数理論理学(数学基礎論) その12

1132人目の素数さん2017/11/03(金) 00:54:28.20ID:i9930jhu
数学基礎論は、数学の基礎づけを目的として誕生したが
現在では、数理論理学として、証明論、再帰的関数論、
構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野
に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
(「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも
 若干の個人差があるようです。)
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、
代数幾何学、 英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
(数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化
などを参照)

前スレ
数学基礎論・数理論理学 その11
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1325247440/

785132人目の素数さん2018/05/14(月) 15:24:35.59ID:2GEhKktX
propertyって定理なんですね
求める帰結を得るのに、その帰結を用いることって数学では許されてることなんでしょうか
なんか再帰性みたいな感じで

786132人目の素数さん2018/05/14(月) 15:43:42.05ID:Fh7T7WZf
>>785
そこの「定理」っていうのはその前にある記述をまとめただけだ
「property」とは何を言ってるの?

787132人目の素数さん2018/05/14(月) 17:27:36.65ID:2GEhKktX
p4でthe following properties of sets should be notedと書かれていたことからです
あまり数学のことをわかっていないのでpropertyと述べられたら定理なのかと思ってしまいました

788132人目の素数さん2018/05/14(月) 19:11:17.26ID:VRvJuuxP
>>787
性質

789132人目の素数さん2018/05/14(月) 21:28:14.77ID:7hr0BNKS
>>770
キューネン+超冪+超フィルターで必要十分ですか?

790132人目の素数さん2018/05/15(火) 05:45:48.67ID:vacRROxG
知らんけど大抵の事はどうにかなりそうだよ。
分野によっては記述集合論を深く知るには再帰理論を
もっと知ってたほうが良いとか、
モデル理論の知識で知ってた方が良いものがあるとか、
そういうことはあるけど。

というか集合論はロジックの分野の中では
あまりロジックの細かい知識は要らない方だと思う。

791132人目の素数さん2018/05/15(火) 07:50:45.09ID:sZH9UNqq
日本人の著者の中には、“恒真命題”なんて用語を使っているアホがいるぜw。

ーーーーー>『ゲーデルと20世紀の論理学1〜4』

792132人目の素数さん2018/05/15(火) 10:24:16.17ID:uUBv6rUz
>>791
>“恒真命題”なんて用語を使っているアホ

793132人目の素数さん2018/05/15(火) 10:26:21.69ID:T/zJPABS
ここにはエムシラという名物がいてな

794132人目の素数さん2018/05/15(火) 11:40:06.97ID:M6v/uJCa
言わんとしていることは分かる

795132人目の素数さん2018/05/15(火) 11:45:59.12ID:uUBv6rUz
>>794
説明欲しい

796132人目の素数さん2018/05/15(火) 16:30:57.71ID:ZR44lCG/
12回生になったある日、Dibbie が言った;−「小さなサークルを作って、論理学の研究をしない?」と。
「今、学校で教えられている論理学の理論はどうもオカシイ」というのだった。
彼女が言うには、「”PがQを内含(imply)する”の解釈が現行の論理学ではどうも変だ」
とのことだった。「”PがQを内含する” は ”Pでないか又はQである” と実質的に同値である
とされているのだが、Pに”ライオンは哺乳動物である”を代入し、Qに”ライオンとクジラは共に哺乳動物
である”を代入すれば、”PはQを内含する” は 偽であるのに、 ”Pでないか又はQである”
は真である。一方が偽で他方が真であるような二つの命題が同値である筈はない!」
Dibbie の主張は明解だった。

797132人目の素数さん2018/05/15(火) 16:46:32.01ID:hsVvMANx
P ∨ Q は否定と論理積を用いた ¬(¬P ∧ ¬Q) と同じである

P ∨ Q ⇔ ¬(¬P ∧ ¬Q)

P ∧ Q ⇔ ¬(¬P ∨ ¬Q)

この二つをド・モルガンの法則という

二つの命題 P, Q に対する論理積を P ∧ Q と書き、
「P かつ Q」や「P そして Q」などと読む

798132人目の素数さん2018/05/15(火) 20:48:41.08ID:uUBv6rUz
>>796
>PはQを内含する” は 偽であるのに
真だよ

799132人目の素数さん2018/05/15(火) 20:51:29.27ID:uUBv6rUz
P→P∨Q
はPが真であれ偽であれ必ず真になるので恒真命題ですが
Pが真であれば
P∨Q→P
は真です

