数理論理学(数学基礎論) その12

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1132人目の素数さん2017/11/03(金) 00:54:28.20ID:i9930jhu
数学基礎論は、数学の基礎づけを目的として誕生したが
現在では、数理論理学として、証明論、再帰的関数論、
構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野
に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
(「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも
 若干の個人差があるようです。)
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、
代数幾何学、 英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
(数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化
などを参照)

前スレ
数学基礎論・数理論理学 その11
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1325247440/

925132人目の素数さん2018/06/17(日) 10:52:13.90ID:Mnf6xpK6
アメリカは日本の不幸の元凶である。


・アメリカはインディアン殲滅と土地略奪、奴隷貿易で成立したキチガイ国家である。

・その汚らしい歴史を薄めるため、ありもしない南京大虐殺の罪を日本に被せ、自らは正義面をし世界に
アメリカ流をゴリ押ししている。

・中国共産党と北朝鮮そして韓国はアメリカが作った傀儡国である。

・これらの三か国に反日と憎悪を煽り日本への破壊行為の手助けをしてるのは紛れもなくアメリカである。

・北朝鮮にミサイルを打たせてるのはアメリカである。中国の日本領海の侵入を後押ししてるのもアメリカである。

・日本へのタカリ根性と乞食根性が染みついた韓国中国をとことん甘やかし増長させてるのもアメリカである。

・日本を滅ぼす行為を裏で操りながら、守ってやると偉そうに米軍基地を置き日本を監視し独立を
阻害してるのはアメリカである。

・GHQ体制以後、アメリカは在日朝鮮人を日本の間接支配の道具とし、様々な重要ポストを与え日本人を牽制かつ毀損し
日本人の監視を行わせている。

・芸能界において人気がないにもかかわらず、在日やハーフもしくは白人が起用されるのはアメリカの圧力があるからである。

・アメリカは貿易黒字のドルを金へ兌換することを日本に許さず。エンドレスに米国債を買わせアメリカ経済とドルを
支えることを強制している。

・アメリカは緊縮財政と消費増税かつ東京一極集中を日本政府に行わせ、日本人を貧乏かつ疲弊させ、国力低下と日本人削減を
徹底的に行わせている。

・アメリカは日本政府に移民を大量に入れることを命令し、日本の文化と秩序を壊し、日本を東南アジアのような貧乏かつ
売春大国にしようとしている。

・アメリカは自ら作った国際緊張で日本を脅し、日本の法律と憲法の上に位置するTPPもしくはFTAを結び、日本の主権を奪い
日本人を奴隷にしようとしている。

926132人目の素数さん2018/06/17(日) 17:29:23.97ID:2s/SLyMA
>>918
> 908が知りたいのは日本特有の理由だから、数学としての面白みがないだけだとまだ足りないと思う
> 何で欧米では軽視されてないのに日本では軽視されてるの?って質問を言い換えるといいのかも

欧米でも数理論理学が充分にリスペクトされるようになったのは割と最近で
それまではマイノリティとして主流分野の数学者との間で長い長い戦いがあった
それは欧州のとある数理論理学者から直接に聞いたので確かだろう

現時点において、欧米で数理論理学が日本よりも安定した地位を得ているのは、
理論計算機科学に対する欧米と日本とでのリスペクトの違い

日本が人工知能という与太に基づく第5世代コンピュータを当時の通産省主導でブチ上げたのに対する
ヨーロッパの反撃はESPRIT計画だったわけだが、このプロジェクトを成す様々な研究テーマの大半は理論計算機科学の特定テーマの研究加速化であったり
理論計算機科学の成果を応用しようというものであったりした

少なくとも当時のハード性能では与太話に過ぎなかった人工知能や知識工学に入れあげた日本と、理論計算機科学という中身の確かな学術分野を育てようとしたヨーロッパ
その理論計算機科学への集中的かつそれなりに長い期間の予算投入と重点強化で、そのバックグラウンドとしての数理論理学もヨーロッパではスポットライトを浴びて
数理論理学の研究者はヨーロッパで安定したステータスを確立できたと考えるのが妥当だろうね

