数学基礎論・数理論理学 その19
数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、 19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。 現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、 多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。 (「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。) 応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、 英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。 (数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」 ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html 或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照) 従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。 他のスレで御質問なさるようにお願いします。 前スレ 数学基礎論・数理論理学 その18 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1474357543/ 仮に矛盾A∧¬Aの否定を排中律A∨¬Aと考えるならば (正確には¬(A∧¬A)とA∨¬Aは違う命題だが) 直観主義論理では排中律は仮定されないけど、個別の命題がA∨¬Aを満たすことはある その意味で矛盾の否定は同等でない >>85 >真が同等とかの意味がよく分からん ここで書いた同等とはP→QとQ→Pがどちらも成立すること >>86 排中律を仮定しない直感主義論理の場合でも¬(A∧¬A)は真のはず Aが変わっても同等なのでは? しかしA∧¬Aが区別されお互い同等でないなら¬(A∧¬A)も同等でなくなるのかなって疑問 たとえばA,Bを別々の命題変数として A∧¬AとB∧¬Bは同等でない矛盾とするなら A∧¬A∧B∧¬Bがこれらより「より矛盾」てことになって 逆に ¬(A∧¬A)と¬(B∧¬B)も同等でない「真」なら ¬(A∧¬A)∨¬(B∧¬B)は「より真」てことになるのかなと たしか¬P∨¬Q→¬(P∧Q)は排中律も矛盾律もなく証明できたから ¬(A∧¬A∧B∧¬B)は¬(A∧¬A)∨¬(B∧¬B)よりも「より真」みたいな感じで 矛盾や「真」にも優劣というか同等性の違いが出てくるのかもと思った >>87 >P→QとQ→Pがどちらも成立すること PとQがどちらも真ならP→QとQ→Pはどちらも成立する >>89 それは単純すぎ 真理値でしか考えてないでしょ 真理値は副次的なものだから 矛盾を区別するてのはどうかと考えたわけ つまり「矛盾」(人)なしの命題論理 矛盾律人→Pは当然ないだけでなく A∧¬A→人もないし(A→人)→¬Aもない ただし P∧¬Pの形の命題は矛盾に「属する」もの ¬(P∧¬P)の形の命題は「真」に「属する」もの みたいな扱いにするかなと もちろん矛盾や真に属するものがこれだけではないだろうけど 矛盾も真も同等にしないような命題論理があり得るかなと >>91 >矛盾も真も同等にしないような 矛盾も真もそこに属するもの同士が同等にならないような か >>89 ¬(A∧¬A)→¬(B∧¬B) を排中律矛盾律および人を使わず証明してくれてもいいよ 使えるのは∧∨→のEとIと ¬Iの代わりに (A→(なんらかの矛盾))→¬A と ¬Eの代わりに A∧¬Aが矛盾の一つになる みたいなのだけでどう? 書いてて思ったけど人使わないだけで最小論理と同じかも 人を使うのは「矛盾に属している」と自分が書いたのと 同じことを記号にしてるだけかもな しかし最小論理で ¬(A∧¬A)→¬(B∧¬B) またはそもそも区別したかった矛盾の同等性 A∧¬A→B∧¬B はどう証明できるのかな >>94 すまんな色々思考が巡ってしまった そもそも >>80 >全ての矛盾を「矛盾」として一括りにするのはどうなの? というのが疑問 >>90 「P→Qが成り立つ」ということの意味を(真理値による定義ではなく)「PからQが証明できる」こととするならば、PとQが真でもP→QとかQ→Pが成り立つとは限らない >>97 命題論理におけるP→Qの扱いはPからQが導かれたという流れを抽象化したものだよ →EがModus Ponensで→Iがそれ >>98 真偽というのはモデルを指定すると「このモデルではこの命題は真」と決まるものであって、論理体系の証明力が弱ければPとQが真でもPからQが証明できないことはある シーケント計算なら→Lと→Rか →LはMPのようなもので→Rが導出の記号化 >>88 >A∧¬AとB∧¬Bは同等でない こういうことはあり得るのかというのは オレも気になってた 最小論理だとA∧¬A→人は出るけど人→A∧¬Aは出ない それは人に真理値1を割り当てる最小論理のモデルで 恒真にならないから(このモデルで¬Aの真理値は恒に1) 人→A∧¬Aには矛盾律必要だね >>95 >書いてて思ったけど人使わないだけで最小論理と同じかも と書いたけど 最小論理との違いは 矛盾の集合(どう定義すべきか?)の極大元としての人が 存在するか存在しないかってことかなとも思う >>103 最小論理だと人とA∧¬Aは同等でなくAとBが異なる命題変数なら A∧¬AとB∧¬Bも同等じゃない それは上記のモデルで両者の真理値はAとBの心理値に一致するので それぞれ異なる真理値なら同等であり得ないから 背理法的には、A∧¬A⇒¬A だよな❓ ていうか、¬A⇔B なら、 ¬B∧B⇒¬B となり、Bに¬Pを代入すると P∧¬P ⇒ P となり、これは、背理法を否定するな🤔 変なの。背理法ってヘンです。 >>104 >矛盾の集合(どう定義すべきか?)の極大元としての人が >存在するか存在しないかってことかなとも思う 逆に言えば 最小論理の場合「真」の集合(矛盾の否定)の極小元として¬人が存在するけど 人がないなら「真」の極小元の存在も言えないね でも それだと矛盾の集合をどう定義すべきか悩ましい 最初論理なら {P|P→人} みたいな定義ができるけど >>106 >A∧¬A⇒¬A だよな それは成立するけど背理法はそうじゃない (¬A→人)→A が背理法(の一つ) A→BかつB→Aを同等というのは初めて聞いた 同値のことだろう 矛盾命題は全て同値であることを示す その前に矛盾命題が任意の命題を証明できる(爆発律)ことを示す P∧¬Pとすると、Qを任意の命題として、 P∧¬PからPが成り立つ PからP∨Qが成り立つ P∨Qと¬Pから、Qが成り立つ よってP∧¬Pから任意の命題Qが成り立つ A∧¬AとB∧¬B、2つの矛盾命題を考えると、爆発律より、A∧¬A→B∧¬BもA∧¬A←B∧¬Bも成り立つ したがってA∧¬A⇔B∧¬B 矛盾を人って書くの気持ち悪いからやめてください ⊥を使ってください >>109 >P∨Qと¬Pから、Qが成り立つ それは矛盾律ですよ それを仮定すれば同等となるのは上>>104 に書いた通りです ですので この違和感>>80 を正当化するには最小論理あるいはそれに類する>>93 のようなものが必要 そっちは矛盾とは何かの定義が思いついてないのでまだ不完全ですが 最小論理なら>>105 の通り同等とはならないので これでもいいかなと思い始めたところ >>110 \top, \botですね むしろそっちあんまり好きじゃなくて >>109 >A→BかつB→Aを同等というのは初めて聞いた >同値のことだろう 同値はどうしてもモデルに関連した つまり真理値を前提とした用語のように思うので 逆に違和感があるのでね まあこれは別にどうでもいいけれど >>111 >>P∨Qと¬Pから、Qが成り立つ >それは矛盾律ですよ 矛盾律と同等ですよ P ⇔ √2は有理数 ¬P ⇔ √2は無理数 ∵P とおく。そして、Q ⇔ アタシは美人である とおくと モチロン、P∨Qと¬Pから、Qが成り立つ ので、 「アタシは美人である」は当然成り立つ 💃💃💃 自己解決∵宇宙からの閃き💡 >>115 よ 1.5hの自分ぢゃな 思慮深さが欠如しておるぞ。というか、今の自分は違います。 「P∨Qと¬Pから、Qが成り立つ」 とは、 [(P⇒Q) ∧ (¬P⇒Q)] ⇒ Q という意味ぢゃないかな P:今直ぐ ¬P:いつでも Q:出来る とおくと、解り良い というか、「いつか出来るから今出来る」なんてタイトルのウタに釣られてはダメ🙅 ┻ ∧ P ⇒ P なのだろう 矛盾したことを💃が喋ろが、 「P ⇔ 💃は美人である」は当然成立💃 しかし、┻ ∧ P ⇒ ┻ ∴¬P トスルやつがいる。 「P ⇔ 💃は美人である」はモチロンなのに 117とか自分で書いたのに、今みると意味不明だな。というか 色々ネットサーフィン🏄したら 【選言三段論法】 というのがあった。