コラッツ予想がとけたらいいな

レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
1132人目の素数さん2012/10/14(日) 10:32:39.71
525 名前:132人目の素数さん[sage] 投稿日:2012/09/03(月) 18:24:27.22
http://d.hatena.ne.jp/righ1113/
コラッツ予想について、証明を考えてみました。
ご指摘ご意見ご感想など、ぜひよろしくお願いします。

952righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/09(水) 23:36:49.21ID:7BmXVyBb
>>950
家のネットが一時的に直ったのでGitHub更新しました。

これにて完了?かな?

953132人目の素数さん2018/05/10(木) 00:04:24.40ID:vsrY1r+A
>>1乙です
手間じゃなければ例えば100以下の奇数に対してとかの実行結果もGitHubに上げてほしいです。
そうすれば>>786とか他の人も参照できるだろうし。

954132人目の素数さん2018/05/10(木) 00:15:42.09ID:vsrY1r+A
まあそれよりも>>786のOKをもらうのが先ですかね?

955786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/10(木) 00:32:43.38ID:Ws8+Hi53
いやー手計算でn=19とかでひーこら言ってるところにあっさり73とか言われると
さすがにプログラムの力を思い知らされますねえ。
>>1乙です。
p=21 は大丈夫そうですね。p=73 はあとでじっくり見てみます。

>>949
証明できたことは凄いですけど、
「予想が成り立つのが凄い」という意味で言ってるんであれば、
それは全然不思議ではありません。

というのも、>>786で書いた通り
 この予想が成り立たない⇒コラッツ予想が成り立たない
なので、簡単に反例が見つかる方がおかしいのです。

956righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/10(木) 00:42:26.14ID:PifpSnv4
>>955
ところで、「全てのn,kでa≡k (mod n)が成り立つ→コラッツ予想は真」
って証明あるのですか?
あるなら見てみたいです。

957786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/10(木) 00:51:20.30ID:Ws8+Hi53
>>956
うーん、ないですね。
それは成り立たないんじゃないかと思っています。
もし成り立つなら、>>786はコラッツ予想と同値になるので一気に>>786の重要度が増すんですがw
逆であれば、>>786に書いた通り成り立ちます。

958righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/10(木) 00:56:11.87ID:PifpSnv4
そうですかー残念です……

959righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/10(木) 10:03:31.78ID:PifpSnv4
「コラッツ予想は、初期値が n で割って k 余る数場合だけ調べれば十分」
というのは、初期値が1になるまで調べるのか、
初期値が自身より小さくなればOKなのか、
どちらだろう?

960132人目の素数さん2018/05/10(木) 10:17:56.58ID:BIiTzrxa
nは奇数に限るのかな?
8m+5と2m+1は同じ数に移るから8m+5(n=8,k=5)は調べなくて良い、のような例はあるんじゃないかな

961132人目の素数さん2018/05/10(木) 12:04:57.68ID:8H649Ca+
n=pとn=qで予想が成り立つ => n=pqで予想が成り立つ
が言えたら面白そう

962786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/10(木) 18:30:14.35ID:Ws8+Hi53
>>959
1になるまで調べる、ですね。
実際に一つずつ調べるんであれば、もちろん「既に調べた数が得られるまで」とするのが自然かと思います。

>>960
奇数だけ扱っているのは、>>806によって偶数は奇数に帰着されるからです。
8m+5 と 2m+1 は両方とも 3m+2 に移るから 3m+2 を調べれば十分、という具合です。

>>961
これが言えれば素数だけ示せばよくなるのでだいぶ楽になりますね。
n=p, n=q と n=pq の間に何かしら繋がりがありそうな感じはしますが、まだよく分かりません。

963132人目の素数さん2018/05/10(木) 18:45:17.78ID:8H649Ca+
プログラムの実行結果からn=p,n=q,n=pqの関係を考察できそう?