日本だって一応はロジックプログラミングに基づく第五世代ということで、その際にばら撒かれた研究資金はロジック屋や理論計算機科学屋さんたちにも少しは流れたから
第五世代プロジェクトの時代にそれらの分野の研究者が急激に増えて育ったが、その後の予算が続かなかったので徐々に先細りしつつあるのが現状

927132人目の素数さん2018/06/17(日) 19:35:29.35ID:0bsdU2Ou
>>926
なるほど
ありがとうございます

928132人目の素数さん2018/06/18(月) 18:03:17.15ID:+XjUPkJk
AwodeyたちがやってるHoTTのプロジェクトも
軍関係で半分計算機関係の予算だよね。

日本で研究予算が続かなかったのは、まあ、
ロジックに限った事じゃないよね。
国の大元の金融財政政策がおかしくて景気が悪かったから
研究予算の総額自体が先細ったのが
根本的な原因だとは思う。そのせいで文科省の役人が、
一発当ててやろうみたいな打算で割り振った予算とか、
親族が有名な学者で自分には大した研究業績はないが
コネは持っててプレゼンテーションだけは得意、
みたいな政治屋が予算をもぎ取っていくとか、
そういう事例ばかりが目立つ事になる。

929132人目の素数さん2018/06/20(水) 17:33:18.08ID:w+ZIfhaK
p進さんってGentzenのHauptsatzについて
かもさんとかよりずっと数学的に
きちんと理解してる感じがする

930132人目の素数さん2018/06/23(土) 20:48:47.04ID:NdebDpD/
極限について、ツイッターで大学の教員が「極限は一階述語論理の関数記号であり、それを付け加えることは保存的拡大」としていたんだが、
極限は普通の関数(写像)の定義で作れる関数ではないの?

931132人目の素数さん2018/06/23(土) 21:02:53.12ID:emPaHwWk
極限は普通の関数(写像)の定義で作れるから、新しい関数記号として lim を付け加えても元と同じ(保存的拡大)

という趣旨の発言ではないの?

932132人目の素数さん2018/06/23(土) 22:02:14.43ID:NdebDpD/
>>931
確かにそう見ようと思えば見られる
ありがとう

933132人目の素数さん2018/06/25(月) 18:37:39.73ID:KE0y5LKP
>>908
・相対性理論
・数学基礎論(foundation of mathematics)
・量子力学
確かにこの3点セットは舐められているようになっているように見える。
でもどれも共通していることは、ゆるぎないものだってことだよね。
変なこと言ったら全方面から怒りを買うし気を使うよ。

934132人目の素数さん2018/06/26(火) 18:27:17.11ID:ZA6Dsh8D
>>933
> ・相対性理論
> ・数学基礎論(foundation of mathematics)
> ・量子力学
> 確かにこの3点セットは舐められているようになっているように見える。

量子力学と相対性理論は物理屋さんの間で舐められていない。
特に量子力学はこれに習熟していなければ研究者どころか物理学専攻の院生にさえなれない。
相対性理論だって宇宙論や天体物理方面を志望する学生には必須。
ただ、量子力学にせよ相対性理論にせよ既に物理理論として確立してこれら自体の研究は終わっているからポストもない。

舐められているとすれば、量子力学でなく量子力学基礎論とでも呼ぶべき研究分野、つまり観測の問題とか量子力学の解釈問題とかを研究テーマとする分野。
これが何故に殆どの物理学者から無視され相手にされない(つまり舐められている)かと言えば、それら量子力学基礎論の問題の答えがどうなろうとも
量子力学を使って実験・観測で出るべき値を予測したり実験で出たデータを解析したりする上で全く影響がないからだ。

つまり量子力学の解釈問題(コペンハーゲン解釈が正しいかEveretteの多世界解釈が正しいか或いは他の解釈が正しいのかという問題)は
実験によって当否を判定できる(つまり反証可能な)の問題でなく、従って自然科学としての物理学の研究対象ではない(自然哲学の対象ではあるかも知れないが)という事だ。
観測の問題にしても同様だと思われているが、こちらは本当に反証不能な問題なのかは少し疑問が残るような気が個人的にはしている。

