不等式への招待 第11章
真面目に議論していた人たちは何処かへか去ってしまった a / [a^2+(b+c)^2] + b / [b^2+(c+a)^2] + c / [c^2+(a+b)^2] <= 3/5 abc = 1, a, b, c > 0 >>5 a, b, cをそれぞれ0や∞にすると左辺は0. 未定乗数法の連立方程式を, a, b, cが相異なると仮定し, 辺々の差をとって同値変形し続けると矛盾を導ける. (腕力が必要) あとはx, x, x^(-2)を代入したものについて示せばよい. (腕力が必要) For positive reals x, y, z with x+y+z=3, show that (xy)^2 *(y+1) + (yz)^2 *(z+1) + (zx)2 *(x+1) ≥ 6 xyz. 実数 a, bが連立不等式 a+b-2k(a+b)/ab ≥ 2(2-k), ab+a+b ≥ 8, a ≥ 1, b ≥ 1を満たすとき, k のとり得る 値の最大値を求めよ. 普段から数学における不等式の扱いが小さくて不当であると感じる。 たとえば連立一次方程式(等式)はあれほど丁寧根絶に扱われ教えられているという のにだ、連立一次不等式の扱いがあまりにも少ない。 当局には断固として差別扱いの解消を要求する。 >>9 公立中学のカリキュラムの時点で, 1次不等式を学ばない時代なので, もうその時点でこの国は終わっている. 線形計画法とかmax-plus代数(またはトロピカル代数)とかを中学生に教えるの? この問題, この様に解いてみたのですが, この先, 方針が立ちません. 実数 a, bが連立不等式 a+b - 2k*(a+b) / ab ≥ 2(2-k), ab+a+b ≥ 8, a ≥ 1, b ≥ 1を満たすとき, k のとり得る 値の最大値を求めよ. a+ b = s, ab = t とおくと, a, b は f (x) := x^2 - s x + t = 0 の2解である. a ≥ 1, b ≥ 1 <=> f (1) ≥ 0 かつ D ≥ 0 かつ 軸 : 1 ≤ s/2 <=> s -1 ≤ t ≤ (1/4)s^2 かつ s ≥ 2 … @ また, 与えられた条件 : s t - 2 k s +2 (k-2) t ≥ 0 <=> (s + 2(k-2))(t - 2k) ≥ - 4k(k-2)… A s-t 平面上で, @かつA の表す領域 D に対して, a ≥ 1 かつ b ≥ 1 なる実数 a, b の存在条件を考える. >>10 ,9 線形計画法とかmax-plus代数(またはトロピカル代数)とかを中学生に教えるの? * 堀内利郎:「古典的不等式の精密化: 臨界・非臨界の統一と∞次特異点の導入まで」、 内田老鶴圃、ISBN 978-4753600885(2023年5月29日)。 a^10001+b^2000001=432145677524 整数解をもとむ 不等式ぢゃあないが… \sqrt{5} + \sqrt{22 + 2 \sqrt{5}} - \sqrt{11 + 2 \sqrt{29}} - \sqrt{16 - 2 \sqrt{29} + 2 \sqrt{55 - 10 \sqrt{29}}} = 0. 平面上の潰れていない3角形があり、その3辺の長さをa、b、cとするときに a < b + c であることを証明しなさい(配点5点)。 3次元空間内の潰れていない4面体があり、その4つの面の面積をA,B,C,Dとするときに A < B+C+Dは成り立つか?(配点10点)。 長さaの辺を含む直線に残り2辺を射影すると長さaの辺は射影の像で被覆される ∴a ≦ 残り2辺の射影の像の長さの和 < 残り2辺の長さの和 相加相乗平均の不等式の一般化は ネットによれば マクローリンの不等式と ヤングの不等式だが 他に何かありますか? マクローリンの不等式から 算術幾何平均と同様に 極限を取って 一般にn個の正の実数の 「マクローリン極限」が定まるような気がするが もしそうならガウスがこれを調べていなかったはずはないと思うのだが どなたかご存じの方はいませんか 志賀弘典氏が多変数関数論冬セミナーで そのような話をされていたので 何処かに論文になって出ているかもしれません これって高校数学の範囲で、かつ数IIIの微分とか使わずにいけますか?(1)はいけそうなんですが(2)が難しい… https://i.imgur.com/69LsI51.jpg >>18 (sqrt{11 + 2*sqrt{29}} + sqrt{11 - 2*sqrt{29}})^2 = 22 + 2*sqrt{11^2 - 4*29} = 22 + 2*sqrt{5}, より sqrt{11 + 2*sqrt{29}} + sqrt{11 - 2*sqrt{29}} = sqrt{22 + 2*sqrt{5}}, 16 - 2*sqrt{29} + 2*sqrt{55 - 10*sqrt{29}} = 5 + (11 - 2*sqrt{29}) + 2*sqrt{5}*sqrt{11 - 2*sqrt{29}} = (sqrt{5} + sqrt{11 - 2*sqrt{29}} )^2, より sqrt{16 - 2*sqrt{29} + 2*sqrt{55 - 10*sqrt{29}}} = sqrt{5} + sqrt{11 - 2*sqrt{29}}, を使おうかな。。。 >>007 (左辺) - (右辺) = { (xy)^2 * (4y+z+x) + (yz)^2 * (4z +x+y) + (zx)^2 * (4x+y+z) - 2 xyz (x+y+z)^2 }/3 = { x^3 * (y-z)^2 + y^3 * (z-x)^2 + z^3 * (x-y)^2 }/3 + (4 y^3 x^2 + 2 x^3 z^2 + z^3 y^2 )/7 - xyz * xy + (4 z^3 y^2 + 2 y^3 x^2 + x^3 z^2 )/7 - xyz * yz + (4 x^3 z^2 + 2 z^3 y^2 + y^3 x^2 )/7 - xyz * zx ≧ 0, x, y, z >0 なので、重み付きAM-GMを使った。 〔問題145.改〕 正の実数 a,b,c >0 に対して以下の不等式が成立することを示せ: (a^3)/(b+2c) + (b^3)/(c+2a) + (c^3)/(a+2b) ≧ (aa+bb+cc)^2 /{3(ab+bc+ca)} ≧ (2aa +2bb +2cc -ab -bc -ca)/3, ウクライナM.O.-1996 Inequalitybot [145] https://twitter.com/Inequalitybot/status/1755018685985804339 https://twitter.com/thejimwatkins 〔問題47〕 実数 a,b,c >0 に対して、以下の不等式が成り立つことを示せ: (ab+bb+aa)(bb+bc+cc)(aa+cc+ca) ≧ (ab+bc+ca)^2, IMO Long List 1990, day 1, 問77 Inequalitybot [47] https://twitter.com/Inequalitybot/status/1753569134263337347 https://twitter.com/thejimwatkins 〔問題61〕 正の実数 a,b,c >0 に対して、以下の不等式が成り立つことを示せ: aab + bbc + cca ≦ (4/27)(a+b+c)^3, カナダM.O.-1995, 問5 Inequalitybot [61] https://twitter.com/Inequalitybot/status/1754112715231269188 https://twitter.com/thejimwatkins 〔問題123〕 [0,1]上で定義された C^1 級関数 (1回微分可能かつ導関数が連続な関数) f(x) が f(0) = f(1) = -1/6 を満たしているとする。 このとき、以下の不等式が成り立つことを示しなさい。 ∫[0,1] {f '(x)}^2 dx ≧ 2∫[0,1] f(x)dx + 1/4. G.R.A.20 Problem Solving Group, Mathematical Magazine M 1852 Inequalitybot [123] https://twitter.com/Inequalitybot/status/1754052318881079583 * ∫[0,1] {f '(x) + x - 1/2}^2 dx ≧ 0 を使う。 Lang Tu Mua Bui (2016/03/22) https://twitter.com/thejimwatkins 〔問題221〕 正の実数 a,b,c が a+b+c+abc=4 を満たすとする。 このとき以下の不等式が成り立つことを示せ: (a+b)/{ac(1+b)} + (b+c)/{ba(1+c)} + (c+a)/{cb(1+a)} ≧ 3, 5th On-line Inequality Competition 問3 Inequalitybot [221] https://twitter.com/Inequalitybot/status/1754958288595358204 https://twitter.com/thejimwatkins >>34 コーシーでもいいけど、AM-GMで a^2 + {(b+2c)/3}^2 ≧ 2a{(b+2c)/3}, として a^3/(b+2c) ≧ 2aa/3 - a(b+2c)/9, 循環的にたす。 〔問題37〕 正の実数 a,b,c >0 が aa + bb + cc + abc = 4 を満たすとする。 このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ: 0 ≦ ab + bc + ca - abc ≦ 2, USA-MO-2001 問3 Inequalitybot [37] https://twitter.com/Inequalitybot/status/1756468237280391424 *) a = 2cos(A), b = 2cos(B), c = 2cos(C) とおけば 条件は A+B+C = π になるらしいが。。。 