不等式への招待 第７章
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
・不等式の和書
[1] 不等式，ハーディ・リトルウッド・ポリヤ，シュプリンガー，2003年
http://amazon.jp/o/ASIN/4431710566
[2] 不等式，大関信雄・青木雅計，槇書店，1967年（絶版）
[3] 不等式への招待，大関信雄・大関清太，近代科学社，1987年
http://amazon.jp/dp/4844372661
[4] 不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/978432001...
[5] 不等式入門，渡部隆一，森北出版，2005年
http://amazon.jp/o/ASIN/4627010494
[6] 不等式の工学への応用、海津聰、森北出版，2004年
http://amazon.jp/o/ASIN/4627075812
[7] 不等式（モノグラフ４），染取弘，科学新興新社，1990年
http://amazon.jp/o/ASIN/4894281740
[8] 不等式 ～ 21世紀の代数的不等式論 ～，安藤哲哉，数学書房，2012年
http://amazon.jp/dp/4903342700
・不等式の項目を含む和書
[1] 数学トレッキングツアー第３章「相加平均≧相乗平均」，東京理科大学数学教育研究所，教育出版，2006年
http://amazon.jp/o/ASIN/4316801988
[2] 獲得金メダル！ 国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年
http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-1113...
[3] 数学オリンピック事典，数学オリンピック財団，朝倉書店，2001年
http://amazon.jp/o/ASIN/4254110871
[4] 三角法の精選103問（シリーズ：数学オリンピックへの道 2），T.アンドレースク・Z.フェン著，朝倉書店，2010年
http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-1180...
[5] 最大値と最小値の数学，P.J.ナーイン，シュプリンガー，2010年
http://amazon.jp/dp/4621062131
[6] 最大・最小（数学one Point双書24），服部泰，共立出版，1979年
http://amazon.jp/dp/4320012445 ・不等式の洋書
[1] The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities，J. M. Steele，Cambridge Univ. Pr.，2004年
http://amazon.jp/o/ASIN/052154677X
[2] Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach，Birkhaeuser Basel，2009年
http://amazon.jp/dp/3034600496
[3] Inequalities: Theorems (Techniques and Selected Problems)，Zdravko Cvetkovski，Springer，2012年
http://amazon.jp/gp/product/3642237916
[4] Analytic Inequalities，Xingzhi Zhan，Dragoslav S., Dr. Mitrinovic，Springer，1970年
http://www.amazon.co.jp/dp/3642999727
[5] Matrix Inequalities (Lecture Notes in Mathematics, No.1790)，Xingzhi Zhan，Springer，2002年
http://amazon.jp/dp/3540437983
[6] Matrix Analysis (Graduate Texts in Mathematics)，Rajendra Bhatia，Springer，1996年
http://amazon.jp/dp/0387948465
・不等式の記事
[1] 特集 「現代の不等式」 （数理科学 No.386） ，サイエンス社，1995年8月号（絶版）
[2] 特集 「不等式の世界」 （数学セミナー No.2-569） ，日本評論社，2009年2月号
http://amazon.jp/o/ASIN/B001O9UIZ8
[3] 連載 「不等式の骨組み」 （大学への数学 vol.53，全12回，各4ページ），栗田哲也，東京出版，2009年4月号-2010年3月号
http://www.tokyo-s.jp/index.shtml ・不等式の埋蔵地
[1] RGMIA http://rgmia.vu.edu.au/
[2] Crux Mathematicorum Synopses http://www.journals.cms.math.ca/CRUX/synopses/
[3] Maths problems http://www.kalva.demon.co.uk/
[4] Mathematical Inequalities & Applications http://www.ele-math.com/
[5] American Mathematical Monthly http://www.maa.org/pubs/monthly.html
[6] Problems in the points contest of KöMaL http://www.komal.hu/verseny/feladatok.e.shtml
[7] IMO リンク集 http://imo.math.ca/
[9] Mathematical Olympiads Correspondence Program http://www.cms.math.ca/Competitions/MOCP/
[10] Mathematical Excalibur http://www.math.ust.hk/excalibur/
[11] MathLinks Contest http://www.mathlinks.ro/Forum/contest.html
[12] MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_s... (要自動登録)
[13] Wolfram MathWorld http://mathworld.wolfram.com/
[14] GRA20 Problem Solving Group http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/GRA20/main.htm...
