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未だに数学で納得いかないこと挙げてけ4 [無断転載禁止]©2ch.net

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0377１３２人目の素数さん
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2017/11/12(日) 13:45:05.40ID:LK380pzZ
証明読んだあとに実は○○が△△でも成り立つとサラッと書いてあると
え〜先に言ってよぉ〜という気分になる
0378１３２人目の素数さん
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2017/11/12(日) 16:36:17.49ID:bcdob+HV
あるある
でもその証明が嫌に難しいことも多々ある
サラッと書くなよって
0392１３２人目の素数さん
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2017/12/04(月) 12:39:48.06ID:N1RdJZKg
代数的元aに対してk(a)=k[a]だからk(a)の元をk[a]の元として表現できる
それが分母の有理化だけど、「帯分数みたいなもん」というのはどういう意味？
0394１３２人目の素数さん
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2017/12/04(月) 13:40:04.20ID:C4Sm8e5v
有理化を学ぶ中学の段階では環とか体とかの概念の前に√を実感できる数として認識できるようになる必要がありそのために有理化を学ぶというのがひとつ。
だから現実として簡単に数値化できるというのは大事で、1/√2を(√2)/2に直してから数値化する。
帯分数は中学では必要ないが、小学校では小数表記による数値化しないと大小比較などが数として理解できないので、まず帯分数表記も学ぶのと同じ、という意味で書いた。
もちろん√2+(1/√2)をそのままにしておかないでまとめるために必要という面もある。
0395１３２人目の素数さん
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2017/12/04(月) 17:18:35.91ID:N1RdJZKg
そういうことね、なるほど納得
0396１３２人目の素数さん
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2017/12/04(月) 20:12:05.65ID:ucbdQazw
>>394
妥当とは思うが>>391は省略しすぎて意味不明だ
0398１３２人目の素数さん
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2017/12/05(火) 20:23:17.97ID:1r0ZlPp3
疑問を呈した人は詳しく説明されれば納得できたというのに、「無理矢理」に見える人もいるらしい
0400１３２人目の素数さん
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2017/12/09(土) 23:43:28.33ID:EoV2hBSC
５００
0401１３２人目の素数さん
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2017/12/10(日) 02:51:52.13ID:ikn8IwRX
東京図書をなんとかしてくれ
0403１３２人目の素数さん
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2017/12/28(木) 06:38:44.30ID:N0rHLSUt
「ヘンペルのカラス」は「全てのカラスは黒い」という命題を証明する以下のような対偶論法を指す。

全称命題「全てのカラスは黒い」という命題はその対偶「黒くないものはカラスでない」と同値であるので、「全てのカラスは黒い」という命題を証明するには「全ての黒くないものはカラスでない」ことを証明すれば良い。
そして「全ての黒くないものはカラスでない」という命題は、世界中の黒くないものを順に調べ、それらの中に一つもカラスがないことをチェックすれば証明することができる。
こうして、カラスを一羽も調べること無く、「カラスは黒い」という命題が、事実に合致するか否かを証明できるのである。
これは日常的な感覚からすれば奇妙にも見える。

こうした、一見素朴な直観に反する論法の存在を示したのが「ヘンペルのカラス」である。
0404１３２人目の素数さん
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2017/12/28(木) 06:47:23.83ID:oPGh8GH6
>>403
日常的な感覚からも普通に思えるんだよなこの話
0405１３２人目の素数さん
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2017/12/28(木) 09:37:53.70ID:DMAwdmu2
>全称命題「全てのカラスは黒い」という命題はその対偶「黒くないものはカラスでない」と同値である
単に黒といっても、黒は無彩色で色素が持つ明るさや鮮やかさなどによって、
灰色に程なく近い黒や宇宙の暗黒のように暗い黒など様々な黒に分類出来る。
