現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む51

“現代数学の系譜 物理工学雑談 古典ガロア理論も読む”

数学セミナー時枝記事は、過去スレ39 で終わりました。
39は、別名「数学セミナー時枝記事の墓」と名付けます。

皆さまのご尽力で、伝統あるガロアすれは、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。(勢い1位の時も多い(^^ )

このスレは、現代数学のもとになった物理工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで良ければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな〜(^^

話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。
“時枝記事成立”を支持する立場からのカキコや質問は、基本はスルーします。それはコピペで流します。気が向いたら、忘れたころに取り上げます。

なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ(不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets (Yahoo!でのあだ名が、「一石」)
(参考)http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
お断り!
小学生がいますので、18金よろしくね!(^^

High level people は自分達で勝手に立てたスレ28へどうぞ!sage進行推奨(^^;
また、スレ43は、私が立てたスレではないので、私は行きません。そこでは、私はスレ主では無くなりますからね。このスレに不満な人は、そちらへ。 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/
旧スレが512KBオーバー(又は間近)で、新スレ立てる
(スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。)

過去スレ (そのままクリックで過去ログが読める。また、ネット検索でも過去ログ結構読めます)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む
50 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1516499937/
49 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/
48 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/
47 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/
46 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1510442940/
45 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1508931882/
44 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506848694/
43 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506152332/ (だれかが立ててスレ。私は行きません。このスレに不満な人は、そちらへ)
42 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1505609511/
41 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1504332595/
40 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1503706544/
(40以降現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む)
(39以前 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む)
39 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1503063850/ (別名 数学セミナー時枝記事の墓)
38 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1502430243/
37 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1501561433/
36 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1499815260/
35 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497848835/
(35以降 現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む
34以前 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む)
34 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1496568298/
33 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1495860664/
32 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1495369406/
31 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1494038985/
30 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/

以下次へ

>>2つづき
29 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1484442695/
28 (High level people が自分達で勝手に立てた時枝問題を論じるスレ) http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483314290/
27 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1483075581/
26 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1480758460/
25 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/
24 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1475822875/
23 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1474158471/
22 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1471085771/
21 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/
25 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/
20 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1466279209/
19 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1462577773/
18 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1452860378/
17 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1448673805/
16 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1444562562/
15 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1439642249/
14 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1434753250/
13 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/
12 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1423957563/
11 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/
10 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1411454303/
9 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1408235017/
8 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1364681707/
7 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1349469460/
6 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1342356874/
5 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1338016432/
4 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1335598642/ スレタイに4が抜けてますが(4)です
3 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1334319436/
2 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331903075/
1 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/

以下、暫くテンプレ貼りを続けます。

大学新入生もいると思うが、間違っても5CH(旧2CH)で数学の勉強なんて思わないことだ
このスレは、趣味と遊びのスレと思ってくれ(^^;

以下過去スレより再掲
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/7
7 自分:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日:2017/04/19(水) 22:07:49.66 ID:gLi5Ebjw
まあ、過去何年かにわたって、猫さん、別名、¥ ◆2VB8wsVUooさんが、数学板を焼いていたからね
ガロアスレは別として、数学板は焼け跡かな

再生は無理だろう
そもそも、5CH(旧2CH)は、数学に向かない

アスキー字に制限され、本格的な数学記号が使えない
複数行に渡る記法ができない

複数行に渡る矢印や、図が描けない(AA(アスキーアート)で数学はできない)
大学数学用の掲示板を、大学数学科が主体となって、英語圏のような数学掲示板を作った方がいいだろうな、実名かせめてハンドルネーム必須でね、プロないしセミプロ用のを

個人的には、下記は、”知恵袋の人>>> 5CH(旧2CH)の人”と思うよ(^^

http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1484442695/494
494 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/04/17
前にも紹介したが、新入生もいるだろうから、下記再掲しておく。なお、信用できないに、私スレ主も含めること。定義から当然の帰結だが(^^;
https://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n98014
Yahoo 知恵袋
数学の勉強法 学部〜修士
ライター:amane_ruriさん(最終更新日時:2012/8/6)
ナイス!:5閲覧数:11594
(抜粋)
私は修士1年生ですので、正直に言いますとこの部分はあまり書いているのが正しいとは思えません。趣味で書いているものだと認識していただければ良いのではないかと思っております。
大学3、4年に入ってまず怖いのが数学の本の氾濫でしょう。まず何を読んで何をすればいいのか分からなくなります。
そして、自分のやっていることがいかにちっぽけな存在なのかというのを実感させられます。(多分皆がそうでしょう。)そして、結果が問われてきます。
ここで、数学科は「入るのは易しいけどプロになるのは難しい」ということが実感させられてきます。
2012年8月3日現在、書泉グランデで有名数学者の薦める本がありました。森重文先生を初めとして本の多さに圧倒されました。(足立恒雄先生は信頼と安心のブレなさ)

2. 2ch*)の内容は信用できるか?
基本的に信用できません。先生>周りの人>>> 2ch*)や知恵袋の人です。何故かというといつも同じことしか言っていないから。多分きちんと検証していないで想像で議論しているだけではないのかと私は思っています。
(まあ、自分もあんまり信用できないけど)
数学をする場合は、問題が解けることも重要なのですが問題設定を作ることが大切です。そういう時に、どういう風に学んできたのかとか、正確な知識がどういう部分でどれだけ持っているのか、調和性や、生まれて来た環境っていうのが重要になってきます。
ただ、それがどうも2ch*)の人は見られない(し、そもそも偉そうなことを言っている人が本当にできるかどうか分からない。)。こういう類のものは勉強不足ですとか、分かっていませんでしたで済まされるものではないと個人的には思うのですが。
(引用終り) (注*):2chは、現5ch)

過去スレより
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1484442695/338
338 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日:2017/04/09(日) 23:46:26.46 ID:Rh9CzQs6
スレ主は、皆さんの言う通り、馬鹿であほですから、基本的に信用しないようにお願いします
大体、私は、自分では、数学的な内容は、筆を起こさない主義です

じゃ、どうするかと言えば、出典明示とそこからの(抜粋)コピペです
まあ、自分なりに、正しそうと思ったものを、(抜粋)コピペしてます

が、それも基本、信用しないように
数学という学問は特に、自分以外は信用しないというのが基本ですし

”証明”とかいうらしいですね、数学では
その”証明”がしばしば、間違っていることがあるとか、うんぬんとか

有名な話で、有限単純群の分類
”出来た!”と宣言した大先生が居て、みんな信用していたら、何年も後になって、”実は証明に大穴が空いていた”とか

おいおい、競馬じゃないんだよ(^^;

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%98%E7%B4%94%E7%BE%A4
単純群
1981年にモンスター群が構成されてからすぐに、群論の研究者たちがすべての有限単純群を分類したという、合計10,000ページにも及ぶ証明が作られ、1983年にダニエル・ゴレンスタインが勝利を宣言した。
これは時期尚早だった、というのはいくつかのギャップが、特に準薄群(英語版)の分類野中で発見されたからである。このギャップは2004年に1300ページに及ぶ準薄群の分類によって埋められており、これは現在は完璧であると一般に受け入れられている。

>>7 補足
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1492606081/352
352 自分:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日:2017/04/29(土)
みんな、何に価値をおいているか、それぞれだろうが・・
個人的には、数学板で一番価値を置いているのは、確かな情報 つまり 根拠の明確な情報 つまり コピペ

わけのわからん名無しさん(素数さん)のカキコを真に受けるとか、価値をおく人は少ないだろう
きちんと、大学教員レベルの証明があればともかく、匿名板でそれはない(名無しカキコは基本価値なし)

>>8 補足
<数学ディベート>について
過去スレより
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1494038985/50
50 自分:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日:2017/05/06
どこの馬の骨ともしれん連中との、数学ディベートもどきより
URLとコピペやPDFの方によほど価値を見いだすスレ主です(^^;
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1494038985/189-190
189 自分:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日:2017/05/09

いやはや、(文系) High level people たち( ID:jEMrGWmk さん含め)の、数学ディベートもどきは面白いですね(^^;
”手強い?”とは・・、まさに、ディベートですね

私ら、理系の出典(URL)とコピペベース、ロジック(論証)&証明重視のスタンスと、ディベートもどきスタイル(2CHスタイル?)とは、明白に違いますね
私ら、(文系) High level people たちとの議論は、時間とスペースの無駄。レベルが高すぎてついていけませんね。典拠もなしによく議論しますね。よく分かりましたよ(^^;

190 自分返信:現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日:2017/05/09
私ら、理系は、一応従来の議論は調べて、その上でしか議論はしません
そうしないと、大概二番煎じですし、車輪の再発明ですから

典拠もなしによく議論しますね〜。よく分かりましたよ(^^;
私とは、議論がかみ合わないわけだ・・

”他サイトからのコピペでスレを埋め尽くす行為” なんて非難されましたけどね〜(^^;
ディベートに勝ちたいからそういう発言なんですね〜。典拠もなしで、出した典拠も読まない議論か・・。よく分かりましたよ(^^;

過去スレより
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497848835/638
638 名前:現代数学の系譜 古典ガロア理論を読む[sage] 投稿日:2017/07/11(火) 08:40:28.58 ID:+FRiTcES
>>630
おっちゃん、どうも、スレ主です。

>>まあ、おっちゃんが、上記を理解したら、時枝は終わりにしよう
>マジメに時枝問題のことでスレ主に付き合う気はなく、
>もはやそういうことをする価値もない。
>スレ主自身の主張や考え方が大きく間違っていることを私のせいにするべきではない。

いやいや、おっちゃんよりレベルの低い人と議論するつもりはないんだよ〜(^^
がまあ、おっちゃんのいう「価値もない」にも一理ある
ということで、皆さん悪いが、時枝は、一時棚上げだ。時々やろう

下記のパロディーで言えば、「数学雑談&ガロア理論 〜おっちゃんとボクと、時々、(時枝 & ¥さん)〜」かな(^^
まあ、話題を散らしながら、ゆっくりやりましょう(^^
おっちゃん! いま気になっていることを、好きに書いてくれ!(^^
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9D%B1%E4%BA%AC%E3%82%BF%E3%83%AF%E3%83%BC_%E3%80%9C%E3%82%AA%E3%82%AB%E3%83%B3%E3%81%A8%E3%83%9C%E3%82%AF%E3%81%A8%E3%80%81%E6%99%82%E3%80%85%E3%80%81%E3%82%AA%E3%83%88%E3%83%B3%E3%80%9C
東京タワー 〜オカンとボクと、時々、オトン〜 - Wikipedia
(抜粋)
『東京タワー 〜オカンとボクと、時々、オトン〜』(とうきょうタワー オカンとボクと、ときどき、オトン)は、リリー・フランキーの実体験を基にした長編小説である。
2006年と2007年にテレビドラマ化(単発ドラマと連続ドラマ)、2007年に映画化、舞台化されている。

2005年6月29日、扶桑社より発売された[1]。装丁もリリー本人。初版は3万部だった。2006年1月には100万部を突破。2006年10月31日には200万部(扶桑社発表)を越すベストセラーとなった。

久世光彦が「泣いてしまった…。これは、ひらかなで書かれた聖書である」と評価した。
(引用終り)

「現代数学のもとになった物理・工学」の解題:
言わずもがなですが、数学の発展の大きな原動力は、物理です。数学の発展の大きな原動力は、工学です。

別に説明するほどのこともないですが。
古代の幾何学の背景に、実際の土地測量や巨大建築からの要請が原動力にあったことは間違いないでしょう。

ニュートン以来の解析や数論も同様。
で、物理学の背景に、工学に直結する日常のいろいろな事象がある。戦争というのも、大きな要因ではあります。仏エコールポリテクニークなども、ナポレオン戦争遂行のための工学校です。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A8%E3%82%B3%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%83%9D%E3%83%AA%E3%83%86%E3%82%AF%E3%83%8B%E3%83%BC%E3%82%AF エコール・ポリテクニーク 1804年にナポレオン・ボナパルトによって軍学校とされる)

工学が物理の進展を促した面は多々あります。有名なプランクの熱と光の放射の理論を研究した背景に、当時の工学的課題であった、高温物体を光学測定により正確な温度を知るため(今の光温度計)であったと言われています。
つまり、工学的課題「高温物体を光学測定により正確な温度を知るための光温度計」→物理的課題「高温物体の光放射理論構築」→プランクの量子仮説→量子力学の誕生→作用素環→非可換幾何(現代数学)ということなのです。

コンヌ先生もおっしゃっているそうですが、物理や工学の課題は、いままでもそうですが、現代数学のエネルギー源なのです。
京大数学科がだめになったのは、「20世紀の古い数学に閉じこもってしまった」というようなことがあるのではないでしょうか? 新しい数学へのチャレンジが無い?
(参考 過去スレ39 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1503063850/476 (抜粋)「自己顕示欲だけが目的で人生を送り、ほんで他人の邪魔ばっかししてるから筑波とか京大みたいになってアカン様になんのや。」 )

時枝問題(数学セミナー201511月号の記事)まとめについては
スレ47 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/11-67 ご参照!
ほぼほぼ、時枝は、「ぷふ」さんのおかげで完全終了です! \(^^)/

それで、いま前スレ50から引き続いて議論しているのが、下記の定理1.7と関連の系1.8だ
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする.
Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である.
証明
このとき, 補題1.5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である.

系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)
つづく

>>13 つづき

始まりは下記から。定理1.7と関連の系1.8の証明のPDFが、下記リンクからダウンロードできる
(引用開始)
スレ47 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/594
<422に書いた定理>
594 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2017/12/12(火) 17:31:09.14 ID:14lo33mI [4/9]
以下の pdf に証明を書いた。

ttps://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz

なるべく行間が無いように、丁寧に証明を書いたつもりである。
なお、「疎な閉集合」は「内点を持たない閉集合」と同じことであるから、
pdf の中では「疎な閉集合」という概念を導入せず、必要な個所では その都度

「内点を持たない閉集合」

という言葉に置き換えた。
(引用終り)

つづく

>>14 つづき

スレ49において、PDFから、証明をアスキー化して、その全文を貼った
(文字化けと誤記はご容赦。読みにくいだろうが、そう思ったら右のURLのPDFを嫁め。(^^ https://www.axfc.net/u/3870548?key=Lipschitz 「定理1.7 (422 に書いた定理)」の証明 )
スレ49 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/178-186

つづく

>>15 つづき
この話を理解するためには、ディリクレ関数、トマエ関数、The modified ruler function などの病的関数の知識が必要だ
そのための参考が下記

(参考)
http://nygsuken.webcrow.jp/article/8.html
病的な関数とは? 西大和学園 数学研究部 2016-04-10

<The modified ruler function のまとめサイト下記>
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=5432910>>35より)
Topic: Differentiability of the Ruler Function Dave L. Renfro Posted: Dec 13, 2006 Replies: 3 Last Post: Jan 10, 2007

あと、これ(下記2つのPDF)くらいは、読まないと
スレ49 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/81 より
http://www.unirioja.es/cu/jvarona/downloads/Differentiability-DA-Roth.pdf
DIFFERENTIABILITY OF A PATHOLOGICAL FUNCTION, DIOPHANTINE APPROXIMATION, AND A REFORMULATION OF THE THUE-SIEGEL-ROTH THEOREM JUAN LUIS VARONA 2009
This paper has been published in Gazette of the Australian Mathematical Society, Volume 36, Number 5, November 2009, pp. 353{361.

スレ49 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/366 より
https://kbeanland.files.wordpress.com/2010/01/beanlandrobstevensonmonthly.pdf
Modifications of Thomae’s function and differentiability, (with James Roberts and Craig Stevenson) Amer. Math. Monthly, 116 (2009), no. 6, 531-535.

テンプレ以上です。(^^

18132人目の素数さん2018/02/08(木) 22:59:21.62ID:KjVcfdlC
>>13
以前書いていた
>ベールの第一類集合R−Bfについて、1)R中稠密でない場合、2)R中稠密な場合、に、二分できる。
>1)のR中稠密でない場合は、定理1.7の命題は「 P∧Q → Q 」なので、証明可
>2)のR中稠密な場合は、定理1.7の命題は「 P∧ notQ → Q 」なので、証明不可能
>つまり、2)のR中稠密な場合においては、命題レベルで矛盾を含んでいるから、証明不可能
の2)の認識は間違いであることは飲み込めたでしょうか?

それを踏まえた上での話になりますが
現在あなたは定理を
P'∧(Q'1∨Q'2)->Q
すなわち
(P'∧Q'1->Q)∧(P'∧Q'2->Q)
と場合分けし
Q'2が¬Qを含意する
とは
Q'2->¬Qが真
という意味で使っているのですね?

そして現在のあなたの主張は
``Q'2->¬Q が真である場合に P'∧Q'2->Q は真ではない''
ということでしょうか?

19132人目の素数さん2018/02/08(木) 23:53:46.36ID:MLzjt4SH
削除依頼を出しました

20132人目の素数さん2018/02/09(金) 00:02:46.24ID:vPbEwl4H
"削除依頼を出しました"

ID:MLzjt4SHさんに賛成です(^^

”息をするように間違言えるゴミクズ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。”

ID:hREHM7MHさんに賛成です(^^

21132人目の素数さん2018/02/09(金) 11:34:25.28ID:+GSyCLQ+
>>18
「ぷふ」さん、どうもスレ主です。

>>2)のR中稠密な場合は、定理1.7の命題は「 P∧ notQ → Q 」なので、証明不可能
>>つまり、2)のR中稠密な場合においては、命題レベルで矛盾を含んでいるから、証明不可能
>の2)の認識は間違いであることは飲み込めたでしょうか?

いいえ。なお、ここは後で詳しく説明します

>Q'2->¬Qが真
>という意味で使っているのですね?

はい

>そして現在のあなたの主張は
>``Q'2->¬Q が真である場合に P'∧Q'2->Q は真ではない''
>ということでしょうか?

はい。Q'2→¬Qが導けますから、P'∧Q'2 → P'∧¬Q → Q となります。
P'∧¬Q → Q で、条件(仮定)命題が真のとき、結論命題Qは偽です。
(下記の真理値表からの引用ご参照)

追伸
先の「2)の認識」は、直上の真理値表による説明の通りです。詳しくは後で。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9C%9F%E7%90%86%E5%80%A4%E8%A1%A8
真理値表
(抜粋)
例1:命題Pの否定「 {\displaystyle \lnot P} \lnot P」の場合、以下のような真理値表になる。
命題 P ¬P
真 偽
偽 真
(引用終わり)

22132人目の素数さん2018/02/09(金) 16:52:23.80ID:+GSyCLQ+
>>21 自己レス
>なお、ここは後で詳しく説明します

では、改めて詳しく説明の書き直しを

前スレ >>568より(一部修正)
(前スレ>>195より)
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする.
Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である.
(引用終り)

定理1.7:<言い換え版>(前スレ>>523より)
f:R → R は、R−B_f が第一類集合であるとする。
このとき、f はある開区間の上でリプシッツ連続である。
(引用終り)

定理1.7のさらに言い換え版1 (前スレ>>577)
Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする
R−Bf:RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。
この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。(この部分は、”ある開区間(a,b)⊂Bfが存在する”と書ける)

定理1.7のさらに言い換え版2 (前スレ>>591)
<条件(仮定)>
・命題P’:「Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする」
・命題Q’:「R−Bf:RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。」
<結論>
・命題Q:「この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」(この部分は、”ある開区間(a,b)⊂Bfが存在する”と書ける)

(なお、当然ながら、R−Bfは性質NGを持つ。NGは、Gの否定である。当然GとNGは、相反する)

つづく

23132人目の素数さん2018/02/09(金) 16:53:43.55ID:+GSyCLQ+
>>22 つづき

ベールの第一類集合R−Bfについて、
1)R中稠密でない場合、
2)R中稠密な場合
に、二分できる。

1)の場合について、
命題Q’1:「R−Bf:RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。」
2)の場合について、
命題Q’2:「R−Bf:RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」

命題Q‘=Q’1∨Q’2 と書ける(場合分けできる)と言っているだけの話で、なんら作為的に¬Qを付加して、「P∧¬Q→Q」を主張しているわけではない

但し、命題Q’2の場合は、(R−Bfが稠密で)暗に”¬Q”(Bfの開区間の否定)を含意していて、みなさん、それを看過しているよと

つづく

24132人目の素数さん2018/02/09(金) 16:54:39.45ID:+GSyCLQ+
>>23 つづき

場合分けの2)の場合は
P’∧Q’2→Q
で、Q’2(稠密)が、”¬Q”(開区間の存在否定)を含意しているよと。

こうやって、性質Gを抽象化することで、数理の真相がよく分る
つまり、”性質G”は開集合が取れるかどうかには殆ど影響せず、”補集合 R−BfがR中で稠密か否かが決定的”だということ”を再度強調しておく

つづく

25132人目の素数さん2018/02/09(金) 17:00:43.18ID:+GSyCLQ+
>>24 つづき

(前スレ >>578より(一部修正))具体例で考えてみよう
ここで、ある性質Gで: f:R → R BfをRの部分集合で、Bf上関数fが連続とする
R−Bf上では、fは不連続
R−Bfが、ベールの第一類集合で、R中稠密である。このような関数の例として、有名なトマエ関数およびその類似関数がある
上記2)の場合のトマエ関数およびその類似関数においては、無理数で連続だが、fが連続な”開区間(a,b)⊂Bf”は、決して存在しない
だから、この場合、”定理1.7のさらに言い換え版”で性質Gを、連続 or 不連続に取った場合、トマエ関数およびその類似関数が反例になる

さて、ある性質G: f:R → R BfをRの部分集合で、Bf上fが不連続として
R−Bf上では、fは連続で
R−Bfが、ベールの第一類集合で、R中稠密であるこのような関数。
このような関数は存在しない。つまり、空集合。
∵函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり(Gδ-集合)であり、また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併(Fσ-集合)であるから。(後述wikipediaより)
但し、このような場合は、例外である。

多くの場合は、”補集合 R−BfがR中で稠密“な場合が可能であり、補集合 R−Bfは空集合ではない。

(なお、おそらく、リプシッツ連続とリプシッツ不連続についても、Gδ−Fσ理論が当てはまるように思うが、寡聞にして、そのような記述はまだ知らない。
がもし、これが正しければ、連続・不連続と同じように、リプシッツ不連続点で稠密で可算無限個の存在が可能ということになる。)

つづく

26132人目の素数さん2018/02/09(金) 17:02:16.79ID:+GSyCLQ+
>>25 つづき

一方で、1)の場合については、補集合が「R中稠密でない」から、“Q”(開集合の存在)を含意しているから、証明の必要もない。
(例えば、そのような例として、ディリクレ関数の変形で、1)整数点のみ1で、他は0の関数、2)有理数p/q で分母がある値m以下(q < m)でのみ1で、他は0の関数、3)区間[0,1] などなど、いろいろ考えられる。)

つづく

27132人目の素数さん2018/02/09(金) 17:05:40.56ID:+GSyCLQ+
>>26 つづき

これを纏めると
1)の場合については、補集合が「R中稠密でない」から、“Q”(開集合の存在)を含意しているから、証明の必要もない、トリビアな主張
2)の場合については、一般には、(例えば性質Gが“fが連続”)とした場合、稠密な補集合が存在し反例となるか、例外的に補集合が空集合になる。
(反例は、1例をあげればいいが、「例外的に補集合が空集合になる」ことはきちんと別に証明が必要だ。)
3)だから、定理1.7のような、「補集合がベールの第一類集合→”ある開区間(a,b)⊂Bfが存在する”」という形の定理は、まっとうな数学の定理として、相応しくない。

これを、もとの定理1.7について見るに、
性質G“Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ }”の補集合R−Bfが、(稠密で)開区間の反例として存在しうるのか、あるいは、「例外的に補集合が空集合になる」のか? そこは分らない。
>>25で述べたように、Gδ−Fσ理論が当てはまるなら、反例として存在しうるように思う。)

しかし、上記のような事情で、1)の場合については、証明の必要もないトリビアな主張だから、2)の場合だけをきちんと取り上げて、補集合R−Bfが、(稠密で)開区間の反例として存在しうるのか、あるいは、「例外的に補集合が空集合になる」のかだけを、定理として扱うべき。
2)の場合を、”ある開区間(a,b)⊂Bfが存在する”という形で扱うべきではない。

元の定理1.7では
2)の場合は、「P’∧Q’2(補集合が稠密)→P’∧Q’2(開区間(a,b)⊂Bfが存在しない)→Q(ある開区間(a,b)⊂Bfが存在する)」だ
だから、仮定命題がT(真)のとき、必ず結論命題がF(偽)になる。
命題全体が真になるためには、仮定命題がF(偽)で無ければならない。
そういう命題は、まっとうな数学の命題としては、相応しくない。

つづく

28132人目の素数さん2018/02/09(金) 17:10:04.54ID:+GSyCLQ+
>>27 つづき

あと、ここ
スレ50 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1516499937/602
602 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2018/02/08(木) 00:17:44.89 ID:c/0Ko5CH
(抜粋)
証明は既に終わっている。
定理1.7 により、定理1.7.2 は仮定が偽の命題であることが即座に従うw
(引用終わり)

その論法は、証明論としては、おかしい。
定理1.7.2は、定理1.7の場合分けした中の一つの場合だから、定理1.7が真とすれば、普通は条件(仮定)命題は“真”だ。

その場合分けの定理1.7.2の仮定も真で無ければならない。つまり、証明の場合分けは、仮定命題を細分化したものだからだ。
「定理1.7の仮定 =定理1.7.1の仮定 ∨ 定理1.7.2仮定」 なのだから、定理1.7の仮定が真で定理1.7.2の仮定が偽はありえない。(論理学の基本)

なお、命題「P’∧Q’2(開区間(a,b)⊂Bfが存在しない)→Q(ある開区間(a,b)⊂Bfが存在する)」は、数学の定理として証明できない。
これは、自明だと思うので、詳細は省略する。

つづく

29132人目の素数さん2018/02/09(金) 17:10:40.92ID:+GSyCLQ+
>>28 つづき

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
不連続性の分類
(抜粋)
トマエ函数は、全ての有理数の点で不連続だが、全ての無理数の点で連続である。
(引用終わり)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
不連続性の分類
(抜粋)
関数の不連続点の集合
函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり(Gδ-集合)である。また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併(Fσ-集合)である。
(引用終り)

以上

30132人目の素数さん2018/02/09(金) 17:19:22.31ID:+GSyCLQ+
>>26 訂正

3)区間[0,1] などなど、いろいろ考えられる。)
 ↓
3)区間[0,1] のみがディリクレ関数で他の区間はf=0、などなど、いろいろ考えられる。)

ああ、”息をするように間違言える”(>>20より)が当たっているな〜(^^;

31132人目の素数さん2018/02/09(金) 17:31:11.78ID:+GSyCLQ+
>>28 訂正

「定理1.7の仮定 =定理1.7.1の仮定 ∨ 定理1.7.2仮定」 なのだから、定理1.7の仮定が真で定理1.7.2の仮定が偽はありえない。(論理学の基本)
 ↓
「定理1.7の仮定 =定理1.7.1の仮定 ∪ 定理1.7.2仮定」 なのだから、定理1.7の仮定命題全体が真で、定理1.7.2の仮定が偽はありえない。(論理学の基本)

ああ、”息をするように間違言える”(>>20より)が当たっているな〜(^^;

32132人目の素数さん2018/02/09(金) 17:51:03.40ID:+GSyCLQ+
>>30 訂正の訂正

ああ、これも考えると、区間[0,1] が全部不連続区間になるので、
”内点を持たない閉集合”に反するね

なので、面倒だから、3)の場合は取り下げます

ああ、”息をするように間違言える”(>>20より)が当たっているな〜(^^;

33132人目の素数さん2018/02/09(金) 17:51:12.26ID:BQNskNAA
ヨーイ、ドン!!

