、分かりやすい証明を考えますよ（＾＾
＜経過報告＞
（>>204より）
１）定理1.7の条件；lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ （ lim supが有限）
↓↑
２）ディニ微分 （４つのDini微分が有限）
↓↑
３）定理1.7の結論；リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）（k 有限）
まあ、命題３つとも全部”有限からみ”で、特に”２）ディニ微分 （４つのDini微分が有限）”を中心にして、１）２）３）が全て同値が言えるのえではというのがそもそもの発想です
１）と２）が同値であることは、>>200 テキスト Fundamentals of Real Analysis のP220 で終わっていると思う
３）が見かけ一番強い条件で、３）→１）を見るのは易しい（>>205に書いた）
だから、２）→３）又は１）→３）が言えれば良い
仮定は１）の”lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ （ lim supが有限）”の開区間が存在するだから
この開区間が存在する仮定のもとで、→（この区間内で）”リプシッツ連続”が言えれば良い
まあ、この程度の話だから、すでにどこかのテキストに同じ命題か類似命題があるのでは・・、その方が説得力もあるので探しているところ
無ければ、それこそ背理法を使って
”lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ （ lim supが有限）”の開区間が存在するにも拘わらず
この開区間内に、”リプシッツ不連続”な点（k 無限大発散）
として、矛盾を導く（例えば、”リプシッツ不連続”（k 無限大発散）な点では、４つのDini微分のどれかが無限大になる）
方針で、証明することになるだろう
（まあ、なにかテキストを見つけて読んだ方が勉強になるので、いま模索＆思案中です・・（＾＾ ）
以上 >>240
＞そこで
＞>>205より、「定理1.7が成り立つと、仮定の集合Bfもまた、ある開区間を含む
＞ だから、定理1.7が成り立つと、補集合R－Bfが稠密ではないという結論になる（補集合R－Bfが稠密なら、Bfは開区間を含みえない）」
＞なので、命題P’2のい場合ついては、仮定P’2（稠密で開区間なし）と、
＞結論：ある開区間がリプシッツ連続 →この開区間は仮定のBfの条件を満たす
＞従って、仮定P’2と結論とが矛盾しているので、ここはきちんと場合分けをすべきだと
同じ屁理屈を定理Cに適用すると、次のようになる。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理Cが成り立つと、f が原点で微分可能なら、f は原点で連続である。だから、
定理Cが成り立つと、f は原点で不連続になりえないという結論になる。なので、
(1) f が原点で連続である場合 (2) f が原点で不連続である場合
と場合分けしたときの (2) の場合については、仮定(2)と結論とが
矛盾しているので、ここはきちんと場合分けをすべきだと。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
↑このように、お前は定理Cについて「(1),(2)のケースに場合分けしなければならない」と
ほざいているのである。 >>240
＞２）の場合について、
＞命題P’2：「R－Bf：RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
＞ ↓
＞結論：この場合は、ｆは空集合（存在しない）
＞という定理を立てるなら、それはまっとうな数学の定理と言える
＞しかし、
＞「結論：ある開区間がリプシッツ連続」
＞で、この場合は空集合で、条件が偽です。
＞「それで良い。条件が偽で命題は正しいし、証明が正しいから」
＞では、まずいと思いますよ
同じ屁理屈を定理Cに適用すると、次のようになる。
―――――――――――――――――――――――――――――――
「(2) f は原点で不連続」の場合について、
命題：f は原点で微分可能で、fは原点で不連続とする。
↓
結論：この場合は、f は空集合(存在しない)
という定理を立てるなら、それはまっとうな数学の定理と言える
しかし、
「結論：f は原点で連続」
で、この場合は空集合で、条件が偽です。
「それで良い。条件が偽で命題は正しいし、証明が正しいから」
では、まずいと思いますよ。
―――――――――――――――――――――――――――――――
↑このように、お前は定理Cについて「定理Cの記述のままでは まずいと思いますよ」と
ほざいているのである。 しかし、スレ主は定理Cに対しては次のような屁理屈を繰り出すのだった。
――――――――――――――――――――――――――――――
定理Cの場合は、「(2) f が原点で不連続」という場合分けは存在しない。
なぜなら、f が微分可能なら f は原点で連続になるからだ。
なぜそうなるかって？定理Cにそう書いてあるじゃないか。
――――――――――――――――――――――――――――――
だったら、同じ屁理屈を定理1.7にも適用すれば、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――
定理1.7 の場合は、「 R－B_f が R の中で稠密」という場合分けは存在しない。
なぜなら、R－B_f が第一類集合なら、f はある開区間の上でリプシッツ連続だからだ。
なぜそうなるかって？定理1.7 にそう書いてあるじゃないか。
――――――――――――――――――――――――――――――――
結局、スレ主とかいうゴミクズの屁理屈は、どちらに転んでも自爆に終わるのである。 >>245
＞ですから、繰り返しますが
＞仮定は、補集合がR中稠密で、Bfは開区間など持ち得ない
＞結論は、Bfは開区間を持つ
＞です
＞
＞だから、仮定から結論は、導けない。
＞この証明は不可能でしょう
>>142-143で論破済み。示すべきは
・「P → Q 」が真であることを証明すること
なのであって、「 P という仮定のもとで絶対に Q を導かなければ証明にならない 」
というわけではない。P が偽であることが示せたなら、その時点で
「P → Q 」は真だと確定するので、もはや Q に言及する必要は
どこにもなく、証明は終わっている。
どうしても Q を導出したければ、>>143に書いたように、
「矛盾した命題からは何でも導出できるので～」という論法を使って
「 Q 」を導出すればよい。今回の場合は、仮定が矛盾していることを導いた後、
―――――――――――――――――――――――――
矛盾した命題からは任意の命題を導出してよいので、
特に「Bfは開区間を持つ」という命題を導出してよい。
よって、Bfは開区間を持つ。
―――――――――――――――――――――――――
と書けばよい。これできちんと結論が導出できている。
いずれにしても、お前がそこで書いていることは>>142-143で論破済み。 >>248
＞だから、２）→３）又は１）→３）が言えれば良い
言えないよ。もしそこが言えたら、
(★) (a,b)⊂B_f なる開区間が存在するなら、f は (a,b) 全体でリプシッツ連続である
ということが示せることになってしまうが、既に見たように
f(x)＝0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
が(★)の反例になっている。この例では、(－1,1)⊂B_f が成り立つにも関わらず、
f は (－1,1) 上ではリプシッツ連続になってない。
つまり、お前の方針は自動的に失敗する。 >>242
＞つまり、「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }」が連続に相当しFσ
＞補集合 R－Bf が、不連続に相当しGδだろうと
バカだな。一般に、次の 定理F が成り立つことに注意せよ。
――――――――――――――――――――――――――――――
定理F：
A ⊂ R は Fσ集合とする。このとき、もし R－A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。
――――――――――――――――――――――――――――――
よって、もし Bf が Fσ 集合ならば、R－B_f が第一類集合のときには
(a,b)⊂B_f なる開区間が必ず取れることが即座に確定する。
このことは、定理1.7を経由することで既に確定しているが、
上記の 定理F により、さらに直接的に確定するのである。
つまり、Bf が Fσ 集合ならば、R－B_f が第一類集合のときに
「 R－B_f は R の中で稠密 」
なんてのは最初から起こりようが無いのである。
スレ主の屁理屈によれば、"R の中で稠密" なんていう場合分けは存在しないのである。
つまり、お前が「 Bf は Fσ 集合であろう」と予想するなら、お前は自分自身の手で
墓穴を掘っていることになるのだ。
ちなみに、Bf は実際に Fσ 集合である。例の pdf のままではそのことは証明できないが、
手元にはその証明がある。そして、そのことを使っても定理1.7が証明できる。
なんなら、うｐろだに上げてもよい。 >>241
＞時枝については、確率過程論や、ランダム現象の数理の中に、当てられない数列の例が、存在します
アホ丸出しｗ 数学用語はリズムが合わないな。脚韻とかそっちの文学世界の方が楽しい。 時枝氏の議論はもう置いておこう。なんの話しか分からなくなる。
スレ主も「時枝」を議論したいなら専用スレ作ることを提案する。貴重な議論が「時枝」ですぐ乱れる。数学ネタをココから少々拾う身としては辛い。
専用スレ作っても意味無いかも知れぬが。 >>257
> 貴重な議論が「時枝」ですぐ乱れる。
貴重ですかねコレ
あまりに馬鹿馬鹿しい議論だと思いますが
証明読めば分かるのに難癖つけまくってるだけですよね
懇切丁寧に説明しても一向に分からないスレ主
時枝も同じですよ
問題を読み違えている人とか、まったく分かってない人とか
確率0とかねｗ
読み違えを指摘されても全く答えない ぷ氏 ＞時枝については、確率過程論や、ランダム現象の数理の中に、当てられない数列の例が、存在します
そこまで言うなら、数列の実例を挙げて当てられないことを証明しては？
時枝解法のどこが破綻するのか具体的に示してね おっちゃんです。
>>243
＞>有限回の推論に基づくことのみを適用して有限回の推論で矛盾を導いて
＞
＞数学的帰納法や超限帰納法は、有限ですか無限ですか？
これも有限回の推論になる。 >>243
＞>>219
＞定理1.7は、背理法ではありませんよ
＞だから問題なんです
>>218-219の補足だが、命題 P→Q を示すにあたり、背理法で
命題 P∧ ￢Q を偽と仮定したことは、Pであって かつ Qでない ことを仮定したことになる。
これは定理1.7でいうと、 「R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆出来」て
かつ 「f ：R→R は如何なる開区間の上でもリプシッツ連続ではない」ことを仮定したことになる。
つまり、「R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆出来」て かつ
「f ：R→R は如何なる開区間の上でも微分不可能 または fが或る開区間上微分可能だとしても導関数 f' は不連続である」
ことを仮定したことになる。これは、スレ主に従うと、そのままスレ主の主張に当てはまることになる。
そして、>>218-219の>>218で書いたことの一部と似たような内容になるが、定理1.7を偽として真の命題である系1.8を導く証明が正しいとする。
そうすると出だしの定理1.7が偽だから、定理1.7とは違う他の命題 P' で任意に置き換えて、命題 P' から系1.8が導けることになる。
だが、このようなことはあり得ない。だから、定理1.7を偽として真の命題である系1.8を導く証明は正しくない。
だから、定理1.7を真として真の命題である系1.8を導く証明をすることになる。
それ故、このように、スレ主の主張に対して>>218-219の内容に似たことが適用されることになる。 >>243
＞>>220
＞「完全に適用していない」とか、関係ないでしょ？ 一部だけの使用でも矛盾が導ければ同じと考えます
一部の使用だけだと、使った部分のみを仮定とする命題を示したことになる。
理由はやはり>>218-219の>>218の一部の内容に似たことが適用されることになる。
>>261の「>>218で書いたことの一部」やこのレスでいう「>>218の一部」とは、具体的には
>これを行うにあたり、Qの否定 ￢Q からいえることだけを適用して有限回の推論で矛盾を導けて P→Q を導けるとする。
>そうすると、P、Qは両方共に真か偽のどちらか一方で、示すべき命題 P→Q は元々真だから、
>仮定のPを任意の(Pとは異なる他の)仮定 P' で置き換えて P'→Q を背理法で示せることになる。
>つまり、一般論として、結論Qが与えられた上で、任意の仮定 P' に対して、命題 P'→Q を背理法で示せることがいえる。
>だが、これはあり得ない。
の部分のこと。 >>248 準備
＜リプシッツ連続まとめ＞
１）いろいろ調べているが、文献が多いのは、圧倒的に”リプシッツ連続”に関すること
２）次が、ディニ微分。ディニ微分に関する和文の文献は数えるほどだ。英文はかなりあるが、本格的な論文か、出版された実解析の教科書がほとんどだな
３）”定理1.7の条件；lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ （ lim supが有限）”は、あまりなさそう。まあ、名前もついていないしね
４）で、”リプシッツ連続”が下記だが、「連続的微分可能 ⊆ リプシッツ連続 ⊆ α-ヘルダー連続 (0 < α <= 1) ⊆ 一様連続 ⊆ 連続函数」で
５）上記１）～３）は、どれも、「連続的微分可能以上、α-ヘルダー連続 (0 < α <= 1)以下」ってことなので、実関数の同じような性質（傾きがある有限値）を規定しているってことですな
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
リプシッツ連続
(抜粋)
直観的には、リプシッツ連続函数は変化の速さが制限される。即ち、適当な有限値の実数が存在して、その函数のグラフ上の任意の二点を結ぶ直線の傾きの絶対値はその実数を超えない。この上界をその函数の「リプシッツ定数」
（あるいは一様連続度（英語版））
https://en.wikipedia.org/wiki/modulus_of_continuity
と呼ぶ。例えば一階微分が有界な任意の函数はリプシッツである[1]。
微分方程式論において、リプシッツ連続性は初期値問題の解の存在と一意性を保証するピカール-リンデレフの定理（英語版）
https://en.wikipedia.org/wiki/Picard%E2%80%93Lindel%C3%B6f_theorem
の中心的な条件である。リプシッツ連続性の特別な場合で、縮小性はバナッハの不動点定理において用いられる。
実数直線の有界閉集合上で定義される函数に関して、以下のような包含関係の鎖が知られている[2]:
連続的微分可能 ⊆ リプシッツ連続 ⊆ α-ヘルダー連続 (0 < α <= 1) ⊆ 一様連続 ⊆ 連続函数.
また、
リプシッツ連続 ⊆ 絶対連続 ⊆ 有界変動 ⊆ 殆ど至る所微分可能
も成り立つ。
つづく >>263 つづき
例 （主にリプシッツ連続でない）
連続だが（大域的）リプシッツ連続でない
・閉区間 [0,?1] 上定義された函数 f(x) = √x はリプシッツ連続でない。この函数は x → 0 の極限で、導函数が無限大に発散するから、いくらでも傾きが急になる。にも拘らずこの函数は一様連続[3]であり、かつ α <= 1/2 に対して C0,α-級ヘルダー連続である。
可微分だが（大域）リプシッツ連続でない
・函数 f(x) = x^3/2sin(1/x) (x ≠ 0) かつ f(0) = 0 を閉区間 [0,?1] へ制限したものは、コンパクト集合上微分可能だが局所リプシッツでない函数の例を与える。実際、その導函数は有界でない。
解析的だが（大域）リプシッツでない
・指数函数は x → ∞ でいくらでも傾きがおおきくなるから、大域リプシッツ函数とはならないが、それにもかかわらず解析函数になる。
・実数全体で定義された函数 f(x) = x^2 はリプシッツでない（x → ∞ でいくらでも傾きが大きくなる）。しかしこれは局所リプシッツである。
つづく >>264 つづき
性質
・リプシッツ函数 g: R → R は絶対連続であり、したがって殆ど至る所微分可能（つまりルベーグ測度 0 の集合の外側の任意の点で微分可能）である。その導函数は絶対値がリプシッツ定数を本質的上界として本質的有界（英語版）である。また、a < b に対して、差分 g(b) ? g(a) は導函数 g' の区間 [a,?b] 上の積分に等しい。
・逆に、f: I → R が絶対連続、従って殆ど至る所微分可能であるとし、|f'(x)| ? K (a.a. x ∈ I) を満たすならば、f はリプシッツ定数が高々 K のリプシッツ連続である。
・共通のリプシッツ定数を持つリプシッツ連続函数の族 fα に対し、函数 supα ?fα および infα?fα は、それが少なくとも一点において有限な値をとるならば、また同じリプシッツ定数を持つリプシッツ連続函数となる。
(引用終り)
つづく >>266 つづき
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/6067684.html
微分方程式の一意性 質問者：foriver7質問日時：2010/07/27
(抜粋)
No.3 回答者： 178-tall 回答日時：2010/07/27 13:50
リプシッツ不連続でよく出される例みたいですね。
↓ 参考URL
>3.1.3 解の一意性
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~naito/lecture/2002_SS.ode/PDF/resume-06.pdf
(引用終り)
（参考）
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~naito/
内藤 久資（ないとう ひさし） 名古屋大学 大学院多元数理科学研究科・理学部数理学科
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~naito/lecture/2002_SS.ode/
２００２年度前期「微分方程式」 （理学部数理学科３年）
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~naito/lecture/2002_SS.ode/PDF/resume-06.pdf
解の一意性とリプシッツ連続性 単独１階常微分方程式 (5) ６回目講義レジュメ 微分方程式 2002
(引用終り)
以上 >>260-262
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ご苦労さまです！（＾＾ 今日は、ダブル羽生でいそがしい日だな
藤井聡太－羽生戦は、藤井聡太勝ちで、朝日杯決勝進出だ >>254
引用
"一般に、次の 定理F が成り立つことに注意せよ。
――――――――――――――――――――――――――――――
定理F：
A ⊂ R は Fσ集合とする。このとき、もし R－A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。
――――――――――――――――――――――――――――――
よって、もし Bf が Fσ 集合ならば、R－B_f が第一類集合のときには
(a,b)⊂B_f なる開区間が必ず取れることが即座に確定する。"
(引用終り)
？
なんだ？
おれもバカだね。一杯食わされていたのか？（下記スレ49）
(引用開始)
スレ49 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/
13 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/12/27(水) 23:36:31.32 ID:hLkm2n+q [1/3]
(抜粋)
例の定理の仮定は「 R－B_f は第一類集合である 」というものである。
もちろん、例の定理の証明は この仮定のもとで進められる。
(引用終り)
だったよね。
というか、あなた、混乱してないか？
つづく >>276 つづき
１）
要は、第一類集合 → 疎集合 → nowhere dense set → 補集合が開区間を含む（例えば下記渕野「ポーランドとチェコへの数学の旅」”全疎”定義1b)ご参照）ってこと
で、日本語では”疎集合”の用法が混乱していて、使い方が”meagre set” と ”nowhere dense”と、二つの用法あるという（下記 wikipedia 疎集合 注釈 [* 1] ご参照）
そして、同じくwikipedia 疎集合より
「R の部分集合としての、有理数からなる集合は、その「内部の閉包が空である」という性質を持つが、疎集合ではなく、実際 R において稠密である。」とあります
wikipedia 疎集合より
「実数の全体 R に通常の位相を考えたものはベール空間であり、したがって自分自身において第二類である。有理数の全体 Q は R において第一類であり、無理数の全体 P は R において第二類である。」とあります
つまり、第一類集合は、”meagre set”です。なお、ベール空間wikipedia 歴史的定義ご参照
２）
定理1.7”R－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば”（>>13）だった。
「高々可算和」を場合分けすると（＾＾
１．有限
２．可算無限だが稠密でない（例 整数）
３．可算無限で稠密（例 有理数、代数的数）
の３つ分けられる
１．と２．とが、”nowhere dense”で、渕野流”全疎”、wikipedia流 ”疎集合”
３．が、ベール空間 歴史的定義の”第一類 (first category) または痩せている (meagre) ”であって、”nowhere dense”ではない。
（上記のように、有理数の全体 Q は R において第一類であり、補集合の無理数のみの開区間はとれない）
だから、定理F不成立と思うよ
以上
つづく >>277 つづき
（参考）
http://fuchino.ddo.jp/articles/winterreise2016ex.pdf
冬の旅 ? ポーランドとチェコへの数学の旅11 渕野昌 201712
(抜粋)
（以下の文章は，『数学セミナー』2016 年6 月号に掲載された同名の記事の拡張版です．）
P23
ポーランド学派の研究での一つの中心主題は実
数全体R の構造の研究であった． そして，彼らの研究では，測度とカテゴリーに関する
考察が重要な役割を果たしていた． (ただし，ここで言うカテゴリーとは，カテゴリー理
論のそれではなく，第１種(first category) および第２種(second category) の集合に関す
る議論のことである．) 測度とカテゴリーは，多くの場合，大変似た振舞をすることが知
られていて，連続体仮説，あるいは，もう少し一般的に，例えば，マルティンの公理の下
では，実際に，強い形の双対性が測度とカテゴリーの間に成り立っていることが知られて
いる(定理A.3 )．また，フビニの定理とウラム- クラトウスキーの定理，コルモゴロフの
０ - １則とそれに相当するベールの性質を持つ集合に関する定理など，連続体仮説などの
仮定なしに集合論の枠組みの中で既に証明できるもので，測度とカテゴリーに関して対に
なっている定理が多く見られる．これらのことは，例えば[3] に詳しい．
定義1
b) R の部分集合X は，任意の実数上の区間I に対し，I ＼ X が空でない開区間を含むと
き，全疎であるという．R の部分集合X は，全疎集合の可算和として表されるとき，
第１類の集合と呼ばれる．
(引用終り)
つづく >>278 つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%96%8E%E9%9B%86%E5%90%88
疎集合
(抜粋)
数学の分野における、位相空間内の疎集合（そしゅうごう、英語: nowhere dense set）[* 1]とは、閉包の内部が空であるような集合のことである。
この言葉の順番が大事で、例えば、R の部分集合としての、有理数からなる集合は、その「内部の閉包が空である」という性質を持つが、疎集合ではなく、実際 R において稠密である。
疎集合のすべての部分集合はまた疎集合であり、有限個の疎集合の合併もまた疎集合である。すなわち、疎集合は集合のイデアル（無視可能な集合（英語版）に関する適正な概念）を形成する。
可算個の疎集合の合併は、しかし、必ずしも疎集合ではない（したがって、疎集合は必ずしもσ-イデアル（英語版）を形成しない）。そのような合併はやせた集合（英語版）[* 1]あるいは第1類集合と呼ばれる。この概念は、ベールの範疇定理を考える上で重要である。
開と閉
・ある集合が疎集合であることと、その閉包が疎集合であることは必要十分である。
・閉疎集合の補集合は稠密な開集合であり、したがって、疎集合の補集合は稠密な内部を持つ集合である。
・開集合の境界は、閉疎集合である。
・すべての閉疎集合は、ある開集合の境界である。
注釈
[* 1]^ a b 「疎集合」という名称を meagre set のために用い、nowhere dense には「至る所疎」や「至る所非稠密」などの訳語を充てる流儀もある。例えば 渕野昌 (2002) (PDF), 実数の集合論の基礎の基礎
http://math.cs.kitami-it.ac.jp/~fuchino/notes/set-th-of-reals-kiso-no-kiso.pdf
(引用終り)
つづく >>279 つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベール空間
(抜粋)
歴史的定義
詳細は「第一類集合」を参照
ベールのオリジナルの定義では、範疇の概念が以下のように定義された。
位相空間 X の部分集合が、
・X において疎あるいは至る所疎 (nowhere dense) であるとは、その閉包の内部が空であることを言う。
・X において第一類 (first category) または痩せている (meagre) とは、それが可算個の疎集合の和になっていることを言う。
・X において第二類 (second category) または痩せていない (nonmeagre) とは、それが X において第一類でないことを言う。
これらの言葉でベール空間の定義を述べると次のようになる：「位相空間 X がベール空間となるのは、任意の空でない開集合が X において第二類であるときである」。この定義は先述の現代的定義と同値である。
X の部分集合 A が残留的 (residual, comeagre) であるとは、その補集合 X ＼ A が痩せていることを言う。位相空間 X がベール空間であるための必要十分条件は、X の任意の残留的部分空間が稠密になることである。
例
・実数の全体 R に通常の位相を考えたものはベール空間であり、したがって自分自身において第二類である。有理数の全体 Q は R において第一類であり、無理数の全体 P は R において第二類である。
・有理数の全体 Q に R からくる通常の位相を入れた空間はベール空間でない。これは Q が可算個ある各点 q に対応する一元集合 {q}（これは内点を持たない閉集合になっている）の合併として書けることによる。
ベールの範疇定理
詳細は「ベールの範疇定理」https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E7%AF%84%E7%96%87%E5%AE%9A%E7%90%86 を参照
(引用終り)
以上
追記
「無理数の全体 P」とあるね（＾＾ >>253
(引用開始)
「>>248
＞だから、２）→３）又は１）→３）が言えれば良い
言えないよ。もしそこが言えたら、
(★) (a,b)⊂B_f なる開区間が存在するなら、f は (a,b) 全体でリプシッツ連続である
ということが示せることになってしまうが、既に見たように
f(x)＝0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
が(★)の反例になっている。この例では、(－1,1)⊂B_f が成り立つにも関わらず、
f は (－1,1) 上ではリプシッツ連続になってない。
つまり、お前の方針は自動的に失敗する。」
(引用終り)
えーと
（>>13）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
(引用終り)
いいかな
１）Bfの条件は、下記の４つの Dini微分 (D^+ g)(c),(D + g)(c),(D^- g)(c),(D - g)(c)が有限値で収まることを意味している。（下記a)）
２）ディニ微分は、もし f が t において微分可能ならば、その t における各ディニ微分は通常の意味での微分に等しい。（下記b)）
３）函数 f(x) = x^3/2sin(1/x) (x ≠ 0) かつ f(0) = 0 を閉区間 [0,1] へ制限したものは、コンパクト集合上微分可能だが局所リプシッツでない函数の例を与える。実際、その導函数は有界でない。（下記c)）
４）従って、この例は、lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜も、有界でない
５）要するに、 lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞と、リプシッツ連続（＝有限なリプシッツ定数を持つ）は、同じことを言っていると思うよ
つづく >>281 つづき
a)
（>>200）
「lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞」は、
下記の４つの Dini微分 (D^+ g)(c),(D + g)(c),(D^- g)(c),(D - g)(c)が
有限値で収まることを意味している。
https://www.amazon.co.jp/dp/0387984801
https://books.google.co.jp/books?id=MzQ6JA6SiHYC&;pg=PA215&lpg=PA215&dq=%22liminf+of+functions%22#v=snippet&q=%20&f=false
Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian 出版社: Springer; Softcover reprint of the original 1st ed. 1999版 (1998/11/1)
P220のパラグラフ5.3.6に４つの Dini微分 (D^+ g)(c),(D + g)(c),(D^- g)(c),(D - g)(c)
と、lim sup, lim inf との関係が載っている
(引用終り)
b)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%8B%E5%BE%AE%E5%88%86
ディニ微分
(抜粋)
注意
もし f が t において微分可能ならば、その t における各ディニ微分は通常の意味での微分に等しい。
(引用終り)
c)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
リプシッツ連続
(抜粋)
例
可微分だが（大域）リプシッツ連続でない
・函数 f(x) = x^3/2sin(1/x) (x ≠ 0) かつ f(0) = 0 を閉区間 [0,1] へ制限したものは、コンパクト集合上微分可能だが局所リプシッツでない函数の例を与える。実際、その導函数は有界でない。
(引用終り)
以上 >>277
＞だから、定理F不成立と思うよ
定理F：
A ⊂ R は Fσ集合とする。このとき、もし R－A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。
証明：
STEP1：
A は Fσ 集合だから、高々可算無限個の閉集合 A_k が存在して A_f ＝ ∪_k A_k と書ける。
一方で、R－A は第一類集合だから、高々可算無限個の、内点を持たない閉集合 F_k が存在して
R－E_f ⊂ ∪_k F_k と書ける。結局、R ⊂ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) ということになる。
続く 続き
STEP2：
A_k, F_k はどれも閉集合だから、これと R ⊂ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) から、
ベールのカテゴリ定理が使えて、ある A_k もしくはある F_k は内点を持つ。
F_k は内点を持たないのだから、ある A_k が内点を持つしかない。
そのような A_k に対して、(a,b)⊂A_k なる開区間が取れるので、
A ＝ ∪_k A_k に注意して、(a,b) ⊂ A となる。従って、定理F が成り立つ。
上記の証明により、定理F は確実に正しい。
掲示板だと読みにくいとか文句をつけず、この程度の証明は今すぐ読んで理解してくれ。 補足：
Fσ集合の補集合はGδ集合であり、逆も然りであるから、定理Fは次のようにも書ける。
定理F1：
A ⊂ R は、R－A がGδ集合とする。このとき、もし R－A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。
実は、より強く次の定理も証明できる。
定理F2：
A ⊂ R は、R－A がGδ集合とする。このとき、もし R－A が第一類集合ならば、
R－A は nowhere dense である。
ここまで来ると、「 R－A 」を1つの塊で1文字にした方がキレイなので、そのように書くと、次のようになる。
定理F3：
A ⊂ R は、A がGδ集合とする。このとき、もし A が第一類集合ならば、A は nowhere dense である。
このことに関しては、"Gδ set of first category" で検索すると、
1件だけだが上記の 定理F3 を使っていると思しき pdf が見つかる。
ttp://fm.math.uni.lodz.pl/artykuly/12/ww.pdf
＞ Observe that ∩[m＝1～∞] ∪[n≧m] A_n as Gδ set of first category is
＞ easily seen to be nowhere dense.