「全てのカラスは黒い」という文は見た目からのカラスの印象を述べているに過ぎず、
その命題の判断は目で見たカラスの色の印象を基にしているので、
実際には証明を抜きにして真偽の判断をしたような命題になっている。

命題「全てのカラスは黒い」とその対偶を定式化すると、
命題「全てのカラスは黒い鳥である」の対偶「或る黒くない鳥はカラスではない」ともなる。
論理で判断すると命題「全てのカラスは黒い鳥である」とその対偶「或る黒くない鳥はカラスではない」を示すには、
対偶「或る黒くない鳥はカラスではない」を示すことを考えて、スズメなどのような黒くない鳥の例を挙げれば、
すぐに命題「全てのカラスは黒い鳥である」とその対偶は正しいと証明出来る。
このことから、「全てのカラスは黒い」という命題は、そもそも証明がいらないような命題になっている。
そのことからも、カラスに何らかの生物的異変がない限り、「全てのカラスは黒い」という文はむしろ仮定であったり公理になる。
0406１３２人目の素数さん
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2017/12/28(木) 09:50:42.45ID:DMAwdmu2
>そして「全ての黒くないものはカラスでない」という命題は、世界中の黒くないものを順に調べ、
>それらの中に一つもカラスがないことをチェックすれば証明することができる。
「ヘンペルのカラス」の論法の落とし穴はここで、論理的には
命題「全ての黒くないものはカラスでない」を証明したことになっていない。
論理的に見てこれからも生物的に白いカラスが現れることが全くないとはいい切れず、
また時間経過と共に命題の真偽が変わる可能性がないともいい切れない。
チェックだけで命題を証明をしたことにはならない。
0410１３２人目の素数さん
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2017/12/28(木) 11:06:59.73ID:DMAwdmu2
黒い物体はすべての波長の光を吸収するが、「黒い」という表現は形容詞を用いたいい回しである。
そのため、読んだ人によって感じ方が異なる表現になっている。
「全てのカラスは黒い」という表現は「全てのカラスの色が黒であること」を断定した表現ではない。
「黒い」とは「どのように黒いのか？」という疑問も読んだりした人によっては生じることがあるであろう。
「ハトポッポは黒い」といういい回しに違和感を感じないを人もいるだろう。
ハトポッポとカラスを見比べてみるといい。当然のことだが、同じ黒にはなってはなく、微妙に色が違う。
0412１３２人目の素数さん
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2017/12/28(木) 11:29:54.35ID:DMAwdmu2
まあ、カラスの羽の色の黒も人間の毛髪と同様に、
多分何らかの黒い色素によって決まっているのだろうが。
0413１３２人目の素数さん
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2017/12/28(木) 11:33:21.52ID:E3BE9VKA
カラスを調べなくてもカラスが黒いって分かるなんて不思議だねってのが話の肝なんだが...
0414１３２人目の素数さん
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2017/12/28(木) 11:42:44.79ID:DMAwdmu2
これ、数学や論理の話だったのか？
むしろ、科学の話になるだろ。
0416１３２人目の素数さん
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2017/12/28(木) 12:28:38.24ID:DMAwdmu2
いや、ヘンペルのカラスが数学や論理の話になるって書いてあるのを見て、論理的な落とし穴を指摘したまでで。
まあ、色の黒について科学的視点から見た部分もあるが。
0418１３２人目の素数さん
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2017/12/28(木) 13:30:40.11ID:DMAwdmu2
>「全ての黒くないものはカラスでない」という命題は、世界中の黒くないものを順に調べ、
>それらの中に一つもカラスがないことをチェックすれば証明することができる。
これは世の中にいるすべてのカラスの色の調査をしていることになり、命題を論理的に証明してはいない。
カラスの産卵時期に調査したかどうかなど、調査時期によって
命題が正しいと証明出来たかどうかの結果も変わって来る恐れがある。
単なる調査作業。
0421１３２人目の素数さん
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2017/12/28(木) 16:34:05.83ID:DMAwdmu2
すべてのカラスは黒い。
また、オレンジ色のものは黒いものではない。
よって、オレンジ色のカラスは存在しない。

論理的な証明といったら、普通こういう証明のことを指すだろう。
三段論法とか。
0422１３２人目の素数さん
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2017/12/28(木) 16:42:04.22ID:DMAwdmu2
普通に考えれば、この世にオレンジ色のカラスはいないでしょう。