[15] American Mathematical Monthly Problems http://www.mat.uniroma2.it/~tauraso/AMM/amm.html
[16] Journal of Inequalities and Applications http://www.hindawi.com/journals/jia/
[17] すうじあむ http://suseum.jp/gd/all_berry_list/3504
・海外不等式ヲタの生息地
[1] Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics http://jipam.vu.edu.au/
[2] MIA Journal http://www.mia-journal.com/
[3] MathLinks Math Forum http://www.mathlinks.ro/Forum/forum-55.html 〔問題〕
a,b,c>0, (r=2/3 または r=1 または r≦0) のとき
{2a/(b+c)}^r + {2b/(c+a)}^r + {2c/(a+b)}^r ≧ 3.
を示せ。
casphy - 高校数学 - 不等式２ - 032-035, 042-043
USAMO ? 円周率をπと書く. 223/71 < π < 22/7. Archimedes の時代から知られていたらしい. >>2
追加でつ！
不等式への招待 第６章
http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/901
901 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2012/12/06(木) 23:47:56.44
美しい不等式の世界 ─数学オリンピックの問題を題材として─
A5／272ページ／2013年01月25日
ISBN978-4-254-11137-8 C3041
定価3,990円（税込）
佐藤淳郎 訳
"Inequalities A Mathematical Olympicd Approach"の翻訳。
数学全般で広く使われる有名な不等式や実用的テクニックを系統立てて説明し，
数学オリンピックの問題をふんだんに使って詳しく解説。
多数の演習問題およびその解答も付す。
http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11137-8/
きたか…！！
( ﾟдﾟ ) ｶﾞﾀｯ
.r ヾ
＿_|_| /￣￣￣/＿
＼/ / >>5
そういえば、東大の入試で円周率の不等式が出て話題になったな。
簡単と思いきや、出来が悪かったそうだ。
問題．円周率 π は、３．０５ より大きいことを証明せよ。 >>2 の修正
すまなんだ
まとめWikiからコピペしたら、長いURLは ...... と略されるのを忘れていました
>>2
・不等式の和書
[4] 不等式入門（数学のかんどころシリーズ９），大関清太，共立出版，2012年
http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320019898
・不等式の項目を含む和書
[2] 獲得金メダル！ 国際数学オリンピック第１章「不等式」，小林一章，朝倉書店，2011年
http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11132-3/
[4] 三角法の精選103問（シリーズ：数学オリンピックへの道 2），T.アンドレースク・Z.フェン著，朝倉書店，2010年
http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11808-7/
>>4
・不等式の埋蔵地
[12] MATH PROBLEM SOLVING WEB PAGE
http://www.math.northwestern.edu/~mlerma/problem_solving/ (要自動登録)
∧＿∧
（´Д｀ ） 死んでお詫びを…
/ y/ ヽ
Σ(m)二フ ⊂[_ノ
（ノノノ | | | l ）
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ 最近不等式の証明の世界を知りました高一です
学校ではn=2の場合においてのAM-GM不等式しか習いませんでした
ですが、最近とある人から数オリクラスの不等式の証明もある事を聞き興味を持ってます
まずこのスレに出てくるような問題を解くために勉強すべき事はなんでしょうか
現時点で三角関数までしかやってないです 何をおいてもまずは微分積分を身に着けてから
数Ⅲの教科書を取り寄せて勉強するべし >>9
原点(0,0)を中心とする単位円上に2点
A (1, 0)
B (1/√2, 1/√2)
をとる。弧AB は円周の 1/8 である。
|AB|^2 = (1 - 1/√2)^2 + (1/√2)^2
= 2 - √2 > 2 - 1.414775 = 0.585225 = 0.765^2,
AB = √(2-√2) > 0.765
π > 4･AB > 3.06 >>9
2003年の東大理系の問題だったんだよね。
当時は小学校で円周率がおよそ３で済ます、ということになり、それでは数学教育として余りにも酷い、
というメッセージを世間に送る意味で出題させれたという時代背景があった。
一応日本の最高学府のしかも理系の問題でそれを提示することで、当時の数学教育に反論するのが狙い。
東大ともなると、単に難しい問題を出すだけでなく、高校数学界への影響も考慮してと意外と大変ですね。 >>14
C (cosθ, sinθ)
とおくと、
|AC|^2 = (1-cosθ)^2 + (sinθ)^2
= 2(1-cosθ),
(例) θ=π/6 のとき
C((√3)/2, 1/2)
|AC|^2 = 2 - √3 = 0.268
π > 6|AC| > 3.10
|BC|^2 = 2 - √(3/2) - √(1/2) = 0.068
π > 12|BC| > 3.13 >>17
円周率の評価の証明で、弧度法を使ったらダメだろうが！
証明すべきこと（１周=2π）を使っているんだから、全然証明になってない。 １周=2πはsinの周期（あるいはexpの周期）からわかることです
問題ありません 証明すべきことは
＞問題．円周率 π は、３．０５ より大きいことを証明せよ。
なんだが >>16
(*ﾟ∀ﾟ)=3 ﾊｧﾊｧ…してもよろしいでしょうか？ >>15
円周率が3となっていたのは日能研の電車の吊り広告での話
実際の教科書見たらそうじゃないってのはすぐにわかるのに
メディアが円周率3って大きく取り上げた
それだけのこと >>16
(1) x=1 で最小
（２） x＝y で最小、
最小値が x＝y＝１ のとき ０になる
おしまい >>16 (1)
t≠1 のとき、f(x) = t^x は下に凸。
{f(c)-f(0)}/(c-0) ≧ f '(0) ≧ {f(0)-f(-b)}/{0-(-b)}, >>16 (2)
重み付き相加相乗平均より、
(a/(a+b+c))s + (b/(a+b+c))t + (c/(a+b+c))u ≧ s^(a/(a+b+c)) t^(b/(a+b+c)) u^(c/(a+b+c)).