当たり前の論理だが 之がダメヤツは、地球人に多いという、イメージはある (P or Q) and not(P) がQかどうかなんて、代数演算しなくても ベン図を脳内にイメージすれば、直ぐ、霊感で解るのに もし素因数分解とその解の検算が、「どちらにも指数時間かかる」のならそれはEXPTIMEで、 「どちらも多項式時間でできる」のならPに属する。そうでないからNPだってAIが言ってる 【悲報】数学板の住人x+1を変数だと思ってた さらにx+1が変数であることも証明できたもよう 692 132人目の素数さん 2024/03/12(火) 18:14:42.16 ID:pMrLmsKB >>691 そんなことは聞いてない ∀x∈ℕ.x<x+1 と ∀x∈ℕ.∃(x+1).x<x+1 の違いを聞いている おまえは∃の後ろに変数以外を書くなと言ったが、x+1は変数ではないと?じゃ何? 693 132人目の素数さん sage 2024/03/12(火) 19:37:50.92 ID:upjnOnB4 >>692 ∃の後ろに変数じゃないものを書いてるのは君だろ、∃(x+1)ってなんだよ ふざけて書いてるだろ 721 132人目の素数さん 2024/03/13(水) 00:58:49.14 ID:5iS9phMp ちなみに https://web.sfc.keio.ac.jp/ ~hagino/logic16/07.pdf のP4には • 「もの」の集まり • 整数 • 人間 • 「もの」の集まりを動く変数 • 対象変数(object variable) • 𝑥, 𝑦, 𝑧, . . . と書かれてる xが「もの」の集まりである自然数を動く変数であるなら xの後者であるx+1もやはり自然数を動くので変数の定義を満たす 頑なに変数でないと言い張る人もいるようだけどどうやら独善持論のようですね 723 132人目の素数さん 2024/03/13(水) 01:21:16.03 ID:5iS9phMp ものの集まりとはつまり集合のことだし ものの集まりを動く変数とはつまり集合の不定元のことだね ∀x∈N.(xは不定) ⇒ x+1∈N ∧ (x+1は不定) であるから変数の定義に従い xはNを動く変数 ⇒ x+1はNを動く変数 が成立 y=x のグラフを左に1移動させる ⇒ y=x-1 bフグラフをゲッャg❢ モチロン、前者も後者も、 dy/dx=1 ですし、 yはxが変化すれば、 yはxが変化するので yは前者も後者も変数なので xも、x−1も、モチロン、変数なのぢゃ というか、y=0x は変化しない変数ぢゃなモピロン 然るに、何やかんやで、 定数∋変数 ∨ 変数∋定数 であると言えよう🧖 (実)変数を含む公式に、定数(それがたとえ虚数でも)を代入しても 成立はするらしいよ。何と虚数でもね で、その逆、定数に変数は代入した数式はダメぽぃです。 と色々、思索するに、多分絶対に 変数∋定数 であり、 定数∋変数 はありえません。絶対多分。 地球人の数学の定義は知らんけど 変数∋定数 でキマリーーーー さて、虚数は、 等式が成り立つ(実)関数に代入OKぽぃ件 前回お話した。で閃いた。ピッと💡 虚数は定数の様な気がするのぢゃ🧖 (変数xに 実数∧定数 を代入⇒ OK) (変数xに 虚数 を代入⇒ OK) より、霊感的に、 xが虚数 ⇒ xは実数∧xは定数 と閃く@ しかし 虚数∧実数は アリエナイ A @Aより xが虚数 ⇒ xは 定数 B そういえば、虚数同士の大小比較は 数学的には、ダメらしい。 これは、Bが真を示唆してるぽぃ ちなみに、@AからBへの論理展開は ワタクシ >>118 で述べた 【選言三段論法】にどことなく似てるが 【選言三段論法】ではなく、多分 【藁人形論法】という感じ。ていうか 【藁人形論法】は、ポクは、心の中で 【笑人形論法】∨【笑せるぜ論法】∨【笑せるな論法】と変換してる。 ブツブツブツ、ぢゃーおやすみなさーーい ∀x∈ℕ.∃(x+1).x<x+1 ───@ に於いて、xは定数なのぢゃ🧖 変数と思い込んでる∀の地球人よ。 ∀xは変数であるが、xは定数です。 @のxに定数である零を代入し、 @の∀は消去してみると、 @は、0∈ℕ.∃(1).0<1 ───A Aを、ピミ達の💩言語な地球語に翻訳すると ゼロは自然数、でそれより1デカい数が存在する という訳。モチロン、ゼロ以外でよろしい ですが、きっと多分、マイナスはダメ∵@がそもそも変な宇宙言語だ とにかく、 0∈自然数.ゼロより1デカい1アル かつ 1∈自然数.1より1デカい2アル かつ 2∈自然数.2より1デカい3アル かつ 3∈自然数.3より1デカい4アル かつ ・・・ と幾らでもアル。たくさんアル。無限個アル。 いや待てよ。この宇宙に存在する素粒子の数より 大きい数を、超えてもあるのか❓ 地球語は、ヘン >>127 よ。早朝から、何を戯けた言霊を言ってるのぢゃ > マイナスはダメ∵@がそもそも変な宇宙言語だ いやねーーー ∀x∈ℕ には暗に、いや明らかに x>0 という意味を含んでますよ。 