不等式への招待 第９章 [無断転載禁止]©2ch.net
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
>>203
〔補題〕
-1 < x < 1 のとき
2･log(1-xx）+ x･log{(1+x)/(1-x)｝≦（xx/3)log(1-xx）≦ -(1/3)x^4 ≦ 0,
(略証)
f(x）=（2-xx/3)log(1-xx）+ x･log{(1+x)/(1-x)｝とおく。xの偶関数。
f '(x）=（-2x/3)log(1-xx）+ log{(1+x)/(1-x)｝-（2x/3）+（2/3){1/(1+x）-1/(1-x)},
f "(x）=（-2/3)log(1-xx）-2 +（5/3){1/(1+x）+ 1/(1-x)｝+（2/3){-1/(1+x)^2 -1/(1-x)^2},
f "'(x）=（2/3){-1/(1+x）+1/(1-x)｝+（5/3){-1/(1+x)^2 +1/(1-x)^2｝+（2/3){2/(1+x)^3 -2/(1-x)^3}
= -4xxx(3-xx/3)/(1-xx)^3,
f ""(x）=（2/3){1/(1+x)^2 +1/(1-x)^2｝+（5/3){2/(1+x)^3 +2/(1-x)^3｝-4/(1+x)^4 -4/(1-x)^4
= -4xx(27+22xx-x^4)/[3(1-xx)^4]
≦ 0. [エレ解 2017-08]
x,y,z≧0、x+y+z≦1のとき、3x^2 - 4x+ 5y^2 - 2y + z^2 - 1 の最大最小を求めよ。 >>203
1/(1-tt）はt>0で単調増加ゆえ、
（1/y)∫[0，y] 2/(1-tt）dt も y>0で単調増加。
（2+x)log(1+x）+（2-x)log(1-x)
=（2+x)∫[0，x/(2+x)］2/(1-tt）dt -（2-x)∫[0，x/(2-x)］2/(1-tt）dt
< 0, 実定数 a, b, c>0 とする。
実数 x, y が a/x - b/y ≧c、x < a/c、y > b/c をみたしながら動くとき、
ax-byが最大値をもつための条件と、そのときの最大値を求めよ。
（出典不明、問題はうろ覚え、10年くらい前に立ち読みした記憶から再生したので係数が微妙に違うかもしれない） 実定数 a>0 と、4x^2 + y^2 ≦1 をみたす実数 x, y に対して、
2xy + 2ax + ay の最大値・最小値と、そのときの x, y の値を求めよ。
（昔ネットで見たもの、Z会か進研ゼミのサンプル問題だったような…）
---------------------------------------------------------
4x^2 + y^2 =1 じゃないんで、(x, y) = ((r/2)cosθ, r sinθ)とおいたら泥沼に嵌った。 >>191 (3)
(左辺）=｛1 +1/(nn-1)}^(2n）-1
=｛nn/(nn-1)}^(2n）-1
>（n+1)/(n-1）-1 (←補題)
= 2/(n-1),
〔補題〕
g_n = (1 +1/n)^(n +1/2), (nは正の整数)
とおくとき、g_n は単調減少。
∴ {(n+1)/n}^(2n+1) < {n/(n-1)}^(2n-1),
∴ (n+1)/(n-1) < {nn/(nn-1)}^(2n),
［エレ解スレ（2011.2).68-69］ 今は昔、高校時代のZ会の通信添削より。
a,b,c≧0に対して、
(1) x^(1/3) + y^(1/3) ≦ {4(x+y)}^(1/3)
(2) x^(1/3) + y^(1/3) + z^(1/3) ≦ {9(x+y+z)}^(1/3) >>222
今見ると簡単すぎて泣ける。
当時は Power Mean とか知らなんだし…。 a,b,c≧0に対して、
(9/4)(a+b+c)^5 ≧ 10(a^3 + b^3 + c^3)(a+b+c)^2 - 9(a^5 + b^5 + c^5) ≧ (a+b+c)^5
右側は簡単だったけど、左側は挫折…。 a,b,c≧0に対して、
a^3 + b^3 + c^3 + (6/7)abc ≧ (1/7)(a+b+c)^3
苦手な非同次の不等式。 >>224
s = a+b+c，t = ab+bc+ca，u = abc,
とおく。
a^3 +b^3 +c^3 = s(ss-3t）+3u,
a^5 +b^5 +c^5 = s^5 - 5(a+b)(b+c)(c+a)(ss-t）= s^5 - 5(st-u)(ss-t),
(左辺）-（中辺）=（5/4)s(ss-6t)^2 + 15(ss-3t)u ≧ 0,
(中辺）-（右辺）= 15(st-u)(ss-3t）≧ 0,
>>225
(左辺）-（右辺）=（3/7)｛s(ss-3t)+(s^3-4st+9u)｝=（3/7)(s･F_0 + F_1）≧ 0,
F_0 = ss-3t ≧ 0，
F_1 = s^3 -4st +9u ≧ 0. >>224
等号成立は
左側：｛a，b，c｝=｛0，√3-1，√3+1｝
右側：｛a，b，c｝=｛1，1，1｝ 〔Jordanの不等式〕
0<θ<π/2 のとき、
sinθ >（2/π)θ,
文献［3］大関、p.38-39 例題2.
