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不等式への招待　第７章
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0001不等式ヲタ ( ﾟ∀ﾟ)
垢版 |
2013/03/09(土) 22:14:39.95
ある人は蝶を集め、ある人は切手を収集し、ある人は不等式を集める…
　　　　　　　　　　＿＿＿　　　　　　　　　　----- 参考文献〔３〕 P.65 -----
　　　　|┃三　.／　　≧　＼　　　
　　　　|┃　　 |:::: 　＼ .／　|　
　　　　|┃　≡|::::: (●　(● |　　不等式と聞ゐちゃぁ
＿＿__.|ミ＼＿ヽ::::... .ワ......ノ　 　　　黙っちゃゐられねゑ！
　　　　|┃=＿＿　　　 ＼　　　 　　 　　　　ﾊｧﾊｧ…
　　　　|┃　≡　）　　人　＼ ガラッ

まとめWiki　http://wiki.livedoor.jp/loveinequality/

過去スレ
・不等式スレッド　（第１章）http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1072510082/
・不等式への招待 第２章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1105911616/
・不等式への招待 第３章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1179000000/
・不等式への招待 第４章　http://science6.2ch.net/test/read.cgi/math/1245060000/
・不等式への招待 第５章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1287932216/
・不等式への招待 第６章　http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1332950303/
・過去スレのミラー置き場　http://cid-d357afbb34f5b26f.skydrive.live.com/browse.aspx/.Public/

姉妹サイト（？）
キャスフィ 高校数学板 不等式スレ２
http://www.casphy.com/bbs/test/read.cgi/highmath/1359202700/l50
Yahoo! 掲示板　トップ > 科学 > 数学
http://messages.yahoo.co.jp/bbs?action=t&;amp;board=1835554&sid=1835554&type=r&first=1
0101１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/24(日) 14:28:07.16
>>99

〔Schur不等式の拡張〕
x,y,z≧0 で、x,y,z が△の三辺をなすとき
　x(a-b)(a-c) + y(b-c)(b-a) + z(c-a)(c-b) ≧0,
　（じゅー）

　ｷｬｽﾌｨ！ - 高校数学 - 不等式２ - 131〜132
0102１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/24(日) 20:20:27.12
>>99

〔Schur不等式の拡張〕
x,y,z≧0 で、x,y,z が a,b,c と同順または逆順のとき
　x(a-b)(a-c) + y(b-c)(b-a) + z(c-a)(c-b) ≧0,
　（じゅー）

　ｷｬｽﾌｨ！ - 高校数学 - 不等式２ - 131〜132
0103１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/11/26(火) 20:40:41.50
>>99 (6)
　yはxとzの中間にあるとしてよい。

　(左辺) - (右辺) = A(x-y)^2 + (A-B+C)(x-y)(y-z) + C(y-z)^2,
ここに
　A = yz(y^3 +z^3) + x(y-z)(y^3 -z^3) > 0,
　A-B+C = 2{(z+x)y - xz}y^3 ≧ 2{Max(x,z)min(x,z) - xz}y^3 = 0,
　C = xy(x^3 +y^3) + z(x-y)(x^3 -y^3) > 0,
より成立。

註)　z+x > Max(x,z) > 0,　y ≧ min(x,z) > 0,　を辺々掛けた。
0104１３２人目の素数さん
垢版 |
2013/12/19(木) 20:54:29.76
>>99

(1)　
a,b,cは相異なる正の実数とする。
　ab･log(a/b)/(a-b) + cyc. ≦ (1/3)(√a + √b + √c)^2,
を示せ。log は自然対数です。


(8)
任意の正の実数a,b,cに対し
　a/√(a+b) + b/√(b+c) + c/√(c+a) ≦ (5/4)√(a+b+c),
　等号成立は (a,b,c) = (3,1,0) またはその rotation.

　ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 126
0106１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/01/02(木) 01:31:00.06
>>104 (1)

x>0 のとき
　2Log(x)/{x -(1/x)} = (2t)/{exp(t) - exp(-t)}
　= t/sinh(t)
　≦ 1,
より
　√(ab)･Log(a/b)/(a-b) = Log(a/b)/{√(a/b) - √(b/a)} ≦ 1,
よって
　(左辺) ≦ √(ab) + √(bc) + √(ca)
　　　　 ≦ (1/3)(√a + √b + √c)^2,
0107１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/01/05(日) 07:45:41.88
↓の不等式うまい方法あるかな ？

a[i],b[i],c[i]＞0および
a[i],{b[i]/c[i]}は減少列のとき
（Σa[i]b[i]）／（Σa[i]c[i]）≧（Σb[i]）／（Σc[i]）
0108１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/01/05(日) 11:44:03.96
別にうまくないけど。
分数が嫌だから、b[i]/c[i]をあらためてb[i]として、式を整理すると、
(Σa[i]b[i]c[i]）(Σc[i]）≧(Σa[i]c[i])(Σb[i]c[i]）.
これは (左辺)-(右辺)＝Σ[i<j](a[i]-a[j])(b[i]-b[j])c[i]c[j]≧0 からいえる。
0109１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/01/18(土) 19:41:47.51
〔問題158〕
　a,b,c >0,
　aa+bb+cc + abc = 2(ab+bc+ca),
のとき
　(ab+bc+ca) ≦ 3(a+b+c),
を示せ。

　ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 158,161
0110１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/01/19(日) 12:23:09.17
〔問題163〕
0≦a,b,c≦1 のとき,
　2(a^3+b^3+c^3) ≦ 3 + aab+bbc+cca,
等号成立は (a,b,c) = (0,1,1) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)

　ｷｬｽﾌｨ! - 高校数学 - 不等式２ - 163,164
0111１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/01/19(日) 20:56:00.76
>>109
　
条件式と aa+bb ≧ 2ab から
　(c+ab)c ≦ (2a+2b)c,
c>0 で割って
　ab ≦ 2a+2b -c,
循環的にたす。


>>110

　1 +aab -(aa +b) = (1-aa)(1-b) ≧ 0,
から
　(aa+bb+cc) + (a+b+c) ≦ 3 + aab+bbc+cca,
が出る。
0112１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/02/04(火) 00:05:10.49
x+y=2のとき、1/(1+x^2) + 1/(1+y^2) のとりうる範囲は？

普通にやったら泥臭くて吐いた。
(通分してq=xyのみの式に直したもの=kとおき、分母を払って整理した
qの2次方程式がqのとりうる範囲内に少なくとも1つの解を持つ云々)

きれいな解法求む。
0113１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/02/05(水) 21:27:47.56
>>112

　xx+yy = (x+y)^2 -2xy = 4-2q,

　1/(1+xx) + 1/(1+yy) = (2+xx+yy)/(1+xx+yy+xxyy)
　= (6-2q)/(5-2q+qq) = k,
よって
　-(√2 - 1)/2 < k ≦ (√2 + 1)/2,

　最大は q = (√2 - 1)^2　のとき
　最小は q = (√2 + 1)^2　のとき
0114１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/02/05(水) 21:29:49.64
入試問題や模試や大学への数学などから持ってきますた。（じゅー）

[1]
　|z+1/2| < 1/2 のとき
　|1+z+…+z^n| < 1 を示せ。 (東工大前期)

[2]
xx+yy+zz=1 のとき
　(1) (x-y)(y-z)(z-x)
　(2) (2x-y)(2y-z)(2z-x)
の取りうる最大の値を求めよ。 (大数宿題)

[3]
a,b,c>0, a+b+c+abc=4 のとき
　a+b+c ≧ ab+bc+ca を示せ。(大学宿題)

[4]
(xx+yy)^2 = xx-yy のとき
x+y の取りうる最大の値を求めよ。(早大プレ)