ていうか、x≧0 という意味かもだ。 ま、インド人によりゼロが発明されて もはや、ゼロは自然数なのぢゃから🧖 てか、∞は誰が発明したんだろう。 というか、ゼロとか∞は存在しませーーーーん エスプレッソ1杯は30ミリリットル⇒ そのカフェイン量は50ミリグラム という命題らしき文がネット上に存在する でこの命題は、一瞬で偽∵デタラメ だ ∵質量保存則に反する ∴エスプレッソ1杯は30ミリリットル は 偽り ∵背理法 なんて、オレッて論理的なんだろう。 モピカし、オレッて超天才だ。💃 でも、ネット上は5ch以外は∀正しいハズ いや!! 次の瞬間気づいた 自分は、 エスプレッソ1杯は30ミリリットル を エスプレッソ1杯は30ミリグラム と読み違えたのだった。 以上 失礼しましたぁ (^_^メ) 構成可能宇宙LがZFCのモデルになるとWikipediaに書かれているけど モデルって集合じゃなくてクラスでもいいの?大丈夫? ZFC+宇宙の公理(?)という理論の中でのモデルということだろう クラスで付番されたクラスの”組”とか考えてもいいの? >>136 >クラスで付番されたクラスの”組”とか考えてもいいの? 良いと思うが 素人なので、フォン・ノイマン=ベルナイス=ゲーデル集合論 (NBG) におけるクラスの扱いをコピーしておきますね (参考) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%8A%E3%82%A4%E3%82%B9%EF%BC%9D%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96 フォン・ノイマン=ベルナイス=ゲーデル集合論 (NBG) とはツェルメロ=フレンケル集合論+選択公理 (ZFC)の保存拡大である公理的集合論である。NBGでは、量化子の範囲を集合に限定した論理式によって定義される集合の集まりとして、クラスの概念を導入する。NBGは、すべての集合というクラスやすべての順序数というクラスといった、集合よりも大きいクラスを定義できる。モース=ケリー集合論 (MK) は量化子の範囲がクラスである論理式によるクラスの定義を許容する。NBGは有限公理化できる一方、ZFCやMKではできない。 NBGのキーとなる定理はクラスの存在定理である。クラスの存在定理は、量化子の範囲を集合に限定した論理式それぞれに対して、論理式を満たす集合からなるクラスの存在を述べる。クラスは、クラスの論理式を一つずつ構築することで構成される。すべての集合論的な論理式は2種類の原子論理式(所属関係と等式)と有限個の論理記号から構築されるため、論理式を満足するクラスを構築するには有限個の公理があればよい。NBGが有限公理化できるのは、こうした理由による。クラスは他の概念の構築にも用いられ、集合論的パラドックスへの対処や、ZFCの選択公理より強い大域選択公理(英語版)の説明に用いられる。 ジョン・フォン・ノイマンは1925年に集合論にクラスを導入した。彼の理論の原始概念(英語版)は関数と引数であった。これらの概念を用いて、フォン・ノイマンはクラスと集合を定義した。[1] パウル・ベルナイスはクラスと集合を原始概念とすることで、フォン・ノイマンの理論を再定式化した。[2] クルト・ゲーデルは、選択公理の相対的無矛盾性の証明と一般連続体仮説を用いてベルナイスの理論を単純化した。[3] 集合論におけるクラス クラスの使用例 NBG, ZFC, MK NBG は論理的に ZFC と等価ではない。なぜなら、NBG の言葉は表現的であるからである。NBG ではクラスに関して表現できる一方、ZFC ではできない。しかし集合に関しては、 NBG も ZFC で同じ内容の表現を含意する。したがって、NBG は ZFC の保存拡大である。 NBG は ZFC が含意しない定理を含意するが、 NBG は保存拡大であるため、これらの定理は真のクラスに関するものでなければならない。例えば、大域選択公理は 真のクラス V は整列可能であり、どの真のクラスも V と一対一対応することを含意するが、これは NBG の定理である。[注釈 27] 保存拡大の帰結の一つは、 ZFC と NBG が無矛盾性同値であることである。 この証明には爆発原理(矛盾からは、何でも証明可能である)を用いる。 https://en.wikipedia.org/wiki/Von_Neumann%E2%80%93Bernays%E2%80%93G%C3%B6del_set_theory Von Neumann–Bernays–Gödel set theory >>138 あんたは数学科で落ちコボレさんか? >クラスで付番されたクラスの”組”とか考えてもいいの? 