まあ、オレンジ色のカラスを何らかの方法で人工的に作った
とかいうことを考えれば、証明が間違いになって話は別になるが。
0424１３２人目の素数さん
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2017/12/28(木) 17:00:58.53ID:DMAwdmu2
命題「全ての黒くないものはカラスでない」は「黒くないモノならばカラスでないモノである」
といい換えられて、その対偶は「カラスである(カラスと判別出来る)モノならば黒いモノである」となって
これをいい換えれば「全てのカラスは黒い」だが。
0425１３２人目の素数さん
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2017/12/28(木) 17:22:42.85ID:DMAwdmu2
まあ、意味付けをすると単純に「黒い」と「黒くはない」と2つに分けて考えることは出来ず、
対偶は「カラスでないモノではないようなモノ ならば 黒ｊくはないモノである」となって複雑な文章になるが。
0426１３２人目の素数さん
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2017/12/28(木) 17:25:32.57ID:E3BE9VKA
黒いの定義など今はどうでもよくて、論理的に正しいことと直感が合致しないというのが肝です
0427１３２人目の素数さん
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2017/12/28(木) 17:29:56.59ID:DMAwdmu2
おっと、複雑にした対偶は
「カラスでないモノではないようなモノ ならば 黒ｊくはないモノではないようなモノである」
だった。何れにしろ複雑な文だ。
0428１３２人目の素数さん
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2017/12/28(木) 17:33:29.55ID:DMAwdmu2
まあ、いいや。
論理的に正しいことと直感が合致しないとか、ご自由に。
0429１３２人目の素数さん
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2017/12/28(木) 17:40:39.91ID:S/yosBGE
■世界で最も黒い物質

「ベンタブラック」と名付けられたこの物質は光の９９．９６％を吸収する
黒い塗料や布地などに見られる通常の黒色は吸収率が９５〜９８％
開発元のサリー・ナノシステムズ社によれば
英国立物理学研究所や米国立標準技術研究所で
試験されたなかで最も黒い物質だという

ベンタブラックは直径２〜３ナノメートル（ナノは１０億分の１）の
多数のカーボンナノチューブ（筒状炭素分子）からできており
アルミホイル上で生成される
ホイルだけのときは目に付く表面のしわも
ベンタブラックに覆われるとまるで消えてしまったかのように識別できなくなる
0430１３２人目の素数さん
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2017/12/28(木) 17:48:05.98ID:gWwxEo5F
>>426
そこがわからんのだけど
直観に合うと思うんだけどね
0431１３２人目の素数さん
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2017/12/29(金) 02:50:16.03ID:8RBnSvQo
カラスを一羽も調べることが無かったら黒くないカラスが居ない事も分からんわな
0433１３２人目の素数さん
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2017/12/29(金) 03:07:02.93ID:fCvz7u7e
>>432
それが自然だからだよ
0434１３２人目の素数さん
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2017/12/29(金) 03:08:11.78ID:fCvz7u7e
>>431
黒くないものすべてを調べるのだから
黒くないカラスが居たら分かるのよ
0435１３２人目の素数さん
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2017/12/29(金) 23:04:17.91ID:eU8iBZz3
自転車が倒れないのはコサインカーブを積分するとサインカーブになるから
0436１３２人目の素数さん
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2017/12/29(金) 23:22:09.04ID:5lZLT2Zj
根性があるからだよ
0437１３２人目の素数さん
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2017/12/30(土) 12:31:02.28ID:sG/Ud4El
>>434
調べてないものがあったら分かるわけがない
それとも前もって黒くないものすべてを教えてもらったんかい？
0438１３２人目の素数さん
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2017/12/30(土) 16:34:11.51ID:B7m3ca/p
カラスの色が黒いかどうかを問題視する前に何でカラスと名付けられたモノがあることが分かるのか？