ｷｬｽﾌｨｰ! - 高校数学 - 不等式２ - 170
0115ななし
垢版 |
2014/02/05(水) 21:50:26.43
>>114 [3]

　a+b+c=s, ab+bc+ca=t, abc=u とおく。
　s<3 と仮定すると、相加-相乗平均で u<1 となり題意を満たさない。
∴　3 ≦ s < 4,

　4s(s-t) = -s^3 +4ss -9u + F_1(a,b,c)
　　　　　= -s^3 +4ss -9(4-s) + F_1(a,b,c)
　　　　　= (4-s)(s-3)(s+3) + F_1(a,b,c)
　　　　　≧ 0,
ここに
　F_1(a,b,c) = s^3 -4st +9u ≧ 0,　(Schur)
0116ななし
垢版 |
2014/02/07(金) 20:38:22.91
>>114

[1]　zは中心-1/2, 半径1/2 の円内にある。
　　|z| ≦ |z +1/2| + 1/2 < 1,
また、|z|^2 = zz~ = (z +1/2)(z~ +1/2) -1/4 -(z+z~)/2 < -(z+z~)/2,
∴　|1 - z^(n+1)| ≦ 1 + |z|^(n+1)
　　< 1 + |z|^2
　　< √(1+3|z|^2)
　　< √{1 -(z+z~) +zz~}
　　= √{(1-z)(1-z~)}
　　= |1-z|,

[2]　(1)　x≦y≦z とする。
　(x-y)(y-x) ≦ (1/4)(z-x)^2,
　　　等号は y=(x+z)/2 のとき。
　∴ (x-z)^2 =　2{xx + [(x+z)/2]^2 + zz - (3/4)(x+z)^2}
　　　　　　 ≦ 2{(xx+yy+zz) - (3/4)(x+z)^2}
　　　　　　 =　2{1 - (3/4)(x+z)^2}
　　　　　　 ≦ 2,
　　　等号成立は (x,y,z) = (-1/√2, 0, 1/√2)
　(左辺) ≦ (1/4)(z-x)^3 ≦ 1/√2,
下限も同様に

[4]　軸を45ﾟ回す。
　u = (x+y)/√2,　v = (x-y)/√2,
与式は
　(uu+vv)^2 - 2uv = 0,
ここで、du/dv=0, とおくと、
　2v(uu+vv) -u = 0,
　u = 8v^3 = (√3)v,
　(u, v) = (±√{(3√3)/8}, ±√{(√3)/8})
　2(uu+vv) = u/v = √3,
0117ななし
垢版 |
2014/02/07(金) 21:06:57.69
>>114 [4]

連珠形とか、Jakob Bernoulli のレムニスケート（Lemniscate）
というらしい....
0118ななし
垢版 |
2014/02/09(日) 18:15:15.66
>>115

出題者によれば
”今のところ、対称性を崩さない綺麗な証明は見つかっていない。”

　Schur不等式にもそのまま言えそう...
0119115
垢版 |
2014/02/11(火) 22:14:41.65
>>118

F_1(a,b,c) = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(c-a) + c(c-a)(c-b)
　　= (ab+ca)(a-b)(a-c)/(b+c) + ･････
　　= ab{(a-b)(a-c)/(b+c) + (b-c)(b-a)/(c+a)} + ･･････
　　= {ab(aa-bb)^2 + bc(bb-cc)^2 + ca(cc-aa)^2}/{(a+b)(b+c)(c+a)}
　　≧ 0　　　　　　　　　　　　　　　　　（じゅー）
0120１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/02/11(火) 23:21:48.73
x^3+y^3+z^3=1 (x,y,z>0)の時
xxy+zzxの取りうる最大値を求めよ
(東進数学コンクール)

結局スマートな解法が思いつかないまま〆切を迎えてしまいました
0121１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/02/12(水) 22:54:44.26
過去問でつが……

