>>360
＞そもそも逆に大学初年度のカリキュラムとやらで変数変換の公式を厳密に
＞証明しきってるような授業やってる人なんて俺は聞いたことない

言われてみれば、大学初年度では2変数の変数変換公式しか扱わないことを思い出した。よくある証明は、

補題　2×2の行列Aとb∈R^2に対してf(x)＝Ax＋b (x∈R^2)と置くとき、
R^2の有界なジョルダン可測集合Cに対してf(C)もジョルダン可測でμ(f(C))＝|det A|μ(C)
(ただし、ここでのμはジョルダン測度)

を示し、あとは普通のεδでリーマン和を計算して終わり、というもの(n次元でも同じ)。
そして、上記の補題の証明を省いて、εδでのリーマン和だけをやっている教科書があり、
おそらく講義でも上記の補題の証明を省いている大学はあるだろうということ。

なので、この件に関してはこちらが言い過ぎだったかもしれん。

しかし、「リーマン式がスッキリか否か」という点に関して言えば、
上記のリーマン式の証明は方針が極めて普通であり、「リーマン式もスッキリ」としか言いようがない。