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分からない問題はここに書いてね426 [無断転載禁止]©2ch.net
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0332１３２人目の素数さん
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2017/05/14(日) 14:02:50.22ID:aOBm0ly2
>>329

k 階のテンソル積を、 V^* × V^* × … × V^* から Rへの k 重線形関数の集合

は、結局、お望みの代数的構造を構成するのに利用しただけということですね。
0333１３２人目の素数さん
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2017/05/14(日) 15:01:20.64ID:uhMzyuBm
ただの行列だって、ベクトルに作用するものとして意識しているときもあれば、
行列同士の代数関係に興味があるときもあるというだけのことだろ。
0335１３２人目の素数さん
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2017/05/14(日) 15:36:21.64ID:N1FT5xS+
下の画像に書いてある問題の意味が分かりません。
高校数学なら中国語が分からなくても、どんな問題か
すぐに分かるのですが、行列となると、行列の知識が
あまりないのでさっぱりです。
１番は固有値と固有ベクトルを求めよという問題だと
思いますが、２番の（１）、（２）の問題にある、
こざとへんに介の文字が入力できないので、調べること
ができません。

19番は日本語で書いてあっても、分からないと思います。
意味はおそらく、A^TはAの転置行列で、(x^T){(A^T)A}x>0
が成り立つための必要十分条件はr(A)=n（Aのrankがnという意味？）という
意味ではないかと思いますが難しそうで分かりません。

画像
https://i.imgur.com/fOn9LQW.jpg

２番と19番の解説をお願いします。
0337１３２人目の素数さん
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2017/05/14(日) 15:58:55.29ID:N1FT5xS+
こざとへんに介の文字は階の意味のようです。
３番は固有値が与えられただけでは、detAとtrAは値が確定しないと思うのですが。
0338１３２人目の素数さん
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2017/05/14(日) 16:37:08.55ID:sZgh4tjV
8n^2=64nlog2(n)
0350１３２人目の素数さん
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2017/05/14(日) 18:46:39.12ID:ZDfqLZuc
>>335
↓ここが参考になった。
https://ja.wiktionary.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%86%E3%82%B4%E3%83%AA:%E4%B8%AD%E5%9B%BD%E8%AA%9E_%E6%95%B0%E5%AD%A6
阝へんに介は「階」の中国字だが、
「n階」行列はrankではなくn次の意味らしい。

2. 下記の行列Ａの固有値と固有ベクトルを求めよ。
(1) Ａはn次の零行列
(2) Ａはn次のスカラー行列

3. 三次行列Ａの固有値がλ_1=-1(二重),λ_2=4であるとき、
　　detAとｔｒAを求めよ。

19. Aがm×n行列であるとき、任意のx∈R^n,x≠0に対してx^T(A^TA)x>0
　　である必要十分条件はrank(A)=nであること証明せよ。

↓
2.(2) A=λI, λはスカラー, Iはn次単位行列 のとき、
　　Aの固有値はλがn重, 固有ベクトルは任意のn次ベクトル。
(1) 零行列は(1)でλ=0の場合。

3. detA = (-1)(-1)4 = 4,
　　trA = (-1)+(-1)+4 = 2.

