>>2 [10] 思考力を鍛える不等式（大学への数学・別冊）、栗田哲也、東京出版、2014年 より

(1) [10] P.28
a>b>c>0 に対して、(a-b)sqrt(x+c) + (b-c)sqrt(x+a) + (c-a)sqrt(x+b) < 0

a,b,cの大小関係いらないんじゃ？


(2) [2006 山形大(医)] [10] P.77
三角形の辺長 a,b,c に対して、(2+a^2)(2+b^2) > 2c^2

⇒ (2+a^2)(2+b^2) ≧ 2(a+b)^2 > 2c^2

a.b.c>0 に対して、(2+a^2)(2+b^2)(2+c^2) ≧ 9(ab+bc+ca) だから、
これらを組合せたりして、なにか改造できないかな？


(3) [10] P.82
a,b,c>0に対して、(abc)^2 + a^2 + b^2 + c^2 + 2 ≧ 2(ab+bc+ca)

aの関数として微分して証明しているけど、他の証明ないかな。平方和とか…


(4) [10] P.115, 116
四面体ABCDに対して、
(i) ∠AOB + ∠BOC > ∠COA
(ii) ∠AOB + ∠BOC + ∠COA < 2π

[1992 東大(後)] >>2 [10] P.116
空間内の相異なる４点A,B,C,Dに対して、
(iii) ∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB ≦ 2π

(iii)の条件を四面体ABCDに限定したら、等号がなくなるだけかな？


(5) [10] P.120
四面体ABCDに対して、vec(OA), vec(OB), vec(OC), vec(OD) を a,b,c,dと略すとき、
|a| + |b| + |c| + |a+b+c| > |a+b| + |b+c| + |c+a|

これは Hlawka's ineequality かな？


(6) [2012 大阪教育大]、[10] P.125
x,y>0 かつ (x^6)(y^2) - (x^5)(y^3) + (x^5)(y^5) - (x^4)(y^6) ≧ 4 のとき、x^3+y^2≧3

どうやって、こういう変な条件を出したのか分からないから、類題を作りにくい。


(7) [2013 北海道大]、[10] P.126
a,b,c,x,y>0 に対して、ax^(a+b+c) + by^(a+b+c) + c ≧ (a+b+c)(x^a)(y^b)

⇒ a,b,c,x,y,z>0 に対して、ax^(a+b+c) + by^(a+b+c) + cz^(a+b+c) ≧ (a+b+c)(x^a)(y^b)(z^c)

weighted-AM-GMだけど、入試問題で出されると答案書くのはシンドイな。