https://twitter.com/thejimwatkins 〔問題2〕 実数 a,b,c,d が S(1)=6, S(2)=12 を満たすとする。 このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ: 36 ≦ 4S(3) - S(4) ≦ 4S(2), ここに S(k) = a^k + b^k + c_k + d^k とおいた。 IMO Short List 2010 予選 A-2 Inequalitybot [2] https://twitter.com/Inequalitybot/status/1757313808287301775 https://twitter.com/thejimwatkins 〔問題13〕 正の実数 a,b,c >0 が abc=1 を満たすとする。 このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ: 1/[aaa(b+c)] + 1/[bbb(c+a)] + 1/[ccc(a+b)] ≧ 3/2. IMO-1995 問2 Inequalitybot [13] https://twitter.com/Inequalitybot/status/1757555401548242985 佐藤(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013) 例1.4.9 (p.22) 及び 例1.6.5 (p.47) https://twitter.com/thejimwatkins 〔問題25〕 非負の実数 a,b,c ≧0 が ab+bc+ca + 2abc =1 を満たすとする。 このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ: 2(a+b+c) + 1 ≧ 32abc. 地中海-MO 2004 問3 Inequalitybot [25] https://twitter.com/Inequalitybot/status/1757374207040815152 https://twitter.com/thejimwatkins 〔問題15-改〕 非負の実数 x,y,z ≧0 について以下の不等式が成り立つことを示せ: 7xyz ≦ (x+y+z)(xy+yz+zx) - 2xyz ≦ (7/27)(x+y+z)^3. IMO-1984 問1 Inequalitybot [15] https://twitter.com/Inequalitybot/status/1758038584966410706 秋山+P.Frankl [完全攻略] 数学オリンピック、日本評論社 (1991) p.18-19 https://twitter.com/thejimwatkins 〔194〕 正の実数 a,b,c >0 に対して以下の不等式が成り立つことを示せ: 3(a+b+c) ≧ 8(abc)^{1/3} + [(aaa+bbb+ccc)/3]^{1/3}. Austria Federal Competition for Advanced Students part2 (2006)、1日目 問2 Inequaltybot [194] https://twitter.com/Inequalitybot/status/1757011819129172361 https://twitter.com/thejimwatkins [15] x+y+z = s, xy+yz+zx = t, xyz = u とおく。 右 st -9u = x(y-z)^2 + y(z-x)^2 + z(x-y)^2 ≧ 0 左 (7/27)s^3 - st +2u = {7(s^3 -4st +9u) + (st -9u)}/27 ≧ 0, [194] (abc)^{1/3} = G, [(aaa+bbb+ccc)/3]^{1/3} = A とおく。 (右辺) = G + G + …… + G + G + A ≦ 9[(GGG+GGG+ …… +GGG+GGG + AAA)/9]^{1/3} = 9[(24abc + aaa+bbb+ccc)/27]^{1/3} = 3(24abc + aaa+bbb+ccc)^{1/3} ≦ 3(a+b+c), * (a+b+c)^3 - (24abc + aaa+bbb+ccc) = 3(a+b+c)(ab+bc+ca) - 27abc = 3a(b-c)^2 + 3b(c-a)^2 + 3c(a-b)^2 ≧ 0, 〔問題136〕 f(x,y) := (x+y)/[(1+xx)(1+yy)], とおく。 (1) 領域 0 ≦ x,y ≦ 1 での f(x,y) の最大値を求めよ。 (2) (x,y) ∈ R^2 での f(x,y) の最大値を求めよ。 