三(卍^o^)卍ドゥルドゥル
三(卍^o^)卍ドゥルドゥル
三(卍^o^)卍ドゥルドゥル
三(卍^o^)卍ドゥルドゥル
三(卍^o^)卍ドゥルドゥル
三(卍^o^)卍ドゥルドゥル
三(卍^o^)卍ドゥルドゥル
三(卍^o^)卍ドゥルドゥル

ご苦労さまです。平昌の複合スキーですね(^^

>>32 補足

まあ、言いたかったことは・・

>>26で1)の場合については、補集合が「R中稠密でない」から、
ディリクレ関数の変形で、基本は無理数点でf=0で、有理数の適当に好きな数を選んで、稠密にならないようにf=1にして、他の有理数をf=0にしておく。

選んだ数と数の隙間が、性質G“Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ }”を満たす
(∵その隙間ではf≡0だから、lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|≡0 < +∞ は、明白で証明の必要もない )

逆に、「証明しました」というのも、おかしな話ということになる
上記の様に、人為的に任意の区間に不連続点を選べるから、言えるのは「不連続点と不連続点の隙間の区間が連続だ!」ということだけだし、それで尽くされている


36132人目の素数さん2018/02/09(金) 21:13:20.86ID:kBfmu0t4
>>21
>>>2)のR中稠密な場合は、定理1.7の命題は「 P∧ notQ → Q 」なので、証明不可能
>>>つまり、2)のR中稠密な場合においては、命題レベルで矛盾を含んでいるから、証明不可能
>>の2)の認識は間違いであることは飲み込めたでしょうか?
>
>いいえ。なお、ここは後で詳しく説明します
P∧¬Q->Q

P->Q
は同値な命題でありここを飲み込めていないのなら後の分析にコメントを付けても仕方ありません
(同値であるのは背理法によると理解することが出来ます)

37132人目の素数さん2018/02/09(金) 22:29:53.44ID:vPbEwl4H
結論 スレ主は命題の何たるかから勉強し直せ

38132人目の素数さん2018/02/09(金) 23:51:09.18ID:qQ+Q+Iw0
まず、性質G とかいうゴミのような書き方について整理しておく。

>命題P’:「Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする」
>命題Q:「R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」

この2行から分かるように、「性質G」という言葉は「集合」を修飾する言葉になっている
(厳密には、R の部分集合を修飾する言葉になっている)。たとえば、

「 B_f は性質Gを持つ」「 R−B_f は性質Gを持たない」「ある開区間は性質Gを持つ」

などなど。従って、性質Gは R の部分集合 X を与えるごとに決まる命題だと考えるべきであり、
「性質G」ではなく「命題 G(X) 」という書き方をすべきである。すなわち、

「 G(B_f) は真である 」「 G(R−B_f) は偽である 」「ある開区間(a,b)に対してG((a,b))は真である」

といった書き方をすべきである。この場合、命題P',Q',Q は次のように書ける。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
G(X): R の部分集合 X に対して定義された、何らかの命題
命題P’:「Bf :Rの部分集合で、G(B_f)は真である」
命題Q’:「R−Bf:RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。」
命題Q:「R中にある開区間(a,b)の上で、G((a,b))は真である」

P = P'∧Q'
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

39132人目の素数さん2018/02/09(金) 23:52:33.75ID:qQ+Q+Iw0
では、命題 G(X) として何を採用すれば、定理1.7の正しい言い換えになるのか?既に見たように、

G(X): f は X の上でリプシッツ連続である

とした場合、――あるいは、同じことだが、

G(X):∃L>0, ∀x,y∈X [ |f(x)−f(y)|≦ L|x−y|]

とした場合、

命題Q:「R中にある開区間(a,b)の上で、G((a,b))は真である」

は命題Qa(前スレ>>583)に一致する。しかし、

命題P’:「Bf :Rの部分集合で、G(B_f)は真である」

がおかしなことになる。なぜなら、

命題P’:「Bf :Rの部分集合で、fはB_fの上でリプシッツ連続である」

となってしまうからだ。定理1.7では、このような仮定は置いていない。また、一般論としても、
fはB_fの上で必ずしもリプシッツ連続にはならない。従って、G(X) を上記のようにしてしまうと、
定理1.7 の言い換えにはならない。では、どんな G(X) にすれば、定理1.7 の正しい言い換えになるのか?
俺は知らないw
スレ主とかいうゴミクズが勝手に導入しただけだから、真相はスレ主のみが知っているw

40132人目の素数さん2018/02/09(金) 23:54:32.95ID:qQ+Q+Iw0
>>25
>ここで、ある性質Gで: f:R → R BfをRの部分集合で、Bf上関数fが連続とする

この部分を G(X) という書き方で書き直すと、次の2種類に解釈できる。

・ G(X): Bf 上関数fが連続
・ G(X): X 上関数fが連続

それぞれの場合において、

命題Q:「R中にある開区間(a,b)の上で、G((a,b))は真である」

という命題は次のようになる。

・ 命題Q:「R中にある開区間(a,b)の上で、Bf上関数fは連続である」
・ 命題Q:「R中にある開区間(a,b)の上で、(a,b)上関数fは連続である」

どちらのケースの場合も、定理1.7 とは別物になっているので、
定理1.7 の正しい言い換えになっていないwww

定理1.7 の言い換えをしたいわけではなく、単に G(X) の一例を出しただけであるようにも読めるが、
そんなことをするよりも前に、まずは定理1.7の正しい言い換えが得られるような正しい G(X) を提示せよ。

41132人目の素数さん2018/02/09(金) 23:55:50.60ID:qQ+Q+Iw0
>>25
ちなみに、

>R−Bfが、ベールの第一類集合で、R中稠密である。このような関数の例として、有名なトマエ関数およびその類似関数がある

この部分は間違っている。トマエ関数及びその類似品は、R−B_f が第一類集合になってないからだ。

俺の言いつけどおり、P∧ notQ や P’∧Q’2 が真になるような f の具体例を
1つ挙げようとしている姿勢は認めてやるが、トマエ関数やその類似品では、
そのような f の具体例になってない。

ゆえに、お前のロジックは破綻したままである。

42132人目の素数さん2018/02/09(金) 23:57:26.73ID:qQ+Q+Iw0
>>25
>一方で、1)の場合については、補集合が「R中稠密でない」から、
>“Q”(開集合の存在)を含意しているから、証明の必要もない。

間違っている。確かに、R−B_f が R の中で稠密でないという性質からは
命題 Qa が導出できるが、その証明は全く自明ではなく、定理1.7 と
ほとんど同じことをしなければならないのである。お前は

「稠密でないケースでは証明の必要がなく、自明に Qa が従う」

と勘違いしている。稠密でないケースでさえも、証明が難しいのであり、
そのときの証明法は定理1.7とほとんど同じなのである。


>2)の場合については、一般には、(例えば性質Gが“fが連続”)とした場合、
>稠密な補集合が存在し反例となるか、例外的に補集合が空集合になる。
>(反例は、1例をあげればいいが、「例外的に補集合が空集合になる」ことはきちんと別に証明が必要だ。)

定理1.7 により、「例外的に補集合が空集合になる」ことは自動的に証明されているw

43132人目の素数さん2018/02/10(土) 00:00:49.75ID:63yzK8xX
>>25
>3)だから、定理1.7のような、「補集合がベールの第一類集合→”ある開区間(a,b)⊂Bfが存在する”」
>という形の定理は、まっとうな数学の定理として、相応しくない。

意味不明。命題が命題レベルで矛盾しているということと、その命題が
「まっとうな数学の定理として相応しい形状になっているか」ということとは
全く違う話である。お前は当初、「命題レベルで矛盾している」と主張していたのである。
にも関わらず、今回は

「まっとうな数学の定理として相応しい形状になっていない」

などという印象論に終始している。印象論で定理1.7を批判したところで、
それは定理1.7が「命題として矛盾している」ことを意味しないので、
結局お前は、定理1.7について何も批判できてないことになる。

44132人目の素数さん2018/02/10(土) 00:02:26.15ID:63yzK8xX
あるいは、次のように言ってもよい。

お前が定理1.7を「ふさわしくない」と思う理由は、R−B_f で場合分けしたときに、
(2)のケースが「 P∧ notQ → Q 」という形をしているからである。
そのことだけを理由に、定理1.7を「ふさわしくない」と言っているのである。
ならば、同じことを定理Cに適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理C:
f:R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。

スレ主:
前スレで導入した X_f を使って、R−X_f が R の中で稠密か否かで場合分けすると、

(1) f:R → R が原点で微分可能かつ R−X_f が R の中で稠密ではないならば、f は原点で連続である。
(2) f:R → R が原点で微分可能かつ R−X_f が R の中で稠密ならば、f は原点で連続である。

という2種類の命題に場合分けされる。しかし、R−X_f が R の中で稠密なら
f は原点で不連続なので、(2) は P∧ notQ → Q の形になってしまい、
まっとうな定理としての形になっていない。ゆえに、もともとの定理Cは
まっとうな数学の定理として、相応しくない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

↑これがお前の言っていることである。これは一体どういうことだね?

45132人目の素数さん2018/02/10(土) 00:03:41.61ID:63yzK8xX
>>28
>その論法は、証明論としては、おかしい。
>定理1.7.2は、定理1.7の場合分けした中の一つの場合だから、定理1.7が真とすれば、普通は条件(仮定)命題は“真”だ。
>その場合分けの定理1.7.2の仮定も真で無ければならない。つまり、証明の場合分けは、仮定命題を細分化したものだからだ。
>「定理1.7の仮定 =定理1.7.1の仮定 ∨ 定理1.7.2仮定」 なのだから、定理1.7の仮定が真で定理1.7.2の
>仮定が偽はありえない。(論理学の基本)

間違っている。お前のその屁理屈を定理Cに適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理C:
f:R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。

定理C1:
f:R → R が原点で微分可能かつ R−X_f が R の中で稠密ではないならば、f は原点で連続である。

定理C2:
f:R → R が原点で微分可能かつ R−X_f が R の中で稠密ならば、f は原点で連続である。

スレ主:
定理C2 は、定理Cの場合分けした中の1つの場合だから、定理Cが真とすれば、
普通は条件(仮定)命題は“真”だ。 その場合分けの定理C2の仮定も真で無ければならない。
つまり、証明の場合分けは、仮定命題を細分化したものだからだ。
「定理Cの仮定 =定理C1の仮定 ∨ 定理C2仮定」 なのだから、定理Cの仮定が真で
定理C2の仮定が偽はありえない。(論理学の基本)
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

↑このように、お前にとっては、「定理C2の仮定が偽はありえない」という。
これは一体どういうことだね?

46132人目の素数さん2018/02/10(土) 00:07:17.51ID:63yzK8xX
>>28
>なお、命題「P’∧Q’2(開区間(a,b)⊂Bfが存在しない)→Q(ある開区間(a,b)⊂Bfが存在する)」は、
>数学の定理として証明できない。これは、自明だと思うので、詳細は省略する。

間違っている。証明可能である。仮定が偽であることを示せば証明したことになるからだ。もしくは、

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/26-30
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/47-48

の方針でも証明可能である。

ちなみに、「仮定が偽であることを証明する」という方針の場合には、
どのように証明が進むのかというと、

「定理1.7により、仮定 P’∧Q’2 は偽である」

と書くだけ。これで証明が終わる。

47132人目の素数さん2018/02/10(土) 00:34:14.04ID:63yzK8xX
きちんと読んでいなかったレスがあるので追記する。

>>27
>これを、もとの定理1.7について見るに、
>性質G“Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ }”の補集合R−Bfが、
>(稠密で)開区間の反例として存在しうるのか、あるいは、「例外的に補集合が空集合になる」のか? そこは分らない。
>(>>25で述べたように、Gδ−Fσ理論が当てはまるなら、反例として存在しうるように思う。)

お前がそこで言っていることは結局、

「定理1.7が命題として真なのか偽なのかは現状のスレ主には分からない」

ということである。どうやらこのバカタレは、当初の主張である「命題レベルで矛盾」を
ようやく取り下げたらしい。

48132人目の素数さん2018/02/10(土) 00:38:39.88ID:63yzK8xX
>>27
>しかし、上記のような事情で、1)の場合については、証明の必要もないトリビアな主張だから、
>2)の場合だけをきちんと取り上げて、補集合R−Bfが、(稠密で)開区間の反例として存在しうるのか、
>あるいは、「例外的に補集合が空集合になる」のかだけを、定理として扱うべき。
>2)の場合を、”ある開区間(a,b)⊂Bfが存在する”という形で扱うべきではない。

ヘタクソな場合分けをするからそういう事態に陥るのであり、場合分けせずに
ダイレクトに証明すればいいだけの話である。そして、それを行っているのが定理1.7である。
あるいは、お前のその屁理屈を定理Cに適用すると、次のように言えてしまう。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理C:
f:R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。

スレ主:
f が原点で連続かどうかで場合分けすると、

(1) f:R → R が原点で微分可能かつ f が原点で連続ならば、f は原点で連続である。
(2) f:R → R が原点で微分可能かつ f が原点で不連続ならば、f は原点で連続である。

という2種類の命題に場合分けされる。(1)は証明の必要もないトリビアな主張だから、
(2)だけを取り上げて、「 f:R → R が原点で微分可能かつ f が原点で不連続 」という
関数 f が存在しうるのか否かを、定理として扱うべきである。
(2)の場合を「 f は原点で連続である」という形で扱うべきではない。

すなわち、定理C は、まっとうな数学の命題としては、相応しくない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

↑これがお前の言っていることである。スレ主にとって、定理Cはまっとうではないらしいw

これは一体どういうことだね?

49132人目の素数さん2018/02/10(土) 00:49:37.98ID:63yzK8xX
>>27
>元の定理1.7では
>2)の場合は、「P’∧Q’2(補集合が稠密)→P’∧Q’2(開区間(a,b)⊂Bfが存在しない)→Q(ある開区間(a,b)⊂Bfが存在する)」だ
>だから、仮定命題がT(真)のとき、必ず結論命題がF(偽)になる。
>命題全体が真になるためには、仮定命題がF(偽)で無ければならない。
>そういう命題は、まっとうな数学の命題としては、相応しくない。

お前がヘタクソな場合分けをするからそういう事態に陥るだけ。
「 P → Q 」の形をした如何なる定理であっても、イジワルな場合分けをすることで、
(2)に相当する「まっとうでない命題」が出現できる。次のようにすればよい。

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理:P → Q

スレ主:
上記の定理を証明したい。「 Q が成り立つ場合」「 ¬Q が成り立つ場合」で
場合分けすると、次のようになる。

(1) P∧Q → Q
(2) P∧¬Q → Q

(1)は証明の必要もないトリビアな主張だから、(2)だけを取り上げて、
仮定の「 P∧¬Q 」が真になりえるのか否かを、定理として扱うべきである。
(2)の場合を "P∧¬Q → Q" という形で扱うべきではない。

すなわち、上記の定理「 P → Q 」は、まっとうな数学の命題としては、相応しくない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

↑これがお前の言っていることである。
スレ主によれば、如何なる「 P → Q 」も、まっとうな数学の命題ではないらしいw

これは一体どういうことだね?

>>36
「ぷふ」さんですね

(引用)
「P∧¬Q->Q

P->Q
は同値な命題でありここを飲み込めていないのなら後の分析にコメントを付けても仕方ありません
(同値であるのは背理法によると理解することが出来ます)」
(引用終り)

>>18の「2)の認識は間違いであることは飲み込めたでしょうか?」は、それを言いたかったのか
その話は、P→Qという命題が成り立っているときに、外から¬Qを加えてP∧¬Q → Qとしても、元の命題P→Qを否定できないということなのでしょう?
それは分っていますよ

だが、いま問題にしているのは、
仮定命題Pを場合分けして、P = P1∨P2 と書けるという単純な話です

>>23より)
P1:R−Bf:RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。
P2:R−Bf:RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。

証明論における場合分けを否定されてもね
それを否定したら、教科書の何割かは書き直しでしょうね

以上

>>37
ご苦労さん(^^
>>50をご参照

>>38-49

一杯書いて、ご苦労さん(^^
時間がないので、個別レスは後で

言いたいことは、>>50に尽きる

「いま問題にしているのは、
仮定命題Pを場合分けして、P = P1∨P2 と書けるという単純な話です

>>23より)
P1:R−Bf:RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。
P2:R−Bf:RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。

証明論における場合分けを否定されてもね
それを否定したら、教科書の何割かは書き直しでしょうね」

ってこと

以上

53132人目の素数さん2018/02/10(土) 10:13:54.81ID:r+r4mis1
仮定命題って何?

54132人目の素数さん2018/02/10(土) 10:42:40.62ID:VcDtRhPJ
>>50
>その話は、P→Qという命題が成り立っているときに、外から¬Qを加えてP∧¬Q → Qとしても、元の命題P→Qを否定できないということなのでしょう?
>それは分っていますよ
それはよかった
ずっとそれを主張していて
証明を書いた人に指摘されていたのを理解していない風だったので
>だが、いま問題にしているのは、
>仮定命題Pを場合分けして、P = P1∨P2 と書けるという単純な話です
また若干異なった主張になっていますが現在のあなたの主張は
``P2->¬Qが真であるときP1∨P2->Qは偽である''
ということでしょうか?

55DJ学術 2018/02/10(土) 11:37:04.65ID:63PiesU1
ビドュアル 面で 、色覚変異、快走、回想する数学も楽しいよ。

>>53
>仮定命題って何?

http://home.hiroshima-u.ac.jp/fujita/index-jap.html
藤田 聡 広島大学
http://home.hiroshima-u.ac.jp/fujita/Class/Kisoron/2009.html
計算機基礎論のページ(2009年度版)

http://home.hiroshima-u.ac.jp/fujita/Class/Kisoron/logic.pdf
命題論理 藤田聡 広島大学(2009年度版)
(抜粋)
P14
(d) 含意(implication)あるいは条件式
?いまp,qを命題とする
?p→qを「pならばq」であることを主張する言明であると定義する
?pを仮定(hypothesis)又は前提(premise)と呼び、qを結論(conclusion)または帰結(consequence)と呼ぶ
(引用終り)

>>55
ご苦労さまです(^^

58132人目の素数さん2018/02/10(土) 20:42:33.50ID:r+r4mis1
>>56
俺が聞いてるのは「仮定」じゃなく「仮定命題」ね

ああ、今見ると>>21〜32のレスで、職場で書いたレスが、コテハンとトリップを付け忘れているね
失礼しました。これ、全部私スレ主のです。
専用ブラウザで一度設定するとずっと入るが、新スレのときにしばしば最初忘れて書いていることがあるがご容赦

>>58
私が言っているのは、「仮定命題」:=「仮定」(藤田聡)

>>54
「ぷふ」さんですね

>ずっとそれを主張していて
>証明を書いた人に指摘されていたのを理解していない風だったので

それは失礼しました。私は、自分としては、最初から、条件を付け加えるつもりは無く、あくまで場合分けを主張していたつもりです。
例えば、スレ49 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/19 より下記
19 自分:現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日:2017/12/28(木) 07:49:07.81 ID:IsA0R4yK
(抜粋)
第一類集合に、R中で稠密な場合と、稠密でない場合とあるとする。
場合分けが必要だろう?
補集合R-Bfが、R中で稠密な場合を仮定として置きながら、結論で”f は(a; b) 上でリプシッツ連続である”を導くのは、なんか変
(引用終り)

つづく

>>61 つづき

>>仮定命題Pを場合分けして、P = P1∨P2 と書けるという単純な話です
>また若干異なった主張になっていますが現在のあなたの主張は
>``P2->¬Qが真であるときP1∨P2->Qは偽である''
>ということでしょうか?

そう難しく考えて貰う必要はないと思います。単純な証明論の場合分けですから
「仮定命題Pを場合分けして、P = P1∨P2 と書けるという単純な話です
>>23より)
P1:R−Bf:RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。
P2:R−Bf:RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」

なお、下記 命題論理 藤田聡 広島大学のPDFの”proof by cases”ご参照

http://home.hiroshima-u.ac.jp/fujita/Class/Kisoron/logic.pdf
命題論理 藤田聡 広島大学(2009年度版)
(抜粋)
<証明手法>
P85
proof by cases
(p1∨p2∨・・・∨pn)→q
を示すのに
(p1→q)∧(p2→q)∧・・・∧(pn→q)
を示す
(引用終り)

つづく

>>62 つづき

>>22-23の記法に戻します
(抜粋)
定理1.7のさらに言い換え版2 (前スレ>>591)
<条件(仮定)>
・命題P’:「Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする」
・命題Q’:「R−Bf:RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合であるとする。」
<結論>
・命題Q:「この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」(この部分は、”ある開区間(a,b)⊂Bfが存在する”と書ける)
(なお、当然ながら、R−Bfは性質NGを持つ。NGは、Gの否定である。当然GとNGは、相反する)

ベールの第一類集合R−Bfについて、
1)R中稠密でない場合、
2)R中稠密な場合
に、二分できる。

1)の場合について、
命題Q’1:「R−Bf:RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。」
2)の場合について、
命題Q’2:「R−Bf:RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
(引用終り)

2)の場合について、書き直すと
<条件(仮定)>
・命題P’:「Bf :Rの部分集合で、ある性質Gを持つとする」
・命題Q’2:「R−Bf:RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
<結論>
・命題Q:「この条件下で、R中にある開区間の上で、性質Gを持つ。」

ここで、仮定命題のQ’2:”Bfの補集合が、ベールの第一類集合で、R中稠密である”ことから、すでに「R中に、性質Gを持つ開区間は取れない」が、含意されています
なので、「P’∧Q’2 → ¬Q」がもっとも素直な結論。逆に「P’∧Q’2 → Q」を、証明することは、”無理筋”だという主張です。

以上

64132人目の素数さん2018/02/10(土) 21:38:31.78ID:/DEG9oIc
「:=」
↑ネットで時々見かけるこの記号って何なんだろう?

65132人目の素数さん2018/02/10(土) 21:43:20.76ID:r+r4mis1
>>60
>私が言っているのは、「仮定命題」:=「仮定」(藤田聡)
「仮定命題」は「命題」や否や?

66132人目の素数さん2018/02/10(土) 21:55:51.52ID:63yzK8xX
>>61
>第一類集合に、R中で稠密な場合と、稠密でない場合とあるとする。
>場合分けが必要だろう?
>補集合R-Bfが、R中で稠密な場合を仮定として置きながら、結論で”f は(a; b) 上でリプシッツ連続である”を導くのは、なんか変

その屁理屈は過去スレで既に論破しているので通用しない。本当にゴミクズだなお前。いい加減にしろや。

過去スレの繰り返しになるが、改めて指摘しよう。
お前の その屁理屈を定理Cに適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理C:
f:R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。

スレ主:
f が原点で連続な場合と、そうでない場合とがある。
場合分けが必要だろ?
f が原点で不連続な場合を仮定として置きながら、結論で " f は連続 " を道部くのは、なんか変
ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形ではない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

↑これがお前の言っていることだよ。これは一体どういうことだね?

67132人目の素数さん2018/02/10(土) 21:57:29.74ID:63yzK8xX
>>61

あるいは、次のようにも言える。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理C:
f:R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。

スレ主:
過去スレで導入した X_f を使ってみる。
R−X_f がR中で稠密なら、f は原点で不連続になることに注意せよ。

さて、R−X_f がR中で稠密な場合と、稠密でない場合とがある。
場合分けが必要だろう?
補集合 R−X_f が、R中で稠密な場合を仮定として置きながら、結論で”f は原点で連続である”を導くのは、なんか変
ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形ではない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

↑これがお前の言っていることだよ。これは一体どういうことだね?

68132人目の素数さん2018/02/10(土) 21:59:47.10ID:63yzK8xX
>>63
>ここで、仮定命題のQ’2:”Bfの補集合が、ベールの第一類集合で、R中稠密である”ことから、
>すでに「R中に、性質Gを持つ開区間は取れない」が、含意されています
>なので、「P’∧Q’2 → ¬Q」がもっとも素直な結論。逆に「P’∧Q’2 → Q」を、証明することは、”無理筋”だという主張です。

全く無理筋ではない。仮定が偽であることを証明すればいいだけ(>>46)。
あるいは、お前の屁理屈を定理Cに適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理C:
f:R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。

スレ主:
f が原点で連続な場合と、そうでない場合とがある。場合分けが必要だろ?
しかし、f が原点で不連続な場合は、

「 fが原点で微分可能 ∧ f は原点で不連続 → fは原点で不連続 」

がもっとも素直な結論。逆に

「 fが原点で微分可能 ∧ f は原点で不連続 → fは原点で連続 」

を証明することは "無理筋" である。
ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形ではない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

↑これがお前の言っていることだよ。これは一体どういうことだね?

69132人目の素数さん2018/02/10(土) 22:03:39.00ID:63yzK8xX
くどいようだが、スレ主の屁理屈を一般の「 P → Q 」に適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理:P → Q

スレ主:
上記の定理を証明したい。
Q が成り立つ場合と、¬Q が成り立つ場合とがある。
場合分けが必要だろ?
しかし、¬Q が成り立つ場合を仮定として置きながら、結論で「 Q 」を導くのは、なんか変

ゆえに、上記の定理「 P → Q 」は、数学の命題としてふさわしい形ではない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――

あるいは、次のようにもなる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理:P → Q

スレ主:
上記の定理を証明したい。
Q が成り立つ場合と、¬Q が成り立つ場合とがある。
場合分けが必要だろ?
しかし、¬Q が成り立つ場合は、「 P∧¬Q → ¬Q 」がもっとも素直な結論。
逆に「 P∧¬Q → Q 」を証明することは "無理筋" である。

ゆえに、上記の定理「 P → Q 」は、数学の命題としてふさわしい形ではない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――

↑これがお前の言っていることだよ。これは一体どういうことだね?

>>64

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%A8%98%E5%8F%B7%E3%81%AE%E8%A1%A8
数学記号の表
(抜粋)
記号論理の記号

:= 定義

(引用終り)

>>65
「仮定命題」⊂「命題」
です

>>38-41

ここは、>>61-63ご参照

つづく

73132人目の素数さん2018/02/10(土) 22:18:14.29ID:r+r4mis1
>>71
>「仮定命題」⊂「命題」
命題の定義を述べよ

>>72 つづき

>>42
>定理1.7 により、「例外的に補集合が空集合になる」ことは自動的に証明されているw

それは言えないだろう?
>>63 に書いたように、
”仮定命題のQ’2:”Bfの補集合が、ベールの第一類集合で、R中稠密である”ことから、すでに「R中に、性質Gを持つ開区間は取れない」が、含意されています
なので、「P’∧Q’2 → ¬Q」がもっとも素直な結論。逆に「P’∧Q’2 → Q」を、証明することは、”無理筋”だという主張です。”

なお、仮定が偽な命題は、論理学としは成り立っても、それを教科書や論文に書いては、話がおかしい
前スレ >>562 桂田祐史先生 数理リテラシー 例1.6 ”「1 + 1 = 3 → √2は有理数」は真。”などと書かれてもね〜
「1 + 1 = 3 → 偽」なら数学としては分る。まあ、文学表現では「二人が力を合わせれば、1 + 1 = 3 だ」などというかもしれませんがね

なお、”空集合”について
前提を実数の範囲に限定しているなら、「x^2 = m で、x = ±√m 」は正しくない命題。(mの正負に応じ、場合分けすべき)
一方、「x^2 = m で m が負ならば、実数解は存在しない(空集合)」は、正しい命題。
なので、”空集合”を言いたいなら、場合分け命題できちんと証明すべき

<参考>
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/
桂田祐史の講義のサポート・ページ
http://nalab.mind.meiji.ac.jp/~mk/lecture/literacy-2017/logic.pdf
数理リテラシー (2017年度) 講義ノート「Part 1 論理」
(抜粋)
P11
例1.6 「1 + 1 = 3 → √2は有理数」は真。
(引用終り)

つづく

>>74 つづき

>>43-44
ここは、上記 桂田祐史先生 ”例1.6 「1 + 1 = 3 → √2は有理数」は真”をご参照
こんな命題を、それが真だからと、論文や教科書に載せる人はいない

つづく

>>75 つづき

>>45 & >>67-68

その定理Cは、的外れ
私が言っていることは、>>62の命題論理 藤田聡 広島大学
(抜粋)
<証明手法>
P85
proof by cases
(p1∨p2∨・・・∨pn)→q
を示すのに
(p1→q)∧(p2→q)∧・・・∧(pn→q)
を示す
(引用終り)

ってこと。定理Cは、場合分けとは違う

つづく

>>76 つづき

>>46
>間違っている。証明可能である。仮定が偽であることを示せば証明したことになるからだ。

ここは、上記 >>74 ”「1 + 1 = 3 → √2は有理数」は真。”ご参照

>「定理1.7により、仮定 P’∧Q’2 は偽である」
>と書くだけ。これで証明が終わる。

ここは、上記 >>76 場合分けご参照。
なお、証明の場合分けに対し、その論法は典型的な循環論法だろう

つづく

>>77 つづき

>>47
>「定理1.7が命題として真なのか偽なのかは現状のスレ主には分からない」
>ということである。どうやらこのバカタレは、当初の主張である「命題レベルで矛盾」を
>ようやく取り下げたらしい。

違うよ。定理1.7は、数学の命題として、適切で無いという主張は取り下げていないよ

これと、”(稠密で)開区間の反例として存在しうるのか、あるいは、「例外的に補集合が空集合になる」のか? そこは分らない。”という主張とは別物だよ
(上述の通り)

つづく

>>78 つづき

>>48-49 & >>69

その定理Cの例示は、証明論の場合分けを曲解しているだけのことだろ
上記>>62の命題論理 藤田聡 広島大学 <証明手法> P85 proof by cases をご参照

以上

>>73
>>「仮定命題」⊂「命題」
>命題の定義を述べよ

>>56より
http://home.hiroshima-u.ac.jp/fujita/Class/Kisoron/logic.pdf
命題論理 藤田聡 広島大学(2009年度版)
(抜粋)
P14
(d) 含意(implication)あるいは条件式
いまp,qを命題とする
p→qを「pならばq」であることを主張する言明であると定義する
pを仮定(hypothesis)又は前提(premise)と呼び、qを結論(conclusion)または帰結(consequence)と呼ぶ
(引用終り)

以上

81132人目の素数さん2018/02/10(土) 22:28:37.86ID:63yzK8xX
>>72
>それは言えないだろう?