このことからも、定理F, F1,F2,F3 は全て正しいと分かる。 >>281
＞４）従って、この例は、lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜も、有界でない
＞５）要するに、 lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞と、
＞リプシッツ連続（＝有限なリプシッツ定数を持つ）は、同じことを言っていると思うよ
間違っている。A_f(x)＜＋∞ という条件は、あくまでも
「その点 x において Af(x) は有限値である」
ということを言っているに過ぎない。一方で、お前が言っている「有界でない」とは、
「ある開区間 (a,b) を取ったときに、max_{x∈(a,b)} Af(x) もしくは sup_{x∈(a,b)} Af(x) が有限値に収まらない」
ということである。明らかに、両者は全く意味が違う。そして、お前は両者を混同している。
f(x)＝0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
という関数の場合、各点 x で Af(x) は有限値である。実際、x≠0 のときは、
Af(x) は x ごとに明らかに有限値である。また、x＝0 のときは
Af(0)＝0
であることが計算できる。従って、Af(x) は x＝0 のときも やはり有限値である。
しかし、max_{x∈(-1,1)} Af(x) や sup_{x∈(-1,1)} Af(x) は有限値では存在しない。 >>254
>お前が「 Bf は Fσ 集合であろう」と予想するなら、お前は自分自身の手で
>墓穴を掘っていることになるのだ。
>ちなみに、Bf は実際に Fσ 集合である。
下記、Gδ集合wikipediaで
”実数直線の任意の Gδ-部分集合 A に対し、適当な函数 f: R → R が存在して、f は A に属する点のみにおいて連続となるようにすることができる。
このことから、無理数全体の成す集合が連続点集合であるような函数は存在する（トマエの函数（英語版）などを参照）が、有理数の上でのみ連続な函数というのは構成不可能であることが帰結される。”
とあるでしょ？ 開集合が取れる？ 無理だろ
ここ
f は A に属する点のみにおいて連続となるようにすることができる。
↓
f は A に属する点のみにおいてリプシッツ連続となるようにすることができる。
にできるかどうかだ
なお、また、”基本的な性質 Gδ-集合の補集合はFσ-集合である。”も指摘しておく
なので墓穴でもなんでもないだろ
つづく >>288 つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/G%CE%B4%E9%9B%86%E5%90%88
Gδ集合
(抜粋)
数学の一分野、位相空間論における Gδ-集合あるいは内極限集合 (inner limiting set) とは、位相空間の部分集合で開集合の可算交叉となっているものを言う。
由来については、G というのが開集合を意味するドイツ語の Gebiet から、δ というのが交わりを意味するドイツ語の Durchschnitt からそれぞれとられたものである。
Gδ-集合（およびその双対であるFσ-集合）は、ボレル階層（英語版）において二階 (second level) の集合であり、より正確には Gδ-集合の全体はちょうど Π^0_2-階集合である。
例と反例
・任意の開集合は明らかに Gδ-集合である。
・無理数の全体 P は実数直線 R の Gδ-集合である。実際 P は、q が任意の有理数を亙るときの一点集合 {q} の R における補集合すべての交わりとして表せる。
・有理数の全体 Q は実数直線 R の Gδ-集合ではない。
実際、Q が開集合列 An の交わりに書けるとすると、各 An は（Q が R において稠密ゆえ）何れも R において稠密でなければならないが、上でやったように無理数全体の集合 P は稠密開集合の可算交叉として書けるから、P と Q との交わりをとれば R の稠密開集合の可算交叉が空集合となるものが存在することとなり、ベールの範疇定理に反する。
つづく >>289 つづき
性質
距離空間（および位相空間）における Gδ-集合の概念は、ベールの範疇定理と同様に距離空間の完備性の概念と強く関係する。このことは、マズルキェヴィチの定理として述べられる。
定理 (Mazurkiewicz)
(X, ρ) を完備距離空間とするとき、部分集合 A ⊂ X について次は同値である。
１．A が X の Gδ-集合であること
２．A 上の距離函数 σ で ρ|A（X の距離函数 ρ の A への制限）と（位相に関する意味で）同値であるようなものが存在して、(A, σ) がふたたび完備距離空間となること
Gδ-集合の重要な性質は、位相空間から距離空間への連続写像がその上で定義され得るということにある。厳密に言えば、そのような写像 f が連続となるような点全体の成す集合は {\displaystyle G_{\delta }} G_{\delta }-集合を成すということである。これは、点 p における連続性というのが Π^0_2-式で定義されることによる。
実数直線の任意の Gδ-部分集合 A に対し、適当な函数 f: R → R が存在して、f は A に属する点のみにおいて連続となるようにすることができる。
このことから、無理数全体の成す集合が連続点集合であるような函数は存在する（トマエの函数（英語版）などを参照）が、有理数の上でのみ連続な函数というのは構成不可能であることが帰結される。
基本的な性質
・Gδ-集合の補集合はFσ-集合である。
・可算個の Gδ-集合の交わりはやはり Gδ-集合である。また、有限個の Gδ-集合の合併はふたたび Gδ-集合となる（可算個の Gδ-集合の合併は Gδσ-集合と呼ばれる）。
・距離化可能空間において、任意の閉集合は Gδ-集合であり、双対的に任意の開集合は Fσ-集合になる。
・稠密開集合の可算族の交わりを含むような集合は残留的 (comeagre, residual) であるという。残留的集合は函数の成す位相空間の生成的性質（英語版）を定義するのに用いられる。
(引用終り)
以上 つまり、
f(x)＝0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
という関数について、次のような性質が成り立っているわけである。
・ 各点 x で Af(x)＜＋∞ である。すなわち、各点 x で Af(x) は有限値である( Af(0)＝0 に注意せよ)。
・ max_{x∈(-1,1)} Af(x) や sup_{x∈(-1,1)} Af(x) は有限値では存在しない。
・ f は (－1, 1) 上ではリプシッツ連続ではない。
これらのことから、お前が言っている
＞５）要するに、 lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞と、
＞リプシッツ連続（＝有限なリプシッツ定数を持つ）は、同じことを言っていると思うよ
という主張は自動的に間違いだと分かるし、お前の稚拙な方針は自動的に失敗に終わる。 >>274
おつです
それ面白いね
ゆとり世代の
さらにゆとりで、超ゆとり？ >>272
C++さん、あんまりマネしないように
理想は、良い仲間や指導者が身近にいること
独学というより、自分の努力と言い換えた方が良い
それと、楽しめること
独学というのは、良い仲間や指導者が身近にいないときの代案だろう
１．努力、２．良い仲間や指導者
の順だろう >>288
＞下記、Gδ集合wikipediaで
＞”実数直線の任意の Gδ-部分集合 A に対し、適当な函数 f: R → R が存在して、
＞f は A に属する点のみにおいて連続となるようにすることができる。
＞このことから、無理数全体の成す集合が連続点集合であるような函数は存在する
＞（トマエの函数（英語版）などを参照）が、有理数の上でのみ連続な函数というのは構成不可能であることが帰結される。”
＞とあるでしょ？ 開集合が取れる？ 無理だろ
論理が滅茶苦茶。
トマエ関数は R－B_f が第一類集合になってないので、開集合が取れなくても何の不思議もない。
お前が墓穴を掘っているのは、次のような意味においてである。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
B_f が Fσ 集合であることを認めるなら、R－B_f が第一類集合であるときには
定理F によって (a,b)⊂B_f なる開区間が取れてしまうので、R－B_f は
R の中で稠密に分布できないことが即座に確定する。
すなわち、R－B_f が第一類集合であるとしつつも「Rの中で稠密」なんていう
アホな場合分けをしたがっているお前にとって、「 Bf は Fσ集合である」
という性質はむしろ邪魔な性質なのである。にも関わらず、お前は
「 Bf は Fσ集合である」と予想しているのである(そして、実際に Bf は Fσ 集合である)。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
↑このような意味において、お前は墓穴を掘っているのである。
そして、トマエ関数は R－B_f が第一類集合になってないので、
上記の話題の出発点に立っておらず、何の意味も成さない。問題外。 女子高校生に
e^iπ＋1＝0
と
i^i＝1/√(e^π)
を説明したら感動してもらえて数学は芸術の一部だと気づいてもらえた >>282 追加参考
「微分不可能関数への招待」LipschitzとDini方向微係数、ご参照
これは、普通のDini微分の変形版のようだ
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sicejl1962/37/11/37_11_791/_article/ - char/ja
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sicejl1962/37/11/37_11_791/_pdf/ - char/ja
微分不可能関数への招待 石塚 陽（上智大学） 計測と制御 1998
(抜粋)
4. Lipschitz関数の一般方向微係数と一般勾配
ここでは簡単のために,関数fは注目している点xの近傍でLipschitzであるとする.
すなわち,以下をみたすx の近傍N(x)と正の数Kが存在するものとする.
｜f(x1) - f(x2)|≦K｜x1 - x2｜for all x1,x2∈N(x)
このとき,fはxの近くでは連続かつほとんどすべての点
で微分可能であり,関数値の変化率は有限で(Kを超えることはない),
以下の2つの値が必ず存在する.
D^+ f(x~;u)=lim t→0 sup{f(x~+tu) - f(x)}/t
D - f(x~;u)=lim t→0 inf{f(x~+tu) - f(x)}/t
これらをそれぞれ,
上方Dini方向微係数(upper Dini directional derivative),
下方Dini方向微係数(lower Dini directional derivative)
という.
これらの定義式中で,
lim t→0+ sup(lim t→0 - inf)は,正の方からtをゼロに近づけていっ
た時の差商{f(x~+tu) - f(x~)}/tの極限は一般にtのゼロ
への近づき方によっていろいろな値をとりうるので,それ
らの中で最大(最小)のものをとることを意味している.
(引用終り)
石塚陽先生は、亡くなられているようです。合掌
http://sikyo.net/ - /1086773
(抜粋)
石塚陽
いしづか よう
1958 - 2003
上智大教授 システム最適化理論 新潟県
亡くなってから14年233日過ぎました。
45歳で亡くなりました。もし現在も生きていたら60歳です。
1958年に誕生、2003年06月30日に亡くなりました。
(引用終り) 前スレ >>632の 追加
以前、スレ48のNo 140でも紹介したが、再録しておきます
”位相空間”は、図が多いのがいいね。位相入門を併読すると良さそう
http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/
川崎徹郎 学習院
http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/16isoukuukan.pdf
位相空間 川崎徹郎 学習院 2016
http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/HTML-isou-nyuumon-enshuu/html-17isou-nyuumon-enshuu.html
位相入門テキスト(演習問題) 解答例 (章別)
http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/HTML-isou-nyuumon-enshuu/17isou-nyuumon-text.pdf
位相入門 川崎徹郎 学習院 2017
現代数学の系譜 ガロア理論 位相空間 川崎徹郎 学習院 小平奈緒さん、「金」おめでとうございます！（＾＾
https://mainichi.jp/sportsspecial/articles/20180219/k00/00m/050/101000c
スピードスケート【詳報】小平が「金」日本女子では初 ５００ｍ
恩師から自立、強く 小平奈緒「金」
毎日新聞2018年2月18日
(抜粋)
小平が世界最速女王になるまでの道のりは、恩師からの自立の軌跡とも言える。
母校・信州大の教授で、現在も指導を受ける結城匡啓（まさひろ）コーチ（５２）との「出会い」は、１１歳の時にさかのぼる。
１９９８年長野五輪。長野県茅野市に生まれ、３歳からスケート靴を履いていた小平は男子５００メートル金メダルの清水宏保、女子５００メートル銅メダルの岡崎朋美の姿にあこがれ、競技者を志した。長野五輪で清水を日本スケート連盟のスタッフとして支え、その後に指導者になった結城コーチの存在も程なくして知った。
信州大に進学したのは、滑走中の動作解析を研究する結城コーチがいたからだ。就職活動でも結城コーチの指導を引き続き受けられることを条件に挙げた。ともすれば依存に思える関係が変化したのは、５００メートル５位、１０００メートル１３位に終わった２０１４年ソチ五輪後。強豪国オランダへ練習拠点を移した頃だった。
(引用終り) おっちゃんです。
スレ主はオリンピックを見ているのか。
ところで、よく分からないんだが、
テンポが遅いクラシック音楽に合わせて滑る
フィギュアスケートの面白さってどこにあるの？
その採点基準とかが全然分からないんだが、
クラシック音楽とは違うところに何某かの面白さがあるんだろ。
>>299
数学の楽しさを理解出来る女子高生は、桜蔭だけにいる訳ではないだろうよ。 >>300
小平奈緒は茅野市出身、小平邦彦の親父権一も茅野市出身、
親類か？ 突然ですが、貼っておきます（＾＾
http://www.phys.cs.is.nagoya-u.ac.jp/~tanimura/
谷村 省吾 TANIMURA Shogo 教授 博士（理学） 名古屋大
http://www.phys.cs.is.nagoya-u.ac.jp/~tanimura/lectures/tanimura-category.pdf
「物理学者のための圏論入門」 研究会「量子と古典の物理と幾何」にて講演（2017年2月） >>278 追加引用
http://fuchino.ddo.jp/articles/winterreise2016ex.pdf
冬の旅 ? ポーランドとチェコへの数学の旅11 渕野昌 201712
(抜粋)
P22
A.3 測度とカテゴリー(ただし，ここで言うカテゴリーとは，カテゴリー理
論のそれではなく，第１種(first category) および第２種(second category) の集合に関す
る議論のことである．)
ゼロ集合は測度の意味で小さい集合であるのに対し，第１類の集合はカテゴリーの意味で
小さな集合である． なお，第１類の集合は最近の文献ではmeager set と呼ばれることの
方が多いようである． “meager” は「痩せこけた」という意味である．
可算集合は，ゼロ集合，かつ，第１類の集合である．また，カントル集合も，ゼロ集合，
かつ，第１類の集合であるような例の一つである．しかし，ゼロ集合は，必ずしも第１類
の集合であるとは限らないし，逆に，第１類の集合も，必ずしもゼロ集合とは限らない:
定理A.2 第１類の集合M で，R ＼ M がゼロ集合になるようなものが存在する． 特に，
M はゼロ集合ではなく，R ＼M は第１類の集合でない．
上の定理でのM は，カテゴリーの意味では，小さい集合だが，測度の意味では，ほと
んどすべての実数を含んでいることになる．
先に，連続体仮説の仮定のもとで，ゼロ集合と第１類の集合の間に強い形の双対性が成
立すると書いたが，このことは正確に言うと次のようになる:
定理A.3 (シェルピンスキーの双対原理) 連続体仮説を仮定する．この時，全単射f : R →
R で，任意のR の部分集合E に対し，E がゼロ集合であることとf(E) が第１類の集合
であることが同値になるようなものが存在する．
つづく >>305 つづき
したがって，連続体仮説のもとでは，ゼロ集合に対し，ある命題が成り立っているとき，こ
の情況を，上の定理のf によって“翻訳” することにより，これに対応する第１類の集合に
関する命題が成り立っていることが証明できる．逆方向の“翻訳” についても同様である．
測度論では，可測集合と呼ばれるR の部分集合の族が考察されるが，カテゴリーで可
測集合に対応するのは，ベールの性質を持つ集合である．可測集合は可算個のR の閉集
合の和集合ににゼロ集合を付け足して出来る集合であるが，一方，ベールの性質を持つ集
合は，可算個の開集合の共通部分に第１類の集合を付け足して出来る集合である．開集合
や閉集合の集合論的振舞は，比較的単純であるので，可測集合，あるいは，ベールの性質
を持つ集合の全体に関する問題の研究は，多くの場合，それに対応するゼロ集合や第１類
の集合に関する問題について調べることに帰着される．特に，連続体仮説が成り立ってい
るときには，定理A.3 により可測集合の全体とベールの性質を持つ集合の全体の性質は，
たいへん似たものになる．
(引用終り)
以上 >>305 補足
渕野先生の話は、下記など、いつも面白いね（＾＾
”可算集合は，ゼロ集合，かつ，第１類の集合である．また，カントル集合も，ゼロ集合，
かつ，第１類の集合であるような例の一つである．しかし，ゼロ集合は，必ずしも第１類
の集合であるとは限らないし，逆に，第１類の集合も，必ずしもゼロ集合とは限らない:
定理A.2 第１類の集合M で，R ＼ M がゼロ集合になるようなものが存在する． 特に，
M はゼロ集合ではなく，R ＼M は第１類の集合でない．
上の定理でのM は，カテゴリーの意味では，小さい集合だが，測度の意味では，ほと
んどすべての実数を含んでいることになる．
先に，連続体仮説の仮定のもとで，ゼロ集合と第１類の集合の間に強い形の双対性が成
立すると書いたが，このことは正確に言うと次のようになる:
定理A.3 (シェルピンスキーの双対原理) 連続体仮説を仮定する．この時，全単射f : R →
R で，任意のR の部分集合E に対し，E がゼロ集合であることとf(E) が第１類の集合
であることが同値になるようなものが存在する．” >>302-303
レスありがとう（＾＾
オリンピック見るので、忙しいんだ（＾＾ >>301
おっちゃん、どうも、スレ主です。
採点基準は下記
https://matome.na
ver.jp/odai/2139261598632542001
転んでも勝つのはナゼ？クマでも分かるフィギュアスケートの採点方法 2018年02月12日
あと、音楽はクラシックが多いが、以前のキムヨナの金メダル曲は映画007の曲だよ（下記）
2010年のカナダ大会という場所に似合う曲ということで、クラシックよりこちらを選んだと思う
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1446484484
キムヨナが使用した007のテーマ曲の題名は何ですか kitakantou_na_1さん yahoo 2010/9/507:28:44 渡部暁斗さん、残念でしたが、お疲れさまでした
http://www.yomiuri.co.jp/olympic/2018/ski/20180220-OYT1T50114.html?from=ytop_top
渡部暁斗は５位、メダル獲得ならず…複合ＬＨ 読売 2018年02月20日
(抜粋)
前半飛躍で、１３４メートルを飛び、首位に立った渡部暁は、ＮＨを制したエリック・フレンツェル（独）らの猛追を受け、６キロ過ぎには先頭集団は６人に。残り１周となる７・５キロ地点では７人になった。この大混戦の中、残り１キロを切って他の選手と接触し、失速した。
優勝は、ヨハネス・ルゼック（独）。距離を４～６位でスタートしたドイツ勢が表彰台を独占した。
(引用終り) >>301
>数学の楽しさを理解出来る女子高生は、桜蔭だけにいる訳ではないだろうよ。
まあな
うちの子が、小学生のとき、塾に行っていて、そこの塾の模試で常に算数で、男の子を押さえてトップ陣に食い込む女の子が居た
その子は、桜陰から東大理I に入った（数学科進級じゃないが）
それを思い出したんだ
おそらく、数学もできただろうと >>301
(抜粋)
5 圏論のご利益
圏論が役に立つことがあるのか？と問われると，なかなか答えに窮しますが，数学の中で
役に立つことと，数学外の分野で役に立つこととを分けて考えるのがよいと思います．
圏論が数学の中で役に立つ側面としては，さまざまな数学分野に繰り返し現れるパターン
を横断的に特徴付けるという圏論の役割があります．例えば，群には部分群・正規部分群・
商群，環には部分環・イデアル・商環，ベクトル空間には部分空間・商空間といった，よく
似た構造があり，群論・環論・線形代数のどの理論でも準同型定理と呼ばれるそっくりの定
理が成り立ちます．準同型定理はどの理論でもほぼ同様のルーチンワークで証明できます．
また，いま挙げたどの理論にも直積と呼ばれる構造があって，直積の一意性は同様のルーチ
ンワークで証明できます．圏論は，こういったさまざまな理論に見られる相似構造を抽出し
て，まとめて面倒を見ることができます．
また，圏論を使うと，異なる数学理論の間の関係を一段高い視点から見ることができます．
例えば，位相空間論と群論は別の理論ですが，ホモトピーは位相空間の圏から群の圏への関
手だと言えます．位相空間の一つ一つの点が群の一つ一つの元と対応しているわけではない
ので，ホモトピーは位相空間から群への写像ではありません．けれども，ホモトピーは関手
だという視点に立つと，位相空間の世界と群の世界とが連動していることがよくわかるので
す．元のレベルでone-to-one 対応はしていないけれども，元を束ねた空間とか群のレベル
でmany-to-many 対応している様子を関手はうまく捉えるのです．「木を見て森を見ず」
という言葉がありますが，圏論は，まさにその逆の「木を気にせず森を見る」ような視点を
提供してくれるのです．
つづく >>312
訂正 >>301→>>304
つづき
ホモロジーは位相空間の圏から加群の圏への関手だと言えます．位相空間の境界という概
念を関手を通して加群の方に写すと，ホモロジー代数という構造が見えてきますが，これは
加群だけを見ていたのでは見抜けないような構造だと言えます．ホモロジー関手も，点レベ
ルにまで分解されたone-to-one 対応では見抜けない，structure-to-structure 対応とで
もいうべき関係を見させてくれるのです．
また，二つの一見異なる数学分野の概念が互いに変換可能であることを主張する双対性
(duality) という高次の概念がしばしば見い出されますが，そのような概念は圏論の随伴
(adjunction) という概念を使うと適切に捉えられます．
このように，数ある数学理論の共通構造を横断的に見い出したり，異なる数学理論の連動
する性質を的確に言い表したりするのに圏論は役に立ちます．そういった意味で，圏論は大
風呂敷を広げるようなところがあります．それが圏論の魅力でもあるし，何にでも通用す
るような当たり前のことばかり言って何も固有の主張がないように見えて，「圏論はgeneral
nonsense だ」，「abstract nonsense だ」と
やゆ（揶揄）されるところでもあります．
たしかに，圏論
だけを勉強することは論理的には可能ですが，いろいろな数学分野を知っていないと圏論の
ありがたみがわからないし，圏論以外の数学を知らないと面白い圏や関手の例を作ることす
らできないと言えます．
(引用終り)
以上 >>311
> うちの子が、小学生のとき、塾に行っていて、
スレ主のお子さんも既に大きいでしょうに そんな馬鹿ばかりやってていいんですか？ >>248
(引用開始)
（>>204より）
１）定理1.7の条件；lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ （ lim supが有限）
↓↑
３）定理1.7の結論；リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）（k 有限）
３）が見かけ一番強い条件で、３）→１）を見るのは易しい（>>205に書いた）
だから、１）→３）が言えれば良い
(引用終り)
＜経過報告２＞
・１）→３）を主張する文献は見つかっていない。というか、命題１）があまり無い。３）のリプシッツ連続は山ほどある（＾＾
・背理法より、対偶証明で行けるのではと思う
・つまり、￢３）→ ￢１）が言えるだろう
￢１）：”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”
つまり、ある開区間(a,b)内で、リプシッツ連続でない点x0があるとして、
x0では、実数y→x0 に対し |f(x0)-f(y)/(x0-y)| →∞ を満たすことになり
↓
lim sup y→x ｜（f(y) － f(x0)）/（y － x0）｜= +∞ となる
QED
かな？（＾＾
・証明？ なんか書けるだろう。例えば、ここで背理法で
lim sup y→x ｜（f(y) － f(x0)）/（y － x0）｜=k < +∞ にも関わらず、 |f(x0)-f(y)/(x0-y)| →∞ は矛盾とか・・
結局、背理法かも・・
・あんまり進んでないな・・（＾＾ まあ、マジレスすれば
数学をやっていると
私らの住んでいる技術の世界は、鳥無き郷のコウモリでいられるし
なにか、技術文献読むときも、目が慣れていると「ふんふん」と進むし
だれかが、新しい数学ネタを入れた論文でも（昔実際にあったのがδ関数を使ったやつ）、「それ知ってる」で終わる
とかね
実益ありです（＾＾ 時枝不成立も分からず、定理1.7のおかしさも分からん、腰ぎんちゃくさん（＾＾ >>317 補足
まあ、さらにマジレスすれば、知識は多い方が良い！ が、知識を獲得するのに時間が必要だ
だから、人生で必要にして最小限の知識を（過不足なく）得ることができれば理想だ
が、人がいまから必要な知識のみを得ることはできない。
だから、幅広い知識と同時に体系化された知識、それも借り物ではなく自分なりに、消化吸収され身についたもの、自在に応用できるよう
それを目指すべき
ところで、下記の例、大栗先生が、マシュームーンシャインインを発見された
どこかで読んだが、大栗先生が岩波数学辞典の後ろの付録で見たマシュー群との関連に気づいたのだとか
大栗先生が、マシュー群の詳細を事前に知っていなければ、マシュームーンシャインインは未発見になり、まあ、別の誰かが発見したんだろうね
大栗先生が、マシュー群の詳細をなにゆえ知っていたのか？ その経緯は分からない
だが、一方で、人が、ただ雑学として、マシュー群の詳細を知っていても、マシュームーンシャインインには到達しないことは、明らかだ
幅広い知識と同時に体系化された知識。かつ、それを、自家薬籠のものとして、自由自在に応用する実力
それが大事だってことだよね
つづく >>320 つづき
http://planck.exblog.jp/23930852/
モック保形性と月影 大栗博司のブログ 2015年 04月 17日
(抜粋)
数式：http://planck.exblog.jp/iv/detail/?s=23930852&;i=201504%2F17%2F69%2Fc0194469_6492216.jpg
カナダのウォータールー市にあるペリメータ研究所で開かれている 「モック保形性と月影」 と題した国際会議に来ています。
上の式は、私が１９８９年に東京大学に提出した博士論文から取りました。
この式の係数、９０、４６２、１５４０、４５５４、１１５９２などは、超弦理論をK3と呼ばれる空間にコンパクト化したときに現れる粒子状態の数で、私の博士論文の成果のひとつは、これらの数を計算する方法を開発したことでした。
しかし、これらの数の背景にある基本原理は、長い間わかりませんでした。
それからちょうど２０年経った２００９年に、江口徹さんと立川裕二さんとアスペン物理学センターで話をしているときに、
これらの数字を２で割った、４５、２３１、７７０、２２７７、５７９６などが、マチュー群と呼ばれる有限群の中の一番大きなM２４の既約表現の次元になっていることに、３人で気がつきました。
私たちの発見は、「マチュー月影」と呼ばれて、その後いろいろな方面から研究されるようになりました。
月影というのは、英語では "Moonshine" といいますが、夜、池の表面に映った月の光、それから転じて、「実体のない反映」、さらには、「ばかげたこと」という意味になったのだそうです。
つづく >>321 つづき
もともとの「モンスター月影」の舞台となったj‐函数は保形性を持っていますが、「マチュー月影」の舞台になるのは、ラマヌジャンが考えた「モック・モジュラー（保形）形式」でした。
今回の会議のタイトルが 「モック保形性と月影」 となっているのは、そのようなわけでした。
モック・モジュラー形式については、先日ケンブリッジ大学を訪問し、「ラマヌジャンの失われたノート」を拝見したときのブログ記事
http://planck.exblog.jp/23763462/
に書きました。
ペリメータ研究所を訪問するのは、１０年ぶりです。トロント市から車で１時間ぐらいのところで、冬の気候は厳しいと聞いていますが、建物の中はとても快適にできています。左の写真は、１階の広場で、左奥がレストランになっています。
(引用終わり)
以上 >>320 補足の補足
まあ、ガロアスレは、私のメモ帳でね
どちらかと言えば、雑学＆雑談系だが
いろいろ書くことで、体系化される面もある
あと、検索で、google先生を使える
現代数学の系譜 ガロア理論 + キーワード（知りたいことの）
で検索を掛けると、ガロアスレの検索が（優先的に）できるし、ガロアスレの外も検索してくれるので便利なんだ
そんなことを繰り返していると、自分なりに消化でき体系化できる
もちろん、仕事優先ですがね。あと、オリンピックなどイベントがあるときも、そちら優先
佐藤幹夫先生みたく、「朝起きてから寝るまで、かつ夢の中まで数学」という集中する時期があってもいいが（実際そういうときもある）
彼女もできない
結婚もできない
ではねと
それは、ちょっとね
実際、大栗先生には家族がいるよ
http://planck.exblog.jp/12884028/
授業参観と漢字 大栗博司のブログ 2009年 11月 08日
(抜粋)
今日は子供の日本語補習授業校の授業参観がありました。
土曜日に、日本の１週間分の授業をするのですから、大変だと思います。
しかし、子供たちは集中して先生の話を聞いていて、手もしっかり上がっていました。
先生方が献身的なのには、同じ教師として頭が下がります。
(引用終わり) >>アスペン物理学センター
アスペ物理学センターと空目した >>315 補足
(引用開始)
（>>204より）
１）定理1.7の条件；lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ （ lim supが有限）
↓↑
３）定理1.7の結論；リプシッツ連続 （”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より）（k 有限）
(引用終わり)
まあ、>>315に書いたように、
３）リプシッツ連続→１）定理1.7の条件成立 は、ほぼ自明
また、１）→３）は、対偶：￢３）→ ￢１）が言えるから、逆も成立（∵リプシッツ不連続 k＝∞ → 定理1.7の条件式＝∞ 成立 ）
だから、１）と３）は同値
で（>>13より）
(引用開始)
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
(引用終わり)
「f はある開区間の上でリプシッツ連続」は、即その開区間（a,b）で、条件Bfを満たすので、この区間はBfに含まれる（ （a,b）⊂Bf ）
同じことだが、Bfの補集合R－Bfが、R中で稠密なら、Bf内に上記のような開区間（a,b）は持てないし、リプシッツ連続な区間もない
まとめると
・Bf内にある開区間（a,b）があれば、その開区間（a,b）が即リプシッツ連続な区間でもあるし（補集合R－Bfが、R中で稠密でない場合）
・Bf内にある開区間（a,b）がなければ、リプシッツ連続な区間もない（補集合R－Bfが、R中で稠密な場合）
それだけのことだろ
以上 >>324
はい（＾＾
http://planck.exblog.jp/18336706/
アスペン物理学センター５０周年 大栗博司のブログ 2012年 08月 13日
(抜粋)
アスペン物理学センターは、５０年前に、当時３０歳になったばかりの物理学者ジョージ・ストラナハンさんが、ここに夏の間物理学者が集う場所があればよと思いついたことに始まります。
ストラナハンさんは、ファインマンさんの学生だったマイケル・コーエンさんと、アスペン・インスティテュートの所長だったロバート・クレイグさんの協力を得て、物理学センターを始めました。
最初は、アスペン・インスティテュートの一部でしたが、その後に独立し、今ではひと夏に６００人以上の物理学者が滞在する施設になりました。
どこの組織にも属さず、米国を中心とした世界各国の物理学者がボランティアとして運営している団体です。私も理事および執行役員として、お手伝いをしています。
７月のお祝いのパーティには、創設者のストラナハンさん、コーエンさん、クレイグさんが久しぶりに集まり、当時のお話を聞かせてくださいました（右の写真）。
(引用終わり) >>326
>>ファインマンさんの学生だったマイケル・コーエンさん
このコーエンさんと、強制法のコーエンさんとは別人ですね
http://fuchino.ddo.jp/index-j.html
渕野 昌 (Sakae Fuchino) の web page．
http://fuchino.ddo.jp/misc/cohenx.pdf
“コーエンの強制法” と強制法1) 2) 2016 >>325
＞だから、１）と３）は同値
ぜんぜんダメ。同値にならない。
―――――――――――――――――――――――――――――――――
問：ある点 x で A_f(x)＜＋∞ なら、x を含むある開区間の上で A_f は必ず有限値になるか？
→ 必ずしもならない。f(x)＝ x^2 (xは有理数), －x^2 (xは無理数)
と置くと、A_f(0)＝0 だが、A_f(x)＝＋∞ (x≠0) である。
問：ある点 x で A_f(x)＜＋∞ なら、x を含むある開区間の上で f はリプシッツ連続になるか？
→ 必ずしもならない。上と同じ関数 f に対して、A_f(0)＝0 であるが、
f はどの開区間の上でもリプシッツ連続ではない。
問：ある開区間 (a,b) の中の各点 x で A_f(x)＜＋∞ なら、(a,b) 全体で f はリプシッツ連続になるか？
→ 必ずしもならない。f(x)＝ 0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
と置くと、(－1, 1) 上の各点 x で A_f(x)＜＋∞ である(A_f(0)＝0に注意)。
しかし、f は(－1, 1)全体ではリプシッツ連続ではない。
―――――――――――――――――――――――――――――――――― >>325
＞まとめると
＞・Bf内にある開区間（a,b）があれば、その開区間（a,b）が即リプシッツ連続な区間でもあるし（補集合R－Bfが、R中で稠密でない場合）
間違っている。(a,b)⊂B_f が成り立つとしても、(a,b)全体で f がリプシッツ連続だとは限らない。
(1)と(3)が同値だと勘違いしているから、そういう間違いに陥るのである。何度も書いているように、
f(x)＝ 0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
とするとき、(－1,1)上の各点 x で A_f(x)＜＋∞ が成り立つので、(－1,1)⊂B_f が成り立つことになるが、
しかし f は(－1,1)全体ではリプシッツ連続ではない。なお、この f については A_f(0)＝0 が成り立つことに
注意せよ( A_f(0)＝＋∞ だと勘違いするな)。
結局お前は、
「 (a,b)⊂B_f が成り立つなら、f はある開区間の上で自明にリプシッツ連続だ」
という主張が ぜんぜん自明に証明できないままでいる。自明どころか、そもそも全く証明できていない。
それもそのはず、正しい証明には >>110 の手法を使うしかなく、お前ごときでは絶対に証明できないのである。 >>325
＞・Bf内にある開区間（a,b）がなければ、リプシッツ連続な区間もない（補集合R－Bfが、R中で稠密な場合）
＞
＞それだけのことだろ
ぜんぜん まとめになってない。
「 Bf内に開区間が取れないなら、リプシッツ連続な区間も取れない 」
というのはその通りだが、そのことは 定理1.7 に対して何の批判にもなっていない。
定理1.7 とは、「 R－B_f が第一類集合なら、f はある開区間の上でリプシッツ連続である 」
というものである。B_f 内に開区間が取れるか否かを問題にしつつ定理1.7を批判するなら、
お前は次のように主張しなければならない。
「 R－B_f が第一類集合なのに、B_f が全く開区間を含まないような具体例があるので、定理1.7 は間違っている」
しかし、お前はそのような具体例を1つも提示していない。
実際には、定理1.7 もしくは 定理F により、R－B_f が第一類集合なら B_f は開区間を含むので、
お前は 定理1.7 を否定する材料を完全に失っているのである。 以下、再び 定理F について書いておく。
定理F：
A ⊂ R は Fσ集合とする。もし R－A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。
証明：
STEP1：
A は Fσ 集合だから、高々可算無限個の閉集合 A_k が存在して A ＝ ∪_k A_k と書ける。
一方で、R－A は第一類集合だから、高々可算無限個の、内点を持たない閉集合 F_k が存在して
R－A ⊂ ∪_k F_k と書ける。結局、R ⊂ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) ということになる。
STEP2：
A_k, F_k はどれも閉集合だから、これと R ⊂ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) から、
ベールのカテゴリ定理が使えて、ある A_k もしくはある F_k は内点を持つ。
F_k は内点を持たないのだから、ある A_k が内点を持つしかない。
そのような A_k に対して、(a,b)⊂A_k なる開区間が取れるので、
A ＝ ∪_k A_k に注意して、(a,b) ⊂ A となる。従って、定理F が成り立つ。 さて、B_f は Fσ 集合なので、上記の 定理F と組み合わせると、
「 R－B_f が第一類集合なら、B_f は開区間を含むので、R－B_f は R の中で稠密にならない」
ということが即座に確定する。
お前は未だに、R－B_f が R の中で稠密か否かで場合分けしようとしているが、
そのような場合分けは、お前の屁理屈によれば「最初から存在しない」のである。
定理1.7 に対するお前の批判は、これにて完全に崩壊する。 あと、>>286 の焼き直しになるが、定理Fについて補足する。
定理F を「 Gδ集合 」で書き直すと、次のようになる。
定理F1：
A ⊂ R は、R－A がGδ集合とする。もし R－A が第一類集合ならば、(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。
実は、さらに強く、次の定理も証明できる。
定理F2：
A ⊂ R は、R－A がGδ集合とする。もし R－A が第一類集合ならば、R－A は nowhere dense である。
ここまで来ると、「 R－A 」を1文字にした方がキレイなので、そうすると次のようになる。
定理F3：
A ⊂ R は、A がGδ集合とする。もし A が第一類集合ならば、A は nowhere dense である。
これに関しては、"Gδ set of first category" で検索すると、
1件だけだが上記の 定理F3 を使っていると思しき pdf が見つかる。
ttp://fm.math.uni.lodz.pl/artykuly/12/ww.pdf
＞ Observe that ∩[m＝1～∞] ∪[n≧m] A_n as Gδ set of first category is
＞ easily seen to be nowhere dense.
