分からない問題はここに書いてね438

**１３２人目の素数さん** · 2017/11/25(土) 20:38:49.79

さあ、今日も１日頑張ろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね437
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1509542702/

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/07(木) 23:17:30.89

>>525 >>537

たとえば

∂∂f/∂x∂y、∂∂f/∂y∂x が存在し、その点で連続（定理27）

∂f/∂y、∂∂f/∂x∂y が存在し、その点で連続（Schwarzの定理）

∂f/∂x、∂f/∂y が存在し、その点で微分可能（Youngの定理）

のような仮定をするんだろうなぁ。

高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店（1956）p.57～59
§23．微分の順序

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/07(木) 23:23:07.79

>>529
なるほど
ループはあってもおかしくなさそうですね
丙と甲を含むループが存在しないことが証明できれば少しは楽になりますがなかなか難しそうです

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/08(金) 00:12:34.91

長寿ランキング of 他分野

98歳　　　沢田敏男（1919/05/04～2017/10/18）農業土木・ダム工学（元・京大総長）

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/08(金) 00:18:12.01

交換不可能なのって、
f = xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2) 　
だっけ？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/08(金) 01:22:11.37

グレゴリー・ペレルマンさんとBNFはどっちの方が頭が良いですか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/08(金) 01:42:42.48

東大の数学科に入りたいのに、白チャート理解できん。どうすれば良い？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/08(金) 01:45:34.45

生まれ直す

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/08(金) 02:04:08.56

>>555　（･∀･）ｳﾝ!!

f(0,0）= 0 とすれば

（∂f/∂x)(0,y）= -y は y=0 で連続
∴（∂∂f/∂x∂y)(0,y）= -1,　

（∂f/∂y)(x,0）= x, は x=0 で連続
∴（∂∂f/∂y∂x)(x,0）= 1,

ですね。

｛極座標で表わせば f =（1/4)rr sin(4θ）だ…｝

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/08(金) 02:49:51.24

>>558
やっぱりそれしか方法無いんですかね・・・・・？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/08(金) 02:56:04.53

非可算集合Aから可算集合Bへの任意の写像fに対して
|f(A')|=1となるAの部分集合A'が存在することはどう示せばいいんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/08(金) 03:24:35.50

全と無はどっちの方が領域が大きいですか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/08(金) 06:41:01.95

>>561
∃b f^-1(b)≠φ

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/08(金) 06:42:01.25

>>533
反例知りたい

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/08(金) 07:08:16.77

>>550
確率の勉強してからまたおいで

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/08(金) 08:49:32.09

オイラーさんって人類史上最高の天才数学者ですか？
それともガウスさんが人類史上最高の天才数学者なのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/08(金) 11:22:49.35

馬鹿の救いにはならんよ

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/08(金) 11:44:38.79

質問なのですが
スマホの自撮り棒みたいに、自分の位置(原点)から一定の距離を保った目標物があったとして、
角度とその一定の距離だけで2次元上の座標XとYて求める事ってできますか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/08(金) 11:59:26.11

地鶏版の平面がきまる（平面までの距離と法線）から、あとはその平面内の２次元ベクターを任意で（たとえべ重力）で決めれば決まるんじゃないの。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/08(金) 12:00:58.35

つ【極座標】

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/08(金) 12:09:33.06

数学Ⅱの関数f(x)=-2x^3＋24xの極値を求めなさいっていう問題で
=-6x^2＋24から
f'(x)=0とすると、x=
の求め方が授業出てなくてわからないので教えてもらえませんか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/08(金) 12:11:46.70

数Ⅱとかやってる場合じゃない
中学数学やり直したほうがいい

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/08(金) 12:17:52.19

>>568
もうちょっと問題設定をきちんと書いてほしい
２次元座標の決め方と角度の測り方が定まってるなら、多分求められるけど。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/08(金) 13:32:08.54

>>573
これは申し訳ない。上手く文章に起こすことができないのでまたぼんやりとしてしまってるかもだけど、
原点(0,0)から角度R(0~359)傾いた距離Xの地点Pの座標を知りたいんだ
仮にRが０でXが３ならPは（3，0）になると思うんだけど、これが角度有になるとどうなるかがわからない・・・

