数学基礎論は、素朴集合論における逆理の解消などを一つの動機として、
19世紀末から20世紀半ばにかけて生まれ、発展した数学の一分野です。
現在では、証明論、再帰的関数論、構成的数学、モデル理論、公理的集合論など、
多くの分野に分かれ、極めて高度な純粋数学として発展を続けています。
（「数学基礎論」という言葉の使い方には、専門家でも若干の個人差があるようです。）
応用、ないし交流のある分野は、計算機科学の諸分野や、代数幾何学、
英米系哲学の一部などを含み、多岐にわたります。
（数学セミナー98年6月号、「数学基礎論の学び方」
ttp://www.math.tohoku.ac.jp/~tanaka/intro.html
或いは 岩波文庫「不完全性定理」 6.4 数学基礎論の数学化 などを参照）
従ってこのスレでは、基礎的な数学の質問はスレ違いとなります。
他のスレで御質問なさるようにお願いします。
前スレ
数学基礎論・数理論理学 その18
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1474357543/ 0236１３２人目の素数さん2024/05/11(土) 02:07:54.73ID:bSq6Y66y
K〇〇oとかいう馬鹿が他人を見下して支離滅裂なこと書いているから痛すぎる
あいつ自分の書いていることが論理矛盾だと気付かないんだな
アメリカだと日本とは逆の順序で計算するという指摘には規則を決めて計算
するのだから別に問題ないみたいに書いているのに、日本のような順序でないと
論理的な意味がないみたいなこと書いていて自己矛盾していて正直馬鹿だと
しか思えん
KONO氏は昔から逆張り大好きな人だったなあ
要するに定義に従えってことでしょう
そもそもどう定義しても同じなら
定義の仕方にこだわっても意味ない
って発想はないみたいだけど
某スレに、「小学科校から国語のやり直し」を連呼する基礎論婆（数学落ちこぼれ）がいた
0239１３２人目の素数さん2024/05/11(土) 10:46:12.37ID:I7KlHCOq
このスレに居そう
0240１３２人目の素数さん2024/05/11(土) 13:40:18.35ID:lkkVLtva
KONO酷いな
あいつ幼稚園児並みの勘違いをしているな
スカラー×ベクトルの例で非対称性を主張し続けているけれど論題はそこ
ではないだろ
スカラー×スカラーの積の可換性はネーターの定理の保存則の存在から
対称性が存在するんだから対称と捉えるのが当然だろ
（一つの籠の中のリンゴの数をa個）、（籠の数をb個）とした場合に合計
何個リンゴがあるかという問題であいつの主張は原理主義者が（一つの籠
のリンゴの数をb個）、（籠の数をa個）として計算することを許容している
即ち無理やり対称性を仮定しているとか言ってんだよな
頭がが悪すんじゃないのかなあいつ
0241１３２人目の素数さん2024/05/11(土) 19:14:40.97ID:SoT3Fo/0
掛け算順序に固執する人の発想が「スカラー×ベクトル」なのはなんとなく見当がつく
で、問題はそう考えなければならないか、というところで、個人的には「んなこたぁない」と思ってる
0242１３２人目の素数さん2024/05/11(土) 19:15:33.38ID:SoT3Fo/0
KONO氏はレスバしたがってるだけなので相手しても時間の無駄よ
0243１３２人目の素数さん2024/05/11(土) 20:11:44.55ID:SyrfSAV2
0244１３２人目の素数さん2024/05/12(日) 07:11:53.14ID:OFz/L2Zo
全ての🎁の中に🍎🍎🍎🍎🍎 ある。
そして🎁🎁🎁だ。🍎はいくつあるかというと
地球人は、3+3+3+3+3って計算するのかな❓
ポクは、5+5+5で計算します。ピミ達はどっちで計算するの❓
0245１３２人目の素数さん2024/05/12(日) 08:09:15.62ID:kLL3MH+1
🎁🎁🎁からそれぞれ１コ🍎を取り出すなら3+3+3+3+3ですが何か？
0246１３２人目の素数さん2024/05/12(日) 13:33:26.66ID:qIl7Lv61
直観主義論理で西村巌という人が重要な仕事をしているらしい