800132人目の素数さん2018/05/15(火) 22:43:00.73ID:hsVvMANx
200

801132人目の素数さん2018/05/16(水) 15:38:00.42ID:/O7O6uzy
>>799

“恒真命題”だとさ(爆笑

802132人目の素数さん2018/05/16(水) 15:51:03.81ID:/O7O6uzy
>>798
”ライオンは哺乳動物である” は ”ライオンとクジラは共に哺乳動物である” を
内含しはしない。

803132人目の素数さん2018/05/16(水) 16:17:26.32ID:gbmGcrFM
P→P∧Q
∀x(P(x)→P(x)∧Q(x))
これの区別ができないんですね

または、で解釈する際は上使ってるのに、ならば、になると下になってしまってるんです

804132人目の素数さん2018/05/16(水) 16:32:41.30ID:75lmIgYS
P ならば Q である(前提 -- 実質含意)

Q でないならば P でない(その対偶)

Q でない(前提)

従って、P でない(モーダスポネンスによる帰結)

805132人目の素数さん2018/05/16(水) 16:48:54.22ID:yQ9K+Isp
>>802
命題論理は意味を省いた真理値だけで論理を解釈するもの
ライオンが鯨が
ではなく
真理値が内包するかどうか
真理値の内包とは
偽は偽を内包し
真は真と偽を内包すると
それだけ

806132人目の素数さん2018/05/16(水) 16:51:39.34ID:gbmGcrFM
>>803
これなんですよ結局
異なる論理式の真偽が違うじゃないかーって言ってるわけです

807132人目の素数さん2018/05/16(水) 19:15:59.96ID:/O7O6uzy
内含(implication)の意味が分かってない香具師がいるようだなw。

”俺は大阪に住んでいる” は ”俺は日本に住んでいる” を内含する。

しかし、

”俺は日本に住んでいる” は ”俺は大阪に住んでいる” を内含しない。

808132人目の素数さん2018/05/16(水) 19:29:01.96ID:s+z6wnIq
>>807
”俺はライオンであり哺乳動物である” 
 ”俺はライオンでありとあいつはクジラであり、俺もあいつも共に哺乳動物である” 

”ライオンは哺乳動物である” 
”ライオンとクジラは共に哺乳動物である”

この違いですよ

809132人目の素数さん2018/05/16(水) 19:32:36.09ID:75lmIgYS
P”俺は大阪に住んでいる” Q”俺は日本に住んでいる”

P ならば Q である(前提 -- 実質含意)

Q でないならば P でない(その対偶)

Q でない(前提)

従って、P でない(モーダスポネンスによる帰結)

810132人目の素数さん2018/05/16(水) 19:35:15.15ID:i0JFdzw4
>>808
なんか変でしたね
とにかく、またはをならばに読み返るとき、あなたは勝手に量化してるんです

811132人目の素数さん2018/05/16(水) 23:59:16.27ID:X0hqEU62
安倍昭恵さんの件といい、
新井敏康先生の奥さんの件といい、
最近の日本では偉い人の妻が夫の威光を傘に来て
偉そうにするのがトレンドなのかねえ…

ぶっちゃけあの人ロジックの研究者でも
数学者でも何でもないしなあ。
あの人がいっぱしの研究者みたいな顔して
議論に参加してる段階で半分勝ちみたいなものだし。
あの人が数学者ならダグラス・ホフスタッターなんか
20世紀の大数学者になってしまう。

812132人目の素数さん2018/05/17(木) 01:00:20.55ID:v9i4pQXm
べっきさんの嫁は面白い

813132人目の素数さん2018/05/17(木) 03:14:16.92ID:oVgEyO5c
かつて C I Lewis は、material implication(実質的内含)は真の implication ではない
ことを次の例によって示した:−

(P⊃Q)v(Q⊃P)は恒真式である。と言うことは、任意の二つの命題P、Qについて、
一方が他方を内含(materially imply)するということである。真の内含であるかぎりそんな
ことはありえない!

814132人目の素数さん2018/05/17(木) 07:10:21.68ID:1xjVKUsZ
∀x(P(x)→Q(x)) ∨ ∀x(Q(x)→P(x))は成り立たない、というだけです

815132人目の素数さん2018/05/17(木) 09:40:43.44ID:374sM+up
>>807
>内含(implication)の意味が分かってない香具師がいるようだなw。
お前がその香具師な

816132人目の素数さん2018/05/17(木) 09:42:29.25ID:374sM+up
>>801
恒真だよw

817132人目の素数さん2018/05/17(木) 09:44:25.19ID:374sM+up
>>813
>真の内含
とか云うものを定義できなければどうにもならない

818132人目の素数さん2018/05/17(木) 15:43:13.83ID:oVgEyO5c
"if P(x) then Q(x)" is defined to mean ∀x(〜P(x)vQ(x)) .