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/08(金) 13:43:14.09

>>574
地鶏棒は半径Rの円上にあるから、x軸とのなす角をθとして(Rcosθ, Rsinθ)じゃダメなの？
それとも三角関数の値を使わず、角度と半径だけで求めろってこと？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/08(金) 14:31:23.91

以下の問題に関して教えて下さい。

---問題---
R = {A = [a, -b; b, a] | Aは2次正方行列で、a, bは整数}, Z[i] = {a+bi | a, bは整数}とし、
環同型写像φ:R→Z[i]をφ([a, -b; b, a]) = a+biと定める。
このとき、A^3+3A^2+A-5E = Oとなる行列A ∈ Rを求めよ。
ただしEは単位行列とする。
----------
---回答---
RとZ[i]は同型なので、z^3+3z^2+z-5=0を満たすガウス整数zを求める。
これを解くと、z = 1, -2±i となり、いずれもガウス整数である。
よって、求める行列Aは A = E, [-2, -1; 1, -2], [-2, 1; -1, -2] の3つである。
----------

同型ということなので、行列かガウス整数の好きな方の方程式で解いてよい、という考えは間違いでしょうか。
上記回答へのご指摘や、他に解法等ありましたらよろしくお願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/08(金) 14:56:18.90

>>574
Ｐの位置（カメラってことだよね）の座標は、３次元にあるから、座標３個必要。
なんだけど、説明を読ンだ限りでは、２個の座標だけで考えていいってことかな。

Ｐの座標は、 ( ＸcosR° , XsinR° ) でいいかな。
Ｐのある位置は、地面を原点からＰのほうに XcosR°すすんだ場所の、高さXsinR°の場所です。
三角関数表はネットにあると思うけど、ラジアンではなくて度数表示の方を見てください。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/08(金) 16:00:11.00

どなたか教えてもらえませんか？

http://imepic.jp/20171208/573830

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/08(金) 21:51:11.54

>>576
イイでしょ
他の解法って
代入して普通に計算したら？
やることは同じだけど

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/08(金) 22:58:57.34

>>579
ありがとう
同型について勉強不足だったようだ

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/09(土) 00:01:29.22

>>566
そりゃあ、オイラよりガウスさんの方が遥かに上なのは言うまでもあるまい。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/09(土) 00:30:15.31

無＞全＝神

ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/09(土) 00:55:41.67

神=イエスキリスト=精霊です

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/09(土) 01:01:04.52

>>582
そうだよ

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/09(土) 03:35:48.96

教授に出された問題なのですが全く分かりません。
なんとか積分に結びつける方法はないのでしょうか

Σ[k=1～∞] 1/(k^3)　を計算せよ。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/09(土) 03:42:24.53

アペリーの定数

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/09(土) 06:18:53.66

>>425
G/K⊂H
|G/K|||G|
|G/K|||H|
|G/K|=1
G=K

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/09(土) 12:10:10.92

>>587

なるほど　暗算即決ですね。
いいんですが、
つかれているとできないんですうう。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/09(土) 12:12:05.20

人間は何故生まれたのですか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/09(土) 12:46:32.44

>>589
こちらへどうぞ

【数学検定】数学検定（数検）総合スレッド Part.11
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1512773695/

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/09(土) 13:11:05.88

>>585

∫∫∫_[0，∞］　1/｛e＾（x+y+z）- 1｝ dx dy dz = ζ(3),

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/09(土) 13:18:18.83

>>583
鶏（とり）ニティ

（大意）
　七面鳥を準備するのは大変なので、鶏でスマス。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/09(土) 13:25:42.10

>>578 の問題、画像が消えてたので改めて質問。(俺は >>578 ではありません)
下図のように２円 c1,c2 と直線 l が与えられています。
このとき直線上に点Pを取り、２円へ引いた接線が(逆向きに)同じ角をなすようにしたい。
コンパスと定規(直線を引く機能のみ。長さは測れない) のみを使って、点Pの作図方法を示してください。
(元の問題とは微妙に違っているかもしれません)