このことからも、定理F, F1,F2,F3 は全て正しいと分かる。
間違っているのはスレ主ただ1人だけ。キチガイ。ゴミクズ。問題外。 ＞いろいろ書くことで、体系化される面もある
一つ一つを全く理解できてないのに体系化できると稀代のアホが豪語しております 日本女子パシュート金、おめでとう！ ＼（＾＾／
https://www3.nhk.or.jp/news/html/20180221/k10011338091000.html
スピードスケート女子団体パシュート 日本が金メダル NHK 2月21日 22時04分 >>305 補足
渕野先生 定理A.3 (シェルピンスキーの双対原理)
これ、>>279 渕野昌 (2002) (PDF), 実数の集合論の基礎の基礎 に関連記述があるね
http://math.cs.kitami-it.ac.jp/~fuchino/notes/set-th-of-reals-kiso-no-kiso.pdf
P33
(抜粋)
3.3 双対性定理
次の定理は，連続体仮説のもとで，疎集合の?-イデアルと零集合の?-イデアルの間には強
い双対性が成り立っていることを主張している．特にこの定理でのf で移すことにより，
疎集合の性質は対応する零集合の性質に翻訳され，逆も真である．
(引用終り) >>319
> 時枝不成立も分からず
スレ主の時枝不成立理論だと
1) 箱が1つあって1から6の自然数を出題者がランダムに1つ選んで数字を箱の中に入れて箱を閉じる
2) 箱を開けて中の数字を確認してから箱を閉じることを出題者とは別の複数人(人数6n)がそれぞれ行う
3) 6n人が箱の中身を答えると1から6の数字を答える人数はnが十分大きければそれぞれほぼn人ずつになる
となるから
この場合(1から6の自然数)の数当ての成否(時枝成立or不成立も同じ)の判定を間違える確率は5/6
箱に入れる数字の種類を増やしていけば判定を間違える確率は1に近づいていくが
実際にスレ主は成否の判定を間違えている スレ主の言う確率は当てずっぽで当たる確率
時枝戦略は当てずっぽではないので根本的にナンセンス アホ丸出し >>328
１）
(引用開始)
問：ある点 x で A_f(x)＜＋∞ なら、x を含むある開区間の上で A_f は必ず有限値になるか？
→ 必ずしもならない。f(x)＝ x^2 (xは有理数), －x^2 (xは無理数)
と置くと、A_f(0)＝0 だが、A_f(x)＝＋∞ (x≠0) である。
(引用終り)
意味わからん。何を言いたいのかな？
２）
(引用開始)
問：ある点 x で A_f(x)＜＋∞ なら、x を含むある開区間の上で f はリプシッツ連続になるか？
→ 必ずしもならない。上と同じ関数 f に対して、A_f(0)＝0 であるが、
f はどの開区間の上でもリプシッツ連続ではない。
(引用終り)
意味わからん。「A_f(x)＜＋∞ なら」と書いておきながら、「A_f(x)＝＋∞ (x≠0) である」だと？ 「リプシッツ連続ではない」と
何を言いたいのかな？
３）
(引用開始)
問：ある開区間 (a,b) の中の各点 x で A_f(x)＜＋∞ なら、(a,b) 全体で f はリプシッツ連続になるか？
→ 必ずしもならない。f(x)＝ 0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
と置くと、(－1, 1) 上の各点 x で A_f(x)＜＋∞ である(A_f(0)＝0に注意)。
しかし、f は(－1, 1)全体ではリプシッツ連続ではない。
(引用終り)
A_f(x)の定義がないが・・、A_f(x)＝｜f(y)－f(x)｜/｜y－x｜でいいかな？
下記より、その例は下記wikipediaと同じ例だ。「その導函数は有界でない」とあるから、”lim y→0 A_f(x)＜＋∞”ではないよ
あと、重箱の隅だが、下記で”閉区間 [0,1] へ制限”とあるよ。
分るかな？ 分数べきの分母が偶数のとき、ｘ<0はまずい。
ｘ<0の例を考えるなら、分母は偶数でないと。
（>>282より）https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
リプシッツ連続
(抜粋)
例
可微分だが（大域）リプシッツ連続でない
・函数 f(x) = x^3/2sin(1/x) (x ≠ 0) かつ f(0) = 0 を閉区間 [0,1] へ制限したものは、コンパクト集合上微分可能だが局所リプシッツでない函数の例を与える。実際、その導函数は有界でない。
(引用終り) >>337-338
ご苦労さん
一見数学ぽいことを書いてんだね（＾＾ >>339 訂正
”lim y→0 A_f(x)＜＋∞”
↓
”lim y→0 A_f(y)＜＋∞”
か
追記
” lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜”みたいな書き方があまりよろしくないかも
変数と定数の表現を区別する方がいいだろう
” lim sup y→x0 ｜（f(y) － f(x0)）/（y － x0）｜”
あるいは
” lim sup y→c ｜（f(y) － f(c)）/（y － c）｜”
とか 突然ですが、平昌五輪 女子スケート金
”組織力で世界と互角以上に戦う” これが、日本の一つのめざすべき姿だろう。数学の分野でも
http://www.yomiuri.co.jp/editorial/20180222-OYT1T50190.html
女子スケート金 一体的な強化策が実を結んだ 読売 2018年02月23日
(抜粋)
組織力で世界と互角以上に戦う姿は、１６年リオデジャネイロ五輪で銀メダルだった陸上男子４００メートルリレーのメンバーと重なる。
(引用終り) >>339-341
A_f(x)という表記は、今まで散々使ってきた表記である。お前もこの表記を何度も見てきたはずである。
なぜ今さら「知らないふり」をするのか理解に苦しむ。A_f(x)の定義を改めて書くと、x∈R に対して
A_f(x) ＝ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜
と定義するのである。定数と変数の区別がつかないとかいうアホなスレ主のために、
スレ主のスタイルで定義すると、各点 x_0∈R に対して
A_f(x_0) ＝ limsup[y→x_0]｜(f(y)－f(x_0))/(y－x_0)｜
と定義するのである。この定義のもとで、
B_f ＝ { x∈R｜ A_f(x)＜＋∞ }
と簡潔に表現できることに注意せよ。あるいは、全く同じことだが、
B_f ＝ { x_0∈R｜ A_f(x_0)＜＋∞ }
と簡潔に表現できることに注意せよ。ちなみに、f が点 x_0 で微分可能ならば、
A_f(x_0) ＝ ｜f ' (x_0)｜
が成り立つことにも注意せよ。 さて、上記の表現のもとで、改めて>>328を書き直す。
とは言っても、ほとんど>>328のコピペだがな。
―――――――――――――――――――――――――――――――――
問1：ある点 x で A_f(x)＜＋∞ なら、その点 x を含むある開区間の上で A_f は必ず有限値になるか？
→ 必ずしもならない。f(x)＝ x^2 (xは有理数), －x^2 (xは無理数)
と置くと、A_f(0)＝0 だが、A_f(x)＝＋∞ (x≠0) である。
問2：ある点 x で A_f(x)＜＋∞ なら、x を含むある開区間の上で f はリプシッツ連続になるか？
→ 必ずしもならない。上と同じ関数 f に対して、A_f(0)＝0 であるが、
f はどの開区間の上でもリプシッツ連続ではない。
問3：ある開区間 (a,b) の中の各点 x で A_f(x)＜＋∞ なら、(a,b) 全体で f はリプシッツ連続になるか？
→ 必ずしもならない。f(x)＝ 0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0) と置くと、
(－1, 1) 上の各点 x_0 で A_f(x_0)＝｜f ' (x_0)｜＜＋∞ である(A_f(0)＝｜f ' (0)｜＝0に注意)。
しかし、f は(－1, 1)全体ではリプシッツ連続ではない。
―――――――――――――――――――――――――――――――――― >>339-341
さて、お前が主張しているのは、
(i)「 (a,b)⊂B_f ならば、f は (a,b)全体でリプシッツ連続だ 」
という間違った主張である。B_f ＝ { x_0∈R｜ A_f(x_0)＜＋∞ } だったから、
上記の(i)をA_f(x)を使って書き直すと、次のように言い換えできる。
(ii)「 各点 x_0∈(a,b) に対して A_f(x_0)＜＋∞ ならば、f は(a,b)全体でリプシッツ連続だ」
このように書けば、(i),(ii)が間違っていることは明白である。なぜなら、
f(x)＝ 0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
が反例になるからだ。この f に対して、(－1, 1) 上の各点 x_0 で A_f(x_0)＝｜f ' (x_0)｜＜＋∞ が
成り立つが、しかし f は(－1, 1)全体ではリプシッツ連続ではない。
なお、 A_f(0)＝｜f ' (0)｜＝0 が成り立つことに注意せよ。A_f(0)＝｜f ' (0)｜＝＋∞ だと勘違いするな。 >>339
＞ ・函数 f(x) = x^3/2sin(1/x) (x ≠ 0) かつ f(0) = 0 を閉区間 [0,1] へ制限したものは、
＞コンパクト集合上微分可能だが局所リプシッツでない函数の例を与える。実際、その導函数は有界でない。
「導関数」が存在している時点で、(－1, 1) 上の各点 x_0 で A_f(x_0)＜＋∞ が成り立つことが確定している。
なぜなら、既に述べたように、f ' が存在する場合には A_f(x_0) ＝ ｜f ' (x_0)｜が成り立つからだ。
当然ながら｜f ' (x_0)｜＜＋∞ なので、A_f(x_0)＜＋∞ である。つまり、各 x_0∈(－1, 1) に対して
A_f(x_0)＜＋∞ である。そして、B_f ＝ { x_0∈R｜ A_f(x_0)＜＋∞ } だったから、
(－1,1)⊂B_f
ということになる。しかし、f は (－1,1)上ではリプシッツ連続ではない。従って、お前が主張している
(i)「 (a,b)⊂B_f ならば、f は (a,b)全体でリプシッツ連続だ 」
という主張は間違っているのである。
ちなみに、上記の f に対して、f ' は有界ではない。ここでの「有界ではない」とは、
「 ｜f '(x_0)｜＝＋∞ が成り立つ点 x_0∈(－1,1) が存在する 」
という意味ではなく、
「 max_{ x_0∈(-1,1)}｜f '(x_0)｜ や sup_{ x_0∈(-1,1)}｜f '(x_0)｜ が有限値として存在しない 」
という意味である。お前はこのことと、「各点 x_0∈(-1,1) で ｜f ' (x_0)｜＜＋∞ が成り立つ 」
ということとを混同している。 >>339
一応、このレスにも返答しておく。
＞意味わからん。何を言いたいのかな？
＞意味わからん。「A_f(x)＜＋∞ なら」と書いておきながら、
＞「A_f(x)＝＋∞ (x≠0) である」だと？ 「リプシッツ連続ではない」と
＞何を言いたいのかな？
その部分は、「問1」「問2」を考えて、それらの問に対する反例を挙げているだけである。
「当然、問1,問2には反例があるだろう」と理解しているなら、それでよい。
＞A_f(x)の定義がないが・・、A_f(x)＝｜f(y)－f(x)｜/｜y－x｜でいいかな？
＞下記より、その例は下記wikipediaと同じ例だ。「その導函数は有界でない」とあるから、”lim y→0 A_f(x)＜＋∞”ではないよ
A_f(x)の定義は再度 >>343 に書いたので、きちんと参照せよ。
というか、お前は既に A_f(x) の定義を知っていたはずである。
なぜ今さら「知らないふり」をするのか理解に苦しむ。 久し振りに来ました、おっちゃんです。
幾何や代数、表現論など他の分野と混じり気のないような純粋な解析に直観は禁物。
スレ主はこれを心得ること。
直観が通じそうでも或いはなさそうでも、場合によっては、議論に物凄いギャップがあることがある。
じゃ、おっちゃん寝る。 カーリング女子、残念でした
明日の3位決定戦、頑張って下さい
https://vdata.nikkei.com/newsgraphics/pyeongchang2018-blog/
日経 2018/2/23
カーリング女子準決勝で日本は延長戦の末、韓国に7－8で敗れました。あす夜、イギリスとの3位決定戦に臨みます。 SiegelのE 関数
和文では、情報がほとんどない
http://www.ma.noda.tus.ac.jp/u/ha/SS2006/Data/Hokoku/hirata.pdf
1 対数一次形式の理論と応用: Hermite からBaker，Matveev まで 平田典子(Noriko Hirata-Kohno) 日本大学理工学部数学科 2006
(抜粋)
P30
Definition 4.1 (E 関数)
略
例えば，z の代数的数係数多項式，exp(z), sin z, cos z，Bessel 関数などはE 関数となる．E
関数の研究はC. L. Siegel が始めた．典型的な結果としてはたとえば次[76] が得られている．
Theorem 4.1 (A. B. Shidlovskii)
これはSiegel-Shidlovskii の定理と呼ばれるが，その代数的な別証明もある([4], [5])．Y. Andr´e
による最近の研究が進んでいる．
さらにG 関数と呼ばれる関数を定めよう．
Definition 4.2 (G 関数) 次のような解析関数を考える．
G 関数の
例としては通常の対数関数，その一般化であるpolylogarithm，Gauss の超幾何級数や一般超
幾何関数などがある．G 関数の数論的な性質については微分方程式論とも深く関連している
[3], [65]．
数論において意味のある良く知られた関数としてRiemann のゼータ関数ζ(s) がある．s が2
以上の奇整数のときにζ(s) が超越数か否かという問題がある．最も一般的な予想としては次
がある．
http://swc.math.arizona.edu/aws/2008/
Arizona Winter School 2008: Special Functions and Transcendence The Southwest Center for Arithmetic Geometry
http://swc.math.arizona.edu/aws/2008/08BeukersNotesDraft.pdf
Arithmetic of values of E- and G-functions Lecture notes (draft) Frits Beukers 2008
https://en.wikipedia.org/wiki/E-function
E-function
https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/E-function
E-function Encyclopedia of Mathematics >>348
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>幾何や代数、表現論など他の分野と混じり気のないような純粋な解析に直観は禁物。
>スレ主はこれを心得ること。
>直観が通じそうでも或いはなさそうでも、場合によっては、議論に物凄いギャップがあることがある。
その考えは、私とは正反対だな
自分の直観を、レベルアップすべし
数学のハイレベルな理論と、自分の直観とが、一致するように
そうしないと、あなたはいつまで立っても論文一つ書けないだろう >>353 補足
余談だが、素朴な直観が、「高度な科学理論」と合わないということは歴史的にもしばしばあった
だが、頭が軟らかい若い内に、きちんと学ぶと、「高度な数学理論」が当たり前に思えてくるものだ
まあ、そういう話は、物理に多い
古くは、地球が球だとか
天動説 VS 地動説
相対論 VS ニュートンの絶対（ユークリッド）空間論
量子力学 VS 古典（ニュートン）力学
まあ、数学でも
古代は、負数は認めないとか、虚数は存在しないとか
幾何は、ユークリッドが絶対だとかね
まあ、無限もカントールが認められない時代があったし
ヒルベルトは、全数学をユークリッド方式で公理化しようとしたが、不完全性定理が出た
連続体仮説は、他の公理から独立だが、これはあやしい仮説だという人もいるらしい
選択公理も、いろいろ議論のあるところだ
そんなこんないろいろあるが
きちんと勉強して、自分の直観を磨き鍛えることをしないと、だめだと思うよ >>347
>A_f(x)の定義は再度 >>343 に書いたので、きちんと参照せよ。
>というか、お前は既に A_f(x) の定義を知っていたはずである。
>なぜ今さら「知らないふり」をするのか理解に苦しむ。
それはすまんかった
A_f(x)の定義を検索したが、見つからなかったのでね
えーと、下記だったね（細かいが、A_f(x)とAf(x)の違いで検索ヒットしなかったかも）
あと、３スレ前で2017/12/22付けだし、もう一度定義を確認しておく意義はあったろう
スレ48 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/404
404 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/12/22(金) 16:34:32.09 ID:bIg1uYPK
(抜粋)
[記法の整備 その１]
さて、せっかくディニ微分が出てきたので、ここからはディニ微分の「Ｄ記法」を拝借して
Af(x)：＝ limsup[y→x]｜(f(y)－f(x))/(y－x)｜
とでも書くことにする。「Ａ記法」とでも呼ぶべきか。このとき、集合 B_f は
B_f ＝ { x∈R｜ Af(x) ＜ ＋∞ }
と表現できることに注意する。もちろん、
R－B_f ＝ { x∈R｜ Af(x) ＝ ＋∞ }
という等式が成り立つ。
(引用終り)
以上 ＞きちんと勉強して、自分の直観を磨き鍛えることをしないと、だめだと思うよ
と、一年生の教科書すら勉強しない稀代のアホが申しております >>304
谷村先生は、確か以前にも紹介したと思って検索すると（方法は>>323ご参照）
スレ24にあったね（＾＾
スレ24 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1475822875/369-376
369 自分：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2016/10/14(金)
(引用終り) >>344
こんなのがあったので引用する（＾＾
https://answers.yahoo.com/question/index?qid=20111114081521AAQ7U4A
(抜粋)
Determine whether the following functions are lipschitz. Explain? Yahoo answers 20/11/2011
(a) f(x) = 1/x, x belong to (0,1)
(b) f(x) = (x^2) sin(1/x) with x belong to (0,1]
(c) f(x) = (x^(3/2)) sin (1/x) with x belong to (0,1)
(d) f(x) = (x^2) sin [exp(1/x)] with x belong to (0,1)
(e) f: R-->R, where f is a polynomial of degree larger than 1.
Best Answer:
(a) This is not Lipschitz on (0, 1). To show this:
Define x(n) = 1/n and y(n) = 1/2 for n = 1, 2, ..., and suppose that f is Lipschitz on (0, 1).
(Note that {1/n} and {1/2} are subsets of (0, 1).)
Then, there must exist M > 0 such that
M ? |[f(x(n)) - f(y(n))] / (x(n) - y(n))|
....= |(n - 2) / (1/n - 1/2)|
....= |(n - 2) / [(1/(2n)) (2 - n)]|
....= 2n → ∞ as n→∞.
Hence, no such M can exist, and so f(x) = 1/x is not Lipschitz on (0, 1).
(b) Note that f '(x) = 2x sin(1/x) - cos(1/x).
==> |f '(x)| ? 2|x| |sin(1/x)| + |cos(1/x)| ? 2|x| * 1 + 1 ? 2 * 1 + 1 = 3 for all x in [0, 1].
Since f has bounded derivative on (0, 1], we see that f is Lipschitz.
つづく >>358 つづき
(c) This is not Lipschitz on (0, 1); we prove this in a manner similar to (a).
Define x(n) = 1/√(2πn + π/2) and y(n) = 1/√(2πn) for n = 1, 2, ..., and suppose that f is Lipschitz on (0, 1).
(Note that {x(n)} and {y(n)} are subsets of (0, 1).)
Then, there must exist M > 0 such that
M ? |[f(x(n)) - f(y(n))] / (x(n) - y(n))|
....= |[(2πn + π/2)^(-3/4) - 0] / [1/√(2πn + π/2) - 1/√(2πn)]|
....= √(2πn) / {(2πn + π/2)^(1/4) [√(2πn + π/2) - √(2πn)]}
....= √(2πn) [√(2πn + π/2) + √(2πn)] / {(2πn + π/2)^(1/4) [(2πn + π/2) - (2πn)]}, via conjugates
....= (2/π) √(2πn) [√(2πn + π/2) + √(2πn)] / (2πn + π/2)^(1/4)
....= √(8/π) [√(2πn^2 + πn/2) + n√(2π)] / (2πn + π/2)^(1/4)
....→ ∞ as n→∞. [degree 1 on the numerator, degree 1/4 on the denominator]
Hence, no such M can exist, and so f(x) = x^(3/2) sin(1/x) is not Lipschitz on (0, 1).
(引用終り) 文字化けしとるな。まあ、原文を読めば良いのだが
>>358
M ? |[f(x(n)) - f(y(n))] / (x(n) - y(n))|
↓
M >= |[f(x(n)) - f(y(n))] / (x(n) - y(n))|
>>359
M ? |[f(x(n)) - f(y(n))] / (x(n) - y(n))|
↓
M >= |[f(x(n)) - f(y(n))] / (x(n) - y(n))| >>358 ついでに関連引用下記
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1167642766
(抜粋)
newt2shikenさん yahoo 2011/7/2913:43:05
数学の質問です。
f(x)=x^2sin(1/x) (x≠0)、0 (x=0) はリプシッツ連続であることを示してください。 よろしくお願いします。
ベストアンサーに選ばれた回答
k_i_n_o08さん 2011/8/101:56:04
x≠0 で f'(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x) である．
|f'(x)| <= 2|x|+1 であり，f'(x)→±∞ のとき f'(x)→2 なので，f'(x) は x≠0 において有界である。
L=sup(z≠0) |f'(z)| とおく。
ゆえに，xy >= 0 のとき，|f(x)-f(y)| <= L|x-y| である。
xy＜0 のとき，例えば x＜0＜y のとき，f(x)＜0＜f(y) であるから，
|f(x)-f(y)|=f(y)-f(x)=f(y)-f(0)-(f(x)-f(0))
=f'(u) y-f'(v)x
=f'(u) y+f'(v)*(-x)
<= Ly+L(-x)
=L(y-x)
=L|y-x|.
(引用終り)
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q13115720653
(抜粋)
mnbvbnm7230さん2013/10/3103:50:01
関数 f(x)=x^2 sin(1/x) (x≠0), f(0)=0についての問題です
関数 f(x)=x^2 sin(1/x) (x≠0), f(0)=0について
１．x≠0のとき、この関数を微分せよ（導関数f'(x)を求めよ）。
２．この関数の微分係数f'(0)を定義に従って計算し、f'(x)がx=0で不連続であることを示せ。
ベストアンサーに選ばれた回答
calsopisdaさん 編集あり2013/10/3108:51:38
f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x)
です。
f'(0)を定義にしたがって計算すると、
lim[h→0](1/h)(f(0+h)-f(0))
=lim[h→0](1/h){h^2sin(1/h)-f(0)}
=lim[h→0]hsin(1/h)
=0(はさみうちより)
一方で、
lim[x→0]f'(x)
=lim[x→0](2xsin(1/x)-cos(1/x))
≠f'(0)
ですから、f'(x)はx=0で不連続となります。
(引用終り) >>353
おっちゃんです。
それが信じられないことにあったんだよ。
2冊合わせてリーマン面を除く部分の一変数複素解析の大半の理論が完結するようなテキストを読んだときね。
まあ、この2冊のうち片方には、面白いことが書いてある。 >>363
まあ、正確には「読んだ」ではなく「見た」だけどな。
いや～、新鮮味がある内容だよ。
実解析と集合論との関係について書いてあるような本があるんだな。 >>359 補足
>Define x(n) = 1/√(2πn + π/2) and y(n) = 1/√(2πn)
これちょっと怪しい（＾＾
下記が正解（√が不要）だろう
https://www.eco.uninsubria.it/site/dipartimento/ricerca/quaderni-di-ricerca/elenco/
Quaderni di ricerca (2000 / 2016)
http://eco.uninsubria.it/dipeco/quaderni/files/QF2008_03.pdf
I. Ginchev Weakened subdifferentials and Frechet differentiability of real functions 2008/3
Universita degli Studi dell'Insubria Via Monte Generoso, 71, 21100 Varese, Italy
(抜粋)
P5
Example 2. The function f : R → R,
f(x) =x^3/2 sin(1/x) , x ≠ 0 ,
=0 , x = 0 ,
is not Lipschitz near x = 0, but it possesses a Lipschitz weakened derivative f^w(0, v) = 0.
To show that the function f in this example is not Lipschitz near x = 0 put
xn = 1/{(2n ? 3/2)}π, yn =1/(2nπ).
Then xn → 0, yn → 0 and
{f(xn) ? f(yn)}/(xn ? yn) = 4n/{(3π)^(1/2)(2n ? 3/2)^(1/2)}→ ∞ as n → ∞.
We conclude this section with an example showing that the finiteness of L_*f^w(x) does not
imply the finiteness of of L*f^w(x) and consequently the Lipschitz property of f^w(x, ・).
(引用終り) >>362-364
おっちゃん、どうも、スレ主です。
良かったら、そのテキストの書名のご紹介をよろしく（＾＾ >>362-364
おっちゃん、どうも、スレ主です。
オリンピック見てる？
それが信じられないことにあったんだよ
マススタート金、カーリング銅
びっくりしたね（＾＾ >>366
辻正次が著した実函数論と複素函数論。
実函数論の方は記述的集合論とかいう分野について書いてあるような面白い実解析の本だ。
素朴集合論から書いてある。
>>367
オリンピック？ 全然見てない。結果を聞く程度。 >>365 訂正
あーら、マイナス記号が文字化けしちゃったな（＾＾
xn = 1/{(2n ? 3/2)}π, yn =1/(2nπ).
Then xn → 0, yn → 0 and
{f(xn) ? f(yn)}/(xn ? yn) = 4n/{(3π)^(1/2)(2n ? 3/2)^(1/2)}→ ∞ as n → ∞.
↓
xn = 1/{(2n - 3/2)}π, yn =1/(2nπ).
Then xn → 0, yn → 0 and
{f(xn) - f(yn)}/(xn - yn) = 4n/{(3π)^(1/2)(2n - 3/2)^(1/2)}→ ∞ as n → ∞. >>368
>辻正次が著した実函数論と複素函数論。
ああ、辻正次先生ね。それ、下記に紹介したが、”辻正次： 實變數凾數論， 清水書院，1949．”となっているけど、復刻版があったよね。結構分厚い本だったかな
スレ48 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/392-399
392 自分返信：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2017/12/22(金)
(抜粋)
https://ci.nii.ac.jp/els/contentscinii_20171221232301.pdf?id=ART0007541949
Dini導関数とその応用 中井三留，多田俊政 大同工業大学紀要 第39巻（2003）
辻正次： 實變數凾數論， 清水書院，1949．
(引用終り) >>365 & >>369 自己レス
なにをやっているかというと
f(x) =x^3/2 sin(1/x)
で、リプシッツ連続でないことの証明で
I. Ginchev先生みたく数列 xn = 1/{(2n - 3/2)}π, yn =1/(2nπ) 作って
{f(xn) - f(yn)}/(xn - yn) → ∞ as n → ∞.を証明している
これそのままで
定理1.7（>>13より）の
lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜→ ∞ as n → ∞
の証明になっとるんじゃないの？
つまり、
リプシッツ連続でないことの証明
↓
数列 xn、yn ”{f(xn) - f(yn)}/(xn - yn) → ∞ as n → ∞”
↓
lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜→ ∞ as n → ∞
の証明
だと >>371
何が言いたいのか意味不明。特に、
＞lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜→ ∞ as n → ∞
この部分は本格的に意味不明。キチガイ。
lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜ という量には「 n 」が出現していないので、
このままでは n に全く依存していない定数であり、n→∞ としても
lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜ のまま動かない。
このことは、A_f(x) という表現を使うと より明確である。再び
＞lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜→ ∞ as n → ∞
この部分を A_f(x) を使って書き直してみると、
「 A_f(x) → ∞ as n → ∞ 」
と言っていることになる。ここまで書けば、意味不明であることが如実に分かる。
A_f(x) という量には n が出現していないので、n → ∞ としても A_f(x) は A_f(x) のままであり、
A_f(x) → ∞ とはならないのである。強いて書くなら「 A_f(x) → A_f(x) 」という書き方はできるが、
これは「 A_f(x) は n に依存せずに動かない 」と言っているだけなので、特に意味はない。 あるいは、適切な点列 x_n を取って
A_f(x_n) → ∞ as n → ∞
と書きたかったのかもしれないが、それはつまり
「 max_{ x∈(-1,1)}｜f '(x)｜ や sup_{ x∈(-1,1)}｜f '(x)｜ は有限値として存在しない 」
と言っているに過ぎなくて、
「ある x∈(-1,1) に対して A_f(x)＝｜f'(x)｜＝＋∞ が成り立つ」
ということにはならないし、
「 (-1,1)⊂B_f は成り立ってない 」
ということにもならない。つまり、(-1,1)⊂B_f は依然として成り立ってるし、にも関わらず
f は (-1,1) 上ではリプシッツ連続にならない。
しかも、この議論は f(x)＝ 0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0) という関数に対する議論でしかないので、
定理1.7 の中で何を一般的に言及しようとしているのかも意味不明。 もしくは、f(x)＝ 0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0) という関数の場合には
A_f(x)＝｜f ' (x)｜が成り立っているので、―― すなわち、
lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜ ＝ ｜f ' (x)｜
が成り立っているので、こちらの表記を使ってもツッコミができる。この場合、
＞lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜→ ∞ as n → ∞
この部分は次のように表現できる。
「 ｜f ' (x)｜→ ∞ as n → ∞ 」
既に述べたように、意味不明である。｜f ' (x)｜という書き方では n に依存していないので、
｜f ' (x)｜→ ∞ とはならないのである。適切な点列 x_n を取って
｜f ' (x_n)｜→ ∞ as n → ∞
と書きたかったのかもしれないが、それはつまり、sup_{ x∈(-1,1)}｜f '(x)｜ が有限値として
存在しないということに過ぎなくて、
「ある x∈(-1,1) に対して｜f'(x)｜＝＋∞ が成り立つ」
ということにはならないし、「 (-1,1)⊂B_f は成り立ってない 」ということにもならない。
いずれにしても意味不明。 >>365
この論文は、フレシェ微分の話がよく出てくる
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%AC%E3%82%B7%E3%82%A7%E5%BE%AE%E5%88%86
(抜粋)
数学におけるフレシェ微分は、モーリス・ルネ・フレシェの名にちなむ、バナッハ空間上で定義される微分法の一種である。フレシェ微分は、実一変数の実数値函数の導函数を、実多変数のベクトル値函数の場合へ一般化するのに広く用いられ、また変分法で広範に用いられる汎函数微分を定義するのにもつかわれる。
一般に、これは実一変数実数値函数の微分の概念をバナッハ空間上の写像へ拡張するものであり、より一般のガトー微分（古典的な方向微分の一般化）とは対比されるべきものである。
性質
一点で微分可能な函数はその点で連続である。
フレシェ微分を取る操作は、次の意味で線型演算である。二つの写像 f, g: V → W は x において微分可能で、r, s が二つのスカラー（実数もしくは複素数）ならば、rf + sg は x において微分可能で D(rf + sg)(x) = rDf(x) + sDg(x) を満たす。
この文脈では連鎖律も同じく有効である。f: U → Y が点 x ∈ U において微分可能かつ g: Y → W が点 y = f(x) において微分可能ならば、それらの合成 g ○ f は点 x において微分可能、かつその導函数は各導函数の合成
D(g○ f)(x)=Dg(f(x))○ Df(x)}
になる。
有限次元
有限次元空間におけるフレシェ導函数は通常の導函数である。特に、座標系を定めれば、フレシェ導函数はヤコビ行列で表される。
ガトー微分との関係
函数 f:U⊂V→W が x ∈ U においてガトー微分可能であるとは、f が x において任意の方向へ沿った方向微分を持つときに言う。これはつまり、任意に選んだ h ∈ V に対して函数 g: V → W で
g(h)=lim t→0 {f(x+th)-f(x)}/{t}
を満たすものが存在するという意味である[1]。ただし、t は V に付随する係数体から取ったものである（ふつう t は実数である）。f が x においてフレシェ微分可能ならば、f は x においてガトー微分可能かつ g は線型作用素 A = Df(x) とちょうど一致する。しかし、任意のガトー可微分函数は必ずしもフレシェ微分可能でない。
関連項目
微分の一般化（英語版）
無限次元正則性（英語版）
(引用終り) C++さんのために（＾＾
週刊碁にオープンソースソフトAQの記事があったね
http://tweettunnel.com/ymg_aq
山口 祐 ＠囲碁ソフトAQ開発中 @ymg_aq Tsukuba
東大将棋部OB。趣味でDeep Learningやっています。オープンソースで最強の囲碁プログラム「AQ」を開発しています → https://t.co/J1RSYw103R 世界AI囲碁オープン8強（2017）/AI竜星戦4位（2017）
囲碁ソフトAQのダウンロード＆インストール手順についてWiki（日本語）を書きました。
https://t.co/8D3dzUL4o4
1:10 AM - 25 Feb 2018
幽玄の間のAQはプロ相手に４３勝3敗（35連勝中）のようなので、割と頑張っているよう
9:46 PM - 23 Feb 2018
(引用終り)
http://www.nihonkiin.or.jp/news/release/aqvsaq.html
囲碁ソフト「AQ」の『幽玄の間』への導入、およびイベント『「今研究会」vs「AQ」三番碁』のお知らせ 日本棋院 2018年02月09日
「AQ」は、山口祐氏開発の囲碁対局ソフトウェア。
主な戦績：第10回UEC杯4位（2017年3月）／中信証券杯8強（2017年8月）／AI竜星戦4位（2017年12月）いずれもDeepZenGo に次ぐ国内ソフト2,3位の成績
(引用終り) 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:b73a9cd27f0065c395082e3925dacf01) >>379-380
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ご苦労さまです（＾＾ 平昌オリンピックの選手帰国インタビューを見ていた
新聞にも書いてあったが、外国人コーチの力も大きいみたいだね（＾＾
数学も同じだろうね ”ＡＩに詳しい学生”というのがキーワードか
数学科で頭の固いのはだめだが、普通の柔らかさでAIやITに詳しいという人は、アピールできるかも
かつ、それに近い研究をしていましたとなると、有利だろう
https://www.nikkei.com/article/DGXMZO27402590W8A220C1EA2000/
IT人材不足「19年危機」 新卒争奪戦が過熱 日経 2018/2/26 19:27
(抜粋)
ネット企業ではディー・エヌ・エー（ＤｅＮＡ）がすでに18年卒者の採用から、ＡＩに詳しい学生に絞った採用活動を実施している。募集案内では「ＡＩで実績のある人」と記している。入社１年目で年収が最大１千万円になる可能性もあるという。19年卒者対象でも「ＡＩ枠」を設定している。楽天は新卒でも「エンジニア職」を通年入社させることで海外留学していた学生などが応募しやすいようにしている。
各社の「ＩＴ人材」に厳密な定義はないが、ネットが重要な事業領域となりＩＴに詳しい人手を少しでも多く確保したいとの思惑がにじんでいる。衣料品店「ユニクロ」を展開するファーストリテイリングは、高度なデータ分析を担うデータサイエンティストなどの技術者採用に積極的だ。
経済産業省が16年にまとめたＩＴ関連企業を対象にした調査によると、国内では15年時点でＩＴ人材が約17万人不足しているという。19年には、ＩＴ産業への入職者が退職者を下回る逆転現象が発生する見込みで、30年には人材不足が約59万人にまで増える見通しだ。
(引用終わり) 数学科のためのAI講座とか
AIに使われている数学と課題とか
そういう講義を作ると受けるかもしれないね（＾＾ >>263 関連
（下記より）
連続的微分可能 ⊆ リプシッツ連続 ⊆ α-ヘルダー連続 (0 < α ?1) ⊆ 一様連続 ⊆ 連続函数
￢連続的微分可能 ⊇ ￢リプシッツ連続 ⊇ ￢α-ヘルダー連続 (0 < α ?1) ⊇ ￢一様連続 ⊇ ￢連続函数
リプシッツ連続 ⊆ 絶対連続 ⊆ 有界変動 ⊆ 殆ど至る所微分可能
￢リプシッツ連続 ⊇ ￢絶対連続 ⊇ ￢有界変動 ⊇ ￢殆ど至る所微分可能
(引用終わり)
（>>13より）
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
(引用終わり
で
Bfの示す連続な性質を、Bf連続と呼ぶことにすると
リプシッツ連続 ⊆ Bf連続 ⊆ α-ヘルダー連続 (0 < α ?1)
￢リプシッツ連続 ⊇ ￢Bf連続 ⊇ ￢α-ヘルダー連続 (0 < α ?1)
となる（∵リプシッツ連続→Bf連続が言えるから）
リプシッツ連続とBf連続とは、全く違う性質を言っているという主張をするが
私は、同じ性質について、表現形式が少し違っているだけだと思う
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
実数直線の有界閉集合上で定義される函数に関して、以下のような包含関係の鎖が知られている[2]:
リプシッツ連続
(抜粋)
連続的微分可能 ⊇ リプシッツ連続 ⊆ α-ヘルダー連続 (0 < α ?1) ⊆ 一様連続 ⊆ 連続函数.