言える。定理1.7 により、R−B_f が第一類集合なら、f はある開区間の上でリプシッツ連続なので、

「 R−B_f が第一類集合かつ R−B_f はRの中で稠密 」

という性質を満たす f は存在しないことになる。すなわち、P’∧Q’は偽である。
ゆえに、「 P’∧Q’→ Q 」は真である。

無理筋でも何でもない。お前がバカなだけ。

>>76
>定理Cは、場合分けとは違う

・ fが原点で連続である場合と、そうでない場合とがある。 場 合 分 け が 必 要 だ ろ ?
・ R−X_f がR中で稠密である場合と、そうでない場合とがある。 場 合 分 け が 必 要 だ ろ ?

前者のやり方で場合分けした場合、f が原点で不連続な場合に結論で "fは連続" を導くのは、なんか変。
後者のやり方で場合分けした場合、R−X_f がR中で稠密な場合に結論で "fは連続" を導くのは、なんか変。
ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形をしていない。

これは一体どういうことだね?

82132人目の素数さん2018/02/10(土) 22:31:59.64ID:63yzK8xX
>>77
>>「定理1.7により、仮定 P’∧Q’2 は偽である」
>>と書くだけ。これで証明が終わる。
>ここは、上記 >>76 場合分けご参照。
>なお、証明の場合分けに対し、その論法は典型的な循環論法だろう

それが循環論法に見えるのなら、お前にとって、
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理C2:
f が原点で微分可能であり、f が原点で不連続ならば、f は原点で連続である
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
という定理は一体どうやって証明するつもりだね?
この定理C2 は、仮定が偽の命題であるから、仮定が偽であることを示せば証明が終わるわけだが、
そのためにお前は、いったいどのような論法を使って仮定が偽であることを示すつもりだね?

普通の人間は、「定理C により、仮定は偽である」と書けば終わりだが、お前にとってこれは循環論法なんだろ?
だったら、いったいどのような論法を使って仮定が偽であることを示すつもりだね?

83132人目の素数さん2018/02/10(土) 22:33:55.50ID:63yzK8xX
>>79
>その定理Cの例示は、証明論の場合分けを曲解しているだけのことだろ

・ 定理C について、fが原点で連続である場合と、そうでない場合とがある。 場 合 分 け が 必 要 だ ろ ?
・ 定理C について、R−X_f がR中で稠密である場合と、そうでない場合とがある。 場 合 分 け が 必 要 だ ろ ?

↑これが曲解に見えるのなら、お前が言うところの

・ 定理1.7 について、R−B_f がR中で稠密である場合と、そうでない場合とがある。 場 合 分 け が 必 要 だ ろ ?

↑これは一体どうして曲解ではないのかね?書き並べてみようか?

・ 定理C  について、R−X_f がR中で稠密である場合と、そうでない場合とがある。 場 合 分 け が 必 要 だ ろ ?
・ 定理1.7 について、R−B_f がR中で稠密である場合と、そうでない場合とがある。 場 合 分 け が 必 要 だ ろ ?

↑両者の違いは一体どこにあるのだね?

スレ主によれば、定理C の場合は曲解なのに、定理1.7 の場合は曲解ではないという。バカじゃねーの。

84132人目の素数さん2018/02/10(土) 22:50:09.86ID:r+r4mis1
>>80
零点
命題の定義を全く述べてないので

85132人目の素数さん2018/02/10(土) 22:53:08.04ID:r+r4mis1
結論 スレ主は命題の定義すら知らないアホでした

86132人目の素数さん2018/02/10(土) 23:13:26.51ID:63yzK8xX
同じことの繰り返しになるが、追記する。

>>50
>だが、いま問題にしているのは、
>仮定命題Pを場合分けして、P = P1∨P2 と書けるという単純な話です

定理C の場合にも、
―――――――――――――――――――――――
P: f は原点で微分可能
Q: f は原点で連続

P1:f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P2:f は原点で微分可能かつfは原点で不連続
―――――――――――――――――――――――

と置けば、P = P1∨P2 と書けるという単純な話である。そして、

「 P2 の場合に「 P2 → Q 」を導くのは、なんか変。ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形ではない」

と言っているのがお前である。お前はここで「そのような場合分けは曲解である」などと批判しているが、
それは単なる印象論であり、「そのような場合分けは数学的に矛盾している」と言えているわけではないので、
何の批判にもなっていない。それとも、お前にとって P = P1∨P2 は成り立たないのか?
つまり、お前にとって P = P1∨P2 は数学的に矛盾しているのか?

87132人目の素数さん2018/02/10(土) 23:16:22.25ID:VcDtRhPJ
>>62
>そう難しく考えて貰う必要はないと思います。単純な証明論の場合分けですから
いえ
別に難しく考えているわけではなく
あなたの主張のどこが間違いかを指摘するかに必要なことをお尋ねしているだけのことです

88132人目の素数さん2018/02/10(土) 23:18:10.97ID:VcDtRhPJ
あなたを強烈に批判している件の証明を書いた人は
正鵠を射る指摘しかしていませんよ

89132人目の素数さん2018/02/10(土) 23:20:18.87ID:63yzK8xX
>>50
>P1:R−Bf:RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。
>P2:R−Bf:RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。

>証明論における場合分けを否定されてもね
>それを否定したら、教科書の何割かは書き直しでしょうね

お前のその言い分は、定理C にも完全に適用できるw
―――――――――――――――――――――――――――
P1:f は原点で微分可能で、fは原点で連続である、とする
P2:f は原点で微分可能で、fは原点で連続でない、とする
―――――――――――――――――――――――――――

お前は、このような場合分けを「曲解である」と言って否定しているが、
証明論における場合分けを否定されてもねw
それを否定したら、教科書の何割かは書き直しでしょうねw
実際、上記のように作った P1, P2 に対して、P=P1∨P2 は確実に成り立ってるからね。それを否定されてもねw

書き並べてみようか?
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
P1:R−Bf:RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。
P2:R−Bf:RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。

P1:f は原点で微分可能で、fは原点で連続である、とする
P2:f は原点で微分可能で、fは原点で連続でない、とする
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

どちらのケースでも、「仮定命題Pを場合分けして、P = P1∨P2 と書けるという単純な話です」

「証明論における場合分けを否定されてもね」

「それを否定したら、教科書の何割かは書き直しでしょうね 」

90132人目の素数さん2018/02/10(土) 23:35:41.57ID:/DEG9oIc
>>80は「仮定」や「結論」の定義ですらない。

91132人目の素数さん2018/02/10(土) 23:45:51.34ID:VcDtRhPJ
>>61
>それは失礼しました。私は、自分としては、最初から、条件を付け加えるつもりは無く、あくまで場合分けを主張していたつもりです。
場合分けという手法も
単に仮定に条件を付け加えて分類しているだけのことです
P->Qの仮定にP∧¬Q->Qと条件を付け加えてもP->Qと同値であって
付け加える価値はないし付け加えても何の問題もないということを
件の証明を書いた人は再三指摘していたわけです

92132人目の素数さん2018/02/10(土) 23:47:51.67ID:VcDtRhPJ
>>90
君は黙っていた方が他の人々同様に頭の悪いことを露見せずに済むと思いますよ

93132人目の素数さん2018/02/10(土) 23:55:12.81ID:jPjDkYQd
>>92
尻馬

94132人目の素数さん2018/02/10(土) 23:57:41.49ID:jPjDkYQd
>>88
> あなたを強烈に批判している件の証明を書いた人は
> 正鵠を射る指摘しかしていませんよ

ちなみにその人の意見は オマエ=ぷ の結論『時枝記事の確率は0』に真っ向から対立してるよw

95132人目の素数さん2018/02/11(日) 00:22:30.80ID:pNRQvEC+
時枝不成立なんて未だに考えてるアホがいるんだなw
命題の定義すら知らないサル以外にもw

96132人目の素数さん2018/02/11(日) 04:16:16.50ID:iitriliU
>>92
>>80が定義しているのはp→q(不完全だが)

>>96

>>56より
http://home.hiroshima-u.ac.jp/fujita/Class/Kisoron/logic.pdf
命題論理 藤田聡 広島大学(2009年度版)
(抜粋)
P14
(d) 含意(implication)あるいは条件式
いまp,qを命題とする
p→qを「pならばq」であることを主張する言明であると定義する
pを仮定(hypothesis)又は前提(premise)と呼び、qを結論(conclusion)または帰結(consequence)と呼ぶ
(引用終り)

命題とは、p→qを「pならばq」であることを主張する言明であると定義したときの、PとQである

98132人目の素数さん2018/02/11(日) 10:16:26.12ID:pNRQvEC+
>>97
>命題とは、p→qを「pならばq」であることを主張する言明であると定義したときの、PとQである
零点

>>98
ありがとう

命題とは、p→qを「pならばq」であることを主張する言明であると定義したときの、PとQである

PとQを、命題と呼ぶのは、歴史の産物でしかない

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%91%BD%E9%A1%8C
命題

命題(めいだい、英語: proposition)とは、論理学において判断を言語で表したもので、真または偽という性質をもつもの[1][2]。また数学で、真偽の判断の対象となる文章または式。定理または問題のこと[3]。西周による訳語の一つ[4][5]。

厳密な意味での命題の存在は、「意味」の存在と同様に、疑問を投げかける哲学者もいる。また、「意味」の概念が許容される場合にあっても、その本質は何であるかということにはなお議論のあるところである。古い文献では、語の集まりあるいはその語の集まりの表す「意味」という意味で命題という術語を用いているかどうかということが、つねに十分に明らかにされているわけではなかった[6]。

現在では、論争や存在論的な含みを持つことを避けるため、ある解釈の下で(真か偽のいずれであるかという)真理の担い手となる記号列自体について述べる時は、「命題」という代わりに「文 (sentence)」という術語を用いる。ストローソンは「言明 ("statement")」 という術語を用いることを提唱した。
(引用終り)

>>42 戻る

>>一方で、1)の場合については、補集合が「R中稠密でない」から、
>>“Q”(開集合の存在)を含意しているから、証明の必要もない。

>「稠密でないケースでは証明の必要がなく、自明に Qa が従う」
>と勘違いしている。稠密でないケースでさえも、証明が難しいのであり、
>そのときの証明法は定理1.7とほとんど同じなのである。

稠密集合:位相空間 X の部分集合 A が X において稠密であるとは、X の各元 x に対し、x の任意の近傍が A の元を少なくとも一つ含むことをいう。(下記)
なので、稠密でないケースでは、「X のある元 x に対し、x のある近傍で ”A の元を一つも含まないもの”が存在する」
その近傍内は、全てBf であり、性質G:=“Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ }”を満たす
この近傍内に、定理1.7のある開区間を取れば良い
QED

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%A8%A0%E5%AF%86%E9%9B%86%E5%90%88
稠密集合
(抜粋)
厳密な定義
位相空間 X の部分集合 A が X において稠密であるとは、X の各元 x に対し、x の任意の近傍が A の元を少なくとも一つ含むことをいう。
(引用終り)

>>81
”言える。定理1.7 により、R−B_f が第一類集合なら、f はある開区間の上でリプシッツ連続なので、
「 R−B_f が第一類集合かつ R−B_f はRの中で稠密 」
という性質を満たす f は存在しないことになる。すなわち、P’∧Q’は偽である。
ゆえに、「 P’∧Q’→ Q 」は真である。”

だから、それだったら、
1)稠密でない場合は自明に定理1.7が、成立(上記 >>100 ご参照)
2)稠密でない場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立(仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない)
ということですね

>>82-83 & >>86 & >>89
>定理C2:
>f が原点で微分可能であり、f が原点で不連続ならば、f は原点で連続である

その定理C2は、的外れ
私が言っていることは、>>62の命題論理 藤田聡 広島大学のproof by cases(>>76

f が原点で微分可能の場合分けには、
「f が原点で不連続ならば」は存在しない

>>87
「ぷふ」さん、ご苦労さまです

>>88
>あなたを強烈に批判している件の証明を書いた人は
>正鵠を射る指摘しかしていません

はい
回答は上記>>102 です

>>91
>場合分けという手法も
>単に仮定に条件を付け加えて分類しているだけのことです

いいえ
R−Bf が R中で稠密か稠密でないかは、Bfが開区間を有するか否かに決定的に影響します
>>101 ご参照

以上

>>101 訂正

2)稠密でない場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立(仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない)
 ↓
2)稠密な場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立(仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない)

間違いが多いな。息をしたからかな(^^

107132人目の素数さん2018/02/11(日) 11:14:19.86ID:pNRQvEC+
>>99
何が言いたいのか意味不明
命題の定義(だけ)を述べよ、余計な付け足しは減点対象となることを注意しておく

108132人目の素数さん2018/02/11(日) 11:20:31.40ID:pNRQvEC+
スレ主の成績表
本試験 零点
追試1回目 零点
追試2回目 零点

コピペしてこのザマ

109132人目の素数さん2018/02/11(日) 11:23:19.46ID:sJak3l1o
>>100
>その近傍内は、全てBf であり、性質G:=“Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ }”を満たす
>この近傍内に、定理1.7のある開区間を取れば良い
>QED

息をするように間違えるゴミクズ。問題外。

(a,b)⊂Bf なる開区間を取ったとする。
f が (a,b) 上でリプシッツ連続になるかどうかを考えたい。すなわち、

∃L>0, ∀y,z∈(a,b) [ |f(z)−f(y)|≦L|z−y|] … (1)

が成り立つかどうかを考えたい。まず、(a,b)⊂Bf であるから、任意の x∈(a,b) に対して
Af(x)<+∞ は言えている。よって、Af(x)<N を満たす正の実数 N を1つ取れば、y が x に十分近いところでは

|f(y)−f(x)|≦ N|y−x|

が成り立つことが言える。このことを、やや雑な書き方で表現すると、感覚的には

「 y が x に十分近ければ |f(y)−f(x)|≦ Af(x)|y−x|が成り立つ 」

ということである。しかし、Af(x) は x∈(a,b) を動かすごとに「有限値」であるに過ぎないので、
x∈(a,b) を動かしたときの Af(x) が (1) のような一様に有界な L で抑えられるという保証はどこにもない。
ゆえに、単に (a,b)⊂Bf なる開区間を取っただけでは、(1) が成り立つとは言えず、
リプシッツ連続な開区間が取れるかどうかは分からなくなる。

だから、お前のやり方では何も言えてない。ゴミ。

[続く]

110132人目の素数さん2018/02/11(日) 11:25:05.68ID:sJak3l1o
[続き]

実際の証明法は、(a,b)⊂Bf なる開区間を取ったとき、B_f ⊂ ∪_{N,M≧1} B_{N,M} と合わせて

(a,b) ⊂ ∪_{N,M≧1} B_{N,M}

ということになるので、ベールのカテゴリ定理の開区間版を使うことにより、ある B_{N,M} は内点を持つことになる。
特に、(c,d)⊂B_{N,M} なる開区間 (c,d) が取れる。必要なら(c,d)内の更に小さな区間に差し替えることで、
d−c<1/M かつ(c,d)⊂B_{N,M} が成り立つとしてよい。このとき、f は (c,d) 上でリプシッツ連続になることが言える。

(a,b)⊂B_f のときと (c,d)⊂B_{N,M} とで何が違うのかというと、前者では x∈(a,b) ごとに Af(x) が
「有限値」であるに過ぎず、Af(x) が一様に有界かどうかが分からなかったのに対し、後者では
x∈(c,d) ごとに Af(x)≦N となっているので、Af(x) が一様に有界なのであり、それゆえに上手く行くのである。

このような事情をお前は全く理解しておらず、単に「 (a,b)⊂B_f 」とするだけで
リプシッツ連続の証明が終わると思い込んでいるバカがお前である。問題外。レベルが低すぎる。

ちなみに、上記の手法をより一般的な状況下で使ったのが定理1.7である。

111132人目の素数さん2018/02/11(日) 11:33:09.67ID:sJak3l1o
>>102
> f が原点で微分可能の場合分けには、
>「f が原点で不連続ならば」は存在しない

詭弁である。「仮定が偽でなる」ことと、「場合分けとして存在しない」こととを混同している。
―――――――――――――――――――――――
P: f は原点で微分可能
Q: f は原点で連続

P1:f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P2:f は原点で微分可能かつfは原点で不連続

P = P1∨P2
―――――――――――――――――――――――

↑ほらね。「場合分け P2 」は存在してるだろ? P2 は偽になっているだけであって、
場合分けとしては確実に「場合分け P2 」が存在してるだろ?

112132人目の素数さん2018/02/11(日) 11:37:15.16ID:sJak3l1o
>>102
それとも、お前が定理Cを場合分けすると、次のようになるわけか?
―――――――――――――――――――――――
P: f は原点で微分可能
Q: f は原点で連続

P1:f は原点で微分可能かつfは原点で連続

P = P1
―――――――――――――――――――――――

これのどこが「場合分け」なんだよw
P という仮定から出発してまだ何もしてないのに、
どうしてその時点での場合分けが P1 だけになるんだよw
P2 が起こり得ないことを証明しなければ P = P1 は示せないだろw
なんで勝手に P2 が消滅して P1 だけになって P = P1 になってるんだよw

P という仮定から出発して、その時点で無意識のうちに定理Cを適用してしまって、
それゆえにスレ主が自分勝手に P2 というケースを抹消してるだけだろw

113132人目の素数さん2018/02/11(日) 11:40:52.85ID:sJak3l1o
>>112 のような芸当が許されるなら、俺だって次のようにするよw
―――――――――――――――――――――――――――――――
P: R−B_f は第一類集合
Q: f はある開区間の上でリプシッツ連続

P1:f は原点で微分可能かつ f はある開区間の上でリプシッツ連続

P = P1
―――――――――――――――――――――――――――――――

↑なぜこの "場合分け" で P2 に相当するケースが存在しないのかというと、
お前の屁理屈と同様に、P という仮定から出発して、その時点で無意識のうちに
定理1.7を適用することで、P2 に相当するケースを抹消したからであるw

これがお前のやっていることだよ。論理がメチャクチャ。

114132人目の素数さん2018/02/11(日) 11:49:19.53ID:sJak3l1o
くどいようだが、もう一度言うよ。
―――――――――――――――――――――――
P: f は原点で微分可能
Q: f は原点で連続

P1:f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P2:f は原点で微分可能かつfは原点で不連続

P = P1∨P2
―――――――――――――――――――――――
このように、定理C での上記の場合分けにおいて、「 場合分け P2 」というケースは確実に存在している。
P2 という仮定が偽になっているだけであって、場合分けとしての「 場合分け P2 」は確実に存在している。
そして、お前は次のように主張するのである。

「 P2 の場合に「 P2 → Q 」を導くのは、なんか変。ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形ではない」

しかし、これはお前にとって都合が悪いので、お前は次のような詭弁を使ったのだった。

「定理Cでは "場合分けP2" というケースそのものが存在しない」

115132人目の素数さん2018/02/11(日) 11:51:58.03ID:sJak3l1o
しかし、"場合分けP2" そのものが存在しないのであれば、
お前にとっての定理Cの場合分けは次のようになってしまう。
―――――――――――――――――――――――
P: f は原点で微分可能
Q: f は原点で連続

P1:f は原点で微分可能かつfは原点で連続

P = P1
―――――――――――――――――――――――
これのどこが「場合分け」なんだよw
P という仮定から出発してまだ何もしてないのに、どうしてその時点での場合分けが P1 だけになるんだよw
P = P1 という等号にしたって、P2 が偽であることを証明しなければ P = P1 は出て来ないだろw
なんで何もしてない段階で勝手に P2 が消滅して P1 だけになってるんだよw
P という仮定から出発して、その時点で無意識のうちに定理Cを適用してしまって、
それゆえにスレ主が勝手に P2 というケースを抹消してるだけだろw

そんな芸当が許されるなら、俺だって定理1.7を適用することで次のようにするぞ。
―――――――――――――――――――――――――――――――
P: R−B_f は第一類集合
Q: f はある開区間の上でリプシッツ連続

P1:f は原点で微分可能かつ f はある開区間の上でリプシッツ連続

P = P1
(P2 に相当するケースは存在しない)
―――――――――――――――――――――――――――――――

…というように、スレ主とかいうゴミクズは論理が滅茶苦茶である。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。

116132人目の素数さん2018/02/11(日) 12:13:43.23ID:sJak3l1o
少し戻るが、>>109 について1つ補足しておこう。

(a,b)⊂Bf なる開区間を取ったとする。f が (a,b) 上でリプシッツ連続になるかどうかを考えたい。すなわち、

∃L>0, ∀y,z∈(a,b) [ |f(z)−f(y)|≦L|z−y|] … (1)

が成り立つかどうかを考えたい。つまり、我々のここでの目標は、

「 (a,b)⊂Bf という条件のもとで、(1)を示したい 」

ということである。
――――――――――――――――――――――――――――――――
ここで、もし(1)が成り立つなら何が起きるのかを、「先に」考えてみよう。
もし(1)が成り立つなら、簡単な考察により、

∀x∈(a.b) [ A_f(x)≦L ]

が成り立つことが分かる。すなわち、Af(x) は (a,b) 上で
一様に L で抑えられることになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――
従って、(a,b)⊂Bf という条件のもとで(1)が証明できた暁には、

「 Af(x) は (a,b) 上で一様に有界である」

ことが自動的に証明できることになる。従って、我々は少なくとも、Af(x) が (a,b) 上で
一様に有界であるような (a,b) を B_f の中から選ばなければならないことになる。
しかし、出発点である (a,b)⊂Bf という条件では、任意の x∈(a,b) に対して Af(x) が「有限値」であることが
分かっているだけであって、Af(x) が (a,b) 上で一様に有界であるかどうかは分からない。(a,b) の幅を
さらに狭くした(a',b')の上でも、Af(x) が(a',b')上で一様に有界であるかどうかはわからない。
なぜなら、B_f という集合は、その各点 x で Af(x) が「有限値」と言っているに過ぎないからだ。

117132人目の素数さん2018/02/11(日) 12:21:20.54ID:sJak3l1o
実際には、>>110 の手法によって、Af(x) が一様に有界であるような開区間が B_f の中から取れるし、
f はその開区間の上でリプシッツ連続になる。しかし、まさにその

「 Af(x) が一様に有界であるような開区間が B_f の中から取れる 」

ということを言うための手順が全く自明ではなく、そのやり方は >>110 で既に見たとおりであり、

B_f ⊂ ∪_{N,M≧1} B_{N,M}

という包含を使う必要があるし、さらにベールのカテゴリ定理(の開区間版)も必要である。
つまり、スレ主が思っているほど簡単には済まないのである。

もし>>110の手法を使わずに、「 Af(x) は (a,b) 上で一様に有界である」 という性質を満たす
(a,b)が B_f の中から簡単に選べると思うなら、その方法をここに書いてみたまえゴミクズ君。

118132人目の素数さん2018/02/11(日) 16:10:52.71ID:lsbQUPFq
>>105
>>101,106の
>1)稠密でない場合は自明に定理1.7が、成立(上記 >>100 ご参照)
自明ではありません
なぜならBf内に開区間が存在するだけでは証明にならず
Bfが可算個のB_N,Mで被覆されていること
および
開区間をそのうちのどれかのB_N,Mの中に取れるからこそ証明になるからです
件の証明を書いた人の解説を読みましょう
>2)稠密な場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立(仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない)
定理の仮定は
``R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる''
ですが
あなたの主張は
``R-BfがRで稠密ならばR-Bfは可算個の疎な閉集合で被覆できない''
ということですか?

119132人目の素数さん2018/02/11(日) 17:09:11.51ID:ZmsN8ZUF
人生苦しい
つらい
悲しい
きつい

死にたい

もう疲れた
もう耐えきれない

寂しい

こんなに数学を懸命にやれるのに

なんでまじめにがんばって生きてるほうが馬鹿やらかして生きてる奴らに幸せを搾り取られないといけないんだ

彼女を返せ
彼女を返せ馬鹿野郎

体が究極におかしくなってきた

冷たい

しんどい
めんどくさい

人生つらい

人生悲しい

死にたい

俺は障害者だ

子に病気を負わせて過剰に苦労させるくらいなら

死にたい

永遠の夢をみたい

>>119
本気なのかどうか不明だが

下記でも電話したらどうだ? 声の可愛い女性が相談に乗ってくれるだろう
https://www.inochinodenwa.org/
あなたがつらいときそばにいます 日本いのちの電話連盟

・いのちの電話では、メールによる相談活動を行っております。https://www.inochinodenwa.org/soudan.php#net

・ナビダイヤル 0570-783(なやみ)-556(こころ)

・フリーダイヤル 0120-783(なやみ)-556(こころ)
(引用終り)

>>107-108
ご苦労さん

私スレ主は、命題の定義を自分でするつもりは全く無く、必要もない
ただ、いまの瞬間の議論の範囲で使える定義をどこからか、もってくればそれで十分でね。命題の定義の吟味はその方面の趣味の人に任せるよ(^^

https://kotobank.jp/word/%E5%91%BD%E9%A1%8C-141120
命題(めいだい)とは - コトバンク

デジタル大辞泉の解説
めい‐だい【命題】
1 題号をつけること。また、その題。名題。
2 論理学で、判断を言語で表したもので、真または偽という性質をもつもの。→判断
3 数学で、真偽の判断の対象となる文章または式。定理または問題。
出典 小学館デジタル大辞泉
(引用終り)

122132人目の素数さん2018/02/12(月) 11:41:07.06ID:X1pATS5E
>>121
零点
余計な付け足しは減点すると警告した

スレ主の成績表
本試験 零点
追試1回目 零点
追試2回目 零点
追試3回目 零点

コピペ(カンニング)してこのザマ

採点と評価ありがとう
「落第生に落第」と言って貰えると、気が楽だい

>>109-110 & >>116-117
ご苦労さん

>ということである。しかし、Af(x) は x∈(a,b) を動かすごとに「有限値」であるに過ぎないので、
>x∈(a,b) を動かしたときの Af(x) が (1) のような一様に有界な L で抑えられるという保証はどこにもない。
>ゆえに、単に (a,b)⊂Bf なる開区間を取っただけでは、(1) が成り立つとは言えず、
>リプシッツ連続な開区間が取れるかどうかは分からなくなる。

「Af(x) は x∈(a,b) を動かすごとに「有限値」」だから
最大値 max(Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) <= m
それで終りでしょ?

