不等式への招待 第９章 [無断転載禁止]©2ch.net
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>>186
n=3 のときは
Lhs - Rhs = 2(aa+bb+cc) +3GG -(a+b+c)^2
= aa+bb+cc -2ab -2bc -2ca +3GG
≧ A^3 + B^3 + C^3 -AB(A+B）-BC(B+C）-CA(C+A）+3ABC
= F_1(A,B,C)
≧ 0,
ここに、A=a^(2/3)，B=b^(2/3)，C=c^(2/3）とおいた。
>>187
8(Mhs - Lhs）
= 4(a+b+c)(ab+bc+ca) -（a+b+c)^3 + 8abc
=（a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
＞ 0,
abc ≦｛(a+b+c)/3}^3 = 8/27, （← AM-GM)
Mhs = ab+bc+ca ≦｛(a+b+c)^3 + 9abc}/{4(a+b+c)｝= 1 +（9/8)abc ≦ Rhs, >>180
n=4 の場合の略証
x1 ≧ x2 ≧ x3 ≧ x4 としてよい。
m =（x1+x2+x3+x4)/4 とおく。
・ x1+x4 ≧ x2+x3 のとき
（x1，m，m）majorizes（(x1+x2)/2，(x1+x3)/2，(x1+x4)/2)
（x2，x3，x4）majorizes（(x2+x3)/2，(x2+x4)/2，(x3+x4)/2)
∴Karamata により
f(x1）+ f(m）+ f(m）≧ f((x1+x2)/2）+ f((x1+x3)/2）+ f((x1+x4)/2),
f(x2）+ f(x3）+ f(x4）≧ f((x2+x3)/2）+ f((x2+x4)/2）+ f((x3+x4)/2),
辺々たす。
・ x1+x4 ≦ x2+x3 のとき
（x1，x2，x3）majorizes（(x1+x2)/2，(x1+x3)/2，(x2+x3)/2)
（m，m，x4）majorizes（(x1+x4)/2，(x2+x4)/2，(x3+x4)/2)
∴Karamata により
f(x1）+ f(x2）+ f(x3）≧ f((x1+x2)/2）+ f((x1+x3)/2）+ f((x2+x3)/2),
f(m）+ f(m）+ f(x4）≧ f((x1+x4)/2）+ f((x2+x4)/2）+ f((x3+x4)/2),
辺々たす。
文献[3］大関，p.125-126
文献[8］安藤「不等式」，p.10-11
- - - - - - - - - - - - - - - - - -
〔一般化された Turkevici不等式〕
(n-1){(a_1)^2 + … +（a_k)^2｝+ nGG ≧（a_1 + … + a_n)^2,
ここに G =（a_1･a_2 … a_n)^(1/n),
n=2 等号
n=3 >>188
n=4 >>164 下， >>184-185
n≧5 nについての帰納法 >>186 [エレ解 1991-11]
任意の x>0 に対して、a^x + a^(1/x) ≦ a^(x + 1/x) が成り立つための正の数 a の条件を求めよ。 [エレ解 2013-10]
自然数 n≧2、C[n, k] は二項係数とする。
(1) Σ[k=1 to n] (-1)^(k+1) C[n, k] {1/(n^2)}^k < 1/n
(2) Σ[k=1 to n] C[n, k] {1/(n^2-1)}^k > 1/n
(3) Σ[k=1 to 2n] C[2n, k] {1/(n^2-1)}^k > 2/(n-1) >>190
F(x）= Rhs - Lhs = a^(x+1/x）- a^x - a^(1/x)
とおく。
0<a≦1 ならば
F(x）=（1 - a^x){1 - a^(1/x）｝- 1 < 0,
題意より a>1 に限られる。
F '(x）= log(a）｛(1 -1/xx）a^(x+1/x）-a^(x）+（1/xx)a^(1/x)}
= log(a）a^(x+1/x）｛1 -1/xx -a^(-1/x）+（1/xx)a^(-x)}
= log(a）a^(x+1/x）｛g(1/x）- g(x)}/x,
y = a^(-x）は下に凸ゆえ、g(x）=｛1 - a^(-x)}/x はxについて単調減少。
∴ F '(x）および g(1/x）- g(x）は、x-1 と同符号。
∴ F(x）は x=1 に極小値 F(1）= a(a-2）をもつ。
