証明
Aを満たす要素の集合をP、Bを満たす要素の集合をQとおく
まず無条件に、ある要素と集合の関係を考えた場合の全てのパターンは、
Pに属すと属さないの2通り
Qに属すと属さないの2通り
2*2=4通り
x∈P かつ x∈Q
¬x∈P かつ x∈Q
x∈P かつ ¬x∈Q
¬x∈P かつ ¬x∈Q

この4通りから、A⇒Bを満たすということは、
P⊆Q
だから、
x∈P かつ x∈Q…[1]
¬x∈P かつ x∈Q…[2]
¬x∈P かつ ¬x∈Q…[3]
※[2]はP⊂Qのときのみ存在

また、¬B⇒¬Aを満たすということは、
¬Q(Qの補集合)⊆¬P(Pの補集合)
だから、
¬x∈Q(x∈¬Qから)かつx∈¬P(x∈¬Pから)…[3]と同じ
x∈Q(¬x∈¬Qから)かつ¬x∈P(x∈¬Pから)…[2]と同じ
x∈Q(¬x∈¬Qから)かつx∈P(¬x∈¬Pから)…[1]と同じ
※[2]は¬P⊂¬Qのときのみ存在

上記より、「A⇒B」と「¬B⇒¬A」は同値であることが示された
証明終了