上式に、 s = x^(a+b+c), t = y^(a+b+c), u = 1 を代入して整理。 >>16 (1)
上式に、 a=0, s>0, t=T^(b+c), u=1 を代入して整理。 x_i(1≦i≦n+1)は正の実数でx_1+x_2+……+x_n=1, x_(n+1)=0を満たす時
Σ[k=1_n]{√(Σ[p=1_k]x_k)×√(1+Σ[q=k+1_n+1]x_q)×x_k}＞π/4 >>30
半径1の四分円を幅がx_iになるようにスライスして面積を考える >>30
【審議凍結】
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
／|／／ ／ ／ ／|
／／|／ ／ ／／ ／ ／ |
|￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣|.///.|
|／ | .∧,,∧. ∧,,∧.／／／ │ .|
| ∧∧(´‐ω‐｀)(´‐ω‐｀)∧∧. .| .|
| (´‐ω‐).∧∧) (∧∧ (‐ω‐｀) .│///|
| ｜ Ｕ (´‐ω‐｀)(´‐ω‐｀) と ﾉ .／| . |
| ｕ-ｕ （l ) ( ﾉ u-ｕ ／ .|/// |
| `ｕ.／ '／ｕ-u' | ／
|／／ ／／ ／／ .|／
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣ >>30
y_0 = 1,
y_k = Σ[q=k+1,n] x_q
y_n = 0,
とおくと、y_k は単調減少で
(左辺) = Σ[k=1_n] √(1 - y_k) × √(1 + y_k) × {y_(k-1) - y_k}
= Σ[k=1_n] √{1 - (y_k)^2} × {y_(k-1) - y_k}
> Σ[k=1_n] ∫[y_k, y_(k-1)] √(1-yy) dy
= ∫[0,1] √(1-yy) dy （半径1の四分円 >>31)
= π/4. 〔問題〕
√(1+xx) － |x| = F(x) とおくとき、次を示せ。
(1) |xy|≦1/2 ⇒ F(x) + F(y) ≧ 1,
(2) |xyz| ≦ (4/3)^3 ⇒ F(x) + F(y) + F(z) ≧ 1,
(3) |xy| ≧ (3/4)^2 ⇒ F(x) + F(y) ≦ 1,
[元スレ.414, 459, 482]
casphy - 高校数学 - 不等式スレ [1-919] >>36
(1) 分子を有利化する。
F(x) + F(y) -1 = √(1+xx) + √(1+yy) - (1+x+y)
= {2√(1+xx)･√(1+yy) - (-1+2x+2y+2xy)}/D1
= {1 + 2(1-2xy)(1+2x+2y)}/(D1･D2)
≧ 0, (← |xy|≦1/2)
ここに、D1 = √(1+xx) + √(1+yy) + (1+x+y) >0,
D2 = 2√(1+xx)･√(1+yy) + (-1+2x+2y+xy) >0,
(3) 上と同様に
1 + 2(1-2xy)(1+2x+2y)
= 1 + 2(1-2GG)(1+2x+2y)
≦ 1 + 2(1-2GG)(1+4G) (← AM≧GM)
= (3-4G)(1+2G)^2
≦ 0, (← G≧3/4) 実数x,y,zがx^2+y^2+z^2=1 を満たすとき
xy^2 + yz^2 + zx^2 のとり得る値の範囲はどうもとめればいいでしょｙか >>38
ｷｬｽﾌｨｰの解答....