以下、F(1）だけ見れば十分。
題意を満足する aの下限は 2
往年の数学者「ビブンのことはビブンせよ。」
最近の数学者「ビブン・セキブン・いいキブン」 a,b,c,d>0に対して、
(a+b)^3 (b+c)^3 (c+d)^3 (d+a)^3 ≧ 16(abcd)^2 (a+b+c+d)^4
出題元は a,b,c>0 となっているが…
https://artofproblemsolving.com/community/c6h299899p1650989
不等式は代数幾何？ 僕は大好き。 >>192
補足
xx{h(x)/x} ' = x h '(x）- h(x）= ∫[0,x] t h"(t）dt - h(0),
>>193
Problem 116（Crux Mathematicorum)
リンク先の解答：
(a+b)(b+c)(c+d)(d+a）= su +（ac-bd)^2 ≧ su,
ここで基本対称式を
s = a+b+c+d,
u = abc+bcd+cda+dab,
v = abcd,
とおいた。
これらの間にはMcLaurinの不等式
2t/3s ≧ 3u/2t ≧ 4v/u（=HM),
が成立つ。tを消すと
u/s ≧（4v/u)^2,
∴（su)^3 ≧16 v^2 s^4.
（Pain rinnegan，2009/Oct/11） >>193
>>107 (1）でござったか。
ac+bd = p，ad+bc = q，ab+cd = r とおく。
(a+b)(c+d）= p+q,
(b+c)(d+a）= p+r,
su-4v = pq+qr+rp,
よって
(a+b)(b+c)(c+d)(d+a)
=（p+q)(p+r)
= pp +（suｰ4v)
= su +（pp-4v)
= su +（ac-bd)^2
≧ su, >>108 と同じだ... a∈Cに対して、f(z)=e^(１/(z－a)),z∈C\{a}において、aに収束する点列ａn∈Ｃ\{a}で lim n→∞ f(ａn)=+∞ となるものを見出せ。
の解答をお願い致します。 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:ae2afb6cd11f3e92f5cd12f037b4c3ac) >>196
a_n = a + (1/n)
とかでいいんじゃね？
【考え方】
Cの上では exp はふにょふにょしてる事に注意しよう．
exp がシュッとでかくなるのは引数が実のときだけ．
だから 1/(a_n -a) が n:large に対してでかい実数になるように
すればいい．1/ｘは右から近づくと＋∞，左から近づくと-∞
なんで a_n - a が実数になるようにしつつ a に右から近づけばいい． （失礼しました．質問スレと間違えて返事してしまいました） f(z)=z/sinz,z∈Cにおいて,
(1) z=0はf(z)の除去可能特異点であることを示せ。
(2) f(z)の極をすべて求めよ、また、極での留数を求めよ。
(3) z=0まで定義域を拡大したf(z)のz=0におけるマクローリン展開の2次の項までを求め よ。
(1).(2).(3)の解答をお願い致します。 👀
Rock54: Caution(BBR-MD5:ae2afb6cd11f3e92f5cd12f037b4c3ac) f(z)=z/sinh z,z∈Cにおいて
(1) f(z)はC上正則であることを示せ。
(2) z=0はf(z)の除去可能特異点であることを示せ。
(3) z=0まで定義域を拡大したf(z)のz=0におけるマクローリン展開の2次の項までを求めよ。
(1).(2).(3)の解答をお願い致します。 >>191
(1）１-（1 - 1/nn)^n < 1/n,
(2）｛1 + 1/(nn-1)}^n > n/(nn-1）> 1/n,
(3）｛1 + 1/(nn-1)}^(2n）-1 =｛nn/(nn-1)}^(2n）-1
=｛1/(1-xx)}^(2/x）-1 >（1+x)/(1-x）-1 = 2x/(1-x）= 2/(n-1),
*) 2log(1-xx）+ x･log{(1+x)/(1-x)}
=（2+x)log(1+x）+（2-x)log(1-x)
= -∬[0,x］｛2t/(1-tt)}^2 dt < 0,
より （1-xx)^(2/x）<（1-x)/(1+x), >>195
４変数に関する基本対称式 s, t, u, v をみると新鮮でござるな。 p, q, r の関係も面白い。 >>204
s，t，u，v （ >>108 ） と p，q，r （ >>195 ） の関係