また、
リプシッツ連続 ⊆ 絶対連続 ⊆ 有界変動 ⊆ 殆ど至る所微分可能
も成り立つ。
(引用終わり)
以上 >>368 関連事項
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%BB%91%E3%82%89%E3%81%8B%E3%81%AA%E9%96%A2%E6%95%B0
滑らかな関数
(抜粋)
滑らかさの分類
関数 f が連続的微分可能（れんぞくてきびぶんかのう、continuously differentiable）であるとは、f に導関数 f′ が存在して、なおかつその f′ が連続関数となることをいう。同様に自然数 k について、f の k 階の導関数が存在して連続であるとき、f は k 階連続的微分可能あるいは k 回の連続的微分が可能であるといい、また f は Ck 級の関数であるという。
微分可能な関数は連続であることから、Ck (k = 1, 2, ...) は包含関係に関して非増加な列を成している。任意有限階の導関数をもつ関数は無限回（連続的）微分可能であるといい、そのクラスは C∞ で表される。
関数のクラス Ck を、k 階の導関数が存在して連続であり、なおかつ k + 1 階の導関数が存在しないかあるいは存在しても連続でない関数全体が成す類とすることもある。この場合、各クラスは交わりを持たない排他的な分類を与える。
さらに強い滑らかさを表すクラスとして、解析関数つまり各点で冪級数展開可能な関数のクラス Cω がある。また場合により、連続関数のクラス C を 0 階連続的微分可能な関数のクラス C0 として、滑らかな関数の仲間に入れて考えることがある。
滑らかさのクラスを考えることは、具体的な定義域と値域をあたえることで、たくさんの関数空間（の台集合）の例を与える。関数の定義域が X であるときそれを明示して、X 上で定義される Ck 級関数全体の成す空間をしばしば Ck(X) のように記す。定義域 X は多くの場合 "滑らかな" 位相空間である。さらに値域 Y をも明示して Ck(X; Y) などと記すこともある。値域 Y はこの空間の係数と見なされる。
p-進解析のようにある種のリジッド (rigid) な空間を考えているとき、そこでは空間の全不連結性から必ずしも実解析あるいは複素解析的な意味での微積分を考えることはできないが、例えば局所定数関数全体の成すクラスを C∞ とすることがある。
つづく >>387 つづき
滑らかな関数
関数 f が（それが属する文脈での議論に用いるに）十分大きな n に関して Cn-級であるとき、滑らかな関数（なめらかなかんすう、smooth function）と総称される。またこのとき、関数 f は十分滑らかであるともいう。このような語法を用いるとき、n は十分大きければよく、その値が厳密に知られている必要はないし、とくに n は固定して考えないのが通例である。
そのような状況下では多くの場合、「滑らかな関数」のクラスとして無限回微分可能関数のクラス C∞ や解析関数のクラス Cω を考えるのが、議論の便宜からして有用である。
滑らかさの概念は（微分の概念がそうであるように）局所的なものである。つまり、ある点での滑らかさというのは、その点の周りの十分小さな近傍において考察される。有限個の例外を除く各点で滑らかな関数は区分的に滑らかであるといわれる。滑らかさのクラスを明示して、区分的に Ck 級の関数や、区分的に連続な関数を考えることもある。
(引用終わり)
以上 >>387 訂正
>>368 関連事項
↓
>>386 関連事項 >>386 関連事項
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%85%A8%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B5%90%E7%A9%BA%E9%96%93
完全不連結空間
(抜粋)
位相空間論やそれに関わる分野において、完全不連結空間 (totally disconnected space) は非自明な連結部分集合を持たないという意味で最も不連結な位相空間である。すべての位相空間において空集合と1点集合は連結である。完全不連結空間においてはこれらしか連結部分集合がない。
完全不連結空間の重要な例の1つはカントール集合である。別の例は p-進数体 Qp で、代数的整数論において重要な役割を果たす。
定義
位相空間 X は、X の連結成分が一点集合であるときに、完全不連結 (totally disconnected) であるという。
例
以下は完全不連結空間の例である。
・離散空間
・有理数全体
・無理数全体
・p 進数全体や p 進整数全体、より一般に、射有限群
・カントール集合
・ベール空間
・ゾルゲンフライ直線（英語版）
・0次元 T1 空間
・extremally disconnected（英語版） なハウスドルフ空間
・ストーン空間
・naster?Kuratowski fan（英語版） は連結空間であるが、一点を取り除くと完全不連結空間になる
・エルデシュ空間（英語版） l^p(Z)∩ Q^ω は次元 0 でない完全不連結空間である
(引用終わり) >>386
＞Bfの示す連続な性質を、Bf連続と呼ぶことにすると
Bf連続という言葉が意味不明。
(a,b)⊂B_f が成り立つなら、f は (a,b) 上で連続であるから、
そのことを「 B_f 連続 」と呼んでいるのだと思われるが、もしそうなら、
＞リプシッツ連続とBf連続とは、全く違う性質を言っているという主張をするが
＞私は、同じ性質について、表現形式が少し違っているだけだと思う
この部分は明らかに間違っている。
いつもの f(x)＝ 0 (x＝0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0) が反例である。
(-1,1)⊂B_f が成り立つので、f は (-1,1) 上で連続である。
従って、お前に言わせれば、f は (-1,1) 上で B_f 連続なのだろう。
しかし、f は (-1,1) 上の全体ではリプシッツ連続ではない。
すなわち、ある開区間の上でB_f連続だからといって、
その開区間の上でリプシッツ連続とは限らない。 >>386
＞ Bf連続 ⊆ α-ヘルダー連続 (0 < α ?1)
この部分も間違っている。B_f連続だからと言ってαヘルダー連続とは限らない。
g(x)＝0 (x＝0), x^2 cos(πe^{1/x^2}) (x≠0)
と置くと、g は R 上の各点で微分可能なので、特に (-1,1)⊂B_g が成り立っている。
従って、お前に言わせれば、g は (-1,1) 上で B_g連続である。
しかし、0＜α≦1 のとき、g は (-1,1)上でαヘルダー連続にならないことが確認できる。従って、
＞ Bf連続 ⊆ α-ヘルダー連続 (0 < α ?1)
こんなことは言えない。
すなわち、ある開区間の上でB_f連続だからといって、
その開区間の上でαヘルダー連続とは限らない。 文字フォントの都合上、一応注意しておくが、
＞ g(x)＝0 (x＝0), x^2 cos(πe^{1/x^2}) (x≠0)
cos の中にある π という記号は「パイ」のつもりである。 ＞数学科で頭の固いのはだめだが、普通の柔らかさでAIやITに詳しいという人は、アピールできるかも
数学はからっきしで頭も固いスレ主は社会のゴミ >>365 >>369 ＜まず証明書き直し＞
(引用開始)
Example 2. The function f : R → R,
f(x) =x^3/2 sin(1/x) , x ≠ 0 ,
=0 , x = 0 ,
is not Lipschitz near x = 0, but it possesses a Lipschitz weakened derivative f^w(0, v) = 0.
To show that the function f in this example is not Lipschitz near x = 0 put
xn = 1/(2n - 3/2)π, yn =1/(2nπ).
Then xn → 0, yn → 0 and
{f(xn) - f(yn)}/(xn - yn) = 4n/{(3π)^(1/2)(2n - 3/2)^(1/2)}→ ∞ as n → ∞.
(引用終り)
ここで、
f(x) =x^3/2 sin(1/x) を微分して
f｀(x) =3/2 x^1/2 sin(1/x) -(1/x^1/2) cos(1/x)となる
1)
xn =1/(2nπ)とおくと、sin(1/xn)=0, cos(1/xn)=1なので
f｀(xn) = -√(2nπ) → -∞ as n → ∞.
2)
xn =1/(2nπ+π)とおくと、sin(1/xn)=0, cos(1/xn)=-1なので
f｀(xn) = √(2nπ+π) → ∞ as n → ∞.
3)
いずれにせよ
xn → 0, | f｀(xn) | → ∞ as n → ∞
であり、微分係数はx → 0で、f｀(x)→±∞に発散する数列が作れる
なので、ある関数f(x)が微分可能なことと、微分係数がある値（例えばx=0）で∞に発散することとは、矛盾しない >>339 訂正
あと、重箱の隅だが、下記で”閉区間 [0,1] へ制限”とあるよ。
分るかな？ 分数べきの分母が偶数のとき、ｘ<0はまずい。
ｘ<0の例を考えるなら、分母は偶数でないと。
↓
あと、重箱の隅だが、下記で”閉区間 [0,1] へ制限”とあるよ。
分るかな？ 分数べきの分母が偶数のとき、ｘ<0はまずい。
ｘ<0の例を考えるなら、分母は”奇数”でないと。
（補足）
ケアレスミスが多いな
息をするようにケアレスミスだな（＾＾
すまんな
>>391
x^{3/2} =√（x^3）とかける
f : R → R だったら
(-1,1) でｘ<0は、まずかろう
あと、>>395もご参照ください（＾＾ おっちゃんです。
定理1.7ではB_f は G_δ 集合かつ R－B_f は F_σ 集合なることが仮定されている。 それで、仮定に過ぎないから、スレ主が幾ら具体的な反例を構成して反論しようとしてもムダ。 >>395
＞x^{3/2} =√（x^3）とかける
＞f : R → R だったら
＞(-1,1) でｘ<0は、まずかろう
言われてみればそうだな。すまん。
f(x)＝0 (x≦0), x^{3/2} sin(1/x) (x＞0)
とでもすればよかろう。この f は R 上で微分可能なので、特に (-1,1)⊂B_f が成り立つが、
しかし f は(-1,1)上の全体ではリプシッツ連続ではない。もしくは、>>392 の
g(x)＝0 (x＝0), x^2 cos(πe^{1/x^2}) (x≠0)
の関数でもよい。この g は R 上で微分可能なので、特に (-1,1)⊂B_g が成り立つが、
しかし g は(-1,1)上の全体でリプシッツ連続ではない。
また、0＜α≦1に対して、g は(-1,1)上の全体でαヘルダー連続でもない。 >>395
＞微分係数はx → 0で、f｀(x)→±∞に発散する数列が作れる
それは「 sup_{x∈(-1,1)}｜f'(x)｜が有限値として存在しない」ということに過ぎない。
＞なので、ある関数f(x)が微分可能なことと、微分係数がある値（例えばx=0）で∞に発散することとは、矛盾しない
その言い方では｜f'(0)｜＝＋∞ と言っていることになるが、実際には｜f'(0)｜＝0 である。よって、正確には
(1)「 f が(-1,1)上で微分可能なことと、lim[x→0]｜f'(x)｜＝＋∞ が成り立つこととは 矛盾しない」
と書くべきである。ここで、lim[x→0]｜f'(x)｜＝＋∞ が成り立つなら
f は(-1,1)上でリプシッツ連続にならないことに注意せよ。従って、(1)は
(2)「 f が(-1,1)上で微分可能なことと、f が(-1,1)上の全体でリプシッツ連続にならないこととは 矛盾しない」
と言っているのと同じことである。そして、f が(-1,1)上で微分可能なら (-1,1)⊂B_f が成り立つので、(2)は
(3)「 (-1,1)⊂B_f が成り立つことと、f が(-1,1)上の全体でリプシッツ連続にならないこととは 矛盾しない」
と言っているのと同じことである。そして、この(3)は俺が言っていた主張と同じことであり、
なおかつ、スレ主が当初言っていた
「 (a,b)⊂B_f が成り立つなら、f は(a,b)上の全体でリプシッツ連続だ 」
という主張と正反対の主張である。今回、スレ主の方からそのような正反対の主張が出たわけである。
一体何がしたいのか意味不明。 さて、話を整理する。スレ主の当初の主張は、大まかに言えば次の3つだったはずである。
(1) 定理1.7は間違っている。
(2) (a,b)⊂B_f が成り立つなら、f はある開区間の上で自明にリプシッツ連続である。
(3) もっと言えば、(a,b)⊂B_f が成り立つなら、f は(a,b)上の全体で自明にリプシッツ連続である。
(1)については、俺が「 定理F 」を持ち出してから すっかりフェードアウトしており、
スレ主は定理1.7の真偽について黙ってしまった。
(2)については、スレ主は未だに(2)を証明できていない。それもそのはず、
(2)はちっとも自明ではなく、>>110の方針を使わなければ(2)は証明できないからだ。
(3)については、俺が何度も反例を挙げているのに、スレ主はロクな返答をせず、ついには
「 (-1,1)⊂B_f が成り立つことと、f が(-1,1)上の全体でリプシッツ連続にならないこととは 矛盾しない」
という、俺と同じ主張をするようになった。言い換えれば、スレ主が言い出した(3)と正反対の主張を、
スレ主の方から言い出すようになった。もはや何がしたいのか意味不明である。
・ (1)について、定理1.7が本当は正しいことは理解したのか？
・ (2)について、(2)はちっとも自明ではなく、>>110の方針を使わなければ(2)は証明できないことは理解したのか？
・ (3)について、(a,b)⊂B_f が成り立つからと言って f は(a,b)上の全体でリプシッツ連続とは限らないことは理解したのか？ ＞一体何がしたいのか意味不明。
スレ主の存在自体が意味不明 >>397-398
おっちゃん、どうも、スレ主です。
>定理1.7ではB_f は G_δ 集合かつ R－B_f は F_σ 集合なることが仮定されている。
>それで、仮定に過ぎないから、スレ主が幾ら具体的な反例を構成して反論しようとしてもムダ。
言っている意味がわからんし
そもそも、暗黙に”B_f は G_δ 集合かつ R－B_f は F_σ 集合なることが仮定されている”なら
それこそ、数学としてはおかしな話だ
むしろ暗黙に仮定されているのは、Ｂｆ内における開区間(a,b)の存在でしょ？ >>397
>定理1.7ではB_f は G_δ 集合かつ R－B_f は F_σ 集合なることが仮定されている。
ああ～？
ひょっとして、おっちゃんは、私スレ主の間違いを指摘してくれたのかな？
いま検索すると・・
>>242
(引用開始)
まあ、普通の連続・不連続で、R中の部分集合として連続がFσ、不連続がGδとして存在するの類似かな？と
つまり、「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }」が連続に相当しFσ
補集合 R－Bf が、不連続に相当しGδだろうと
(引用終り)
これFσとGδとの当てはめが、全く逆だな。
お恥ずかしい次第だ。
息をするようにケアレスミスしているな～（＾＾；
正しくは
”まあ、普通の連続・不連続で、R中の部分集合として連続がGδ、不連続がFσとして存在するの類似かな？と
つまり、「Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }」が連続に相当しGδ
補集合 R－Bf が、不連続に相当しFσだろうと”
です
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/F%CF%83%E9%9B%86%E5%90%88
Fσ集合
(抜粋)
Fσ-集合とは、位相空間の部分集合で、閉集合の可算和に書けるようなものを言う。由来としては、F が閉（集合）を意味するフランス語の ferme から、σ が合併を意味するフランス語の somme からそれぞれとられている。
性質
Fσ-集合の補集合は Gδ-集合である。
可算個の Fσ-集合の合併はまた Fσ-集合であり、有限個の Fσ-集合の交わりはふたたび Fσ-集合を成す（Fσ-集合の可算交叉は Fσδ-集合という）。
例と反例
・任意の閉集合は明らかに Fσ-集合である。
・有理数全体の成す集合 Q は実数全体の成す集合 R の Fσ-集合である。無理数全体の成す集合 P = R ? Q は R の Fσ-集合ではない。
・距離化可能空間においては、任意の開集合が Fσ-集合になり、また任意の閉集合が Gδ-集合になる。
(引用終り)
つづき >>404 つづく
https://ja.wikipedia.org/wiki/G%CE%B4%E9%9B%86%E5%90%88
Gδ集合
(抜粋)
Gδ-集合あるいは内極限集合 (inner limiting set) とは、位相空間の部分集合で開集合の可算交叉となっているものを言う。
由来については、G というのが開集合を意味するドイツ語の Gebiet から、δ というのが交わりを意味するドイツ語の Durchschnitt からそれぞれとられたものである。
Gδ-集合（およびその双対であるFσ-集合）は、ボレル階層（英語版）において二階 (second level) の集合であり、より正確には Gδ-集合の全体はちょうど Π02-階集合である。
例と反例
・任意の開集合は明らかに Gδ-集合である。
・無理数の全体 P は実数直線 R の Gδ-集合である。実際 P は、q が任意の有理数を亙るときの一点集合 {q} の R における補集合すべての交わりとして表せる。
・有理数の全体 Q は実数直線 R の Gδ-集合ではない。実際、Q が開集合列 An の交わりに書けるとすると、各 An は（Q が R において稠密ゆえ）何れも R において稠密でなければならないが、
上でやったように無理数全体の集合 P は稠密開集合の可算交叉として書けるから、P と Q との交わりをとれば R の稠密開集合の可算交叉が空集合となるものが存在することとなり、ベールの範疇定理に反する。
つづき >>405 つづく
Gδ-集合の重要な性質は、位相空間から距離空間への連続写像がその上で定義され得るということにある。厳密に言えば、そのような写像 f が連続となるような点全体の成す集合は {\displaystyle G_{\delta }} G_{\delta }-集合を成すということである。これは、点 p における連続性というのが Π02-式で定義されることによる。
具体的に書けば、任意の正整数 n に対して p を含む開集合 U で任意の x, y ∈ U について d(x, y) < 1/n を満たすようなものが取れるが、
一旦 n の値を固定して対応する部分集合 U が取れるような点 p の全体を考えるとそれ自身が（開集合の和として）開集合であり、ここで n に対して普遍量化子を附すことは得られた開集合たちの可算交叉をとることに対応するから、所期の結論を得る。実数直線においてはこの逆も成り立つ：
実数直線の任意の Gδ-部分集合 A に対し、適当な函数 f: R → R が存在して、f は A に属する点のみにおいて連続となるようにすることができる。
このことから、無理数全体の成す集合が連続点集合であるような函数は存在する（トマエの函数（英語版）などを参照）が、有理数の上でのみ連続な函数というのは構成不可能であることが帰結される。
基本的な性質
・Gδ-集合の補集合はFσ-集合である。
・可算個の Gδ-集合の交わりはやはり Gδ-集合である。また、有限個の Gδ-集合の合併はふたたび Gδ-集合となる（可算個の Gδ-集合の合併は Gδσ-集合と呼ばれる）。
・距離化可能空間において、任意の閉集合は Gδ-集合であり、双対的に任意の開集合は Fσ-集合になる。
・稠密開集合の可算族の交わりを含むような集合は残留的 (comeagre, residual) であるという。残留的集合は函数の成す位相空間の生成的性質（英語版）を定義するのに用いられる。
(引用終り)
以上 >>404 関連
そうすると
>>254
(引用開始)
――――――――――――――――――――――――――――――
定理F：
A ⊂ R は Fσ集合とする。このとき、もし R－A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。
――――――――――――――――――――――――――――――
(引用終り)
これは、ミスを誘導したかも・・？
Aが、Bf相当で、Gδ集合
R－Aが、R－Bf相当で、Fσ集合（∵Gδ集合の補集合である）
では？
もし、ミスを誘導したなら、ゆるしてたもれ（＾＾； >>404-407
逆ではない。連続・不連続とは違って、B_f がFσ集合になり、R－B_f がGδ集合になる。
定理Fは正しい。 >>407 補足
下記より
「Q は第1類集合で，また，第1類集合2 つの合併はまた第1類集合であるから，R － Q は第2類集合である。
A ⊂ R を疎集合とすると，R － A は開かつ稠密である。」
とあることにご注意。
Q は第1類集合、R － Q は第2類集合
このどちらも、開区間 (a,b) は存在しない
（>>298より)
http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/16isoukuukan.pdf
位相空間 川崎徹郎 学習院 2016
(抜粋)
P21
（参考）ベールのカテゴリー定理
数直線の部分集合A ⊂ R について，A が疎であるとは閉包A が開区間(α， β) を含まないときをいう。
疎集合可算個の合併で表される集合を第1 類集合といい，そうでないものを第2類集合という。
定理 (ベール(Baire) のカテゴリー定理 ) R は第2類集合である。
Q は第1類集合で，また，第1類集合2 つの合併はまた第1類集合であるから，R － Q は第2類集合である。
A ⊂ R を疎集合とすると，R － A は開かつ稠密である。したがって，前定理 は次のようにもいいかえられる。
定理 R において，可算個の開かつ稠密集合の共通部分は稠密である。
定義 開集合可算個の共通部分で表される集合をGδ 集合という。閉集合可算個の和集合で表される集合をFσ 集合という。
Gδ 集合の補集合はFσ 集合である。また，Fσ 集合の補集合はGδ 集合である。
例3.38 Q はR のFσ 集合で閉集合でない。したがって，R － Q はR のGδ集合で開集合でない。
定理 Q はR のGδ 集合でない。したがって，R－Q はR のFσ 集合でない。
(引用終り) >>407
>逆ではない。連続・不連続とは違って、B_f がFσ集合になり、R－B_f がGδ集合になる。
>定理Fは正しい。
うーんと
(引用開始)
（>>13より）
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)
これで、従来の数学理論では、
「Q は第1類集合、R － Q（無理数） は第2類集合
このどちらも、開区間 (a,b) は存在しない」>>409より
「有理数全体の成す集合 Q は実数全体の成す集合 R の Fσ-集合である。」>>404より
「無理数の全体 P は実数直線 R の Gδ-集合である。」>>405より
だった
”B_f がFσ集合になり、R－B_f がGδ集合になる”のなら
系1.8で
無理数の点で微分可能→無理数の点がB_fになる
有理数の点で不連続→有理数の点がR－B_fになる
だから
従来の数学理論では、
B_f→無理数→Gδ集合
R－B_f→有理数→Fσ集合
だけど
定理Fは逆かい？ >>386 補足
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
実数直線の有界閉集合上で定義される函数に関して、以下のような包含関係の鎖が知られている[2]:
連続的微分可能 ⊆ リプシッツ連続 ⊆ α-ヘルダー連続 (0 < α <=1) ⊆ 一様連続 ⊆ 連続函数
￢連続的微分可能 ⊇ ￢リプシッツ連続 ⊇ ￢α-ヘルダー連続 (0 < α <=1) ⊇ ￢一様連続 ⊇ ￢連続函数
リプシッツ連続 ⊆ 絶対連続 ⊆ 有界変動 ⊆ 殆ど至る所微分可能
￢リプシッツ連続 ⊇ ￢絶対連続 ⊇ ￢有界変動 ⊇ ￢殆ど至る所微分可能
(引用終わり)
で、（>>13）”定理1.7 (422 に書いた定理) f : R → R とする．”
だけど、ある閉区間I（a,b）（台）に限定して、 f : I → R で考えても、一般性はほとんど失われない
なお、”連続的微分可能”は、連続的微分可能かつ微分係数が有限にしておく方がすっきりしていると思う
（∵微分係数が∞になると、リプシッツ連続が言えないから）
その上で、「系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : I → R は存在しない.」（>>13）
について考えてみると、不連続と微分可能の間の関数の特性として考えられるのは
微分不可能だが、連続であり、それぞれ、リプシッツ連続やα-ヘルダー連続 (0 < α <=1)、一様連続を満たす関数などが考えられる
従来の数学理論が教えるところは、前スレ50の222-223より、下記で
系1.8 の証明は、こちらの数理なんだよね、開区間(a,b)が取れるじゃなく（”each dense”なんだから、開区間(a,b)などとれない）
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006
(抜粋)
THEOREM: Let g be continuous and discontinuous on sets
of points that are each dense in the reals.
Then g fails to have a derivative on a
co-meager (residual) set of points. In fact,
g fails to satisfy a pointwise Lipschitz
condition, a pointwise Holder condition,
or even any specified pointwise modulus of
continuity condition on a co-meager set.
つづく >>411 つづき
(Each co-meager set has c points in every interval.)
REMARK BY RENFRO:
The last theorem follows from the following stronger and more general result.
Let f:R --> R be such that the sets of points at which f is continuous and discontinuous are each dense in R.
Let E be the set of points at which f is continuous and where at least one of the four Dini derivates of f is infinite.
Then E is co-meager in R (i.e. the complement of a first category set).
This was proved in H. M. Sengupta and B. K. Lahiri, "A note on derivatives of a function",
Bulletin of the Calcutta Mathematical Society 49 (1957), 189-191 [MR 20 #5257; Zbl 85.04502]. See also my note in item [15] below.