ネットで調べてみても岐阜大にいたこと以外何の情報もない
0247１３２人目の素数さん2024/05/13(月) 08:48:36.38ID:VHcVZoar
>かけ算に順序はない」の(ひとつ分)x(いくつ分)と異なる間違った定義のリスト。これで尽きてる
0)値が同じなら式も同じ(式に意味はない)
1)定義はない (半環など未定義演算
2)アレイ図を数える (直積濃度
3) (いくつ分)x (ひとつ分)の両方が成立
4) (いくつ分)x (ひとつ分)との不定状態
やっぱりこいつ真性の馬鹿なんだな
>>247 レスバしたい人を相手すると時間空費するからやめとき 論理学において、「矛盾」の扱いが雑なように感じる。
数理論理学では「矛盾」をどう扱っているのだろう。
単純に排除されるべきものとして扱われているのだろうか、
という疑問。
矛盾は数学的対象なのか？
Pと¬Pの両方が導かれることを矛盾という
矛盾からはいかなる命題も導かれることになっている
これは空集合がいかなる集合の部分集合でもあることに対応している
0252１３２人目の素数さん2024/05/13(月) 18:57:51.61ID:pzVZ11pL
Pと¬Pの両方が導かれる場合、排中律は成り立っていない。
爆発律の推論は、排中律を除外して成り立っていなければ妥当とは呼べない。
さらに、Pが自己同一性をもっていないとすれば、命題ではない。
それなのに爆発律があるかのように扱われているのは矛盾する。
爆発律は、妥当でない推論の例なのではないか？
爆発律が存在する（形式）論理体系なんてものは存在するのだろうか、という疑問。
0253１３２人目の素数さん2024/05/13(月) 20:38:55.33ID:AG1nQkcA
＞Pと¬Pの両方が導かれる場合、排中律は成り立っていない。
実際は排中律もその否定も導かれる
＞爆発律の推論は、排中律を除外して成り立っていなければ妥当とは呼べない。
排中律も導かれるという意味では成り立つ
＞Pが自己同一性をもっていないとすれば、命題ではない。
自己同一性とは？意味がわからんが
＞それなのに爆発律があるかのように扱われているのは矛盾する。
だから矛盾してるっていってるんだが 記憶能力ゼロ？
＞爆発律は、妥当でない推論の例なのではないか？
そもそも矛盾してない場合、爆発律を使うことはない
＞爆発律が存在する（形式）論理体系なんてものは存在するのだろうか
いかなる命題を前提してもトートロジーは導ける
この対偶が、矛盾からいかなる命題も結論できるという爆発律
0254１３２人目の素数さん2024/05/13(月) 22:21:33.13ID:nMh83wOC
爆発率てのは人→Pのことだけど
これをそう呼ぶのはいかがなものか
P→Qとは単にモデルによる真理値割り当てにおいて
P≦Qであるということを言っているにすぎない
つまり人の真理値がボトムだという主張が人→Pの意味であり
人がどういうものであるべきかを意味している公理と言える
矛盾を定義しているという意味から
この公理は矛盾律と呼ばれるべきかと思うけどね
0255１３２人目の素数さん2024/05/13(月) 22:23:54.69ID:pzVZ11pL
うーん、理解されなかったか。
Pがなんらかのタイプの矛盾であるとき、
P ⊢ Pは妥当なのか。
0256１３２人目の素数さん2024/05/13(月) 22:27:25.58ID:PIZjx3rs
>>255
自分が理解していないから問題点を明確に書けない 0257１３２人目の素数さん2024/05/13(月) 22:34:02.21ID:nMh83wOC
>>252
>爆発律は、妥当でない推論の例なのではないか？
P∧¬P→人
は¬Eという推論規則を公理化したもので
矛盾律人→Pと合わせて
P∧¬Pは人と同等であることを言っている
（ここで同等とはお互いを導き合うこと
一般には同値と呼ばれるが自分は同等と呼びたい）
矛盾律を公理としない場合でも
人がある論理体系ならP∧¬P→人は公理もしくは推論規則にするだろうから
矛盾にさまざまな階層が生まれることになる
つまり人はもはやモデルによる真理値割り当てでボトムではなく
もっと低い真理値も容認されることになる 0258１３２人目の素数さん2024/05/13(月) 22:35:47.79ID:nMh83wOC