東大院試 2012 数理 修士 問A2 Inequalitybot [136] https://twitter,com/Inequalitybot/status/1758159380879663330 f(1/√3, 1/√3) = (3√3)/8, (1) (1+xx)(1+yy) - {8/(3√3)}(x+y) = (2/3){(2/√3) -x -y}^2 + (1/3)(x - y)^2 + (1/3 - xy)^2 ≧ 0, 等号成立は x=y=1/√3 のとき。 (2) x + y ≦ |x| + |y|, f(x,y) ≦ f(|x|,|y|) ゆえ、(1)に帰着する。 〔問題96-改〕 正の実数 x,y,z >0 に対して以下の不等式が成り立つことを示せ: (yz/x + zx/y + xy/z)^3 ≧ 8(x^3 + y^3 + z^3) + 3xyz. 中国 Team Selection Test - 2008, 4日目, 問2 Inequalitybot [96] https://twitter,com/Inequalitybot/status/1758461371178705122 * yz/x=a, zx/y=b, xy/z=c とおくと x=√bc, y=√ca, z=√ab. >>42 [13] コーシーで {a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)}*(左辺) ≧ (1/a + 1/b + 1/c)^2 = (bc+ca+ab)^2 /(abc)^2, (左辺) ≧ (1/2)(bc+ca+ab)/(abc)^2 = (3/2)(abc)^{2/3} /(abc)^2 = (3/2) /(abc)^{4/3}, >>49 [96] yz/x=a, zx/y=b, xy/z=c とおくと AM-GM で x = √(bc) ≦ (b+c)/2, y = √(ca) ≦ (c+a)/2, z = √(ab) ≦ (a+b)/2. (左辺) - (右辺) = (a+b+c)^3 - 8(ab)√(ab) - 8(bc)√(bc) - 8(ca)√(ca) - 3abc ≧ (a+b+c)^3 - 4ab(a+b) - 4bc(b+c) - 4ca(c+a) -3abc = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = F_1(a b c) (← Schur-1) ≧ 0. 〔問題157〕 正の実数 a,b,c >0 が (a+b)(b+c)(c+a)=1 を満たすとする。 このとき、次の不等式が成り立つことを証明せよ: ab + bc + ca ≦ 3/4. クロアチア Team Selection Test 2006, 問2 Inequalitybot [157] https://twitter,com/Inequalitybot/status/1759186146947715201 ■お題 √10 = 3.16227 76601 68379 √6 + 1/√2 = 3.15659 65239 69726 √2 + √3 = 3.14626 43699 41972 √7 + 1/2 = 3.14575 13110 64590 6 22/7 = 3.14285 71428 57143 (約率) 2(√6 -√2) + 4(2-√3) = 3.14234 91305 44657 355/113 = 3.14159 29203 53982 3 (密率) π = 3.14159 26535 89793 が降順であることを示せ。 ・高校数学の質問スレ_Part432, 766, 780-781,785,795の辺り [Snellius-Huygens の不等式] https://haruya12.hatenadiary.org/entry/20120314/1331712378 >>52 3次相加相乗で((a+b)+(b+c)+(c+a))/3≧(1)^(1/3) これよりa+b+c≧3/2 (a+b)(b+c)(c+a)を展開してから8次相加相乗で 1/8≧((abc)(abc)(aab)(aac)(bba)(bbc)(cca)(ccb))^(1/8) これより1/8≧abc すなわち1+abc≦9/8 また恒等式(ab+bc+ca)(a+b+c)=(a+b)(b+c)(c+a)+abcより ab+bc+ca=(1+abc)/(a+b+c) よって ab+bc+ca=(1+abc)/(a+b+c)≦9/8×2/3=3/4 (a+b+c)^2 - 3(ab+bc+ca) = {(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2}/2 ≧ 0, また T = (a+b)(b+c)(c+a) とおくと 9T - (8√3)(ab+bc+ca)^{3/2} ≧ 9T - 8(ab+bc+ca)(a+b+c) = (a+b)(b+c)(c+a) - 8abc (←恒等式) = a(b-c)^2 + b(c-a)^2 + c(a-b)^2 ≧ 0, (← a,b,c>0) ∴ ab+bc+ca ≦ (3/4)T^{2/3}, R.m.s. ≧ A.M. ak ≧ 0 (k=1,2,…,n) とする。 