コーシーにより
(xy^2 + yz^2 + zx^2)^2 ≦ {(xy)^2 + (yz)^2 + (zx)^2}(y^2 + z^2 + x^2),
等号成立は x=y=z のとき,
とし、右辺に
XY+YZ+ZX = {2(X+Y+Z)^2 -(X-Y)^2 -(Y-Z)^2 -(Z-X)^2}/6
≦ (1/3)(X+Y+Z)^2,
を使えばいいんじゃない？
(xy^2 + yz^2 + zx^2)^2 ≦ (1/3)(x^2 + y^2 + z^2)^3 = 1/3,
∴取り得る値の範囲は －1/√3 ～ 1/√3.
(x=y=z=±1/√3 のとき) a,b,c∈R
(a^2+b^2+c^2)^2 ≧ 3(ab^3+bc^3+ca^3) >>41
その問題は [第５章.288] のように、
p = a^2 -ca +bc,
q = b^2 -ab +ca,
r = c^2 -bc +ab,
とおくといいらしいよ。
p + q + r = a^2 + b^2 + c^2,
pq + qr + rp = ab^3 + bc^3 + ca^3,
より
(a^2 +b^2 +c^2)^2 - 3(ab^3 +bc^3 +ca^3)
= (p+q+r)^2 - 3(pq+qr+rp)
= (1/2){(p-q)^2 + (q-r)^2 + (r-p)^2}
≧ 0,
[第５章.268-269, 284-290]
[ｷｬｽﾌｨｰ 不等式１-517, 563] 〔類題〕
a,b,c ≧ 0 のとき
(a^2 +b^2 +c^2)^2 ≧ 3{a^(4/3)･b^(8/3) + b^(4/3)･c^(8/3) + c^(4/3)･a^(8/3)},
(略解)
相加･相乗平均により
(ab)^2 + (ab)^2 + b^4 = (a^2 +a^2 +b^2)b^2 ≧ 3a^(4/3)･b^(8/3),
循環的にたす。 〔問題〕
n∈N のとき、
1/{2n + 4/(n+3)} < ∫[0,π/4] {tan(x)}^n dx < 1/(2n),
を示せ。（ﾌﾞﾘｼﾞｯﾀ）
casphy - 高校数学 - ∫積分∫ - 046 >>47
ｷｬｽﾌｨｰの解答....
(右)
tan(x) = t とおくと、dx = dt/(1+tt),
1+tt > 2t, （← 相加・相乗平均）
Ｉ_n = ∫[0,1] (t^n)/(1+tt) dt
< ∫[0,1] t^(n-1) /2 dt
= [ (t^n) /(2n) ](x=0,1)
= 1/(2n),
(左)
Ｉ_n = 1/(n+1) - Ｉ_(n+2)
> 1/(n+1) - 1/{2(n+2)}
= (n+3)/{2(n+1)(n+2)}
= (n+3)/{2n(n+3) + 4}
= 1/{2n + 4/(n+3)}, >>48
Ｉ_n > 1/(n+1) - 1/{2(n+2)}
= ∫[0,1] (t^n)(1 - t/2) dt,
は t=1 で接線を引いて
1/(1+tt) ≧ 1 - t/2,
としたことに相当する。
さらに
1/(1+tt) ≦ (5-4t+tt)/4,
から、
Ｉ_n < {5/(n+1) -4/(n+2) +1/(n+3)}/4
= (nn+6n+10)／{2(n+1)(n+2)(n+3)}
= (nn+6n+10)／{2n(nn+6n+10) +2(n+6)}
= 1／{2n + 2(n+6)/[n(n+6)+10]}
= 1／{2n + 2/[n + 10/(n+6)]}. ｷｬｽﾌｨｰから....
〔問題731〕
0 < |x| < π/2 のとき、
sin(x)/x > cos(x/√3) > cos(x)^(1/3),
（でえ） ↑のハイパボリック版...