これが殆どの物理学者たちが量子力学基礎論に対して冷淡な理由だよ、本質的に自然科学の研究ではないからだ。
もっとも「人間原理」なんて持ち出す宇宙論とか素粒子論の連中は量子力学基礎論の研究者以上に自然科学者として正気か疑わしいけれどね。

これに対して重力理論としての相対性理論に対する疑問は現在も充分にホットなトピックだよ。
何しろ一般相対性理論は量子力学と矛盾してしまうからね。(発散の問題)
だから例えばエントロピック重力理論なんてのは非常に魅力的な新しい重力理論の代替候補だし量子力学とは矛盾しない。

ただ、重力理論を素粒子論から基礎付けようとする超弦理論が久しくブームなので他の代替候補には予算もポストも回らない現実がある。

935132人目の素数さん2018/06/26(火) 18:33:36.18ID:ZA6Dsh8D
>>934で言いたかったことを要約しておくと、

量子力学と量子力学基礎論とはきちんと区別すべきだ、ということだ。
前者は反証可能な自然科学(自然は〜である、を扱う学問)の理論だが、
後者は(恐らくは)反証不能な問題に関する理論を作ろうとしており自然哲学(自然は〜であるべし、を扱う学問)の理論ということだ。

(一般)相対性理論や重力理論に関しては状況は全く異なる。
一部の分野には必須だし、その当否については現状でもホットな問題でもあるが物理学者コミュニティ内部の力学が原因で
特定のアプローチだけに予算とポストが集中している(ので他のアプローチは舐められてるように見えている)。

936132人目の素数さん2018/06/26(火) 19:52:22.48ID:yZv1eI5T
ところで量子力学基礎論が反証不可能であることの証明はできますか?

937132人目の素数さん2018/06/26(火) 20:59:05.49ID:a0Pzu46h
>>934-935
要約ありがとう。だいたいそういう理由が返ってくるので物理学専攻の学生でも
あまり手を出さない、つまり聖域みたいになっている。だから量子力学基礎論に
至っては、物理学専攻じゃなくて計算機専攻が量子コンピューターの研究の一環
で手を出しはじめている。量子力学基礎論を本当に進めたいのは量子コンピュー
ターまわりの人物だ。
つまり2系統今あるわけで、どこかで合流することは必然的だ。(これは不可避)

相対性理論、これもまた物理学専攻の学生にとっては聖域だね。専攻して講義を
受けてみても不可解な教科書に講義、図書館で調べようとしても相対性理論と名
のつく本は「ものすごく頭のいい人が書いたから」というような不可解な理由付
けがされているものの結局は、形容しづらいので、難しいわけだ。
宇宙論は輪をかけて難しいものの、こう、最初の膨張宇宙のモデルを提出した人
達で有名ではない人をみていると、亡くなっていても偉大な人物はいまからでも
評価しなくてはならない、ってなる。宇宙論だろうが力学分野だろうが探せば、
ああこの現象を理由付けたのはあの人物だったのか、って言う人がいるだろう。
ブラックホールの概念についてもそうだね。
>>936
量子力学基礎論が反証不可能な証明ですか、それは今の自分の力量ではできません。
なにせ数理論理学ってすごく難しいでしょう。中高でやる幾何学の証明とは全く別物
みたいで、幾何学の証明について書かれている古い本もっていますけど、その付録を
読んでいると、ああ、丸写しできる答えがそのままのっていないと証明することって
一人では難しいなって思ってしまいます。

938132人目の素数さん2018/06/26(火) 21:46:13.61ID:a0Pzu46h
「量子力学基礎論」という知らない固有名詞に乗るのはよろしくなかった。
「量子力学の解釈問題」で読み替えてください。

939132人目の素数さん2018/06/26(火) 22:47:51.21ID:FnpY5ghl
格子ゲージ理論が離散化で却って成功してる事例だろ
ガイシも本書いてるwww

940132人目の素数さん2018/06/27(水) 00:42:05.07ID:0YC9dkkt
ガイシの時点で量子論理とかとの関係性見いだそうとやってたのに
にじゅういっせいきになって「量子力学基礎論」とか・・・