２円の内外での接触に応じて４通りあると思います。
昨日結構考えたんだけどギブアップしました。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/09(土) 13:48:05.39

>>585

x+y+z = s とおくと

(1/2)∫[0,∞］ss/(e^s - 1）ds = ζ(3）

或いはまた

(2/3)∫[0,∞］tt/(e^t + 1）dt = ζ(3）

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/09(土) 14:32:23.18

>>593

・円 c? の中心 o? を出す。（どうやって？）
・L上の点Q1を中心として点 o? を通る円を曳く。
・L上の点Q2を中心として点 o? を通る円を曳く。
・それらの交点を中心として円 c? と同じ半径の円を曳く。
・これは Lに関する円 c? の鏡像。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/09(土) 14:40:20.55

>>593
ひとつのパターンは
①直線 l に平行で c1 , c2 の中心( O1 , O2 とする)を通る直線 m , n を引く
② m に垂直で O2 を通る直線を引く
③②の直線と m の交点を H として、線分 O1H の垂直二等分線を引く
④この垂直二等分線と l の交点が P

でいけるかも

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/09(土) 14:42:41.33

>>593
　
直線を鏡面として鏡映図をかけばいちころじゃん

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/09(土) 14:51:54.89

C2をlについて対称移動
（C2の中心を求めてから、C2の中心をlと対称な位置に移して、同じ半径の円を描く）
C1,C2の4共接線をひくと、lとの交点がP

**593** · 2017/12/09(土) 16:06:21.93

鏡映対称でいけました、ありがとうございます。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/09(土) 16:16:22.80

700

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/09(土) 16:26:06.59

>>561
|f(a)|=1

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/09(土) 16:57:20.57

どの2つも相異なる実数からなる集合
S={a(1),a(2),...,a(n)}
を考える。また、Sから異なる要素を2つ取って積を作り、それらをすべて足し合わせたものをsとする。すなわち、
s=Product[a(i)a(j)]（i≠j）
である。
このとき、以下のA、Bの大小を比較せよ。

A=s/(n^2-n)
B=[Σ{a(i)}^2]/n（i=1,2,...,n）

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/09(土) 19:09:22.06

>>602
s=(Σ{i=1..n}[Σ{j=1..n}[a(i)a(j)] - a(i)a(i)])/2
=(Σ{i=1..n}[Σ{j=1..n}[a(i)a(j)]] - Σ{i=1..n}[a(i)^2])/2
って意味で合ってる？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/09(土) 19:56:38.32

>>602
《　sは、n(n-1)/2個の合計なので、A=s/(n^2-n) はA=2s/(n^2-n) の間違いじゃ無いですか？　》

以下は、分散σ^2を求めるときの定義です。
μ=(1/n)Σa(i)　として、
0≦σ^2=(1/n)Σ{a(i)-μ}^2=(1/n)Σ{a(i)^2-2μa(i)+μ^2}＝(1/n)Σ{a(i)^2}　-　μ^2
つまり、よく知られた結果「二乗平均」≧「平均の二乗」が確認できます。

これをこの問題に当てはめれば、二乗平均は将に今回のBであり、
平均の二乗は、{(1/n)Σ[a(i)]}^2=(1/n^2){nB+2s}=(1/n^2){nB+(n^2-n)A}　です。
(Aの定義を、レス頭のように変更してます)
これを、「二乗平均」≧「平均の二乗」の式に適用すると、B≧Aが出てきます。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/09(土) 20:17:11.33

>>604
問題を修正しなくても
B≧2AかつB≧0だったらB≧Aと言っていいんじゃない？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/09(土) 22:42:01.22

ab+ba.