〔問題738〕
sinh(x)/x > cosh(x/√3) > cosh(x)^(1/3),
(prime_132)
cos(√t) (0<t<π^2)、cosh(√t) は下に凸らしい.... >>50 右
g(t) = cos(√t) は下に凸。3倍角公式から、
cos(x/√3)^3 = {3cos(x/√3) + cos((√3)x)}/4
= {3g(xx/3) + g(3xx)}/4
> g(xx) (← Jensen)
= cos(x),
>51 右
g(-t) = cosh(√t) は下に凸。3倍角公式から、
cosh(x/√3)^3 = {3cosh(x/√3) + cosh((√3)x)}/4
= {3g(-xx/3) + g(-3xx)}/4
> g(-xx) (← Jensen)
= cosh(x), >>52
g(t) は t≦20 で下に凸。
(略証)
・t>0 のとき
g(t) = cos(√t),
g '(t) = -sin(√t)/(2√t),
g "(t) = {sin(√t) - (√t)cos(√t)}/(4t√t),
そこで sinθ - θ･cosθ = 0, θ>0 となる最小のθを求める。
1/θ = 1/tanθ = tan((3/2)π - θ) > (3/2)π - θ,
1/θ + θ > (3/2)π > (20 + 1)/(√20),
θ > √20 ≧ √t,
・t≦0 のとき
マクローリン展開
g(-t) = 1 + (1/2!)t + (1/4!)tt + ････ + {1/(2k)!}t^k + ････
の係数がすべて正。 >>53
θ ～ 4.493409457909
= (3/2)π - 0.21897952247563
√20 ～ 4.472135955 左側はマクローリン展開。
>>50 左
sin(x)/x > 1 - xx/3! + (x^4)/5! - (x^6)/7!
= 1 - xx/3! + (x^4)/216 + (x^4)(1/270 - xx/7!)
> 1 - xx/3! + (x^4)/216 (← xx<14)
> cos(x/√3),
>>51 左
2k+1 ≦ 3^k,
sinh(x)/x = 納k=0,∞) (xx)^k／(2k+1)!
> 納k=0,∞) (xx/3)^k／(2k)!
= cosh(x/√3), 〔類題〕
|xyz| ≦1 のとき、次を示せ。
√(1+xx) + √(1+yy) + √(1+zz) -|x| -|y| -|z| ≧ 1,
[前スレ.414、459、482] >>57
ｷｬｽﾌｨｰの解答....
√(1+xx) - |x|
= 1/{√(1+xx) + |x|}
≧ 1/(1+2|x|)
= X／{X + 2|x|^(1/3)}
≧ X／{X + 2/|yz|^(1/3)} (x≦1/yz)
≧ X／{X + 1/|y|^(2/3) + 1/|z|^(2/3)}
= X／(X + Y + Z),
ここに、X = 1/|x|^(2/3)、Y = 1/|y|^(2/3)、Z = 1/|z|^(2/3), a, b, c>0, (1/ab)+(1/bc)+(1/ca)=1 のとき.
(a-1)(b-1)(c-1)>=2(3√3-5)を示せ。 >>59
例によって基本対称式を
a+b+c = s, ab+bc+ca = t, abc = u,
とおく。題意より
s = u,
9/t = 9/(ab+bc+ca) ≦ 1/(ab) + 1/(bc) + 1/(ca) = 1,
t ≧ 9,
したがって
(4t-9)[t + 3(2√3 -3)]^2 - 4t^3 = (t-9){3(16√3 -27)t + 27(2-√3)^2} ≧0,
Schur不等式（n=-2）より
0 ≦ F_(-2)(a,b,c)
= abc･F_1(1/a,1/b,1/c)
= (t^3 -4stu +9uu)/uu
= {4t^3 - (4t-9)(s+u)^2}/(4uu) (← s=u)
≦ (4t-9){[t + 3(2√3 -3)]^2 - (s+u)^2}/(4uu),
∴ [t + 3(2√3 -3)] ≧ s+u,
∴ (a-1)(b-1)(c-1) = u -t +s -1 ≦ 2(3√3 -5), 昨日行ったファミレス。席に着くなり「ただいま○○フェアで
○○○○がお勧めです」と言うので「じゃあそれを」と頼んだら
「申し訳ありません、本日は完売となっております」って。
じゃあ勧めるなよおい。完売でもとにかく言わないといけないという
決まりでもあるのかね。 >>59
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....
a>1, b>1, c>1, で示せばいい。
附帯条件は
0 = (a-1)(b-1)(c-1) + (a-1)(b-1) + (b-1)(c-1) + (c-1)(a-1) -2
≧ (a-1)(b-1)(c-1) + 3{(a-1)(b-1)(c-1)}^(2/3) -2
= GGG +3GG -2
= (G+1)^3 -3(G+1)
= (G+1){(G+1)^2 -3},
ここに、 G = {(a-1)(b-1)(c-1)}^(1/3),
∴ G ≦ √3 -1,
∴ (a-1)(b-1)(c-1) = GGG ≦ (√3 -1)^3 = 2(3√3 -5),
（じゅー） ピーター・フランクルの本より出題
任意の実数xについて、
sinx+sin√2x≦2-1/(100*(1+x^2))
が成立することを示せ >>64
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....