p+q+r = t,
pq+qr+rp = su - 4v,
pqr =（ss-4t)v + uu, >>203
〔補題〕
-1 < x < 1 のとき
2･log(1-xx）+ x･log{(1+x)/(1-x)｝≦（xx/3)log(1-xx）≦ -(1/3)x^4 ≦ 0,
(略証)
f(x）=（2-xx/3)log(1-xx）+ x･log{(1+x)/(1-x)｝とおく。xの偶関数。
f '(x）=（-2x/3)log(1-xx）+ log{(1+x)/(1-x)｝-（2x/3）+（2/3){1/(1+x）-1/(1-x)},
f "(x）=（-2/3)log(1-xx）-2 +（5/3){1/(1+x）+ 1/(1-x)｝+（2/3){-1/(1+x)^2 -1/(1-x)^2},
f "'(x）=（2/3){-1/(1+x）+1/(1-x)｝+（5/3){-1/(1+x)^2 +1/(1-x)^2｝+（2/3){2/(1+x)^3 -2/(1-x)^3}
= -4xxx(3-xx/3)/(1-xx)^3,
f ""(x）=（2/3){1/(1+x)^2 +1/(1-x)^2｝+（5/3){2/(1+x)^3 +2/(1-x)^3｝-4/(1+x)^4 -4/(1-x)^4
= -4xx(27+22xx-x^4)/[3(1-xx)^4]
≦ 0. [エレ解 2017-08]
x,y,z≧0、x+y+z≦1のとき、3x^2 - 4x+ 5y^2 - 2y + z^2 - 1 の最大最小を求めよ。 >>203
1/(1-tt）はt>0で単調増加ゆえ、
（1/y)∫[0，y] 2/(1-tt）dt も y>0で単調増加。
（2+x)log(1+x）+（2-x)log(1-x)
=（2+x)∫[0，x/(2+x)］2/(1-tt）dt -（2-x)∫[0，x/(2-x)］2/(1-tt）dt
< 0, 実定数 a, b, c>0 とする。
実数 x, y が a/x - b/y ≧c、x < a/c、y > b/c をみたしながら動くとき、
ax-byが最大値をもつための条件と、そのときの最大値を求めよ。
（出典不明、問題はうろ覚え、10年くらい前に立ち読みした記憶から再生したので係数が微妙に違うかもしれない） 実定数 a>0 と、4x^2 + y^2 ≦1 をみたす実数 x, y に対して、
2xy + 2ax + ay の最大値・最小値と、そのときの x, y の値を求めよ。
（昔ネットで見たもの、Z会か進研ゼミのサンプル問題だったような…）
---------------------------------------------------------
4x^2 + y^2 =1 じゃないんで、(x, y) = ((r/2)cosθ, r sinθ)とおいたら泥沼に嵌った。 >>191 (3)
(左辺）=｛1 +1/(nn-1)}^(2n）-1
=｛nn/(nn-1)}^(2n）-1
>（n+1)/(n-1）-1 (←補題)
= 2/(n-1),
〔補題〕
g_n = (1 +1/n)^(n +1/2), (nは正の整数)
とおくとき、g_n は単調減少。
∴ {(n+1)/n}^(2n+1) < {n/(n-1)}^(2n-1),
∴ (n+1)/(n-1) < {nn/(nn-1)}^(2n),
［エレ解スレ（2011.2).68-69］ 今は昔、高校時代のZ会の通信添削より。
a,b,c≧0に対して、
(1) x^(1/3) + y^(1/3) ≦ {4(x+y)}^(1/3)
(2) x^(1/3) + y^(1/3) + z^(1/3) ≦ {9(x+y+z)}^(1/3) >>222
今見ると簡単すぎて泣ける。
当時は Power Mean とか知らなんだし…。 a,b,c≧0に対して、
(9/4)(a+b+c)^5 ≧ 10(a^3 + b^3 + c^3)(a+b+c)^2 - 9(a^5 + b^5 + c^5) ≧ (a+b+c)^5
右側は簡単だったけど、左側は挫折…。 a,b,c≧0に対して、
a^3 + b^3 + c^3 + (6/7)abc ≧ (1/7)(a+b+c)^3
苦手な非同次の不等式。 >>224
s = a+b+c，t = ab+bc+ca，u = abc,
とおく。
a^3 +b^3 +c^3 = s(ss-3t）+3u,
a^5 +b^5 +c^5 = s^5 - 5(a+b)(b+c)(c+a)(ss-t）= s^5 - 5(st-u)(ss-t),
