分からない問題はここに書いてね438

**１３２人目の素数さん** · 2017/11/25(土) 20:38:49.79

さあ、今日も１日頑張ろう★☆

前スレ
分からない問題はここに書いてね437
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1509542702/

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/20(水) 21:53:51.69

>>944
カッコ外してみると、隣り合うAとA-1（Aの逆行列）の積がEになるから簡単

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/20(水) 22:03:41.63

>>942
25と17は互いに素なので25a+17b=1となる整数a,bが存在する。例えばa=-2, b=3をとれば、25×(-2)+17×3=1が成り立つのでこの式の両辺を1623倍してやればよい
よってm=(-2)×1623, n=3×1623

エレガントかどうかは人それぞれやな
ユークリッドの互除法やら単項イデアルを考えればよい

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/20(水) 22:16:58.24

>>942
25m+17n=1623
25a+17b=1の解は
8a≡1 (mod 17) ∴a=-2, b=3
kを任意の整数として
m=a*1623+17k=-3246+17k
n=b*1623-25k=4869-25k

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/20(水) 22:31:35.88

>>943
f(x)について解いて見ればf(x)が微分可能であることが分かる。よくある形

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/20(水) 22:35:24.45

>>955
微分可能を仮定して微分して答え求めたら微分可能なんて当然じゃないですか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/20(水) 23:33:28.93

慶應志望ですが珍しくさっぱりわからない問題にあたりました
どなたか助言お願いします。

半径1の球が平面の上に接している。平面との接点をOとし、Oを球の南極点とみなしたときの
北極点をNとする。平面上に点AをOA=3となるようにとる。また点BをOB=4であり
直線OAと直線OBが直交するようにとる。
点Nと平面上の点Pを結ぶ直線が球面と交わる2点の内、Nと異なる点をP'とする。
点Pが直線AB上を動くとき、P'は円を描く。この円の直径を求めよ
（ちなみに誘導として、NA'とNB'の長さを方べきの定理で求めさせています。）

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 00:55:46.74

>>942
gcd=1だから互除法で

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 01:00:28.04

>>956
？
連続関数の積分だってことだよ？
微分可能でしょ

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 02:33:11.35

>>957
円だってことを保証してくれてるから、それを使えば論述の必要なく答えだけ出る
AB上の3点を適当に取って、それとNを結んだ直線と球面の3交点をPQRとして、△PQRの外接円の半径求める

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 07:01:41.99

>>957
P'は必ず平面NAB上にあるので、P'の軌跡は平面NABと球面の共通部分の円周である。
（ただし、点Nを除く）
円の直径の求め方は
(方法1) △NA'B'の外接円で考えてもよいが計算が面倒臭い。
(方法2) 球の中心から平面NABの距離を求め、そこから計算する。
　球の中心をCとし、平面NABのCからの距離の求め方は
　(方法2-1) 四面体NOABの体積と三角形NABの面積から、Oと平面NABの距離を求め、
　　その半分だと考えてもいいが、計算が面倒臭い。
　(方法2-2) 半直線OA，OB，ONをそれぞれx軸，y軸，z軸の正方向とみなすと
　　平面NABの方程式は　x/3 + y/4 + z/2 = 1，すなわち　4x+3y+6z-12 = 0 となる。
　　これと、球の中心 (0,0,1) との距離は6/√61
　よって、求める円の直径は
　　2×√(1-(6/√61)^2) = 10/√61
(方法3) 球の中心をC，円の中心をH，NHとABの交点をDとすると、
　CH⊥平面NABよりCH⊥AB，NO⊥平面OABよりNO⊥AB，
　CHもNOも平面NOD上の直線なので，AB⊥平面NOD　∴ AB⊥ND，AB⊥OD
　よって，求める直径はND'であり，またOD=12/5
　ND = √(2^2+(12/5)^2) = 2√61/5
　△ODN∽△D'ONなどより ND' = 10/√61

誘導は方法3をやらせたかったんですかね。
空間の平面の方程式に慣れてれば方法2-2が楽そうだが。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 09:36:32.01

s を正の実数とする。

x, y, z が

0 < x < s
0 < y < s
0 < z < s
x + y + z = 2*s

という条件をみたすとき、

f(x, y, z) = (s - x)*(s - y)*(s - z)

を最大にする点 (x, y, z) があればラグランジュの未定乗数法により求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 09:48:34.20