|x| < π/2 のとき、｜tan(x)| > |x|
(d/dx)log(x+√(1+x^2)) = 1/√(1+x^2),
(d/dx)sin(x) = cos(x) = 1/√{1+tan(x)^2},
から出る。
|x| > sinh(1) = 1.1752 のとき
(左辺) = arcsinh(x) > 1 ≧ (右辺). 〔問題17〕
非負値の多項式、たとえば
f(x,y,z) = (x^4)(y^2) + (x^2)(y^4) + (z^6) - 3(xyz)^2,
は
{xy(x-y)}^2 + (2|xy| + z^2)(|xy| - z^2)^2,
のように、|xy| と z^2 の多項式によって表わせますが、
x, y, z の多項式の平方の和では表わせないでしょうか？
(参) ヒルベルト「数学の問題」 No.17 自然数 n≧2 に対して次を示せ。
(1) Σ_[k=1]^n (-1)^{k+1} n_C_k (1/n^2 )^k < 1/n
(2) Σ_[k=1]^n n_C_k { 1/(n^2-1) }^k > 1/n
(3) Σ_[k=1]^{2n} {2n}_C_k { 1/(n^2-1) }^k > 2/(n-1)
ただし、n_C_k = n ! /( k! (n-k)! ) は二項係数とする。 最近「不等式」のレベルを格段に押しげる本が出ると聞いた
いまこそ、学問の)いち分い地一分野になれるかどうか
ともきいやた。
がんばれ不等式
俺は創業以あなた方ファンです。 狢
○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●
●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○
○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●
●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○
○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●
●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○
○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●
●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○
○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●
●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○
○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●
●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○●○ >>71
> 最近「不等式」のレベルを格段に押しげる本が出ると聞いた
ﾉ ∧ ／) ∧
彡 ノW ＼从／V W ＼ ミ
( ノ | ノ ＼)
∩V 、、 | >V7
（ｅLＬ／￣￣＼/ L／￣￣＼┘/3）
(┗（ )⌒（ ）┛/
~| ＼＿＿／ | ＼＿＿／ |~ ／￣￣￣￣￣￣
爻 < | ； 爻 ＜ 続けたまえ
~爻 ＼_／ ＿, 爻~. ＼＿＿＿＿＿＿
~爻__／⌒￣￣￣~~ヽ_ 爻~
／ ー￣￣＼_￣＼
＿一‘ ＜￣￣＼＼＼Ｊ
＜＼ ー￣￣ヽ_ヽＪ ￣＼_
＼ ＿ニニニヽ ） ~＼
＼ _／⌒|＼ ヽ_~~ ~⌒＼_
＿＿／~ V ＼_| ~＼＿ １．不等式 ２１世紀の代数的不等式論 安藤 哲哉 著 数学書房
ソン何知ってるよたいしたことない。場合は笑って許して。でもここだけは
レベル上げといてね。他はたよりにならんから。
これは大田図書館（大田区）でみつけた。 もう一冊は楽しめそう。
美しい不等式の世界
ーーーー数学オリンピックの問題を題材としてーーーーー
砂糖 淳郎 訳 朝倉書店
残念ながらともに大田図書館所蔵です 私は真摯な数学ファンのあなた方のファンです。がんばってください、 >>77 ご用ですか？
ところで，3変数4次巡回不等式
f(x,y,z) = Σx^4 + A Σx^3 y + B Σ x y^3 + C Σ x^2 y^2 + D Σ x^2 y z
が任意の非負整数 x, y, z に対して f(x,y,z) >= 0 を満たすための
A, B, C, D についての必要十分条件を求めました．
複雑でここに書けないので，以下のプレプリの
Theorem 3.5, Theorem 3.6をご覧下さい．
(2ch制限でLinkが貼れないので，
[安藤哲哉] → 論文・プレプリコーナー → 論文[9] で探して下さい) (直前の続き ---- 長すぎで2chで拒否されるので)
日本語で読みたい方は以下の正誤表の補遺(系2.3.9b, 系2.3.9c)をご覧ください．
(Linkを貼ろうとすると2chから怒られるので，
[安藤哲哉] → 「不等式」正誤表 で探して下さい)
ここで，S_4=Σx^4, S_{3,1}=Σx^3 y, S_{1,3}=Σ x y^3, S_{2,2}=Σ x^2 y^2, US_1 = Σ x^2 y z です． すいません。>78 でタイプミスしました。
> が任意の非負整数 x, y, z に対して f(x,y,z) >= 0 を満たすための
が任意の非負実数 x, y, z に対して f(x,y,z) >= 0 を満たすための 証明の肝が不等式であることは実際多いんだよ。
君が何を証明したいにしてもね。 〔問題〕
0 < A,B,C ≦ π/2（△ABCは鈍角△でない）とき、
cos(A)cos(A)cos(B) + cos(B)cos(B)cos(C) + cos(C)cos(C)cos(A) ≦ 2/(3√3),
等号成立は (cosA, cosB, cosC) = (0, √（2/3), √(1/3)）またはその rotation.