〔問題908〕
　正の実数 a,b,c に対して、次を示してくださいです。
　{(a+b+c)(aa+bb+cc)}^2 ≧ 27abc(a^3 +b^3 +c^3),

　2ch - 数学板 - 不等式スレ６ - 908
　ｷｬｽﾌｨｰ! - 高校数学 - 不等式１ - 964
0122１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/02/15(土) 12:56:22.22
120 Chebyshev kills it
We could see a Golden Section
0123１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/02/16(日) 15:57:03.91
>>121

　(a+b+c)(aa+bb+cc) = S+p+q,
ここに
　S = aaa + bbb + ccc,
　p = aab + bbc + cca,
　q = abb + bcc + caa,

　(左辺) = (S+p+q)^2
　　　≧ 9(Spq)^(2/3)
　　　≧ 9(SS･27SU)^(1/3)　　　　(← 補題)
　　　= 27Su,
ここに
　　S = aaa + bbb + ccc,
　　T = (ab)^3 + (bc)^3 + (ca)^3,
　　U = u^3 = (abc)^3,


〔補題〕
　pq ≧ 3(3STU)^(1/3) ≧ 3√(3SU),

(略証)
　pq = (aab+bbc+cca)(abb+bcc+caa)
　　 = T + uS + 3uu
　　 ≧ 3(3STU)^(1/3)
　　 ≧ 3√(3SU),　　　{← T≧√(3SU)}
0124１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/02/16(日) 16:05:17.43
>>123

〔補題〕
　pq ≧ T + 2√(3SU) ≧ 3√(3SU),

(略証)
　pq = (aab+bbc+cca)(abb+bcc+caa)
　　 = T + uS + 3uu
　　 ≧ T + 2√(3SU)
　　 ≧ 3√(3SU),　　　{← T≧√(3SU)}
0127１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/02/20(木) 20:58:32.81
〔問題179〕
x,y,z>0、xyz=1 のとき、
[Easy]
　xx+yy+zz ≧ 3 + 2(x-1)(y-1)(z-1),
[Hard]
　xx+yy+zz ≧ 3 + 2(1-x)(1-y)(1-z),
を示してくださいです。
[Hard] は [Easy] と比較して難しいかなぁって感じでつ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　（じゅー）

　ｷｬｽﾌｨｰ! - 高校数学 - 不等式２ - 179
0128ななし
垢版 |
2014/02/20(木) 21:12:45.27
>>127

Easy の方は
　(左辺)−(右辺) = (x+y+z+1)(x+y+z-3) - 2(xyz-1) ≧ 0 だが...
0129ななし
垢版 |
2014/02/21(金) 19:15:17.77
>>127

　x+y+z = s,
　xy+yz+zx = t,
　xyz = u,
とおくと Hard の方は
　(左辺)−(右辺) = (ss-2t) -3 +2(u-t+s-1)
　　 = (ss-4t) +2(u-1) +2s -3
　　 = {F_1(x,y,z) -9u}/s + 2(u-1) +2s -3
　　 = {F_1(x,y,z) +(2s-9)(u-1) +(s-3)(2s+3)}/s
　　 ≧ 0,　　　　　　　　　　　（天ぷら）
ここに
　F_1(x,y,z) = x(x-y)(x-z) + y(y-z)(y-x) + z(z-x)(z-y)
　　 = sss -4st +9u ≧ 0,　（Schur）
0132１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/03/01(土) 12:30:14.33
　　∧＿∧
　　( ;´∀｀)　＜興奮してきた…
　 人　Y　/
　(　ヽ し
　（＿）＿）
0133１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/03/01(土) 18:40:56.44
>>131 (2014年JMO本選)