0259１３２人目の素数さん2024/05/13(月) 23:01:13.68ID:pzVZ11pL
P→Pが成立しないような矛盾は数理論理学では
扱えないということなら納得します。
0260１３２人目の素数さん2024/05/13(月) 23:13:17.05ID:nMh83wOC
大概の論理で
Pを矛盾として
P→Pは成立するよ
成立しないのは
PからQが導かれてもP→Qが成立しないとするような
相当つまらない論理だけでしょ
0261１３２人目の素数さん2024/05/13(月) 23:53:33.82ID:pzVZ11pL
つまらない論理ではないと考えているから質問しています。
まあ、そこだけみて閉じてしまえばつまらない論理でしょう。
数学屋ではないのでちょっとやろうとしていることが違うのであしからず。
ありがとうございました。やくにたちました。
0262１３２人目の素数さん2024/05/14(火) 00:27:50.63ID:SL8NPmh1
>>261
>つまらない論理ではないと考えている
PからQが論証できてもP→Qが成立しないような論理が
どうしてつまらなくないと思えるのかしれないけど
お好きにどうぞとしか 0263１３２人目の素数さん2024/05/14(火) 09:13:25.67ID:nymXLjEI
>いかなる命題を前提してもトートロジーは導ける
>この対偶が、矛盾からいかなる命題も結論できるという爆発律
矛盾からいかなる命題も結論できる、というのを否定するなら
いかなる命題を前提してもトートロジーが導ける、も否定される
トートロジーの否定は構文上はFalseではなくね？
¬(P∧¬P)とFalseは構文としては違うじゃん
爆発律って
P∧¬P→Q
か
False→Q
ぐらいしか流儀はないと思うのだが、
Pがトートロジーのとき
¬P→Q
なんて流儀は無理やろ
Pがトートロジーのときは¬PからFalseが導けるからFalse→Qから¬P→Qが云える
トートロジーかどうかを推論規則の前提にするわけにはいかんじゃろ
0271１３２人目の素数さん2024/05/14(火) 15:19:39.05ID:wqV6CtwU
>>226
自然数の帰納的関数であるこれってどうコーディングされるの？
a,b,cは自然数
Xは0個以上の非負整数
a#bはb個のa
a{}0=a
a{}b=1+(a{}(b-1))
a{0}0=0
a{0}b=a{}(a{0}(b-1))
a{c}0=1
a{c}b=a{c-1}(a{c}(b-1))
g()=1{}1{}1
g(0)=g(){}1
g(a)=g(){g(a-1)}g()
G()=g(g(0){1}g())
G(0)=g(G())
G(a)=g(G(a-1))
G(0#c,0)=G(G()#c)
G(0#c,a)=G(G(0#c,a-1)#c)
G(X,b,0#c)=G(X,b-1,G()#c)
G(X,b,a)=G(X,b-1,G(X,b,a-1))
G(X,b,0#c,a)=G(X,b-1,G(X,b,0#c,a-1)#(c+1))
GG()=G(G()#G())
GG(0)=G(GG()#GG())
GG(a)=G(GG(a-1)#GG(a-1)) 0272１３２人目の素数さん2024/05/14(火) 15:52:14.24ID:3zudoayv
>>270
Pがトートロジー ⇔ ¬Pから矛盾が導ける は認めないの？
認めないとして反例示せる？ >>270
そこまで書けるならできるじゃん 脳味噌あるだろ？ ヒント（というよりほぼ答え）
文字を数に置き換えてそこから文字列を数に置き換える方法を考える
0275１３２人目の素数さん2024/05/14(火) 16:52:03.82ID:wqV6CtwU
>>274
それは単純な式なら分かるけどさ
複数の式で定義されている
しかもその複数の式に使われている
帰納的な記法が一定の範疇に収まらないのを
どうするのかなと 0276１３２人目の素数さん2024/05/14(火) 17:00:40.30ID:wqV6CtwU
人間が見て帰納的だと分かる記述でも
いくらでも記法を新しく追加できるから
あるコーディング手法で定義された関数全体が加算だったとして
