不等式への招待 第８章 [無断転載禁止]©2ch.net
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別にこのスレの参加者ではないが
面白い問題を見つけたので
平面上にA(p,q),B(r,s),C(t,u)とD(v,w)があるとき
(Dが△ABCの内部および周上)
⇔ ∃k, ∀(x,y)>0, (x^v)(y^w)≦k((x^p)(y^q)+(x^r)(y^s)+(x^t)(y^u)
出典：近大数コン2009-A4 >>388-389
指数祭りかな？
自作問題でおじゃるが、簡単すぎた。
定数 a>0 に対して b = a^a とおくとき、a^a、a^b、b^a、b^b の大小を比較せよ。
(^⌒⌒^)
| i i i i i| 不等式、作るよ！
| i i i i i|
(；`・ω・)っ-O･ﾟ･⌒)
/ つ━ゝ,.ﾟ__.,ノ))
_l从从从从l_
|￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣| ☆☆☆馬鹿板は数学徒の脳を腐らせる悪い板であり、そやし廃止してナシにすべき。☆☆☆
￥ (1)
√(x+a) = A、√(x+b）= B、√(x+c）= C とおくと
(左辺）=（AA-BB)C +（BB-CC)A +（CC-AA)B =（A-B)(B-C)(C-A),
ﾔﾊﾟｰﾘ 要る…
(2)
(2+aa)(2+bb)(2+cc）≧（2√2)(a+b)(c+c)(c+a）≧｛(16√2)/9}(a+b+c)(ab+bc+ca),
等号は a=b=c=√2.
(3)
a = A^(3/2)、b = B^(3/2)、c = C^(3/2）とおく。
（左辺）=（ABC)^3 + A^3 + B^3 + C^3 +1 +1
≧ A^3 + B^3 + C^3 + 3ABC
＝ AB(A+B）+ BC(B+C）+ CA(C+A）+ F_1(A,B,C) ← Schur(n=1)
≧ 2{(AB)^(3/2）+（BC)^(3/2）+（CA)^(3/2)}
＝ 2(ab+bc+ca), [不等式スレ 第７章 984] 出典 「平成24年 第1回 東大入試プレ(文科)」
> 実数 a,b,c,d が a+b+c+d=0, a^2+b^2+c^2+d^2=100 をみたすとき、
> a^3+b^3+c^3+d^3 のとりうる値の範囲を求めよ。
> （-1000/√3, 1000/√3）に一票
エレガントな解法か、エロイ解法あるかな？ >>414
普通にやっただけだからつまらないと思うけど
EV-theorem から a=b=c のときに最大・最小となるのは明らか。これを念頭に変形する
d=-(a+b+c) を第 2 式に代入して (a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2=100
よって |(a+b)(b+c)(c+a)|<=(100/3)^(3/2)
|a^3+b^3+c^3+d^3|
=|3(a+b)(b+c)(c+a)|
<=1000/sqrt(3)
一方 d=a とすると c=-(2a+b), (a+b)^2+2a^2=50 (よって-5<=a<=5) から
与式 = -6*a*(b+a)^2 = -6a(50-2a^2)
これは [-1000/sqrt(3), 1000/sqrt(3)] の任意の値を取りうる >>414-415
「東大入試プレ」で検索したが出てこない
↓
そもそも東大入試プレは何か検索すると、代ゼミの模試らしい
↓
「東大入試プレ 代ゼミ」で検索すると、かなり近づいてきた気がする
https://www.yozemi.ac.jp/news/osirase/1277627_3435.html
↓
左上のweb構成を見て、さらに検索し、目的の物を発見
https://www.yozemi.ac.jp/news/osirase/1285660_3435.html
その模範解答では、p+q=x、pq=y とおいて、x, y の関数として考えているらしい。
出典情報は大事だね。 まさか見つかるとは思っても見なかった。 いつもと違う出題形式。 いろんな解法を考えていて、おかしくなったでござる。
『実数 a, b>0 が ab ≧ a+b+1 をみたすとき、ab の最小値を求めよ。』
について、以下の解法(a)、(b)、(c)を考える。
(a)、(b)のどこがおかしいのか？
(a)
ab ≧ a+b+1 ≧ 3*(a*b*1)^(1/3)、等号はa=b=1 かつab=a+b+1
∴ (ab)^3 ≧ 27ab
ab>0で割って、(ab)^2 ≧ 27
ab>0だから、ab ≧ 3√3
等号成立条件をみたすa, bがないから、ab > 3√3
(b)
ab ≧ a+b+1 ≧ 2√(ab) + 1、等号はa=b かつab=a+b+1
∴ab-1 ≧ 2√(ab)
∴(ab-1)^2 ≧ 4ab
∴(ab)^2 - 6ab - 1 ≧ 0
ab>0だから、0 < ab ≦3-2√2 または 3+2√2 ≦ab
(c)
a+b ≧ 2√(ab) ≧ 2√(a+b+1)、等号はa=b かつ ab=a+b+1