1)>>137 の通りだが、補足しておくと、なんでクラスを制限するのか? 2)それは、下記ラッセルのパラドックスの関連していて、「全ての集合の集まり」はクラスであって 無制限にクラスを集合とすると、パラドックスになる 3)ZFCは、クラスを認めないので、パラドックスは回避できる 4)フォン・ノイマン=ベルナイス=ゲーデル集合論 (NBG)では、クラスは制御されて矛盾が出ないようになっている(だから、クラスの付番はあり) 5)じゃあ、NBGの方が良いんじゃね? と思うだろうが、基礎論屋さんはZFCの方がシンプルで良いと思うらしい(渕野先生とか) 6)なお、圏論が流行りで、基礎論以外の人は クラスは使いたいみたいだよ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%83%E3%82%BB%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9 ラッセルのパラドックスとは、素朴集合論において、自身を要素として持たない集合全体からなる集合の存在を認めると矛盾が導かれるというパラドックス。バートランド・ラッセルからゴットロープ・フレーゲへの1902年6月16日付けの書簡においてフレーゲの『算術の基本法則』における矛盾を指摘する記述に現れ、1903年出版のフレーゲの『算術の基本法則』第II巻の後書きに収録された[2]。なお、ラッセルに先立ってツェルメロも同じパラドックスを発見しており、ヒルベルトやフッサールなどゲッティンゲン大学の同僚に伝えた記録が残っている ラッセルの型理論(階型理論)の目的のひとつは、このパラドックスを解消することにあった 概要 「それ自身を要素として含まない集合」を「M集合」とし、「すべてのM集合を成分とする集合R」を作ってみる そうすると、「任意の集合 X」に関しては、「 Xは Rに含まれる」←→「 Xは Xに含まれない」という定式が成り立つ そして特に X= Rとすれば、「 Rは Rに含まれる」←→「 Rは Rに含まれない」となり、パラドックスが明示される 矛盾の解消 1.公理的集合論による解消 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%B9_ (%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96) クラス (集合論) 集合論及びその応用としての数学におけるクラスまたは類(class)は、集合(または、しばしば別の数学的対象)の集まりで、それに属する全ての元が共通にもつ性質によって紛れなく定義されるものである。「クラス」の正確な定義は、議論の基礎となる文脈に依存する。例えば、ツェルメロ=フレンケル集合論 (ZF) ではクラスは厳密には存在しないが、他の集合論(たとえば、フォン・ノイマン=ベルナイス=ゲーデル集合論 (NBG))では、「クラス」の概念は公理化されている (どのような定式化を選んだとしても)「全ての集合の集まり」はクラスである。(ZF では厳密な言い方ではないが)このクラスだが集合でないようなものは真のクラス と呼ばれ、集合となるようなクラス(つまり集合)は小さいクラス とも呼ばれる。例えば、全ての順序数からなるクラスや全ての集合からなるクラスは、多くの形式体系において真のクラスである 追加引用しておきます 「圏 (数学)」をかじらないと、集合とクラスの関係は分かりにくいでしょうね (圏 (数学)が、集合の範囲におさまらない(すなわちクラスを扱う)とき、大きい (large) と言う。類=クラス) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%B9_ (%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96) クラス (集合論) 例 与えられた型の代数的対象全ての集まりは、たいてい真のクラスをなす。例えば、全ての群からなるクラス、全てのベクトル空間からなるクラス、など。圏論では、対象の集まりが真クラスをなすもの(または射の集まりが真クラスをなすもの)を大きい圏という。 超現実数 (en:Surreal number) 全体は、体の公理を満たす対象による真クラスである。 集合論では、集合の集まりの多くは真クラスになってしまう。例えば、全ての集合からなるクラス、全ての順序数からなるクラス、全ての基数からなるクラスなど。 クラスが真クラスであることを証明する方法に、全ての順序数によるクラスとの間に全単射を与えるというものがある。