941132人目の素数さん2018/07/07(土) 12:06:39.48ID:k5BHVvro
自分の周り、ちゃんと見ろよ。

942132人目の素数さん2018/07/07(土) 16:52:16.49ID:AchoogSL
現実から目をソラシドエアー
茨城空港就航

943132人目の素数さん2018/07/08(日) 16:43:51.14ID:3R/hZ2oJ
怒らないで聞いて欲しいんだけれど、こう、陳腐な話だけれど、
他人の命とか人生とか粗末に扱ってはいけないと思うんだ。
よく、思い起こして欲しいのだけれど、それは陳腐な話なんだよ。
もう怖くてみんな言い出せないだけで、顔色も変えないように
しているだけなんじゃないかな。
ただ単に仕返しが怖いから笑っているだけなんじゃないかな。

944132人目の素数さん2018/07/08(日) 17:21:05.24ID:3R/hZ2oJ
言ってしまえば、所詮ね、こんな学問的に追い求めるということは
一つのロマンであって、大事なものではあるけれど、結局はありもしない
ロマンでしかない。事実今現在存在する現実とロマンを比べたときは、
現実をとらないといけない。ロマンを追い求めて、現実逃避のために
ちゃんと今存在してくれている現実を台無しにしてしまう人なんてね、
こう、身近なしょうもないケースに喩えて考えてみることは大事なんじゃ
ないかと思う。

945132人目の素数さん2018/07/08(日) 19:26:59.61ID:JRFmeDCt
人生は死ぬまでの暇つぶし

自分という中心がある限り、現実が大事かどうかは自分しか判断できない。

946132人目の素数さん2018/07/08(日) 20:40:44.76ID:3R/hZ2oJ
それはあなたの判断であって他の人は違うでしょう?
暇つぶしなんてしょうもない理由しかない人もいるでしょうが、
家族を大切にしたいとか、目標を達成したいとか、
別の価値観の人がいるんですよ。

947132人目の素数さん2018/07/08(日) 21:24:40.72ID:3R/hZ2oJ
もう理解もしていないロマンを追っておかしなことをするのは止めよう
自分ももうお払い箱なんだし。具体的手法も含めて全部言ってしまった。
願わくばまだ見ぬ異国のメンバーたち頑張って実現してくれ、
ここでは無理だから。青い鳥なんていない、現実に戻るべきだよ。

948132人目の素数さん2018/07/09(月) 12:19:02.63ID:npjW2rvW
スレチだったらすみません。

任意の自然数nに関する実数tの3次方程式を考えます。
∀n∈N∃t∈R {t^3+3nt^2-3n-2=0}

このときこの方程式の条件式の部分だけを考えて、

t^3+3nt^2-3n-2=0⇔∃X,Y{Y=(3/2)t^2*X-t^3∧(X,Y)=(-2n,-3n-2)}

と、同値変形することは正しいでしょうか?

これだけだと同値式の左辺はn,tの定義が不明で方程式として見ているのか恒等式なのか判断できないから真偽判定できないが
右辺はX,Yの存在に関する真偽判定可能な命題になっていて本当に論理的に左右が等しいのかわからないのではないか?

と、指摘がありました。
その人は右辺の二つ目の条件は条件というよりもX,Yの定義そのものだから∃X,Yを削除して、さらに条件式だけではなくt,nの定義もセットにして

∀n∈N∃t∈R {t^3+3nt^2-3n-2=0}⇔∀n∈N∃t∈R{Y=(3/2)t^2*X-t^3, ただし(X,Y)=(-2n,-3n-2)}

とするのであれば理解できると言ってました。

結局条件式の同値変形はどうするのが正しいのでしょうか?
特に∃X,Yが付くか付かないかで本当に意味が変わってしまうのでしょうか?

わかる方がいましたら何卒回答を教えていただきたいです。よろしくお願いいたします

949132人目の素数さん2018/07/09(月) 12:24:19.74ID:rLEvRqkF
>>948
論理的に同値かどうかを調べるには、論理式に使われる言語や述語記号などの解釈を定めていただかないといけないのですが、そこら辺はどのようになっていますか?

