ガロア第一論文と乗数イデアル他関連資料スレ7
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a₌河東君 (注：当時は浅野君だったらしいけど、それ言いだすと話がこんがらがるから今は置いとく）
b₌俺様
A()₌麻布高校卒
B()₌優秀な数学者
１．A(a)∧B(a)
２．A(b)
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３．B(b)
これ正しい？ >>977
>違うなら、論理式で示してみて
正しいと思うからそういう要求が出るのだろうか >>978 んー、君が何を考えてるかわかんないからそういってみた
君、なんか被害妄想あるよ >>979
正しいと思っていないのなら
特にコメントすることはない もう少し面白いことを書いてくれれば
反応できると思うのだが そもそも、ID:3B+h5P1Yは形式論理がわかってないんだが ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
体 L を体 K の有限次ガロア拡大とする。
「L と K の中間体 M」 と 「Gal(L/K) の部分群 H」 について次の式が成立つ。
𝑀=𝐿^Gal(𝐿/𝑀), 𝐻=Gal(𝐿/𝐿^𝐻)
ただし、Gal(L/M) は拡大 L/M のガロア群であり、L^H は H の作用で不変な L の元を集めた L の部分体を指す。
したがって、「L と K の中間体 M」 と 「ガロア群 Gal(L/K) の部分群 H」の間の相互の対応を与える写像
𝜙:𝑀→𝐻=Gal(𝐿/𝑀),𝜓:𝑀=𝐿^𝐻←𝐻
は互いに逆であり、全単射になることがわかる。
また、この対応はあきらかに包含関係を逆にしている。つまり、
中間体が M1 ⊃ M2 ならば φ(M1) ⊂ φ(M2) であり、
部分群が H1 ⊃ H2 ならば ψ(H1) ⊂ ψ(H2) となる。
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ここまでの説明では部分群のみで、正規部分群は出てこない >>985
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体 L^H がK の正規拡大であることと、H が Gal(L/K) の正規部分群であることとは同値である。
このとき Gal(L/K) の元の L^H への制限は、Gal(L^H/K) と商群 Gal(L/K)/H の間の群同型を引き起こす。
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ここで正規部分群が出てくる
つまり係数体Kから中間体L^Hへの拡大を考えるには、Hが正規部分群である必要がある ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
ガロア群がアーベル群となるようなガロア拡大のことをアーベル拡大 (abelian extension) と言う。
ガロア群が巡回群のときは、巡回拡大 (cyclic extension) という。
ガロア拡大が可解 (solvable) であるとは、ガロア群が可解、
つまり中間拡大に対応するアーベル群の列からガロア群が構成されるときを言う。
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ここで中間拡大といってるのは、係数体Kから中間体L^Hへの拡大
商群が巡回群なら、中間拡大は冪根による拡大
だから、商体が巡回群になるような連正規列をもつなら
冪根による中間拡大を繰り返すことによって、元の拡大が実現される
これが可解の定義の意味
ここでは、まだ「ガロア群が巡回群なら、ガロア拡大は冪根による拡大」の証明はない
（また、可解群の定義で商群が巡回群ではなくアーベル群とする場合、
有限アーベル群は巡回群の直積、という有限アーベル群の構造定理は別途必要） 「ガロア群が巡回群なら、ガロア拡大は冪根による拡大」
のところはガロア以前（もっと言えばアーベル以前）に
分かっていたことである
だれがこれを明らかにしたか？ もちろんガウスである
いかにして？ ラグランジュ分解式のべき乗が根を用いずに書けると示すことにより
（なぜそうできるかといえば、上記の式が巡回群で不変だからであり
実はここにガロア理論の萌芽がある） ガウスが、アーベルやガロアにこの台詞を言わなかったことは幸せというべきか
「全部、知ってるからぁ！」
（注：BABYMETALのMOAMETALこと菊地最愛の感じで言ってねｗ） ガウスはボヤイの息子には言っちゃったので、息子が数学やめちゃったという・・・ >>990
ボヤイへの手紙に
「あなたのご子息を褒めることは私にはできない。
なぜなら、そうすると自分を褒めることになってしまうから」
と書いた。 >>991
形式論理が大したものだとはいってないよね
だからこそ分からんのがおかしいわけだが >>992
同じ手紙をアーベルやガロアに書かなくてよかった 論理式の自動証明は、連立方程式の消去法と似ている
しかし異なる点もある
連立方程式の消去法は必ず停止するが
論理式の自動証明は停止するとは限らない
成功すれば停止するが、失敗する場合は停止しない 自動証明はデバッガーとしては使えない
なぜなら期待されているのは
失敗したときに「ここが違ってますよ」と回答してくれること
だが実際には失敗しているときは
うんともすんともいわないまま戻ってこない >>994
>形式論理が大したものだとはいってないよね
>だからこそ分からんのがおかしいわけだが
形式論理で「正しい」証明をちゃんと整った形で書くには
記号の使い方を復習しないといけないので >>998
今回、証明の記載まで求められてないが
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