∴ (a+b)^2 ≧4(a+b+1)
∴ (a+b)^2 - 4(a+b) - 4 ≧0
∴ a+b>0 だから、a+b ≧ 2+2√2
∴ ab ≧ a+b+1 ≧ 3+2√2
abの最小値は、3+2√2 (a=b=1+√2) >>417
(a)
間違ってない
ただ等号が成立しない雑な不等式を用いてるから最後の結論もいい加減になっただけ
ab>3sqrt3 を満たすとは言ってるけどそのすべての範囲を取りうるとは言っていない
(b)
条件 ab>=1 を加えればいい ★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
￥ >>418
ありがとう。
脊髄反射でAM-GMを使って (a) のやり方でやって、アレレとなった。
結局、真面目に領域図示で片付けたんだが…。 >>388
（3）平方和で表わした。
(左辺）-（右辺) =｛(abc)^2 -3GG +2｝+｛3(a+b+c -3G)GG + F_1(a,b,c)}/(a+b+c),
ここで、G =（abc)^(1/3)
(abc)^2 -3GG +2 = G^6 -3GG +2 = (GG+2)(GG-1)^2,
(a+b+c）-3G =（a'+b'+c'){(a'-b')^2+(b'-c')^2+(c'-a')^2}/2, a'=a^(1/3), b'=b^(1/3), c'=c^(1/3),
F_1(a,b,c) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b)
= {ab(aa-bb)^2 + bc(bb-cc)^2 + ca(cc-aa)^2}/{(a+b)(b+c)(c+a)}
(4) (i)
OB方向をz軸とし、
OAの天頂角を ∠AOB=α
OCの天頂角を ∠BOC=γ
とする。
cosβ = cos(∠COA) =（OC・OA）= cosα cosγ + sinα sinγ cosφ （φは方位角の差、0<φ<π）
∴ cos(α+γ）< cosβ < cos(α-γ),
∴ α+γ > β > |α-γ| >>417
(d)
a,b>0 ゆえ
(√ab -1)^2 - 2 = ab -2√(ab） -1
= ab -（a+b+1） +（√a-√b)^2
≧ 0,
∴ √ab ≧ 1+√2, ★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
￥ (3)
a,b,cは任意の実数でよい
L-R=(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)+(ab-1)^2+(bc-1)^2+(ca-1)^2
よって絶対値が 1 以下のものが奇数個あるときのみ示せば十分
それを c とすると
(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)+(ab-1)^2 >= -(a^2-1)(b^2-1)+(ab-1)^2 = (a-b)^2 >= 0 ★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
￥ a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、
(1) [memoには 2004 JMO とあるが、全然違っていた…]
c/(1+a) + b/(1+b) + a/(1+c) ≧ 3/2
(2) [memoには 1998 Ukraina とあるが、もう自信がない]
(1+ab)/(1+a) + (1+bc)/(1+b) + (1+ca)/(1+c) ≧ 3
(3) [疑問]
1/(1+a) + 1/(1+b) + 1/(1+c) ≧？
bc/(1+a) + ca/(1+b) + ab/(1+c) ≧？
(4) [1998 IMO shortlist.A3]
a^3/{(1+b)(1+c)} + b^3/{(1+c)(1+a)} + c^3/{(1+a)(1+b)} ≧ 3/4
-----------------------------------------------------
TeXで編集する際に、問題順を入れ替えたりしているうちに、
問題番号と出典番号がずれて、もはや修正のしようがない。
確認したくても、リンク先が消えているし。
https://mks.mff.cuni.cz/kalva/index2.html
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(5) Hlawka の不等式 にござりまする。
（左辺）*（左辺 - 右辺）= Sq + Trig,
Sq = |a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + |a+b+c|^2 - |a+b|^2 - |b+c|^2 - |c+a|^2,
Trig = (|b|+|c|-|b+c|) (|a|-|b+c|+|a+b+c|)
+ (|c|+|a|-|c+a|) (|b|-|c+a|+|a+b+c|)
+ (|a|+|b|-|a+b|) (|c|-|a+b|+|a+b+c|).
