数理論理学(数学基礎論) その12

1132人目の素数さん2017/11/03(金) 00:54:28.20ID:i9930jhu
数学基礎論は、数学の基礎づけを目的として誕生したが
現在では、数理論理学として、証明論、再帰的関数論、
構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野
に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
(「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも
 若干の個人差があるようです。)
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、
代数幾何学、 英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
(数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化
などを参照)

前スレ
数学基礎論・数理論理学 その11
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1325247440/

603132人目の素数さん2018/02/02(金) 00:18:16.05ID:FQggKjZr
>>601
てゆーか「無いと言いたいがどうしても言えそうにない」って感覚なんじゃないかな

604132人目の素数さん2018/02/02(金) 00:20:15.67ID:FQggKjZr
>>602
具体的に思えるのに実はつかみ所が無くて困るってこと
でも
こういうのをちまちま考えるから数理論理学は嫌われる
有ったからどうだって言うの?無かったからどうなの?
って感覚が普通

605132人目の素数さん2018/02/12(月) 16:27:23.72ID:RB4nwhk+
ここの人で実解析と数理論理学の関係に興味ある人いる?

606132人目の素数さん2018/02/12(月) 18:22:08.24ID:MGrwckru
いるある

607132人目の素数さん2018/02/14(水) 20:23:29.52ID:i6EvNSpm
数学基礎論は数学じゃないでしょ
数学との交わりも少なすぎるし
今ある交わりも枯れ果てる寸前の細枝

608132人目の素数さん2018/02/14(水) 20:25:39.78ID:i6EvNSpm
>>602
>数理論理学でも集合論でもある程度抽象度のある集合を考えた方が面白い

具体例を挙げないバカ

609132人目の素数さん2018/02/14(水) 20:33:06.65ID:0z60+WrJ

610132人目の素数さん2018/02/14(水) 21:09:24.76ID:i6EvNSpm
>>609
だって何かしら動機を与える興味深い問題を豊富に内在してないでしょ

611132人目の素数さん2018/02/14(水) 21:10:39.61ID:0z60+WrJ
それで何度もスレに悪口を書き込んでるのか
感情的な理由ではない、と
説得力ないね

612132人目の素数さん2018/02/14(水) 21:39:59.91ID:i6EvNSpm
>>611
理由を添えずに批判だけするのは
頭使わなくても機械的に出来る

613132人目の素数さん2018/02/14(水) 21:42:59.22ID:0z60+WrJ
その反応も感情的な理由ではないんだね、なるほど

614132人目の素数さん2018/02/14(水) 21:56:25.26ID:i6EvNSpm
>>613

健全な反論を何一つできないくせに
幼稚な皮肉めいたレスしか返せないバカ

615132人目の素数さん2018/02/14(水) 22:03:46.54ID:48wgJSbl

616132人目の素数さん2018/02/14(水) 22:11:19.26ID:Y4mrB6BD
アレフゼロとかオウム真理教みたいできもいと思ったやつが正解

617132人目の素数さん2018/02/14(水) 22:16:30.63ID:0z60+WrJ
その的外れな反応も感情で目が曇っているのが理由ではない、と

618132人目の素数さん2018/02/14(水) 22:21:37.24ID:0z60+WrJ
興味深い問題を豊富に内在していないから何度もスレにそのことを書き込みに来ている
攻撃的な内容に見えるかもしれないが、決して感情的な理由から何度もそうしているわけではない

こう言いたいわけだ
うん、やはり説得力がないね

619132人目の素数さん2018/02/14(水) 22:37:25.96ID:i6EvNSpm
>>618

@相手に対して「俺はムチャクチャを言っていない」と思ってる訳ね、
という機械的念押し
A最後尾に「説得力がないね」という文字列を付加する

自分のレスにアンカがつくと
必ず@+Aのレスが生成されて必ずかぶせてくる

620132人目の素数さん2018/02/14(水) 22:52:08.38ID:0z60+WrJ
>>618が間違っているなら訂正を
今の君は皮肉めいたレスで逃げているように見える

621132人目の素数さん2018/02/14(水) 22:56:31.86ID:0z60+WrJ
というか…
>>618で俺は君の「機械的なレス」という誤解を解こうと思ったわけだが、全然伝わらなかったのだろうか

622132人目の素数さん2018/02/14(水) 23:10:27.79ID:eAuh02Vf
集合論はもともと三角級数の研究してたCantorが
実数の集合Rの部分集合について点集合論的な問題を
考える必要になったのが端緒なので
解析方面やgeneral topologyとの繋がりは
当時からずっと強いと思うよ

モデル理論はもともと代数幾何で考えられてきたような
問題を、体と多項式系ではなくもっと一般的な設定の下で
考察したい、みたいな考えが根本にあるから、
当然そっち方面への応用が一番自然で強力なものになる
(その他にも色々と応用はあるけれど)。

610があまりに数学を知らなさ過ぎるだけなんじゃない?