964132人目の素数さん2018/05/10(木) 19:48:27.73ID:vsrY1r+A
やっぱプログラムの実行結果公開してほしいなぁ。
>>1頼んます。

965righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/10(木) 20:00:51.88ID:ogyKPvh0
5以上100以下の奇数とか、やってみます?

966132人目の素数さん2018/05/10(木) 20:01:52.46ID:vsrY1r+A
>>965
そうですね。とりあえずそれで。
頼んます。

967righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/10(木) 20:46:51.95ID:ogyKPvh0

968132人目の素数さん2018/05/10(木) 20:50:34.18ID:vsrY1r+A
おお、仕事速いすな。
乙です。
さてここから何か見つかるか…

969132人目の素数さん2018/05/10(木) 20:56:15.68ID:vsrY1r+A
うーん。
パッと見では法則は見えないですな。
まあそりゃそうか。

970132人目の素数さん2018/05/10(木) 21:01:05.73ID:vsrY1r+A
3の倍数が比較的計算長くなるのかな?

971132人目の素数さん2018/05/10(木) 21:13:16.97ID:vsrY1r+A
>>805によれば
2が原始根かどうかとmod 3 の値がなにか
あたりがミソになるのかなぁ

972132人目の素数さん2018/05/10(木) 21:30:47.57ID:vsrY1r+A
100以下の素数に対して2が原始根か?とmod 3の値、一覧

3 true 0
5 true 2
7 false 1
11 true 2
13 true 1
17 false 2
19 true 1
23 false 2
29 true 2
31 false 1
37 true 1
41 false 2
43 false 1
47 false 2
53 true 2
59 true 2
61 true 1
67 true 1
71 false 2
73 false 1
79 false 1
83 true 2
89 false 2
97 false 1

973132人目の素数さん2018/05/10(木) 21:44:24.17ID:vsrY1r+A
10000くらいまでデータ欲しいかもw
でも計算量的に厳しいですよね?

974786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/10(木) 21:47:00.38ID:Ws8+Hi53
>>967
ありがとうございます!
いろいろ見てみます!

ID:vsrY1r+A もいろいろと意見をありがとう。
3 の倍数に限らず、合成数なら比較的長くなると思われます。
また、素数でも 31 なんかはかなり長くなっています。
これは、2 の累乗がすぐに 1 になってしまう (2^5≡1 (mod 31)) ということに起因していると思われます。
127 なんかはどうなることやら。

975786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/10(木) 21:48:23.32ID:Ws8+Hi53
…ところで、プログラムにまだ無駄があって、改良版を考えたので実装してほしい、って言ったら怒る?

976132人目の素数さん2018/05/10(木) 21:52:09.17ID:vsrY1r+A
>>975
ワロスww

977righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/10(木) 21:56:16.76ID:ogyKPvh0
>>973
実はこっそりp=999をやっていたのですが、7時間ぐらいかかったもので。

>>975
またまたご冗談をw

978786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/10(木) 21:57:31.80ID:Ws8+Hi53
あ、無駄があるのはプログラムではなくアルゴリズムですね。
>>1のプログラムではなく私の理論に問題があったということです。

979132人目の素数さん2018/05/10(木) 22:11:26.75ID:vsrY1r+A
まあ修正がどれだけ手間かかるか、感触確かめるだけでもやってもらったらどうですかね?
あんまり大変な様なら諦めるとか

980righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/10(木) 22:14:19.85ID:ogyKPvh0
次スレ立てました。

コラッツ予想がとけたらいいな その2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1525957823/

981132人目の素数さん2018/05/10(木) 22:15:37.25ID:vsrY1r+A
>>980

982786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/10(木) 22:22:48.42ID:Ws8+Hi53
>>980