0 ≦ x ≦ s
0 ≦ y ≦ s
0 ≦ z ≦ s
x + y + z = 2*s

という条件をみたす点 (x, y, z) の集合はコンパクト集合である。

f は連続写像だからこのコンパクト集合上で最大値をとる。

点 (2*s/3, 2*s/3, 2*s/3) はこのコンパクト集合上の点であり、
f(2*s/3, 2*s/3, 2*s/3) = (1/27)*s^3 > 0 である。

x, y, z のどれかが s であれば f = 0 であるからそのような (x, y, z) は最大点ではない。
x, y, z のどれかが 0 であるとする。例えば、 x = 0 であるとする。

このとき、

y + z = 2*s
0 ≦ y ≦ s
0 ≦ z ≦ s

であるから y = z = s でなければならない。

f(0, s, s) = 0 である。

よって、 x, y, z のどれかが 0 であるような点 (x, y, z) は最大点ではない。

以上から、最大点を (x, y, z) とすると、

x, y, z は、

0 < x < s
0 < y < s
0 < z < s
x + y + z = 2*s

という条件をみたす。

よって、

x, y, z が

0 < x < s
0 < y < s
0 < z < s
x + y + z = 2*s

という条件をみたすとき、

f(x, y, z) = (s - x)*(s - y)*(s - z)

を最大にする点 (x, y, z) は存在する。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 09:53:50.11

g(x, y, z) = x + y + z - s*s

とする。

g = 0
fx = λ*gx
fy = λ*gy
fz = λ*gz

を x, y, z, λ について解くと、

x = y = z = (2/3)*s

よって、条件つき極値点の候補は、 ((2/3)*s, (2/3)*s, (2/3)*s) である。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 09:54:20.85

訂正します：

g(x, y, z) = x + y + z - 2*s

とする。

g = 0
fx = λ*gx
fy = λ*gy
fz = λ*gz

を x, y, z, λ について解くと、

x = y = z = (2/3)*s

よって、条件つき極値点の候補は、 ((2/3)*s, (2/3)*s, (2/3)*s) である。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 09:57:46.47

あとはどうやればいいんですか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 10:00:09.46

x, y, z が

0 < x < s
0 < y < s
0 < z < s
x + y + z = 2*s

という条件をみたすとき、

f(x, y, z) = (s - x)*(s - y)*(s - z)

を最大にする点は存在する。

その点を (x0, y0, z0) とする。

この点は、↑の計算で得られた条件つき極値点の候補に含まれていなければならない
ということは言えますか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 10:04:02.27

>>956
それはお前の仮定だろ、証明しないと減点

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 10:07:28.31

x = y = z = (2/3)*s

は

0 < x < s
0 < y < s
0 < z < s
x + y + z = 2*s

をみたす。

点 ((2/3)*s, (2/3)*s, (2/3)*s) は極値点の候補にすぎないわけですよね。

最大点どころか極値点かどうかも分かっていないわけですよね。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 10:50:34.96

(3)の解法教えてください

mx+ny=13を満たすx,yを1組求めて
整数kを用いてx,yの一般解(？)を求める

x+y≦900
かつ
x+yが平方数

を満たすkを求める

kの数を数えて終わり

x+y=12k+3なんですけど
実数条件により
0≦12k+3≦900
ってのはできたんでけど全部数えるのは結構きつい

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 10:51:03.75

>>970
問題です
https://i.imgur.com/LzT680o.jpg

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 11:01:41.83

中学入試かよ

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 11:13:01.84

x+y=2k+1 な気がするなぁ…

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 11:28:30.04

12k+3が平方数になる整数kは存在しない

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 11:38:20.84

m=aG
n=bG
とおく
455=13ab
ab=35
a>bより
(a,b)=(7,5)(35,1)
m,nは2桁より
m=91
m=65

7x+5y=1
(x,y)=(－5k+3,7k－4)
よって
x+y=2k－1

よってx+yは1から900のうち奇数の平方数をすべて取れるので√(x+y)は1～30の奇数をすべて取れる
したがってx,yの組は全部で15個

ですかね？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 11:49:57.99

91x+65y=13の両辺を13で割ると
7x+5y=1 - ① が得られる。
①の解の一つはx=-2, y=3であるので、
7×(-2)+5×3=1 - ② が成り立つ。
①-②より、7(x+2)-5(3-y)=0、即ち7(x+2)=5(3-y) - ③ が得られる。

7と5は互いに素なので、ある整数kを用いてx+2=5k, 3-y=7k、即ちx=5k-2, y=-7k+3と表せる。
よって、x+y=-2k+1であり、0≦-2k+1≦900を解けばよい。
すると、-449.5≦k≦0が得られ、これを満たす整数kは450個ある。