819132人目の素数さん2018/05/17(木) 15:51:29.28ID:5HXnnZk5
>>818
自由変数のツジツマすら合ってない

820132人目の素数さん2018/05/17(木) 20:19:02.23ID:VLw1LYEt
>内含(implication)の意味が分かってない香具師がいるようだなw。

述語論理の限量子の意味がわからないヤツがいるようだなw

821132人目の素数さん2018/05/17(木) 20:25:08.76ID:CfiL/Dsh

822132人目の素数さん2018/05/21(月) 00:51:47.31ID:u7lIDFjT
やほーい

823132人目の素数さん2018/05/21(月) 20:36:49.25ID:k8EFQAf9
香具師って久しぶりに見た

824132人目の素数さん2018/05/22(火) 02:22:01.12ID:+aX11wv3
イケメン

825132人目の素数さん2018/05/22(火) 03:48:38.05ID:ozaVmnau
「アライNさんがもしトリイロさんに喧嘩とか
吹っかけて行ったら面白いだろうけど、
彼女は賢いから、彼女が若手研究者のホープみたいなに
絡んでいく場面なんか見られないだろうな」、
とか何となく思ってたら、
アライさんtwitterを鍵アカにして
盤外戦術を仕掛けていっててワロタ

彼女の政治力は凄いけど、
流石にそりゃ無茶だと思うけどなあ、、

826132人目の素数さん2018/05/22(火) 13:27:39.74ID:wnIg7AMi
ゲーデルの(第二?)不完全性定理の証明への途上でゲーデルのベータ関数ってどうしてなくちゃならないんですか?
殆どどの教科書でもゲーデルのβ関数定義して議論を進めてますよね?
議論のどこかで帰納法を使うことは許されないんですかね

で、さっき廣瀬健の帰納的関数ではゲーデルのβ関数を定義してなかったのですが
ますます混乱してしまいます

827132人目の素数さん2018/05/22(火) 14:19:10.20ID:gNg+1lRF
>>825
新井先生を愛してる人がいるなぁ

828132人目の素数さん2018/05/22(火) 14:33:10.78ID:RoOjXAsr
http://doll.chips.jp/

これだね!!!!

829132人目の素数さん2018/05/22(火) 14:49:34.69ID:c17ZrWYY
>>827
いや面白すぎるでしょコレ

ただ、他の数学者(夫含む)の数学の邪魔はして
欲しくないなとは思うけど。

830132人目の素数さん2018/05/22(火) 15:05:42.47ID:c17ZrWYY
>>826
再帰的定義のコーディングが必要なのが
第二の方なのか第一なのかは証明の方針を理解してりゃ
明らかにわかるでしょ。知りたいならちゃんとした
教科書を読むしかないよ。

中国剰余定理を使うコーディングが主流なのは、多分
多分それが一番サクッとコーディング出来るから、
というだけだと思う。
使わないやり方の本は、Peano算術より弱い
限定算術に対して不完全性定理を証明してる本とか、
説明の都合上最初は指数関数の記号が入ってて
コーディングが楽にできる体系で本筋を進みたいという
方針の本とか、
割と話題を証明論の一部に特化した本になる。

基本的に表現力が強い体系の方がコーディングは楽で、
弱い体系になればなるほど、地道で微妙なコーディングが
必要になって来る。

831132人目の素数さん2018/05/22(火) 15:40:09.81ID:wnIg7AMi
>>830
僕の質問はコーディングに際して
素因数分解の一意性に基づいて議論を進めるのか
可逆写像φ:N*N→N の存在に基づいて議論を進めるのか
に関わっているということですか

832132人目の素数さん2018/05/22(火) 16:10:49.18ID:MgYp8miG
そもそも素数が無限個あることを前提としている
限定算術だとかなり微妙な問題

833132人目の素数さん2018/05/22(火) 18:15:40.92ID:gNg+1lRF
>>829
そう思ってるのは君だけかもよ

834132人目の素数さん2018/05/22(火) 18:27:30.71ID:MgYp8miG
>>833
自分だけが面白くて何か問題あるの?

835132人目の素数さん2018/05/23(水) 01:02:40.55ID:1eSqzfCL
>>834
さあ?

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