そこで使われる帰納的記法に収まらない記法を使って記述される帰納的関数は
そのコーディング手法では記述できないから
その帰納的関すに使われた記法も含めたさらに大きなコーディング手法を導入してコーディングするんでしょ？
でもまたその範疇に収まらないのが出てきて・・・・って終わらないんじゃないの？
可算集合の可算なcofinalな集合は可算でも
帰納的記法はいくらでもつまり非可算でもあり得るんじゃ無い？
0277１３２人目の素数さん2024/05/14(火) 17:26:47.26ID:wqV6CtwU
その困難を避けるには
どんな非可算に多い帰納的記法を使って定義した帰納的関数も
ある一定の記法にしたがって定義した帰納的関数と同じ関数になることを証明できればいいんだけど
はてさてソレ可能なのかしらん
だって人間の想像力は「無限大」で>>271みたいなへんてこな記述だって思いつくわけでしょ 0278１３２人目の素数さん2024/05/14(火) 17:28:17.45ID:wqV6CtwU
各個撃破で>>271は一定の記法に書き直せるかもしれないけど
それじゃ安心できないんだなあ 0279１３２人目の素数さん2024/05/14(火) 18:09:41.37ID:wqV6CtwU
ゲーデル数のようなコーディング手法によってすべての帰納的関数をfnと付番できたとすると
g(n)=max_(m<n)fm(n)
と定義した関数はいずれはどのfnよりも値が大きくなるから
gが帰納的関数なら
すべての帰納的関数よりいずれは大きくなるはずなのに
g<g+1だから矛盾よね
だからgは帰納的関数じゃ無いんだけど
この定義ってホントに帰納的な記述じゃないのかな？
ゲーデル数みたいなコーディング手法って算術化つまり数式で表せるんでしょ？
ならfnみたいな付番も帰納的にできるんじゃなくて？
>>275
>帰納的な記法が一定の範疇に収まらない
そんなことある？
>>276
>いくらでも記法を新しく追加できる
>そこで使われる帰納的記法に収まらない記法を
>使って記述される帰納的関数は
>そのコーディング手法では記述できないから
>その帰納的関すに使われた記法も含めた
>さらに大きなコーディング手法を導入して
>コーディングするんでしょ？
収まらないってことある？
>>277
>どんな非可算に多い帰納的記法を使って定義した帰納的関数も
>ある一定の記法にしたがって定義した帰納的関数と
>同じ関数になることを証明できればいいんだけど
なんで帰納的記法が非可算になるの？
そんなことないけどな
>>278
>各個撃破で一定の記法に書き直せるかもしれないけど
>それじゃ安心できないんだなあ
包括的に一定の記法で書き表せるけど
安心できないのはそれが理解できてないからじゃね？
あと、いっとくけど、原始帰納的関数ね >>279
「PRAで」って条件忘れてる？
primitive recursive arithmeticだよ
君がいう関数はもちろん作れるけど
それってprimitive recursive functionではないよ
アッカーマン関数ってあるじゃん
あれって原始帰納的関数じゃないよ もしかして帰納的可算集合は帰納的集合かって聞いてる？
それならもちろん違うよ
0283１３２人目の素数さん2024/05/14(火) 19:00:19.07ID:+44i1IV6
Konoとかいう馬鹿を見ていて強く感じることはあいつは双対性の
概念を理解していない
それに尽きる
>>272
認めるって何？
トートロジーの否定から任意の命題が出るっての形では推論規則や公理には採用できないって話してるつもりなんだけど 0285１３２人目の素数さん2024/05/14(火) 20:03:42.67ID:SL8NPmh1
>>280
>あと、いっとくけど、原始帰納的関数ね
ということは原始帰納的関数全体は定義の仕方が一定のルールに基づくものだから可算だけれど
何らかの意味で帰納的（人間が帰納的に考えうる）関数全体は可算ではないとか？ 0286１３２人目の素数さん2024/05/14(火) 20:04:39.98ID:SL8NPmh1
>>281
>アッカーマン関数ってあるじゃん
>あれって原始帰納的関数じゃないよ
じゃあ>>271も原始帰納的関数ではない？