よって、条件を満たすxとyの組は450組ある。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 12:05:22.79

すまん、値が整数となる場合だけだった

√1-2kに関してk=0,-4...という感じで取ればいいから結局>>975の通りやね

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 12:06:55.17

>>970
7x+5y=1を解いた結果x+y=12k+3になったってのは、
(x,y)=(5k+?,7k+?)って形になったってことだろうから、
１次不定方程式の解き方についてよくある誤解をしてるんやろうね。

例えば、7(x-3)=-5(y+4)とか変形した上で、
x-3は5の倍数でy+4は7の倍数だからx-3=5k，y+4=7kとやってしまう間違い。
それだと2つのkが同じ値になるとは言えないのでそもそも文字を変えないといけない。
正しくは、x-3は5の倍数でx-3=5k（kは整数）と書け、そのkを用いると35k=-5(y+4)よりy+4=-7k

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 12:52:15.87

教えてください

　袋の中に、赤玉が15個、青玉が10個、白玉が5個入っている。袋の中から
　　玉を1個取り出し、取り出した玉の色に応じて、以下の操作で座標平面上に
　　置いたコインを動かすことを考える。

　　　(操作) コインが点(x，y)にあるものとする。赤玉を取り出したときには
　　　　　　　コインを点(x+1，y)に移動、青玉を取り出したときには点(x，y+1)
　　　　　　　に移動、白玉を取り出したときには点(x-1，y-1)に移動し、取り
　　　　　　　出した玉は袋に戻す。

　　最初に原点(0，0)にコインを置き、この操作を繰り返して行う。指定した回数
　　だけ操作を繰り返した後、コインが置かれている点を到達点と呼ぶことにする。
　　このとき、以下の問いに答えよ。

　(１) 操作をn回繰り返したとき、白玉を1度だけ取り出したとする。このとき、
　　　到達点となりうる点をすべて求めよ。

　(２) 操作をn回繰り返したとき、到達点となり得る点の個数を求めよ。

　(３) 座標平面上の4点(1，1)、(-1，1)、(-1，-1)、(1，-1)を頂点とする正方形
　　　 Dを考える。操作をn回繰り返したとき、到達点がDの内部または辺上にある
　　　確率をPnとする。P3を求めよ。

　(４) 自然数Nに対してP3Nを求めよ。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 13:00:39.55

>>956
わかってないようだから補足すると、解くといってるのはお前がやった置換のこと。置換したした式を眺めて見ろ

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 14:38:35.90

>>828
正三角形の内部。

(略解）
平面 x+y+z=2*s のうち、3平面 x+y=z，y+z=x，z+x=y より内側の部分だから。
頂点：（0,s,s）（s,0,s）（s,s,0）
辺の長さ：（√2）s,
面積：（√3)/2 ss,

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 15:03:11.79

>>800

m=3，n=6 のとき
1+ζ_3 = 1 + ｅ^(i2π/3）= ｅ^(iπ/3）= ζ_6
Q（ζ_3）⊇ Q（1+ζ_3）= Q（ζ_6)

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 15:25:06.30

>>758

トーショーヘー「白い玉でも黒い玉でもよく入るのがいい玉だ。」

「……（パチプロだったのか）」

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 15:30:22.59

>>982
　ζ_3 = ω　とおくと、Q（ω）⊇ Q（1+ω）

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 15:37:33.99

次スレ立てますた。。。

分からない問題はここに書いてね439
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1513837972/

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 15:49:40.75

>>979
(1)
直線y=-x+n-3上のn個の点
(-1, n-2), (0, n-3), ... , (n-2, -1)

(2)
3種類の玉から重複を許してn個選ぶ組み合わせに等しい
(n+2)(n+1)/2個

(3)
n=3のとき、コインの行き先は10通りあり、そのうちDの内部或いは辺上となるものは(-1, 1), (0, 0), (1, -1)の3個
[1] 行き先が(-1, 1)のとき
青玉2個と白玉1個を取り出す
その確率は、3C2×(1/2)^2×(1/6)=1/18
[2] 行き先が(0, 0)のとき
3種類の玉を１つずつ取り出す
その確率は、3!×(1/2)(1/3)(1/6)=1/6
[3] 行き先が(1, -1)のとき
赤玉2個と白玉1個を取り出す
その確率は、3C2×(1/2)^2×(1/6)=1/8
[1]~[3]より、これらの確率の和を求めて25/72

(4)
分からん

>>985
おつ

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 22:43:48.36

・長寿ランキング of 他分野

101歳　　　柴田トヨ　（1911/06/26～2013/01/20）　詩人

？　　　　篠田桃紅　（1913/03/28～）　104　美術家

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/21(木) 23:19:43.07

ひらくしでんちゅうは？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/22(金) 07:55:10.61