(引用終り)
以上 おっちゃんです。
>>403-404
あ～、間違えた。
まあ、そもそも正しい証明が書かれた pdf. を読んでなく、
口出しせずに議論の推移を見守ることにする。 >>413
おっちゃん、どうも、スレ主です。（＾＾
コメントありがとう（＾＾
>まあ、そもそも正しい証明が書かれた pdf. を読んでなく、
>口出しせずに議論の推移を見守ることにする。
「正しい証明が書かれた pdf. を読んでないが」と
一言断ってくれれば、問題ないのだが
もとPDFを読んでないことを表明せずに、”正しい”とか”間違っている”というとおかしくなるよね >>414 関連
下記、”一点で微分可能であるが、それ以外の点で連続でない関数 [微分] ねこ騙し数学”
面白いなと思った。例によって、数式と図が綺麗なのだが
原点 x=0でのみ微分可能（即ち連続）で、それ以外の点で連続でない関数の例だと
とすると、連続な点はGδ集合で、不連続点はFσ集合になるという理論と合わないのではないかと、暫く考え込んでしまった
考え込んでしまったが、結局よく分からないまま、貼っておきます。わかる人？
（後のyahooのkousaku2038さんのコメントが適切なのかな？）
http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/archive/c2306116896-2
一点で微分可能であるが、それ以外の点で連続でない関数 [微分] ねこ騙し数学 2017-06-07
(抜粋)
関数の定義域の一点で微分可能であるが、それ以外の定義域の点すべてで不連続な関数の一例。
f(x)
= x^2 (xは無理数)
= -x^2 (xは有利数)
このとき、f(x)は、x=0で微分可能で連続であるが、それ以外の点すべてで連続でない。
x=0で微分可能であることは、例えば、次のように証明されるだろう。
(引用終わり)
似た例を探すと下記がヒットしたね
https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1168625526
(抜粋)
chihiro_piano8987さん2011/8/11 06:01:27 yahoo
x = 0 の近傍で定義された微分可能な関数f(x)ってどういう意味でしょうか？
ベストアンサー以外の回答
kousaku2038さん 2011/8/111
f(x)= x^2 （xが有理数）
f(x)= 0 （xが無理数）
のように定義された関数f(x)です。
この関数はx=0で微分可能ですが、x=0以外では微分不可能です。
「x=0で微分可能な関数f(x)」と表記すると思いますので、
この問題を解くにあたっては、
①x=0を含むある開集合で定義されている
②①の開集合のすべての点で微分可能
と考えて良いのではないかと思います。
(引用終わり) >>410
＞従来の数学理論では、
＞B_f→無理数→Gδ集合
＞R－B_f→有理数→Fσ集合
キチガイ。問題外。お前がそこでやっているのは、
「系1.8 の関数 f に対して B_f と R－B_f を調べ上げ、B_f がGδ集合になることを確認した」
ということである。しかし、系1.8 の関数 f は実際には存在しないのだから、
そのような f に対して B_f がGδ集合になっていていも何の意味もない。
存在しない関数を調べるのではなく、実在する関数を調べてみよ。
たとえば、お前の大好きなトマエ関数 f に対して、f^2 という関数を考えると、
・ B_{f^2} はGδ集合に な り え な い
ということが証明できる。もうこの時点で、「 B_f は必ずGδ集合だろう 」という
お前の予想は崩壊することになる。
実際には、B_f は必ずFσ集合なのである。連続・不連続の場合とは逆なのである。 ちなみに、系1.8 の関数が存在しないことを言うには、
B_fがFσ集合であることを用いる方法もある。次のようにすればよい。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
一般論として、B_f は必ずFσ集合であり、R－B_f は必ずGδ集合である。
もし系1.8 の関数 f が存在するなら、R－B_f ＝ Q となるので、
R－B_f がGδ集合であることから、Q はGδ集合ということになるが、
Q はGδ集合になりえないので矛盾する。よって、系1.8 の関数は存在しない。
―――――――――――――――――――――――――――――――――― >>410
＞定理Fは逆かい？
まず、定理Fそのものは「B_f」とは無関係に一般的に記述された定理であることに注意せよ。
B_fのことは一旦忘れて、定理Fのみをきちんと読み返してみよ。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理F：
A ⊂ R は Fσ集合とする。もし R－A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。
証明：
STEP1：A は Fσ 集合だから、高々可算無限個の閉集合 A_k が存在して A ＝ ∪_k A_k と書ける。
一方で、R－A は第一類集合だから、高々可算無限個の、内点を持たない閉集合 F_k が存在して
R－A ⊂ ∪_k F_k と書ける。結局、R ⊂ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) …(★) ということになる。
STEP2：A_k, F_k はどれも閉集合だから、これと(★)から、ベールのカテゴリ定理が使えて、
ある A_k もしくはある F_k は内点を持つ。F_k は内点を持たないのだから、
ある A_k が内点を持つしかない。その A_k に対して、(a,b)⊂A_k なる開区間が取れるので、
A ＝ ∪_k A_k に注意して、(a,b) ⊂ A となる。従って、定理F が成り立つ。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
↑この証明の一体どこが間違っているというのだね？
さすがのスレ主も、この程度の証明は今すぐ読めるだろ？今すぐ読めよ。 >>414 関連抜粋
http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/archive/c2306116896-2
第１９回 リプシッツ連続と一様連続 [微分] ねこ騙し数学
(抜粋)
一様連続の定義から、関数f(x)が区間Iで一様連続であればIで連続であることは明らか。そして、リプシッツ連続であれば一様連続であるので、次のような関係がある。
リプシッツ連続⇒一様連続⇒連続
一般に、逆は成立しない。
一様連続に関しては、重要な次の定理があるが、証明なしで定理だけを紹介しておく。
定理
関数fが有界閉区間Iで連続ならば、fはIで一様連続である。
上のは、有界閉区間でなければ、一般には成立しない。
問題 区間Iで微分可能な関数f(x)が、任意のx、y∈Iに対して
|f(x)-f(y)| <= K |x-y|^(1+α) (K>0,α>0の定数)
を満たせば、関数f(x)は定数である。
【解】
任意のx、y∈I（x≠y）とする。
|f(x)-f(y)| <= K |x-y|^(1+α)
|f(x)-f(y)|/|x-y| <= K |x-y|^α → （x→y）
∴f’(y)=0
したがって、fはIで定数である。
（解答終）
(引用終わり) >>410
あと、>>333 にも書いたように、定理F から派生する定理 F1,F2,F3 について考えてみると、
「定理F3」を使っていると思しき pdf が1件だけだが見つかる。
このことからも、定理F, F1,F2,F3 は全て正しいと分かる。
別の言い方をすると、もし定理Fに難癖をつけるなら、
>>333で引用した pdf は一体どういうことになるのだね？
まさか「 >333 の pdf は間違っている」なんて言わないだろうな？ >>411-412
＞従来の数学理論が教えるところは、前スレ50の222-223より、下記で
＞系1.8 の証明は、こちらの数理なんだよね、開区間(a,b)が取れるじゃなく（”each dense”なんだから、開区間(a,b)などとれない）
矛盾を導くための理屈は何を採用してもよい。
それぞれの定理を使った場合の矛盾の導き方は、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――
定理1.7を使った場合の背理法：
(1) 系1.8 の関数 f がもし存在するなら、R－B_f＝Q であるから、B_f の中に開区間が取れるはずがない。
(2) しかし、定理1.7により、B_f の中に開区間が取れてしまい、矛盾する。
(3) よって、そのような関数は存在しない。
抜粋したTHEOREMを使った場合の背理法：
(1) 系1.8 の関数 f がもし存在するなら、R－B_f＝Q であるから、R－B_f は co-meager set になるはずがない。
(2) しかし、抜粋したTHEOREMにより、R－B_f は co-meager set になってしまい、矛盾する。
(3) よって、そのような関数は存在しない。
――――――――――――――――――――――――――――――――
それぞれの(1),(2),(3)が、矛盾を導くための論理として完全に対応していることに注意せよ。
[続く] [続き]
ここで、スレ主の従来の屁理屈によれば、次のような難癖が始まるのである。
――――――――――――――――――――――――――――――――
スレ主：
系1.8 の関数 f がもし存在するなら、(1)により、開区間など取れるはずがない。
よって、(2)で定理1.7を適用しているのは間違っており、定理1.7は適用できない。
――――――――――――――――――――――――――――――――
だったら、同じ屁理屈により、次のように言えてしまう。
――――――――――――――――――――――――――――――――
スレ主：
系1.8 の関数 f がもし存在するなら、(1)により、co-meager set になるはずがない。
よって、(2)でTHEOREMを適用しているのは間違っており、THEOREMは適用できない。
――――――――――――――――――――――――――――――――
これは一体どういうことだね？ >>420
>|f(x)-f(y)| <= K |x-y|^(1+α) (K>0,α>0の定数)
>を満たせば、関数f(x)は定数である。
(>>411より)
α-ヘルダー連続 (0 < α <=1)で、αを１以下に限定しているのと符合しているね >>416
＞http://nekodamashi-math.blog.so-net.ne.jp/archive/c2306116896-2
＞一点で微分可能であるが、それ以外の点で連続でない関数 [微分] ねこ騙し数学 2017-06-07
＞(抜粋)
＞関数の定義域の一点で微分可能であるが、それ以外の定義域の点すべてで不連続な関数の一例。
＞f(x)
＞= x^2 (xは無理数)
＞= -x^2 (xは有利数)
余談だが、今さらその関数が「面白い」とは意味不明である。
なぜなら、その関数は俺が何度も挙げた関数と同じものだからだ(符号は逆転しているが)。
たとえば、>>344で俺が既に挙げているし、その前にも3,4回は同じ関数を挙げているはずである。 ＞キチガイ。問題外。
ID:p0MOfC8Xさんに賛成です（＾＾
＞さすがのスレ主も、この程度の証明は今すぐ読めるだろ？今すぐ読めよ。
スレ主は証明はおろか教科書すら読まない主義ｗ 証明を理解したらスレが止まっちゃうからねぇ・・・（ニヤニヤ） 将棋の順位戦を見てた。大変なことになりましたね（＾＾
http://www.hochi.co.jp/entertainment/20180303-OHT1T50062.html
前代未聞の大激戦 将棋Ａ級順位戦で史上最多６人プレーオフで名人挑戦権目指す 2018年3月3日1時24分 スポーツ報知
(抜粋)
将棋の順位戦Ａ級最終１１回戦の５局が２日、静岡市の「浮月楼」で同時に行われ、１１人中６人が６勝４敗で並び、史上最多となる６人のプレーオフによって佐藤天彦名人（３０）への挑戦権を目指す前代未聞の事態となった。
(引用終り) 11人リーグで、上位６人が同じ６勝４敗で並ぶとは
もし、三浦弘行９段が深浦９段に勝っていたら、上位７人が同じ星だった。これが理論上の限界かな？ Meagre setについて、Oxtoby先生のテキストPDFが落ちていた（下記）ので、読んでいたんだ
定理F類似の記述がないかな？と
どうも、見つからないんだな・・（＾＾；
https://en.wikipedia.org/wiki/Meagre_set
Meagre set
Notes
1.^ Oxtoby, John C. (1980). "The Banach Category Theorem". Measure and Category (Second ed.). New York: Springer. pp. 62?65. ISBN 0-387-90508-1. https://books.google.com/books?id=wUDjoT5xIFAC&;pg=PA62
＜上記のPDF＞
http://math.rice.edu/~michael/teaching/426_Spr14/Banach_Mazur.pdf
Measure and Category (Second ed.) Oxtoby, John C. (1980)
（参考）
http://math.rice.edu/~michael/
Michael Boshernitzan's Home Page
Dept. of Mathematics, MS-136
Rice University, P. O. Box 1892
Houston, TX 77251
Professor of Mathematics >>421
定理Fは、こういうこと（下記）かな？
(>>254 より)
定理F：
A ⊂ R は Fσ集合とする。このとき、もし R－A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。
(引用終り)
（>>409より)
http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/16isoukuukan.pdf
位相空間 川崎徹郎 学習院 2016
(抜粋)
P21
（参考）ベールのカテゴリー定理
数直線の部分集合A ⊂ R について，A が疎であるとは閉包A が開区間(α，β) を含まないときをいう。
疎集合可算個の合併で表される集合を第1類集合といい，そうでないものを第2類集合という。
定理 (ベール(Baire) のカテゴリー定理 ) R は第2類集合である。
Q は第1類集合で，また，第1類集合2 つの合併はまた第1類集合であるから，R － Q は第2類集合である。
A ⊂ R を疎集合とすると，R － A は開かつ稠密である。したがって，前定理 は次のようにもいいかえられる。
定理 R において，可算個の開かつ稠密集合の共通部分は稠密である。
定義 開集合可算個の共通部分で表される集合をGδ 集合という。閉集合可算個の和集合で表される集合をFσ 集合という。
Gδ 集合の補集合はFσ 集合である。また，Fσ 集合の補集合はGδ 集合である。
例3.38 Q はR のFσ 集合で閉集合でない。したがって，R － Q はR のGδ集合で開集合でない。
定理 Q はR のGδ 集合でない。したがって，R－Q はR のFσ 集合でない。
(引用終り)
つづく >>433 つづき
ポイント
１）第1類集合2 つの合併はまた第1類集合であるから、R－A が第一類集合ならばAは第2類集合である。
２）Gδ 集合の補集合はFσ 集合である。
３）R 中の閉集合は、閉区間[a,b] | a<b 、又は１点からなる集合 [a,a] 、あるいは それらの有限個の和集合である
定理Fの前提条件：
”A ⊂ R は Fσ集合とする。このとき、もし R－A が第一類集合ならば”
↓
１）A ⊂ R は Fσ集合かつ第2類集合
２）R － A は Gδ集合かつ第1類集合
ならば
と書き直せる
これについて
１）Fσ集合の定義：閉集合可算個の和集合で表される集合である
２）もしこの閉集合がすべて、１点からなる集合 であれば、Aが第1類集合になってしまうから
３）この閉集合の中に、少なくとも一つ閉区間[a,b] が存在しなければならない
４）この閉区間[a,b]に、開区間(a,b)が取れる
ということかな？
つづく >>434 つづき
しかしながら・・
>つまり、Bf が Fσ 集合ならば、R－B_f が第一類集合のときに
>「 R－B_f は R の中で稠密 」
>なんてのは最初から起こりようが無いのである。
(>>13 より)
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする．
Bf :={x ∈ R ｜ lim sup y→x ｜（f(y) － f(x)）/（y － x）｜< +∞ }
と置く: もしR－Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である．
系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)
１）系1.8で、「Q はR のFσ 集合で第1類集合」，「R － Q はR のGδ集合で第2類集合」（川崎徹郎）であるから
２）定理1.7で、”Bf が Fσ 集合ならば、R－B_f が第一類集合のとき”とは、整合しない。だから、”定理1.7 が使えて”は、言えないと思うよ
以上 >>425
>余談だが、今さらその関数が「面白い」とは意味不明である。
>なぜなら、その関数は俺が何度も挙げた関数と同じものだからだ(符号は逆転しているが)。
>たとえば、>>344で俺が既に挙げているし、その前にも3,4回は同じ関数を挙げているはずである。
そうだったね
すまんかった
見た例示だとおもったんだ（＾＾
あなたは、そういう例示については、すごく実力あるね。そこは感心するよ（＾＾ ＞あなたは、そういう例示については、すごく実力あるね。そこは感心するよ（＾＾
「そこは感心するよ」という言い方は、言外に「他はたいしたことない」という意味を匂わしている
一年生用教科書すら分かってないお前が言っていい言葉ではない、分を弁えよ >>333 戻る
>定理F2：
>A ⊂ R は、R－A がGδ集合とする。もし R－A が第一類集合ならば、R－A は nowhere dense である。
>
>ここまで来ると、「 R－A 」を1文字にした方がキレイなので、そうすると次のようになる。
>
>定理F3：
>A ⊂ R は、A がGδ集合とする。もし A が第一類集合ならば、A は nowhere dense である。
>
>これに関しては、"Gδ set of first category" で検索すると、
> 1件だけだが上記の 定理F3 を使っていると思しき pdf が見つかる。
>
>http://fm.math.uni.lodz.pl/artykuly/12/ww.pdf
>
>＞ Observe that ∩[m＝1～∞] ∪[n≧m] A_n as Gδ set of first category is
>＞ easily seen to be nowhere dense.
ここら、下記の「太ったカントール集合」の話かな？
（下記和文の「太ったカントール集合の測度は・・・=1/2」の箇所は、後の英文” http://www.se16.info/hgb/nowhere.htm ”では、「0.535・・」となっているようだが）
http://fibonacci-freak.hatenablog.com/entry/2017/08/17/120148
痩せた集合・太った集合 2017-08-17 fibonacci_freak
(抜粋)
まずは痩せた集合の定義をしましょう。
定義. Xを位相空間、Aをその部分集合とする。
(1) Aが稀薄であるとは、Aの閉包が内点を持たないことをいう。
(2) Aが痩せた集合（または第1類集合）であるとは、高々可算個の稀薄な集合の合併として表せることをいう。
(3) Aが太った集合（または第2類集合）であるとは、痩せた集合でないことをいう。
今回は位相空間と言ったら実数Rや区間[0,1]などのことだと思っても差し支えありません。また太った集合というのはここだけのネーミングで、一般的ではありません。
つづく >>438 つづき
定理(Baireの範疇定理). 完備距離空間の痩せた部分集合は内点を持たない。特に完備距離空間は（それ自身の部分集合として）太った集合である。
もう一つ痩せた集合の代表としてカントール集合が挙げられます。これは[0,1]から始めて「つながった区間を3等分して真ん中の開区間を取り除く」という操作を無限回繰り返して得られる集合です。開区間を取り除いているので出来上がる集合は閉集合になります。
真ん中を取り除くごとに連結成分1つ分の長さは1/3になるので、内点を持たない（区間を含まない）、つまり痩せた集合であることがわかります。また真ん中を取り除くごとに測度（長さの合計）は2/3 になるので、カントール集合は測度0です。
さて、今回伝えたいのは「痩せた集合も結構すごい」という事実です。具体的には[0,1]の部分集合で、痩せた集合にもかかわらず正の測度を持つものが存在するのです！
それが「太ったカントール集合」です。「太った」と付いていますが、これは「カントール集合に比べたら太っている」という意味で、実態は痩せた集合です。
太ったカントール集合の構成は簡単です。まず区間[0,1]から始めて、中央から長さ1/4の開区間を取り除きます。次に残った2つの区間それぞれの中央から長さ1/16の開区間を取り除きます。次は1/64、その次は1/256,・・・と、1/4nの開区間を次々に取り除いてきます。これを無限回繰り返したとき残る集合が太ったカントール集合です。
これも区間を取り除くごとに連結成分1つ分の長さが半分以下になるので、内点を持たず、痩せた集合であることがわかります。
つづく >>439 つづき
太ったカントール集合の測度は
1?1/4?2/16?464?・・・?2n/4n+1?・・・
=1?(1/4+1/8+1/16+・・・)
=1/2
となり、確かに正の測度1/2を持ちます！人は見かけで判断してはいけないのです。
さらに、太った集合にもかかわらず測度が0の雑魚集合も存在します。これは次のように作ります。
まず太ったカントール集合Sを用意します。Sにはたくさんの「開区間の穴」が空いていますが、その全てに「Sを相似縮小したもの」を詰め込みます。
こうして得られたものをS1とします。さらにS1の全ての穴にSを詰め込んだものをS2とし、S3,S4,・・・と順に気持ち悪い集合を作っていきます。そして最後に
T= ? n=1～∞ Sn
とします。Sを詰め込むたびに空白の部分の測度は半分ずつになるので、Tの測度は1になります。また各Snは稀薄な集合なのでTは痩せた集合です。するとTの補集合は太った集合で*1、かつ測度0になります。
*1:補集合も痩せているとすると[0,1]も痩せていることになりBaireの範疇定理に矛盾します。
(引用終り)
つづく >>440 つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Smith%E2%80%93Volterra%E2%80%93Cantor_set
Fat Cantor set Smith?Volterra?Cantor set
(抜粋)
In mathematics, the Smith?Volterra?Cantor set (SVC), fat Cantor set, or ε-Cantor set[1] is an example of a set of points on the real line ? that is nowhere dense (in particular it contains no intervals), yet has positive measure.
(引用終り)
http://www.se16.info/hgb/nowhere.htm
Some nowhere dense sets with positive measure and a strictly monotonic continuous function with a dense set of points with zero derivative Henry Bottomley. May 2005.
(抜粋)
If there were no overlaps, the total measure of the intervals removed would be 1/2, but as there are overlaps, the measure removed is less, leaving a set of positive measure of more than 1/2 which turns out to be 0.5355736804357782247533428...,
(引用終り)
つづく >>441 つづき
https://en.wikipedia.org/wiki/Nowhere_dense_set
Nowhere dense set
(抜粋)
The union of countably many nowhere dense sets, however, need not be nowhere dense. (Thus, the nowhere dense sets need not form a sigma-ideal.) Instead, such a union is called a meagre set or a set of first category. The concept is important to formulate the Baire category theorem.
Nowhere dense sets with positive measure
A nowhere dense set is not necessarily negligible in every sense. For example, if X is the unit interval [0,1], not only is it possible to have a dense set of Lebesgue measure zero (such as the set of rationals), but it is also possible to have a nowhere dense set with positive measure.
For one example (a variant of the Cantor set), remove from [0,1] all dyadic fractions, i.e. fractions of the form a/2n in lowest terms for positive integers a and n, and the intervals around them: (a/2n ? 1/22n+1, a/2n + 1/22n+1).
Since for each n this removes intervals adding up to at most 1/2n+1, the nowhere dense set remaining after all such intervals have been removed has measure of at least 1/2 (in fact just over 0.535... because of overlaps) and so in a sense represents the majority of the ambient space [0,1].
This set is nowhere dense, as it is closed and has an empty interior: any interval (a, b) is not contained in the set since the dyadic fractions in (a, b) have been removed.
Generalizing this method, one can construct in the unit interval nowhere dense sets of any measure less than 1, although the measure cannot be exactly one (else its complement would be a nonempty open set with measure zero, which is impossible).
(引用終り)
以上 >>441 関連
Fat Cantor set にVolterra's functionのリンクがあったので、貼っておきます（＾＾
ここに面白い図が載っているよ
https://en.wikipedia.org/wiki/Volterra%27s_function
Volterra's function
(抜粋)
Definition and construction
The function is defined by making use of the Smith?Volterra?Cantor set and "copies" of the function defined by f(x)=x^{2}sin(1/x) for x ≠ 0 and f(0)=0. The construction of V begins by determining the largest value of x in the interval [0, 1/8] for which f ′(x) = 0.
Once this value (say x0) is determined, extend the function to the right with a constant value of f(x0) up to and including the point 1/8. Once this is done, a mirror image of the function can be created starting at the point 1/4 and extending downward towards 0.
This function will be defined to be 0 outside of the interval [0, 1/4]. We then translate this function to the interval [3/8, 5/8] so that the resulting function, which we call f1, is nonzero only on the middle interval of the complement of the Smith?Volterra?Cantor set.
To construct f2, f ′ is then considered on the smaller interval [0,1/32], truncated at the last place the derivative is zero, extended, and mirrored the same way as before, and two translated copies of the resulting function are added to f1 to produce the function f2.
Volterra's function then results by repeating this procedure for every interval removed in the construction of the Smith?Volterra?Cantor set; in other words, the function V is the limit of the sequence of functions f1, f2, ...
(引用終り)
以上 >>434
＞これについて
＞１）Fσ集合の定義：閉集合可算個の和集合で表される集合である
＞２）もしこの閉集合がすべて、１点からなる集合 であれば、Aが第1類集合になってしまうから
＞３）この閉集合の中に、少なくとも一つ閉区間[a,b] が存在しなければならない
＞４）この閉区間[a,b]に、開区間(a,b)が取れる
＞ということかな？
話の流れは合っているが、(2)は微妙に間違っている。正しくは
(2) もしこの閉集合がすべて、内点を持たないならば、Aが第1類集合になってしまうから
と書くべきである。なぜスレ主がこのように書かないのかというと、スレ主は
「内点を持たない閉集合の高々可算無限和は1点集合の高々可算無限和に書き直せる」
と勘違いしているからである。そして、この勘違いは数スレ前から何度も指摘している勘違いである。
たとえば、カントール集合は内点を持たない閉集合1つで表せるが、
カントール集合を1点集合の高々可算無限和で書くことはできない。
ちなみに、いちいち(1)～(4)のように書き直す必要すらない。
>>419の証明をそのまま読めばよいからだ。 >>435
＞１）系1.8で、「Q はR のFσ 集合で第1類集合」，「R － Q はR のGδ集合で第2類集合」（川崎徹郎）であるから
＞２）定理1.7で、”Bf が Fσ 集合ならば、R－B_f が第一類集合のとき”とは、整合しない。だから、”定理1.7 が使えて”は、言えないと思うよ
息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。
系1.8 の関数 f に対して、 R－B_f＝Q が成り立つので、Q が第一類集合であることから
「 R－B_f は第一類集合 」ということになり、よって定理1.7の仮定である
「 R－B_f が第一類集合ならば」
という条件に合致するので、ゆえに定理1.7が適用可能である。なぜかお前は、(2)において
「 Bf が Fσ 集合ならば、R－B_f が第一類集合のとき 」という条件を持ち出しているが、
それは定理1.7の仮定ではなく、定理Fの仮定に A＝B_f を代入した文章であるから、
お前の主張は話の前提からして滅茶苦茶である。 ちなみに、B_f は必ず Fσ 集合なので、系1.8の関数 f は、
話の前提からして滅茶苦茶であるはずの
「 Bf が Fσ 集合ならば、R－B_f が第一類集合のとき 」
という条件にも実際には合致しているｗｗ
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
・ 一般論として、B_f は必ず Fσ 集合である。
・ 今の場合、R－B_f＝Q だから、Q が第一類集合であることから、R－B_f は第一類集合である。
・ ゆえに、「 Bf が Fσ 集合ならば、R－B_f が第一類集合のとき 」という条件に合致している。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
↑これで文句は無いだろ。 さらに補足しておくと、B_f が必ず Fσ 集合であることから、R－B_f は必ず Gδ 集合となる。
今の場合 R－B_f＝Q だったから、Q は Gδ 集合ということになる。
しかし、Q は Gδ 集合には なり得ないのだった。
よって、実際にはこの時点で既に矛盾が生じている。よって、この時点で既に
「ゆえに、系1.8 の関数 f は存在しない」
と書いてもよい(このことは>>418で既に述べている)。
しかし、だからと言って、定理1.7が使えないということにはならない。
定理1.7の仮定は「 R－B_f が第一類集合ならば 」というものであり、
今の場合 R－B_f＝Q は第一類集合なのだから、定理1.7は適用できるのである(そして矛盾が生じる)。 カントール集合は面白いね（＾＾
https://en.wikipedia.org/wiki/Smith%E2%80%93Volterra%E2%80%93Cantor_set#cite_ref-2
Smith?Volterra?Cantor set
(抜粋)
In mathematics, the Smith?Volterra?Cantor set (SVC), fat Cantor set, or ε-Cantor set[1] is an example of a set of points on the real line ? that is nowhere dense (in particular it contains no intervals), yet has positive measure.
The Smith?Volterra?Cantor set is named after the mathematicians Henry Smith, Vito Volterra and Georg Cantor.
The Smith-Volterra-Cantor set is topologically equivalent to the middle-thirds Cantor set.
References
1^ Aliprantis and Burkinshaw (1981), Principles of Real Analysis
(引用終り)
この参考文献のPDFが、下記に落ちていたのでご紹介
https://huynhcam.files.wordpress.com/2013/07/aliprantis_c-d-principles_of_real_analysis_third_edition-academic_press1998.pdf
Aliprantis_C.D.-Principles_of_Real_Analysis,_Third_Edition-Academic_Press(1998)
（関連）
https://huynhcam.files.wordpress.com/2013/07/aliprantis-and-burkinshaw-problems-in-real-analysis1.pdf
Aliprantis and Burkinshaw, Problems in Real analysis A Workbook with Solutions 1999
https://huynhcam.wordpress.com/?s=aliprantis
Thang B?y 6, 2013 このyamyamtopoさんて方がどういう方か知らないが
カントール集合と、W ⊂ R で稠密なGδ 集合との関係についての記述があるね
これが正しいかどうか、不明だがご紹介
https://yamyamtopo.wordpress.com/
PLトポロジーの基礎（暫定版） 2017年10月14日
https://yamyamtopo.files.wordpress.com/2017/07/ukeru_gene_topo.pdf
PDF「位相空間論における反例と線形順序」 yamyamtopo 投稿日: 2017年7月8日
(抜粋)
補題3.2. W ⊂ R が稠密なGδ 集合であるならば、W は非可算なコンパクト集合を含む。
証明. W に含まれるようにカントール集合を構成しよう。W は稠密なGδ 集合だから、
稠密な開集合Gn ⊂ R が存在して
略
連結成分にもIn のちょうど2 個の連結成分が含まれ、かつIn ⊂ Gn となるように帰納
的に構成する。このとき、カントール集合 ∩ n=1～∞ In はW に含まれる非可算なコンパクト集合である。
(引用終わり) カントール集合は面白いね2
http://concious4410.hatenablog.com/entry/2016/11/13/181103
基本的な0次元距離空間の特徴づけの話 電波通信 2016-11-13
(抜粋)
「空間の位相的な特徴づけ」というものがあります。位相的な情報だけで特定の空間を特徴づけようということです。
例えば簡単な例だと任意の点が孤立点（その点が開集合ということ）である空間は離散距離空間です。
位相的な特徴づけがよく知られている空間がいろいろあるのですが、この記事ではそれなりに有名なやつをつらつらと紹介していこうと思います。
つづく >>450 つづき
カントール集合
位相的な特徴づけがよく知られているのがこのカントール集合でしょう。
以下ではカントール集合をCで書きます。
定理1：完全（孤立点が存在しないということ）で完全不連結なコンパクト距離空間はＣに同相である。
また、カントール集合から一点を取り除いた空間も上の定理１を用いて特徴づけが出来ます。
以下ではカントール集合から一点を取り除いた空間をLで書きます。
定理2：ノンコンパクトで完全、かつ完全不連結でσコンパクトな局所コンパクト距離空間はLと同相である。
この定理2の仮定を充たす空間を一点コンパクト化して定理１を用いれば簡単に証明できます。
さて上の二つの定理を合わせて次のように統合できます。
定理３：完全、かつ完全不連結な第二可算局所コンパクトハウスドルフ空間はC、もしくはLに同相である。
これを用いるとCのクロープン集合について次が分かります。
系4：Cの非空なクロープン集合はC、もしくはLに同相である。どちらに同相であるかは、コンパクトかノンコンパクトかに応じて変わる。
この定理は
L.E.J. Brouwer, On the structure of perfect sets of points, in: KNAW, Proceedings, 12, 1909-1910, Amsterdam, 1910, pp785-794
により発表されたようです。証明が載っている本としてはWillard著作のGeneral topologyや、北田韶彦著作の「位相空間とその応用」にあります。
つづく >>451 つづき
有理数
以下では有理数全体をQで書きます。もちろん順序による標準的な位相が入っているとします。
定理5：集合としての濃度が可算で完全（孤立点がないということ）な距離空間はQと同相ある。
この定理の系としてQ^n（nは自然数）がQと同相であることが分かります。
この定理は
W.Sierpi?ski, Sur une propriete topologique des ensembles denombrables denses en soi, 1920, Fund.Math.1, pp11-16
で発表されたようです。Fund.Math.の創刊号ですね。
この定理の証明が載っている本は知りませんが、ネット上になんかあるんじゃないかな
0次元空間ってカントール集合に埋め込めるんですが、可算空間はカントール集合の”端点”を含まないように埋め込むことが出来て、
すると上の仮定を充たす空間はカントール集合の順序で見ると自己稠密な最大値最小値を持たない集合になり、
しかも自己稠密性から順序位相と相対位相が一致し、
そして自己稠密な最大値最小値を持たない可算な順序集合は有理数と順序同型になるので
～～～
みたいな感じの証明だった気がします。
つづく >>452 つづき
無理数
以下では無理数全体をPで書きます。もちろん順序による標準的な位相が入っているとします。
定理6：0次元(クロープンな開基が存在するということ)でかつNowhere Compact(任意のコンパクト集合が内点を持たないということ)な可分完備距離空間はPと同相
この定理からPとN^Nが同相であることが分かります。(Ｐが完備な距離をadmitすることは、Rという完備距離空間のGδ集合になってることからわかります。)
ちなみにPとN^Nの間の同相写像として、連分数展開というものが有名です。
更にP^NがＰと同相であることもわかります。
この定理は
P.Alexandroff and P.Urysohn, Uber nulldimensionale Punktmengen, Mathematische Annalen, Vol 98, 1928, pp89-106
により発表されたようです。ドイツ語なんでぼかぁ読めません。調べてみるとオープンアクセスのようです。証明が載ってる本としては
A.S.Kechris著のClassical Descriptive set theory があります。
結びの言葉
別に0次元空間はこれだけではないのですが基本的な空間の特徴づけを紹介しました。
原論分をみて分かる通り、これらはすべて位相空間論の黎明期に判明しています。このような結果があったからこそ位相空間論の重要性が認識されたのかもしれません。
(引用終わり)
以上 なにをやっているのか？って（＾＾
いや、カントール集合がFσ集合かどうか
それを調べているんだが・・
>>453
>P.Alexandroff and P.Urysohn, Uber nulldimensionale Punktmengen, Mathematische Annalen, Vol 98, 1928, pp89-106
>原論分をみて分かる通り、これらはすべて位相空間論の黎明期に判明しています。
100年くらい前は、「カントール集合とは～、・・うんぬん・・」というのが、当時の研究の最先端だったみたいね
>>451 再録
カントール集合をC、カントール集合から一点を取り除いた空間をL
定理1：完全（孤立点が存在しないということ）で完全不連結なコンパクト距離空間はＣに同相である。
定理2：ノンコンパクトで完全、かつ完全不連結でσコンパクトな局所コンパクト距離空間はLと同相である。
定理3：完全、かつ完全不連結な第二可算局所コンパクトハウスドルフ空間はC、もしくはLに同相である。
系4：Cの非空なクロープン集合はC、もしくはLに同相である。どちらに同相であるかは、コンパクトかノンコンパクトかに応じて変わる。
(引用終り)
か・・（＾＾
ずばりがなかなかないね（＾＾ >>454
＞なにをやっているのか？って（＾＾
＞いや、カントール集合がFσ集合かどうか
＞それを調べているんだが・・
カントール集合は閉集合なので、カントール集合はFσ集合である。
ttps://ja.wikipedia.org/wiki/F%CF%83%E9%9B%86%E5%90%88
＞ 例と反例
＞ ・ 任意の閉集合は明らかに Fσ-集合である。 >>455-457
いやー、不勉強でお恥ずかしい（＾＾
だが、良いヒントを貰ったね
検索すると・・
下記はどう？ 「カントール集合Cは閉集合であり、これは閉区間の加算個の和で表せない」だって（＾＾
ちなみに、だいありーさんは、ブログを読むと、数学科で今年４年で卒業みたいだが
なお、これ下記”杉浦光夫(1980)『解析入門Ⅰ』東京大学出版会”にこれ書いてあるのかな？ 分かる人教えて
なので、閉区間は閉集合だが、用語の使い分けが必要かもね
>>455のFσ集合の記事は、１次元のR限定じゃないから”閉区間”でなく”閉集合”と書いてあるけど、
”可算和”しばりを入れるとき、
そのこころは、”閉集合”＝多次元”閉区間”じゃないかな？
どう？
http://fujidig.hatenablog.com/entry/2015/08/15/132653
(抜粋)
R上の閉集合はすべて閉区間の加算個の和で表せるか？ だいありー 2015-08-15
答え: No.
