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急いでいる問題はここに書いてね 1
レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
0001１３２人目の素数さん
垢版 |
2012/02/04(土) 20:45:32.43
急いでいる問題はここに書いてね。
0874１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/10/26(日) 23:51:19.24
日曜夜のこんな時間に申し訳ありません。
杉浦Ⅰの55ページからの質問です。
「
D⊂R^n , f:D→R^m , a∈D に対し次の a)-b) は互いに同値である

a) lim_x→a f(x) = f(a) が存在する

b) lim_x→a,x≠a f(x) が存在してf(a)に等しい

【証明】
a)⇒b)については
a) a∈D ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈D: |x-a|<δ⇒|f(x)-f(a)|<ε
b) a∈D ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈D: 0<|x-a|<δ⇒|f(x)-f(a)|<ε
であることから成立つ。

b)⇒a)については
x=aのときf(x)-f(a)=0だからb)が成立てば、当然a)も成立つ。
【証明終了】
」

についてですが
a)⇒b)についてですが、
a)でx≠aの場合には
当然それはb)そのものだからb)が成立ち、
x=aの場合にはb)の仮定が成立たないことによりb)が成立つ
・・・という寸法なのでしょうか？　分かりません。

b)⇒a)については、もうさっぱり何いってるか分かりません。
b)が成立ってるならx≠aじゃないんですか？
0875１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/10/27(月) 00:40:15.49
文脈を勝手に想像すると、
一般に関数がaで収束していてもf(x)->f(a)とは限らない
で、この定理はf(x)->f(a)が同値になる場合の性質を示している

(a)は単にf(x)->f(a)という前提を述べているだけ
(b)を見ると、このときはf(a)の近傍では任意のxに対して
f(x)->f(a)が成り立つことが分かる。

まあ、言葉で言ってしまえば当たり前のことなんだけど
0876１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/10/27(月) 00:58:45.19
これ、
a) aでfが連続であることの定義
と
b)
とは同値ですよ、という定理の証明なんです。
0877１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/10/27(月) 01:22:33.21
a)⇒b)ではb)を証明したいんだからx=aを考える必要はない

b)⇒a)ではa)を証明したいんだからx=aを考える必要がある
0878１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/10/27(月) 01:28:30.00
ありがとう！！
起死回生の一撃
一日無駄にせんですみました！
ほんとにありがとう
0879１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/10/27(月) 22:36:55.34
>>875-877
のヒントで解ったという状況が、
よく理解できないのだが…
lim_x→a,x≠a f(x) という変則的な記号の
定義を εδ式で書くことはできたのだろうか？
それができたなら、簡単なのだが。
0882１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/11/02(日) 14:08:12.86
県立図書館に女子ウォッチ‥勉強しにいく予定でしたが
雨降ってるので取りやめ、おとなしく自宅で勉強はじめたら
いきなり関数論の練習問題が分からず後悔しています。
助けてもらえないでしょうか？

次の極限値を調べよ
ただしz=a+bi で a=Re(z), b=Im(z), z~=a-bi と表す

1) lim_z→∞ Re(z)/(|z^2|+1)

2) lim_z→0 (|z|^2)/(2z+z~)

1)、2)、ともに答えは 0 です。


私が解こうとすると
1)=lim_z→∞ a/[{(a^2-b)^2+(2ab)^2}^{-(1/2)} +1]
2)=lim_z→0 (a^2+b^2)/(3a+bi)
みたいに汚くなって止まりました。
（ｚをｚのまま取り扱うのかしれませんが知恵足らずで分かりません）
0883１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/11/02(日) 14:47:40.23
>>882
z=a+biとして考えると、z→0というのはa,bを同時に0に近づけることになるが、
これは取り扱いがややこしいので、極形式z=re^(iθ)でr→0として考えるほうが面倒がない。

また、それ以前の話として1）の変形は恐らく何か間違えている。
0884１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/11/02(日) 15:07:35.69
＞1）の変形は
あっほんとだ、すみません、|z^2|と|z|^2をゴッチャにしてます