19.　Aのスカラーが実数って書いてないけど、
　　そこはエスパーすべきなんだろうね。
x^T(A^TA)x = (Ax)^TAx = |Ax|^2 より、
x^T(A^TA)x>0 ⇔ |Ax|^2>0 ⇔ Ax≠0.
x≠0の下でAx≠0とrank(A)=nが同値であることを証明せよ
という問題だが、
rank(A)≠0 ⇔ Aが固有値0を持つ ⇔ x≠0,Ax=0xとなるxが在る
だから、教わったrankの定義に沿って「⇔ Aが固有値0を持つ」
の部分の証明を書けばいい。rankの定義は教科書で異なるから。
0351１３２人目の素数さん
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2017/05/14(日) 18:57:30.21ID:H6Ke28TS
(体といえば可換体のみをさす)
L/K は体の拡大で [L:K]=2
f(x)∈K[x] は3次多項式で K 上既約
このとき
f(x) は L 上既約でもあることの証明
たのむ
0353１３２人目の素数さん
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2017/05/14(日) 19:29:32.61ID:ZDfqLZuc
>>350の訂正
19.　「固有値を持つ」はまずかったな。
x→AxはIm(A)への全射線型写像だから、
単射⇔rank(A)=dimIm(A)=dimDom(A)=n.
0354１３２人目の素数さん
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2017/05/14(日) 19:37:08.85ID:sZgh4tjV
>>352
下から2段目
-4x^2-4x
だぞ
0355１３２人目の素数さん
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2017/05/14(日) 19:39:52.53ID:NgIIBA+1
割りきれるはずのものが割りきれなければどこか間違えたんだとは思わないのか。
0356１３２人目の素数さん
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2017/05/14(日) 19:52:25.91ID:ZDfqLZuc
>>351
ｆ(x)がL上既約でないと仮定すると、
３次式だから、１次因子を持つ。
f(x)=(x-a)q(x),a∈L,q(x)∈L[x]と置けるが、
a∈KではK上既約に反するから
a∈L-Kである。よって
aのK-共役{a,~a}は、a≠~aである。
f(x)∈K[x]よりf(~a)=~f(a)=~0=0なので、
((~a)-a)q(~a)=0よりq(~a)=0と判る。
これよりq(x)=(x-~a)p(x),p[x]∈L[x]と置けて
f(x)はL上の2次因子(x-a)(x-~a)を持つが、
x∈Kのとき~(x-a)(x-~a)=((~x)-~a)((~)x-~~a)
=(x-~a)(x-a)なので(x-a)(x-~a)∈K[x]である。
これはf(x)がK上既約であることに反する。
0359１３２人目の素数さん
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2017/05/14(日) 20:44:48.16ID:aOBm0ly2
>>357

あ、勘違いしていました。
おかしくないですね。
0360１３２人目の素数さん
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2017/05/14(日) 20:48:17.29ID:aOBm0ly2
>>357

ところで、この本、伊理正夫さんの本にしては、異常に丁寧に書かれていますね。
0364１３２人目の素数さん
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2017/05/14(日) 21:38:52.34ID:mNt6uEP2
　ゼータ関数をガンマ関数を用いて表示するとき、積分部分を、0から無限までの積分とするものと、無限から原点を回ってまた無限にいくような経路の複素線積分で表すものの二種類があるようですが、これは好みの問題なのでしょうか？
　前者では全平面で正則でないようなニュアンスで書いてある本があるのですが、両者とも解析接続できていますよね？

よろしくお願いします
0375１３２人目の素数さん
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2017/05/14(日) 22:11:19.74ID:aOBm0ly2
伊理正夫 他著『ベクトルとテンソル』を読んでいます。

（１）
次元 n のベクトル空間 V において、ある一次独立なベクトルの集合 {b_1, …, b_s} に V の任意のベクトル b を加えたものが一次従属になるならば、 {b_1, …, b_s} は V の基底である。

（２）
k > n のとき、任意のベクトル {b_1, …, b_k} は一次従属である。

と書いてあります。

（２）の証明ですが、（１）の「直接の結果である」と書かれていますが意味不明です。

（１）から（２）はどのように導かれるのでしょうか？
0377１３２人目の素数さん
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2017/05/14(日) 22:16:15.01ID:aOBm0ly2
k （> n） 個のベクトル {b_1, …, b_k} が一次独立であると仮定し、
背理法で（１）の直接の結果として、矛盾を導けるでしょうか？
0378１３２人目の素数さん
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2017/05/14(日) 22:21:18.06ID:aOBm0ly2
k （> n） 個のベクトル {b_1, …, b_k} が一次独立であると仮定する。

{b_1, …, b_k} に V の任意のベクトル b を加えたものが一次従属ならば、
{b_1, …, b_k} は V の基底である。よって、 k = n > n となって矛盾。

そうでなければ、 {b_1, …, b_k, b_(k+1)} が一次独立になるような b_(k+1) が存在する。

{b_1, …, b_k, b_(k+1)} に V の任意のベクトル b を加えたものが一次従属ならば、
{b_1, …, b_k, b_(k+1)} は V の基底である。よって、 k + 1 = n > n となって矛盾。

そうでなければ、 {b_1, …, b_k, b_(k+1), b_(k+2)} が一次独立になるような b_(k+2) が存在する。

…

となって矛盾は（１）の「直接の結果」として導けません。
0379１３２人目の素数さん
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2017/05/14(日) 22:22:40.18ID:N1FT5xS+
>>350
>>353