[分かスレ４３６.016］（微分を使わない方法） >>228
ABを直径とする円をcとする。（半径r）
A，Bを通るもう一つの円をCとする。（半径 R >r）
このとき
2R sinθ= AB = 2r,
また横方向のズレ幅からみて、明らかに
弧AcB > 弧ACB,
πr > 2R θ,
辺々掛けて
sinθ >（2/π)θ,
［分かスレ４３６.016］ 〔問題〕
0≦a,b,c≦1 かつ (1-a)(1-b)(1-c）= abc のとき
(a+b+c)(aa+bb+cc-ab-bc-ca)＋8abc ≧1, >>226
かたじけのうござる。
次数が高いと、非負の和に変形するのが大変でござるな。 a,b,c≧0に対して、
(1) (a^3 + b^3 + c^3 + 15abc)^3 ≧ 216abc(ab+bc+ca)^3
(2) (a+b+c)^5 ≧ 12{(a^4)(b+c) + (b^4)(c+a) + (c^4)(a+b)} a,b,c≧0に対して、
(3) {a^2 + b^2 + c^2 + 9(ab+bc+ca)}^3 ≧ 1000abc(a+b+c)^3 >>231
全くでござるよ。
>>232 (2)
(左辺）-（右辺）
= s^5 -12(s^3･t -3stt -ssu +5tu)
= s(ss -6t +5u/s)^2 +（2ss -25u/s)u
≧ ssu, （← s^3≧27u) >>231
そうでもない？
>>232 (2)
(a+b+c)^6 =｛(a^3+b^3+c^3）+ 3(a+b)(b+c)(c+a)}^2
≧12(a^3+b^3+c^3）(a+b)(b+c)(c+a)
> 12{(a^4)(b+c）+（b^4)(c+a）+（c^4)(a+b)}(a+b+c),
∵
(a+b)(b+c）> b(a+b+c),
(b+c)(c+a）> c(a+b+c),
(c+a)(a+b）> a(a+b+c), >>234
こういう変形はどうやって思いつくんでせうか？
>>235
これはすごい… a,b,c≧0 かつ a+b+c>0 かつ a^2+b^2+c^2-2abc=1 のとき、(a-1)(b-1)(c-1)≧0 >>237
0 < |α|，|β|，|γ| < π/2，
γ = α±β,
(a，b，c）=（cosα，cosβ，cosγ）
のとき
(a-1)(b-1)(c-1）< 0 ？
(1-aa)(1-bb）＝（c-ab)^2 ≧ 0 ゆえ
a-1，b-1，c-1 は同符号だが… ごめんなさい。問題文を書き間違えていました。（切腹）
a,b,c≧0 かつ a+b+c>3 かつ a^2+b^2+c^2-2abc=1 のとき、(a-1)(b-1)(c-1)≧0
↑ 自然数 n に対して、
n+3 < {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)}^(1/6) < n+(7/2)
どっかの入試問題だったと思うけど、メモしていない…。 >>240
左側
(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6）-（n+3)^6 =（n+3)(3n^4 +31n^3 +102nn +103n -3）> 0,
右側は GM-AM で
蛇足だが…
｛(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)}^(1/6）= n +7/2 -35/(24n）+245/(48nn）-23597/(1152n^3）+69139/(768n^4）-34892549/(82944n^5）+340456375/(165888n^6）-… >233 (3)
s = a+b+c，t = ab+bc+ca，u = abc,
とおく。
同次式なので u=1 としてもよい。s≧3，t≧3.
