一方で、まあこちらはリーマン式ではなくhk式の定理だが、

hk積分での微積分学の基本定理(の1つ)
f：[a,b]→R が各点で微分可能なら、それだけで f' は必ずhk積分可能であり、
しかも f(b)−f(a)＝hk∫[a→b]f'(x)dx が成り立つ

この定理の場合、証明が驚異的に短く、しかも自然で、証明のための準備もほぼゼロである。
まさしく「スッキリ」としか表現のしようがない。ルベーグ式のクソみたいな証明とは天と地の差である。
たとえば、Introduction to Gauge Integrals という書籍では、確か

hk積分の定義 → その直後に straddle lemma → その直後にhk積分での微積分学の基本定理の証明

という構成になっていたはずで、積分の線形性すら証明してない状態で真っ先にこの定理の証明が来るという
驚異の構成であり、ルベーグ式のクソみたいな証明とは天と地の差である。
ちなみに、f：[a,b]→R がルベーグ積分可能ならhk積分可能であり、両者の積分値は一致するので、
上記の定理はルベーグ式の拡張である、ということにも注意せよ。