(左辺）-（中辺）=（5/4)s(ss-6t)^2 + 15(ss-3t)u ≧ 0,
(中辺）-（右辺）= 15(st-u)(ss-3t）≧ 0,
>>225
(左辺）-（右辺）=（3/7)｛s(ss-3t)+(s^3-4st+9u)｝=（3/7)(s･F_0 + F_1）≧ 0,
F_0 = ss-3t ≧ 0，
F_1 = s^3 -4st +9u ≧ 0. >>224
等号成立は
左側：｛a，b，c｝=｛0，√3-1，√3+1｝
右側：｛a，b，c｝=｛1，1，1｝ 〔Jordanの不等式〕
0<θ<π/2 のとき、
sinθ >（2/π)θ,
文献［3］大関、p.38-39 例題2.
[分かスレ４３６.016］（微分を使わない方法） >>228
ABを直径とする円をcとする。（半径r）
A，Bを通るもう一つの円をCとする。（半径 R >r）
このとき
2R sinθ= AB = 2r,
また横方向のズレ幅からみて、明らかに
弧AcB > 弧ACB,
πr > 2R θ,
辺々掛けて
sinθ >（2/π)θ,
［分かスレ４３６.016］ 〔問題〕
0≦a,b,c≦1 かつ (1-a)(1-b)(1-c）= abc のとき
(a+b+c)(aa+bb+cc-ab-bc-ca)＋8abc ≧1, >>226
かたじけのうござる。
次数が高いと、非負の和に変形するのが大変でござるな。 a,b,c≧0に対して、
(1) (a^3 + b^3 + c^3 + 15abc)^3 ≧ 216abc(ab+bc+ca)^3
(2) (a+b+c)^5 ≧ 12{(a^4)(b+c) + (b^4)(c+a) + (c^4)(a+b)} a,b,c≧0に対して、
(3) {a^2 + b^2 + c^2 + 9(ab+bc+ca)}^3 ≧ 1000abc(a+b+c)^3 >>231
全くでござるよ。
>>232 (2)
(左辺）-（右辺）
= s^5 -12(s^3･t -3stt -ssu +5tu)
= s(ss -6t +5u/s)^2 +（2ss -25u/s)u
≧ ssu, （← s^3≧27u) >>231
そうでもない？
>>232 (2)
(a+b+c)^6 =｛(a^3+b^3+c^3）+ 3(a+b)(b+c)(c+a)}^2
≧12(a^3+b^3+c^3）(a+b)(b+c)(c+a)
> 12{(a^4)(b+c）+（b^4)(c+a）+（c^4)(a+b)}(a+b+c),
∵
(a+b)(b+c）> b(a+b+c),
(b+c)(c+a）> c(a+b+c),
(c+a)(a+b）> a(a+b+c), >>234
こういう変形はどうやって思いつくんでせうか？
>>235
これはすごい… a,b,c≧0 かつ a+b+c>0 かつ a^2+b^2+c^2-2abc=1 のとき、(a-1)(b-1)(c-1)≧0 >>237
0 < |α|，|β|，|γ| < π/2，
γ = α±β,
(a，b，c）=（cosα，cosβ，cosγ）
のとき
(a-1)(b-1)(c-1）< 0 ？
(1-aa)(1-bb）＝（c-ab)^2 ≧ 0 ゆえ
a-1，b-1，c-1 は同符号だが… ごめんなさい。問題文を書き間違えていました。（切腹）
a,b,c≧0 かつ a+b+c>3 かつ a^2+b^2+c^2-2abc=1 のとき、(a-1)(b-1)(c-1)≧0
↑ 自然数 n に対して、
n+3 < {(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)}^(1/6) < n+(7/2)
どっかの入試問題だったと思うけど、メモしていない…。 >>240
左側
(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6）-（n+3)^6 =（n+3)(3n^4 +31n^3 +102nn +103n -3）> 0,
右側は GM-AM で
蛇足だが…
｛(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)(n+6)}^(1/6）= n +7/2 -35/(24n）+245/(48nn）-23597/(1152n^3）+69139/(768n^4）-34892549/(82944n^5）+340456375/(165888n^6）-… >233 (3)
s = a+b+c，t = ab+bc+ca，u = abc,
とおく。
同次式なので u=1 としてもよい。s≧3，t≧3.