t(tt-4s+3）≧ t^3 -4stu +9uu ≧ 0,
∴ t ≧ √(4s-3）≧ s(10-s)/7,
∴ ss+7t ≧ 10s,
∴ aa+bb+cc + 9(ab+bc+ca）≧ 10(a+b+c),
かなあ。 >>232 (1)
F_2 = s^4 -5sst +4tt +6su ≧ 0， （Schur)
これをｔについて解くと
t ≦［5ss -√{3s(3s^3 -32u)}]/8,
u=1 として
t ≦［5ss -√{3s(3s^3 -32u)}]/8 ≦（s^3 +18u)/{3(s+2)},
∴（s^3 -3st+3u）+ 15u ≧ 6t,
∴ a^3 +b^3 +c^3 + 15abc ≧ 6(ab+bc+ca),
かなあ。
>>233 (3) >>242
√(4s-3）≧ s(10-s)/7 のところ
s≧4 のとき
√(4s-3）≧ 25/7 ≧ s(10-s)/7,
3≦s≦4 のとき
(4s-3）-｛s(10-s)/7}^2 =（s-3)(49-49s+17ss-s^3)/49 ≧0, a,b,c ∈R のとき
(1) (a^2 + b^2 + c^2)^2 ≧ 3(a^3b + b^3c + c^3a)
(2) a^4 + b^4 + c^4 ≧ 2(a^3b + b^3c + c^3a) - (ab^3 + bc^3 + ca^3)
(3) a^4 + b^4 + c^4 ≧ 6(a+b+c)(a^2b + b^2c + c^2a) - 17{(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2}
(4) 3(a^4 + b^4 + c^4 - a^3b + b^3c + c^3a) ≧ a^2(b-c)^2 + b^2(c-a)^2 + c^2(a-b)^2
a,b,c≧0 のとき
(11) a^3 + b^3 + c^3 ≧ 3(ab^2 + bc^2 + ca^2) - 2(a^2b + b^2c + c^2a)
(12) a^3 + b^3 + c^3 ≧ (17/9)(a^2b + b^2c + c^2a) - (8/3)abc
(13) a^4 + b^4 + c^4 ≧ (9/4)(ab^3 + bc^3 + ca^3) - (5/4)(a^3b + b^3c + c^3a)
(14) a^4 + b^4 + c^4 ≧ 6{(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2} - 5(a^3b + b^3c + c^3a)
(15) a^4 + b^4 + c^4 ≧ (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 + 2(a^3b + b^3c + c^3a - ab^3 - bc^3 - ca^3)
(16) a^4 + b^4 + c^4 ≧ abc(a+b+c) + (2√2)(a^3b + b^3c + c^3a - ab^3 - bc^3 - ca^3)
巡回式は嫌いでござる。 >>242
> ∴ t ≧ √(4s-3）≧ s(10-s)/7,
√(4s-3）≧ s(10-s)/7 って、不等号の向きが一定でないような… >>245
まづ AM-GMより s ≧ 3u^(1/3）= 3,
あとは >>243 (下）を参照。 >>244
〔4次巡回不等式の基本定理〕（定理2.3.3）
a^4 + b^4 + c^4 - p(a^3b+b^3c+c^3a）- q(ab^3+bc^3+ca^3）+｛(pp+pq+qq)/3 -1}(aabb+bbcc+ccaa）+｛p+q-(pp+pq+qq)/3}abc(a+b+c)
=｛(A-B)^2+(B-C)^2+(C-A)^2}/6,
ただし、A,B,Cは
A = aa-bb +pbc -qca,
B = bb-cc +pca -qab,
C = cc-aa +pab -qbc,
(1）（p,q）=（3,0)
(2）（p,q）=（2,-1) 例題2.3.10（8）*
(3）（p,q）=（6,0） 例題2.3.10（7)
(4）（p,q）=（1,0） 例題2.3.10（4)
(13） 例題2.3.11（2） (2）を精密化したもの。 ｛右辺の係数を α+1、-α として α≦1.379…｝
(14） 例題2.3.12（3）次の（15）から出る。｛右辺の係数をγ+1，-γ として γ≦5.0779…｝
(15） 例題2.3.11（5)
(16） 例題2.3.12（4)
* a：b：c = sin(π/9)：｛sin(2π/9)-sin(π/3)｝：sin(2π/9）
のとき等号が成立するらしい。
文献[8］安藤「不等式」数学書房（2012)
§2.3（４次斉次不等式） >>244
min{a，b，c｝= m とし、｛a，b，c｝=｛m，m+x，m+y｝とする。（x，y≧0)
(11)
(左辺）-（右辺）= m(xx-xy+yy）+（x^3 + 2xxy -3xyy + y^3）≧0,