この方法は、例えば自由完備束が存在しないことの証明などに使われる。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F_ (%E6%95%B0%E5%AD%A6) 圏 (数学) 圏の大きさ 圏 C が小さい (small) とは、対象の類 ob(C) および射の類 hom(C) がともに集合となる(つまり真の類でない)ときに言い、さもなくば大きい (large) と言う。射の類が集合とならずとも、任意の二対象 a, b ∈ ob(C) をとるごとに、射の類 hom(a, b) が集合となるならば(hom(a, b) を射集合、ホム集合などと呼び)、その圏は局所的に小さい (locally small) と言う[3]。集合の圏など数学における重要な圏の多くは、小さくないとしても、少なくとも局所的に小さい。 文献によっては、局所的に小さい圏のみを扱い、それを単に圏と呼ぶ場合もある[4][5]。 >>139 補足 >5)じゃあ、NBGの方が良いんじゃね? と思うだろうが、基礎論屋さんはZFCの方がシンプルで良いと思うらしい(渕野先生とか) 下記を貼っておきますね ・強制法があって、ZFCと相性がいいみたい(渕野先生は、別のところでも書いていた気がする) ・“コーエンの強制法”は、連続体仮説問題に対して、ZFC上で展開されたし https://fuchino.ddo.jp/misc/cohenx.pdf “コーエンの強制法” と強制法1)2)渕野昌 12.November 2016 (04:31 JST) 版 1) このテキストは,『数理科学』2014年10月号に掲載予定の同名の記事の拡張版です.ページ数の制限のために記事から削除せざるを得なかった細部や,そこには含めないことにしたリマークのいくつかを加えてあります. P13 5 連続体問題 コーエンの結果から連続体仮説は集合論の公理系から独立であることが分ったわけだが,このことは,現在の集合論の公理系がまだ拡張を必要としていることを示している,と解釈することもできる. こう解釈する立場からは,そもそも集合論の正しい拡張が何かが議論できるのか,が問題となってくるが,巨大基数の理論と強制法の理論は,集合論の公理系の拡張の可能性をさぐるための思考実験の手法と見ることもでき,世紀末以降に得られつつある集合論でのそのような思考実験の厖大な成果は,そのような議論の可能性を強く示唆しているし,ウディンらによる研究は,そのような研究の成果による連続体問題の真の解決が手のとどくところにまで近づいていることを予感させるものですらある. >>140 >超現実数 (en:Surreal number) 全体は、体の公理を満たす対象による真クラスである。 ちょっとそれ違わない? Knuthの「超現実数」という童話だと 「切断」を基本的なジェネレータにして空集合から作り出していく過程が描かれてるよな 0=<|> -1=<|0> 1=<0|> たしかこんなだっけうらおぼえだけど だから個々の元が体じゃないでしょ 全体として体の小売を満たすクラス >>142 >>超現実数 (en:Surreal number) 全体は、体の公理を満たす対象による真クラスである。 >ちょっとそれ違わない? >Knuthの「超現実数」という童話だと 詳しくないので、超現実数 (en:Surreal number)のリンクから、受け売りを貼っておきます Knuthの話も、概念史として出てきます https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E7%8F%BE%E5%AE%9F%E6%95%B0 超現実数 超現実数(ちょうげんじつすう、英: surreal number)の体系は、全順序付けられた真のクラスとして実数のみならず(任意の正実数よりも絶対値が大きい)無限大および(任意の正実数よりも絶対値が小さい)無限小まで含む。超現実数の体系は、四則演算(加減乗除)など実数が持つ多くの性質を共有しており、順序体を成す[注釈 1] 超現実数をフォンノイマン–ベルナイス–ゲーデル集合論 (NBG) において定式化するならば、超現実数体は(有理数体、実数体、有理函数体、レヴィ゠チヴィタ体、準超実数体、超実数体などを含む)すべての順序体をその部分体として実現できるという意味で普遍的な順序体となる[1]。超現実数は、すべての超限順序数も(その算術まで込めて)含む。あるいはまた、(NBGの中で構成した)超実体の極大クラスが超現実体の極大クラスに同型であることが示せる(大域選択公理(英語版)を持たない理論では必ずしもそうならないし、またそのような理論において超現実数体が普遍順序体になるとも限らないことに注意する)。 