950132人目の素数さん2018/07/09(月) 12:39:10.17ID:hUwY5VqB
>>948
ゼンシヨウヘイホウカトクシヨウヘイホウカジユツゴカ

951132人目の素数さん2018/07/09(月) 14:07:17.39ID:COBLXkMA
>>948

∀n∈N[
 ( ∃t∈R t^3+3nt^2-3n-2=0 )
 ⇔
 ( ∃t∈R ∃Y∈R ∃X∈R Y=(3/2)t^2*X-t^3 ∧ (X,Y)=(-2n,-3n-2) )
]
は明らかに正しいよな
でも、代数学の基本定理を加味して考えると(?)
∀n∈N ∃t∈R[
 ( t^3+3nt^2-3n-2=0 )
 ⇔
 ( ∃Y∈R ∃X∈R Y=(3/2)t^2*X-t^3 ∧ (X,Y)=(-2n,-3n-2) )
]
も正しいよな
(3次方程式だから代数学の基本定理は一々言わなくていいか…)

952132人目の素数さん2018/07/09(月) 14:11:14.62ID:COBLXkMA
∀x(P(x)⇔Q(x)) ならば ∀xP(x)⇔∀xQ(x)

も正しい主張だから、>>951の前段により、

論理式
∀n∈N( ∃t∈R t^3+3nt^2-3n-2=0 )

∀n∈N( ∃t∈R ∃Y∈R ∃X∈R Y=(3/2)t^2*X-t^3 ∧ (X,Y)=(-2n,-3n-2) )

も正しい







はず…。

953132人目の素数さん2018/07/10(火) 17:29:26.97ID:4KzrPJ42
∀n∈N ∀t∈R[
 ( t^3+3nt^2-3n-2=0 )
 ⇔
 ( ∃Y∈R ∃X∈R Y=(3/2)t^2*X-t^3 ∧ (X,Y)=(-2n,-3n-2) )
]

も正しいな
(∃tを∀tに変えた)

954132人目の素数さん2018/07/13(金) 09:50:43.35ID:NngNDeff
カッコって
{([ ])}の大中小関係だと思ってたが違うんか?

955132人目の素数さん2018/07/13(金) 12:05:51.58ID:TsA1JDBt
>>954
>>953は単なる見栄え上の問題です
ただ、論理式を書く中で波括弧{}を書くと、集合と誤解を受けるので角括弧[],丸括弧()が多用されますね
勿論丸括弧()も組(x,y)と誤解を受ける可能性があるので注意は払うべきですが

956132人目の素数さん2018/07/13(金) 13:19:40.70ID:Xa0Xrp6B
クラスってなんなんすか?

957132人目の素数さん2018/07/13(金) 14:03:40.59ID:HK9vyXQT
わからないんですね

958132人目の素数さん2018/07/13(金) 23:04:29.78ID:aF4gL7XN
>>870
「当時の」日本の関係者が揶揄するなら、K.Y.ケネディ
ということですね。

959132人目の素数さん2018/07/14(土) 22:13:16.57ID:4QoS4GDD
順序数定義可能集合について書かれている、
キューネン以外のおすすめの本はありませんか?

960132人目の素数さん2018/07/18(水) 03:44:45.99ID:NmUPTV+a
20世紀は、論理学の歴史からみれば、おおかたの予想に反して、Russell-Hilbert-Goedel
にミスリードされた暗愚な100年であったと記憶されることとなろう。

961132人目の素数さん2018/07/18(水) 07:18:50.41ID:s/GL5PAu
>>954
おれは()しか使わん

962132人目の素数さん2018/07/18(水) 07:19:18.36ID:s/GL5PAu
>>960

963132人目の素数さん2018/07/18(水) 23:20:31.18ID:DBS100d0
ZFCで(とりあえず)考えます
P(x,y)を述語とする

選択公理により、∀x∈X∃y∈Y P(x,y) ならば ∃f:X→Y ∀x∈X P(x,f(x)) です
じゃあ、∀x∃y P(x,y) ならば 新しい関数記号fを導入し、公理∀x P(x,f(x)) を加えた体系は元の体系の保存的拡大(だったっけ?)になるんですか?