>>111-115
>> f が原点で微分可能の場合分けには、
>>「f が原点で不連続ならば」は存在しない
>詭弁である。「仮定が偽でなる」ことと、「場合分けとして存在しない」こととを混同している。

やれやれ
こんな下のレベルから、争うわけ?
あなたは>>68
「定理C:f:R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。」と書いた

仮定P: f:R → R が原点で微分可能
これで尽きている。「不連続」は入る余地なし
だから、微分可能の場合分けには、「f が原点で不連続ならば」は存在しない
微分可能の場合分けとしては、例えば、微分可能性のクラス(下記)とかはあるけどね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86%E5%8F%AF%E8%83%BD%E9%96%A2%E6%95%B0
微分可能性のクラス

関数に一階および二階の導関数が存在し、それらが両方とも連続であるとき、その関数は C2-級にであると言われる。
より一般的に、k-階までの導関数 f'(x), f''(x), ... , f(k)(x) が存在し、すべて連続であるなら、その関数は Ck-級であると言われる。
すべての正の整数 n に対して導関数 f(n) が存在するなら、その関数は滑らか、あるいは、C∞-級であると言われる。
(引用終り)

>>118
「ぷふ」さんですね

>>1)稠密でない場合は自明に定理1.7が、成立(上記 >>100 ご参照)
>自明ではありません

これについては、上記>>124 ご参照

つづく

>>126 つづき

>>2)稠密な場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立(仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない)
>定理の仮定は
>''R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる''
>ですが
>あなたの主張は
>''R-BfがRで稠密ならばR-Bfは可算個の疎な閉集合で被覆できない''
>ということですか?

いいえ違います。

なお、補足すると
1)Rの部分集合で、''R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる''例として、自然数N、整数Z、有理数Qや代数的数Aがあります
2)一方、''R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる''に反する例として、無理数P*や超越数Tがあります
(*注:Pはあまり使われないが、なにも記号がないのも寂しいのでPでも。P,Q,Rという並びです。iRとして2文字もかったるいしね)

さらに補足
1)の例示は、全て無限集合ですが、これ以外に有限離散点から成る有限集合も可能です。
1)の例示では、a)稠密な場合と、b)そうで無い場合に、二分できます。例示中のQとAがR中稠密で、それ以外の例示はR中稠密ではありません。

つづく

>>127 つづき

なお、QとZの組み合わせのキメラのような集合も考えられます。
例えば、区間[0,2]では整数Zを選び、それ以外の区間では整数Qを選んだ集合。
これは、区間[0,2]が稠密でなく、それ以外の区間では稠密です。が、全体としては、R中稠密とは言えません。
この場合、定理1.7の開区間は、(0,1)と(1,2)との二つの区間内で可能です。が、区間[0,2]の外では、R中稠密なので、定理1.7の開区間は取れません。

そして、区間[0,2]のような稠密でない区間が存在しない、つまりR全体の区間にわたって、整数Qを選んだ場合、区間R中のどこにも定理1.7の開区間は取れません

つづく

>>128 つづき

さて、ついでに下記を書いておきます

>>13 より)
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする.
Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である.
証明
このとき, 補題1.5 を満たすN,M >= 1 が存在するので, 明らかにx ∈ BN,M である.

系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.
証明
定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である.
一方で, x ∈ Q とf の仮定により, f は点x で不連続である. これは矛盾. よって, 題意が成り立つ.
(引用終り)

これを書き直すと
仮定P: f : R → R とする.Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ }と置く。
  R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる
結論Q:f はある開区間の上でリプシッツ連続である

で、上記>>127-128 で見たように
a)稠密な場合は、定理1.7の集合Bf内に、開区間は取れません

以前に述べたように、定理1.7で、”a)稠密な場合”には、1)反例となるか、2)仮定Pが偽(空集合)(=このような場合が存在しない)か、どちらかということです。
1)の反例となる場合は、定理1.7不成立
2)の仮定Pが偽の場合は、結論Qが真であることが保証されません(論理学の基本)

これを踏まえて、上記系1.8を見ると、有理数の点はR中稠密ですから
上記の1)又は2)のどちらの場合でも、その証明中の主張”定理1.7 が使えて, f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である”は、言えないことになります
なので、系1.8の証明は成立していません

以上

130132人目の素数さん2018/02/12(月) 12:06:06.08ID:IoO/5qAd
>>124
最大値があるとは言えませんよ

131132人目の素数さん2018/02/12(月) 12:08:57.27ID:IoO/5qAd
>>127
> >>2)稠密な場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立(仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない)
> >定理の仮定は
> >''R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる''
> >ですが
> >あなたの主張は
> >''R-BfがRで稠密ならばR-Bfは可算個の疎な閉集合で被覆できない''
> >ということですか?
>
> いいえ違います。
ではどういうことですか?上記で不成立とする仮定とはなんでしょう?

132132人目の素数さん2018/02/12(月) 13:04:24.81ID:X1pATS5E
>最大値があるとは言えませんよ
スレ主のファンタジー数学ではスレ主が「ある」と言えばあるのです。

133132人目の素数さん2018/02/12(月) 16:01:34.31ID:xN3w9Uzw
数日ぶりにレスをする、おっちゃんです。
土日(金曜の夜を含む)と休日、祝日の振り替えとの合計日間で大体100レス進んだのかな。
ということは、土日だと一日当たり大体30〜40近くレスが書き込まれるということか。
スレ主は相変わらず頑固に屈さないな。
数学はディベートというか討論とは違うんだけどな。スレ主は討論会だと負けないだろうね。

134132人目の素数さん2018/02/12(月) 16:25:52.76ID:xN3w9Uzw
p を仮定、qを結論とする。命題 p⇒q の真偽について、
p、q が両方共に真のとき、 p⇒q は真、
p が真、q が偽のとき、 p⇒q は偽、
p が偽、q が真のとき、 p⇒q は真、
p、q が両方共に偽のとき、 p⇒q は真。
これは基本。
あと、命題 p∧q → q については、仮定の p∧q で結論のqが仮定されていることになるから、p∧q → q は必ず成り立ち真になる。
逆に、命題 q → p∧q については、qが真かつpが偽のとき p∧q が偽になって反例になるから、必ずしも真になるとは限らない。

135132人目の素数さん2018/02/12(月) 16:49:04.89ID:xN3w9Uzw
>>127
>無理数P*や超越数Tがあります
普通、無理数全体の集合は R\Q 、超越数全体の集合は C\CL(Q) (CL(Q) は有理数体Q上の代数的閉包を表すとする) で表す。
但し、線型代数が出来れば、任意の超越数は実超越数と実代数的数とから構成出来て、
実超越数全体の集合を R\( CL(Q) ) で表すことと同じになることが分かる。

136132人目の素数さん2018/02/12(月) 16:54:47.68ID:xN3w9Uzw
で、今スレ主が反論のネタにしているのは ε-δ の関数の連続性や微分可能性のことだから、
言葉で反論している限り、無理数や超越数なんて関係ない。

137132人目の素数さん2018/02/12(月) 17:07:55.73ID:caXk6IEJ
>>125
>「定理C:f:R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。」と書いた
>仮定P: f:R → R が原点で微分可能
>これで尽きている。「不連続」は入る余地なし
>だから、微分可能の場合分けには、「f が原点で不連続ならば」は存在しない

間違っている。スレ主は、その場合分けが「証明の中での議論」であったことを忘れている。
証明の中の場合分けで先に定理Cを使うことで特定の場合分けを排除してしまったら循環論法であり、
それでは定理Cの証明にならない。

このことを丁寧に書くと、まずお前は次のように言っていることになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――
定理C:
f:R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である。

スレ主:
定理Cを証明しよう。f は原点で微分可能とする。f は原点で連続であることを示したい。
ここで、次のような場合分けをする。

(1) f は原点で連続 (2) f は原点で不連続

しかし、f は原点で微分可能なのだから、fは原点で連続なのであり、(2)は起こりようがない。
よって、(2)は場合分けとして入る余地がない。すなわち、f が原点で微分可能としたときの
場合分けには、「f が原点で不連続ならば」は存在しない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――

↑これがお前の言っている屁理屈である。この屁理屈の何が間違いなのかと言うと、
今は定理Cを証明しようとしている段階なのに、

>しかし、f は原点で微分可能なのだから、fは原点で連続なのであり、(2)は起こりようがない。

このように書いてしまったら、「先に定理Cを適用している」ことになって循環論法なのである。
つまり、これでは定理Cの証明にならないのである。

138132人目の素数さん2018/02/12(月) 17:10:18.84ID:caXk6IEJ
あるいは、次のように言ってもよい。もし >>137 の論法が許されるなら、俺も次のような論法を使わせてもらう。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理1.7:
R−B_f が第一類集合なら、f はある開区間の上でリプシッツ連続である。

俺:
定理1.7を証明しよう。R−B_f は第一類集合とする。
f はある開区間の上でリプシッツ連続であることを示したい。
ここで、次のような場合分けをする。

(1) R−B_f は R の中で稠密ではない (2) R−B_f は R の中で稠密である

しかし、R−B_f は第一類集合なのだから、fはある開区間の上でリプシッツ連続なのであり、(2)は起こりようがない。
よって、(2)は場合分けとして入る余地がない。すなわち、R−B_f が第一類集合としたのきの場合分けには、
「 R−B_f は R の中で稠密である 」は存在しない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――――

↑お前が言っているのは、こういうバカげた主張なのである。

>しかし、R−B_f は第一類集合なのだから、fはある開区間の上でリプシッツ連続なのであり、(2)は起こりようがない。

↑このように、証明の中で先に該当の定理を使ってしまったら、起こり得ない場合分けが先に排除できるのは
当たり前である。でも、それじゃあ循環論法であって、定理の証明にならないのである。
しかし、そのような芸当を定理Cの証明に対しては平気で使っているのがスレ主である。キチガイ。

139132人目の素数さん2018/02/12(月) 17:12:13.96ID:caXk6IEJ
さて、上記の理由により、定理C の証明の中で P1,P2 と場合分けした場合には、
"場合分けP2" を事前に排除することは不可能であることが確定した。従って、当初の予定通り
―――――――――――――――――――――――
P: f は原点で微分可能
Q: f は原点で連続

P1:f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P2:f は原点で微分可能かつfは原点で不連続

P = P1∨P2
―――――――――――――――――――――――
という場合分けになる。そして、お前は次のように主張するのである。

「 P2 の場合に「 P2 → Q 」を導くのは、なんか変。ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形ではない」

これは一体どういうことだね?

140132人目の素数さん2018/02/12(月) 17:13:39.58ID:caXk6IEJ
>>124
>「Af(x) は x∈(a,b) を動かすごとに「有限値」」だから
>最大値 max(Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) <= m
>それで終りでしょ?

ぜんぜん終わらない。息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。
x∈(a,b) を動かすごとに Af(x) が「有限値」であっても、
max_{x∈(a,b)} Af(x) が有限値で存在するとは限らないだろバカタレ。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――
具体例:

f(x)=0 (x=0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)

と置くと、f は任意の点で微分可能なので、特に B_f = R が成り立つ。
従って、(a.b)⊂B_f なる開区間は取り放題である。
特に (-1, 1) ⊂ B_f という開区間を採用してみよう。このとき、

max_{x∈(−1,1)} Af(x)

は有限値として存在しない。このことを、グラフを書いて確かめてみよ。
原点の近傍にいくらでも傾きが大きい点が存在するので、(−1,1) 上では
有限値としての max は存在しない。にも関わらず、各点で Af(x) は有限値である。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――

141132人目の素数さん2018/02/12(月) 17:22:11.65ID:caXk6IEJ
もちろん、>>140 の場合は、(2, 3)⊂B_f とでもすれば max_{x∈(2,3)} Af(x) が
有限値として存在する。しかし、スレ主風に言えば、次のような疑問が生じることになる。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
f の原点での振る舞いが、原点のみならず R 上で稠密に分布するような
別の関数 g であって、しかも B_g = R が保たれたままであるような上手い g が
もし存在したとすると、(a,b)⊂B_g なる開区間は取り放題であるにも関わらず、
max_{x∈(a,b)} Ag(x) が有限値になるような (c,d) は1つも存在しないことになるし、
この g はどの開区間の上でもリプシッツ連続にならない。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
このように考えると、B_f が開区間を含んでいるという条件下でも、
f がリプシッツ連続になる開区間が取れることは全く自明ではないことが分かるだろう。

あるいは、少し別の視点から考えてみると、
――――――――――――――――――――――――――――
A_f(x)= |p| (xは有理数で x=q/p で p と q は互いに素),
A_f(x)= 有限値なら何でもよい (xは無理数)
――――――――――――――――――――――――――――
が成り立つような上手い関数 f:R → R がもし存在したとすると、
この f に対しても B_f=R が成り立っているので、(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題であるが、
しかし max_{x∈(a,b)} Af(x) が有限値になるような (c,d) は1つも存在しないし、
この f はどの開区間の上でもリプシッツ連続にならない。

むろん、実際には、上記のようなヘンな関数は存在しない。すなわち、(a,b)⊂B_f なる開区間が取れるなら、
ある開区間の上で max Af(x) が有限値で存在するし、f はある開区間の上でリプシッツ連続になる。
ただし、そのことを証明するための方法は>>110なのであって、スレ主とかいうゴミクズが
考えているような単純な状況には決してなっていない。

142132人目の素数さん2018/02/12(月) 17:25:12.74ID:caXk6IEJ
>>129
>2)の仮定Pが偽の場合は、結論Qが真であることが保証されません(論理学の基本)

間違っている。スレ主とかいうゴミクズは目的と手段をはき違えている。

・ 目的:「 P → Q 」という命題全体が真であることを証明したい。
・ 手段: P という仮定のもとで結論Qを導けばよい。

お前はここで、次のように勘違いしているのである。

「 P → Q が真であることを証明するには、P という仮定のもとで Q を導くしか方法がない 」

明らかに目的と手段をはき違えている。目的はあくまでも、「 P → Q 」という命題全体が真であることを
証明することである。もし仮定 P が偽であることが示せたなら、その時点で「 P → Q 」という命題全体が
真であることが確定するので、既に目的は達成されている。すなわち、この場合には Q を導く必要が無いのである。
Q を導くという方針は、あくまでも1つの手段に過ぎないのであり、「 Q を導くことが絶対に必要である」
ということにはならない。すなわち、次のようにすればいいのである。
―――――――――――――――――――――――――――――
P → Q が成り立つことを示したい。
P が成り立つとする。Q が成り立つことを示せばよい。

(〜〜何らかの議論〜〜)

ゆえに、¬P が成り立つ。すなわち、P ∧ ¬P が成り立つ。
従って、実は P は偽だったということになる。
よって、「 P → Q 」という命題全体は真であることが確定する。
―――――――――――――――――――――――――――――
↑このように、P が偽であることが判明した場合、もはや Q を導く必要がないのである。
目的と手段をはき違えて、「 Q を絶対に導かなければならない」と思い込んでいるバカタレがスレ主である。

143132人目の素数さん2018/02/12(月) 17:27:05.58ID:caXk6IEJ
ちなみに、P が偽であることが判明した場合、議論をそこでやめずに Q を導くことも
実際には可能である。次のようにすればよい。
――――――――――――――――――――――――――――――――
P → Q が成り立つことを示したい。
P が成り立つとする。Q が成り立つことを示せばよい。

(〜〜何らかの議論〜〜)

ゆえに、¬P が成り立つ。すなわち、P ∧ ¬P が成り立つ。
これは「矛盾」である。矛盾した命題からは無条件に任意の命題を導出してよいので、
特に「 Q 」を導出してよい。よって、Q が成り立つ。

以上より、P が成り立つという仮定のもとで Q が導出できたので、P → Q は真である。
――――――――――――――――――――――――――――――――

144132人目の素数さん2018/02/12(月) 17:35:06.00ID:caXk6IEJ
>>129
>これを踏まえて、上記系1.8を見ると、有理数の点はR中稠密ですから
>上記の1)又は2)のどちらの場合でも、その証明中の主張”定理1.7 が使えて,
>f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である”は、言えないことになります
>なので、系1.8の証明は成立していません

背理法を理解できないキチガイ。題意の関数が存在しないことを示すために、
そのような関数の存在性を仮定しているに過ぎないことが理解できないゴミクズ。

「リプシッツ連続になり得ない」関数を仮定しているのに、どういうわけか
「リプシッツ連続になる」という不条理が導かれるのだから、そのような関数は存在しないってこと。
この論法は背理法であり、証明として完全に成立している。すなわち、系1.8の証明は
完全に成立している。一方でお前は、

「リプシッツ連続になり得ない関数を仮定しているのだから、リプシッツ連続である、は決して言えない」

と勘違いしている。実際には、ある性質の組み合わせを仮定しただけでは、

「その性質の 否定命題 は決して導けない」

ということには な ら な い 。なぜなら、その性質の組み合わせは矛盾している可能性があるからだ。
もし矛盾しているなら、その性質の否定命題が導出できても何らおかしくはない。なぜなら、矛盾した命題からは
どんな命題も導出できるからだ。

実際、系1.8の証明を、証明の外からメタ的に見てみると、存在しない関数の存在性を仮定してから
議論を始めているのだから、矛盾した仮定から出発していることになり、ゆえに原理的にはどんな命題も
導出できるのであり、そして実際に「リプシッツ連続になる」という不条理が導出されているのであり、
ゆえに証明の中の世界では「背理法」によって「そのような関数は存在しない」ということになるのである。

なぜかお前は、このような背理法がらみの論法がいつまで経っても理解できないでいる。キチガイ。頭がおかしい。

145132人目の素数さん2018/02/12(月) 17:40:51.60ID:caXk6IEJ
>>129
>これを踏まえて、上記系1.8を見ると、有理数の点はR中稠密ですから
>上記の1)又は2)のどちらの場合でも、その証明中の主張”定理1.7 が使えて,
>f はある開区間(a, b) の上でリプシッツ連続である”は、言えないことになります
>なので、系1.8の証明は成立していません

お前のその屁理屈を、以下の正しい議論に適用してみよう。
――――――――――――――――――――――――――――――――
定理C3:
原点で微分可能かつ原点で不連続であるような関数は存在しない。

定理C3 の証明:
そのような関数 f が存在したと仮定する。…(*)
このとき、f は原点で微分可能だから、ご存知の「 定理C 」が適用できて、
f は原点で連続である。一方で、f の仮定から、f は原点で不連続なのだった。
これは矛盾。よって、(*)の仮定は間違っていたことになる。
すなわち、そのような関数は存在しない。
――――――――――――――――――――――――――――――――

[続く]

146132人目の素数さん2018/02/12(月) 17:49:15.23ID:caXk6IEJ
[続き]

上記の正しい議論に対して、お前は次のように言うのである。
――――――――――――――――――――――――――
スレ主:
定理C3 の証明の中では、f は原点で不連続ですから、「 f は原点で連続 」は、
言えないことになります。なので、定理Cは適用できず、定理C3 の証明は成立していません。
――――――――――――――――――――――――――

実際には、「原点で微分可能かつ原点で不連続」という性質は矛盾しているので、そのような仮定を置いた時点で、
矛盾した命題から出発していることになり、そして矛盾した命題からは何でも導出できるがゆえに、
「 f は原点で連続」が導出できても何らおかしくはないのである。

つまり、f が原点で不連続という仮定があっても、その他の条件とのセットで仮定が矛盾していた場合には、
「 f が原点で連続」は言えるのである。今回の場合は、「fは原点で微分可能」という条件とのセットで
矛盾した状態から出発するので、「 f が原点で連続」は言えるのである。ただし、証明者の視点では、
仮定を置いた時点で既にその仮定が矛盾していることが分かるのではなく、不条理を導いた時点で初めて
「仮定が矛盾していた」ことが判明するのである(背理法)。ここで、なぜかスレ主は、不条理を導くことを
完全放棄し、「 f は原点で不連続 」という仮定に縛られて、

「 f は原点で微分可能 」

という条件があるにも関わらず定理Cを適用しようとせず、「 f は原点で連続、は決して言えない」と考え、
「定理Cは適用できない。定理C3 の証明は成立していない。」とほざくのである。証明者の視点から見ると、
スレ主のこのような行為は、背理法によって不条理を導くことを放棄しているだけの単なる愚行でしかない。

つまり、スレ主とかいうゴミクズは、背理法が全く理解できていないのである。キチガイ。

147132人目の素数さん2018/02/12(月) 18:07:37.14ID:k93HhadU
「 東京タワーが塔ならば、鍋料理は複数存在する。」は真。
こんな奇妙な世界が記号論理。一般論として使うと目も当てられなくなる。

148132人目の素数さん2018/02/12(月) 18:19:31.73ID:MGrwckru
>>147
今の議論にそういう頭を捻るような例は出てませんよ

149132人目の素数さん2018/02/12(月) 20:50:26.58ID:X1pATS5E
背理法が理解できないなら高校一年生に教えてもらえばいい
数学板に来るのは時期尚早

150132人目の素数さん2018/02/12(月) 21:55:58.73ID:k93HhadU
背理法の場合はp→qのpが真でqが偽になるぞw

>>130
>最大値があるとは言えませんよ

まあ、じゃ下記で

最大値 max(Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) <= m
 ↓
最大値 lim sup (Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) <= m

あとの細かい話はのちほど

>>133

おっちゃん、どうも、スレ主です。
お元気そうでなによりです(^^

話題散らしのために、これ面白かったから貼る(^^

http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/cft.pdf
類体論 田口雄一郎先生 「 整数論札幌夏の学校」( 2006年8月28日 〜 9月8日 ) 初日の講義ノート。

http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/
田口雄一郎先生関連
March, 1988 : Graduated from University of Tokyo
June, 1993 : Degree of Doctor (University of Tokyo)
September, 1993 -- August, 1995: Member of the Institute for Advanced Study
April, 1998 -- March, 2001: Associate Professor of Mathematics, Hokkaido University
April, 2001 -- February 15, 2016: Associate Professor of Mathematics, Kyushu University
February 16, 2016 --: Professor of Mathematics, Tokyo Institute of Technology
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/bunsho.html
数学関係の文章
http://www.math.titech.ac.jp/~taguchi/nihongo/cft.html
http://coe.math.sci.hokudai.ac.jp/sympo/060828/index.html
「 整数論札幌夏の学校」( 2006年8月28日 〜 9月8日 )

155132人目の素数さん2018/02/13(火) 20:31:35.15ID:cZFEnVOE
>>151
まあって
上限があるとも限りませんよ

>>151 再訂正
すまん
これ、lim supの使い方間違っているな。院試だったら、大減点だな。

なので、
最大値 lim sup (Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) <= m
 ↓
最大値 sup (Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) <= m
とします

(余談だが、こういう基本的な用語を間違うと、採点官の心象が悪くなる。
 要は、院試なんて、基礎的な勉強をしているか否かと基礎力を測るものだから、基本の標準用語の定義などは、間違わないことだ。
 ”数学は定義だ”などというが、基本的用語について、自分勝手な定義は(こいつ勉強不足だろうと)心象悪いだろう。
 頭良すぎて、試験の現場で新定義作って「ホームラン答案」を狙うのは(頭良すぎる東大生にいそうだが)、(採点基準外の)大外しの可能性があるだろう)

http://web.cc.yamaguchi-u.ac.jp/~hiroshi/basic/basic.pdf
解析学の基礎 卒研ゼミ用のテキスト (柳原 宏) 山口大
(抜粋)
P37
最大値, 最小値はいつでも存在するとは限らないので, 条件(i) を
みたすかどうかは問題にしないことにして(ii) をみたす数をE の上界(upper bound) と呼ぶことにしよう.
P39
定義2.3.10 E が上に有界とする. このとき上界の最小値
b0 = minU(E)(= min{b 2 R : b はE の上界})
が存在すればb0 をE の最小上界(least upper bound), または上限(supremum)
といいsupE と表す.
(引用終り)
http://web.cc.yamaguchi-u.ac.jp/~hiroshi/index-j.html
卒研ゼミ用のテキスト (柳原 宏)
http://web.cc.yamaguchi-u.ac.jp/~hiroshi/
Hiroshi Yanagihara (柳原 宏) Department of Applied Science Faculty of Engineering Yamaguchi University

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8A%E6%A5%B5%E9%99%90%E3%81%A8%E4%B8%8B%E6%A5%B5%E9%99%90
上極限と下極限

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%9C%AC%E8%B3%AA%E7%9A%84%E4%B8%8A%E9%99%90%E3%81%A8%E6%9C%AC%E8%B3%AA%E7%9A%84%E4%B8%8B%E9%99%90
本質的上限と本質的下限
(抜粋)
性質
inf f <= lim inf f <= ess inf f <= ess sup f <= lim sup f <= sup f
(引用終り)

>>140
あなたのそういう具体例を作る力は認めるけれども、例示は論点を外していると思う

>具体例:
>f(x)=0 (x=0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
>特に (-1, 1) ⊂ B_f という開区間を採用してみよう。

>>13 より)
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする.
Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である.
(引用終り)

重箱の隅を突いても仕方ないので、簡単に
”f はある開区間の上でリプシッツ連続である”という主張だから、(-1, -δ+0)と(+δ+0, 1)と二つに分ければいいだけのこと(どちらか一つで定理の主張を満たす)
(-1, -δ+0)と(+δ+0, 1)とは、どちらも、”ある開区間の上でリプシッツ連続である”を満たしている。
ここに、δは「 1> δ >0 」の適当な実数とする

以上

>>155
これは、「ぷふ」さんだね

>>156>>157とをご参照

>>157に書いたように
定理1.7より
”Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ }”
を満たすある開区間(a,b)が存在するとして

その区間内どこも「リプシッツ連続ではない」と言えるんですかね? はて?
まあ、また例によって、定理1.7を証明した人が、新しい例を示してくれるかも知れないが

>>137-139

>間違っている。スレ主は、その場合分けが「証明の中での議論」であったことを忘れている。
>証明の中の場合分けで先に定理Cを使うことで特定の場合分けを排除してしまったら循環論法であり、
>それでは定理Cの証明にならない。

意味わからん
私スレ主が言っている”場合分け”は、普通に 命題論理 藤田聡 広島大学のPDFの”proof by cases”のこと
特別のことをいうつもりはない。”場合分け”は、多分古典論理学内で、古代ギリシャからあると思う

>>157)定理1.7
”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”の条件下で、

一つの典型例が、系1.8の「有理数=R−Bf」の場合で、この場合、「有理数=R−Bf」はR中で稠密だ。だから、その補集合たる「無理数=Bf」内には、開区間は取れない
もう一つが、「整数=R−Bf」で、稠密でないから、「Bf」内に、開区間が取れる

ところが、場合分けとして、「無理数=R−Bf」とか、「超越数=R−Bf」は、できない
”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”の条件に、合致しないからだ

同様に、「定理C: f:R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である」 で、場合分け ”(1) f は原点で連続 (2) f は原点で不連続”は不可
命題論理 藤田聡 広島大学のPDFの”proof by cases”をご参照

http://home.hiroshima-u.ac.jp/fujita/Class/Kisoron/logic.pdf
命題論理 藤田聡 広島大学(2009年度版)
(抜粋)
<証明手法>
P85
proof by cases
(p1∨p2∨・・・∨pn)→q
を示すのに
(p1→q)∧(p2→q)∧・・・∧(pn→q)
を示す
(引用終り)

>>141
これなんか、へんなことを書いていると思った

引用
「あるいは、少し別の視点から考えてみると、
――――――――――――――――――――――――――――
A_f(x)= |p| (xは有理数で x=q/p で p と q は互いに素),
A_f(x)= 有限値なら何でもよい (xは無理数)
――――――――――――――――――――――――――――
が成り立つような上手い関数 f:R → R がもし存在したとすると、
この f に対しても B_f=R が成り立っているので、(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題であるが、
しかし max_{x∈(a,b)} Af(x) が有限値になるような (c,d) は1つも存在しないし、
この f はどの開区間の上でもリプシッツ連続にならない。」
(引用終り)

>>157に書いたように
定理1.7より
”Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ }”

この「 lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ 」は、過去スレで指摘したように、この条件はディニ微分可だったよね?
だが、上記で
A_f(x)= |p| (xは有理数で x=q/p で p と q は互いに素),
A_f(x)= 0 (xは無理数)
とすれば、これはディリクレ関数と同じ性質を持つ。
つまり、すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。微分不可だから、ディニ微分不可。
だから、B_fは空集合

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%8B%E5%BE%AE%E5%88%86
ディニ微分

以上

>>160 訂正

すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。微分不可だから、ディニ微分不可。
 ↓
すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。不連続だから、ディニ微分不可。

また、間違えてしまった。息をしたからか・・(^^

162132人目の素数さん2018/02/13(火) 22:27:42.93ID:cZFEnVOE
>>156
>最大値 sup (Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) <= m
どう書いても存在するとは限りません

>>144-146

>背理法を理解できないキチガイ。題意の関数が存在しないことを示すために、
>そのような関数の存在性を仮定しているに過ぎないことが理解できないゴミクズ。

違うよ。
場合分けを曲解していることによる誤解だな

定理1.7を場合分けして、その場合分けのR-Bfが稠密で、
系1.8の「有理数=R−Bf」の場合で、この場合、「有理数=R−Bf」はR中で稠密だ(>>159より)

この場合、Bf内に開区間など取れない。
稠密な場合は、開区間には、必ず「R−Bf」が入るから、定理1.7の「開区間がリプシッツ連続だ」という主張は、もともと無理でしょ?