というと、幼少期にカラスは黒い鳥であることを学習したから。
それより、カラスの色を調べるにあたり、この世に黒くないカラスがいたとして、
その黒くないモノがカラスかどうかをどうやって判別するんだ？
もしかしたら、その黒くないモノをどうやってもカラスと判別出来ないことがあるかも知れんぞ。
すべてのカラスの色を調べれば、黒くないカラスがいることが分かるかもは知れないが、
黒くないカラスの個体数は5％未満どころかとてつもなく少ない(であろう)。
0439１３２人目の素数さん
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2017/12/30(土) 17:05:42.65ID:wNObzZYi
ヘンペルのやつは論理的には正しい。
現実的にはすべてのカラスを調べたりすべてのカラス以外のものを調べたりすることは不可能。
観測により命題の信頼度を高めることしか実行できず、その場合、カラスを調べればそれなりにカラスが黒い(であろう)という推測の信頼度を高めることができる。
しかし、カラス以外が多すぎるため、そっちを観測してもカラスが黒いと結論づけるに至るほど信頼度は上がらない。
そこが違和感になるのかと思う。
カラスやそれ以外が１しかない場合とかカラス100それ以外１とかカラス100それ以外10000とか考えてみて、それがカラス100万それ以外１億くらいになったらと想像してみるとわかるのではないか。
あと、地上の話なら有限個しかないと考えるのが自然で、そのようなケースで背理法や対偶を疑うのはあまり健全ではないと思う。
宇宙が無限でカラスやカラス以外が無限にある場合に宇宙カラスも含めて考察したいならともかく。
0440１３２人目の素数さん
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2017/12/30(土) 17:23:17.52ID:gQvbuISO
>>437
この話ではそれが可能であるというのが前提ですが？
0441１３２人目の素数さん
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2017/12/30(土) 18:36:56.71ID:GvGYAtyy
■カラスとキツネ

カラスが大きな肉をくわえて高い木にとまった
いざ食べようとしたときにキツネに声をかけられ、
容姿についていろいろと褒められる
カラスは肉を食べることを忘れ、しばし聞き入ってしまう
そしてキツネが
「きっと素晴らしい声をしているんだろうなあ、声を聞いてみたい」と言うと、
カラスは「カー」と高らかに鳴き、くわえていた肉は
下にいたキツネの口に収まってしまう
0442１３２人目の素数さん
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2017/12/31(日) 04:03:30.92ID:x3tEk/HW
どうやらヘンペルのカラスは思考についての形式や法則に合致するという意味での論理的に正しいかどうかの話だったようだが、
このスレに書いた以上は、スレタイからして、ヘンペルのカラスは演繹的に考えるという意味での論理的に正しいかどうかの話になるのではないのか？
0446１３２人目の素数さん
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2017/12/31(日) 06:03:04.70ID:x3tEk/HW
ヘンペルのカラスの「証明」は数学の「証明」とはその方法からしても全く異なる。
0448１３２人目の素数さん
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2017/12/31(日) 13:06:39.32ID:gqQT5uch
数学的理論なら、ある条件を満たす対象一般について調べるときは条件を宣言するだけで済むけど、
現実には、まずその条件を満たすかどうか逐一判断して、条件を満たすものだけを選別しておく必要がある
これが肝だよね
0449１３２人目の素数さん
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2017/12/31(日) 13:23:18.95ID:TC+YU6VZ
>>447
なぜ？
その中にカラスがいないことを調べるんですが？
0450１３２人目の素数さん
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2017/12/31(日) 13:28:17.06ID:x3tEk/HW
高校1年の数学で論理の基本的なことも扱っているんだから、ヘンペルのカラスは
未だに「数学」で納得いかないこと挙げてけ4 [無断転載禁止]©2ch.net
というスレではなく、
未だに「論理学」で納得いかないこと挙げてけ4 [無断転載禁止]©2ch.net
という名前のスレに書いて話題にする方が相応しいだろ。
ここに書いて話題にしたら、話が紛らわしくなるだけ。
0452１３２人目の素数さん
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2017/12/31(日) 15:24:46.35ID:TC+YU6VZ
>>451
重要なのは「カラスがいなかったとしても」
「全てのカラスは黒い」は真となるということ
0453１３２人目の素数さん
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2017/12/31(日) 16:11:50.62ID:x3tEk/HW