概念史 それとは別の定義および構成法が、ジョン・ホートン・コンウェイにより、囲碁の寄せについての研究から導かれている[2]。コンウェイの構成法は1974年にドナルド・クヌースの著書 Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned on to Pure Mathematics and Found Total Happiness[注釈 2] に取り入れられた。対話形式で書かれたこの本においてクヌースは、コンウェイが単に「数」と呼んでいたものに「超現実数」という新たな名を付けた。のちにコンウェイもクヌースのこの造語を受け入れ、1976年には超現実数を用いてゲームを解析する On Numbers and Games(英語版) を著した[3]。 超実数との関係 Philip Ehrlich (2012) はコンウェイの極大超現実数体とNBGにおける極大超実体との間に同型を構成した。 https://en.wikipedia.org/wiki/Surreal_number Surreal number History of the concept Research on the Go endgame by John Horton Conway led to the original definition and construction of the surreal numbers.[2] Conway's construction was introduced in Donald Knuth's 1974 book Surreal Numbers: How Two Ex-Students Turned On to Pure Mathematics and Found Total Happiness. In his book, which takes the form of a dialogue, Knuth coined the term surreal numbers for what Conway had called simply numbers.[3] Conway later adopted Knuth's term, and used surreals for analyzing games in his 1976 book On Numbers and Games. 誤 基礎論屋 正 ド素人 ド素人は、クラスとかいう言葉は知ってるが クラスの要素が集合に限られることは知らず クラスのクラスとか言い出す 定義を確認しないから初歩で間違う 正 ド素人: これは正しい クラスのクラスとか言い出す:言ってない。妄想ですよ。お薬増やしておきますね。私は、自分ではほとんど語りません。ほとんどが、URLと引用です。なので間違いがあれば、それは引用先が間違っているときだね ;p) ”クラスのクラス”で、このスレの全文検索をしたが、おサルさんの上記カキコ以外ヒットせずですよ 妄想がひどくなっていますね。お薬増やしておきますね。 >>146 >私は、自分ではほとんど語りません。 >ほとんどが、URLと引用です。 たまに自信満々で語ることが、ことごとく間違ってる 1.群の例を問われて「正方行列の(乗法)群」とドヤ顔発言 もちろん大嘘(行列式が0の正方行列には逆行列がないため) 2.無限乗積について「全部の項の絶対値が1より大きいと発散、1より小さいと0に収束」とドヤ顔回答 高校生レベルの対数で通常の級数に変換され反例示される 3.任意の有限列には最後の項があるから、「”数学的帰納法”により無限列にも最後の項がある」とドヤ顔発言 最近は怖がって高校数学レベルでも真偽について発言せず 全くのミソッカス まあ、素人どうしで蘊蓄を語り合うの図かな ;p) もっとも いまどき、数学者で基礎論プロを名乗る人もすくないかも >>150 149について 1は大学1年の線形代数 知らないヤツは理系失格 2、3は高校の数学 知らないヤツは大学の理系学部受からない 結論 ID:i+t5VZGk は高卒か文系 >>149 >たまに自信満々で語ることが、ことごとく間違ってる ふふふ ”クラスのクラス”で、このスレの全文検索をしたが、おサルさんの上記カキコ以外ヒットせずですよ>>147 妄想がひどくなっていますね。 