164132人目の素数さん2018/02/13(火) 22:36:35.06ID:cZFEnVOE
>>158
あるいはBfの中に開区間(a,b)が存在する場合
その区間内にリプシッツ連続である区間が存在することを証明する必要があります
はて?というのはむしろあなたを批判している人が持つ疑問であり
あなたは上記を主張しているのですからそれを証明する必要があるわけです
しかもあなたは自明だとも言っているのですから
相当に単純な証明が示されて然るべきと期待しますよ
なお
件の証明を書いた人はそれを証明しています

165132人目の素数さん2018/02/13(火) 22:40:24.75ID:cZFEnVOE
>>163
>場合分けを曲解していることによる誤解だな
というより
場合分けすることなく証明できているのに
なぜ場合分けをしなくてはいけないと思っているか解せないというのが
件の証明を書いた人の気持ちであろうと思いますね

>>162

>>最大値 sup (Af(x)) = m (m∈R) とおけば、Af(x) <= m
>どう書いても存在するとは限りません

それでも結構だが
定理1.7の条件「 Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ }」で、これを満たすある開区間(a,b)が存在するとして

その区間内全ての点で、「Af(x) <= m」を満たさない?
あるいは、「Af(x) <= m」の点はどこにも存在しない?

それでも、開区間(a,b)の中に、リプシッツ連続である開区間(a',b')が取れる? 
取れるというのが、定理1.7の主張ですよね?

余談だけれど、定理の証明というのは、一番成立し難い場合にも、その前提条件を付加してきちんと証明できないと、その証明は信用されませんよ
上記の定理1.7の補集合が稠密な場合とか、いまの場合の「その区間内全ての点で「Af(x) <= m」を満たさない? あるいは、「Af(x) <= m」の点はどこにも存在しない?」場合とかを
易しい場合だけ証明して、「QED!」はないですよ

167132人目の素数さん2018/02/13(火) 22:45:24.72ID:cZFEnVOE
できれば>>131についてもお答えいただけますか

168132人目の素数さん2018/02/13(火) 22:46:31.92ID:cZFEnVOE
>>166
>その区間内全ての点で、「Af(x) <= m」を満たさない?
>あるいは、「Af(x) <= m」の点はどこにも存在しない?
自明と書いたのはあなたですから
ぜひ証明してください

>>161-160 訂正の訂正

念のため
すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。不連続だから、ディニ微分不可。
 ↓
すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。不連続だから、ディニ微分有限値不可。

とします。理由は、下記の「補完数直線上では、各ディニ微分は常に存在する」より。定理1.7の仮定は、「< +∞」ですので、元のままでも、「+∞ や ?∞」は除外されていますが。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%8B%E5%BE%AE%E5%88%86
ディニ微分
(抜粋)
注意
・補完数直線上では、各ディニ微分は常に存在する。しかし、それらの値は有限とは限らず、+∞ や ?∞ となることもある(すなわち、ディニ微分は「拡張実数値」の意味において、常に存在する)。
・f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。もし f が t において微分可能ならば、その t における各ディニ微分は通常の意味での微分に等しい。
(引用終り)

>>165
>>場合分けを曲解していることによる誤解だな
>というより
>場合分けすることなく証明できているのに
>なぜ場合分けをしなくてはいけないと思っているか解せないというのが
>件の証明を書いた人の気持ちであろうと思いますね

話は逆で、場合分けして、証明できない場合があれば、それは「定理が成り立たない」ってことですよ
定理1.7の場合、それは補集合R-Bfが稠密な場合で、その場合、集合Bf内に開区間なく、またリプシッツ連続な区間もない

「場合分けして、証明できない場合があれば、それは定理が成り立たない」は、反例による証明でも同じ理屈ですよ
反例は1つで良い。反例が成立する場合が1つあれば良いのです

例えば、「素数は全て奇数である」という定理には、反例素数の2があります。
だが、「2を除く素数は、全て奇数である」は、正しい定理です。

同様に、定理1.7においては、補集合R-Bfが稠密な場合は、集合Bfを満たす開区間は取れません。
「補集合R-Bfが稠密な場合は、集合Bfを満たす開区間は取れない」という仮定と、R内で「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」という結論とは、両立しませんよ。

>>164>>168

Bfを満たす開区間(a,b)が存在し→その開区間内にリプシッツ連続である開区間(a',b')が取れる
という証明の流れと思います

証明は考えてみますが、結論「リプシッツ連続である開区間(a',b')が取れる」の前提として、仮定「Bfを満たす開区間(a,b)が存在」するが必要と思っています
なので、ここを強調しておきます

なお、「Bfを満たす開区間(a,b)の存在」が否定される場合は、結論「リプシッツ連続である開区間(a',b')が取れる」も否定されると思いますよ
もし、証明可能と言われるなら、逆にどうぞと申し上げておきます

なお、>>170をご参照ください

172132人目の素数さん2018/02/14(水) 00:20:09.04ID:ZbM//CC/
じゃ自明じゃないじゃんw バカかこいつw

>>167

>>131より)
>>127
> >>2)稠密な場合は自明に定理1.7の仮定が、不成立(仮定が不成立の場合は、証明の必要さえない)
> >定理の仮定は
> >''R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる''
> >ですが
> >あなたの主張は
> >''R-BfがRで稠密ならばR-Bfは可算個の疎な閉集合で被覆できない''
> >ということですか?
>
> いいえ違います。
ではどういうことですか?上記で不成立とする仮定とはなんでしょう?
(引用終り)

回答します
1.(>>13)「系1.8 有理数の点で不連続, 無理数の点で微分可能となるf : R → R は存在しない.」に対し、定理1.7を適用するのは適切ではないと考えます
2.理由は、>>170-171に述べました(R-Bfが稠密な場合には、定理1.7は数学の定理として成り立っていない)

>>147
>「 東京タワーが塔ならば、鍋料理は複数存在する。」は真。
>こんな奇妙な世界が記号論理。一般論として使うと目も当てられなくなる。

バートランド・ラッセルのこんな話かな?(^^
まあ、「裏庭に東京タワーがあれば、入場料を取って、大もうけができる」は真かな?
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%BC%E3%83%88%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB
バートランド・ラッセル
(抜粋)
記述理論
記述理論(Theory of Description)は指示対象が存在しない「現代のフランス王」や「ペガサス」といった語句を解釈する際に、フレーゲのようにそのような語句を含んだ文を無意味としたり、それら非存在者の指示対象としてなんらかの概念の「存在」を仮定することなしに、解釈を可能とするためにラッセルが発見した手法である。
1905年の『表示について』で初めて発表された。

記述理論とは、以下のような手法である。

「現代のフランスの王ははげである」

という文章の意味を考える場合、この文を、

「あるものが存在し、そのものは一つであり、フランスの王であり、かつはげである」

と翻訳する。すると、実在しない「現代のフランスの王」が示す指示対象として存在者をなんら仮定することなく有意味に文を解釈でき、その真偽を確定できる。
(引用終り)

175132人目の素数さん2018/02/14(水) 01:06:54.41ID:sLMrM9T3
>>159
>ところが、場合分けとして、「無理数=R−Bf」とか、「超越数=R−Bf」は、できない
>”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”の条件に、合致しないからだ

その場合分けは「仮定が偽」になることが明白なだけであって、その場合分け自体は可能である。
あるいは、次のように言ってもよい。お前がそこで言っていることはつまり、

「仮定が偽のケースは場合分けとしては不可能である」

という屁理屈である。だったら、その屁理屈を拝借すれば、全く同じように、
「 R−B_f は R の中で稠密」という場合分けも不可能である。
なぜなら、その場合「 R−B_f が第一類集合 」の条件に合致しないからだ(定理1.7により)。

176132人目の素数さん2018/02/14(水) 01:08:21.70ID:sLMrM9T3
>>159
>同様に、「定理C: f:R → R が原点で微分可能ならば、f は原点で連続である」 で、
>場合分け ”(1) f は原点で連続 (2) f は原点で不連続”は不可

その場合分けは やはり可能だし、どちらのケースでも、
「仮定が偽」になることは全く明白ではない。特に (2) のケースは、

「結論に合致しないケース」

なのであって、「仮定に合致しないケース」ではないので、スレ主の言い分である

「仮定が偽のケースは場合分けとしては不可能である」

という屁理屈にすら全く当てはまっていない。

あるいは、お前にとっては、(2)の場合に仮定が偽になることが明白に見えるかもしれないが、
それは 定理C を先に適用してしまっているからであって、既に述べたように循環論法である。
ゆえに、定理C の場合には、(1),(2)による場合分けは可能である。

177132人目の素数さん2018/02/14(水) 01:09:43.27ID:sLMrM9T3
さて、上記の理由により、定理C の証明の中で P1,P2 と場合分けした場合には、
"場合分けP2" を事前に排除することは不可能であることが確定した。従って、当初の予定通り
―――――――――――――――――――――――
P: f は原点で微分可能
Q: f は原点で連続

P1:f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P2:f は原点で微分可能かつfは原点で不連続

P = P1∨P2
―――――――――――――――――――――――
という場合分けになる。そして、お前は次のように主張するのである。

「 P2 の場合に「 P2 → Q 」を導くのは、なんか変。ゆえに、定理C は数学の命題としてふさわしい形ではない」

これは一体どういうことだね?

178132人目の素数さん2018/02/14(水) 01:13:44.77ID:sLMrM9T3
追記。

>ところが、場合分けとして、「無理数=R−Bf」とか、「超越数=R−Bf」は、できない
>”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”の条件に、合致しないからだ

繰り返しになるが、お前がここで言っていることはつまり、
「仮定が偽のケースは場合分けとしては不可能である」という屁理屈である。
その一方で、世の中には次のような定理が存在する。

定理:a^b が有理数になるような無理数 a,b が存在する。

この定理の証明として、次のような有名なものがある。
――――――――――――――――――――――――――――――
証明:c=√2 と置くと、これは無理数であることが知られている。
そこで、c^c の値に注目し、以下のように場合分けする。

(1) c^c は有理数である (2) c^c は無理数である

(1) の場合、a=b=c と置けばよいことになるので、証明が終わる。
(2) の場合、a=c^c と置けば、まず a は無理数である。
また、b=c と置けば、これも無理数である。c=√2 だったから、

a^b = (c^c)^c = c^{c^2}= (√2)^(√2^2) = 2

となるので、a^b は有理数である。よって、(2) の場合も証明が終わる。
――――――――――――――――――――――――――――――――

[続く]

179132人目の素数さん2018/02/14(水) 01:16:14.39ID:sLMrM9T3
[続き]

上記の証明はよく知られた証明であり、「正しい証明である」ことに注意せよ。
一方で、c^c すなわち √2^√2 は実際には「無理数」であることが
証明されている(簡単には証明できないらしいが)。となると、上記の証明における

(1) c^c は有理数である

のケースは、仮定が偽ということになる。従って、お前の屁理屈によれば、そもそも

>(1) c^c は有理数である (2) c^c は無理数である

という場合分け自体が不可能ということになる。その一方で、上記の証明は
よく知られた証明であり、「正しい証明」なのである。たとえば、

https://ja.wikipedia.org/wiki/排中律

に全く同じ証明が載っている。にも関わらず、スレ主の屁理屈によれば、
そもそも (1),(2) による場合分け自体が不可能となってしまい、
上記の証明は「間違っている」ことになってしまう。

これは一体どういうことだね?

180132人目の素数さん2018/02/14(水) 01:28:06.89ID:TXT4lmT9
>>173
聞いていることに答えていただけますか?
``定理1.7の仮定が不成立''
のその``仮定''とは何のことでしょう?

181132人目の素数さん2018/02/14(水) 01:30:21.26ID:TXT4lmT9
>>171
あなたはそれを``自明''と書いたのですよ?
実のところ
その部分を証明するのが件の証明の``キモ''なのです
自明でないと認識できたのなら証明を読みましょう

182132人目の素数さん2018/02/14(水) 01:31:48.15ID:TXT4lmT9
>>170
>話は逆で、場合分けして、証明できない場合があれば、それは「定理が成り立たない」ってことですよ
場合分けせずに証明できていますから
当然ながら
場合分けしても証明が出来ています
場合分けした条件を使う必要が無いというだけのことです

183132人目の素数さん2018/02/14(水) 01:32:05.54ID:sLMrM9T3
>>163
>この場合、Bf内に開区間など取れない。
>稠密な場合は、開区間には、必ず「R−Bf」が入るから、
>定理1.7の「開区間がリプシッツ連続だ」という主張は、もともと無理でしょ?

「R−B_f が第一類かつ R−B_f が R の中で稠密」という仮定は「偽」なので、
スレ主の屁理屈によれば、そもそもそのような場合分け自体が不可能である。
つまり、スレ主は自爆している。

あるいは、次のように言ってもよい。
「R−B_f が第一類かつ R−B_f が R の中で稠密」という仮定は「偽」なので、
矛盾した命題からはどんな命題も導出できるがゆえに、
「ある開区間の上でリプシッツ連続だ」という主張も導出できる。
スレ主は「導出できない」などとほざいているが、実際には導出できるのである(仮定が偽だから)。
では、なぜ「R−B_f が第一類かつ R−B_f が R の中で稠密」が偽であると分かるのか?
それは、定理1.7 から従う。

184132人目の素数さん2018/02/14(水) 01:34:22.96ID:TXT4lmT9
>>171
>なお、「Bfを満たす開区間(a,b)の存在」が否定される場合は、結論「リプシッツ連続である開区間(a',b')が取れる」も否定されると思いますよ
当たり前です
証明をお考えください
件の証明よりも簡単なものになれば
それは件の証明をした人も喜ぶでしょうよ

185132人目の素数さん2018/02/14(水) 01:36:49.66ID:sLMrM9T3
あるいは、同じことの繰り返しになるが、次のように言ってもよい。

>この場合、Bf内に開区間など取れない。
>稠密な場合は、開区間には、必ず「R−Bf」が入るから、
>定理1.7の「開区間がリプシッツ連続だ」という主張は、もともと無理でしょ?

お前のこの屁理屈を定理Cに適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――
P: f は原点で微分可能
Q: f は原点で連続

P1:f は原点で微分可能かつfは原点で連続
P2:f は原点で微分可能かつfは原点で不連続

P = P1∨P2

スレ主:
P2 の場合には、f が原点で不連続であることが仮定されているのだから、
f が原点で連続であるという主張はもともと無理である。
つまり、P2 の場合には、定理C は証明できない。

ゆえに、定理C は数学の定理としてふさわしい形をしていない。
――――――――――――――――――――――――――――

お前はここで、「定理Cの場合は P1,P2 による場合分けが不可能だ」という屁理屈を
何度も述べているようだが、全く同じ屁理屈は定理1.7にも適用できるので、
お前の屁理屈はどちらに転んでも完全に破綻している。というか、もともと論理が滅茶苦茶。問題外。

186132人目の素数さん2018/02/14(水) 01:38:44.93ID:sLMrM9T3
>>160
>だが、上記で
>A_f(x)= |p| (xは有理数で x=q/p で p と q は互いに素),
>A_f(x)= 0 (xは無理数)
>とすれば、これはディリクレ関数と同じ性質を持つ。
>つまり、すべての x∈Rで、不連続で微分も不可。微分不可だから、ディニ微分不可。
>だから、B_fは空集合

息をするように間違えるゴミクズ。俺は

f(x)= |p| (xは有理数で x=q/p で p と q は互いに素),
f(x)= 有限値なら何でもよい (xは無理数)

と書いたのではない。

A_f(x)= |p| (xは有理数で x=q/p で p と q は互いに素),
A_f(x)= 有限値なら何でもよい (xは無理数)

と書いたのである。すなわち、 f そのものをディリクレ関数っぽい値に設定したのではなく、
A_f の方をディリクレ関数っぽい値に設定したのである。もしそのような性質が成り立つ f が
存在したとすると、(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題なのに、f はどの開区間の上でも
リプシッツ連続にならないので、

「 (a,b)⊂B_f の場合はリプシッツ連続性が自明に分かる」

というスレ主の直観は破壊されることになる。

[続く]

187132人目の素数さん2018/02/14(水) 01:41:48.63ID:sLMrM9T3
[続き]

ここでお前は、次のように言うかもしれない。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
A_f(x) がディリクレ関数っぽい状態なら、その前の f だってディリクレ関数っぽいはずであり、
ゆえに f はどの点でも微分不可能のはずで、B_fは空集合になるだろう。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――
しかし、この意見は的外れであることを先に指摘しておく。
なぜなら、A_f(x) は おかしな挙動をある程度は取り得るからである。たとえば、

f(x)=0 (x=0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)

という例の場合、A_f(x) は原点で 不 連 続 であることが確認できる。
もちろん、この f の場合は、A_f(x) は原点以外のところでは連続になっているが、
しかし原点では不連続なのである。

ところで、f の原点での挙動を、他の有限個の点 x_1, x_2, …, x_n に "移植" することは
明らかに可能であるから、そのように移植した新しい関数を g とするとき、A_g(x) は
x=0, x_1, x_2, …, x_n において不連続ということになる。もちろん、A_g(x) は
各点で「有限値」のままである。

というように、少なくとも有限個の点で A_f(x) が不連続になることは実際に「ある」。
問題は、A_f(x) が R 全体でディリクレ関数っぽい状況になることがあり得るのかということであるが、
俺が書いた>>110の手法を使えば、そのような関数は「無い」ことが分かる。

しかし、それは>>110を使ったからこそ「無い」ことが分かるのであって、
「無いことは自明である」ということにはならないのである。

188132人目の素数さん2018/02/14(水) 13:27:23.89ID:fdysUhrS
突然ですが、
平野、2大会連続の銀メダルか。おめでとう。金を狙っていて残念だが、若いからまだ次があるよね(^^
http://www.yomiuri.co.jp/olympic/2018/snowboard/20180214-OYT1T50006.html?from=ytop_top
平野、2大会連続の銀メダル…スノボ男子HP 2018年02月14日

189132人目の素数さん2018/02/14(水) 17:33:55.32ID:fdysUhrS
>>175-179 & >>183 & >>185

>>ところが、場合分けとして、「無理数=R−Bf」とか、「超越数=R−Bf」は、できない
>>”内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる”の条件に、合致しないからだ
>
>その場合分けは「仮定が偽」になることが明白なだけであって、その場合分け自体は可能である。
>あるいは、次のように言ってもよい。お前がそこで言っていることはつまり、
>
>「仮定が偽のケースは場合分けとしては不可能である」
>
>という屁理屈である。だったら、その屁理屈を拝借すれば、全く同じように、
>「 R−B_f は R の中で稠密」という場合分けも不可能である。
>なぜなら、その場合「 R−B_f が第一類集合 」の条件に合致しないからだ(定理1.7により)。

普通の証明論の場合分けを否定されてもね。それ無理筋ですよ
(”場合分け”は、私の独自説ではなく、ごく一般の数理です)
集合論で言えば、仮定で有理数Qを問題にしているときに、集合Qの中での場合分けは可能です
が、集合Qの外、つまり、「無理数=R−Bf」とか、「超越数=R−Bf」は、できない。それをやれば、プロレスの場外乱闘ですよ

それから、”「 R−B_f は R の中で稠密」という場合分けも不可能である。
なぜなら、その場合「 R−B_f が第一類集合 」の条件に合致しないからだ(定理1.7により)”という主張も無理筋でしょう
それをいうなら、(>>13)”系1.8 有理数の点で不連続”には、適用できないということですよね
「 R−B_f は R の中で稠密」という場合分けが、定理1.7で存在しないなら、「系1.8 有理数」には定理1.7は適用できませんね

以上

190132人目の素数さん2018/02/14(水) 17:34:52.60ID:fdysUhrS
>>186
これは、どうも失礼。私の早とちりでしたね
あなたは、こういう例を考える力はすごくあるね〜(^^

「f(x)= |p| (xは有理数で x=q/p で p と q は互いに素),
f(x)= 有限値なら何でもよい (xは無理数)

と書いたのではない。

A_f(x)= |p| (xは有理数で x=q/p で p と q は互いに素),
A_f(x)= 有限値なら何でもよい (xは無理数)

と書いたのである。すなわち、 f そのものをディリクレ関数っぽい値に設定したのではなく、
A_f の方をディリクレ関数っぽい値に設定したのである。もしそのような性質が成り立つ f が
存在したとすると、(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題なのに、f はどの開区間の上でも
リプシッツ連続にならない」
(引用終わり)

なるほど。でもね、この例は、諸刃の剣というやつでしょ
(一般性を損なわず”A_f(x)=0 (xは無理数)”とします)
1)∀p ∈Q を考えた場合、”Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ }”で、
  無理数x=irに収束するQ内のコーシー列が取れる。分母q→∞。だから分子もp→∞。
2)補足:1/2=0.5に近い無理数x=irを考えると、コーシー列pn/qnで、分母qn→∞のとき、分子p =〜 0.5q→∞となる
3)なので、「(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題」ではない

つづく

191132人目の素数さん2018/02/14(水) 17:35:36.44ID:fdysUhrS
>>190 つづき

以下参考
(>>13より)
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする.
Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ }
(引用終わり)

http://yusuke-ujitoko.hatenablog.com/entry/2017/05/17/005434
リプシッツ連続 緑茶思考ブログ 2017-05-17
(抜粋)
定義:リプシッツ連続
関数f(x)が任意の実数x,yに対し、

?f(x)?f(y)??k?x?y?

を満たす0以上のkがとれるとき、関数f(x)はリプシッツ連続であるといい、kをリプシッツ定数という。

x=yのとき、任意の実数について上式は成り立つので、
「関数f(x)がリプシッツ連続」であることは、「x≠yとなる任意の実数x,yに対して

?f(x)?f(y)/(x?y)? ? k

を満たす0以上の定数kがとれることと同値である。

つまり関数f(x)がリプシッツ連続であるとは、関数y=f(x)のグラフ上の任意の異なる2点(a,f(a)),(b,f(b))を通る直線の傾きが、?k以上k以下である、
すなわち、関数f(x)の変化率の絶対値はkを超えないということである。
(引用終わり)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A リプシッツ連続

以上

192132人目の素数さん2018/02/14(水) 17:36:22.02ID:fdysUhrS
>>191 えらく文字化けしたが、原文見てください

コテハンとトリップが抜けていたね(^^

時間がないので、あとは後ほど(^^

195132人目の素数さん2018/02/14(水) 18:15:21.87ID:sLMrM9T3
>>189
>が、集合Qの外、つまり、「無理数=R−Bf」とか、「超越数=R−Bf」は、できない。それをやれば、プロレスの場外乱闘ですよ

「場外乱闘」などという言葉を使ってみても、お前が言っている内容は全く変わらない。
お前がそこで言っていることはつまり、
――――――――――――――――――――――――――――――――――
R−B_f が第一類集合なのに「 R−B_f=無理数」としてしまえば、
R−B_f が第一類集合であることに矛盾するので、この場合分けは出来ない
――――――――――――――――――――――――――――――――――
ということである。この屁理屈を>>178-179に適用すると、次のようになる。

――――――――――――――――――――――――――――――――――
c=√2 とすると、c^c は無理数であることが知られている。すると、
c^c は無理数なのに「 c^c は有理数 」としてしまえば、
c^c が無理数であることに矛盾するので、この場合分けは出来ない。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
つまり、スレ主は>178-179の証明が「間違いだ」と言っていることになるのである。
しかし、>178-179の証明は、よく知られた「正しい証明」である。

これは一体どういうことだね?

196132人目の素数さん2018/02/14(水) 18:33:31.82ID:sLMrM9T3
>>195
>なぜなら、その場合「 R−B_f が第一類集合 」の条件に合致しないからだ(定理1.7により)”という主張も無理筋でしょう
>それをいうなら、(>>13)”系1.8 有理数の点で不連続”には、適用できないということですよね
>「 R−B_f は R の中で稠密」という場合分けが、定理1.7で存在しないなら、「系1.8 有理数」には定理1.7は適用できませんね

何度も同じことを言わせるな。定理1.7は系1.8の証明の中で適用可能である。
なぜなら、定理1.7 の主張は

「 R−B_f が第一類集合なら、f はある開区間の上でリプシッツ連続」

というものだからだ。系1.8 だけでなく、
一般に R−B_f が第一類集合でありさえすれば、定理1.7が適用可能。

197132人目の素数さん2018/02/14(水) 18:36:23.51ID:sLMrM9T3
>>190
>(一般性を損なわず”A_f(x)=0 (xは無理数)”とします)
>1)∀p ∈Q を考えた場合、”Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ }”で、
>  無理数x=irに収束するQ内のコーシー列が取れる。分母q→∞。だから分子もp→∞。
>2)補足:1/2=0.5に近い無理数x=irを考えると、コーシー列pn/qnで、分母qn→∞のとき、分子p =〜 0.5q→∞となる
>3)なので、「(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題」ではない

計算の仕方が意味不明。お前がそこでやっていることは、

「 1/2 に近い無理数 x を1つ取り、有理数列 pn/qn であって pn/qn → x を満たすものを取った」

ということに過ぎない。このときに pn → +∞, qn → +∞ が成り立つのは当たり前の話。
で?どうしてそこから 「(a,b)⊂B_f なる開区間は取り放題ではない」という結論が出るんだ?

(a,b) ⊂ B_f が "成り立たない" ためには、(a,b) 内のある点 z において Af(z)=+∞ が
成り立たなければならないんだぞ?どうやってそのような点 z を見つけるんだ?
お前の書き方だと、あたかも Af(x)=+∞ が成り立つかのように書かれているが、
pn/qn を取っただけでどうして Af(x)=+∞ が出るんだ?

|(f(x)−f(pn/qn))/(x−pn/qn)|

↑この式で n→∞ としてみても、Af(x)=+∞ は全く出て来ないぞ?

198132人目の素数さん2018/02/14(水) 18:39:53.16ID:sLMrM9T3
>>190
もしかしてお前、A_f(x)=0 と f(x)=0 を混同してるんじゃないか?
あるいは、A_f(q/p)=|p| と f(q/p)=|p| を混同してるんじゃないか?
お前は f(x)=0, f(pn/qn)= |qn| として計算しているんじゃないか?
何度も言うけど、俺は

f(x)= |p| (xは有理数で x=q/p で p と q は互いに素),
f(x)= 有限値なら何でもよい (xは無理数)

と書いたのではなくて、

>A_f(x)= |p| (xは有理数で x=q/p で p と q は互いに素),
>A_f(x)= 有限値なら何でもよい (xは無理数)

と書いたのだぞ?あたま大丈夫?あるいは、

「 pn/qn → x かつ Af(pn/qn)=|qn| → +∞ だから、Af(x)=+∞ 」

だと勘違いしてるんじゃないか?Af(z) は z の関数として連続ではないのだから、
pn/qn → x かつ Af(pn/qn) → +∞ でも Af(x)=+∞ なんて言えないぞ?

準備

>>191 修正再録
http://yusuke-ujitoko.hatenablog.com/entry/2017/05/17/005434
リプシッツ連続 緑茶思考ブログ 2017-05-17
(抜粋)
定義:リプシッツ連続
関数f(x)が任意の実数x,yに対し、

|f(x)-f(y)|<= k|x-y|

を満たす0以上のkがとれるとき、関数f(x)はリプシッツ連続であるといい、kをリプシッツ定数という。

x=yのとき、任意の実数について上式は成り立つので、
「関数f(x)がリプシッツ連続」であることは、「x≠yとなる任意の実数x,yに対して

|f(x)=f(y)/(x-y)| <= k

を満たす0以上の定数kがとれることと同値である。

つまり関数f(x)がリプシッツ連続であるとは、関数y=f(x)のグラフ上の任意の異なる2点(a,f(a)),(b,f(b))を通る直線の傾きが、?k以上k以下である、
すなわち、関数f(x)の変化率の絶対値はkを超えないということである。
(引用終わり)

準備追加

>>13より)f : R → R とする.
Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ }
(引用終り)

「lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞」は、
下記の4つの Dini微分 (D^+ g)(c),(D + g)(c),(D^- g)(c),(D - g)(c)が
有限値で収まることを意味している。

https://www.amazon.co.jp/dp/0387984801
https://books.google.co.jp/books?id=MzQ6JA6SiHYC&pg=PA215&lpg=PA215&dq=%22liminf+of+functions%22#v=snippet&q=%20&f=false
Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian 出版社: Springer; Softcover reprint of the original 1st ed. 1999版 (1998/11/1)

P220のパラグラフ5.3.6に4つの Dini微分 (D^+ g)(c),(D + g)(c),(D^- g)(c),(D - g)(c)
と、lim sup, lim inf との関係が載っている
(引用終り)

あとは後ほど(^^

準備追加2

(>>169 追加引用)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%8B%E5%BE%AE%E5%88%86
ディニ微分
(抜粋)
定義[編集]
連続関数 f: R → R の上側ディニ微分(しばしば右上微分とも呼ばれる[1])は、

f'_{+}(t) def= limsup _h → {0+} {f(t+h)-f(t)}/h

により定義される。ここで limsup は上極限を表す。同様に、下側ディニ微分は

f'_{-}(t) def= liminf _h → {0+} {f(t+h)-f(t)}/h

により定義される。ここで liminf は下極限を表す。

注意
・補完数直線上では、各ディニ微分は常に存在する。しかし、それらの値は有限とは限らず、+∞ や -∞ となることもある(すなわち、ディニ微分は「拡張実数値」の意味において、常に存在する)。
・f が局所リプシッツ連続ならば、ディニ微分 f'_{+} は有限である。もし f が t において微分可能ならば、その t における各ディニ微分は通常の意味での微分に等しい。

D 記法と追加の定義
しばしば f'_{+}(t) の代わりに D^{+}f(t), f'_{-}(t)の代わりに D_{+}f(t) が記号として用いられ[1]、また

D^{-}f(t) def=limsup _{h→ {0-} {f(t+h)-f(t)}/h, D_{-}f(t) def=liminf _{h→ {0-} {f(t+h)-f(t)}/h

が定義される。
つまり、ディニ微分の「D 記法」は、プラスかマイナスかの符号によってそれぞれ左側、右側からの微分を表し、その符号の位置が上か下かによってそれぞれ上極限、下極限を表すのである。
(引用終り)

余談だが、投稿前に5CHバカ板で使えない文字をチェックする機能はないのかね〜?
wikipediaのマイナス記号が化けるなど、ちょっと数学板とはしては、困ったものです(^^

>>199-202 の準備で何をしたかったのかというと

1.ディニ微分を間に入れて

定理1.7の条件;lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞
 ↓↑
ディニ微分
 ↓↑
定理1.7の結論;リプシッツ連続 (”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より)

という関係を見ようとしたわけだ

2.まず、「lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞」から、4つのディニ微分がいずれも有限値だと
 それは、即ちリプシッツ連続だということだ

3.逆もまた言えるわけだ。
  リプシッツ連続だと、4つのディニ微分がいずれも有限値であると
  そして、4つのディニ微分がいずれも有限値だと、「lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞」だと
 (この部分は、ディニ微分を介さずとも、直接
   ”|f(x)-f(y)|<= k|x-y|” → ”lim sup y → x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞” が見易いかと思う)

つづく

>>204 つづき

1.まず、リプシッツ連続”|f(x)-f(y)|<= k|x-y|” → ”lim sup y → x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞”
  の方が分かりやすいので、ここからいくと

>>13より)
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする.
Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ }
と置く: もしR−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば、
f はある開区間の上でリプシッツ連続である.
(引用終わり)

 で、
 f はある開区間の上でリプシッツ連続である
  ↓
 f はある開区間の上で ”lim sup y → x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞”である
 が言える

2.つまり、定理1.7が成り立つと、仮定の集合Bfもまた、ある開区間を含む
  だから、定理1.7が成り立つと、補集合R−Bfが稠密ではないという結論になる(補集合R−Bfが稠密なら、Bfは開区間を含みえない)

3.繰り返すが、定理1.7が成り立つ場合は、補集合R−Bfが稠密ではない(∵開区間が存在するため)という結論になる

つづく

>>205 つづき

1.さて、もう一つの下記

 a) lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞
  ↓
 b) リプシッツ連続 (”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より)

 を認めると、前記と併せて、a)とb)は同値ということになる

2.また、「仮定の集合Bfが、ある開区間を含む」場合
 a)→b)を認めると、「仮定の集合Bfが、ある開区間を含む」→「その開区間でリプシッツ連続」が言える

以上

補足
なにが、自明(トリビア)かは、人によると思うが

”ディニ微分を間に入れて

定理1.7の条件;lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞
 ↓↑
ディニ微分
 ↓↑
定理1.7の結論;リプシッツ連続 (”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より)

という関係を見”ると(>>204

定理1.7の構造がよく見えるだろうと

以上

>>197-198
この例は、諸刃の剣というやつでしょ(>>190)

>>204より

リプシッツ連続 (”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より)
 ↓↑
im sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞

が言えるから、リプシッツ連続を否定する例を作ると、自分に跳ね返って、
”im sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞”が、否定されるってことでしょ

>>195-196

>>205をどうぞ

>>181

>>204-207をどうぞ

>>210 補足

定理1.7の証明を読んだが
(なお、定理1.7が分からない人は>>15-17ご参照)

1)
・f : R → R で Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ }
・Bf内のある点 x0 ∈ Bf の回りに、近傍(x0 - δ、x0 + δ)を取って
・近傍(x0 - δ、x0 + δ)内が、すべてBf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ }を満たす
  ↓
 近傍(x0 - δ、x0 + δ)内に、リプシッツ連続な開区間 (x0 - δ’、x0 + δ’)が取れるという
 証明のストーリーと読みました

2)が、それ、暗黙に、”近傍(x0 - δ、x0 + δ)内が、すべてBf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ }を満たす”を使っていますね?

3)その条件は、補集合R−BfがR中稠密な場合は、使えないでしょ

この点を補足しておきます。
なお、>>205も再度強調しておきます。

以上

212132人目の素数さん2018/02/15(木) 11:44:45.49ID:gCnkTTzV
>>206
> a) lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞
>  ↓
> b) リプシッツ連続 (”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より)
まず
もう少し正確な表現で描き直した上で証明をしてください
(成り立たない例は件の証明を書いた人が挙げていますよ?)

213132人目の素数さん2018/02/15(木) 11:49:09.18ID:gCnkTTzV
>>211
>3)その条件は、補集合R−BfがR中稠密な場合は、使えないでしょ
ですので
R-BfがRで稠密な場合は定理の条件を満たすfは存在しないということになります
あなたが定理を``間違っている''と主張する場合
R-Bfが稠密でかつ可算個の疎な閉集合で被覆できるfの例を作れなければ
説得力は皆無ですよ

>>212
ご苦労さまです
少々ご猶予を(^^

なにせ、私は、この板では証明を書かない主義です
といって、定理1.7のようにPDFをアップロードするつもりなく

まあ、分かりやすい証明を考えますよ(^^

>>213
ご苦労さまです

(引用)
「> 3)その条件は、補集合R−BfがR中稠密な場合は、使えないでしょ
ですので
R-BfがRで稠密な場合は定理の条件を満たすfは存在しないということになります」
(引用終わり)

いやいや、流石にそれは強引な主張では?(下記ご参照)

>あなたが定理を``間違っている''と主張する場合
>R-Bfが稠密でかつ可算個の疎な閉集合で被覆できるfの例を作れなければ
>説得力は皆無ですよ

私の主張は逆で、
定理1.7で、補集合R−BfがR中稠密な場合は、
きちんと、条件設定”補集合R−BfがR中稠密”を付加した上で、そういう関数fが存在しないというなら、
それを筋道立てて、証明すべきであると。それをやらないと説得力なしです。

以前も書いたように
ケース1
f : R → R で、Rの部分集合Bfがfの連続な点の集合で、補集合R−Bfが不連続な点の集合の場合

ケース2(上記の逆で)
f : R → R で、Rの部分集合Bfがfの不連続な点の集合で、補集合R−Bfが連続な点の集合の場合

この2つの場合で
ケース1では、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆でき、R中稠密” な関数fは存在します。例としては、トマエ関数です
ケース2では、”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆でき、R中稠密” な関数fは存在しせん。理由は、下記の”不連続性の分類”をご参照ください

なので、問題の定理1.7のR−BfがR中稠密な場合は、きちんとした別証明が必要と思いますよ(みそくそ一緒の定理1.7の証明でなく)
そして、
ケース1のように、そのような「関数f」が存在するなら、系1.8へ定理1.7を適用して矛盾を導くことはできません
ケース2のように、そのような「関数f」が存在しないなら、系1.8の証明は、開区間の存在を経由することはありません

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%8D%E9%80%A3%E7%B6%9A%E6%80%A7%E3%81%AE%E5%88%86%E9%A1%9E
不連続性の分類
(抜粋)
関数の不連続点の集合
函数の連続点の全体からなる集合は開集合の可算個の交わり(Gδ-集合)である。また不連続点の全体は閉集合の可算個の合併(Fσ-集合)である。
(引用終わり)

以上

>>200 補足

この
https://www.amazon.co.jp/dp/0387984801
https://books.google.co.jp/books?id=MzQ6JA6SiHYC&pg=PA215&lpg=PA215&dq=%22liminf+of+functions%22#v=snippet&q=%20&f=false
Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian 出版社: Springer; Softcover reprint of the original 1st ed. 1999版 (1998/11/1)

は、定理1.7を書いた人から、教えてもらったテキストです
一言補足です

再録
スレ48 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513201859/439
439 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む 2017/12/23(土) 10:37:20.53

http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/real_analysis_2009_proceedings.pdf
典型的連続関数のDini微分 斎藤新悟 (Shingo SAITO) 九州大学大学院数理学研究院
(抜粋)
1 Dini微分とDenjoy-Young-Saksの定理

x = 0, 1 においては Dini 微分のうちいくつかが定義されないため,以下では (0, 1) の点における Dini 微分を主に考える.
Dini 微分に関する最も重要な定理の 1 つが次の Denjoy-Young-Saks の定理である:
定理 1.2(Denjoy-Young-Saks の定理)
f : [0, 1] → R とする.このとき,ほとんどすべての x ∈ (0, 1) に対して次のいずれかが成立する:
(1) D^+f(x) = D+f(x) = D^-f(x) = D-f(x) ∈ R,すなわち f は x で微分可能.
(2) D^+f(x) = D-f(x) ∈ R, D^-f(x) = ∞, D+f(x) = -∞.
(3) D^-f(x) = D+f(x) ∈ R, D^+f(x) = ∞, D-f(x) = -∞.
(4) D^±f(x) = ∞, D±f(x) = -∞.
注意 1.3 この定理では,f の連続性や可測性は仮定する必要がない.歴史的には最初にDenjoy, Young が独立に連続関数について示し,次に Young が可測関数にまで拡張し,最後に Saks が任意の関数について証明した.証明は例えば [2] の §3.5 を参照.
Denjoy-Young-Saks の定理の威力を実感するため,この定理から直ちに従う 2 つの系を述べる.

系 1.5 任意の f : [0, 1] → R に対して集合 {x ∈ (0, 1) | f′(x) = ∞} は零集合である.
証明 f ′(x) = ∞ なる x ∈ (0, 1) では Denjoy-Young-Saks の定理の (1), (2), (3), (4) のいずれも成立しないことから系が従う.

http://www.artsci.kyushu-u.ac.jp/~ssaito/jpn/maths/talks.html
研究集会での講演 斎藤新悟 九州大学基幹教育院准教授
(抜粋)
36.典型的連続関数の Dini 微分 (2009/10/23) [日本語講演,60 分]
実解析学シンポジウム 2009 @ 城西大学 坂戸キャンパス 関連文書:アブストラクト,報告集
(引用終り)

(追加)
https://en.wikipedia.org/wiki/Denjoy%E2%80%93Young%E2%80%93Saks_theorem
Denjoy?Young?Saks theorem
以上

218132人目の素数さん2018/02/15(木) 15:58:12.59ID:0aAhb8Kl
おっちゃんです。

背理法のからくり。
基本的に、背理法で示せる命題は、有限回の推論で矛盾を導くことで示せるようになっている。
Pを仮定、Qを結論とする。P、Qが両方共に真或いは偽のどちらか一方になるのときの命題 P→Q を示すことを考える。
命題 P→Q を背理法で示すとする。Qを否定する。その上で元の仮定のPも仮定する。
そうすると、P、Qは両方共に真か偽のどちらか一方だから、命題 P∧ ¬Q を偽と仮定したことになる。
そして、偽の命題 P∧ ¬Q から始めて、有限回の推論で、背理法で示すべき命題 P→Q を示すことになる。
これを行うにあたり、Qの否定 ¬Q からいえることだけを適用して有限回の推論で矛盾を導けて P→Q を導けるとする。
そうすると、P、Qは両方共に真か偽のどちらか一方で、示すべき命題 P→Q は元々真だから、
仮定のPを任意の(Pとは異なる他の)仮定 P' で置き換えて P'→Q を背理法で示せることになる。
つまり、一般論として、結論Qが与えられた上で、任意の仮定 P' に対して、命題 P'→Q を背理法で示せることがいえる。
だが、これはあり得ない。有限回の推論の過程においてこのあり得ない事柄を導いて矛盾を得られた原因は、
背理法で命題 P→Q を示すにあたり、偽の命題 P∧ ¬Q から推論を始めて、
¬Q だけから行える有限回の推論に基づくことのみを適用して有限回の推論で矛盾を導けたことにある。
従って、背理法で命題 P→Q を有限回の推論で示すにあたり、命題 P∧ ¬Q を偽と仮定して、
¬Q だけから行える有限回の推論に基づくことのみを適用して有限回の推論で矛盾を導いて P→Q を導いてはならない。
だから、背理法で命題 P→Q を有限回の推論で示すには、単に ¬Q からいえることだけではなく、
元の仮定Pに含まれているすべての事柄から行える推論に基づくことも適用して有限回の推論で矛盾を導いて命題 P→Q を示さないといけない。

219132人目の素数さん2018/02/15(木) 16:00:23.82ID:0aAhb8Kl
(>>218の続き)
そうして背理法の枠組みの中で命題 P→Q を示すにあたり、偽の命題 P∧ ¬Q を仮定して、
有限回の推論で矛盾を導くと、矛盾を導けた原因は偽の命題 P∧ ¬Q を仮定したことにあるから、
命題 P→Q を示すにあたり仮定した偽の命題 P∧ ¬Q は否定されることになる。
そうすると、背理法の推論の過程では P∧ ¬Q を否定した命題 ¬(P∧ ¬Q)=¬P ∨ ¬¬Q=¬P ∨Q が得られることになる。
つまり、Pでない または Qである といえることになる。示すべき命題 P→Q を背理法で示すにあたり、
仮定のPは元から仮定されているから、Pであることがいえて、「Pでない」ということはあり得ない。
だから、「Qである」ことがいえる。つまり結論Qが得られる。
そのようにして、命題 P→Q を背理法で示すようになる。背理法の推論の仕組みとしては、そのようになっている。

スレ主は、今回の場合、仮定のPにあたる定理1.7の「R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる」を完全に適用していない。
それ故に、背理法を正しく適用出来ていないことになる。

220132人目の素数さん2018/02/15(木) 16:12:44.23ID:0aAhb8Kl
まあ、>>219
>命題 ¬(P∧ ¬Q)=¬P ∨ ¬¬Q=¬P ∨Q
は正しくは
>命題 ¬(P∧ ¬Q)≡¬P ∨ ¬¬Q≡¬P ∨Q
である。スレ主に、今回の背理法による推論のからくりは教えた。
だが、定理1.7を背理法で示すにあたり、
「R-Bfが可算個の疎な閉集合で被覆できる」を完全に適用するには ε-δ だけでなく
最低でも位相空間は必要だな。

221132人目の素数さん2018/02/15(木) 17:10:00.99ID:VntZxPVK
>>215
>定理1.7で、補集合R−BfがR中稠密な場合は、
>きちんと、条件設定”補集合R−BfがR中稠密”を付加した上で、そういう関数fが存在しないというなら、
>それを筋道立てて、証明すべきであると。それをやらないと説得力なしです。

>なので、問題の定理1.7のR−BfがR中稠密な場合は、きちんとした別証明が必要と思いますよ(みそくそ一緒の定理1.7の証明でなく)

その屁理屈は聞き飽きた。同じ屁理屈を 定理C に適用すると、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理C で、「 f が原点で不連続」な場合は、きちんと条件設定 "f は原点で不連続" を
付加したうえで、そういう関数fが存在しないというなら、それを筋道立てて、証明すべきであると。
それをやらないと説得力なしです。 なので、問題の定理Cの「 f が原点で不連続な場合」は、
きちんとした別証明が必要と思いますよ(みそくそ一緒の 定理C の証明でなく)
――――――――――――――――――――――――――――――――――――

ここでスレ主は、定理C のときだけは、次のような別の屁理屈を繰り出すのである。
――――――――――――――――――――――――――――――
定理Cの場合は、f が原点で不連続という場合分けは存在しない。
なぜなら、f が微分可能なら f は原点で連続になるからだ。
なぜそうなるかって?定理Cにそう書いてあるじゃないか。
――――――――――――――――――――――――――――――

だったら、同じ屁理屈を定理1.7にも適用すれば、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――
定理1.7 の場合は、R−B_f が R の中で稠密という場合分けは存在しない。
なぜなら、R−B_f が第一類集合なら、f はある開区間の上でリプシッツ連続だからだ。
なぜそうなるかって?定理1.7 にそう書いてあるじゃないか。
――――――――――――――――――――――――――――――――

結局、スレ主とかいうゴミクズの屁理屈は、どちらに転んでも自爆に終わるのである。

222132人目の素数さん2018/02/15(木) 17:11:30.82ID:VntZxPVK
>>204
>2.まず、「lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞」から、4つのディニ微分がいずれも有限値だと
> それは、即ちリプシッツ連続だということだ

息をするように間違えるゴミクズ。キチガイ。問題外。レベルが低すぎる。
お前の屁理屈を適用すると、

「 Af(x) が各点で有限値なら、f はどの区間の上でもリプシッツ連続だ 」

ということになる。しかし、既に見た

f(x)=0 (x=0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)

という関数が反例であると何度も言っている。この f は原点の近傍でリプシッツ連続にならないのである。
任意の点で A_f(x) が有限値であるにも関わらずな。

>>206
>1.さて、もう一つの下記
> a) lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞
> b) リプシッツ連続 (”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より)
> を認めると、前記と併せて、a)とb)は同値ということになる

(a)と(b)は同値にならない。理由は上に同じ。上で挙げた関数 f について、
A_f(x) は任意の点で有限値であるが、この f は原点の近傍でリプシッツ連続ではない。

223132人目の素数さん2018/02/15(木) 17:12:49.42ID:VntZxPVK
>>205
>2.また、「仮定の集合Bfが、ある開区間を含む」場合
> a)→b)を認めると、「仮定の集合Bfが、ある開区間を含む」→「その開区間でリプシッツ連続」が言える

まさしく「息をするように間違えるゴミクズ」。
上記の関数 f について、B_f=R が成り立つので、(a,b)⊂B_fなる開区間は取り放題である。
特に (−1, 1)⊂B_f という開区間を取ってみよう。すると、お前が言うところの

>「仮定の集合Bfが、ある開区間を含む」→「その開区間でリプシッツ連続」が言える

を適用すれば、f は (−1, 1) 全体でリプシッツ連続ということになるが、
しかし f は (−1, 1) 上ではリプシッツ連続にならない。

224132人目の素数さん2018/02/15(木) 17:17:05.50ID:VntZxPVK
>>208
>この例は、諸刃の剣というやつでしょ

原理的には諸刃の剣であることは俺も理解している。しかし、

>>110により、そのような関数は存在しない 」

と何度も添えているので、実際には俺の方は無傷なのである。一方で、お前はノーダメージとはいかない。
なぜなら、>>190のような関数が存在しないことを>>110を経由せずに自明に証明できなければ、

「 (a,b)⊂B_f なる開区間が存在するなら、f がある区間の上でリプシッツ連続になるのは自明だ」

というお前の直観が破壊されるからである。
というか、今までのお前の立場を考慮すると、お前の方から自発的に
>>190のような関数の有無に拘るべきなのである。にも関わらず、お前には

「 (a,b)⊂B_f なる開区間が存在するなら、f がある区間の上でリプシッツ連続になるのは自明だ」

というアホな "思い込み" があるので、お前は上記のような考察をせず、
なぜか俺の方から そのような考察をするという逆転した状況になっているのであるw

225132人目の素数さん2018/02/15(木) 17:19:31.83ID:VntZxPVK
>>211
>・f : R → R で Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ }
>・Bf内のある点 x0 ∈ Bf の回りに、近傍(x0 - δ、x0 + δ)を取って
>・近傍(x0 - δ、x0 + δ)内が、すべてBf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ }を満たす
> 近傍(x0 - δ、x0 + δ)内に、リプシッツ連続な開区間 (x0 - δ’、x0 + δ’)が取れるという
> 証明のストーリーと読みました

微妙に間違っている。正確には、もっと強いことを言っている。

・ ある B_{N,M} に対して、(a,b) ⊂ B_{N,M} なる開区間が存在する
・ この開区間の中にリプシッツ連続な区間が取れる

このように、B_f ではなく B_{N,M} 内に開区間が取れると言っている。
これは、B_f の中に開区間が取れることよりも遥かに強い条件になっている。
なぜなら、既に述べたように、B_f の各点xでは A_f(x) がただ単に有限値であるにすぎないのに対して、
B_{N,M} 上では一様に A_f(x)≦N が成り立つからだ。

>2)が、それ、暗黙に、”近傍(x0 - δ、x0 + δ)内が、
>すべてBf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ }を満たす”を使っていますね?

微妙に間違っている。正確には、もっと強いことを使っている。上で述べたように、
「ある B_{N,M} が (a,b) ⊂ B_{N,M} なる開区間を含む」ということを使っている。
この場合、(a,b)内の各点 x に対して Af(x)≦N が成り立つことになる。
そのような強い条件を使っているのである。

[続く]

226132人目の素数さん2018/02/15(木) 17:24:24.67ID:VntZxPVK
[続き]

>3)その条件は、補集合R−BfがR中稠密な場合は、使えないでしょ

使える。なぜなら、R−B_f が第一類集合なら、ベールのカテゴリ定理より、ある B_{N,M} に対して
(a,b) ⊂ B_{N,M} なる開区間が存在するからだ。すなわち、「 R−B_f が第一類集合 」という条件は

「 ある B_{N,M} に対して (a,b) ⊂ B_{N,M} なる開区間が存在する 」

という滅茶苦茶に強い条件を暗黙のうちに含意しているのである。
特に、R−B_f が第一類集合なら、R−B_f は R の中で稠密になりえないのである。
そういう「なりえない条件」を最初から付け加えたところで、仮定が偽になるだけである。
お前の屁理屈を使えば、

「そのような場合分けは存在しない」

のである。文句があるなら「ベールのカテゴリ定理」を批判したまえ。

227132人目の素数さん2018/02/15(木) 17:32:37.99ID:VntZxPVK
というか、何のための「第一類集合」だと思っているのだ。一般に、A ⊂ R が

「 R−A は第一類集合 」

という条件を満たすならば、A ⊂ ∪_k F_k なる可算無限個の閉集合 F_k を
任意に取るとき、ベールのカテゴリ定理により、ある F_k は内点を持つことになる。
すなわち、(a,b)⊂F_k なる開区間が取れることになる。大事なことなのでもう一度言う。

――――――――――――――――――――――――――――――
R−A が第一類集合ならば、「 A 」の方については、
A ⊂ ∪_k F_k なる可算無限個の閉集合 F_k を任意に取るとき、
ある F_k は内点を持つ(ベールのカテゴリ定理より)。
――――――――――――――――――――――――――――――

すなわち、R−A が第一類集合ならば、「 A 」の方は非常に強い性質を持っているのである。
にも関わらず、お前はこのことをずっと無視しつづけており、機械的に「第一類集合」という言葉を
振り回すだけで、第一類集合から導かれる上記の「強い」性質を全く視野に入れていない。

「 A 」が非常に強い性質を持つならば、その性質から暗黙のうちに含意される
様々な派生の性質があるはずで、それらの性質に矛盾するような条件は、お前から言わせれば
条件として追加できないはずであり、「場合分けとして存在しない」はずなのである。

しかし、お前は機械的に「第一類集合」という言葉を振り回すだけで、この条件から
何が言えるのか全く考慮してないために、お前が思いついた場合分けは何でも可能だと
思い込んでいる。いや、実際にはどんな場合分けも可能(おかしな場合分けは仮定が偽になるだけで、
場合分け自体は可能)なのだが、お前に言わせれば、「矛盾する場合分けは最初から
場合分けとして存在しない」はずである。にも関わらず、お前は追加した条件が
矛盾しているかどうかを全く考慮していないのである。やってることに一貫性がなくて滅茶苦茶。

228132人目の素数さん2018/02/15(木) 17:34:13.49ID:VntZxPVK
とりあえず、これだけは言っておこう。

R−B_f は第一類集合とする。このとき、「 B_f 」の方は次の性質を満たす。

――――――――――――――――――――――――――――――――
B_f ⊂ ∪_k F_k なる可算無限個の閉集合 F_k を任意に取るとき、
ある F_k は内点を持つ(ベールのカテゴリ定理より)。
――――――――――――――――――――――――――――――――

↑お前は今までずっとこの性質を無視し続けてきたので、これからはこの性質を使いたまえ。

229132人目の素数さん2018/02/15(木) 17:39:05.08ID:VntZxPVK
あと、定理1.7とは違う話になるが、練習問題も出しておく。
以下、f:R→R に対して、f の不連続点全体の集合を E_f と書くことにする。
連続点ではなく、「不連続点」の集合な。

このとき、次の定理が成り立つ。
――――――――――――――――――――――――――――――――
定理E:
R−E_f が第一類集合ならば、(a,b) ⊂ E_f を満たすa,bが存在する。
――――――――――――――――――――――――――――――――

↑この 定理E は正しい定理である。スレ主にはその理由が分かるかな?

230132人目の素数さん2018/02/15(木) 18:36:00.21ID:gCnkTTzV
>>215
>いやいや、流石にそれは強引な主張では?(下記ご参照)
強引ではありませんよ
P->Q

P∧¬Q->矛盾 (もしくはP∧¬Qは偽)
は同値だからです
この定理は
P:R-Bfが可算個の疎な閉集合で覆える
Q:fがリプシッツ連続となる開区間が存在する
というものであり
fにリプシッツ連続となる開区間が存在するならR-BfがRで稠密にならないのは自明ですので
''R-Bfが可算個の疎な閉集合で覆える"∧"R-BfがRで稠密"->矛盾
となる訳です
件の証明を書いた人が再三指摘しているあなたの思考法の難点は
背理法を理解していないことにあるようですね

231132人目の素数さん2018/02/15(木) 18:39:00.33ID:gCnkTTzV
結局
>>131
にはお答えいただけないようですね

232132人目の素数さん2018/02/15(木) 18:58:35.81ID:Ng4AGrJW
>>231
お前だって質問に答えないだろうがw
人には厳しいのね ぷ

233132人目の素数さん2018/02/15(木) 18:59:39.71ID:TzXrTrkr
>なにせ、私は、この板では証明を書かない主義です
と、教科書を読まない主義、勉強をしない主義のバカが申しております

234132人目の素数さん2018/02/15(木) 20:35:06.26ID:gCnkTTzV
>>232

235132人目の素数さん2018/02/15(木) 20:48:23.16ID:gCnkTTzV
>>215
>きちんと、条件設定”補集合R−BfがR中稠密”を付加した上で、そういう関数fが存在しないというなら、
>それを筋道立てて、証明すべきであると。それをやらないと説得力なしです。
P->Q
が真である場合
A->¬Q
が真であっても(なくても)
P∧A->Q
も真ですよ
また
A->¬Q
が真である場合
P∧A->Q∧¬Q
も真となりますので
P∧Aは偽
ということです
ここで
P:R-Bfが可算個の疎な閉集合で覆える
Q:fがリプシッツ連続となる開区間が存在する
A:R-BfがRで稠密
を想定してください

236132人目の素数さん2018/02/16(金) 01:00:25.40ID:xXIgzvk8
>>215
>>あなたが定理を``間違っている''と主張する場合
>>R-Bfが稠密でかつ可算個の疎な閉集合で被覆できるfの例を作れなければ
>>説得力は皆無ですよ
>
>私の主張は逆で、
>定理1.7で、補集合R−BfがR中稠密な場合は、
>きちんと、条件設定”補集合R−BfがR中稠密”を付加した上で、そういう関数fが存在しないというなら、
>それを筋道立てて、証明すべきであると。それをやらないと説得力なしです。
背理法を理解していないことが納得がいかない元凶です
また
あなたの主張の1つは``件の定理は間違っている''というものですから
間違っていることを証明するか成立しない例を挙げるかその主張を取り下げるかしかありません
``間違っている''という主張を取り下げた上で``間違っていそうな気がする''程度であれば
数学的に間違ったことを主張しているということでの批判はされはしないでしょう

237132人目の素数さん2018/02/16(金) 01:17:30.91ID:eQJLjvN9
あなたの主張の1つは``時枝戦略は間違っている''というものですから
間違っていることを証明するか成立しない例を挙げるかその主張を取り下げるかしかありませんよ

238132人目の素数さん2018/02/16(金) 07:27:57.61ID:xXIgzvk8
>>236
``間違っていそうな気がする''
程度であってもバカにされることを気にするかも知れませんね
証明を読んで納得することが肝要ですよ

>>236-238
>あなたの主張の1つは``件の定理は間違っている''というものですから
>間違っていることを証明するか成立しない例を挙げるかその主張を取り下げるかしかありません

えらく根源的なレベルまで、話が戻っていますかね?
私の主張は、数学の理論というのは、定理:P→Q で、
定理が成立するというのは、P真→Q真が成り立っていて、命題PからQがきちんと導かれる(=証明がつけられる)
べし だと

そうして、定理の連鎖による数学の理論体系を構築する。定理:P→Q、定理:Q→R、・・・と続いて連鎖と理論体系を成すべし
その中に、「実は、P偽→Q偽で、命題自身は真なのですが・・」なんてのを、混ぜたら、みんなズッコケでしょう?

つづく

>>239 つづき

これを定理1.7に見るに(>>13より)
命題P中 「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できる」を、普通に場合分けすると
>>23より)
1)R中稠密でない場合、
2)R中稠密な場合
に、二分でき

1)の場合について、
命題P’1:「R−Bf:RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密でない、とする。」
2)の場合について、
命題P’2:「R−Bf:RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
となる

そこで
>>205より、「定理1.7が成り立つと、仮定の集合Bfもまた、ある開区間を含む
  だから、定理1.7が成り立つと、補集合R−Bfが稠密ではないという結論になる(補集合R−Bfが稠密なら、Bfは開区間を含みえない)」

なので、命題P’2のい場合ついては、仮定P’2(稠密で開区間なし)と、 結論:ある開区間がリプシッツ連続 →この開区間は仮定のBfの条件を満たす
従って、仮定P’2と結論とが矛盾しているので、ここはきちんと場合分けをすべきだと

そして、「証明が正しいから、これで良いのだ」と仰るが、それはおかしい
繰り返すが、本来、定理の命題と証明は分離されるべきもので、例えば、定理が正しければ、元の証明以外の別証明もありうるわけだし

数学の定理の命題は、上記のように数学の理論体系の一部をなすべきものであるから、
命題の論理の連鎖がつながるように、最低限の体裁を整えないといけませんね

2)の場合について、
命題P’2:「R−Bf:RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
 ↓
結論:この場合は、fは空集合(存在しない)

という定理を立てるなら、それはまっとうな数学の定理と言える
しかし、
「結論:ある開区間がリプシッツ連続」
で、この場合は空集合で、条件が偽です。

「それで良い。条件が偽で命題は正しいし、証明が正しいから」
では、まずいと思いますよ

以上

>>237
時枝については、確率過程論や、ランダム現象の数理の中に、当てられない数列の例が、存在します
それが反例ですが、その理解が難しいんでしょうね
なお、ここらは、日本の伊藤清先生らの系譜で、日本数学の伝統の分野です

>>240 補足

系1.8については、別の理論で証明されています。それは既述の通りです。多分、ここは合意でしょう。
そして、背理法は系1.8の部分です。

問題は、定理1.7です。
ここは、背理法以前です。

定理1.7で、上記>>240 2)の場合について、
命題P’2:「R−Bf:RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
が、本当に空集合になるのかどうか? それは知りません

おそらく、空ではなく、反例として存在するのではないかと思っています
まあ、普通の連続・不連続で、R中の部分集合として連続がFσ、不連続がGδとして存在するの類似かな?と

つまり、「Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ }」が連続に相当しFσ
補集合 R−Bf が、不連続に相当しGδだろうと

残念ながら、そういう理論の論文は見つかりませんでした
そして、これも残念ながら、リプシッツ連続や上記のBfと R−Bf とについて
「Fσ vs Gδ」理論を構築するような”かしこい頭”は、私にはありません(^^
どなたか、これに関する文献などあれば、ご紹介ください

「そんなこと簡単にできるよ」と、どなたか実行して頂ければ、さらに幸甚です(^^

以上

追伸
命題の仮定と結論レベルで矛盾している定理を、「証明しました」というのは、普通は「?」ですよ

>>218
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ご苦労さまです

>有限回の推論に基づくことのみを適用して有限回の推論で矛盾を導いて

数学的帰納法や超限帰納法は、有限ですか無限ですか?

>>219
定理1.7は、背理法ではありませんよ
だから問題なんです
系1.8は、背理法です。

>>220
「完全に適用していない」とか、関係ないでしょ? 一部だけの使用でも矛盾が導ければ同じと考えます

以上

>>231
>>>131
>にはお答えいただけないようですね

なんども同じことを書いていますが
>>239-240 & >>242 をご参照ください

>>244 補足

(>>240より)
仮定P’2:「R−Bf:RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
 ↓
結論:この場合は、fは空集合(存在しない)

は、証明可能かもしれません。(定理1.7の証明で、「自動的に証明できている」という主張は無茶では?)

しかし
仮定P’2:「R−Bf:RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
  ↓
 f はある開区間の上でリプシッツ連続である
  ↓
結論: f はある開区間(=リプシッツ連続な開区間)の上で ”lim sup y → x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞”である
 が言える (つまり、リプシッツ連続→”lim sup y → x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞” が成立。つまり、Bf内に開区間ありと)
>>205より)

ですから、繰り返しますが
仮定は、補集合がR中稠密で、Bfは開区間など持ち得ない
結論は、Bfは開区間を持つ
です

だから、仮定から結論は、導けない。
この証明は不可能でしょう

だから、
仮定:補集合がR中稠密で、Bfは開区間など持ち得ない

から出発して
結論(A):そのようなfは空集合(存在しない)
結論(B):そのようなfは存在し、反例になる

このように、結論(A)か結論(B)か、どちらかをきちんと証明すべきです

(繰り返すが、仮定:補集合がR中稠密で、Bfは開区間など持ち得ない だから、結論が、Bf内に開区間あり は、まずいよと)

以上

>>235
>P->Q
>が真である場合

1)
P:「R−Bf:RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」(>>245

Q:「f はある開区間の上でリプシッツ連続である」
  ↓
 f はある開区間(=リプシッツ連続な開区間)の上で ”lim sup y → x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞”である
 が言える (つまり、リプシッツ連続→”lim sup y → x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞” が成立。つまり、Bf内に開区間ありと)

ですから、P→Q(”Bf内に開区間あり”)です

2)
一方で、”Bfの補集合が、R中稠密”ですから、Bf内に(Bfのみの)開区間なし(必ずBfの補集合R−Bfがその開区間に交じります)
ですから、P→¬Qです

3)
P→QとP→¬Qとは両立しません。どちらかを捨てるしかありません(排中律)
P→¬Qは”R中稠密”から自明ですので、P→Qを捨てることになります。

以上

>>230
引用
「この定理は
P:R-Bfが可算個の疎な閉集合で覆える
Q:fがリプシッツ連続となる開区間が存在する
というものであり
fにリプシッツ連続となる開区間が存在するならR-BfがRで稠密にならないのは自明ですので
''R-Bfが可算個の疎な閉集合で覆える"∧"R-BfがRで稠密"->矛盾
となる訳です
件の証明を書いた人が再三指摘しているあなたの思考法の難点は
背理法を理解していないことにあるようですね」
(引用終わり)

ここは、>>246ご参照
”P→QとP→¬Qとは両立しません。どちらかを捨てるしかありません(排中律)
P→¬Qは”R中稠密”から自明に成立ですので、P→Qを捨てることになります。”ってことです
背理法とは、明白に異なっています

以上

>>214 補足
>まあ、分かりやすい証明を考えますよ(^^

<経過報告>
>>204より)
1)定理1.7の条件;lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ ( lim supが有限)
  ↓↑
2)ディニ微分 (4つのDini微分が有限)
  ↓↑
3)定理1.7の結論;リプシッツ連続 (”任意の実数x,yに対し |f(x)-f(y)|<= k|x-y| を満たす0以上のkがとれる”>>199より)(k 有限)

まあ、命題3つとも全部”有限からみ”で、特に”2)ディニ微分 (4つのDini微分が有限)”を中心にして、1)2)3)が全て同値が言えるのえではというのがそもそもの発想です
1)と2)が同値であることは、>>200 テキスト Fundamentals of Real Analysis のP220 で終わっていると思う

3)が見かけ一番強い条件で、3)→1)を見るのは易しい(>>205に書いた)
だから、2)→3)又は1)→3)が言えれば良い

仮定は1)の”lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ ( lim supが有限)”の開区間が存在するだから
この開区間が存在する仮定のもとで、→(この区間内で)”リプシッツ連続”が言えれば良い

まあ、この程度の話だから、すでにどこかのテキストに同じ命題か類似命題があるのでは・・、その方が説得力もあるので探しているところ
無ければ、それこそ背理法を使って

”lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ ( lim supが有限)”の開区間が存在するにも拘わらず
この開区間内に、”リプシッツ不連続”な点(k 無限大発散)
として、矛盾を導く(例えば、”リプシッツ不連続”(k 無限大発散)な点では、4つのDini微分のどれかが無限大になる)
方針で、証明することになるだろう

(まあ、なにかテキストを見つけて読んだ方が勉強になるので、いま模索&思案中です・・(^^ )

以上

249132人目の素数さん2018/02/16(金) 17:33:03.22ID:oZfMkl2p
>>240
>そこで
>>205より、「定理1.7が成り立つと、仮定の集合Bfもまた、ある開区間を含む
>  だから、定理1.7が成り立つと、補集合R−Bfが稠密ではないという結論になる(補集合R−Bfが稠密なら、Bfは開区間を含みえない)」
>なので、命題P’2のい場合ついては、仮定P’2(稠密で開区間なし)と、
>結論:ある開区間がリプシッツ連続 →この開区間は仮定のBfの条件を満たす
>従って、仮定P’2と結論とが矛盾しているので、ここはきちんと場合分けをすべきだと

同じ屁理屈を定理Cに適用すると、次のようになる。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――
定理Cが成り立つと、f が原点で微分可能なら、f は原点で連続である。だから、
定理Cが成り立つと、f は原点で不連続になりえないという結論になる。なので、

(1) f が原点で連続である場合 (2) f が原点で不連続である場合

と場合分けしたときの (2) の場合については、仮定(2)と結論とが
矛盾しているので、ここはきちんと場合分けをすべきだと。
―――――――――――――――――――――――――――――――――――――

↑このように、お前は定理Cについて「(1),(2)のケースに場合分けしなければならない」と
ほざいているのである。

250132人目の素数さん2018/02/16(金) 17:34:22.38ID:oZfMkl2p
>>240
>2)の場合について、
>命題P’2:「R−Bf:RにおけるBfの補集合で、ベールの第一類集合で、R中稠密である、とする。」
> ↓
>結論:この場合は、fは空集合(存在しない)
>という定理を立てるなら、それはまっとうな数学の定理と言える
>しかし、
>「結論:ある開区間がリプシッツ連続」
>で、この場合は空集合で、条件が偽です。
>「それで良い。条件が偽で命題は正しいし、証明が正しいから」
>では、まずいと思いますよ

同じ屁理屈を定理Cに適用すると、次のようになる。
―――――――――――――――――――――――――――――――
「(2) f は原点で不連続」の場合について、
命題:f は原点で微分可能で、fは原点で不連続とする。

結論:この場合は、f は空集合(存在しない)
という定理を立てるなら、それはまっとうな数学の定理と言える
しかし、
「結論:f は原点で連続」
で、この場合は空集合で、条件が偽です。
「それで良い。条件が偽で命題は正しいし、証明が正しいから」
では、まずいと思いますよ。
―――――――――――――――――――――――――――――――

↑このように、お前は定理Cについて「定理Cの記述のままでは まずいと思いますよ」と
ほざいているのである。

251132人目の素数さん2018/02/16(金) 17:35:23.51ID:oZfMkl2p
しかし、スレ主は定理Cに対しては次のような屁理屈を繰り出すのだった。
――――――――――――――――――――――――――――――
定理Cの場合は、「(2) f が原点で不連続」という場合分けは存在しない。
なぜなら、f が微分可能なら f は原点で連続になるからだ。
なぜそうなるかって?定理Cにそう書いてあるじゃないか。
――――――――――――――――――――――――――――――

だったら、同じ屁理屈を定理1.7にも適用すれば、次のようになる。
――――――――――――――――――――――――――――――――
定理1.7 の場合は、「 R−B_f が R の中で稠密」という場合分けは存在しない。
なぜなら、R−B_f が第一類集合なら、f はある開区間の上でリプシッツ連続だからだ。
なぜそうなるかって?定理1.7 にそう書いてあるじゃないか。
――――――――――――――――――――――――――――――――

結局、スレ主とかいうゴミクズの屁理屈は、どちらに転んでも自爆に終わるのである。

252132人目の素数さん2018/02/16(金) 17:46:51.60ID:oZfMkl2p
>>245
>ですから、繰り返しますが
>仮定は、補集合がR中稠密で、Bfは開区間など持ち得ない
>結論は、Bfは開区間を持つ
>です

>だから、仮定から結論は、導けない。
>この証明は不可能でしょう

>>142-143で論破済み。示すべきは

・「P → Q 」が真であることを証明すること

なのであって、「 P という仮定のもとで絶対に Q を導かなければ証明にならない 」
というわけではない。P が偽であることが示せたなら、その時点で
「P → Q 」は真だと確定するので、もはや Q に言及する必要は
どこにもなく、証明は終わっている。

どうしても Q を導出したければ、>>143に書いたように、
「矛盾した命題からは何でも導出できるので〜」という論法を使って
「 Q 」を導出すればよい。今回の場合は、仮定が矛盾していることを導いた後、
―――――――――――――――――――――――――
矛盾した命題からは任意の命題を導出してよいので、
特に「Bfは開区間を持つ」という命題を導出してよい。
よって、Bfは開区間を持つ。
―――――――――――――――――――――――――
と書けばよい。これできちんと結論が導出できている。

いずれにしても、お前がそこで書いていることは>>142-143で論破済み。

253132人目の素数さん2018/02/16(金) 17:48:29.17ID:oZfMkl2p
>>248
>だから、2)→3)又は1)→3)が言えれば良い

言えないよ。もしそこが言えたら、

(★) (a,b)⊂B_f なる開区間が存在するなら、f は (a,b) 全体でリプシッツ連続である

ということが示せることになってしまうが、既に見たように

f(x)=0 (x=0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)

が(★)の反例になっている。この例では、(−1,1)⊂B_f が成り立つにも関わらず、
f は (−1,1) 上ではリプシッツ連続になってない。

つまり、お前の方針は自動的に失敗する。

254132人目の素数さん2018/02/16(金) 17:52:59.42ID:oZfMkl2p
>>242
>つまり、「Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ }」が連続に相当しFσ
>補集合 R−Bf が、不連続に相当しGδだろうと

バカだな。一般に、次の 定理F が成り立つことに注意せよ。
――――――――――――――――――――――――――――――
定理F:
A ⊂ R は Fσ集合とする。このとき、もし R−A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。
――――――――――――――――――――――――――――――

よって、もし Bf が Fσ 集合ならば、R−B_f が第一類集合のときには
(a,b)⊂B_f なる開区間が必ず取れることが即座に確定する。
このことは、定理1.7を経由することで既に確定しているが、
上記の 定理F により、さらに直接的に確定するのである。
つまり、Bf が Fσ 集合ならば、R−B_f が第一類集合のときに

「 R−B_f は R の中で稠密 」

なんてのは最初から起こりようが無いのである。
スレ主の屁理屈によれば、"R の中で稠密" なんていう場合分けは存在しないのである。
つまり、お前が「 Bf は Fσ 集合であろう」と予想するなら、お前は自分自身の手で
墓穴を掘っていることになるのだ。

ちなみに、Bf は実際に Fσ 集合である。例の pdf のままではそのことは証明できないが、
手元にはその証明がある。そして、そのことを使っても定理1.7が証明できる。
なんなら、うpろだに上げてもよい。

255132人目の素数さん2018/02/16(金) 19:29:31.18ID:eQJLjvN9
>>241
>時枝については、確率過程論や、ランダム現象の数理の中に、当てられない数列の例が、存在します
アホ丸出しw

256DJ学術 2018/02/16(金) 20:00:20.87ID:yN3n4O8g
数学用語はリズムが合わないな。脚韻とかそっちの文学世界の方が楽しい。

257132人目の素数さん2018/02/16(金) 22:24:40.84ID:wpVIJgKd
時枝氏の議論はもう置いておこう。なんの話しか分からなくなる。
スレ主も「時枝」を議論したいなら専用スレ作ることを提案する。貴重な議論が「時枝」ですぐ乱れる。数学ネタをココから少々拾う身としては辛い。
専用スレ作っても意味無いかも知れぬが。

258132人目の素数さん2018/02/16(金) 23:05:50.96ID:ctIhm5VI
>>257
> 貴重な議論が「時枝」ですぐ乱れる。

貴重ですかねコレ
あまりに馬鹿馬鹿しい議論だと思いますが
証明読めば分かるのに難癖つけまくってるだけですよね
懇切丁寧に説明しても一向に分からないスレ主

時枝も同じですよ
問題を読み違えている人とか、まったく分かってない人とか
確率0とかねw
読み違えを指摘されても全く答えない ぷ氏

259132人目の素数さん2018/02/17(土) 07:32:25.44ID:oEbC5FQb
>時枝については、確率過程論や、ランダム現象の数理の中に、当てられない数列の例が、存在します
そこまで言うなら、数列の実例を挙げて当てられないことを証明しては?
時枝解法のどこが破綻するのか具体的に示してね

260132人目の素数さん2018/02/17(土) 09:16:59.89ID:07PyDvE/
おっちゃんです。
>>243
>>有限回の推論に基づくことのみを適用して有限回の推論で矛盾を導いて

>数学的帰納法や超限帰納法は、有限ですか無限ですか?
これも有限回の推論になる。

261132人目の素数さん2018/02/17(土) 09:19:22.23ID:07PyDvE/
>>243
>>219
>定理1.7は、背理法ではありませんよ
>だから問題なんです
>>218-219の補足だが、命題 P→Q を示すにあたり、背理法で
命題 P∧ ¬Q を偽と仮定したことは、Pであって かつ Qでない ことを仮定したことになる。
これは定理1.7でいうと、 「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆出来」て
かつ 「f :R→R は如何なる開区間の上でもリプシッツ連続ではない」ことを仮定したことになる。
つまり、「R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆出来」て かつ
「f :R→R は如何なる開区間の上でも微分不可能 または fが或る開区間上微分可能だとしても導関数 f' は不連続である」
ことを仮定したことになる。これは、スレ主に従うと、そのままスレ主の主張に当てはまることになる。
そして、>>218-219>>218で書いたことの一部と似たような内容になるが、定理1.7を偽として真の命題である系1.8を導く証明が正しいとする。
そうすると出だしの定理1.7が偽だから、定理1.7とは違う他の命題 P' で任意に置き換えて、命題 P' から系1.8が導けることになる。
だが、このようなことはあり得ない。だから、定理1.7を偽として真の命題である系1.8を導く証明は正しくない。
だから、定理1.7を真として真の命題である系1.8を導く証明をすることになる。
それ故、このように、スレ主の主張に対して>>218-219の内容に似たことが適用されることになる。

262132人目の素数さん2018/02/17(土) 09:26:32.56ID:07PyDvE/
>>243
>>220
>「完全に適用していない」とか、関係ないでしょ? 一部だけの使用でも矛盾が導ければ同じと考えます
一部の使用だけだと、使った部分のみを仮定とする命題を示したことになる。
理由はやはり>>218-219>>218の一部の内容に似たことが適用されることになる。

>>261の「>>218で書いたことの一部」やこのレスでいう「>>218の一部」とは、具体的には
>これを行うにあたり、Qの否定 ¬Q からいえることだけを適用して有限回の推論で矛盾を導けて P→Q を導けるとする。
>そうすると、P、Qは両方共に真か偽のどちらか一方で、示すべき命題 P→Q は元々真だから、
>仮定のPを任意の(Pとは異なる他の)仮定 P' で置き換えて P'→Q を背理法で示せることになる。
>つまり、一般論として、結論Qが与えられた上で、任意の仮定 P' に対して、命題 P'→Q を背理法で示せることがいえる。
>だが、これはあり得ない。
の部分のこと。

>>248 準備

<リプシッツ連続まとめ>

1)いろいろ調べているが、文献が多いのは、圧倒的に”リプシッツ連続”に関すること
2)次が、ディニ微分。ディニ微分に関する和文の文献は数えるほどだ。英文はかなりあるが、本格的な論文か、出版された実解析の教科書がほとんどだな
3)”定理1.7の条件;lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ ( lim supが有限)”は、あまりなさそう。まあ、名前もついていないしね
4)で、”リプシッツ連続”が下記だが、「連続的微分可能 ⊆ リプシッツ連続 ⊆ α-ヘルダー連続 (0 < α <= 1) ⊆ 一様連続 ⊆ 連続函数」で
5)上記1)〜3)は、どれも、「連続的微分可能以上、α-ヘルダー連続 (0 < α <= 1)以下」ってことなので、実関数の同じような性質(傾きがある有限値)を規定しているってことですな

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
リプシッツ連続
(抜粋)
直観的には、リプシッツ連続函数は変化の速さが制限される。即ち、適当な有限値の実数が存在して、その函数のグラフ上の任意の二点を結ぶ直線の傾きの絶対値はその実数を超えない。この上界をその函数の「リプシッツ定数」
(あるいは一様連続度(英語版))
https://en.wikipedia.org/wiki/modulus_of_continuity
と呼ぶ。例えば一階微分が有界な任意の函数はリプシッツである[1]。

微分方程式論において、リプシッツ連続性は初期値問題の解の存在と一意性を保証するピカール-リンデレフの定理(英語版)
https://en.wikipedia.org/wiki/Picard%E2%80%93Lindel%C3%B6f_theorem
の中心的な条件である。リプシッツ連続性の特別な場合で、縮小性はバナッハの不動点定理において用いられる。

実数直線の有界閉集合上で定義される函数に関して、以下のような包含関係の鎖が知られている[2]:

連続的微分可能 ⊆ リプシッツ連続 ⊆ α-ヘルダー連続 (0 < α <= 1) ⊆ 一様連続 ⊆ 連続函数.
また、
リプシッツ連続 ⊆ 絶対連続 ⊆ 有界変動 ⊆ 殆ど至る所微分可能
も成り立つ。

つづく

>>263 つづき

例 (主にリプシッツ連続でない)

連続だが(大域的)リプシッツ連続でない
 ・閉区間 [0,?1] 上定義された函数 f(x) = √x はリプシッツ連続でない。この函数は x → 0 の極限で、導函数が無限大に発散するから、いくらでも傾きが急になる。にも拘らずこの函数は一様連続[3]であり、かつ α <= 1/2 に対して C0,α-級ヘルダー連続である。

可微分だが(大域)リプシッツ連続でない
 ・函数 f(x) = x^3/2sin(1/x) (x ≠ 0) かつ f(0) = 0 を閉区間 [0,?1] へ制限したものは、コンパクト集合上微分可能だが局所リプシッツでない函数の例を与える。実際、その導函数は有界でない。

解析的だが(大域)リプシッツでない
 ・指数函数は x → ∞ でいくらでも傾きがおおきくなるから、大域リプシッツ函数とはならないが、それにもかかわらず解析函数になる。
 ・実数全体で定義された函数 f(x) = x^2 はリプシッツでない(x → ∞ でいくらでも傾きが大きくなる)。しかしこれは局所リプシッツである。

つづく

>>264 つづき

性質
・リプシッツ函数 g: R → R は絶対連続であり、したがって殆ど至る所微分可能(つまりルベーグ測度 0 の集合の外側の任意の点で微分可能)である。その導函数は絶対値がリプシッツ定数を本質的上界として本質的有界(英語版)である。また、a < b に対して、差分 g(b) ? g(a) は導函数 g' の区間 [a,?b] 上の積分に等しい。
 ・逆に、f: I → R が絶対連続、従って殆ど至る所微分可能であるとし、|f'(x)| ? K (a.a. x ∈ I) を満たすならば、f はリプシッツ定数が高々 K のリプシッツ連続である。
・共通のリプシッツ定数を持つリプシッツ連続函数の族 fα に対し、函数 supα ?fα および infα?fα は、それが少なくとも一点において有限な値をとるならば、また同じリプシッツ定数を持つリプシッツ連続函数となる。
(引用終り)

つづく


>>266 つづき

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/6067684.html
微分方程式の一意性 質問者:foriver7質問日時:2010/07/27
(抜粋)
No.3 回答者: 178-tall 回答日時:2010/07/27 13:50
リプシッツ不連続でよく出される例みたいですね。
   ↓ 参考URL
>3.1.3 解の一意性
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~naito/lecture/2002_SS.ode/PDF/resume-06.pdf
(引用終り)

(参考)
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~naito/
内藤 久資(ないとう ひさし) 名古屋大学 大学院多元数理科学研究科・理学部数理学科
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~naito/lecture/2002_SS.ode/
2002年度前期「微分方程式」 (理学部数理学科3年)
http://www.math.nagoya-u.ac.jp/~naito/lecture/2002_SS.ode/PDF/resume-06.pdf
解の一意性とリプシッツ連続性 単独1階常微分方程式 (5) 6回目講義レジュメ 微分方程式 2002
(引用終り)

以上

>>260-262
おっちゃん、どうも、スレ主です。
ご苦労さまです!(^^

今日は、ダブル羽生でいそがしい日だな
藤井聡太−羽生戦は、藤井聡太勝ちで、朝日杯決勝進出だ

270132人目の素数さん2018/02/17(土) 14:03:23.32ID:axXh/K/2
>>269
書くなよ

271132人目の素数さん2018/02/17(土) 18:10:48.93ID:piKfhfZj
正直なところ数学は独学のほうが身につく

272 ◆QZaw55cn4c 2018/02/17(土) 18:13:37.71ID:9jRO7d0E
>>271
その言葉、日々の支えとさせてください

273132人目の素数さん2018/02/18(日) 00:36:42.63ID:v0+yxXMC
結局口先だけで何一つ証明できないスレ主

274132人目の素数さん2018/02/18(日) 09:11:32.87ID:WqE33pZi

いろいろ忙しいので、まずは大きなところから

>>254

引用
"一般に、次の 定理F が成り立つことに注意せよ。
――――――――――――――――――――――――――――――
定理F:
A ⊂ R は Fσ集合とする。このとき、もし R−A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。
――――――――――――――――――――――――――――――
よって、もし Bf が Fσ 集合ならば、R−B_f が第一類集合のときには
(a,b)⊂B_f なる開区間が必ず取れることが即座に確定する。"
(引用終り)


なんだ?
おれもバカだね。一杯食わされていたのか?(下記スレ49)

(引用開始)
スレ49 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1514376850/
13 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2017/12/27(水) 23:36:31.32 ID:hLkm2n+q [1/3]
(抜粋)
例の定理の仮定は「 R−B_f は第一類集合である 」というものである。
もちろん、例の定理の証明は この仮定のもとで進められる。
(引用終り)

だったよね。
というか、あなた、混乱してないか?