n(a1+a2…+an) = (√a1+√a2+…+√an)^2 + Σ[i<j] (√aj - √ai)^2, ∴ √{n(a1+a2+…+an)} ≧ √a1 + √a2 + … + √an, 等号成立は a1 = a2 = … = an のとき。 高校数学の質問スレ_Part432−839 〔問題1〕 正の実数 a,b,c >0 が aa+bb+cc = 3, a+b>√2, b+c>√2, c+a>√2, を満たすとする。このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ: a/(b+c-a)^2 + b/(c+a-b)^2 + c/(a+b-c)^2 ≧ 3/(abc)^2 ≧ 81/(ab+bc+ca)^3 ≧ 3, IMO short list 2011 予選 A-7. ☆10 Inequalitybot [1] https://twitter.com/Inequalitybot/status/1762508034214097152 https://twitter.com/thejimwatkins 〔問題6〕 実数 a,b,c >0 はある三角形の3辺の長さをなすとする。 このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ: √(b+c-a)/(√b+√c-√a) + √(c+a-b)/(√c+√a-√b) + √(a+b-c)/(√a+√b-√c) ≦ 3. IMO short list 2006 予選 A6 Inequalitybot [6] https://twitter.com/Inequalitybot/status/1760998085755572257 安藤哲哉(著) 「不等式」数学書房 (2012) 例題3.2.3(9) p.151 p := (√b+√c-√a)/2, q := (√c+√a-√b)/2, r := (√a+√b-√c)/2 とおく。 https://twitter.com/thejimwatkins 〔問題50〕 正の実数 a,b,c >0 に対して、以下の不等式が成り立つことを示せ: a^{b+c}・b^{c+a}・c^{a+b} ≦ (abc)^{2(a+b+c)/3}, a^{b+c}・b^{c+a}・c^{a+b} ≦ (abc)^{a+b+c-1}, インドMO-2001 問A3 Inequalitybot [50] https://twitter.com/Inequalitybot/status/1762628831310152071 https://twitter.com/thejimwatkins 〔問題78〕 ある三角形の3辺の長さとなる正の実数 a,b,c が 0 < a < 2b, 0 < b < 2c, 0 < c < 2a, を満たすとする。このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ: √{a/(2b-a)} + √{b/(2c-b)} + √{c/(2a-c)} ≧ √{(a+b+c)^3 /3abc}. じゅー:作 Inequalitybot [78] https://twitter.com/Inequalitybot/status/1761058483091443933 https://twitter.com/thejimwatkins 〔問題79〕 ある三角形の3辺の長さとなる正の実数 a,b,c >0 に対して、以下の不等式が成り立つことを示せ: 1/{a(a+b-c)} + 1/{b(b+c-a)} + 1/{c(c+a-b)} ≧ 3・√{(a+b+c)/[abc(ab+bc+ca)]} じゅー:作 Inequalitybot [79] https://twitter.com/Inequalitybot/status/1761904054874386869 https://twitter.com/thejimwatkins 〔問題144〕 C^2-級 (2回微分可能であって f”が連続) の関数f:R→R が 任意の実数xに対してf”(x) ≧ f(x) を満たすと仮定する。 このとき以下の不等式が成立することを示せ: f(x) ≧ f(0)cosh(x) + f’(0)sinh(x), 近大数学コンテスト-2008 問A5 Inequalitybot [144] https://twitter.com/Inequalitybot/status/1762387238716100917 ∫[0, x] {f”(t)−f(t)} sinh(x-t) dt ≧ 0 を使う。 