〔問題5.〕
不等式
　a/{1+9bc+4(b-c)^2}　+ b/{1+9ca+4(c-a)^2} + c/{1+9ab+4(a-b)^2} ≧ 1/2,
が a+b+c=1 をみたす任意の非負実数a,b,cに対して成り立つことを示せ。
0135１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/03/05(水) 21:41:46.78
>>133

a+b+c=s のとき、コーシーにより、
　{a[ss+9bc+4(b-c)^2] + b[ss+9ca+4(c-a)^2] + c[ss+9ab+4(a-b)^2)]}(左辺)
　　≧ (a+b+c)^2 = ss,
よって
　(左辺) ≧ ss/{sss+27abc+4[s(ab+bc+ca)-9abc]}
　　= ss/{sss +4s(ab+bc+ca) -9abc}
　　≧ ss/(2sss)　　(← Schur)
　　= 1/(2s),　　　　(じゅー)
0136１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/03/09(日) 23:29:23.76
この『じゅー』って今年阪大挑戦枠受かった子？
0139１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/03/10(月) 08:24:33.61
阪大の合格発表見たけど
数学挑戦枠の合格者一人だけだった
去年に引き続きなかなかエグい試験だったってことだな
0141prime_132
垢版 |
2014/03/15(土) 21:42:02.66
いちょう祭が楽しみ...♪

ちなみに小生は学科違いの S53入、S59院卒 だが何か？
0145ななし
垢版 |
2014/03/24(月) 20:20:36.02
>>143

s,t,u を >>115 のようにおく。
　t<3 と仮定すると、相加-相乗平均で u<1 となり題意を満たさない。
∴　3 ≦ t < 4,

s≧4 のときは明らか。
s<4 のとき
　(4s+9)(s-t) = -s^3 +4ss +9(s-t-u) + F_1(a,b,c)
　　　= -s^3 +4ss +9(s-4) + F_1(a,b,c)
　　　= (4-s)(s-3)(s+3) + F_1(a,b,c)
　　　≧ 0,　　　　(← s≧√(3t)≧3)
ここに
　F_1(a,b,c) = s^3 -4st +9u ≧ 0, (Schur)
0146１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/03/29(土) 01:38:18.83
>>120

相加-相乗平均
　axxx + axxx + yyy ≧ (1/k)xxy,
　(1-2a)xxx + zzz/2 + zzz/2 ≧ (1/k)xzz,
を辺々たすと
　xxx+yyy+zzz ≧ (1/k)(xxy+xzz),

係数を比べて、
　aa = (1-2a)/4 = 1/(3k)^3,
aを消すと、
　k = (1/3)(1+√5)^(2/3) = 0.729273617

casphy - highmath - 不等式２ - 173-174
//twitter.com/Inequaltybot/　[181]
0147１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/01(火) 22:21:02.29
正数x,y,zが xyz = 1 のとき
　x^3 + y^3 + z^3 + 1/x^3 +1/y^3 + 1/z^3 - 6*( x/z + y/x + z/y ) +12 ≧0


って成り立ちますか？
0149１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/05(土) 21:17:36.82
正変数a_1, a_2, ・・・, a_n について A_n = (a_1+a_2+・・・+a_n)/n , G_n = (a_1*a_2*・・・*a_n)^(1/n) とするとき

　n(A_n-G_n) ≧ (n-1)(A_(n-1) - G_(n-1))

が成り立つそうなのですがどう示されるのでしょう
0150１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/07(月) 20:05:40.74
(a^4+b^4+c^4)^3≧(a^3+b^3+c^3)^4ってどうやって示せばいいんだっけ
0151１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/07(月) 20:26:10.23
頭わるそうなやり方だけどlog取って12で割って増減調べりゃいいんじゃない
0154１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/04/14(月) 01:07:10.40
〔問題〕
a,b,c>0 に対して、次を示してくださいです。
　(a+b+c)^2･(a+b)(b+c)(c+a) ≧ 24abc(aa+bb+cc),

　//twitter.com/Inequalitybot/ [196]
0157１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/04(日) 03:05:01.23
　2sinθ + tanθ > 3θ,
これは Snellius-Huygensの不等式として知られている。