選択公理を使わずとも、∀x∈X∃!y∈Y P(x,y) ならば ∃f:X→Y ∀x∈X P(x,f(x)) です
じゃあ、∀x∃!y P(x,y) ならば 新しい関数記号fを導入し、公理∀x P(x,f(x)) を加えた体系は元の体系の保存的拡大(だったっけ?)になるんですか?
この場合は上の場合とは違った議論は何かありますか?

964132人目の素数さん2018/07/18(水) 23:48:43.86ID:s/GL5PAu
>>963
>∀x∃y P(x,y)
X,Yは?

965132人目の素数さん2018/07/19(木) 10:24:25.83ID:rnRSO3vZ
>>960
計算機科学屋さんで一番役に立たない連中の間違いだろ

966132人目の素数さん2018/07/19(木) 18:41:38.91ID:cb8/tBx6
>>960
自分としては幾何学の基礎の八版改訂をしたベルナイスが一番。
フロイデンタールは皮肉ったが、他は誰も誤解されてても
指摘しなかったしそういう雰囲気だったんじゃないか。

967132人目の素数さん2018/07/19(木) 18:53:21.47ID:cb8/tBx6
ヒルベルトも第一次世界大戦後にドイツがようやく加入がみとめられて、
一応ブラウワーを追い出すこととなった大舞台のボローニャの国際会議(1928)で
大々的にぶち上げたもんだから訂正もできないわ、そりゃ「数学の危機」って
言われるって。

968132人目の素数さん2018/07/21(土) 00:23:09.05ID:3EtBPsuP
論理式全体の集合Fは含意記号⇒について順序集合をなしますが(議論している形式的体系はZFCとかそれ以外でもいいんですかね?)、
ということは⇒からFに位相が定まりますが、この位相空間について議論している研究分野って何て言うんですか?
勉強になる資料あったら教えて欲しいです


で、気になったんですがこの議論って、 Fにおける順序 と 位相空間Fから演繹される⇒を含んだ各種命題 が循環しそうな感じですよね
厄介な議論になりそうでこの点でも興味あるんですが

969132人目の素数さん2018/07/21(土) 01:11:22.37ID:TftabnWB
>>968
自分の理解では、その含意の意味が少なくとも2種類あるのだけれど、
混同して理解されているからまず分離しないと研究領域にならないと思う。
言い換えると、〜ならば〜っていうときの「ならば」は自然言語的で曖昧なんで、
包含の意味なのか導出という意味なのかそれぞれ固定して別個の領域で研究する
必要があるだろうということ。

970132人目の素数さん2018/07/22(日) 21:50:37.84ID:84kHkvnw
宇宙が地球よりも大きいならば

太陽系は銀河系よりも小さい

971132人目の素数さん2018/07/22(日) 22:38:49.58ID:W2tHXNb3
宇宙はcosmologyの宇宙じゃなくてuniverseの方か?
一つに絞れてはいないけれど、どれであったとしても正直信じることができない。
ギャップがありすぎるし、それに、原理をなぜ断片的にでも説明していかないんだ?
バッと出して、解説も一緒に出すのか?だとしたら自分バカみたいじゃないか。

972132人目の素数さん2018/07/22(日) 23:04:56.12ID:W2tHXNb3
無念の内に埋没していった奴らの業績掘り起こすのぐらい言われなくてもやるわい。
そもそもそうしないと話繋がらないんだから。

973132人目の素数さん2018/07/23(月) 20:55:07.98ID:18+pI12R
なんだったっけ…
   人間は動物である
   したがって
   人間の鼻は動物の鼻である
が1階の述語論理じゃ形式化できないんだったっけ?

974132人目の素数さん2018/07/23(月) 21:01:58.60ID:VeUz2ze1
ここ30年の気象観測によると地球は丸い

975132人目の素数さん2018/07/24(火) 00:15:22.62ID:zmGBnpiz
パース(Peirce)について聞かれても正直わからん。

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