を示せ。
ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 095 >>69-70
便宜上 C[n,n+1] = 0 としておく。
(1) Σ_[k=1,n] (-1)^{k+1} C[n,k] (1/nn)^k
= C[n,1](1/nn) - Σ_[k=1,[n/2]] {C[n,2k](1/nn)^(2k) - C[n,2k+1] (1/nn)^(2k+1)}
= C[n,1](1/nn) - Σ_[k=1,[n/2]] C[n,2k](1/nn)^(2k) {1 - [(n-2k)/(2k+1)](1/nn)}
< C[n,1] (1/nn) = 1/n,
(2) Σ_[k=1,n] C[n,k]{1/(nn-1)}^k > C[n,1]{1/(nn-1)} = n/(nn-1), >>69-70
(3) Σ_[k=1,2n] C[2n,k]{1/(nn-1)}^k > C[2n,1]{1/(nn-1)} + C[2n,2]{1/(nn-1)}^2 + C[2n,3]{1/(nn-1)}^3
> C[2n,1]{1/(nn-1)} + C[2n,2]{1/(nn-1)}^2 + {6(nn-1)(n-2)/3!}{1/(nn-1)}^3
= C[2n,1]{1/(nn-1)} + n(2n-1){1/(nn-1)}^2 + (n-2){1/(nn-1)}^2
= C[2n,1]{1/(nn-1)} + 2(nn-1){1/(nn-1)}^2
= 2n{1/(nn-1)} + 2{1/(nn-1)}
= 2(n+1)/(nn-1)
= 2/(n-1), S_{m,n} = a^m･b^n + b^m･c^n + c^m･a^n, >>79
[Corollary 2.6]
f(a,b,c) = S_3 + p･S_{2,1} + q･S_{1,2} + r･U.
とおく。任意の a,b,c∈Ｒ_+ に対して f(a,b,c)≧0 が成り立つための条件は、
以下の２つの条件が成り立つことである。
(1) f(1,1,1) = 3+3p+3q+r ≧ 0.
(2) 4p^3 + 4q^3 +27 ≧ (pq)^2 +18pq or "p≧0 and q≧0"
//www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/ineq17.pdf >>78
〔定理2.3.9d.〕
f(x,y,z) = S_4 + A･S_{3,1} + B･S_{1,3} + C･S_{2,2} + D･U･S_1,
は
f(1,1,1) = 3(1+A+B+C+D) = 0,
を満たすとする。任意の非負実数 x,y,z に対して f(x,y,z)≧0 が成り立つための条件は、
以下の(1)～(6)のいずれかが成立することである。 >>78 （続き)
(1) C+2≧0, A+B≧0, A≦-2√(C+2), φ(A,B,C)≦0.
(2) C+2≧0, A+B≧0, B≦-2√(C+2), φ(A,B,C)≦0.
(3) C+2≧0, -√(C+4) ≦ A+B ≦ 0, A≧-2√(C+2), B≧-2√(C+2), φ(A,B,C)≧0.
(4) C+2≧0, A+B≧0, A≧-2√(C+2), B≧-2√(C+2).
(5) C≧0, AA+AB+BB ≦ 3C+3.
(6) C+2≦0, A+B≧0, φ(A,B,C)≦0.