この不等式で θ= π/4 - π/6 = π/12 として
　sinθ = sin(π/4 -π/6) = (√3 -1)/(2√2),
　tanθ = tan(π/4 -π/6) = 2-√3,
を使えば
　4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)} > π,

√2 + √3 = 4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)} + (√2 -1)^2･(2-√3)^2･(√3 -√2)
> 4{(√3 -1)/√2 +(2-√3)}
> π,
　　　　　　　　　　　　　　　　　　ぬるぽ
0158１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/04(日) 03:24:20.18
>>149
a_n = a と略記する。
n･A_n = (n-1)A_(n-1) + a,
n･G_n = n･{G_(n-1) ^(n-1)･a}^(1/n)
　≦ (n-1)G_(n-1) + a,　(←相乗･相加平均)
辺々引く。
　　　　　　　　　　　　　　　　ぬるぽ
0160１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/07(水) 00:25:04.63
>>143-145

(別解)
a,b,c の2つが1以上、または2つが1以下。
a,b をその2つとすると
　4 = (a+b+c) + abc = (a+b)(1+c) + (1-a)(1-b)c ≧ (a+b)(1+c),
　(a+b+c) - (ab+bc+ca) = (a+b){4-(a+b)(1+c)}/4 +(a-b)^2･(1+c)/4 +(1-a)(1-b)c ≧0,

//www.casphy.com/bbs/highmath/ 不等式２ - 170[3] 〜172
//twitter.com/Inequalitybot/ [184]
0161１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/12(月) 21:26:52.73
> 154
f(a,b,c) = (a+b+c)^2 (a+b)(b+c)(c+a) - 24a b c(a^2+b^2+c^2)
とおく。x ≧ 0 のとき、
f(x,1,0) = x (1 + x)^3 ≧ 0
f(x,1,1) = 2(x+1)^2(x-2) ≧ 0
よって、安藤哲哉「不等式」定理2.3.1(2)より f(a,b,c) ≧ 0.

ところで、同書の記号で
f(a,b,c) = T_{4,1} + 3T_{3,2} + 10 US_{1,1} - 18 US_2
なので、定理2.4.1が使えない。そこで、次の定理を提案する。

定理2.4.1b
f(a,b,c) = T_{4,1} + p T_{3,2} + q US_2 - (2+2p+q) US_{1,1}
とおく。任意の非負実数 a,b,c に対して f≧0 となるための必要十分条件は
次の(1)と(2)が成立することである。
(1) p ≧ -1
(2) 2p+q+4 ≧ 0 または (2p+q)^2 + 8q ≦ 0
0162１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/12(月) 21:27:39.56
> 154
f(a,b,c) = (a+b+c)^2 (a+b)(b+c)(c+a) - 24a b c(a^2+b^2+c^2)
とおく。x ≧ 0 のとき、
f(x,1,0) = x (1 + x)^3 ≧ 0
f(x,1,1) = 2(x+1)^2(x-2) ≧ 0
よって、安藤哲哉「不等式」定理2.3.1(2)より f(a,b,c) ≧ 0.

ところで、同書の記号で
f(a,b,c) = T_{4,1} + 3T_{3,2} + 10 US_{1,1} - 18 US_2
なので、定理2.4.1が使えない。そこで、次の定理を提案する。

定理2.4.1b
f(a,b,c) = T_{4,1} + p T_{3,2} + q US_2 - (2+2p+q) US_{1,1}
とおく。任意の非負実数 a,b,c に対して f≧0 となるための必要十分条件は
次の(1)と(2)が成立することである。
(1) p ≧ -1
(2) 2p+q+4 ≧ 0 または (2p+q)^2 + 8q ≦ 0
0163１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/13(火) 05:50:13.76
ついでに、S_5 と T_{4,1} の係数が 0 の場合は以下の通りです。