つづく

>>276 つづき

1)
要は、第一類集合 → 疎集合 → nowhere dense set → 補集合が開区間を含む(例えば下記渕野「ポーランドとチェコへの数学の旅」”全疎”定義1b)ご参照)ってこと
で、日本語では”疎集合”の用法が混乱していて、使い方が”meagre set” と ”nowhere dense”と、二つの用法あるという(下記 wikipedia 疎集合 注釈 [* 1] ご参照)

そして、同じくwikipedia 疎集合より
「R の部分集合としての、有理数からなる集合は、その「内部の閉包が空である」という性質を持つが、疎集合ではなく、実際 R において稠密である。」とあります
wikipedia 疎集合より
「実数の全体 R に通常の位相を考えたものはベール空間であり、したがって自分自身において第二類である。有理数の全体 Q は R において第一類であり、無理数の全体 P は R において第二類である。」とあります

つまり、第一類集合は、”meagre set”です。なお、ベール空間wikipedia 歴史的定義ご参照

2)
定理1.7”R−Bf が内点を持たない閉集合の高々可算和で被覆できるならば”(>>13)だった。
「高々可算和」を場合分けすると(^^
1.有限
2.可算無限だが稠密でない(例 整数)
3.可算無限で稠密(例 有理数、代数的数)
の3つ分けられる

1.と2.とが、”nowhere dense”で、渕野流”全疎”、wikipedia流 ”疎集合”
3.が、ベール空間 歴史的定義の”第一類 (first category) または痩せている (meagre) ”であって、”nowhere dense”ではない。
(上記のように、有理数の全体 Q は R において第一類であり、補集合の無理数のみの開区間はとれない)
だから、定理F不成立と思うよ

以上

つづく

>>277 つづき

(参考)

http://fuchino.ddo.jp/articles/winterreise2016ex.pdf
冬の旅 ? ポーランドとチェコへの数学の旅11 渕野昌 201712
(抜粋)
(以下の文章は,『数学セミナー』2016 年6 月号に掲載された同名の記事の拡張版です.)
P23
ポーランド学派の研究での一つの中心主題は実
数全体R の構造の研究であった. そして,彼らの研究では,測度とカテゴリーに関する
考察が重要な役割を果たしていた. (ただし,ここで言うカテゴリーとは,カテゴリー理
論のそれではなく,第1種(first category) および第2種(second category) の集合に関す
る議論のことである.) 測度とカテゴリーは,多くの場合,大変似た振舞をすることが知
られていて,連続体仮説,あるいは,もう少し一般的に,例えば,マルティンの公理の下
では,実際に,強い形の双対性が測度とカテゴリーの間に成り立っていることが知られて
いる(定理A.3 ).また,フビニの定理とウラム- クラトウスキーの定理,コルモゴロフの
0 - 1則とそれに相当するベールの性質を持つ集合に関する定理など,連続体仮説などの
仮定なしに集合論の枠組みの中で既に証明できるもので,測度とカテゴリーに関して対に
なっている定理が多く見られる.これらのことは,例えば[3] に詳しい.

定義1
b) R の部分集合X は,任意の実数上の区間I に対し,I \ X が空でない開区間を含むと
き,全疎であるという.R の部分集合X は,全疎集合の可算和として表されるとき,
第1類の集合と呼ばれる.
(引用終り)

つづく

>>278 つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%96%8E%E9%9B%86%E5%90%88
疎集合
(抜粋)
数学の分野における、位相空間内の疎集合(そしゅうごう、英語: nowhere dense set)[* 1]とは、閉包の内部が空であるような集合のことである。
この言葉の順番が大事で、例えば、R の部分集合としての、有理数からなる集合は、その「内部の閉包が空である」という性質を持つが、疎集合ではなく、実際 R において稠密である。

疎集合のすべての部分集合はまた疎集合であり、有限個の疎集合の合併もまた疎集合である。すなわち、疎集合は集合のイデアル(無視可能な集合(英語版)に関する適正な概念)を形成する。
可算個の疎集合の合併は、しかし、必ずしも疎集合ではない(したがって、疎集合は必ずしもσ-イデアル(英語版)を形成しない)。そのような合併はやせた集合(英語版)[* 1]あるいは第1類集合と呼ばれる。この概念は、ベールの範疇定理を考える上で重要である。

開と閉
・ある集合が疎集合であることと、その閉包が疎集合であることは必要十分である。
・閉疎集合の補集合は稠密な開集合であり、したがって、疎集合の補集合は稠密な内部を持つ集合である。
・開集合の境界は、閉疎集合である。
・すべての閉疎集合は、ある開集合の境界である。

注釈
[* 1]^ a b 「疎集合」という名称を meagre set のために用い、nowhere dense には「至る所疎」や「至る所非稠密」などの訳語を充てる流儀もある。例えば 渕野昌 (2002) (PDF), 実数の集合論の基礎の基礎
http://math.cs.kitami-it.ac.jp/~fuchino/notes/set-th-of-reals-kiso-no-kiso.pdf
(引用終り)

つづく

>>279 つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB%E7%A9%BA%E9%96%93
ベール空間
(抜粋)
歴史的定義
詳細は「第一類集合」を参照
ベールのオリジナルの定義では、範疇の概念が以下のように定義された。

位相空間 X の部分集合が、
・X において疎あるいは至る所疎 (nowhere dense) であるとは、その閉包の内部が空であることを言う。
・X において第一類 (first category) または痩せている (meagre) とは、それが可算個の疎集合の和になっていることを言う。
・X において第二類 (second category) または痩せていない (nonmeagre) とは、それが X において第一類でないことを言う。

これらの言葉でベール空間の定義を述べると次のようになる:「位相空間 X がベール空間となるのは、任意の空でない開集合が X において第二類であるときである」。この定義は先述の現代的定義と同値である。
X の部分集合 A が残留的 (residual, comeagre) であるとは、その補集合 X \ A が痩せていることを言う。位相空間 X がベール空間であるための必要十分条件は、X の任意の残留的部分空間が稠密になることである。


・実数の全体 R に通常の位相を考えたものはベール空間であり、したがって自分自身において第二類である。有理数の全体 Q は R において第一類であり、無理数の全体 P は R において第二類である。
・有理数の全体 Q に R からくる通常の位相を入れた空間はベール空間でない。これは Q が可算個ある各点 q に対応する一元集合 {q}(これは内点を持たない閉集合になっている)の合併として書けることによる。

ベールの範疇定理
詳細は「ベールの範疇定理」https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E7%AF%84%E7%96%87%E5%AE%9A%E7%90%86 を参照
(引用終り)

以上

追記
「無理数の全体 P」とあるね(^^

>>253
(引用開始)
>>248
>だから、2)→3)又は1)→3)が言えれば良い
言えないよ。もしそこが言えたら、
(★) (a,b)⊂B_f なる開区間が存在するなら、f は (a,b) 全体でリプシッツ連続である
ということが示せることになってしまうが、既に見たように
f(x)=0 (x=0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)
が(★)の反例になっている。この例では、(−1,1)⊂B_f が成り立つにも関わらず、
f は (−1,1) 上ではリプシッツ連続になってない。
つまり、お前の方針は自動的に失敗する。」
(引用終り)

えーと

>>13
定理1.7 (422 に書いた定理)
f : R → R とする.
Bf :={x ∈ R | lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞ }
(引用終り)

いいかな
1)Bfの条件は、下記の4つの Dini微分 (D^+ g)(c),(D + g)(c),(D^- g)(c),(D - g)(c)が有限値で収まることを意味している。(下記a))
2)ディニ微分は、もし f が t において微分可能ならば、その t における各ディニ微分は通常の意味での微分に等しい。(下記b))
3)函数 f(x) = x^3/2sin(1/x) (x ≠ 0) かつ f(0) = 0 を閉区間 [0,1] へ制限したものは、コンパクト集合上微分可能だが局所リプシッツでない函数の例を与える。実際、その導函数は有界でない。(下記c))
4)従って、この例は、lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|も、有界でない
5)要するに、 lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞と、リプシッツ連続(=有限なリプシッツ定数を持つ)は、同じことを言っていると思うよ

つづく

>>281 つづき

a)
>>200
「lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞」は、
下記の4つの Dini微分 (D^+ g)(c),(D + g)(c),(D^- g)(c),(D - g)(c)が
有限値で収まることを意味している。

https://www.amazon.co.jp/dp/0387984801
https://books.google.co.jp/books?id=MzQ6JA6SiHYC&pg=PA215&lpg=PA215&dq=%22liminf+of+functions%22#v=snippet&q=%20&f=false
Fundamentals of Real Analysis 著者: Sterling K. Berberian 出版社: Springer; Softcover reprint of the original 1st ed. 1999版 (1998/11/1)

P220のパラグラフ5.3.6に4つの Dini微分 (D^+ g)(c),(D + g)(c),(D^- g)(c),(D - g)(c)
と、lim sup, lim inf との関係が載っている
(引用終り)

b)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%82%A3%E3%83%8B%E5%BE%AE%E5%88%86
ディニ微分
(抜粋)
注意
もし f が t において微分可能ならば、その t における各ディニ微分は通常の意味での微分に等しい。
(引用終り)

c)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AA%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%83%E3%83%84%E9%80%A3%E7%B6%9A
リプシッツ連続
(抜粋)

可微分だが(大域)リプシッツ連続でない
 ・函数 f(x) = x^3/2sin(1/x) (x ≠ 0) かつ f(0) = 0 を閉区間 [0,1] へ制限したものは、コンパクト集合上微分可能だが局所リプシッツでない函数の例を与える。実際、その導函数は有界でない。
(引用終り)

以上

283132人目の素数さん2018/02/18(日) 11:02:20.61ID:+IRfF0OB
書き込みテスト

284132人目の素数さん2018/02/18(日) 11:04:32.44ID:+IRfF0OB
>>277
>だから、定理F不成立と思うよ

定理F:
A ⊂ R は Fσ集合とする。このとき、もし R−A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。

証明:

STEP1:
A は Fσ 集合だから、高々可算無限個の閉集合 A_k が存在して A_f = ∪_k A_k と書ける。
一方で、R−A は第一類集合だから、高々可算無限個の、内点を持たない閉集合 F_k が存在して
R−E_f ⊂ ∪_k F_k と書ける。結局、R ⊂ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) ということになる。

続く

285132人目の素数さん2018/02/18(日) 11:05:30.39ID:+IRfF0OB
続き

STEP2:
A_k, F_k はどれも閉集合だから、これと R ⊂ (∪_k A_k ) ∪ (∪_k F_k ) から、
ベールのカテゴリ定理が使えて、ある A_k もしくはある F_k は内点を持つ。
F_k は内点を持たないのだから、ある A_k が内点を持つしかない。
そのような A_k に対して、(a,b)⊂A_k なる開区間が取れるので、
A = ∪_k A_k に注意して、(a,b) ⊂ A となる。従って、定理F が成り立つ。

上記の証明により、定理F は確実に正しい。
掲示板だと読みにくいとか文句をつけず、この程度の証明は今すぐ読んで理解してくれ。

286132人目の素数さん2018/02/18(日) 11:15:46.22ID:+IRfF0OB
補足:
Fσ集合の補集合はGδ集合であり、逆も然りであるから、定理Fは次のようにも書ける。

定理F1:
A ⊂ R は、R−A がGδ集合とする。このとき、もし R−A が第一類集合ならば、
(a,b)⊂A を満たす開区間 (a,b) が存在する。

実は、より強く次の定理も証明できる。

定理F2:
A ⊂ R は、R−A がGδ集合とする。このとき、もし R−A が第一類集合ならば、
R−A は nowhere dense である。

ここまで来ると、「 R−A 」を1つの塊で1文字にした方がキレイなので、そのように書くと、次のようになる。

定理F3:
A ⊂ R は、A がGδ集合とする。このとき、もし A が第一類集合ならば、A は nowhere dense である。

このことに関しては、"Gδ set of first category" で検索すると、
1件だけだが上記の 定理F3 を使っていると思しき pdf が見つかる。

ttp://fm.math.uni.lodz.pl/artykuly/12/ww.pdf

> Observe that ∩[m=1〜∞] ∪[n≧m] A_n as Gδ set of first category is
> easily seen to be nowhere dense.

このことからも、定理F, F1,F2,F3 は全て正しいと分かる。

287132人目の素数さん2018/02/18(日) 11:18:47.13ID:+IRfF0OB
>>281
>4)従って、この例は、lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|も、有界でない
>5)要するに、 lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞と、
>リプシッツ連続(=有限なリプシッツ定数を持つ)は、同じことを言っていると思うよ

間違っている。A_f(x)<+∞ という条件は、あくまでも

「その点 x において Af(x) は有限値である」

ということを言っているに過ぎない。一方で、お前が言っている「有界でない」とは、

「ある開区間 (a,b) を取ったときに、max_{x∈(a,b)} Af(x) もしくは sup_{x∈(a,b)} Af(x) が有限値に収まらない」

ということである。明らかに、両者は全く意味が違う。そして、お前は両者を混同している。

f(x)=0 (x=0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)

という関数の場合、各点 x で Af(x) は有限値である。実際、x≠0 のときは、
Af(x) は x ごとに明らかに有限値である。また、x=0 のときは

Af(0)=0

であることが計算できる。従って、Af(x) は x=0 のときも やはり有限値である。
しかし、max_{x∈(-1,1)} Af(x) や sup_{x∈(-1,1)} Af(x) は有限値では存在しない。

>>254

>お前が「 Bf は Fσ 集合であろう」と予想するなら、お前は自分自身の手で
>墓穴を掘っていることになるのだ。
>ちなみに、Bf は実際に Fσ 集合である。

下記、Gδ集合wikipediaで
”実数直線の任意の Gδ-部分集合 A に対し、適当な函数 f: R → R が存在して、f は A に属する点のみにおいて連続となるようにすることができる。
このことから、無理数全体の成す集合が連続点集合であるような函数は存在する(トマエの函数(英語版)などを参照)が、有理数の上でのみ連続な函数というのは構成不可能であることが帰結される。”
とあるでしょ? 開集合が取れる? 無理だろ

ここ
f は A に属する点のみにおいて連続となるようにすることができる。
 ↓
f は A に属する点のみにおいてリプシッツ連続となるようにすることができる。
にできるかどうかだ

なお、また、”基本的な性質 Gδ-集合の補集合はFσ-集合である。”も指摘しておく

なので墓穴でもなんでもないだろ

つづく

>>288 つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/G%CE%B4%E9%9B%86%E5%90%88
Gδ集合
(抜粋)
数学の一分野、位相空間論における Gδ-集合あるいは内極限集合 (inner limiting set) とは、位相空間の部分集合で開集合の可算交叉となっているものを言う。

由来については、G というのが開集合を意味するドイツ語の Gebiet から、δ というのが交わりを意味するドイツ語の Durchschnitt からそれぞれとられたものである。

Gδ-集合(およびその双対であるFσ-集合)は、ボレル階層(英語版)において二階 (second level) の集合であり、より正確には Gδ-集合の全体はちょうど Π^0_2-階集合である。

例と反例
・任意の開集合は明らかに Gδ-集合である。
・無理数の全体 P は実数直線 R の Gδ-集合である。実際 P は、q が任意の有理数を亙るときの一点集合 {q} の R における補集合すべての交わりとして表せる。
・有理数の全体 Q は実数直線 R の Gδ-集合ではない。
 実際、Q が開集合列 An の交わりに書けるとすると、各 An は(Q が R において稠密ゆえ)何れも R において稠密でなければならないが、上でやったように無理数全体の集合 P は稠密開集合の可算交叉として書けるから、P と Q との交わりをとれば R の稠密開集合の可算交叉が空集合となるものが存在することとなり、ベールの範疇定理に反する。

つづく

>>289 つづき

性質
距離空間(および位相空間)における Gδ-集合の概念は、ベールの範疇定理と同様に距離空間の完備性の概念と強く関係する。このことは、マズルキェヴィチの定理として述べられる。

定理 (Mazurkiewicz)
(X, ρ) を完備距離空間とするとき、部分集合 A ⊂ X について次は同値である。
1.A が X の Gδ-集合であること
2.A 上の距離函数 σ で ρ|A(X の距離函数 ρ の A への制限)と(位相に関する意味で)同値であるようなものが存在して、(A, σ) がふたたび完備距離空間となること

Gδ-集合の重要な性質は、位相空間から距離空間への連続写像がその上で定義され得るということにある。厳密に言えば、そのような写像 f が連続となるような点全体の成す集合は {\displaystyle G_{\delta }} G_{\delta }-集合を成すということである。これは、点 p における連続性というのが Π^0_2-式で定義されることによる。

実数直線の任意の Gδ-部分集合 A に対し、適当な函数 f: R → R が存在して、f は A に属する点のみにおいて連続となるようにすることができる。
このことから、無理数全体の成す集合が連続点集合であるような函数は存在する(トマエの函数(英語版)などを参照)が、有理数の上でのみ連続な函数というのは構成不可能であることが帰結される。

基本的な性質
・Gδ-集合の補集合はFσ-集合である。
・可算個の Gδ-集合の交わりはやはり Gδ-集合である。また、有限個の Gδ-集合の合併はふたたび Gδ-集合となる(可算個の Gδ-集合の合併は Gδσ-集合と呼ばれる)。
・距離化可能空間において、任意の閉集合は Gδ-集合であり、双対的に任意の開集合は Fσ-集合になる。
・稠密開集合の可算族の交わりを含むような集合は残留的 (comeagre, residual) であるという。残留的集合は函数の成す位相空間の生成的性質(英語版)を定義するのに用いられる。

(引用終り)

以上

291132人目の素数さん2018/02/18(日) 11:25:45.14ID:+IRfF0OB
つまり、

f(x)=0 (x=0), x^{3/2}sin(1/x) (x≠0)

という関数について、次のような性質が成り立っているわけである。

・ 各点 x で Af(x)<+∞ である。すなわち、各点 x で Af(x) は有限値である( Af(0)=0 に注意せよ)。
・ max_{x∈(-1,1)} Af(x) や sup_{x∈(-1,1)} Af(x) は有限値では存在しない。
・ f は (−1, 1) 上ではリプシッツ連続ではない。

これらのことから、お前が言っている

>5)要するに、 lim sup y→x |(f(y) − f(x))/(y − x)|< +∞と、
>リプシッツ連続(=有限なリプシッツ定数を持つ)は、同じことを言っていると思うよ

という主張は自動的に間違いだと分かるし、お前の稚拙な方針は自動的に失敗に終わる。

>>274
おつです
それ面白いね

ゆとり世代の
さらにゆとりで、超ゆとり?

>>272
C++さん、あんまりマネしないように

理想は、良い仲間や指導者が身近にいること
独学というより、自分の努力と言い換えた方が良い
それと、楽しめること

独学というのは、良い仲間や指導者が身近にいないときの代案だろう
1.努力、2.良い仲間や指導者
の順だろう

294132人目の素数さん2018/02/18(日) 11:31:38.51ID:+IRfF0OB
>>288
>下記、Gδ集合wikipediaで
>”実数直線の任意の Gδ-部分集合 A に対し、適当な函数 f: R → R が存在して、
>f は A に属する点のみにおいて連続となるようにすることができる。
>このことから、無理数全体の成す集合が連続点集合であるような函数は存在する
>(トマエの函数(英語版)などを参照)が、有理数の上でのみ連続な函数というのは構成不可能であることが帰結される。”
>とあるでしょ? 開集合が取れる? 無理だろ

論理が滅茶苦茶。
トマエ関数は R−B_f が第一類集合になってないので、開集合が取れなくても何の不思議もない。

お前が墓穴を掘っているのは、次のような意味においてである。
――――――――――――――――――――――――――――――――――
B_f が Fσ 集合であることを認めるなら、R−B_f が第一類集合であるときには
定理F によって (a,b)⊂B_f なる開区間が取れてしまうので、R−B_f は
R の中で稠密に分布できないことが即座に確定する。
すなわち、R−B_f が第一類集合であるとしつつも「Rの中で稠密」なんていう
アホな場合分けをしたがっているお前にとって、「 Bf は Fσ集合である」
という性質はむしろ邪魔な性質なのである。にも関わらず、お前は
「 Bf は Fσ集合である」と予想しているのである(そして、実際に Bf は Fσ 集合である)。
――――――――――――――――――――――――――――――――――

↑このような意味において、お前は墓穴を掘っているのである。
そして、トマエ関数は R−B_f が第一類集合になってないので、
上記の話題の出発点に立っておらず、何の意味も成さない。問題外。

295132人目の素数さん2018/02/18(日) 12:43:20.45ID:8UexphmN
女子高校生に
e^iπ+1=0

i^i=1/√(e^π)
を説明したら感動してもらえて数学は芸術の一部だと気づいてもらえた

296132人目の素数さん2018/02/18(日) 13:34:29.53ID:WqE33pZi

>>282 追加参考

「微分不可能関数への招待」LipschitzとDini方向微係数、ご参照
これは、普通のDini微分の変形版のようだ

https://www.jstage.jst.go.jp/article/sicejl1962/37/11/37_11_791/_article/ - char/ja
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sicejl1962/37/11/37_11_791/_pdf/ - char/ja
微分不可能関数への招待 石塚 陽(上智大学) 計測と制御 1998
(抜粋)
4. Lipschitz関数の一般方向微係数と一般勾配

ここでは簡単のために,関数fは注目している点xの近傍でLipschitzであるとする.

すなわち,以下をみたすx の近傍N(x)と正の数Kが存在するものとする.
|f(x1) - f(x2)|≦K|x1 - x2|for all x1,x2∈N(x)
このとき,fはxの近くでは連続かつほとんどすべての点
で微分可能であり,関数値の変化率は有限で(Kを超えることはない),
以下の2つの値が必ず存在する.

D^+ f(x~;u)=lim t→0 sup{f(x~+tu) - f(x)}/t
D - f(x~;u)=lim t→0 inf{f(x~+tu) - f(x)}/t

これらをそれぞれ,

上方Dini方向微係数(upper Dini directional derivative),
下方Dini方向微係数(lower Dini directional derivative)
という.

これらの定義式中で,
lim t→0+ sup(lim t→0 - inf)は,正の方からtをゼロに近づけていっ
た時の差商{f(x~+tu) - f(x~)}/tの極限は一般にtのゼロ
への近づき方によっていろいろな値をとりうるので,それ
らの中で最大(最小)のものをとることを意味している.
(引用終り)

石塚陽先生は、亡くなられているようです。合掌
http://sikyo.net/ - /1086773
(抜粋)
石塚陽
いしづか よう
1958 - 2003
上智大教授 システム最適化理論 新潟県
亡くなってから14年233日過ぎました。
45歳で亡くなりました。もし現在も生きていたら60歳です。
1958年に誕生、2003年06月30日に亡くなりました。
(引用終り)

前スレ >>632の 追加

以前、スレ48のNo 140でも紹介したが、再録しておきます
”位相空間”は、図が多いのがいいね。位相入門を併読すると良さそう
http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/
川崎徹郎 学習院

http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/16isoukuukan.pdf
位相空間 川崎徹郎 学習院 2016

http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/HTML-isou-nyuumon-enshuu/html-17isou-nyuumon-enshuu.html
位相入門テキスト(演習問題) 解答例 (章別)
http://pc1.math.gakushuin.ac.jp/~kawasaki/HTML-isou-nyuumon-enshuu/17isou-nyuumon-text.pdf
位相入門 川崎徹郎 学習院 2017

現代数学の系譜 ガロア理論 位相空間 川崎徹郎 学習院

>>295
乙です
桜陰トップか(^^

小平奈緒さん、「金」おめでとうございます!(^^
https://mainichi.jp/sportsspecial/articles/20180219/k00/00m/050/101000c
スピードスケート【詳報】小平が「金」日本女子では初 500m
恩師から自立、強く 小平奈緒「金」
毎日新聞2018年2月18日
(抜粋)
 小平が世界最速女王になるまでの道のりは、恩師からの自立の軌跡とも言える。

 母校・信州大の教授で、現在も指導を受ける結城匡啓(まさひろ)コーチ(52)との「出会い」は、11歳の時にさかのぼる。
1998年長野五輪。長野県茅野市に生まれ、3歳からスケート靴を履いていた小平は男子500メートル金メダルの清水宏保、女子500メートル銅メダルの岡崎朋美の姿にあこがれ、競技者を志した。長野五輪で清水を日本スケート連盟のスタッフとして支え、その後に指導者になった結城コーチの存在も程なくして知った。

 信州大に進学したのは、滑走中の動作解析を研究する結城コーチがいたからだ。就職活動でも結城コーチの指導を引き続き受けられることを条件に挙げた。ともすれば依存に思える関係が変化したのは、500メートル5位、1000メートル13位に終わった2014年ソチ五輪後。強豪国オランダへ練習拠点を移した頃だった。
(引用終り)

301132人目の素数さん2018/02/19(月) 00:18:24.31ID:bHNOKlCc
おっちゃんです。
スレ主はオリンピックを見ているのか。
ところで、よく分からないんだが、
テンポが遅いクラシック音楽に合わせて滑る
フィギュアスケートの面白さってどこにあるの?
その採点基準とかが全然分からないんだが、
クラシック音楽とは違うところに何某かの面白さがあるんだろ。

>>299
数学の楽しさを理解出来る女子高生は、桜蔭だけにいる訳ではないだろうよ。

302132人目の素数さん2018/02/19(月) 09:37:57.19ID:pl8GOd4o
>>300
小平奈緒は茅野市出身、小平邦彦の親父権一も茅野市出身、
親類か?

303132人目の素数さん2018/02/19(月) 23:12:11.26ID:EJjEbi9w
NHK教育を見て54640倍賢く2355
http://nhk2.5ch.net/test/read.cgi/liveetv/1519048027/

突然ですが、貼っておきます(^^

http://www.phys.cs.is.nagoya-u.ac.jp/~tanimura/
谷村 省吾 TANIMURA Shogo 教授 博士(理学) 名古屋大
http://www.phys.cs.is.nagoya-u.ac.jp/~tanimura/lectures/tanimura-category.pdf
「物理学者のための圏論入門」 研究会「量子と古典の物理と幾何」にて講演(2017年2月)

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