幻聴幻視のぶざまを晒したあとでは、それ説得力ゼロだね ;p) >最近は怖がって高校数学レベルでも真偽について発言せず それは、私の主義ですよ 数学の研究者でもない自分が、何かを語ったら、それはつねに誰かの受け売りで だったら、自分で筆を起こすより、URLとそこからのコピーが正確だろうということです >>152 >それ説得力ゼロだね 出来る高校生や大学1年生なら149は分かるけどね >それは、私の主義ですよ >数学の研究者でもない自分が、何かを語ったら、 >それはつねに誰かの受け売りで >だったら、自分で筆を起こすより、 >URLとそこからのコピーが正確だろう >ということです そもそもコピーが見当違いなので 受け売りもやめて何も語らないのが 数学ド素人の君に最も相応しい「主義」 無知無能の自己顕示は、・・・自虐 >>154 でも、円の17等分方程式の解き方も知らない、という・・・ 未だに箱入り無数目の問題で自称基礎論婆と罵倒合戦してるんだろw >>153 ID:TKfxObiVさんか、面白いね 君は ・2ch時代から、チラシの裏、便所落書きと言われ、いま5chだが本質は変わっていない ・有象無象、玉石混交が、5chだ ・5chの相手に「正しいことを書いてくれ」と要求することが、大前提を外していると知れ! ってことですよ 無知無能の自己顕示は、あ な た です! それとも、自分が数学のプロだとでも? 数学DR持ちかい? アカデミック ポストは? >>158 ハエがブンブン五月蠅いですな 令和の今も昭和の感覚で書かれましてもね 老害ですよね >>156 >未だに箱入り無数目の問題で自称基礎論婆と罵倒合戦してるんだろw これは、弥勒菩薩さまかな 箱入り無数目スレではお世話になりました 弥勒菩薩さまには 箱入り無数目のバックナンバー数学セミナーを購入いただき 記事のPDFをアップしていただきました また、コルモゴロフの01法則のご指導も頂きました このスレで、金魚フンとしてくっついてきた自称基礎論婆と 罵倒合戦を再開すると 皆様のご迷惑でしょう 弥勒菩薩さまの救いの手に乗って、退散いたします では ある無矛盾な公理系τの任意のモデルに対してある論理式φが常に真となるならば、τからφがLKにおいて証明可能となることを示せ、という問題がわかりません 練習問題にしてはハードすぎないか? 無矛盾がなんでついてるのかよくわからんが >>105 へ プロレスは、正義のヒーローは一度ピンチになって 逆転勝利する いま、モッチーはその過程にあるよ >>170 何が知りたいかによりますが 初心者には、タブロー法が書かれてる本がいいと思いますね タブロー法が理解できれば、述語論理の完全性定理も 理解できるんじゃないでしょうか? ちなみにゲーデルの不完全性定理は 狭義の論理学ではなく自然数論の定理です タブロー法は、例えば線形代数でいえば消去法みたいなもんです マイナーなタブローはどうかなあ 自然演繹が初心者には分かりやすいし メジャーなシーケント計算を最初から学ぶのもよかろうし >>173 シーケント計算でも、証明が存在する場合に それを見つける「手続き」を示すなら結構ですよ ただその目的にはタブローのほうがわかりやすいかと 別にカット除去とかしたいわけではないので シーケント計算に固執しても仕方ない メジャーとかマイナーとかは無意味かと 無意味なことにこだわっても賢くなれない タブローの方法とは、真理の木あるいは意味論的タブローまたは分析タブローと呼ばれるものを用いて、論証の妥当性や、論理式が矛盾しているかやトートロジーであるかを機械的に調べる判定手続きの一種である。ヤーッコ・ヒンティッカらのモデル集合という考え方を応用して作られ、レイモンド・スマリヤンによって広められた。 >>175 そんな文章いくら読んでもタブロー法理解できんし タブロー法について書かれた本を読めば方法わかるから わけもわからず自然演繹がーシーケント計算がーとかいってんのは 3つともわからんド素人の戯言かと 素人が論理って便利と感じるのは、 この論理式がトートロジーかどうか判別できる というところだろう 上記の問題に対して、タブロー法は「半分」回答を与える つまり、トートロジーの場合には、その否定命題から矛盾を導くことで、答えを教えてくれる ただし、そうでない場合、手続きが終了しない場合があるので、そうでないとわからないこともある 「やらない理由はない」と言って不必要な仕事を指示された時に論理的に反論したいのですが知識がなく、できません。 「やる理由がある」こととは違うと思うんです。先輩、教えて下さい。 >>179 なにアホ言ってんの 一番分かりやすいのは自然演繹 メジャーなのはシーケント計算 タブローはマイナーってだけ >>182 君が不勉強だからタブロー知らないだけ 勉強すればタブローなんて簡単だと分かる つまらないことに固執するのは○違いの症状 >>183 は だからマイナーだって言ってるだけだわw 別に簡単じゃないと言っていないんだが 自然演繹が一番分かりやすいね read.cgi ver 07.5.5 2024/06/08 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる