ついでに書いておく
１）下記 「箱入り無数目」の決定番号dに対し、つねに決定番号d+1が存在することが言える
　すなわち、記号を下記の通りとする
　問題の実数列s= (s1，s2・・sd-1，sd，sd+1，sd+2 ・・)とし
　代表r= (r1，r2・・rd-1,sd，sd+1，sd+2 ・・)とする
　つまり、しっぽの部分 sd，sd+1，sd+2 ・・ は、同一で
　rd-1≠sd-1 とすれば、決定番号がdであることは容易に分かる
２）さて、決定番号がd+1の代表r'を構成しよう
　r'= (r1，r2・・rd-1,rd，sd+1，sd+2 ・・)とすれば良い
　ここに、rd≠sdである。これで、決定番号がd+1であることは容易に分かる
３）任意の決定番号dに対して、常に 決定番号d+1とそれに対応する代表列r'が構成できる

そもそも、初期設定は「箱がたくさん，可算無限個ある」だった
初期設定から、無限集合N(自然数)を認めている（つまりは無限公理なり帰納の公理(the axiom of induction)を認めている）ことは明らかで
決定番号dの集合も、当然無限集合です
QED

(参考)
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1710632805/
(参考)時枝記事
https://imgur.com/a/8bqlb08
数学セミナー201511月号「箱入り無数目」
１．時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）の最初の設定はこうだった。
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^nを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?」

２．続けて時枝はいう
　私たちのやろうとすることはQのコーシー列の集合を同値関係で類別してRを構成するやりかた(の冒頭)に似ている.
但しもっときびしい同値関係を使う.
実数列の集合 R^Nを考える.
s = (s1，s2，s3 ，・・・)，s'=(s'1， s'2， s'3，・・・ )∈R^Nは，ある番号から先のしっぽが一致する∃n0：n >= n0 → sn＝ s'n とき同値s 〜 s'と定義しよう(いわばコーシーのべったり版).
念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する.

任意の実数列s に対し，袋をごそごそさぐってそいつと同値な(同じファイパーの)代表r= r(s)をちょうど一つ取り出せる訳だ.
sとrとがそこから先ずっと一致する番号をsの決定番号と呼び，d = d(s)と記す.
つまりsd，sd+1，sd+2,・・・を知ればsの類の代表r は決められる.