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 00:51:25.02

Σ[i,j]{a(i)-a(j)}^2
= Σ[i,j]{a(i)^2+a(j)^2} - 2Σ[i,j]a(i)a(j)
= Σ[i,j]a(i)^2 + Σ[i,j]a(j)^2 - 2{Σ[i]a(i)^2 + s}
= 2nΣ[i]a(i)^2 - 2Σ[i]a(i)^2 - 2s
= 2(n-1)Σ[i]a(i)^2 - 2s
≧0　から　B≧A

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 00:55:51.24

以下の問題で直観的な解答を出したら、先生から△を食らいました。
まだ聞きに行ってないので理由は分かりません、自分ではスマートな解答だと思ったのですが何処がいけなかったのでしょう。

【問題】
aを実数とする。
（1）3辺の長さがa,a+1,a-1であるような三角形が存在するとき、aの範囲を求めよ。
（2）（1）の三角形の面積をSとするとき、極限　lim[a→∞] S/a^2　を求めよ。

【自分の解答】
（1）は省略
（2）aが大きくなっていくと、a+1/a→1、a-1/a→1となるから、この三角形の形状は限りなく正三角形に近づく。
一辺の長さaの正三角形の面積は√3a^2/4だから、求める極限は√3/4

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 01:12:02.89

神や全でも無には勝てませんか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 01:14:28.56

正三角形に近づくけど、a-1<a<a-1 だから正三角形には絶対ならないから面積の式はおかしいよね。
三辺の長さが分かれば面積は計算できる。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 01:16:13.61

a-1<a<a+1 でした

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 01:22:59.55

>>610
感覚的には、
例えばa=1000000000のとき、
a-1 =999999999、
a+1=1000000001で、
+1も-1もゴミだと思って（極限に影響を与えないと考えて）解答したのですが、
感覚では解答にならない、計算をきちんとすることで論証しなければならない、ということでしょうか

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 01:40:16.60

「限りなく近づく」を使って解答を書くなら、もっと詰めた解答にしないと適当解答扱いだよ。
ランダウの記号でも引っ張り出して処理すれば正解になる・・・かなぁ。

でもこれって、いわゆる無限大をかけてから無限大で割る操作をしているような気がする。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 01:53:18.22

この場合三角形の面積はaの二次式になるんじゃね

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 02:52:13.82

>>608
直感は間違えることもあるからです

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 03:04:32.64

>>608
高校のテストですからねー

極限をイプシロンデルタとかでちゃんと定義してるわけではなく、限りなく近くとかで誤魔化してるわけですから、あなたの論法を丸にしないのは「論理的には」間違いなんです

でも、その回答が間違いになるのは、テストでは学校で習った方法を使わなければいけないという制限があるからですね

今回の場合は、正三角形に限りなく近く、とありますが、図形に近づける極限なんて習ってないわけですから、ダメなんです

だから、学校のテストの本質は掛け算順序なんですよねー

極限では答えはあってるのに間違うことがあるかもしれないから間違え
掛け算では答えはあってるのに間違えとするのは間違え
非可換な掛け算もあるというのに
矛盾してますよね、本当

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 03:05:07.92

思ったんですけど、正三角形に限りなく近くなんてことは数学的に定義できるんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 04:12:54.66

同じ近づくにしても「一重に」近づくのと「二重に」近づくのとでは差異が出るとか普通に起きるしな

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 04:37:03.89

正三角形に近づくって直感で考えるなら
a+1でa→+∞
より
a+εでε→+0
の方がそれっぽいけどね
辺の長さが無限大に発散するってイメージしにくい

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 04:56:06.93

初項log_2x、公比log_2(-x^2 +2x +1)の無限等比級数が、収束するための条件と、そのときの和

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 04:56:51.43

初項log_2x、公比log_2(-x^2 +2x +1)の無限等比級数が、収束するための条件と、そのときの和

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 07:24:48.50

>>616
その論理は 8×7+17=73 を不正解にした
バカ教師と同じだな

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 07:28:23.64

>>608
(S - (√3/4)a^2)/a^2 → 0 を
直感で済ましてるから減点なのでは？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 07:34:14.92

>>616
学校のテストができなかったんだね...

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 11:54:22.35

間違え

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 12:08:06.05

>>625
これ、掛け算順序関係なし派へのネガキャンの一種だろう
これと一緒にされたくはないよ

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 12:13:56.60

>>608
√3/4*(a-1)^2/a^2 < S/a^2 < √3/4*(a+1)/a^2
a→∞ ⇒ √3/4*(a-1)^2/a^2 → √3/4, √3/4*(a+1)/a^2 → √3/4
∴a→∞ ⇒ S/a^2 → √3/4
これくらいは書かないといけないんじゃないの

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 13:04:58.92

学校のテストには作法があります
学校のテストができるとは、その作法にどれだけのっとれるかということです
高校の極限が直感によって定義されていて答えがあっているのにも関わらず、定義通りの直感で答えて間違えにされるのはおかしいですよねー

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 13:09:57.86

たとえば、東大入試の円周率が3.05より大きいことを証明せよ

こんなのはπ＞3.14だから自明、でいいわけですよ
これが間違えにされるのは、そういう具体的な値は既知ではないとして考えろ、という暗黙の了解があるからです

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 13:13:57.24

>>628
学校のテストができなかったんだね...

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 13:16:03.28

>>630
学校のテストとは、2×3は正解だけど、3×2は間違えになるようなテストのことですよね？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 13:16:55.24

ま私は順序固定にでも問題ないと思ってる派ですけど

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 13:19:18.91

>>631
できなかったんですよね？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 13:20:55.11

>>633
私はできてたと思いますよ
多分100点以外とったことないですから
忘れましたけど

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 13:21:57.45

>>634
それはさぞ優秀な大学に進学されたでしょうね
東大ですか？京大ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 13:35:04.44

>>635
小学校の話ですよね？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 13:43:02.23

>>636
>>608の続きですね

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 13:43:42.10

くだらん事書くな

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 14:17:56.29

分かっている事実と論理だけで解答が得られるものを直感的な部分に頼るやり方でやって丸にならないのは、テストだからとかではなく数学的に当たり前
高校だからとか云々の問題ではない

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 14:25:47.94

なんでそんな方針思い付いたの？って疑問に答えてない天下りな表面的なブルバキズムも相当批判され続けてるけどな。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 15:34:46.68

まるで宗教戦争だな

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 19:57:36.48

>>620-621

・x=1 のとき
　初項 0、公比 r=1　収束、和 0.

・0<x，x≠1 のとき
　-1 < r = log_(-xx+2x+1）≦ 1，x≠1
　1/2 < -xx+2x+1 < 2，x≠1
　0 < x < 1 + √(3/2)，x≠1　のとき収束
　和 log_2(x) / (1-r)

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 20:20:11.70

お願いします。

文明堂高級カステラを買いました。「文明堂五三カステラ」
美味しく食べながら同封されていたしおりを読むと
「通常より卵黄を三割増しにして卵黄と卵白の割合を五対三にしました。」
と書いてありました。ふむふむ、じゃあ通常のカステラの卵黄と卵白の割合は、、、

130：X=5:3 あれ？　

計算法が分かりません。あとこれは小中高何年生くらいの問題でしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 20:30:58.70

>>643
小６の問題
ミルクと何かでそっくりな問題がある

ていうか、元ネタはカステラかよ・・・
面白いこと教えてくれてサンキューｗ

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 20:51:13.65

正確な求め方はともかく、４のものを５にしたら「三割増」と表示しても通るよねとか思ったよ
卵白の３を固定したとして、X:5=100:130としたらX÷5=100÷130だからX=3.85位にはなる
内項の積とか外項の積とか小中学のどの学年で出るかは知らない

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/10(日) 21:19:49.17

645 ありがとう

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/11(月) 04:35:08.68

ピタゴラス教団とウィンザー朝はどっちの方が凄いですか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/11(月) 08:26:08.16

アッパー・イースト・サイドに住みてえ。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/11(月) 08:36:11.85

イエス・キリスト vs 英国王室

どっちが勝つ？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/11(月) 08:43:48.66

f(x, y) = x*y*(x^2 - y^2) / (x^2 + y^2)

| f(x, y) | ≦ 6 * sqrt(x^2 + y^2)

が成り立つと本に書いてあります。

| f(x, y) | ≦ 7 * sqrt(x^2 + y^2)

は示せましたが、 7 を 6 に下げることができないでいます。

お願いします。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/11(月) 08:55:32.15

アインシュタインと英国王室はどっちの方が凄いですか？