https://twitter.com/thejimwatkins 〔問題76〕 正の実数 a,b,c >0 に対して以下の不等式が成り立つことを示せ: a/√(4bb+bc+4cc) + b/√(4cc+ca+4aa) + c/√(4aa+ab+4bb) ≧ 1, じゅー:作 Inequalitybot [76] https://twitter.com/Inequalitybot/status/1764259576059424958 https://twitter.com/thejimwatkins 〔問題117〕 x,y,z がある三角形の3辺の長さとなるような実数であるとき、 以下の不等式が成り立つことを示せ: xxy/z + yyz/x + zzx/y ≦ xx + yy + zz. Art of problem solving より Inequalitybot [117] https://twitter.com/Inequalitybot/status/1763836789977227332 https://twitter.com/thejimwatkins 〔問題178〕 実数 x, y が (xx+yy)^2 = xx - yy を満たすとき、 x+y の取り得る最大の値を求めよ。 第2回 早大プレ 2006 Inequaitybot [178] https://twitter,com/Inequalitybot/status/1764319974171226188/ *この閉曲線を 連珠形、(Jakob Bernoulliの) Lemniscate 等と云うらしい。(Jakob Bernoulli) 〔問題5〕 1でない実数 x, y, z ≠ 1 が xyz=1 を満たすとする。 このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ: xx/(x-1)^2 + yy/(y-1)^2 + zz/(z-1)^2 ≧ 1, IMO-2008, 問2 Inequalitybot [5] https://twitter.com/Inequalitybot/status/1766011118693310560 佐藤(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013) 問題3.120 https://twitter.com/thejimwatkins >>35 [47] コーシー >>36 [61] aab + bbc + cca + abc ≦ (4/27)(a+b+c)^3. (略証) 0≦a≦b,c としてもよい。 4(a+b+c)^3 − 27(aab+bbc+cca+abc) = 9a(aa+bb+cc-ab-bc-ca) + (4b+c-5a)(a+b-2c)^2 ≧ 0. 等号成立は (a, b, c) = (0, 2/3, 1/3)、(0, -1/3, 4/3)とそのrotation >>37 [123] 部分積分を利用する。 0 ≦ ∫ {f '(x) + x - 1/2}^2 dx = ∫ {f '(x)}^2 dx + ∫ f '(x)(2x-1)dx + ∫ (x-1/2)^2 dx = ∫ {f '(x)}^2 dx −2∫ f(x)dx + [ f(x)(2x-1) ] + (1/3)[ (x-1/2)^3 ] = ∫ {f '(x)}^2 dx −2∫ f(x)dx + f(0) + f(1) + (1/3)[(1/8)−(-1/8)] = ∫ {f '(x)}^2 dx −2∫ f(x)dx + c, c = f(0) + f(1) + (1/3)(1/4) = (-1/6) + (-1/6) + 1/12 = -1/4. >>40 [37] a,b,c > 1 とすると 題意を満たさない。 min{a,b,c} = m ≦ 1, (ab+bc+ca)−abc ≧ (ab+bc+ca)m − abc ≧ 0, 右) 2 + abc−(ab+bc+ca)=(2-bc)−a(b+c-bc), 2-bc ≧ (4-bb-cc)/2 = a(a+bc)/2 ≧ 0, また |1-a|≦1, |1-b|≦1, |1-c|≦1, ∴ b+c-bc =1−(1-b)(1-c) ≧ 0, {(2-bc)−a(b+c-bc)}・{(2-bc)+(a+bc)(b+c-bc)} = (2-bc){(2-bc)+bc(b+c-bc)}−(aa+abc)(b+c-bc)^2 = (2-bc)(1-b)(1-c){(2-bc)+2(b+c-bc)}+{(b-c)^2−(aa+bb+cc+abc-4)}(b+c-bc)^2, {1-a, 1-b, 1-c} のうち2つは同符号だから (1-b)(1-c)≧0とした。 >>41 [2] Σ(x-1)^2 = S(2) - 2S(1) + S(0) = 4, ∴ x≦ 1+2=3. (2xx+4x-3) + (3-x)(1+x)(1-x)^2 = 4x^3−x^4 = 4xx - xx(x-2)^2, ∴ 2xx + 4x−3 ≦ 4x^3−x^4 ≦ 4xx, x=a,b,c,d でたす。 2S(2) + 4S(1)−3S(0) ≦ 4S(3)−S(4) ≦ 4S(2). >>49 [96] yz/x = a, zx/y = b, xy/z = c とおくと x = √(bc), y = √(ca), z = √(ab). (左辺) - (右辺) = (a+b+c)^3 - 8ab√(ab) - 8bc√(bc) - 8ca√(ca) - 3abc ≧ (a+b+c)^3 - 4ab(a+b) - 4bc(b+c) - 4ca(c+a) - 3abc = a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) = F_1(a, b, c) ≧ 0. (Schur-1) >>57 [1] 題意より 0 < a b c < √2 < a+b b+c c+a, a,b,c は△の3辺をなすので、 b+c-a = x, c+a-b = y, a+b-c = z, とおく(Ravi変換)。 