とりあえず置いときます。
現行のものをちょっと並び変えて縮めた感じです。


n を 5 以上の奇数とする。

(1) Z/nZ において、2 を何回かかけることによって移りあう元を同じグループとして A1,A2,… とグループ分けする。

(2) A1,A2,… のうち一つを選び A' とする。
以下の操作を全て終えた後、まだ選んでない A' の候補があれば A' を取り換えてまたここからやり直す。
A' の候補が残っていなければ操作を終了する。

(3) Z/3nZ において、
「3 の倍数でも n の倍数でもなく、mod n で見た時 A' に属さない」
という条件を満たす数について、(1) と同様に B1,B2,… とグループ分けする。

(4) A' の各元 a に対し、3a+1 がどの Bi に属すかを見る。(どの Bi にも属さないこともある)
現れた Bi を記録していく。被った場合、改めて記録しなくてもよい。

(5) (4) で全ての Bi が現れれば操作を終了する((2)に戻る)。
一度も現れなかった Bi があれば、
Z/9nZ において、条件
「mod 3n で見た時、(4)で現れていない Bi に属する」
を満たす数全体を考え、この数たちを (1) と同様にグループ分けし、C1,C2,… とする。

(6) (4) の A' を「(4) で得られた Bi」に、Bi を Cj に変えて同じことをする。

(7) (5)(6) の B,C をそれぞれ C,D に、n を 3n に、(4) を (6) に変えて同じことする。
以降、同様に繰り返す。

983righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/10(木) 22:26:59.99ID:ogyKPvh0
>>982
ありがとうございます。
とりあえず、じっくり見てみます。

984righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/10(木) 22:38:21.33ID:ogyKPvh0
>>982
前みたいに、n=7での例が欲しいです。

985786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/10(木) 22:53:55.11ID:Ws8+Hi53
>>984
分かりました。しばしお待ちを。

ちなみに、(3)(4) と (5)(6) でやることはほぼ同じなので、
うまくやれば
 (1)→(2)→[(3)(4)の繰り返し]→(2)→[(3)(4)の繰り返し]→…
で済むかもしれません。

986786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/10(木) 23:36:25.51ID:Ws8+Hi53
>>982のアルゴリズムに n=7 の例を併記する。

(1) Z/nZ において、2 を何回かかけることによって移りあう元を同じグループとして A1,A2,… とグループ分けする。


Z/7Z において
A1={0}
A2={1,2,4}
A3={3,5,6}

(2) A1,A2,… のうち一つを選び A' とする。
以下の操作を全て終えた後、まだ選んでない A' の候補があれば A' を取り換えてまたここからやり直す。
A' の候補が残っていなければ操作を終了する。


まずは A'=A1 とする。(以降、(2) に戻るまでほぼ前回の例と同じ)

(3) Z/3nZ において、条件
「3 の倍数でも n の倍数でもなく、mod n で見た時 A' に属さない」
という条件を満たす数について、(1) と同様に B1,B2,… とグループ分けする。


Z/21Z の元で、3 の倍数でも 7 の倍数でもなく、mod 7 で 0 でない数を列挙すると
{1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20}
となり、これをグループ分けすると
B1={1,2,4,8,11,16}
B2={5,10,13,17,19,20}
を得る。

987786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/10(木) 23:37:31.55ID:Ws8+Hi53
(4) A' の各元 a に対し、3a+1 がどの Bi に属すかを見る。(どの Bi にも属さないこともある)
現れた Bi を記録していく。被った場合、改めて記録しなくてもよい。


A1 の元は 0 のみ。
3*0+1=1∈B1 なので、B1 のみ記録する。

(5) (4) で全ての Bi が現れれば操作を終了する((2)に戻る)。
一度も現れなかった Bi があれば、
Z/9nZ において、条件
「mod 3n で見た時、(4)で現れていない Bi に属する」
を満たす数全体を考え、この数たちを (1) と同様にグループ分けし、C1,C2,… とする。