＞極形式z=re^(iθ)でr→0として考えるほうが面倒がない。
便利なこと聞きました。ありがとうございます。
オイラーの公式はまだページ的に出てきてないんで
ｚ=r(cosθ+isinθ)で→∞ やr→0として考えるようにします。
すると…
1)=lim_r→∞ cosθ/{r(cosθ+isinθ)+1/r}=0
2)=lim_r→0 r/(3cosθ+isinθ)=0
でいいのでしょうか？
0885１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/11/02(日) 15:28:55.22
>>884
2)はいいが、1）は計算を間違えている。
ｚ=r(cosθ+isinθ)として、これを2乗したらどうなって
それの絶対値がどうなるか確認した方がいい。というのは
＞|z^2|と|z|^2をゴッチャ
といってるが、実際は|z^2|=|z|^2だから。
0886１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/11/02(日) 16:02:17.38
ご親切、ありがとうございました。

1)=lim_r→∞ cosθ/{ r |(cosθ+isinθ)^2| + 1/r }

=lim_r→∞ cosθ/{ r (cosθ+isinθ)^2 + 1/r }

=lim_r→∞ cosθ/{ r (cos2θ+isin2θ) + 1/r }　　… ド・モアブルの公式

=0
0888１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/11/02(日) 16:13:38.46
よくかんがえたら、これも間違えてました

1)=lim_r→∞ cosθ/{ r |(cosθ+isinθ)^2| + 1/r }

=lim_r→∞ cosθ/{ r |(cos2θ+isin2θ)| + 1/r }　　… ド・モアブルの公式

=lim_r→∞ cosθ/{ r {(cos2θ+isin2θ)(cos2θ-isin2θ)}^(1/2) + 1/r }

=lim_r→∞ cosθ/{ r {(cos2θ)^2+(sin2θ)^2)}^(1/2) + 1/r }

=lim_r→∞ cosθ/{ r 1^(1/2) + 1/r }

=lim_r→∞ cosθ/{ r + 1/r }

=0


本当にありがとう！
男同士の日曜日もいいものですね
0889１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/11/20(木) 23:59:54.62
|an(z-a)^n|＜1
のとき Σ|an(z-a)^n| が収束することの説明って
どうしたらいいんですか？

|an(z-a)^n|＜1-ε<1 (∀n∈N)
なる正数εが取れれば
Σ(1-ε)^n が収束することより、
比較定理により
Σ|an(z-a)^n| が収束する
と示せますが、
全てのnにわたって成立する
そのような都合のよいεを
構成法もなしに勝手に導入していいものか
逡巡しています。
0890１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/11/21(金) 18:32:20.87
えさ
0893１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/11/22(土) 10:02:57.71
>>888
遅レスだが、1) は、
0≦｜Re(z)｜≦｜z｜ から行ったはうがイイ感じ。
高校数学でも、オーダーを意識しろって習ったろ？
2) も、わりと同様。
0894１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/11/22(土) 10:41:04.39
コーシーアダマールの式の証明なんです
最後の一行で止まってるんです　（>>893　はい）

上極限lim~_n→∞ (|an|)^(1/n) をｴﾙとおくとき
R=1/ｴﾙが整級数の収束半径をみたすことの証明

1）　0<ｴﾙ<∞　（0<R<∞）の場合
【|z-a|<Rの場合】
任意の正数εに対してつねに
(1-ε)/(ｴﾙ＋ε) < 1/ｴﾙ　が成り立ち
ε→0　(1-ε)/(ｴﾙ＋ε) → 1/ｴﾙ　であるから
|z-a| < (1-ε)/(ｴﾙ＋ε) < 1/ｴﾙ = R なるεがある
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
上極限の性質により
ｴﾙ < ｴﾙ+εに対して十分大きなすべてのn∈Nに対し
(|an|)^(1/n) < ｴﾙ+ε
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
よって
|an(z-a)^n| = |an||z-a|^n < (ｴﾙ+ε)^n {(1-ε)/(ｴﾙ＋ε)} ^n = (1-ε)^n
を得る
Σ(1-ε)^n は収束するので比較定理により Σan(z-a)^n は収束する