∵ x^3 +2xx -3x +1 ≧ 3x^(7/3）-3x + 1 ≧ 1 - 4･(3/7)^(7/4）= 0.091969
(12)
(左辺）-（右辺）= 10m(xx-xy+yy)/9 +｛x^3 -（17/9)xxy + y^3｝≧0,
∵ x^3 -（17/9)xx + 1 ≧ 1 -2･（17/27)^(3/2）= 0.00078779, >>248
xx-xy+yy ≧ 0,
(左辺－右辺）はmについて単調増加。
∴｛a，b，c｝の差（x，y）を固定して一斉に増加すれば増加する。
∴ m=0 の場合を考えれば十分。
（sageるのを忘れてしまった…） 三角形の辺長 a,b,c、外接円の半径R、内接円の半径 r に対して
(1) a^2+ b^2 + c^2 ≦ 9R^2
(2) a^2+ b^2 + c^2 ≦ 8R^2 + 4r^2 >>270
正弦定理より
aa+bb+cc = 4RR｛sin(A)^2 + sin(B)^2 + sin(C)^2},
sin(A)^2 + sin(B)^2 + sin(C)^2 = 2 + 2cos(A）cos(B）cos(C）- 4cos((A+B+C)/2）cos((-A+B+C)/2）cos((A-B+C)/2）cos((A+B-C)/2)
= 2 + 2cos(A）cos(B）cos(C), （← A+B+C=π）
(1)
・鈍角または直角⊿ のときは 左辺 ≦ 2,
・鋭角△ のときは AM-GM と凸性より
cos(A）cos(B）cos(C）≦［｛cos(A)+cos(B)+cos(C)}/3 ]^3 ≦［ cos((A+B+C)/3）]^3 = ［ cos(π/3）]^3 = 1/8,
左辺 ≦ 2 + 1/4 = 9/4,
∴ aa+bb+cc ≦ 9RR,
等号成立は A=B=C（正△）のとき >>270
(2)
正弦定理より
（a+b-c)/c = 2sin(A/2)sin(B/2)/sin(C/2)，etc.
r/R =（2S/(a+b+c))(4S/abc)
=（a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)/(2abc)
= 4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2),
(r/R)^2 = 2[1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)],
したがって、補題より
sin(A)^2 + sin(B)^2 + sin(C)^2
= 2 + 2cos(A)cos(B)cos(C)
≦ 2 + 2[1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)]
= 2 +｛4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)}^2
= 2 +（r/R)^2,
【補題】A+B+C=π, 0<A,B,C のとき、
cos(A)cos(B)cos(C) ≦ [1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)] ≦ 1/8.
［初代スレ.580］
【系】
｛(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}^2 ≧ (aa+bb-cc)(bb+cc-aa)(cc+aa-bb),
［1992 Poland］44th，1st round（1992 Sept-Dec）No.9
［初代スレ.538(3)］ >>282 〔補題〕
・鈍角または直角⊿のとき
cos(A）cos(B）cos(C）≦ 0 で成立。
・鋭角△のとき
(右辺）-（左辺）
=［1-cos(A)］［1-cos(B)］［1-cos(C)］- cos(A）cos(B）cos(C)
=［1-cos(A)］［1-cos(B)］-4sin(A/2）sin(B/2）cos((A-B)/2）cos(C）+［cos(C)]^2
=｛2sin(A/2）sin(B/2）- cos(C)}^2 + 4sin(A/2）sin(B/2）［1-cos((A-B)/2)］
≧0. >>282 〔系〕
b+c-a = x，c+a-b = y，a+b-c = z,
とおく。（Ravi変換）
（左辺）-（右辺）=（xyz)^2 -（aa+bb-cc)(bb+cc-aa)(cc+aa-bb）
= 2abxyzz -2(a+b)xyz(aa+bb-cc）+ 2cc(aa+bb-cc)^2
= 2{z√(abxy）-c(aa+bb-cc)}^2 + 2(√xy)z(aa+bb-cc){2c√(ab）-(a+b)√(xy)}
≧ 0,
∵ 2c√(ab）= c√{(a+b)^2 -（a-b)^2}
≧（a+b)√{cc -（a-b)^2}
=（a+b)√(xy), ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