>>452
「すべてのカラスは黒いモノある」という命題の対偶は「黒くないモノはカラスではない」で、確かに黒くないモノは存在するから、
高校数学で習う対偶の論法や排中律を普通に扱って考えれば何も問題なくなるジャン。
何でヘンペルのカラスの論法が直観に反するなんてなるんだ？
0454１３２人目の素数さん
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2017/12/31(日) 16:20:07.40ID:x3tEk/HW
ヘンペルのカラスの論法が直観に反するというのは、
「現実的に考える」のではなく数理モデル化して数学的に考えた上での話ね。
0455１３２人目の素数さん
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2017/12/31(日) 16:28:02.32ID:x3tEk/HW
いや、>>454の「ヘンペルのカラスの論法が直観に反する」は
>>453の一番下の行の「ヘンペルのカラスの論法が直観に反する」と全く同じで、正確には>>454は
>ヘンペルのカラスの論法が「直観に反しない」というのは、
>「現実的に考える」のではなく数理モデル化して数学的に考えた上での話ね。
と書くべきだった。
0456１３２人目の素数さん
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2017/12/31(日) 16:57:23.62ID:vRYXSQrZ
>>453
>確かに黒くないモノは存在するから
黒くないものが存在しないとしても
「すべてのカラスは黒」は真
0457１３２人目の素数さん
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2017/12/31(日) 17:15:38.07ID:x3tEk/HW
>>456
命題Pが偽、命題Qが真とすると、命題 P⇒Q が真になることも高校でやったろ。
意味はともかく思考の形式や法則には反せず、何も問題はない。
0459１３２人目の素数さん
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2017/12/31(日) 17:36:57.48ID:x3tEk/HW
>>459
P、Qを命題として、命題 P⇒Q に対して、P、Qの真偽にかかわらず
その対偶 ¬Q⇒¬P を取れることは高校の話の筈だが。
0462１３２人目の素数さん
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2017/12/31(日) 17:42:49.50ID:vRYXSQrZ
>>457
イヤだからね
君が「黒くないものが存在するから」と書いたのが正しくないだろ？と指摘したまで
0463１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/31(日) 17:47:10.62ID:gqQT5uch
対偶の胡散臭さを問う場面で真偽値を前提にして
「真偽が一致してるから思考の形式的には問題ない」
うーん、もう少し深く考えた方がいいんでないかい
0466１３２人目の素数さん
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2017/12/31(日) 17:55:37.02ID:TC+YU6VZ
>>464
？
0468１３２人目の素数さん
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2017/12/31(日) 18:06:33.33ID:x3tEk/HW
>>466
例えば、点や直線が存在すると仮定されているから、具体的に図形をイメージしたり描いて考えることが出来る。
点や直線が存在すると仮定されていないのに、具体的に図形をイメージしたり描いて考えることは出来ない。
このように、数学では扱う対象に対して、具体的な意味を持たせて考える。
0469１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/31(日) 18:10:55.04ID:x3tEk/HW
>>467
当たり前だよ。
これを問題にしていたら、素朴集合論の普遍集合すら扱えなくなるだろ。
数学というより、むしろ哲学の話だよ。
0470１３２人目の素数さん
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2017/12/31(日) 18:12:27.69ID:TC+YU6VZ
>>468
そな教育的指導だったとはw
0471１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/31(日) 18:17:06.30ID:x3tEk/HW
>>470
私は数学科卒ではない。
詳しくは数理論理学のスレで聞いてくれ。
意味に関することは、モデル理論の話になると思う。
0472１３２人目の素数さん
垢版 |
2017/12/31(日) 18:17:50.25ID:TC+YU6VZ
>>468
あ
でもやはり
黒くないものが存在するからは正しくないな
黒いものに対するイメージがあればいいし
黒くないものがなくても
黒いものがなくても
カラスがいなくても
全てのカラスは黒いと黒くないものはカラスじゃないは同値だな
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