【|z-a|>Rの場合】
|z-a| > 1/(ｴﾙ-ε) > 1/ｴﾙ = R となる正数εをとる
~~~~~~~~~~~~~~~~~~
上極限の性質により
ｴﾙ-ε < ｴﾙ に対してｴﾙ-ε < (|an|)^(1/n) となるn∈Nは無限に存在する
　　　　　　　　　　　　　 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
そのnに対して
|an(z-a)^n| = |an||z-a|^n > (ｴﾙ-ε)^n /(ｴﾙ-ε) ^n = 1
を得る
したがってlim_n→∞ an(z-a)^n≠0　であるからΣan(z-a)^n は収束しない
0895１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/11/22(土) 10:43:22.72
2)　ｴﾙ=∞　（R=0）の場合
z-a≠0 に対し 0<ε<|z-a| となるεをとる
　　　　　　　　　　　~~~~~~~~
上極限の性質により
∞-ε< ｴﾙとなる∞-ｴﾙに対し∞-ｴﾙ < (|an|)^(-n) となるn∈Nは無限に存在する
したがって、∞-ε=∞ より∞ < (|an|)^(-n)であることとlim_ε→0 1/ε=∞により
ε→0で 1/ε < (|an|)^(-n) となるn∈Nは無限に存在する
　　　　　　~~~~~~~~~~~~~~~~~
このnに対して|an(z-a)^n| = |an||z-a|^n > (1/ε)^n ε^n > 1
なのでlim_n→∞ an(z-a)^n≠0　であるからΣan(z-a)^n は収束しない

3) 　ｴﾙ=0　（R=∞）の場合
z-a≠0とすると上極限の性質より
ｴﾙ=0<ε<1/|z-a|となるεに対し
　　 　　~~~~~~~~~~
十分大きなすべてのn∈Nに対し (|an|)^(-n)<εである
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ~~~~~~~~~~~~~
このとき|an(z-a)^n| = |an||z-a|^n < ε^n 1/ε^n = 1
なのでΣan(z-a)^n は収束する　（←この一行の理屈を裏打ちできない）


いまからJKの斜向かいで整級数の一様収束勉強してきます
暗くなるまで帰りません
0898１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/11/22(土) 18:06:18.96
ただいま
日頃お金がないと喧伝してるくせに、今日いったら
テーブルにスクリーンが設置されてて
ESPカードでテレパス訓練できそうな状態だった

糞詰まらんので速攻で帰ろうと思ったら
（やだ…、向かいの男子、すごい痴的な顔立ち…）
みたいな想念が送られてきたので踏みとどまって
肺に入れる空気だけ共有してきたよ

微分でやったところの復習
当時頭のおかしかった様子な俺の書き込みをチマチマ微修正
全然進まん
0900１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/06(土) 20:47:59.11
　
「整級数Σn=[0,∞] an(z-a)^n　の収束半径がRのとき
|z-a|<R なるzで絶対収束し
0≦ρ<R とおくと |z-a|≦ρなるzで一様収束する」

という、ワイエルシュトラスのM判定法で証明する定理があります。
（アールフォルスならP41）

一様収束で |z-a|<R とせずに |z-a|≦ρ<R とするのは
ノルムをとるとき、上限の操作で収束円板の円周上の点zをとりかねず
その点では整級数が収束しない場合があるので、
|z-a|<R で一様収束が成り立つとはいえない、といわけだと思います。

ところが先の定理の証明法の要点として
「収束する正項級数を優級数にとれたから、ワイエルシュトラスのM判定法により整級数は一様収束する」
というくだりは、「|z-a|<R なるzで絶対収束し」の証明部分でも
適用される気がしてなりません。
（杉浦ⅠならP169の8行目にP309の定理13.5を適用したもの）

すると整級数が |z-a|<R なるzで一様収束することになるのですが
これは誤りのはずです。

M判定を適用する条件のどこかがほんとうは満たされていないのでは？
と、睨んでいますが考えても分かりません。ご助言お願いします。
0901名無しさん＠そうだ選挙に行こう
垢版 |
2014/12/13(土) 21:26:28.66
ホホホ
＞ノルムをとるとき、上限の操作で収束円板の円周上の点zをとりかねず
ワロチ　函数の極限の操作のときの定義域の閉包と混同しておるののの
ホホホ

テーブルからbefore愛書落として、紙が2枚分、4ページ分、”クシャッ”ってなった
ホホホホ　愛書→書

あと、野良猫に餌やってたら宍戸錠みたいな頬した
カツゼツの悪い歳とったババァにしつこく怒られた
聞き取りにくかったから敬老の精神で善意で耳貸したら
「餌やってたでしょ」「フンして周り皆困ってるの」「看板してるでしょ」「連れて帰って」
（脳内音声解析結果（推定））だとよ
きちんと発音してくれたら「餌ｙ…」の時点で無視して家路を急いでたわ　
ブスババァ、来世もその顔でよろしく