t(tt-4s+3）≧ t^3 -4stu +9uu ≧ 0,
∴ t ≧ √(4s-3）≧ s(10-s)/7,
∴ ss+7t ≧ 10s,
∴ aa+bb+cc + 9(ab+bc+ca）≧ 10(a+b+c),
かなあ。 >>232 (1)
F_2 = s^4 -5sst +4tt +6su ≧ 0， （Schur)
これをｔについて解くと
t ≦［5ss -√{3s(3s^3 -32u)}]/8,
u=1 として
t ≦［5ss -√{3s(3s^3 -32u)}]/8 ≦（s^3 +18u)/{3(s+2)},
∴（s^3 -3st+3u）+ 15u ≧ 6t,
∴ a^3 +b^3 +c^3 + 15abc ≧ 6(ab+bc+ca),
かなあ。
>>233 (3) >>242
√(4s-3）≧ s(10-s)/7 のところ
s≧4 のとき
√(4s-3）≧ 25/7 ≧ s(10-s)/7,
3≦s≦4 のとき
(4s-3）-｛s(10-s)/7}^2 =（s-3)(49-49s+17ss-s^3)/49 ≧0, a,b,c ∈R のとき
(1) (a^2 + b^2 + c^2)^2 ≧ 3(a^3b + b^3c + c^3a)
(2) a^4 + b^4 + c^4 ≧ 2(a^3b + b^3c + c^3a) - (ab^3 + bc^3 + ca^3)
(3) a^4 + b^4 + c^4 ≧ 6(a+b+c)(a^2b + b^2c + c^2a) - 17{(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2}
(4) 3(a^4 + b^4 + c^4 - a^3b + b^3c + c^3a) ≧ a^2(b-c)^2 + b^2(c-a)^2 + c^2(a-b)^2
a,b,c≧0 のとき
(11) a^3 + b^3 + c^3 ≧ 3(ab^2 + bc^2 + ca^2) - 2(a^2b + b^2c + c^2a)
(12) a^3 + b^3 + c^3 ≧ (17/9)(a^2b + b^2c + c^2a) - (8/3)abc
(13) a^4 + b^4 + c^4 ≧ (9/4)(ab^3 + bc^3 + ca^3) - (5/4)(a^3b + b^3c + c^3a)
(14) a^4 + b^4 + c^4 ≧ 6{(ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2} - 5(a^3b + b^3c + c^3a)
(15) a^4 + b^4 + c^4 ≧ (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 + 2(a^3b + b^3c + c^3a - ab^3 - bc^3 - ca^3)
(16) a^4 + b^4 + c^4 ≧ abc(a+b+c) + (2√2)(a^3b + b^3c + c^3a - ab^3 - bc^3 - ca^3)
巡回式は嫌いでござる。 >>242
> ∴ t ≧ √(4s-3）≧ s(10-s)/7,
√(4s-3）≧ s(10-s)/7 って、不等号の向きが一定でないような… >>245
まづ AM-GMより s ≧ 3u^(1/3）= 3,
あとは >>243 (下）を参照。 >>244
〔4次巡回不等式の基本定理〕（定理2.3.3）
a^4 + b^4 + c^4 - p(a^3b+b^3c+c^3a）- q(ab^3+bc^3+ca^3）+｛(pp+pq+qq)/3 -1}(aabb+bbcc+ccaa）+｛p+q-(pp+pq+qq)/3}abc(a+b+c)
=｛(A-B)^2+(B-C)^2+(C-A)^2}/6,
ただし、A,B,Cは
A = aa-bb +pbc -qca,
B = bb-cc +pca -qab,
C = cc-aa +pab -qbc,
(1）（p,q）=（3,0)
(2）（p,q）=（2,-1) 例題2.3.10（8）*
(3）（p,q）=（6,0） 例題2.3.10（7)
(4）（p,q）=（1,0） 例題2.3.10（4)
(13） 例題2.3.11（2） (2）を精密化したもの。 ｛右辺の係数を α+1、-α として α≦1.379…｝