623132人目の素数さん2018/02/14(水) 23:22:39.48ID:eAuh02Vf
ウルトラフィルターを取る操作と
極大イデアルを取る操作は
本質的に同じ操作なので、ウルトラフィルターが
ゴミ屑の概念だと言うなら極大イデアルもそうなる。

連接トポスに関するDeligneの定理と
Godelの完全性定理は片方からもう一方を導けるので、
片方が無意義ならもう片方もそうなるだろう。

そうやって数学の各分野を枯れた分野だと言って
切り捨てていけるなら大したものだね

624132人目の素数さん2018/02/14(水) 23:57:38.34ID:Y4mrB6BD
もう50年くらい前のイデアル論を著した成田正雄ですら
証明なしにツォルンの補題を用いている
鎖という考え方はネーター環の土台であるが
今では完全列などのホモロジー代数によって形を変えている
無限集合の問題は対象すなわちオブジェクトの存在を仮定すればよいだろう

625132人目の素数さん2018/02/15(木) 02:31:46.23ID:2w+jez9v
>>623は興味深いが
>>624は言葉足らずで意味不明

626132人目の素数さん2018/02/15(木) 02:37:48.11ID:2w+jez9v
>>623
説明があった
1975年に指摘されていたみたいね
https://arxiv.org/abs/1309.0389

あと言っとくが、同値な命題だからといって同価値ではない。

627132人目の素数さん2018/02/15(木) 03:30:02.95ID:falK5PgC
>>622
general topology(笑)
それだけをなんやかんや弄る人達がいるのは知ってるけど
そのgeneral topologyの研究も同様に、数学の主流とほぼ交わりなしでしょ

>モデル理論はもともと代数幾何で考えられてきたような

もうずっと昔にモーデルの定理か何かで
モデル理論的なアプローチが成功したとかいう過去の栄光のただその一点に
ずっとしがみついてる感じ
あれ以降に何か目に見える発展はあったんですかね
実代数幾何とかゲテモノ(しかもカビの生えた古びたゲテモノ)という印象しかない

>連接トポスに関するDeligneの定理と
>Godelの完全性定理は片方からもう一方を導けるので
>片方が無意義ならもう片方もそうなるだろう。

>>626←の人が既に言ってるみたいだけど
その話自体は全然知らなかったが、翻訳することで何か具体的な実りはあるのですか?
もし翻訳することの価値がないなら、一般論として、
AとBが翻訳可能でAに価値があっても、Bに翻訳する価値がないなら
Bに価値があるとは限らない

628132人目の素数さん2018/02/15(木) 03:44:25.38ID:j7rjButq

629132人目の素数さん2018/02/15(木) 07:31:42.70ID:2w+jez9v
幾何学的群論と数理論理学は深い関連があるみたいで、詰まらなくはない。

630132人目の素数さん2018/02/15(木) 07:32:24.28ID:0ESuKFEK
モデル理論が実代数幾何には使えて
代数閉体上の代数幾何への応用には乏しいとかいうことは
全くないので、何かかなり誤解しているんじゃないかと。

627のいう”数学の主流”って何なの?
どうも、かなり狭い範囲の分野の事を言っているように
感じられるんだけど。
例えば、数論こそが数学の主流であり、その他の分野は
お情けで数学と呼ばれているに過ぎない、とか
解析学は複素解析以外数学じゃない、レベルの狭隘さ。

631132人目の素数さん2018/02/15(木) 15:59:14.94ID:cydqfvHa
>>630
代数幾何や数論幾何以外は数学でないと思ってるド阿呆もいるぞ。

632132人目の素数さん2018/02/15(木) 16:41:33.03ID:j7rjButq
上から目線で扱き下ろす快感のためにこのスレに足を運んでる様子なので、
それを感情的だと見透かされるのは絶対に受け入れられないんだろうなとは想像がつく

633132人目の素数さん2018/02/15(木) 19:59:52.41ID:2w+jez9v
>>632
感情を使わずに数学をやってるようじゃまだまだだな

634132人目の素数さん2018/02/15(木) 20:09:35.81ID:xbqxuKrh
独我論的構造を持つ現代数学を扱う人間は自然に独我論者になる
@自己が独我論に陥っている
A他者が独我論に陥っている
の二つの場合がある
お互いに何を言っているのかわからないバカの壁となりやすい中で
論文を出すことは至難の業だ
自他ともにわかりやすい文章を書くという作業ですら危うい時代になった

635132人目の素数さん2018/02/15(木) 20:24:25.27ID:2w+jez9v
>>634
> 独我論的構造を持つ現代数学

インチキ

636132人目の素数さん2018/02/15(木) 20:41:12.70ID:j7rjButq
>>633
貴方がこのスレでやってることが数学なのかね

637132人目の素数さん2018/02/15(木) 20:43:12.24ID:j7rjButq
>>634
かの御仁は独我論の意味も知らんやろ
ケチをつけるのに理由を添えることすらしていない