カントール集合が反例となる。
カントール集合の性質
カントール集合は無限個の閉集合の共通部分なので閉集合である。
（略）
主張の反証
以上のことより、カントール集合Cは閉集合であり、これは閉区間の加算個の和で表せないので主張が反証された。
参考文献
・杉浦光夫(1980)『解析入門Ⅰ』東京大学出版会
(引用終わり)
ちなみに
http://fujidig.hatenablog.com/
だいありー
(抜粋)
おわりに
充実した1年になった。あと少しで愛媛を離れることになる。残りの3か月も頑張っていこう。
(引用終わり) >>455 補足
https://ja.wikipedia.org/wiki/F%CF%83%E9%9B%86%E5%90%88
＞ 例と反例
＞ ・ 任意の閉集合は明らかに Fσ-集合である。
この部分は、おそらく下記原文の英語版では
冒頭”countable union of closed sets.”と複数形
例示”Each closed set is an Fσ set.”と単数形
となっている
私は、英語弱いけど・・（＾＾
・ 任意の閉集合は明らかに Fσ-集合である。
↓
・ 個々の閉集合は明らかに Fσ-集合である。
と訳した方が良いのかもね（＾＾
なお、closed setsとclosed setとの違いをきっちり定義しないと、
（closed setに連続無限和を含めて１つと数えると）
”可算和”しばりの意味が曖昧になる気がするのは私だけか？
（英語版）
https://en.wikipedia.org/wiki/F%CF%83_set
(抜粋)
Fσ set
In mathematics, an Fσ set (said F-sigma set) is a countable union of closed sets.
Examples
Each closed set is an Fσ set.
(引用終わり) >>459
ああ、なんか意味わからんことを書いてしまったな
とりあえず、これ英語版の訳の話はキャンセルな
だいありーさんのブログとの関連だけ見てください
英語版自身もおかしいのかも・・・（＾＾； >>450
"clopen クロープン"補足
https://eow.alc.co.jp/search?q=clopen
(抜粋)
clopen クロープン 英辞郎
【形】
《位相幾何》開かつ閉の、開集合かつ閉集合の◆【語源】closed + open
(引用終わり)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%8B%E3%81%8B%E3%81%A4%E9%96%89%E9%9B%86%E5%90%88
開かつ閉集合
(抜粋)
普通の意味の開 と閉 とは対義語であるから、開かつ閉集合 というものが有り得るということは直観に反するように見えるかもしれない。
しかし、数学的に定義された開 と閉 とは相互排他的な概念ではない。
一般に、X を位相空間、A を X の部分集合とするとき、A とその補集合 X?A とがいずれも X の開集合であるならば、それらはいずれも X の開かつ閉集合である。
英語では、closed-open set を clopen set ともいう。clopen set という語は closed-open set という語から作られたかばん語である。
(引用終わり) >>458-459
カントール集合とσ代数関連引用
もうひとつストンと納得できない（むつかしい）記述ですが（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E6%B8%AC%E5%BA%A6
完備測度
(抜粋)
例
実数直線の開区間によって生成されるボレル σ-集合代数上で定義されるボレル測度は完備でなく、したがって完備ルベーグ測度を定義するためには上述の完備化の手順が必要となる。
このことは、実数に対するすべてのボレル集合の集まりは実数と同じ濃度を持つという事実によって示される。
カントール集合はボレル集合であるが、測度ゼロであり、そのベキ集合の濃度は実数の濃度よりも厳密に大きい。
したがってカントール集合には、ボレル集合に含まれないような部分集合が存在する。すなわち、ボレル測度は完備ではない。
(引用終わり) >>462 関連
”カントール集合には、ボレル集合に含まれないような部分集合が存在する”が正しいとすると
カントール集合自身はボレル集合ではない
そして、下記”Fσ-集合やGδ-集合はボレル集合である．”（渕野）が、正しいとすると、
カントール集合自身はFσ-集合ではない
参考（>>336より）
渕野昌 (2002) (PDF), 実数の集合論の基礎の基礎
http://math.cs.kitami-it.ac.jp/~fuchino/notes/set-th-of-reals-kiso-no-kiso.pdf
P5
(抜粋)
1.2 ボレル集合
O から生成されるσ-代数^9 をあらわす．
（略）
として帰納的に定義する10．可算個の閉集合の和集合としてあらわせるような集合をFσ-集
合とよび，可算個の開集合の共通部分としてあらわせるような集合をGδ-集合とよぶ．Fσ-
集合とGδ-集合はS1 に含まれる集合となっている．特にFσ-集合やGδ-集合はボレル集合
である．
注）^9 X の部分集合の族S がX 上のσ-代数である，とは，S が，補集合をとる操作と，可算個の元の和集合
をとる操作に関して閉じていることである．
(引用終り)
以上
注：
Fσ-集合とGδ-集合はS1 に含まれる集合となっている．
↓
Fσ-集合とGδ-集合はS に含まれる集合となっている．
の誤植かもしれない。S1はここにしか現れず、定義がないので >>458
>なお、これ下記”杉浦光夫(1980)『解析入門Ⅰ』東京大学出版会”にこれ書いてあるのかな？ 分かる人教えて
おーい、実解析に詳しい おっちゃん～
杉浦光夫(1980)『解析入門Ⅰ』を知らないか～？ >>455 お礼
ID:o+awSec8さん、ヒントありがとう
おかげで、なんとなく答えが見つかった気がするよ（＾＾ お久しぶりです、おっちゃんです。
>>464
杉浦 解析入門Ⅰは持ってなく読んでもいないけど、多分これには、
カントール集合が直線R上至る所稠密でルベーグ測度が0の非可算集合なることは
書いていないだろう。
付録の集合だが、行間を殆ど埋めて出来たような4ページ「だけ」の内容では、
濃度とかまで含めて集合論は展開出来ないだろう。
だが、杉浦 解析入門Ⅰ にはカントール集合は載っているようで、
その付録でも一応連続体濃度や可算集合を扱っているようだから、>>458のサイトの
>そのような数列全体の濃度は明らかに 2^{ℵ_0} である。
>三進表示が一意でないものは可算個しかないのでカントール集合の濃度も 2^{ℵ_0} である。
の部分を付録に専ら委ねれば、杉浦 解析入門Ⅰ だけを参考にして>>458も書けるだろう。 >>458
＞なので、閉区間は閉集合だが、用語の使い分けが必要かもね
＞>>455のFσ集合の記事は、１次元のR限定じゃないから”閉区間”でなく”閉集合”と書いてあるけど、
＞”可算和”しばりを入れるとき、
＞そのこころは、”閉集合”＝多次元”閉区間”じゃないかな？
＞どう？
何が言いたいのか意味不明。お前の言い分によれば、まるで
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
一般の場合は、閉区間ではなく閉集合という言葉にせざるをえないが、R に限定した場合は、
しかも可算和のしばりを入れた場合は、閉集合ではなく「閉区間」という言葉にしてよい。
なぜなら、R の閉集合は R の閉区間の可算和で表せるからだ。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
とでも言っているように見える。しかし、
「 R の閉集合は R の閉区間の可算和で表せるからだ 」
という部分は間違っている。なぜなら、カントール集合は R の閉集合であるにも関わらず、
R の閉区間の可算和では表せないからだ。 >>458
＞http://fujidig.hatenablog.com/entry/2015/08/15/132653
＞(抜粋)
＞R上の閉集合はすべて閉区間の加算個の和で表せるか？ だいありー 2015-08-15
＞答え: No.
＞カントール集合が反例となる。
お前が抜粋したとおり、カントール集合は閉区間の可算和では表せないので、
「 R の閉集合は R の閉区間の可算和で表せる 」
という主張は成り立たない。そして、このことから、「閉集合」という言葉は
R の時点で既に「 閉区間の可算和 」よりも広い意味を持っていることになる。
ということは、お前が書いた
「 ”閉集合”＝多次元”閉区間”」
という直観も、R の時点で既に間違っていることになる。
そのような間違った直観を書いた直後に、その直観が間違っていることを
明示するリンクを挙げるとは全く意味不明である。キチガイ。 >>463
＞”カントール集合には、ボレル集合に含まれないような部分集合が存在する”が正しいとすると
＞カントール集合自身はボレル集合ではない
息をするように間違えるゴミクズ。お前の言い分が効力を発揮するためには、
「ボレル集合の部分集合は全てボレル集合」
という主張が成り立っていなければならない。しかし、こんなことは実際には言えないし、
お前の言い分も間違っている。すなわち、カントール集合の部分集合でボレル集合でないものが
存在するのだとしても、カントール集合はボレル集合のままである。
あるいは、次のように言ってもよい。
お前の言い分がもし正しいなら、次のように言えてしまう。
――――――――――――――――――――――――――――――
R はボレル集合であることが知られている。
ここで、もし R の部分集合でボレル集合でないものが存在するなら、
R 自身はボレル集合でないことになって矛盾する。
よって、R の部分集合は全てボレル集合である。
――――――――――――――――――――――――――――――
↑これがお前の言っていることである。
しかし、ご存知の通り、選択公理がある場合には
ルベーグ可測ですらない R の部分集合が存在するので、
お前の言い分はこの点においても間違っている。 >>458
＞いやー、不勉強でお恥ずかしい（＾＾
＞だが、良いヒントを貰ったね
＞検索すると・・
検索で不勉強は補えないよ >459
＞私は、英語弱いけど・・（＾＾
得意気にbuzzの解説をしている当たりから見て言わなくてもわかる >>462
＞もうひとつストンと納得できない（むつかしい）記述ですが（＾＾
何でwikipediaで納得しようとするの？
wikipediaで数学が理解できるなら教科書なんて要らないよね バカなの？ ＞お前が抜粋したとおり、カントール集合は閉区間の可算和では表せないので、
ワロタ
スレ主は自分がコピペしたことさえ全然理解できてないじゃんｗ
一体何のためのコピペなんだよｗ 頭良さげに見せるため？ｗ ＞という直観も、R の時点で既に間違っていることになる。
スレ主の直観は大抵間違っている
そしてスレ主は教科書よりも自分の直観を信じるｗ おっちゃんです。
見に来ただけ。
じゃ、おっちゃん寝る。 >>471
”buzz”は、種本があってね（＾＾
https://natalie.mu/music/news/267771
乃木坂46白石麻衣、「Pen」“バズる美女”特集号表紙に登場 ナタリー 2018年2月1日 ネタがマンネリ化してなかい？
誰かスレ主が飛びつきそうネタをプリーズ >>467-469
ほんとだな・・、おれ発狂してるね（＾＾
（自分の引用>>462より）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AE%8C%E5%82%99%E6%B8%AC%E5%BA%A6
完備測度
カントール集合はボレル集合であるが、測度ゼロであり、そのベキ集合の濃度は実数の濃度よりも厳密に大きい。
したがってカントール集合には、ボレル集合に含まれないような部分集合が存在する。すなわち、ボレル測度は完備ではない。
(引用終り)
ここが、自分で引用していながら、全く読めてなかったな・・・
えーと、ボレル集合は下記か・・。ほんと勉強不足で、分ってないね～
”ボレル集合族は空間の開集合から、 G → G_δσ なる操作を最小の非可算順序数回反復的に適用して「生成」することができる。”か
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%AC%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88
ボレル集合
(抜粋)
数学におけるボレル集合（ボレルしゅうごう、英: Borel set）は、位相空間の開集合系（あるいは閉集合系）から可算回の合併、交叉、差を取ることによって得られる集合の総称である。
ボレル集合族の生成
言わんとすることは、「ボレル集合族は最小の非可算順序数 ω1 に対する Gω1 に他ならない」ことである。
即ち、ボレル集合族は空間の開集合から、
G → G_δσ
なる操作を最小の非可算順序数回反復的に適用して「生成」することができる。
(引用終り)
つづく >>480 つづき
関連１
http://www.yasuhisay.info/entry/20080605/1212640012
ボレル集合体とはなんぞや yasuhisa's blog 2008-06-05
(抜粋)
ボレル集合体
上のはルベーグ積分から確率論 (共立講座 21世紀の数学)を読んでいたんだけど、以下はルベーグ積分30講 (数学30講シリーズ)を読んだして書いてる。
可算個の開集合の共通部分として表わされる集合をGδ集合と言う。可算個の閉集合の和集合として表わされる集合をFσ集合と言う。
ん。上のからいくとGδとかFσは必ずしも開集合であるとか閉集合であるとは言えない集合のことなんだな。で、GδとかFσに対して色々な操作をしていくことでまた集合を作り出していく。どういう操作かと言えば。
Gδ集合の可算個の和集合を取ると、この集合は一般的には、Gδ集合でもFσ集合でもない。このような集合をGδσ集合という。同様に、Fσ集合の可算個の共通部分として表わされる集合をFσδ集合という。
こんな操作。
積集合を取った集合がいくつかあって、その和集合を考えるもの
和集合を取った集合がいくつかあって、その積集合を考えるもの
という風になっているんっだね。で、前回にやった逆の操作(積なら和、和なら積)という操作をどんどんどんどん繰り返していく。すると部分集合族の系列から新しいタイプの集合が次々と得られる。そしてこの操作をやって得られるRkの部分集合のことをRkのボレル集合と言う。おお、ボレル集合が登場した!!
ボレル集合は、すでに可測であるということが知られている開集合と閉集合から、可算個の和と共通部分と取るという操作を高々加算回繰り返して得られるのだから、これらはすべて可測な集合である、ということが分かる。これから「Rkのボレル集合はすべて可測である」という定理が導ける。これは便利そうな性質というか定理だなー。
(引用終り)
つづく >>481 つづき
関連２
http://rikei-index.blue.coocan.jp/rubeg/syotobore.html
可測集合、ボレル集合 理系インデックス
(抜粋)
定義 （ ボレル集合 ）
∪ｎ を開集合とする。
Ｆｎ を閉集合とする。
次のような集合を考える。
（＊１）∪n=1～∞ Un , ∩n=1～∞ Fn
（＊２）∪m=1～∞ ∩n=1～∞ Un,m , ∩n=1～∞ ∪m=1～∞ Fn,m
（＊３）∩p=1～∞ ∪m=1～∞ ∩n=1～∞ Un,m,p , ∩p=1～∞ ∩n=1～∞ ∪m=1～∞ Fn,m,p
・
・
・
上記のような各集合を 『 ボレル集合』 という。
とくに、（＊１）の集合で、１つ目を 『 Ｇδ集合 』 といい、２つ目を 『 Ｆσ集合 』 という。
また、（＊２）の集合で、１つ目を 『 Ｇδσ集合 』 といい、２つ目を 『 Ｆσδ集合 』 という。
また、（＊３）の集合で、１つ目を 『 Ｇδσδ集合 』 といい、２つ目を 『 Ｆσδσ集合 』 という。
他も同様である。
Ａ７
（１） 開区間は可測である。
（２） 任意の開集合と閉集合はボレル集合に属する。
（３） ボレル集合は可測である。
(引用終り)
つづく >>482 つづき
関連３
http://toodifficult.seesaa.net/article/430734949.html
ボレル集合の理解 世の中わからないことだらけ posted by 無知の人 2015年12月05日
(抜粋)
概説
実数のσ-加法族を考えてみる。
σ-加法族は、確率空間の理解で出てきたものと同じ。定義は、
集合Aのσ-加法族Fとは、Aの部分集合族で以下の性質を満たすもの。
１．Φ∈F
２．P∈F → Pc∈F
３．Pk∈F (k∈N) → ? k=1～∞ Pk∈F
であった。
このA=Rとしたときσ-加法族Fを、実数のボレルσ-加法族と呼びB(R)と表記する。
そして、B(R)に含まれる集合をボレル集合と呼ぶ
どんな集合なのか？
では、実数のボレルσ-加法族はどのような集合で構成されているのかについてみてみる。
１．まずすべての閉区間[a,b]∈Rは含まれている。
２．すべての開区間も含まれる。なぜなら(a,b) = ?k=1～∞[a+1/k,b?1/k]と表現できるから。(定義の3.を適用できる)
３．すべての開集合も含まれる。なぜならすべての開集合は開区間の列の可算個の和集合で表現されるから。(定義の3.を適用できる)
４．すべての閉集合も含まれる。なぜならすべての閉集合は開集合の補集合で表現されるから。(定義の2.を適用できる)
と思いつくようなものは全部含まれている。
つづく >>483 つづき
カントール集合について
上記の4.はわざわざ3.を経由しなくてもいいのではないの？と思わなくもない。
つまり、「すべての閉集合は閉区間の列の可算個の和集合で表現される」でよい気もする。
しかし、「すべての閉集合は閉区間の列の可算個の和集合で表現される」は間違いである。
まず区間C0=[0,1]を3等分する。
真ん中の開区間(1/3,2/3)をくりぬいたC1=[0,1/3]∪[2/3,1]を作る。
さらに残っている区間をさらに3等分して真ん中の開区間をそれぞれくりぬく。
この操作を無限回行ってできた集合C∞をカントール集合という。
くりぬかれた部分全体はいくつもの開区間の和集合であるので開集合である。
開集合の補集合は閉集合であるため、C∞は閉集合である。
このカントール集合にはどのような数が含まれるかを考えてみる。
C0には3進小数表示したときに0.xxxx...となる数がすべて含まれる。
C1には3進小数表示したときに0.0xxx...となる数と0.2xxx...がすべて含まれる。(3進小数表示したらすべての小数は0と1と2で構成される。真ん中をくりぬいたので0.1xxx...は含まれない)
というように考えていくとC∞には3進小数表示したときに1を含まないすべての数をとびとびに含む。
とすると、カントールの対角線論法を使ってC∞の要素数は非可算無限個の和集合であることがわかる。
つまりC∞は閉集合だが閉区間の列の可算個の和集合で表現できない集合となる。
コンパクト性について
同様に、「すべての開集合は開区間の列の可算個の和集合で表現される」は間違いなのではないか？と思うが、これは誤りではない。
「すべての開集合は開区間の列の可算個の和集合で表現される」は実数の性質であり、この性質は実数のコンパクト性から導くことができる。(詳細は略)
(引用終わり)
つづく >>484 つづき
関連４
http://toodifficult.seesaa.net/article/430778352.html
確率変数の理解 世の中わからないことだらけ posted by 無知の人 2015年12月06日
(抜粋)
概説
(Ω,F,P) を確率空間とする。
確率変数は写像X:Ω→Rで、任意のA∈B(R)においてX?1(A)∈Fを満たすもの。
つまり、「Ωのσ-加法族」というよくわからないものから、「実数のσ-加法族」というわかりやすいものに移す写像ということである。
なぜ逆像で定義するのか
「Ωのσ-加法族」というよくわからないものから、「実数のσ-加法族」というわかりやすいものに移す写像ならば、「任意のω∈FにおいてX(ω)∈B(R)となる写像」を考えればいいような気もする。
これらの事象もなんらかボレル集合に割り当てなくてはいけないとなると、これは相当悩ましいし、そんなことで悩むのは無意味である。
なので、あえて逆像で定義して、そういったどうでもいいことが必ずしもボレル集合に割り当たってなくてもいいようにしてある。
じゃあ、ボレル集合側の微妙な要素はどのように処理するかである。
Fはσ-加法族であるので要素にΦを必ずもっているのだから、Φに割り当ててしまえばいい。
先のサイコロの例でいえば[3.1,3.9]というボレル集合について、X?1([3.1,3.9])=Φということになる。
(引用終わり)
以上 >>483 訂正
３．Pk∈F (k∈N) → ? k=1～∞ Pk∈F
↓
３．Pk∈F (k∈N) → ∪ k=1～∞ Pk∈F
(a,b) = ?k=1～∞[a+1/k,b?1/k]
↓
(a,b) = ∪k=1～∞[a+1/k,b-1/k]
文字化けしているな～（＾＾ アクション ポルノスタ カネ ボレル 数式だれかつけて。 どうもスレ主です。
ご無沙汰です。（＾＾
年度末で公私ともに多忙で、アク禁にしていました
読むと書きたくなるし、書くと時間がかかるし、その上レスが付くとそれにまたレスをしてと・・
時間が足りなくなりますので（＾＾ ホーキング博士が死去か
ご冥福をお祈りします・・
（キリスト教ではこういう言い方はしないかもしれませんが）
https://www.nikkei.com/article/DGXMZO28103240U8A310C1MM0000/
ホーキング博士が死去 宇宙論、車いすの天才科学者 日経 2018/3/14
(抜粋)
【ワシントン＝川合智之】複数の米欧メディアは14日、「車いすの天才科学者」として知られる英ケンブリッジ大の宇宙物理学者、スティーブン・ホーキング博士が死去したと報じた。76歳だった。
同氏はＡＬＳ（筋萎縮性側索硬化症）患者として知られ、宇宙論の入門書「ホーキング、宇宙を語る」が世界的なベストセラーになった。
同氏の家族が声明で明らかにした。同氏は宇宙創成やブラックホールのなぞなどを追究。最近では急速に発展する人工知能（ＡＩ）の危険性も指摘していた。
(引用終わり) ホーキング博士のブラックホールの研究
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%AF%E3%83%9B%E3%83%BC%E3%83%AB%E6%83%85%E5%A0%B1%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ブラックホール情報パラドックス
(抜粋)
目次
1 原理
2 ホーキング放射
3 パラドックスの解決に向けた主なアプローチ
3.1 情報は失われ回収不能[9][10]
3.2 ブラックホールの蒸発の間、情報は徐々に漏れ出す[9][10]
3.3 ブラックホールの蒸発の最終段階で、情報は突然逃げ出す[9][10]
3.4 情報は、プランクサイズの残骸に保存される[9][10]
3.5 情報は、我々の宇宙から切り離された赤ちゃん宇宙に保存される[10]
3.6 情報は、過去と未来の相関の中で符号化される[12][13]
3.7 情報は失われるのではなく、事象の地平面でファイアウォールから輻射される。[14]
4 関連項目
5 出典
6 外部リンク
1970年代から、スティーブン・ホーキングとヤコブ・ベッケンシュタインは、一般相対性理論と量子場理論に基づき、情報の保存に矛盾するように見えるブラックホール熱力学を創始した。
特に、ホーキングの計算[3]は、ホーキング放射によるブラックホールの蒸発が情報を保存しないことを示した。
今日では、多くの物理学者が、ホログラフィック理論(特にAdS/CFT対応)がホーキングの誤りを示し、情報は実際は保存されると信じている[4]。
2004年、ホーキング自身も賭けに負けたことを認め、ブラックホールの蒸発は、実際は情報を保存していることに同意している。
関連項目
・AdS/CFT対応
・ブラックホールの相補性（英語版）
・宇宙検閲官仮説
・ファイアウォール
・ファズボール（英語版）
・ホログラフィック理論
・マクスウェルの悪魔
・ソーン・ホーキング・プレスキルの論争（英語版）
・ブラックホール脱毛定理（無毛定理，ノーヘア定理）
(引用終わり) 関連
https://japanese.engadget.com/2016/08/17/7/
7年かけて作った「人工ブラックホール」でホーキング放射を初観測。ブラックホールが完全にブラックではない証拠になるか Munenori Taniguchi 2016年8月17日
(抜粋)
イスラエルの科学者ジェフ・スタインハウアーが人工的なブラックホールを製作し、その振る舞いからスティーブン・ホーキング博士が1974年に発表した理論「ホーキング放射」に似た現象を観測したと発表しました。
スタインハウアーが作った人工的なブラックホールは本物のブラックホールのように光を含めて何でも吸い込むというものではなく試験用のチューブ内に流体を流し、
ある地点でそれを音速以上に加速させることで音響的な事象の地平面を生み出すというもの。
本物のブラックホールでは光が逃げられなくなる位置で事象の地平面が発生しますが、この人工ブラックホールでは音が逃げられなくなる位置を事象の地平面とします。
もしかするとこの実験を発端として、ホーキング博士がノーベル賞を受賞するというストーリーもありえるかもしれません。
論文はNature Physics 「Observation of quantum Hawking radiation and its entanglement in an analogue black hole : Jeff Steinhauer」
http://www.nature.com/nphys/journal/vaop/ncurrent/full/nphys3863.html
(引用終わり) おっちゃんです。
久し振りにスレ主がコピペをしに来たようだ。 突然ですが（＾＾
ちょっと古いが
https://www.nikkei.com/article/DGXMZO24325500W7A201C1FF1000/
ＡＩ「アルファ碁」を改良、将棋・チェスでも最強 グーグル、独学で鍛える 2017/12/6 16:36日本経済新聞
(抜粋)
【ワシントン＝川合智之】米グーグルの持ち株会社アルファベット傘下の英ディープマインドは、世界トップ棋士より強い最強の囲碁用の人工知能（ＡＩ）「アルファ碁ゼロ」を改良し、将棋やチェスにも応用したＡＩ「アルファゼロ」を開発した。
白紙の状態から独学で試行錯誤を繰り返し、数時間で現状の世界最強ソフトを超える強さを獲得。将棋・チェス・囲碁のいずれも最強という３冠を達成した。
５日にオンライン科学誌に論文を公表した。ＡＩにはまず将棋やチェスのルールだけを教え、自己対戦を繰り返させた。従来のソフトは人間が長年の歴史の中で考案した「定跡」やプロ棋士の棋譜を学ぶことで強くなったが、こうした人間のデータは与えなかった。
2017年の世界コンピュータ将棋選手権で優勝したソフト「エルモ」と、16年のチェス世界大会で優勝した「ストックフィッシュ」、囲碁の「アルファ碁」と強さを比較した。強さを示す指標「レーティング」をみると、アルファゼロが将棋では２時間弱、チェスでは４時間、囲碁では８時間学習した時点で各ソフトを上回る実力を手に入れた。
実際に各ソフトと100戦したところ、将棋は90勝８敗２分け、チェスは28勝無敗72分け、囲碁は60勝40敗と勝ち越した。異なるゲームに汎用で使える最強クラスのＡＩは初めてだ。人間がこれまでに考案した定跡も、誰からも教わることなく自己対戦の中から身につけたという。
つづく >>494 つづき
すでに盤上ではソフトがトップ棋士を上回っている。チェスでは1997年に米ＩＢＭの「ディープ・ブルー」が世界チャンピオンに勝利し、将棋では2017年４～５月に「ＰＯＮＡＮＺＡ（ポナンザ）」がトップ棋士の佐藤天彦名人に連勝。
囲碁では５月に「アルファ碁」が中国の世界最強棋士、柯潔（か・けつ）九段に３連勝した。アルファゼロはこれらのソフトより強いとみられ、トップ棋士を上回る棋力を得たと言えそうだ。
今回は将棋やチェスでもプロの対局データを使わず、独学かつ短期間で最強のＡＩになれることを示したのが特徴だ。囲碁ではアルファ碁の打ち方をプロ棋士が見ても「理解できない」と困惑が広がるなど、人知を超えた強さになっていた。
ゲーム以外の分野でも、人間には解けなかった難問の解明に貢献しそうだ。ディープマインドは難病の早期発見や新素材の開発、生命の起源解明などに応用を見込む。将来、ＡＩが人間の知性を超えるとされる「シンギュラリティー（技術的特異点）」の実現につながる可能性も秘める。
(引用終り) グーグルAIは、数学もディープラーニングできるのだろうか？（＾＾ おっちゃんです。
見に来ました。AIいわゆる人工知能か。
あんま興味ない。 だけど、こんなことってあるんだな。
すべてが復活して歯車としてお互いにかみ合うｌことになるとは。
ダブルの意味で面白い発見でした。一体どうなるんでしょうね。
まあ、ブツブツいう単なる個人的な独り言に過ぎず、キモいと感じるかも知れんけど。 一応やった甲斐があってよかった。
まあ、イメージとしてはもっと美しくなるかと思っていたんだが…。
じゃ、おっちゃん寝る。 大地をほめよ
讃えよ土を
我ら人の子の
我ら人の子の
大地をほめよ
ほめよ讃えよ >>497
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ご無沙汰です
AIこそ数学と相性が良いと思うのだが（＾＾ >>498-499
忙しいから、あまり書く時間がないが
おれは、全然納得してないんだよ（＾＾
>歯車としてお互いにかみ合うｌことになるとは。
だから、どの歯車が、どうかみ合うのか、その定義が不明確だが
私個人としては、かみ合う感じはしない
例えば>>419の定理Fな
全然納得してない
（補題BK５CH）このバカ板５CHで新しい数学の定理が書かれるはずもない
この（補題BK５CH）が正しいとすれば、>>419の定理Fはすでにどこかのテキスト（教科書）か論文にあるはず
もし、ないとすれば、その定理は間違っている
この２択以外にない
実際、だれか友達に話すときも、”５CHの定理F”ではバカ丸出しだ
かつ、引用するなら、テキスト（教科書）か論文として引用すべし
なので、定理Fがどこかに書かれていないか検索したが、和文ではヒットなし。英文もそれらしいのは無かった
だから、定理Fはガセかなと思っているんだが・・、どう？（＾＾ >>502 つづき
>>419より
(引用開始)
定理F：
A ⊂ R は Fσ集合とする。もし R－A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。
証明：
STEP1：A は Fσ 集合だから、高々可算無限個の閉集合 A_k が存在して A ＝ ∪_k A_k と書ける。
一方で、R－A は第一類集合だから、高々可算無限個の、内点を持たない閉集合 F_k が存在して
R－A ⊂ ∪_k F_k と書ける。結局、R ⊂ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) …(★) ということになる。
(引用終り)
ここ証明中で、
”R ⊂ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) …(★) ”だが、考えてみると、Rは全体集合だから
R ⊃ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) でもある
合わせると、
R ＝ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) となるが
R－A ＝ ∪_k F_k と書ける（根拠は、下記の藤田博司PDF”第一類：可算個のいたるところ非稠密な集合の和集合に分解できる”より）
とすると、Rが、二つの重ならない 高々可算無限個の閉集合 (∪_k A_k ) と (∪_k F_k ) の和 にかけることになる
それって、良かったのかな？
つづく >>503 つづき
＜参考＞
http://tenasaku.com/academia/notes/lss07_fujita_release.pdf
ルヘ゛ーク゛可測性にかんするソロウ゛ェイのモテ゛ル 藤田博司(愛媛大学理学部) 2007年数学基礎論サマースクール
(抜粋)
P7
定義4. 位相空間の部分集合A について, その閉包の内部が空(Int Cl_A = Φ) となるとき, A はいたるところ
非稠密(nowhere dense) な集合と呼ばれる. 可算個のいたるところ非稠密な集合の和集合に分解できるような
集合のことを, 第一類集合(set of first category) といい, そうでない集合のことを第二類集合(set of second category) という. □
Baire のカテゴリー定理. 完備距離空間の空でない開集合は決して第一類集合にならない. □
したがって, 完備距離空間において, 第一類集合の補集合はいたるところ稠密です. 可算個の第一類集合の和
がふたたび第一類集合になることは定義から明らかですから, 完備距離空間の第一類集合は, 比較的“小さな”
集合であるということができます.