(4) で B2 のみ現れていない。
Z/63Z の元で、mod 21 で B2 に属するような元を列挙すると
{5,10,13,17,19,20,26,31,34,38,40,41,47,52,55,59,61,62}
となり、これをグループ分けすると
C1={5,10,17,20,34,40}
C2={13,19,26,38,41,52}
C3={31,47,55,59,61,62}
を得る。

(6) (4) の A' を「(4) で得られた Bi」に、Bi を Cj に変えて同じことをする。


B1 の元 a に対し、3a+1 が C1,C2,C3 に属するかを見ていく。
C1,C2 が記録される。

988786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/10(木) 23:38:15.14ID:Ws8+Hi53
(7) (5)(6) の B,C をそれぞれ C,D に、n を 3n に、(4) を (6) に変えて同じことする。
以降、同様に繰り返す。


(6) で C3 のみ現れていない。
Z/189Z の元で、mod 63 で C3 に属するような元を列挙すると
{31,47,55,59,61,62,94,110,118,122,124,125,157,173,181,185,187,188}
となり、これをグループ分けすると
D1={31,47,55,59,61,62,94,110,118,122,124,125,157,173,181,185,187,188}
という一つのみのグループを得る。

C1,C2 の元 a に対し、3a+1 が D1 に属するかを見ていく。
C1 の 10 に対して 3*10+1=31∈D1 なので、D1 が記録される。

全ての Di が現れたので、(2) に戻る。

989786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/10(木) 23:38:46.31ID:Ws8+Hi53
(2)

A'=A2={1,2,4} とする。

(3)

Z/21Z の元で、3 の倍数でも 7 の倍数でもなく、mod 7 で 1,2,4 でない数を列挙すると
{5,10,13,17,19,20}
となり、これをグループ分けすると
B1={5,10,13,17,19,20}
という一つのグループのみを得る。

(4)

4∈A2 で、3*4+1=13∈B1 なので、B1 が記録される。

全ての Bi が現れたので、(2) に戻る。

(2)

A'=A3={3,5,6} とする。

(3)

Z/21Z の元で、3 の倍数でも 7 の倍数でもなく、mod 7 で 3,5,6 でない数を列挙すると
{1,2,4,8,11,16}
となり、これをグループ分けすると
B1={1,2,4,8,11,16}
という一つのグループのみを得る。

(4)

5∈A2 で、3*5+1=16∈B1 なので、B1 が記録される。

全ての Bi が現れたので、(2) に戻る。

A' の候補が残っていないので、操作を終了する。

990786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/10(木) 23:40:32.66ID:Ws8+Hi53
例は長くなりましたが、全体の計算量は減っている…はずです。

991righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/10(木) 23:51:12.88ID:PifpSnv4
乙であります!

992786 ◆5A/gU5yzeU 2018/05/11(金) 00:11:37.79ID:OFsS5uwl
あ、すいません。
(3) に以下を追加でお願いします。

もし条件に当てはまる数が無ければ操作を終了する((2)に戻る)。

993132人目の素数さん2018/05/11(金) 20:23:13.02ID:b0n49LZW
こっち埋めてしまいます?

994righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/11(金) 20:26:01.86ID:SBH2/eHc
埋めましょう。

995righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/11(金) 20:29:19.49ID:SBH2/eHc
過ごしやすい季節ですなあ。

996righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/11(金) 20:31:07.05ID:SBH2/eHc
今日は油そばを食べました。おいしかったです。

997righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/11(金) 20:32:50.82ID:SBH2/eHc
PCの電源が突然切れる病気にかかって、大変ですよ。

998righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/11(金) 20:34:24.77ID:SBH2/eHc
とうとうプリンターが使えなくなってしまいました。

999righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/11(金) 20:36:52.62ID:SBH2/eHc
このスレ6年か……
色んな事がありました。

1000righ1113 ◆OPKWA8uhcY 2018/05/11(金) 20:37:51.85ID:SBH2/eHc
1000ゲット!

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