大変感謝しております。
ご指示に従って考えてみます。
0380１３２人目の素数さん
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2017/05/14(日) 22:26:29.35ID:aOBm0ly2
>>376

（１）の「直接の結果」として（２）を導けますか？
0381１３２人目の素数さん
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2017/05/14(日) 22:28:22.50ID:aOBm0ly2
>>375

伊理正夫さんは大丈夫な人なのでしょうか？
0382１３２人目の素数さん
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2017/05/14(日) 22:28:23.76ID:N1FT5xS+
>>335
で質問した者です。

１番の（３）で固有値の１つが重解で
出たのですが、この場合の固有ベクトルというのは
線形独立な２つの解ベクトルに未知数（k1,k2など）
を乗じたものの和の形で答えるのでしょうか？
それともk1,k2に何か適当な値を入れて答えるのでしょうか？
まさか、２つの解ベクトルを分離して、それぞれを
固有ベクトルとするわけではないですよね。

画像再掲
https://i.imgur.com/fOn9LQW.jpg
0384１３２人目の素数さん
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2017/05/14(日) 22:43:24.75ID:aOBm0ly2
伊理正夫さんの説明だけからは、有限次元であってかつ無限次元であるようなベクトル空間が
存在しうるということになります。
0396１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/15(月) 02:46:13.73ID:fAC9/Ok6
>>382
1.(3)のAは
固有値-2を重解に持ち、
固有値-2に対する固有ベクトルは
{(k1)(1,1,0)+(k2)(0,1,1) | k1,k2∈R}.
正直に、Ax=-2xの解を全て挙げたらいい。
0397351(=385)
垢版 |
2017/05/15(月) 03:30:59.67ID:xCsc+kvb
385に書いた件、自分で間を埋めようとしましたが、諦めて違う証明をしました。

ｆ(x)がL上既約でないと仮定すると、
３次式だから、１次因子を持つ。
f(x)=(x-a)q(x),a∈L,q(x)∈L[x]と置ける。

f(x)を最高次の係数で割ってモニックにする。そうしたものはやはりK上既約だから、aのK上最小多項式になる。
[K(a):K]=degf(x)=3

一方で L⊃K(a)⊃K だから 2≧[K(a):K]
矛盾
0398351
垢版 |
2017/05/15(月) 03:32:27.10ID:xCsc+kvb
>>356 ありがとうございました
0409１３２人目の素数さん
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2017/05/15(月) 10:17:31.86ID:1nGC2Wwg
>>263
お願いします
0421１３２人目の素数さん
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2017/05/15(月) 18:33:10.13ID:LWzyiEOs
>>338
は誰も解けないのか？
偉そうにしてる馬鹿しかいないのかなあ
0423１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/15(月) 19:22:46.52ID:9Whj1GmD
A,Bが、ABABと順にサイコロを振って、先に３以上の目を出した時
その人の勝ちトス。

ｎ回以下の回数では勝敗が決まらない確率が

（1/3）^n

になるらしいんですが、「以下」と書いてるのに何でこうなるんですか
足すんじゃないんですか
0425１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/15(月) 19:47:36.20ID:9Whj1GmD
それは

ｎ回では勝敗が決まらない確率じゃないの

問題は

ｎ回以下の回数では勝敗が決まらない確率

なんだが
0426１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/15(月) 19:58:01.55ID:fAC9/Ok6
>>338 >>421
解けるとか解けないとかいう問題でもない気がするが？

8n^2=64nlog2(n) ⇔ log(n)/n = (log2)/8.
x = log(1/n)と置いて、xe^x = -(log2)/8.
LambertのW関数を使って、x = W(-(log2)/8).
n = 1/e^W(-(log2)/8) ≒ 1.0999970...

W関数の値は、数値計算によるしかない。
上記の近似値はWolframに聞いた。
0427１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/15(月) 20:02:15.56ID:fAC9/Ok6
>>425
n回で決まってないってことは、
n-1回目にも決まってなかったってこと。
足す必要なし。
0428１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/15(月) 20:07:49.84ID:9Whj1GmD
>>427
じゃあなんで

３回以下の回数でAが勝つ確率は

１回で勝つ確率と３回で勝つ確率を足すのか
0429１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/05/15(月) 20:26:49.28ID:9Whj1GmD
分からないのか
そんなに自明なことじゃないからな
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