つづく >>504 つづき
定義5. 数直線R の第一類部分集合のことを疎集合(meager set) といい, その全体をM であらわす. □
こうして, ルベーグ測度の零集合のクラスN の類似物として疎集合のクラスM が導入されました. これ
にともなって, ルベーグ可測性の類似物として導入されるのが, ベールの性質です.
定義6. 実数の集合A に対して, A△B ∈ M をみたすボレル集合が存在するとき, A はベールの性質 (property of Baire) を持つという. □
ここでのB としては開集合をとることができます. ベールの性質を持つ集合のクラスはルベーグ可測集合
のクラスと多くの性質を共有しています. 直積測度にかんするFubini の定理に対してKuratowski とUlamの定理, というように, 測度論のいろいろな定理に対してその“カテゴリー版” が存在します.
ルベーグ可測でない集合が存在するのと同様に, ベールの性質を持たない集合も存在します. 実際, Vitali の
ルベーグ不可測集合はベールの性質を持ちません. また, 選択公理を用いれば, ルベーグ可測だがベールの性質
を持たない集合, ルベーグ不可測だがベールの性質を持つ集合などの存在を容易に証明できます. そこで, 実数
のどんな集合がベールの性質を持つか, また, ベールの性質を持たない集合を具体的・明示的に定義できるか,
というのは自然な問いといえます*7. Solovay の二つの定理の(c) と(c’) はこのことを問題にするものです.
次の補題は, 第3 節でランダム実数とコーエン実数の性質を対比する際に役に立ちます. (証明が明示的・構成的である点に, よく注意してください.)
補題5. 数直線R を二つの互いに交わらない集合A とB に分割して, A が零集合B が疎集合となるように
できる.
[証明]
*7 ただし, 測度の問題の(A) と(B) に対応するものは, ベールの性質については考えられません.
(引用終り)
つづく >>505 つづき
PDFは、下記サイトより
http://tenasaku.com/academia/
なげやりアカデミア 藤田博司(愛媛大学理学部)
以上 >>506
余談だが、いろいろお世話になっている藤田博司先生の新連載ご紹介＼（＾＾）／
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazines/latest/4.html
雑誌詳細：数学セミナー 2018年4月号
(抜粋)
新連載
・やわらかいイデアのはなし……藤田博司 57
大きい数・近い点・近傍フィルター
(引用終り) おっちゃんです。
>>502
私が以前示した定理やその証明のこと。
その定理の内容とその証明に大きな間違いがあった。
今日1日かけて訂正作業をしていたんだよ。
ここにその定理の内容やその証明はまだ書いていない。 突然ですが、メモ
http://kobeblog.net/u/50589a/L2tRSzGNJme8nulMTqcj/
水木しげる 神戸のゆかりの地 水木通・水木荘・北野工房のまち（神戸）:神戸の金庫屋４代目 バカ息子のblog 2010年09月25日
(抜粋)
ゲゲゲの鬼太郎の作者で知られる、『水木しげる』さんの本名は、「武良茂」。
ペンネームの「水木」は、この水木通から。
昭和24年（1949年）、水木しげるさんが27歳の時、
復員兵救済募金旅行の途中、たまたま立ち寄った神戸で、安宿の女主人に神戸市兵庫区水木通のアパートを買い取らないかと持ちかけられます。
昭和25年（1950年）、そのまま神戸に落ち着き、そのアパートの貸家経営を始めます。
水木通にあったので、『水木荘』と命名。二階建てで、十室のアパートだったようです。
「水木荘」の住人であった、紙芝居作家のツテで水木さん自身も紙芝居画家の道へ。
紙芝居演者の名人、鈴木勝丸さんが経営する「阪神画劇社」の専属となります。
その鈴木さんが「水木荘に住んでいる、しげるさん」ということで、「水木さん」と呼んでいたことから、ペンネームが「水木しげる」となったそうです。
【水木荘跡】 地図 http://map.yahoo.co.jp/pl?type=scroll&;lat=34.67607065809639&lon=135.16716266908455&z=19&mode=map&pointer=on&datum=wgs&fa=ks&home=on&hlat=34.67608389289326&hlon=135.16716401018917&layout=&ei=utf-8&p=%E6%B0%B4%E6%9C%A8%E9%80%9A
住所：神戸市兵庫区水木通2丁目（周辺）
【水木湯】 地図
http://www.e-sento.net/mizukiyu/
住所：神戸市兵庫区水木通2-2-21
【北野工房のまち】 地図
http://www.kitanokoubou.ne.jp/
住所：神戸市中央区中山手通3-17
【ネットミュージアム兵庫文学館】水木しげるワールド
http://www.bungaku.pref.hyogo.jp/kikaku/mizuki/index.html
【関連ブログ】
水木しげるロード（境港）..1（妖怪ブロンズ像）
水木しげるロード（境港）..2（鬼太郎がいっぱい）
水木しげるロード（境港）..3（水木しげる記念館）
水木しげるロード（境港）..4（鬼太郎パン・神戸ベーカリー）
水木しげるロード（境港）..5（妖怪神社・妖怪饅頭）
※上記、関連ブログは、鳥取県境港市の水木しげるロードです。
(引用終り) >>508-509
おっちゃん、どうも、スレ主です。
訂正よろ 本は著者だけでは作れず著者と出版社と読者で完成す
るもの
本が著者だけで作れるなら全ての本の前書きは意味が
ないし新訂版の序文に俺が載っていて現代数学社もそ
れを認めているのと新訂版の著者である北田先生が富
田社長に感謝の意を示しているのも意味がなくなる
事実を否定されても迷惑でしかない
しかもそれを不特定多数の誰もが見れてかつ現代数学
社の業務妨害になる形でされたら困るのは俺だけでは
ない
共著と合作では意味が違うし共著だったらそもそもレ
ビューは書けないし書けるとしたらこのようなレビュ
ーは書かない
そこまで考えられないのにネットを使うなよ
数学は誹謗中傷や名誉毀損のためにあるんじゃない。
誹謗中傷や名誉毀損のために数学してる人は今すぐ数
学をやめろ。数学が汚れる。数学をまじめにやってい
る人が愚弄される。誹謗中傷や名誉毀損は自分が被害
者じゃなくても見ていて不愉快なのは俺だけではない
。考える力もないのにネットを使うなよ
数学はひとりでやれるという思想を持つなら絡んでく
るなよ暇人が
数理解析学概論を汚すな
北田先生がどういう意図と経緯で新訂版を書いたのか
って俺が明らかに中心的役割を果たしただろ
本は著者だけで作れるというならやってみせろよ
出版社と読者がいないと完成しないんだよ
寂しいなら風俗行け
あんな性格じゃリアルにもネットにも友達いないでし
ょ
指摘や批判も度が過ぎたら名誉毀損 事実をデマと言って受け入れられないとか精神的に幼
すぎる
題名を変えた
最近Amazonでレビューを編集するとそのレビューが
最下位になるから戻るまでは3位だけど
３回も名誉毀損コメントするくらいなら現代数学社に
問い合わせればいい
現代数学社にとっては迷惑だろうけど
定理の証明が独特だったり台がコンパクトな超関数が
きちんと書かれてるからこの題名
誹謗中傷や名誉毀損が趣味の人ってなんで日本語が日
本人なのにおかしくて単語の意味を正確に理解できて
いないのか。なんで何も成し遂げてないのに偉そうに
するのか。不愉快を通り越して不思議なんだが。あん
なに必死に何かを隠そうとするのは異常だ。何かの病
気なのではないかとすら思う。 検索でヒットしたので貼る
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/34/3/34_3_274/_article/-char/ja/
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/34/3/34_3_274/_pdf/-char/ja
直積空間における位相的Borel集合族と直積Borel空間 伊藤 清三 数学 / 34 巻 (1982) 3 号 /
(抜粋)
§1.まえがき
測度は位相から‘解放'しなくても本来'独立'している
ことは,いまさらいうまでもないが,測度を考える空間
が例えば局所コンパクトHausdorff空間の場合は,測度
の定義域は,その中の開集合全体で生成されるσ－algebra
とするのが,多くの場合に自然である.今後,位相
空間Xの中の開集合全体で生成されるσ－algebraをBx
と書き,位相的Borel集合族と呼ぶことにする.
(引用終り) 検索でヒットしたので貼る
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/36/3/36_3_264/_article/-char/ja/
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/36/3/36_3_264/_pdf/-char/ja
実函数論50年-積分論関係 越 昭三 数学 / 36 巻 (1984) 3 号
(抜粋)
1.積分論の創始とその発展
そもそも積分論は種々の形の面積体積を求める問題
の解法という形で,古代から存在したと言って過言では
ない.17世紀にNewtonとLeibnitzによる微分,積分
の発見,更にRiemannによる区間で定義された連続函
数の積分すなわちRiemann積分の定義をへて,数学的
に完成した積分を与えたのはLebesgueである.1902年
の彼の学位論文[1]で彼は定積分,曲線の長さ,曲面の面
積などについて,できるだけ一般的でかつ厳密な定義を
与える試みを行った.それ以来Lebesgueはいくつかの
論文によって今日Lebesgue積分論(最近は単に積分論
ということが多い)と呼ばれる完成された理論を構成し,
それは数学上の一つの道具としで数学のあらゆる面に幾
多の影響を与えてきた.そしてこの方面の解説書も多く
de la Val1ee Poussin (1934)[1]Saks(1937)[1]等の書物
はその時代までの成果を丁寧に述べたものとして出版当
時多くの数学者に読まれたものであった.その特徴はま
ず測度論を基調とする積分論である.測度空間・・・
(引用終り) >>512-513
>本は著者だけでは作れず著者と出版社と読者で完成す
>るもの
これは哲学だな
”本”の定義は？
”完成”？ 定義は？
なんぞや？
定義によっては、「本は著者だけで完成する」と思うよ >>516
手元の石井ガロア本がいい例で、重版とともに内容が修正、改良されていくので、信者は追加購入するありさまです…
どこかで読んだのですが著者がガロア本の読者から支援（＝著書の正誤表を複数の読者から提供されていた）を受けていたことが赤裸々に告白されています
>>516 の間違っている点は「人は間違える動物であり、それも大事なところで間違えるのであり、完璧な人間などいない」
ということに未だに思い至らない点であろうと推察しています おっちゃんです。
>>511
ここには書かんよ。
>>512
>本は著者だけでは作れず著者と出版社と読者で完成するもの
本が出版されるまでの段階では、読者は関わりようがなく、
本は著者と出版社とで完成するというのが普通の考え方だと思うが？
出版された本の読者がいないこともあれば、その本の読者が本の内容を必ず理解出来るとはいえない。
本の前書きには、読者がその本を読むにあたり、
必要な前提知識や本の内容の数学的な背景などが書かれていたりする。
まあ、そもそも、私は数理解析学概論を読んではいなく、絡んでなどいない。
ツイッターにも興味はない。 http://logmi.jp/162648
オーディエンス熱狂！ ロマンティック数学ナイトで熱弁されたリーマンゼータ関数のやばさ
ロマンティック数学ナイト > ゼータの普遍性 ～ゼータの持つ驚くべき性質～ スピーカー せきゅーん 氏 2016年8月19日
(抜粋)
トピックス一覧
ロマンティックなリーマンゼータ関数
ゼータには超ロマンティックな性質がある
圧倒的な熱量のプレゼンに会場が爆笑
（会場笑）
それでは応用を述べましょう。このσをクリティカルストリップ内の点、固定したときに、微分の並べたやつというのはCのn乗の中で稠密なんですよね。これを使うとですね、驚くべきことにリーマンゼータというのは、一切、微分方程式を満たしません。やばくないですか？
しかもこれ、このF(s) の部分を多項式に限定したときに、代数的微分方程式って言うんですけど、これをを満たさないことはヒルベルトも予想もしてましたが、F(s) が任意の連続関数であっても微分方程式を満たさないんですよね。……やばい！
（会場笑）
では最後です。リーマン予想との関係を述べましょう。先ほど、このボローニンの普遍性定理というのは零点を持たないという情報が重要でした。しかしリーマン予想が解けていない以上、リーマンゼータそれ自身は近似できるかわからないわけですね。
しかし、まことに驚くべきことに、リーマンゼータそれ自身をリーマンゼータが近似できるならば、リーマン予想は成り立つ、逆も成り立つんです。
すなわちですよ、リーマンゼータというのは万能細胞だったわけですが、自分自身をも近似できる、ある種の自己言及性が成り立つということこそがリーマン予想だったんです！
（会場拍手）
すばらしい。
(引用終わり)
http://logmi.jp/series/%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%81%AE%E6%99%AE%E9%81%8D%E6%80%A7-%EF%BD%9E%E3%82%BC%E3%83%BC%E3%82%BF%E3%81%AE%E6%8C%81%E3%81%A4%E9%A9%9A%E3%81%8F%E3%81%B9%E3%81%8D%E6%80%A7%E8%B3%AA%EF%BD%9E
ゼータの普遍性 ～ゼータの持つ驚くべき性質～に関するイベントや講演会、インタビューの記事 >>517
C++さん、お元気そうでなによりです
C++さんの定義なら、本は永遠に未完ですな（＾＾ http://math.tsukuba.ac.jp/~akiyama/ant/mathlink.html
解析数論ホームページ
Last Updated 03/12/2018 12:21:59
http://math.tsukuba.ac.jp/~akiyama/ant/Seminar/Intensive/matsumoto_summer01.html
第９回整数論サマースクールにて名古屋大の松本耕二先生の行った講演「Riemannゼータ関数概論」の講義録を著者及び、サマースクール世話人の平野幹先生の許可を得て公開します。
Riemannゼータ関数概論 (DVI file), TEX file
http://math.tsukuba.ac.jp/~akiyama/ant/Notes/RZeta.tex
Riemann ゼータ関数概論
松本耕二(まつもと こうじ)
名古屋大学大学院多元数理科学研究科
(抜粋)
本稿は, 第 9 回整数論サマースクール (2001.7.15-7.19) の初日午後 (15 日 15:00-18:20, うち休憩 20 分) と二日目午前 (16 日 9:00-12:20, うち休憩 20 分) に 行なわれた筆者の講演 「Riemann ゼータ関数(I)(II)」の内容に, その時には述べられな かった若干の関連事項を付け加えたものである。
(引用終わり) >>518
おっちゃん、どうも、スレ主です。
お元気そうでなによりです（＾＾ >>502
＞例えば>>419の定理Fな
＞全然納得してない
＞(中略)
＞だから、定理Fはガセかなと思っているんだが・・、どう？（＾＾
いい加減にしろキチガイ。
定理Fの証明は、>>419 にそのまま書かれている。何度も書いているように、
いくらキチガイのお前と言えども、この程度の証明はすぐに読めるはずである。
実際、お前は既に定理Fの証明を読み終えている。そして、お前自身が
自分の言葉で言い換えた>>434の(1)～(4)の記述が既に存在している。俺は>>444で
＞話の流れは合っているが、(2)は微妙に間違っている。正しくは
＞
＞(2) もしこの閉集合がすべて、内点を持たないならば、Aが第1類集合になってしまうから
＞
＞と書くべきである。
と書いたが、この修正を踏まえれば、>434でお前が書いた(1)～(4)の記述は「正しい」のである。
つまり、お前は>434において既に、自分の力によって定理Fが正しいことを確認しているのである。
にも関わらず、今さら「納得していない」だの「定理Fの文献が見つからないからガセ」だのという
子供じみた言い訳でダダをこねるのは詭弁である。お前が書いた>434の(1)～(4)は一体何だったのだ？ >>503
＞R－A ＝ ∪_k F_k と書ける（根拠は、下記の藤田博司PDF”第一類：可算個のいたるところ非稠密な集合の和集合に分解できる”より）
何がしたいのか意味不明な上に、息をするように間違えるゴミクズ。
最初に与えられた A ＝ ∪_k A_k, R－A ⊂ ∪_k F_k という条件から R ⊂ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) …(★)
を導き、そこから R ＝ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) という等号を導くことは可能だが、だからと言って
R－A ＝ ∪_k F_k
という等号は必ずしも導けない。必ず導けると思っているのはお前の幼稚な勘違いである。
「根拠は、下記の藤田博司PDF」などと言っているが、全く根拠になってない。R－A は第一類集合だから、
もしイコールで書こうとすれば、R－A＝∪_k F '_k なる疎集合 F '_k は取れることになるが、
その F '_k が F_k に一致する保証はどこにもないし、R ＝ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) と組み合わせても
F '_k ＝ F_k なんて出てこない。だから、お前の幼稚な勘違い。
あるいは、次のように言ってもよい。∪_k A_k のことを1文字で A' と書くことにし、
∪_k F_k のことを1文字で F と書くことにすると、お前が言っているのは次のようなことである。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
A ＝ A', R－A ⊂ F という条件から R ⊂ A'∪F …(★) が成り立つので、
R ⊃ A'∪F にも注意して、R ＝ A'∪F が成り立つ。よって、R－A ＝ F が成り立つ。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
↑これがお前の言っていることである。明らかに、この主張は間違っている。
R ＝ A'∪F から出発して丁寧に集合計算してみると、R－A＝(A'∪F)－A＝(A'－A)∪(F－A)＝φ∪(F－A)＝F－A
すなわち R－A＝F－A が成り立つに過ぎないのである。R－A ＝ F が必ず成り立つというのはお前の勘違いである。
「藤田博司PDF」を適用しても、R－A＝F－A が R－A ＝ F に化けることは無い。
[続く] [続き]
で、F_k に与えられた最初の条件は R－A ⊂ ∪_k F_k というものであるから、
もともと R－A ＝ ∪_k F_k が成り立つような F_k が取れる場合には、
そのような F_k に対して自明に R－A ＝ ∪_k F_k という等号が成り立っている。
一方で、真の包含としての R－A ⊂ ∪_k F_k のみが成り立つような F_k の場合には、
当然ながら R－A ＝ ∪_k F_k という等号は出て来ようがない。そして、前述のとおり、
「ここで必ず等号が出てくる」というのはお前の幼稚な勘違いである。
そもそも、お前は R－A ＝ ∪_k F_k という等号の成立・不成立を気にしているが、
それを気にすること自体がナンセンスである。なぜなら、等号が成り立っているケースでも、
R－A ⊂ ∪_k F_k しか成り立っていないケースでも、どちらにしても定理Fの証明は
そのまま通用するからである。必要なのは R ⊂ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) …(★) という包含のみである。
これが言えた時点でベールのカテゴリ定理になってしまい、ある A_k が開区間を含むしかないので、
A＝∪_k A_k により、Aも同じ開区間を含むのである。ほら、定理Fは正しいだろ？
あるいは、お前が書いた>>434の(1)～(4)のような解釈の仕方でもよい((2)を>>444のように修正すれば)。
いずれにしても、定理Fは正しい。このことの一体どこに納得できないポイントがあるのだねキチガイ君。
>>504-506 については、「>>503の続きである」としつつも引用しか書かれておらず、
その引用から何を言いたいのかお前のコメントが無いので意味不明。
全体として、何がしたいのか全く意味不明。キチガイ。
[続く] 証明を読まない主義を頑固に貫く稀代のアホ
（実は教科書も読まない主義、何故か自分の直観は無批判に信じる主義） [続き]
あるいは、次のように言ってもよい。お前が定理Fを納得できない最大の原因はベールのカテゴリ定理である。
というより、お前は定理Fを納得していないのではなく、本質的にはベールのカテゴリ定理を納得していないのである。
よく考えてみよ。STEP1 において R ⊂ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) …(★) が導けたからといって、
この時点ではまだ「開区間」との繋がりが全く存在していない。そこで開区間に繋がるための道具が
ベールのカテゴリ定理である。これがなければ開区間は出てこない。そして、開区間が出てきた瞬間に、
定理Fが正しいことが自明に確定する。となれば、お前が未だに納得せずにアヤシイと思っている箇所は、
「 (★)から開区間に繋がるところがアヤシイ 」
ということであり、つまりお前は、暗黙のうちに
「ベールのカテゴリ定理がアヤシイ」
と言っていることになる。つまり、お前はベールのカテゴリ定理に納得していないのである。
[続く] [続き]
そして、ここからはベールのカテゴリ定理についてよく考えてみよ。
R⊂∪_k E_k と可算無限個の閉集合 E_k の和で包含できたからといって、なぜそこでいきなり
「ある E_k は開区間を含む」
と言えるのだね？まさにそのことを主張しているのがベールのカテゴリ定理なのだが、
お前は開区間が出現するメカニズムをきちんと理解しているのかね？お前が疑問に思っている
「定理Fで なぜ開区間が取れるのか、直観的なイメージがわかない」
という感覚は、
「 R⊂∪_k E_k (各E_kは閉集合) から、なぜあるE_kが開区間を含むのか、直観的なイメージがわかない」
という主張に翻訳されるのであり、つまりお前は暗黙のうちに
「ベールのカテゴリ定理には納得がいかない。ベールのカテゴリ定理はアヤシイ」
と言っていることになるのである。
つまり、お前がバカで不勉強でキチガイなだけ。間違ってるのはお前一人だけ。ゴミクズ。 >>502
＞例えば>>419の定理Fな
＞全然納得してない
＞(中略)
＞だから、定理Fはガセかなと思っているんだが・・、どう？（＾＾
ここについてもう1つ。お前は定理Fが書かれた文献を探しているようだが、
そのような文献は既に>>333で挙げてある。よほど都合が悪いのか、
お前はこの文献をスルーし続けているが、>>333でハッキリと文献を挙げてあるのである。
＞1件だけだが上記の 定理F3 を使っていると思しき pdf が見つかる。
＞
＞ttp://fm.math.uni.lodz.pl/artykuly/12/ww.pdf
＞
＞＞ Observe that ∩[m＝1～∞] ∪[n≧m] A_n as Gδ set of first category is
＞＞ easily seen to be nowhere dense.
＞
＞このことからも、定理F, F1,F2,F3 は全て正しいと分かる。
このように、定理Fをさらに一般化した定理F3が、上記の文献の中で使われているのである。
その証明たるや、「 Gδ set of first category is easily seen to be nowhere dense 」と
書かれているように、証明が簡単なので証明がついておらず、
定理F3と同じ主張をそのまま英語で述べるだけで、いきなり定理F3を使用しているのであるｗ
というわけで、「文献が見つからないから定理Fはガセ」というお前の詭弁はこれによって論破される。 ちなみに、お前が文献を見つけられない理由も、上記のpdfを見れば明らかである。
「 Gδ set of first category is easily seen to be nowhere dense 」と書かれているように、
そもそも定理Fのたぐいには標準的な名称すら存在しないのである。もし標準的な名称があるなら、
上記のpdfでもその名称を使うはずであるが、実際にはそのような書き方になっておらず、
定理F3の主張をそのまま英語で述べて、定理F3をいきなり使用しているのである。しかも、証明がないｗ
つまり、定理Fのたぐいは、標準的な名称すらつかないような、大袈裟に定理として記述する価値がない自明な定理なのであり、
上記のpdfのように、証明を書かずにそのまま使用することが認められているような、もはや定理というより "既成事実" に近い
扱いなのである。だから文献が見つからないのである。
「全ての正しい定理はどこかのテキストまたは論文できちんとした名称つきで証明も与えられているに違いない」
というお前の幼稚な考えは間違っているのである。
「大袈裟に定理として記述する価値がない自明な定理には証明も標準的な名称も与えられず、
既成事実として直接的に定理の内容を述べてそのまま使うことが許される」
のである。そんな自明な定理であるにも関わらず、お前のようなキチガイからすれば
「自分では証明が正しいことを確信できず、文献も見つからないので、ガセと判断する」
という愚行に走るしかないのである。全く数学的な態度ではない。
これで数学について何かを語った気になっているのだからキチガイと言う他ない。
STEP1,STEP2(>>419)という、この程度の極めて簡単な証明に、一体いつまで躓いたままでいるつもりなんだゴミクズ。
さっさと理解しろや。定理Fは正しいし、文献も>>333に挙げてあるだろ。
というか、お前自身も既に>>434の(1)～(4)で自分の言葉で既に理解してるだろ。
「文献が見つからないからガセ」とかいう子供じみた言い訳でダダをこねるなクソガキ。 >>530
> 全く数学的な態度ではない。
> これで数学について何かを語った気になっているのだから
同意せざるを得ませんね 数学に自明は存在してはならない
定義、公理は妥協の産物であることを忘れてはならない やっと、面白そうな結論が幾つか出た。
今日は、頭や体が疲れて、考える気になれん。
諸法無我って、このような連続的な体の変化を抽象化した仏教の教えなんでしょうな。 諸法無我：もろもろのほうにわれなし
思考は規則の連鎖で成立している
それらの規則に、自分が考え出したものが何一つないことを言う
当たり前のように聞こえるかもしれないが
それでは自分が考えていることにはならない
覚えている、知っている規則をつなぎ合わせただけである
ならば自分である必要はなく、機械がやっても同じことである
という虚しさを表す四字熟語である 諸法無我って、平家物語の文章に出て来る諸行無常の考え方と関係があって、
虚しさを表す仏教の言葉なのか。 >>537
諸法無我は、すべてのモノには実体がなく、何らかの関係がお互いにあって、
不変で保たれているという状態のモノはあり得ない
というような意味を指す仏教の教えだと思っていたが、虚しさなんて書かれたんで
少し調べたら諸法無我は諸行無常から派生したようで、平家物語とかと関連付けた。 まあ、ユークリッド平面上の単位円周上に有理点が稠密に分布してさえいなければもっと美しく決まったと思うんだが…。
だけど、何しているのか知らないけど、どこぞの何某ではオッパイについて熱く議論されているようですな。 仮に両方成り立ったとして、どちらが数学的に美しい結果なのかは微妙なところだが、
おっちゃん的には～、美しい結果にならかったと見られることは不本意でした。
それじゃ、おっちゃん寝る。 おっちゃんです。
頭がおかしくなっちゃったようだ。
オッパイってπ(おっπ)のことね。
じゃ、目が虚ろになって来たんで、おっちゃん寝る。 忙しいので、これだけ
これ、面白かったな
数学では、出題ミスは少ないと思うが
http://premium.yomiuri.co.jp/pc/#!/news_20180329-118-OYTPT50152/list_HENSHUTECHO
３月２９日 編集手帳 読売新聞 2018年3月29日5時0分
(抜粋)
早稲田大学で教べんをとった自然史学者の筑波常治さんは、平易な文章の科学評論で知られた。昭和半ば、ある県の高校入試の国語に使われたことがあった
◆＜筆者が主張するのは次のどれか？＞。筑波氏は解いてみたという。おどろいた。
７問中正解は３問だけ。＜不合格は間違いなし。漫画みたいな結果になった＞と随筆に書き留めている。
(引用終り) おっちゃんです。
昨日は無意識のうちに寝てしまった。
>それじゃ、おっちゃんもう寝る。
と書こうとしても書けなかった。
もしかしたら、余程疲れていたのかもな。 おっちゃんです。
さっき来たら誰もいないようだったけど、笑点見てた？
テレビを見ていなくても、笑点は、観客の笑い声や拍手がよく聞こえるな。
以前は笑点見ていたけど、確か、10年位前に司会が変わったんだよな。
それじゃ、おっちゃんもう寝る。 即興の定理で証明を久し振りに書こうと思ったけど、やめた。 ∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}},{∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},
{∅,{∅}}}},{∅,{∅},{∅,{∅}},{∅,{∅},{∅,{∅}}},{∅,{∅},{∅,{
∅}},{∅,{∅},‥ おっちゃんです。
スレ主がどこかに消えたようだから、代わりにこのスレを埋める。
原則として、書き方はエッセイ調で、文章の綴りは成り行き任せ。
今日のエッセイ。
毎日6時間の睡眠時間は必要。
毎日3、4時間の睡眠時間の状態を続けると、眠くて眠くてたまらなくなる。
晩メシを食おうとしても、眠くて眠くてメシが食えなくてウトウトして、
睡魔に襲われてたまらなくない。おっちゃんが痛感した経験則。
それじゃ、おっちゃんもう寝る。 おっちゃんです。
面白そうな発見があった？
いや、多分そうなんだろうな。他の論文にした方がどうかは正直迷っている。
証明はここに書かないよ～ん。 冷静に書いたレスを見直すと、バカっぽい文章を書くというのも面白い。
バカっぽい文章を書いた後に冷静に読むと、笑えない訳ではない。
もっとネジが吹っ飛んだ文章を書くにはどうしたらいいんでしょうね。 まあ、体の健康など、とても大事なモノに対しては、生真面目過ぎる位にトコトンマジメになった方がいい。
いうまでもないが、一般に体の健康は誰にとっても大事。
その一方で、本当にテキトーでよさそうなモノに対しては、テキトーでいい。
ここで、注意すべき点は、マジメ腐ってばかりいたら、ストレスが溜まって体によくないこと。 おっちゃんです。
ジョーク抜きで、論文の参考文献は日本語と2、3冊の洋書になるよ～ん。
だから、参考文献は日本語でその引用した本の題名の英訳の後に (in Japanese)
が付く。この点は予めよろしく。ま、決して変な論文にはならんから。
大部分は、自分の脳ミソで考えて出来た論文だ。 >>554の訂正：
日本語と2、3冊の洋書 → 日本語の本と2、3冊の洋書
といっても、洋書も薄いんだが。
一応、標準的なテキストとはいわれているようだが。 う～ん、おっちゃん工房とでも呼ぶか。
それとも、おっちゃん研究所の方がいいのかね。
別に大学の研究室が与えられた訳でもないし、
おっちゃん研究室というのもおかしいだろうしな。 まあ、基本や多角的視点というのはとても大事ですな。
このことをつくづく感じているこの頃である。 おっちゃんです。
今日は漫談を書く(演じる)。
内容的にはエッセーの延長線上にあると思うが、漫談を書く(演じる)のははじめて。 え～、じゃ、漫談はじまりはじまり。
南海ホークスの杉浦は少し変わったフォームで物凄い勝利数を挙げた伝説的な投手だそうで、
杉浦の投球フォームに興味があって、そのフォームを見たかったので、動画を見てみた。
投げ始めはオーバースローに近く、途中から体を沈めながら球を持った右手は丸く円を描いて、
その後に体を沈め切ったら腰の真横から投げるような、サブマリーンに近いアンダースローの投法だった。
球を放って投げる瞬間を真横から見ると、オーバースローのように上半身を前に乗り出して投げる感じで、
オーバースローの投手のように上半身を前に傾ける投げ方に比較的よく似ている。
右打者にとって背後から球が投げられて来る漢字、という杉浦の投げ方の説明のニュアンスが何となく分かった。
ストレートはとても速くて打者の近くで浮き上がり、右打者にはスライダーで空振りさせたりする一方で、
左打者には体に当たりそうな曲がり方をする大きなカーブで三振やゴロを奪ったようだ。
年間勝利数は、入団した1958年から64年までの間毎年15位は余裕で、20勝～30勝以上の勝利数の年が5年ある。 しかし、65年以降は余り勝てなくなったようだ。アンダースローだけど、シンカーは投げても余り有効な効果はなく、