定理2.4.1c
f(a,b,c) = T_{3,2} + q US_2 - (2+2p+q) US_{1,1}
とおく。任意の非負実数 a,b,c に対して f≧0 となるための必要十分条件は
q ≧ -2

ここで(上の投稿を含めて)
T_{i,j} = Σ a^i b^j (6項対称和)
S_{i,j} = Σ a^i b^j (3項巡回和)
U = abc
0164１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/05/28(水) 03:56:36.47
B4638、B4640、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201405&t=mat&l=en

A616、B4626、B4628、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201404&t=mat&l=en

B4620、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201403&t=mat&l=en

A609、B4606、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201402&t=mat&l=en

A605、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201401&t=mat&l=en

B4585、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201312&t=mat&l=en

A593、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201309&t=mat&l=en

C1168、http://www.komal.hu/verseny/feladat.cgi?a=honap&;h=201304&t=mat&l=en


＿|　::|＿
￣|　::|／|　　　　　　　　　　 ┌──┐
　 |　::|　 |　　　　　.┌──┐| ∧＿∧　　いいな、俺たちの誰かが殉職したら･･
／|＿|　 |┌──┐| ∧＿∧|(・ω・｀ )
　 |文|　 | |　∧＿∧（　　　　）⊂　　　）
　 |￣|　 | | （　　　　）⊂　　　） （＿Ο Ο　:::
　 |　::|　 | | ⊂　　　） （＿Ο Ο　わかってる、生き延びた奴が
　 |　::|／ .|_　（＿Ο Ο　::::::::: :::::: 不等式を収集し、証明する !
　 |　::|　:::::::::::::::::::::::::::::::: 俺たちゃ死んでも仲間だぜ !!
0166１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/06/27(金) 23:17:34.18
>>165
ジュンク堂にあったので買ってきた。

大学入試問題から題材を取っているので、
このスレの不等式の囚人どもには目新しいものはないけど、
考え方や知識の整理にはちょうどよいかな。
おすすめ。

>>2 に追加
[9] 思考力を鍛える不等式（大学への数学・別冊）、栗田哲也、東京出版、2013
0167１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/07/06(日) 07:21:38.15
> このスレの不等式の囚人どもには目新しいものはないけど
目新しいものがほしい人には、
http://www.math.s.chiba-u.ac.jp/~ando/alg_ineq.pdf
の定理2.4.1c〜命題2.4.1f はいかがですか。
なお >162, 163の定理2.4.1a, bは命題2.4.1g, hに変更して証明も変えました。
0168１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/07/17(木) 02:05:03.70
質問なんだが立体の一つの頂点に集まる角度の総和が360ﾟ未満ってどう証明したらいい?
例えば立方体だと90+90+90=270
0171１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/07/17(木) 04:04:17.35
すまん、読んでみたけど…
0173１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/07/17(木) 04:21:50.42
リーマンの不等式、またの名をリーマンの半分age
0174狸 ◆2VB8wsVUoo
垢版 |
2014/07/17(木) 05:30:15.28
狸