>>986
到達点は
取り出す順序には関係なく
組み合わせのみに依存するから
n中赤青白=ijk個のとき到達点は(i-k,j-k)で
x+y=i+j-2k=n-3k上に乗る
3n中
i=nのときにx+y=0上に乗る
i=n-1ならx+y=3は範囲外
i=n+1ならx+y=-3も範囲外
ijk=n+1n-1n nnn n-1n+1nの場合範囲内となる
((n+1n-1n)p/q+(nnn)+(n-1n+1n)q/p)p^nq^nr^n=((n/n+1)(p/q+q/p)+1)(nnn)p^nq^nr^n
3n+1中
ijk=n+1nn nn+1n nnn+1
(p+q+r)(n+1nn)p^nq^nr^n=(n+1nn)p^nq^nr^n
3n-1中
ijk=n-1nn nn-1n nnn-1
(1/p+1/q+1/r)(n-1nn)p^nq^nr^n

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/22(金) 07:58:48.18

>>989
> i=nのときにx+y=0上に乗る
> i=n-1ならx+y=3は範囲外
> i=n+1ならx+y=-3も範囲外
k=

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/22(金) 11:41:48.37

f(x, y) = x^2 * exp(-x^4-y^2)

sqrt(x^2 + y^2) → ∞ のとき、

f(x, y) → 0

を示せ。

この問題に対するラングの解答は以下です。

「諸君はすでに“解析入門”において

lim x^2 * exp(-x) = 0

であることを学んでいる。 x が十分大きければ x^4 は x より大きく、
したがって exp(-x^4) は exp(-x) より小さい。よって

x が大きくなるとき x^2 * exp(-x^4) → 0

である。また y^2 ≧ 0 であるから exp(-y^2) ≦ 1。

ゆえに

r = sqrt(x^2 + y^2)

が大きくなるとき、関数 f(x, y) は 0 に近づく。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/22(金) 11:42:03.42

これってひどすぎないですか？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/22(金) 11:48:07.16

どの辺りが？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/22(金) 12:22:34.12

>>993

↓こんな感じで書くべきだと思います。

ε を任意の正の実数とする。

f(x, y) ≦ x^2 * exp(-x^4)

x^2 * exp(-x^4) → 0 （x → ±∞）だから、

∃Kx > 0 such that |x| > Kx ⇒ x^2 * exp(-x^4) < ε

よって、

∃Kx > 0 such that |x| > Kx ⇒ f(x, y) < ε

つぎに、

-Kx ≦ x ≦ Kx とする。

0 ≦ x^2 ≦ max{1, Kx^2}
0 ≦ exp(-x^4) ≦ 1

だから

f(x, y) ≦ max{1, Kx^2} * exp(-y^2)

exp(-y^2) → 0 （y → ±∞）だから、

∃Ky > 0 such that |y| > Ky ⇒ max{1, Kx^2} * exp(-y^2) < ε

よって、

-Kx ≦ x ≦ Kx のとき、

∃Ky > 0 such that |y| > Ky ⇒ f(x, y) < ε

以上より、

sqrt(x^2 + y^2) > sqrt(Kx^2 + Ky^2)

⇒

f(x, y) < ε

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/22(金) 12:42:11.37

無駄に行を開ける奴

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/22(金) 12:53:46.35

>>994
ほうほう。で、何が問題だったの？
まさか、いかに入門書であっても必ずεを使って書くべき、とか言わないよね？

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/22(金) 13:01:55.68

>>996

ラングが言っているのは、 x の絶対値が十分大きければ

f(x, y) が 0 に近いということだけです。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/22(金) 13:39:42.79

>>997
ありがとうございます。理解しました。
lim x^2 * exp(-x) = 0 から一足飛びに結論を導いたところに問題がある。と？
確かに sqrt(x^2 + y^2) → ∞ のとき、 x^2 * exp(-x) → 0 となるとは言えないですね。

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/22(金) 13:44:38.35

f(x, y) = x^2 * exp(-x^4-y^2)< (x^2 + y^2) * exp(-x^2-y^2 )
= r^2 * exp( -r^2 ) to 0

**１３２人目の素数さん** · 2017/12/22(金) 14:01:23.79

何を逆立ちしているの？

f(x, y) = x^2 * exp(-x^4-y^2)<x^2 * exp(-x^2-y^2)<x^2 * exp(-x^2)->0

だけのことじゃん？

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