むしろシンカーを覚えたために持ち味だった持ち球の威力がなくなったのかも知れない。防御率は2点台～3点台の年が多い。
38勝して日本一に輝いた1959年の日本シリーズでは、幻の4連勝を成し遂げたという。日本シリーズで4連勝したのは杉浦だけだそうだ。
ナインのメンバーには、ノムさんや大沢親分、リリーフで同じアンダースローの皆川がいた。ノムさんは杉浦が投げるときは気楽で退屈だったそうだ。
杉浦は足も速くて、もう少しで日本人初のメジャーリーガーになる勢いだったが、実際に日本人初のメジャーリーガーになったのは、村上だった。
まあ、杉浦の投げ方は、キャッチャーや打者側から見たら、投げる瞬間に球の握りが見えるから、
杉浦のように腕を回すようにして速く投げる投手でないと、球の握りが見え球種がバレて打たれ易いかもな。
杉浦と互角に投げ合ったのが西鉄ライオンズの鉄腕稲生。その稲生も20勝以上から40勝以上勝つ年が何年もあって凄かったようだ。
ノムさんは鉄腕稲生の球種別の投げ方を見破れたらしい。
まあ、投手の中で杉浦と皆川という2人のアンダースローが主な貢献を果たしつつ、日本一に輝いた南海の例は珍しいわな。
サイドスローではあるが、最近では西武ライオンズの黄金期が比較的に似た例に近くなるとは思うが、
先発も含めて何人ものアンダースローが勝利のために主な役割を担う南海のような例は、余り知らんな。 >>560の訂正：
背後から球が投げられて来る漢字 → 背後から球が投げられて来る「感じ」
皆川は杉浦とは違いシンカーを持ち味として投げて、
ストレートは杉浦のストレートとは違い打者の手元で下に落ちるようだ。
杉浦と皆川は、同じアンダースローでありながら、全く違うようだ。 以下はおっちゃんの予言である。あくまでも予言に過ぎず、真に受けないでほしい。
今日は遊びで漫談を書いている(演じている)ので、遊びの範囲内で考えてほしい。
オイラーの定数γは無理数どころか確実に超越数である。
ただ、何でとてつもなく難しい未解決問題をいとも容易く示せてしまったのかが分からない。
何ということか、超常現象が起きてしまった！
ただ今、私はこの予言の証明に間違いがないかを何度も確認していて、疑心暗鬼になっている最中である。 まあ、南海の杉浦のピッチングフォームはサイドスローに近いアンダースローというべきか？
ピッチングの画像を見ると、右打者にとって背後から投げるような独特の投法であることは確かだが。
地面擦れ擦れの高さから投げる渡辺俊介のタイプのようなアンダースローのフォームとは全く違うようだが。 おっちゃんです。
鉛筆の芯を全部使い切ると、約 50km の距離分だけ書けるそうだ。マラソンの距離約 42.2km より多い。
普通に鉛筆削りで削って芯の先端を三角錐状にして使うと、大体の概算式は 50×1/3＝16.6 km
で1の位以下を切り上げると大体 20km 分の距離書ける。
シャープペンシルだと、40本の芯を全部使い切って大体 10km の距離分だけ書ける。
ボールペン1本だと、全部使っても書ける距離は 2km にも満たない。
どうやら、とても大きな差があるようだ。
鉛筆の芯を肥後守で削って鉛筆から取り出して、芯ホルダ－にはめて使うのもいいかもな。
鉛筆は筆記具としては優秀なようだ。 おっちゃんです。
私がここの支配人になってしまったようである。
ここ2、3日、現実の色々な処理をしているところである。
こうした現実での処理中は、パソコンに向き合う暇がなくなっている。
ここ2、3日は、寝る前に余った時間を割いて書いている。 太陽系の惑星について、或る1つの�f星の楕円軌道緒繧ﾉ異なる惑星ｂｪ載っかって
元来の公転速度で公転している状況を想像した。
天体観測は面白いかも知れない。 何やら寝ぼけて書いていたら文字化けが生じたようで、>>568の書き直し。
太陽系の惑星について、或る1つの惑星の楕円軌道上に異なる惑星が載っかって
元来の公転速度で公転している状況を想像した。
天体観測は面白いかも知れない。
それじゃ、おっちゃんもう寝る。 おっちゃんです。
まあ、>>563の「オイラーの定数γは超越数である」ことは、
まだ示せていないし、遊びで書いたに過ぎず、信用しないように。
実際に計算してみると(ここには書かないが)、信じられないが、
な、な、な、何とγは有理数の可能性がある。
おっちゃんビックリ仰天。果たしてこれは気のせいでしょうかね。 もし本当に γ∈Q でよいなら、有理数γの循環小数の部分が分かっていないことが問題になって、
今までγの循環小数の部分が分かっていないのがむしろ不思議でならない。 「ガロア理論の頂を踏む」を読んでいます。
最初はユークリッドの互除（ごじょ）法から入ります
定理1.1
(x, y) を x と y の最大公約数とする
a, b ∈N で a を b で割った余りが r のとき
(a, b) = (b, r)
証明
(a, b) = g, (b, r) = h とおいて g = h であることを示す
a, b は g の倍数なので、
a = a'g, b = b'g …①
と書ける
a を b で割った商を q, 余りを r と置くと
a = qb + r …②
これより r = a - qb
これに①を代入して r = a'g - qb'g = g(a' - qb')
となり r も g を約数として持つ
もともと b は g を約数として持つから g は b と r の公約数
公約数は最大公約数以下だから…③
g <= h 定理1.1 証明続き
b, r は h の倍数なので
b = c'h, r = r'h
と置くことができ、これを>>573 ②に代入して、
a = qb + r
= qc'h + r'h
= (qc' + r')h
a は h を約数に持つ。b はもともと h を約数に持つから
h は a, b の公約数
③a, b の公約数はa, b, の最大公約数g以下だから
g>=h
g<=h かつ g>= h より g = h 証明終わり >>573 >>574 所感
「ガロア理論の頂を踏む」では以上の証明「g>=h, g<=h ゆえに g = h」方式になっていますが、
私の好みは定理1.1 を次のように書き換えます
「(x, y) を x と y の公約数全体の集合とする
a を b で割った商を q, 余りを r とするとき
(a, b) = (b, r)
特に最大公約数についても一致する」
証明は
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E3%81%AE%E4%BA%92%E9%99%A4%E6%B3%95
に書いておきました。この場合でも必要条件の証明と十分条件の証明の二段階が必要です
「ガロア理論の頂を踏む」では複数の構成員からなるもの同士のイコールというのは、概念として難しいとの判断だったのでしょうか（本の最初の定理ですし）
なお③公約数は最大公約数以下、は高等学校数学では証明抜きに天下り式に叩き込むのですが、
これも証明が必要な事項でしょう、証明は難しくありませんが、結構手間です
高木貞治 https://ja.wikisource.org/wiki/%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95%B4%E6%95%B0%E8%AB%96%E8%AC%9B%E7%BE%A9/%E7%AC%AC1%E7%AB%A0/%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%85%AC%E7%B4%84%E6%95%B0%EF%BC%8C%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%85%AC%E5%80%8D%E6%95%B0
日本発の整数論の本では、最初のゴール「素因数分解は一通り」へ邁進するのに、最小公倍数・最大公約数から証明しはじめるようですが、
ユークリッドはそうしていないようです、互除法→拡張互除法へとすすみます
拡張互助法は、実例で示して証明したことにする本がほとんど、ユークリッドもそうしています、これを証明として記述するのは道具立てが必要ですね
行列で証明してみました
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E3%81%AE%E4%BA%92%E9%99%A4%E6%B3%95 >>573
「ガロア理論の頂を踏む」を読んでいます。
定理1.2
a, b, d ∈Z, (a ≠0, b ≠0)
g を a, b, の最大公約数とする
一次不定式 ax + by = d …①
①は d が g の倍数のとき整数解を持ち、d が g の倍数でないとき整数解を持たない。
「ガロア理論の頂を踏む」では実例をもとに説明し、実例の説明をもって証明にかえています。
実例はわかりやすいものですが、これを証明として記述するのは、どうしたものでしょうか？思いつきません。 >>573
「ガロア理論の頂を踏む」
定理1.3
a, b, c, d ∈Z, a ≠0, b ≠0, c ≠0, a, b, c, d の最大公約数を g とする
ax + by + cz = d …①
①において d が g の倍数のとき、①を満たす整数解 x, y, z が存在する
d が g の倍数でないとき、整数解 x, y, z は存在しない
ディオファントスの方程式です。
https://ja.wikisource.org/wiki/%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95%B4%E6%95%B0%E8%AB%96%E8%AC%9B%E7%BE%A9/%E7%AC%AC1%E7%AB%A0/%E4%B8%80%E6%AC%A1%E3%81%AE%E4%B8%8D%E5%AE%9A%E6%96%B9%E7%A8%8B%E5%BC%8F
の説明は難解でここで挫折する人は多数、とみました
しかし「ガロア理論の頂を踏む」は、そう簡単に脱落させません >>577
定理1.3 証明
ax + by の取りうる整数の集合 S について、S の任意の要素 u, v, および整数 k に対して
u + v
ku
は S に含まれる。実際、u, v が
u = ax_1 + by_1 + cz_1, v = ax_2 + by_2 + cz_2 と表現できれば、
u + v = a(x_1 + x_2) + b(y_1 + y_2) + c(z_1 + z_2) ∈S
ku = a(kx_1) + b(ky_1) c(k_z1) ∈ S
今 S に含まれる正の整数のうち最小の数を h とする。すると、S の要素はすべて h の倍数になっている…②
というのは、もし h の倍数で表せない数 m ∈ S が存在したと仮定すると、
m を h で割った商を q, 0 でない余りを r とおいて m = qh + r、r = m - qh
仮定より m ∈ S, h ∈ S より qh ∈ S から r = m - qh ∈S
r は割り算の余りなので割る数 h より小さく、これは h が S の最小の数であるという仮定に反する
すなわち②は正しい
ax + by の式で x = 1, y = 0 を代入すれば a となるから、a ∈ S, 同様に b ∈S, c ∈S
ということは、a, b, c は h の倍数であり、h は a, b, c の公約数である
したがって a, b, c の最大公約数 g よりも h は小さいから h <= g … ③
また a, b, c はそれぞれ g の倍数だから、a = a'g, b = b'g, c = c'g とおいて
ax + by + cz = (a'x + b'y + c'z)g となり S の要素は g の倍数である、とくに h∈S も g の倍数だから h >= g …④
③④より h = g
すなわち ax + by + cz = g となる x, y, z の存在が証明された。これを x_3, y_3, z_3 とすると、ax_3 + by_3 + cz_ 3 = g
d が g の倍数で、d = ng となっておれば ax + by + cz = d の整数解の一つは nx_3, ny_3, nz_3 となる、実際代入して確かめよ
S の要素はすべて g の倍数だから、d が g の倍数でないときは方程式>>577①を満たす整数解は存在しない >>578
訂正
×ax + by の取りうる整数の集合 S について
○ax + by + cz の取りうる整数の集合 S について >>578
の証明は wikipedia のベズーの等式
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%82%BA%E3%83%BC%E3%81%AE%E7%AD%89%E5%BC%8F
の証明として記述しておきました。以前の証明は、これまた難解極まりないもので、これも高木「初等整数論講義」の罪なのでしょうか？
ベズーの等式は ax, + by の二項の式ですから、拡張ユークリッドの互除法で直接、適合解を求めることができます おっちゃんです。
オイラーの定数のことはさておき、今日も漫談をする。 JR総武線の新宿駅より東側にある都内の駅の互いに隣接する2駅間の話。
新宿駅から四ツ谷駅間について。
新宿駅から代々木駅間は、総武線と山手線が大体南北に進む。
代々木駅から四ツ谷駅間は、基本的には東西に進む中央線が総武線の北部を真っすぐ走る。
新宿－代々木間：目と鼻の先のような関係で、代々木駅から新宿駅が見える。
尚、代々木駅は渋谷、品川方面の山手線と新宿方面の総武線とが乗り換え出来る。
また、千葉方面の総武線の乗り換えホームからは、その隣を走っている中央線が見えにくい。
代々木－千駄ヶ谷間：代々木駅を出発すると、すぐ左側に千葉行きの総武線は左に曲がり、
しばらく直っ直ぐ進むと千駄ヶ谷駅に着く。距離は新宿－代々木間より長い。
千駄ヶ谷－信濃町間：お互いにほぼ真っ直ぐ進むと着く関係。記憶が正しければ、
千駄ヶ谷駅の新宿方面のホ－ムから南側を見ると、特別ホームがある。
昔は、信濃町駅にも同様に新宿方面のホ－ムから南側を見ると、
特別ホームがあったが、現在は信濃町駅に特別ホ－ムはない。
信濃町－四ツ谷間：千葉方面の総武線は、信濃町駅を出発して少しすると、
左側に曲がりながらトンネルに入り、トンネルの中も左に曲がりながら進む。
そうしてからトンネルを出ると、直後に四ツ谷駅に着く。トンネルの長さはどれ位でしょうかね。
四ツ谷駅とトンネルとは目と鼻の先で、四ツ谷駅からトンネルの中が大きく見える。
四ツ谷駅から水道橋駅間について。
四ツ谷駅から飯田橋駅間はほぼ南北に総武線と中央線が走る。
飯田橋駅と水道橋間は大体東西に総武線と中央線が走る。
市ヶ谷駅と飯田橋駅は、四ツ谷駅と水道橋駅の間の長さを等間隔に4等分するような感じ。
四ツ谷－市ヶ谷間：、確かこの区間のどこかで中央線と総武線が交錯して、千葉方面の総武線で北に進むと、
途中から南北に走る総武線の西側を走っていた南北に走る中央線が、南北に走る総武線の東側を走るようになる。
市ヶ谷－飯田橋間：この区間は、基本的に、総武線、中央線の東側が高くなっていて、ここには昔は緑道のような歩道があった。
千葉方面の総武線から左を見ると、自動車が沿って走っているのが見えて、途中から昔江戸城のお濠だった溜池が見える。
島状のホームの飯田橋駅は千葉方面に見ると右、四谷方面に見ると左に大きくカーブしていて、傾斜している。
ここで総武線は大きく曲がる。飯田橋駅の南側の出口は何かの中を進むような感じになっている。
飯田橋－水道橋間：千葉方面の総武線に乗ると、飯田橋駅で大きく曲がった後は真っすぐ東に進む。
景色関係で特筆することは余りない。水道橋駅はお互いに向かい合うホームになっている。
水道橋駅を降りると、神田川が流れていて、少し北に進むと都営三田線の水道橋駅があって、
JR総武線の水道橋付近には坂道があったり、東京ドームや遊園地があったりする。他にも水道橋駅付近にはなど色々ある。
じゃ、水道橋駅と御茶ノ水駅間は、メシ食って来てから書く。 そういえば、飯田橋駅の南側の出口は何かの中を進んで出ると、
急な坂になっていて、右の近くには駅ビルのような建物がある。
じゃ、続きの水道橋駅から浅草橋駅間について。
この区間は、基本的には、どちらも大体東西に走る総武線と都営新宿線の駅について、
水道橋駅と神保町駅の間、御茶ノ水駅と小川町駅の間、秋葉原駅と岩本町駅の間、浅草橋駅と馬喰横山駅の間が、
それぞれ、比較的近い。ここに、神保町駅、小川町駅、岩本町駅、馬喰横山駅は、その順に都営新宿線の駅。
総武線に話を戻す。御茶ノ水駅と浅草橋駅の中間に秋葉原駅があるような感じ。
水道橋－御茶ノ水間：この区間は、千葉方面の総武線から左を見ると神田川が見えて、中央線と総武線が蛇行しながらゆっくり進む。
千葉方面の総武線から右の窓には景色らしき風景は特にない。確か御茶ノ水駅の近くで総武線と中央線が複雑に入り組んで
東に進む総武線と中央線、西に進む総武線と中央線が並行して走るようになり、御茶ノ水駅に着く。
御茶ノ水駅はとても狭く、東に進む総武線と中央線とでお互いに乗降して乗り換えらることが出来、
西に進む総武線と中央線とでお互いに乗降して乗り換えらることが出来る。東西に走る総武線は東西に走る中央線に両側を挟まれている。
御茶ノ水駅の千葉方面の総武線或いは東京方面の中央線のホームからは、神田川を渡る丸ノ内線が少し外に出て走っているのが見える。
御茶ノ水－秋葉原間：この区間も複雑に総武線と中央線が入り組んでいて、千葉方面に総武線で進むと、途中でレンガ造りの建物の上を中央線が走っているのが右に見える。
川に架けられた橋の上にあるアーチのような構造物も見える。この区間のどこかで神田川の上を走る。左側にはいうまでもなく秋葉原の電気街。
秋葉原－浅草橋間：お互いに片方の駅から他方の駅を見ることが出来る。ほぼ真っすぐに線路の上を走る。
ただ、秋葉原駅は浅草橋駅より高い位置にあり、秋葉原駅から浅草橋駅に行くときは下に走り、
浅草橋駅に行くときは上に走る。風景で特筆する点はない。浅草橋の近くには、人形の久月がある。交差点も多い。 浅草橋駅から亀戸駅間について。
浅草橋－両国間：総武線の駅の中で浅草橋駅は、総武線からJR線が全く見えない唯一の駅で、
秋葉原駅と両国駅間は総武線に沿って走る電車は何もない。
浅草橋駅から千葉行きの総武線に乗ると、右に曲がりながら隅田川へと出て、
右側には両国橋、左側には遠くに蔵前橋が見える。そうして隅田川を渡ると、両国の町に入り、
今度は左側に少し曲がった後に両国駅に到着する。両国駅からは国技館が見える。
両国駅の建物を外から見ると或る種の洋館のように見えて、両国駅のホームの北側には
島状の特別ホームがある。何かの電車がこの特別ホームから出発したりこのホームに到着したりするんでしょうか。
両国－錦糸町間：この区間の距離は、浅草橋駅と両国駅間の距離、錦糸町駅と亀戸駅間の距離より長い。線路は真っすぐで、高低差は殆どない。
千葉方面の総武線に乗って両国駅を出発すると、直ちに総武快速線の横浜方面の列車、千葉方面の列車が合流して、
これらの総武快速線が各駅停車の総武線の北側を走るようになる。風景は東京スカイツリーが北側に見える。
風景は住宅街に比較的近い感じになる。錦糸町駅にはテルミナという駅ビルや映画館が近くにあって、都バスの乗り場が近くには多い。
錦糸町－亀戸間：お互いに片方の駅から他方の駅を見ることが出来る。線路は真っすぐで、高低差は殆どない。風景は比較的住宅街に近い感じ。
亀戸駅には少し高い駅ビルがある。この駅ビルの中を通り抜けるようにして、東武亀戸線に乗り換えることが出来る。
尚、亀戸駅の南には貨物線と見られる単線の列車の線路がある。駅の南側には歩道橋がある。少し東に進むと緑道がある。
駅の北側には商店街があって北に進むと亀戸天神がある。 一応、浅草橋－両国間の一行目は、総武線の駅の中で浅草橋駅は、総武線から「総武線ではない他の」JR線が全く見えない唯一の駅
ということで。
では、亀戸駅から小岩駅間について。
この区間は、基本的には、隣り合う2駅の距離が長い。中でも、亀戸駅と平井駅間の距離、新小岩駅と小岩駅間の距離が長い。
亀戸－平井間：この区間では、確か貨物線と見られる単線の列車の線路が途中までは南側にある気がする。
どこから単線の線路が各駅停車の総武線の北側を走るのかは不明。線路に高低差は余りない。
千葉方面の各駅停車の総武線に乗ると、旧中川放水路の付近で電車は左に曲がる。
車窓の風景は住宅街に近くなる。平井駅の付近には余り行ったことがないが、
平井駅の近くには商店街や旧中川、荒川放水路がある。
平井－新小岩間：荒川放水路を電車が渡るときは北側に蔵前通りの橋が見える。川幅はやや短くなっている。
新小岩の駅の南側は住宅地といってよく、江戸川区と葛飾区の境目に新小岩駅はある。
新小岩－小岩間：新小岩駅は、総武快速線も止まり葛飾区にある。小岩駅は、総武快速線は止まらず江戸川区にある。
この区間はほぼ真っすぐで、風景は住宅地といってよいと思う。小岩駅と江戸川は少し距離があったような気がする。
確か、小岩付近の江戸川の川辺は多少の芝生があって運動場のようになっている。 以上、JR総武線の新宿駅より東側にある都内の駅の互いに隣接する2駅間の漫談でした。
両国駅より東側の総武線の互いに隣接する2駅間の距離は長くなる傾向がある。
新宿駅より西にあるJR総武線の駅や、総武線の線路の走り方、風景などといったことは余りよく分からない。 またそのうちに漫談をする。
それじゃ、おっちゃんもう寝る。 おっちゃんです。
取り敢えず、>>583-586の部分で気付いたところだけ訂正。
>>583の訂正：
飯田橋－水道橋間の最後の文について。
他にも水道橋駅付近にはなど色々ある。 → 他にも水道橋駅付近には色々ある。
>>584の訂正：
水道橋－御茶ノ水間について。
>御茶ノ水駅はとても狭く、東に進む総武線と中央線とでお互いに乗降して乗り換えらることが出来、
>西に進む総武線と中央線とでお互いに乗降して乗り換えらることが出来る。
の部分の「乗り換えらる」は「乗り換える」に訂正。
秋葉原－浅草橋間の3行目について。
浅草橋駅に行くときは上に走る。 → 秋葉原駅に行くときは上に走る。 ま、10年近く前の話で、今の総武線の状況と合っているかどうかは知らん。 3日間半かけて、個人的には興味がある日本史上の或る事柄の wiki のサイトを読んだ。
全体的には詳細な記事で、時間をかけて読むと、改めて日本は広いと感じた。
高校までの歴史の教科書にはない歴史上の人物のことが書かれていたりする。
そのサイトには歴史の参考文献が挙げられていた。これを読むとより面白いのだろう。
読んだ wiki のサイトは歴史の教科書より面白くて比較的よく書けていると思った。
史実は小説より奇なり。 些細なことだが、>>591の訂正；
個人的には興味がある日本史上の或る事柄 → 個人的には興味がある或る日本史上の事柄
いや～、3日半かけてやっと読めた。 おっちゃんです。
さて、何を書きましょうか。
ま、テキトーに綴る。 富山県の東側の剱岳の近くに、観光ツアーで、ケーブルカーで行って来た。
付近の山の平均的な標高は2000m以上あって、雪がまだ降っていたり、山の頂上には雪が積もっていた。
5月のそのあたりの温度は察してほしい。
富山はチュ－リップが特産品だが、栽培の様子は特に見れなかった。
♪チューリップ、チューリップ♪ が花を咲かせていれば、一面が色とりどりになって、目立つ筈だと思われる。 あ、♪チューリップ、チューリップ♪ は勿論富山県の平野部の話ね。
あと、剱岳の近くでは、4、5月だと、歩ける可能性は比較的低いが、雪の大谷が有名なようだ。
個人的には、剱岳付近の山々の山頂付近は寒かった。
それじゃ、一旦メシ食ってから。 地形的には浅瀬が少なく、沖に進むにつれて海底が突如として深くなる
富山湾の蜃気楼は見れなかった。富山湾は独特の構造をしている。
今回は金沢へのルートをたどって富山に行った筈だが、金沢に行ったときと変わっていたのは、
北陸新幹線が開通して、黒部宇奈月温泉駅が建設されていた。
最初は何線が開通したのか？と疑問に思っていた鉄道のルートだったが、
走行中の北陸新幹線を見て、北陸新幹線のルートと分かった。
北陸新幹線の駅は、以前からJR東日本が管轄する上越新幹線の東京駅－飯山駅間はJR東日本管轄、
上越妙高駅のみJR東日本、JR西日本両管轄、糸魚川駅－金沢駅間はJR西日本管轄になるようだ。
東京駅、新大阪駅など、在来線としてはJR東日本かJR西日本の管轄になる駅も含め、
東海道新幹線の全駅をJR東海が管轄するのとは少し状況が違うようだ。
やはり、おっちゃん的には～、富山の景色は平野部から眺める東西に伸びる立山連峰か富山湾の印象が強い。 越後の新潟県だと、山と海とが接している場所(北陸道の糸魚川市の親不知付近)や、
大体方角は西側にあたる日本海に沈む夕日が見れる場所などがあったりする。
その昔、越中富山県は丹羽秀長の後継者丹羽氏の領地だった。 だけど、富山県、石川県のほぼ全域、新潟県の南西部はまだ岐阜県と滋賀県の県境より東側にあるのに、
何故そこを走る元国鉄の在来線の駅は、現在、JR西日本管轄になっているのでしょう。
こと、新潟県の在来線の駅については実に不思議だ。その南西部の糸魚川駅はJR西日本管轄になる。
あと、通常、滋賀県を近畿地方に含めることはしても、北陸地方の石川県や富山県は近畿地方に含めない。 富山県の話題は他にもまだ多くあると思うが、
それじゃ、今日はおっちゃんもう寝る。 おっちゃんです。
このスレに書きに来ていると、数学板でレスされるスレには何らかの法則性が見られることがあるようだ。
書き込まれるときは大体決まってageられているスレがあったり、
各スレに書き込まれる頻度の高低差があったりする。
書き込まれないスレには或る期間全くレスがなかったりする。
これらのような法則性が見られることがある。
以上、600回記念カキコにおっちゃんの観察カキコをした。
それじゃ、おっちゃんもう寝る。 おっちゃん、どうも、スレ主です。
事務管理（下記）ご苦労さまです（＾＾
徐々に復帰します（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8B%E5%8B%99%E7%AE%A1%E7%90%86
事務管理（じむかんり：羅negotiorum gestio）とは、大陸法系の私法において、法律上の義務がない者が、他人のために他人の事務の管理を行うことをいう。不当利得や不法行為と並ぶ法定債権の発生事由である。
日本法上は、民法第697条から702条までに規定がある。以下、日本法上の事務管理について解説する。
目次
1 概説
1.1 事務管理と法制度
1.2 民法上の事務管理
2 事務管理の成立要件
3 事務管理の効果
3.1 違法性阻却
3.2 管理者の義務
3.3 管理者の権利 お前がしなきゃいけないのは復帰ではない
削除依頼だ おっちゃんです。そういえば、>>597の一番下の
>その昔、越中富山県は丹羽秀長(長秀)の後継者丹羽氏の領地だった。
は
>その昔、越中富山県は、結果的に神保長住や佐々成政などの後継支配者となる加賀百万石の前田氏の領地だった。
に訂正。織田四天王の一人で有能だった丹羽長秀の領地は、主に越前の福井県の方だったようだ。
室町時代から安土桃山時代の越中富山の歴史は、上杉氏にも支配されたりと、色々と複雑だったみたい。 大きな間違いは一応訂正した。それじゃ、テキトーにカキコは続く。 従来の北陸本線は、ここ2、3年でJR西日本の管轄の運行状態から
米原駅－金沢駅間 北陸本線 JR西日本管轄、
金沢駅－倶利伽羅駅間 IRいしかわ鉄道線 IRいしかわ鉄道管轄、
倶利伽羅駅－市振駅間 あいの風とやま鉄道線 あいの風とやま鉄道管轄、
市振駅－直江津駅間 えちごトキめき鉄道日本海ひすいライン えちごトキめき鉄道管轄
というように、幾つかの会社や路線に分離されて運行されることになったようだ。
以前とは経営体制が変わったようだ。
まあ、乗り換え時に不便になったと思うが、新潟県内では、糸魚川の近くで
海に迫った山と隣り合わせで海沿いに従来の北陸本線が走っているところがあって、
山崩れ一回の一撃で線路が機能しなくなって電車が不通になりそうな場所もかなり見られた。
そのようなこともあり、安全強化の対策の面では、そういったように幾つかの会社に分割して
北陸本線を運行させて走らせるのがいいんでしょうな。以前より雪崩などの災害対策はし易くなったと思う。
それじゃ、おっちゃんもう寝る。 おっちゃんです。
今日は何を書こうか。
ま、テキトーに綴る。 昨日は、これといって特に書くことが思い浮かばなかった。 球の詰め込み問題やケプラー予想を少し書いてあり、内容の物珍しさから
ダイヤモンドはなぜ美しい？という本を読んでみることにした。
ネットワークのグラフは、空間Vの直積 V×V とその部分集合 E⊂V×V との
対 G＝(V, E) で構成される。Vの元を頂点或いは点、Eの元を辺と呼ぶ。一般には
E≠Φ のとき、任意の e∈E に対して或る v_1, v_2 ∈V が存在して、e＝{v_1, v_2}。
通常、任意の e∈E に対して e＝{v_1, v_2} なる v_1, v_2 ∈V は一意に決まると仮定する。
e＝{v_1, v_2} のとき v_1 と v_2 は隣接するという。v_2 に対して
或る e'∈E と或る v_3∈V が存在して e'＝{v_2, v_3} となるとき、2辺 e, e' は隣接するという。
card(V)＜ℵ_0 のときGを有限グラフ、card(V)＝ℵ_0 のときGを無限グラフという。
細かいことを抜きにすると、大雑把には上のように定義される。
有限グラフは 〇－〇－〇 というように比較的容易に図示出来るが、無限グラフは一般には図示出来ない。
同書は何やらグラフ上での解析を目的としているようで、最終的には離散的な図形についての
何らかの極限を取ることで連続的な図形への移行をするという。ここで、有理直線Q上で
有理数の稠密性に着目して考えてみたが、card(Q)＝ℵ_0 なので有理直線は無限グラフで図示出来ると思うが、
Qは図示出来ないんですわな。有理直線Qのような稠密な状態の図形は幾何的には離散的な図形とも連続的な図形とも受け取れるが、
上の無限グラフの定義ではQの図示は出来ないですわな。〇－〇－〇 ではなく、
任意の G＝(V, E) の辺 e＝{v_1, v_2} v_1, v_2 ∈Vは隣接する頂点 を図示しようとするときに
v_1〇－〇v_2 ではなく v_1〇－………－〇v_2 のように図示されて2頂点 v_1 と v_2 は
隣接するとも隣接しないとも受け取れるグラフは何ていうんでしょうな。定義の際に隣接についての条件を定義から外すことは必要だわな。
このようなグラフが定義されれば、有理直線Qもネットワークのグラフで図示出来そうなんですわな。まあ、暇なとき考えて定義してみる。 まあ、何やら群と正多面体やらランダムウォークと確率やらが出て来て、見た感じでは
結晶の格子のような代物に或る種の離散的な調和を見い出そうとしているかのように見える。 おっちゃんです。>>609の訂正：
e＝{v_1, v_2} → e＝(v_1, v_2) 全部訂正、
e'＝{v_2, v_3} → e'＝(v_2, v_3) ダイヤモンドはなぜ美しい？では、ラプラス方程式という2階の線形楕円型偏微分方程式
Σ_{k=1,…,n}( ∂^2/(∂(x_k)^2) )f＝0 f(x_1,…,x_n) はn変数実関数
に適用される作用素のラプラシアン △＝Σ_{k=1,…,n}( ∂^2/(∂(x_k)^2) ) を扱っていて、
これを離散化している。それと同時にランダムウォークなどの確率の話も展開している。
練習問題は多いとは思う。 他にも色々なことは書かれている。
結晶の格子への応用的なことが元になっているとは思う。 まあ、研究に何らかの意味で使えればありがたいけど。
ラプラシアンの固有値問題につなげると使えるんでしょうかね。
それじゃ、おっちゃん今日は早めにもう寝る。 >>616
昨日のIDを見ると、数学の本スレで暴れていたようだが、
最適化理論は、一応、応用数学ということにもなっている。
複数個の不等式の解が表す領域を求めたりする問題などがあって、その中で最適解を見つけたりする。
何れにしろ、少なくとも、最適化理論は単純に工学だけに分類はされない。 >>619
>ゴミ屋敷から出てくるな、迷惑爺
お前さんから>>616を書き始めた点は直視すべき。
今日も数学の本スレに書いていたと見られる。IDの照合の問題にあたり、その記録は残っている。
＞659 名前：１３２人目の素数さん 2018/05/15(火) 09:17:00.45 ID:fp3xMnnl
＞>>656
＞後半は同意するけど、前半はよそでやってね
ポントリャーギンの連続群論は、式が比較的少なく平易で読み易く書かれた
位相群とその表現論、リー群やリー環についての有名な名著。
基本的に、表現論は代数、幾何、解析のどれにも属さず、一概には分類出来ない。
応用数学が数学に入るかとか一々問題視していたら、表現論は研究出来ない。
今では、組合せ論と表現論とが結び付いたりもしている。 死んだらどうなるのでしょうか？
死後の世界でもあるのでしょうか？ 以後、かまってチャンは無視する。相手するのが面倒だ。
自由に書くがよろしい。
どうせ、このスレも書き尽くされれば、どっかに消える。
それじゃ、今日はおっちゃんもう寝る。 世界の首都はニューヨークですか？それともロンドンですか？ どうも。スレ主です。（＾＾
新スレ立てた。ここは、もうすぐ512KBで、終り
おっちゃん、新スレでも頑張って書いてくれよ～（＾＾
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む52
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1526384086/ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