式の変形とはいえ、うまいものと感心するばかり。
Trig ≧0 は△不等式から出るが、Sq = 0 を出すには内積計算などが要る。（← Euclid性)
文献[3] 大関「不等式への招待」 p.33-34 例題8. >>2 >>449 に付け足し。
a, b, c >0 かつ abc=1 のとき、
(4) [出典不明、元問題は"３乗和≧２乗和"を一般化した]
自然数nに対して、a^n + b^n + c^n ≧ a^(n-1) + b^(n-1) + c^(n-1)
(5) [出典不明]
b/a + c/b + a/b ≧ a+b+c ≧ √a + √b + √c
b/a + c/b + a/b ≧ 1/a + 1/b + 1/c ≧ √a + √b + √c
(6) [2016 東北大]
a^2 + b^2 + c^2 ≧ 1/a + 1/b + 1/c
(7) [疑問]
a^n + b^n + c^n ≧ b/a + c/b + a/b をみたす最小の n∈N はあるかな？
(8) [参考までに、これも出典のmemoがなくて困るが…]
a^3 + b^3 + c^3 + (ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3 ≧ b/a + c/b + a/b
--------------------------------------------------------------
同じ条件の不等式を整理していると、この問題と あの問題は繋がるのでは？
などと気になりはじめると、整理どころではなくなる。そうして未整理の不等式が貯まっていく。
(5)の2つの不等式の中辺の大小は定まらない。（過去スレでやったような希ガス…）
abc=1 に注意して、(a+b+c)-(ab+bc+ca) = (a-1)(b-1)(c-1)
a, b, cと1の大小で、正にも、０にも、負にもなる。 >>452
(8)の訂正。右辺は２倍ですた。
a^3 + b^3 + c^3 + (ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3 ≧ 2(b/a + c/b + a/b) ★★★馬鹿板は悪い習慣であり、大脳が劣化します。なので早く止めましょう。★★★
￥ >>449
(1), (2) a=y/x … とおくだけ
(3)
Σ1/(1+a) = 1 + (a+b+c+1)/(ab+bc+ca+a+b+c+1) -> 1 (c=1/(ab), a->inf, b->inf)
Σbc/(1+a) = Σ1/(a+a^2) >= Σ(-3/4log(a)+1/2) = 3/4
(4) 相加相乗で終わり >>388 (2)
(aa+2)(bb+2)(cc+2) ≧ 3(a+b+c)^2
Asia-Pacific MO-2004改
文献 [9] 佐藤(訳)、問題3.85改
（左辺）=（abc)^2 + 2(ab)^2 +2(bc)^2 +2(ca)^2 +4(aa+bb+cc) +8
=（abc)^2 +2(ab-1)^2 +2(bc-1)^2 +2(ca-1)^2 +3(a+b+c)^2 -2(ab+bc+ca) +2
=｛(abc)^2 +aa +bb +cc +2 -2(ab+bc+ca)｝+2(ab-1)^2 +2(bc-1)^2 +2(ca-1)^2 +3(a+b+c)^2
≧ 3(a+b+c)^2,
※ (abc)^2 +aa +bb +cc +2 -2(ab+bc+ca）≧ 0
は >>388 (3）または練習問題1.90(i）を使う。
>>449 (4)
文献 [9] 佐藤(訳)、演習問題 1.120 不等式が少しだけ載っているというタレコミがあったので、事情徴収（立ち読み）してきた。
容疑者 ： 佐久間一浩、『高校数学と大学数学の接点』、PP.18-30
(1) PP.18-24
三角形の辺長を a, b, c、面積をSとするとき、a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S.
(2) PP.25-30
R ≧ 2r （球殻不等式）
(1)に対して、８通りの証明を与えていた。
(2)は d^2 = R^2 - 2Rr （茶ップル-オイラーの定理）を証明して片付けていた。
ここで d は外心と内心の距離。
∧,,∧
(`･ω･´) ８通りの証明だと？ 詳しく聞こうか？
（ ）
￣￣Φ口U￣￣＼
_ _. ＼
＿（ ） ← 佐久間＼
￣┏┳┓） >>467
> 三角形の辺長を a, b, c、面積をSとするとき、a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S.