638132人目の素数さん2018/02/15(木) 21:11:46.70ID:2w+jez9v
>>636
当たり前だが5ちゃんの書き込みは数学とは言えない

639132人目の素数さん2018/02/15(木) 21:21:40.72ID:j7rjButq
埒が明かないので大真面目に受け止めるけども、貴方は基本的な読解力に問題があるみたいだね

640132人目の素数さん2018/02/20(火) 01:54:28.52ID:negbyoSA
自然数に関する命題で、巨大基数公理を仮定することで証明できるようになるもの
ってどんなのがありますか
ヘンテコな命題や、メタ数学的な内容の命題は除いて

641132人目の素数さん2018/02/20(火) 09:37:15.00ID:1eUx83Hw
>>640
0#の存在、とか?

642132人目の素数さん2018/02/20(火) 10:20:31.60ID:nXzkbh+j
>>640
へんてこに決まってんじゃん
だいたい
巨大基数は存在しないというのが普通の感覚

643132人目の素数さん2018/02/20(火) 11:42:13.64ID:negbyoSA
>>641
調べても分かりませんでした

>>642
普通の人の感覚では到達不能基数の存在を利用したフェルマーの最終定理もヘンテコということになるのでしょうか

644132人目の素数さん2018/02/20(火) 11:45:27.14ID:nXzkbh+j
>>643
実際には使ってないみたいよ

645132人目の素数さん2018/02/20(火) 11:46:06.69ID:negbyoSA
正確には、フェルマーの最終定理が本当に巨大基数を必要としているかどうかは不明なので、>>640の答えにはなりませんけど

646132人目の素数さん2018/02/20(火) 11:57:06.11ID:nXzkbh+j
巨大基数公理ってクラスを必要としないで済ませられるよって言いたいが為にする公理なので
そんなモノあると思う方が変ってのが普通の感覚

647132人目の素数さん2018/02/20(火) 16:16:37.15ID:EXTEOByh
>>643
> 普通の人の感覚では到達不能基数の存在を利用したフェルマーの最終定理もヘンテコということになるのでしょうか

えっ???
Wiles(と補題に関しては彼とTaylorだっけ)によるフェルマーの最終予想の証明は到達不能基数の公理なんて使ってた?

WilesによるFLTの証明はそんな怪しげ(少なくとも集合論屋や論理屋以外の通常の数学者の少なからずは疑っているどころか
その公理の存在すら知らない)な公理には依存していないんじゃないの? 当時、そんな変な公理を使ってるなんて騒ぎにはならなかったし

もしWilesの証明がそうであったならば、FLTは到達不能基数の存在・不在とは関係なく正しいわけで、そういう関係なく正しい命題であるFLTを
別の誰かが通常のZFCよりも強力な公理(到達不能基数の存在公理)を持ち出して証明するって
(仮にその新しい証明がたとえWilesのよりもエレガントだったとしても)数学的にはあまり意味がないよね(最初の証明ならともかく、既により弱い
公理系で証明済のを強力な公理系でエレガントに証明し直すって単なる 【牛刀をもって鶏を割く】 の類でしょ)

648132人目の素数さん2018/02/20(火) 17:46:42.78ID:gThmZ/3D
>巨大基数公理ってクラスを必要としないで済ませられるよって言いたいが為にする公理なので

いや違うでしょ

649132人目の素数さん2018/02/20(火) 18:37:50.49ID:negbyoSA
>>641の0#とはこれでしょうか
https://en.wikipedia.org/wiki/Zero_sharp
ただ、これはどう見てもメタ数学的な内容なのでは…

650132人目の素数さん2018/02/20(火) 19:00:51.88ID:NIh2RUfU
>>648
なんで?

651132人目の素数さん2018/02/20(火) 19:10:35.14ID:NIh2RUfU
>>647
>誰かが通常のZFCよりも強力な公理(到達不能基数の存在公理)を持ち出して証明するって
> (仮にその新しい証明がたとえWilesのよりもエレガントだったとしても)数学的にはあまり意味がないよね(最初の証明ならともかく、既により弱い
> 公理系で証明済のを強力な公理系でエレガントに証明し直すって単なる 【牛刀をもって鶏を割く】 の類でしょ)
基礎論にそんなかっこいいことできたためしないよ
確かグロタンディーク宇宙っていう集合論のモデルの存在が巨大基数公理と同値とかなんとかで
グロたんの構築した概念使う限りは巨大基数公理の存在を認めざるを得ないとかなんとか
けど精査したらWilesの証明にはそこまで仮定する必要なくって選択公理も不要で
ZFで十分だったんだって

652132人目の素数さん2018/02/20(火) 22:40:08.45ID:EXTEOByh
>>651
なるほどそういうことか、答えてくれて有難う

653132人目の素数さん2018/02/20(火) 23:09:56.83ID:1eUx83Hw
>>649
そうそれ。自然数の集合として表現されるから自然数に関する命題かなあと

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