>6 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/07/15(火) 20:00:03.07
> [>>1]の親は強制的に[>>1]を集団から隔離するべし.
>
>660 名前：KingMathematician ◆LoZDre77j4i1 ：2014/07/15(火) 20:02:50.12
> Re:>>658 (10+a)(10+b)=100+10(a+b)+ab.
>
0175１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/07/31(木) 14:46:29.19
分数の不等式とかを証明するときに、項ごとに評価してそれらを加えたらできた！ってのを見たことがあるけど、
そんなやりかたで証明するときって、どうやって気づくんだろうか？
0180１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/08/10(日) 23:37:22.74
関数f(x)は導関数f’(x)および第2次導関数f’’(x)をもち，
区間0 ≦ x ≦ 1において， f(x)>0, ｛f’(x)｝＾2 ≦ f(x)f’’(x) ≦ 2 ｛f’(x)｝＾2 を満たしている
f(0)=a，f(1)=bとするとき，次の不等式を示せ．
(1)f ( 1／2 ) ≦ （a+b）／2
(2)f ( 1／3 ) ≦ （a^2b）＾（1／3）
(3)f ( 1／4 ) ≧ （4ab）／（a+3b）
(4)∫［0^1］f(x) dx ≦ （a／4）+（√ab／2）+（b／4）
0182１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/08/11(月) 10:35:16.82
悪代官「わしは、何より不等式が好きでの」
越後屋「あはは、不等式はかの色に限りますなあ」
悪代官「はてさて、かの色とな？」
越後屋「今回はかように取り揃えました」
悪代官「ほー、今回はまた一段と」
越後屋「お目に叶ってなによりでｗｗｗｗｗ」
0183１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/08/14(木) 02:57:28.50
x、y、z > 0 のとき、xyz/{(xy+2)(2yz+3)(3yz+1)} のとりうる値の範囲を求めよ。

( ﾟ∀ﾟ)ﾌﾟｹﾗｯﾁｮ！
0185１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/08/14(木) 17:53:02.88
>>183,184
x、y、z > 0 のとき、xyz/{(xy+2)(2yz+3)(3zx+1)} のとりうる値の範囲を求めよ。
の書き間違えじゃないか？
0186１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/08/14(木) 18:33:21.25
(xy+2)(2yz+3)(3zx+1)≧48xyz 等号はx=2/3, y=3, z=1/2の時成立
xyz→+0の時0に収束
ゆえに
0<xyz/{(xy+2)(2yz+3)(3zx+1)}≦1/48
0187１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/08/14(木) 20:13:24.03
>>185
( ﾟ∀ﾟ) ｽﾐﾏｾﾝ、ご指摘の通り、分母の３つ目はyzじゃなくてzxですた。

>>186
正解です。エレガントなやり方ありましたか？
0191１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/08/16(土) 00:34:06.59
>>189
今年の滋賀医科大の入試問題らしい
0192１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/08/16(土) 01:36:17.24
>>190
(a1^2 + a2^2 + … + an^2)(a2^2 + … + an^2+a1^2)≧(a1a2+a2a3+…ana1)^2
より
(a1^3/a2 + a2^3/a3 + … + an^3/a1)(a1^2 + a2^2 + … + an^2)
≧(a1^3/a2 + a2^3/a3 + … + an^3/a1)(a1a2+a2a3+…ana1)
≧(a1^2 + a2^2 + … + an^2)^2

(コーシー)
0194１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/08/16(土) 20:43:09.24
>>188
f"≧0
(logf)"=(f'/f)'=(ff"-f'f')/ff≧0
(1/f)"=(-f'/ff)'=(2f'f'-ff")/fff≧0
より
(1)f(1/2)≦(1/2)(f(0)+f(1))
(2)logf(1/3)≦(2/3)logf(0)+(1/3)logf(1)
(3)4/f(4)≦3/f(0)+1/f(1)
(Jensen)
これらを整理する
(4)は凸性ゆえ
(左辺)≦(1/4)(f(0)+f(1/2))+(1/4)(f(1)+f(1/2))≦(右辺)
最後はJensenを用いた
0195１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/08/20(水) 20:33:15.56
なんでニコニコ大百科にウィキペディアより詳細なシュールの不等式の記事があるんだよ
0198１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/08/21(木) 22:09:46.08
こんなんja.wikipediaに書いたら
wikipediaは数学書じゃないから証明の必要性が云々とか
独自研究ガーとかいう奴が出て来て全削除とかされかねないもんな
0199１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/08/24(日) 15:43:56.20
>>179
いま気づいたがこれは大数の学コンの問題の一部だな
このカス野郎が
そんなにまでして良い点とりたいか？
0200１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/08/24(日) 22:30:33.72
この程度で苦労するなら良い点なんか取れないって
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