（証明１）
ヘロンの公式を使って a, b, c だけの式にして、(左辺)^2 - (右辺)^2
（証明２）
面積公式と余弦定理を使って a, b, c だけの式にして、(左辺)^2 - (右辺)^2
（証明３）
b+c-a=A, c+a-b=B, a+b-c=C とおいて、AM-GM とヘロンの公式。
（証明４）
a^2 + b^2 + c^2 ≧ ab+bc+ca の右辺に正弦定理を用いてから、凸不等式。
（証明５）
a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S + (1/2){(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2} を証明。
（証明６）
a^2 + b^2 + c^2 ≧ (4√3)S + (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 を証明。
（証明７）
証明６の不等式を三角関数で証明。
（証明８）
座標平面上に、頂点を A(a/2,0)、B(-a/2,0)、C(s,t)、t>0 とおいて計算。
---------------------------------------------------------------------
[1] そもそもヘロンの公式は、面積公式と余弦定理から三角関数を消去して得られるものだから、
証明１と証明２は全く同じものである。証明６と証明７も一緒。つまり６通りの証明ですな。
[2] この不等式には、オノとかフランダースとか、なんか名前はついていないのかな？
[3] 他に証明は無いのかな。証明３と実質同じだが、Ravi変換くらいしか思いつかない。
ヘロンの公式を行列式で表すと、S = (√D)/4。ここでDは以下の行列式。
|0 1 1 1 |
|1 0 a^2 b^2|
|1 a^2 0 c^2|
|1 b^2 c^2 0 | >>388
>>456
相当な量の改良問題があった
for reals
[1] (a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) >= (1+a+b)(1+b+c)(1+c+a)
[2] ((a^2+3)(b^2+3)(c^2+3))^2 >= 512(a+b)(b+c)(c+a)
for nonnegarives
[3] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= 3(a+b+c)^2+(abc-1)^2
[4] (x^2+2)(y^2+2)(z^2+2) >= 4(x^2+y^2+z^2)+5(xy+yz+zx)+(xyz-1)^2
[5] (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) >= 4(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ca)+(abc(a-1)^2(b-1)^2(c-1)^2)^(1/3)
AOPS
[1], [2] : c6h588096p3481394
[3] : c6h4830p15309
[4], [5] : c6h581954p3438879
他にもいろいろ >>469
ｷﾀ─ｗｗﾍ√ﾚｖｖ〜(ﾟ∀ﾟ)─ｗｗﾍ√ﾚｖｖ〜─ !! 素晴らしい！ [出典不明]
実数 a,b,c,x,y,z が ax-2by+cz=0 かつ ac > b^2 > 0 をみたすとき、y^2 ≧ xz を示せ。
こういう掴みどころのない問題は、改造や類題を作りにくいので困る。 ('A`)ｳﾞｫｴｧ！ >>471
xz≦0 のときは明らか。
xz>0 のとき
4{bbyy -（ax)(cz)｝≧（2by)^2 -（ax+cz)^2 = -(ac-2by+cz)(ac+2by+cz）= 0,
∴ yy ≧（ac/bb）xz ≧ xz, >>467
(2)
△の3辺を切る円はその内接円より大きい、を認めよう。
△の各辺の中点を通る円を考える。
この円は半径R/2であるが、△の3辺を切る。
R/2 ≧ r
（清水多門氏による）
文献[3]、p.7-8 例題4 >>2 >>414
> 実数 a,b,c,d が a+b+c+d=0, a^2+b^2+c^2+d^2=100 をみたすとき、
> a^3+b^3+c^3+d^3 のとりうる値の範囲を求めよ。
追加問題 ： 同じ条件の下で、aのとりうる値の範囲を求めよ。
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＼ __ ／
＿ （ｍ） ＿ﾋﾟｺｰﾝ
|ミ|
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|::::: (● (● | ＜ 改造せずにはいられない！
ヽ::::... .ワ.....ノ （閃いたが、簡単過ぎる…）
人つゝ 人,,
Ｙノ人 ノ ノノゞ⌒〜ゞ
ノ /ミ|＼、 ノノ （ 彡
`⌒ .Ｕ~Ｕ`ヾ 丿
⌒〜⌒ >>449 (4)
チェビシェフにより
（左辺）≧ a/{(1+b)(1+c)｝+ b/{(1+c)(1+a)｝+ c/{(1+a)(1+b)｝
=｛a(1+a）+ b(1+b）+ c(1+c)}/{(1+a)(1+b)(1+c)}
≧(s+t)/(1+s+t+u),
≧ 3/4,
∵題意より u=abc=1 ゆえ s+t≧3{u^(1/3)+u^(2/3)｝= 6, >>414
> 実数 a,b,c,d が a+b+c+d=0, a^2+b^2+c^2+d^2=100 をみたすとき、
> a^3+b^3+c^3+d^3 のとりうる値の範囲を求めよ。
>
> 追加問題 ： 同じ条件の下で、aのとりうる値の範囲を求めよ。
さらに追加 ： 同じ条件の下で、ab+bc+cd+da のとりうる値の範囲を求めよ。
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＿ （ｍ） ＿ﾋﾟｺｰﾝ
|ミ|
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|::::: (● (● | ＜ なんか降りてきた！
ヽ::::... .ワ.....ノ 今夜は冴えてるぜ！
人つゝ 人,,
Ｙノ人 ノ ノノゞ⌒〜ゞ
ノ /ミ|＼、 ノノ （ 彡
`⌒ .Ｕ~Ｕ`ヾ 丿
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