ホホホホホホ
0902１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/15(月) 00:15:51.99
＞というくだりは、「|z-a|<R なるzで絶対収束し」の証明部分でも
＞適用される気がしてなりません。

はい、ここも分かった
比較判定法の正項級数の正項と、
ワイエルシュトラスM判定法の優級数の正数項とが
頭の中で一緒になってた
これでこの件は終了
0903１３２人目の素数さん
垢版 |
2014/12/30(火) 01:04:58.86ID:2mcDHTxX
新年明けてからは積分のパート

正月中は微積の積分の復習をざっとしておく
杉Ⅰの勉強で読み飛ばしてた工学部チックな雰囲気のページ
広義積分（一次元）、Γ関数とB函数、径数を含む積分、Γ函数の性質
を、この機会に埋めとく予定
頭悪いから、延びて一月中は平行してるかも
0908１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/01/24(土) 12:00:29.99ID:1T1Nb+Qn
10^6未満の正の整数で、各桁の平均が整数になるような数はいくつあるか。
誰か教えて下さい。
0912１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/02/01(日) 14:01:50.86ID:3U5rJEo1
丸投げするにしても画像じゃなくてで少しずつ書き込むとか
もうちょっとやりようがあったろうに。
0913１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/02/01(日) 20:35:52.81ID:GYNiA7lQ
>>912
すまない明日試験で…
問16以外は親切な人が教えてくれたんだ
問16は収束半径の定理はそのまま使えないからｘ＾2x+1を何かで置換すればいいと思うんだけど…
誰か教えてくれ…
0915のびた
垢版 |
2015/07/22(水) 06:27:49.45ID:QTDpb6G6
lDul^pの有界開集合Ω上での積分値を最小化する関数u:R^n→R^mを考える。ここでl・lはユークリッドノルムでpは1より大きい定数とする。

このようなuって定数関数になるんでしょうか？

最小化する関数uの定義は、任意のソボレフ空間W^｛1,p｝の元φに対して、
lDul^pの有界開集合Ω上での積分がlD(u+φ)l^pの有界開集合Ω上での積分で上からおさえられるです。
0916のびた
垢版 |
2015/07/22(水) 06:29:19.04ID:QTDpb6G6
あ！Duはuの弱微分を表します��
0917１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/10/02(金) 08:46:55.92ID:j2Jq0HLM
x-x-5y/2=x+5y/2

通分するのはわかるけど　どうして-5yが+5yなの？
0919１３２人目の素数さん
垢版 |
2015/10/03(土) 16:56:13.71ID:cgUbvnfB
和田秀樹をよろしくお願いします
0921１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/02/20(土) 23:51:19.94ID:/T8xu4TN
平面π上に直線mがある
mはax+by=dと表されるとする
このときπはax+by+cz=dと
表せることを示せ
これお願いします
0922１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/02/21(日) 01:14:20.16ID:KbFXuEnx
3次元の座標空間で　
方程式　ax+by=d　で表される幾何的対象は平面なんだ。
直線　m　を正しく表現してみて。　
0923１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/02/28(日) 16:10:06.21ID:rbbRIFOG
数直線上に相異なる2点a1,b1(a1<b1)をとる。an,bn (n>=2)を帰納的に次のように定める。nが偶数のとき、an=(a(n-1)+b(n-1))/2,bn=b(n-1)nが奇数のときan=a(n-1),bn=(a(n-1)+b(n-1))/2
nが偶数のとき一般項an,bnを求めよ
0924１３２人目の素数さん
垢版 |
2016/02/29(月) 00:48:03.65ID:ZKgLLjis
>>923
偶数番の項だけの間で成り立つ漸化式を求める。
すなわち　n：偶数のとき　（n=2m、A_m=a_n、B_m=b_n と置く)　とする。
n-1が奇数なので、以下の通り
A_m=a_n=(a_(n-1)+b_(n-1))/2=(a_(n-2)+(a_(n-2)+b(n-2))/2)/2=(3A_(m-1)+B_(m-1))/4
同様にして　B_m=(A_(m-1)+B_(m-1))/2
あとは、A、Bについて型通り。
分るよね？
レス数が900を超えています。1000を超えると表示できなくなるよ。
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