ここに、φ(A,B,C) = (ABC)^2 -4(AB)^3 +18(AA+BB)ABC -4(AA+BB)C^3 -(27A^4 +6AABB +27B^4) +16C^4 -80ABCC +144(AA+BB)C -192AB -128CC +256
//www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/alg_ineq.pdf >> 87
その話で，f(1,1,1)=0という条件をはずした場合はどうなるのかというと，
実はかなり難しいのです。
「不等式」正誤表の末尾に，その話を追加しておきました。
長くて難しい話ですので，そちらをご覧下さい。
Linkは>>87の通りです。 >>86-87
(A,B,C,D) = (0,-3,2,0） の場合が >>41-42 >>41
和書[8], p.74-75 例題2.3.10 (3)
〔類題〕
a,b,c∈R のとき
(a^2+b^2+c^2)^2 + (8/√7)(aaab+bbbc+ccca) ≧ 0,
和書[8], p.77-78 例題2.3.13 (2) 〔問題〕 次式を代数的に示せ。
(1) x≧y≧1 のとき、
1/(1+x^n) + (n-1)/(1+y^n) ≧ n/(1+x･y^(n-1)),
(2) a_1, a_2, ････, a_n ≧ 1 のとき、
1/(1+a_1) + 1/(1+a_2) + ･･･････ + 1/(1+a_n) ≧ n/(1+G),
ここに、G = (a_1･a_2･･････a_n)^(1/n),
和書[8]、p.170 例題3.3.9 (10) >>91
(1) n=1のときは明らかなので n≧2とする。
移項して分母を払うと
{n + (n-1)x^n + y^n}{1+x･y^(n-1)} - n(1+x^n)(1+y^n)
= {x･y^(n-1)}⊿_1 - ⊿_2
≧ ⊿_1 - ⊿_2 (← x･y^(n-1) ≧1)
= (x-y)^2 Σ[k=0,n-2] (k+1){x^k･y^(n-2-k) - x^(n-2-k)･y^k}
= (x-y)^3 Σ[k=0,n-3] (k+1)(n-2-k) x^k y^(n-3-k)
≧ 0, (← x-y≧0)
ここに
⊿_1 = (n-1)x^n - n･x^(n-1)･y + y^n
= Σ[k=0,n-1] (x-y)(x^k - y^k)x^(n-1-k) ≧ 0,
⊿_2 = x^n - n･x･y^(n-1) + (n-1)y^n
= Σ[k=0,n-1] (x-y)(x^k - y^k)y^(n-1-k) ≧ 0,
(2) nについての帰納法で。
和書[8] のような解析的な方法もあるが.... 確率関連の不等式（Markovの不等式とか，Hoeffdingの不等式とか）が充実してる本やサイトってない？
どの本にも載ってなさげなんだが．．． stochastic inequalities とか probability inequalities でAmazon検索すればいっぱい出てくる >>64
ｷｬｽﾌｨｰの解答から....
|t| > ｜tanh(t)|
(d/dt)arcsin(t) = 1/√(1-tt),
(d/dt)sinh(t) = cosh(t) = 1/√{1-tanh(t)^2},
から |t|≦1 のとき
arcsin(t) > sinh(t) > 0,
が出る。
t > sin(sinh(t)) > 0,
|t| ≧ 1 でもこの式が成立つことは明らか。
sinh(t) = x とおくと
arcsinh(x) > sin(x) > 0, ｷｬｽﾌｨｰから....
〔問題〕
A,B,C>0, ABC ≧1 のとき
(A+1)/(A+B+1) + (B+1)/(B+C+1) + (C+1)/(C+A+1) ≦ 2,
B/(A+B+1) + C/(B+C+1) + A/(C+A+1) ≧ 1,
等号成立は A=B=C=1.
casphy - 高校数学 - 不等式２ - 028(5), 112 幾何的な不等式でもよければ
幾何学大辞典にもけっこう載ってるよね
著者本人が見つけたやつもいっぱい出てるからチェックしてみるといいよ ｷｬｽﾌｨｰ! 不等式２ の じゅー さんへ。
まづはWEBで....
「一般化固有値問題」（明治大）
http://www.math.meiji.ac.jp/~mk/labo/text/generalized-eigenvalue-problem/generalized-eigenvalue-problem.html
「極値としての固有値」（東京大）
http://www.misojiro.t.u-tokyo.ac.jp/~murota/lect-kisosuri/eigenmax070918.pdf
「§１固有値問題」（早稲田大）
http://www.waseda.jp/ocw/ComputerScience/17-1004345-01NumericalComputationsSpring2003/StudyMaterials/lec6.pdf
「Rayleigh商と2次形式の最大値,最小値」 - Quod Erat Demonstrandum
http://deepwave.web.fc2.com/rayleigh.pdf 同スレから....
(2) a,b,c >0 のとき
(ab+bc+ca){1/(a+b)^2 + 1/(b+c)^2 + 1/(c+a)^2} ≧ 9/4,
等号成立は a=b=c
(6) x,y,z >0 のとき
xxx(yy+zz)^2 + yyy(zz+xx)^2 + zzz(xx+yy)^2
- xyz{xy(x+y)^2 + yz(y+z)^2 + zx(z+x)^2} ≧ 0,
ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 126～133 ここで聞くのはスレチだとは思うがわかる人がいたら教えてほしい
以前は Live2ch で ｷｬｽﾌｨ! を見れていたのだが
いつからか読み込めなくなった
同じ症状の人いない？ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