(14） 例題2.3.12（3）次の（15）から出る。｛右辺の係数をγ+1，-γ として γ≦5.0779…｝
(15） 例題2.3.11（5)
(16） 例題2.3.12（4)
* a：b：c = sin(π/9)：｛sin(2π/9)-sin(π/3)｝：sin(2π/9）
のとき等号が成立するらしい。
文献[8］安藤「不等式」数学書房（2012)
§2.3（４次斉次不等式） >>244
min{a，b，c｝= m とし、｛a，b，c｝=｛m，m+x，m+y｝とする。（x，y≧0)
(11)
(左辺）-（右辺）= m(xx-xy+yy）+（x^3 + 2xxy -3xyy + y^3）≧0,
∵ x^3 +2xx -3x +1 ≧ 3x^(7/3）-3x + 1 ≧ 1 - 4･(3/7)^(7/4）= 0.091969
(12)
(左辺）-（右辺）= 10m(xx-xy+yy)/9 +｛x^3 -（17/9)xxy + y^3｝≧0,
∵ x^3 -（17/9)xx + 1 ≧ 1 -2･（17/27)^(3/2）= 0.00078779, >>248
xx-xy+yy ≧ 0,
(左辺－右辺）はmについて単調増加。
∴｛a，b，c｝の差（x，y）を固定して一斉に増加すれば増加する。
∴ m=0 の場合を考えれば十分。
（sageるのを忘れてしまった…） 三角形の辺長 a,b,c、外接円の半径R、内接円の半径 r に対して
(1) a^2+ b^2 + c^2 ≦ 9R^2
(2) a^2+ b^2 + c^2 ≦ 8R^2 + 4r^2 >>270
正弦定理より
aa+bb+cc = 4RR｛sin(A)^2 + sin(B)^2 + sin(C)^2},
sin(A)^2 + sin(B)^2 + sin(C)^2 = 2 + 2cos(A）cos(B）cos(C）- 4cos((A+B+C)/2）cos((-A+B+C)/2）cos((A-B+C)/2）cos((A+B-C)/2)
= 2 + 2cos(A）cos(B）cos(C), （← A+B+C=π）
(1)
・鈍角または直角⊿ のときは 左辺 ≦ 2,
・鋭角△ のときは AM-GM と凸性より
cos(A）cos(B）cos(C）≦［｛cos(A)+cos(B)+cos(C)}/3 ]^3 ≦［ cos((A+B+C)/3）]^3 = ［ cos(π/3）]^3 = 1/8,
左辺 ≦ 2 + 1/4 = 9/4,
∴ aa+bb+cc ≦ 9RR,
等号成立は A=B=C（正△）のとき >>270
(2)
正弦定理より
（a+b-c)/c = 2sin(A/2)sin(B/2)/sin(C/2)，etc.
r/R =（2S/(a+b+c))(4S/abc)
=（a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)/(2abc)
= 4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2),
(r/R)^2 = 2[1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)],
したがって、補題より
sin(A)^2 + sin(B)^2 + sin(C)^2
= 2 + 2cos(A)cos(B)cos(C)
≦ 2 + 2[1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)]
= 2 +｛4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)}^2
= 2 +（r/R)^2,
【補題】A+B+C=π, 0<A,B,C のとき、
cos(A)cos(B)cos(C) ≦ [1-cos(A)][1-cos(B)][1-cos(C)] ≦ 1/8.
［初代スレ.580］
【系】
｛(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}^2 ≧ (aa+bb-cc)(bb+cc-aa)(cc+aa-bb),
［1992 Poland］44th，1st round（1992 Sept-Dec）No.9
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