ss-t = 2(aa+bb+cc) = 6, (左辺) = (y+z)/(2xx) + (z+x)/(2yy) + (x+y)/(2zz) ≧ x/(yz) + y/(zx) + z/(xy) = (xx+yy+zz)/(xyz) = (ss-2t)/u, (右辺) = 3/(abc)^2 = 3 {8/(st-u)}^2 ≦ 3 (9/st)^2 ≦ 81/(sssu), (← tt ≧ 3su) さてs>0を固定すると f(t)={3(ss-t)/(2ss)}^(5/2) はtに関して下に凸。 (ss-2t) = (ss-3t) + t ≧ {(3/2)^(5/2)}(ss/3 -t) + t = f(0)(ss/3 -t) + f(ss/3)t ≧ (ss/3)f(t) = 81/sss, これを左辺に入れる。 >>58 [6] p = (√b+√c-√a)/2 >0, q = (√c +√a-√b)/2 >0, r = (√a+√b-√c)/2 >0, とおく。 b+c-a = 4pp -2(p-q)(p-r)/2, √(b+c-a) ≦ 2p - 2(p-q)(p-r)/4p, (左辺) = √(b+c-a)/(2p) + √(c+a-b)/(2q) + √(a+b-c)/(2r) ≦ 3 - (p-q)(p-r)/(4pp) - (q-r)(q-p)/(4qq) - (r-p)(r-q)/(4rr) = 3 - (1/4) F_{-2}(p q r) = 3 - (pqr/4) F_1(1/p 1/q 1/r) ≦ 3. >>59 [50] (1) チェビシェフにより、 log(左辺) = (b+c)log(a)+(c+a)log(b)+(a+b)log(c) ≦ (2/3)(a+b+c)log(abc), (2) (x-1)log(x) ≧ 0 より log(左辺) = (a+b+c)log(abc)−a・log(a)−b・log(b)−c・log(c) ≦ (a+b+c)log(abc)−log(a)−log(b)−log(c) = (a+b+c-1)log(abc). >>60 [78] AM-GMにより 本問は abc ≧ {(2b-a)(2c-b)(2a-c)}^(1/4)・{(a+b+c)/3}^(9/4), 厄介な附帯条件を消すために 2a-c = A, 2b-a = B, 2c-b = C, とおくと A,B,C ≧ 0, a+b+c = A+B+C, a = (4A+B+2C)/7, b = (2A+4B+C)/7, c = (A+2B+4C)/7, となる。これを用いると (7^3)abc = (4A+B+2C)(2A+4B+C)(A+2B+4C) = 8SSS + 13ST + 10U + 3 ≧ 8SSS + 13ST + 10U − (23/18)S(SS-3T) = (101/18)S(SS+3T) + (10/27)(SSS+SSS+SSS+27U) ≧ (101/18)S{SS+3√(3SU)} + (10/27)(SSS+SSS+SSS+27U) ≧ 303・U^(1/4)・(S/3)^(9/4) + 40・U^(1/4)・(S/3)^(9/4) = (7^3)・U^(1/4)・(S/3)^(9/4) = (7^3)・(ABC)^(1/4)・{(A+B+C)/3}^(9/4), ここに、 S = A+B+C, T = AB+BC+CA, U = ABC, = (A-B)(B-C)(C-A). >>61 [79] AM-GM により (左辺) ≧3/{abc・(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}^(1/3) ≧ 3/{u^(1/3)√(3u/s)} ≧ 3/{√(t/3)・√(3u/s) = 3√{s/(tu)} = (右辺), ∵ {(a+b-c)(b+c-a)+(b+c-a)(c+a-b)+(c+a-b)(a+b-c)}/3 = (4t−ss)/3 ≦ 3u/s. >>63 [76] f(x) は単調減少かつ下に凸(x>0)。 Jensenにより、 a・f(4bb+4cc+bc) + b・f(4cc+4aa+ca) + c・f(4aa+4bb+ab) ≧ (a+b+c) f({a(4bb+4cc+bc)+b(4cc+4aa+ca)+c(4aa+4bb+ab)}/(a+b+c)) = s・f((4st-9u)/s) ≧s・f(ss) = 1, (← f(x) = 1/√x ) ここで、s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc, とおいた。 >>64 [117] (左辺)−(右辺) = {(x+y-z)yy(z-x)^2+(y+z-x)zz(x-y)^2+(z+x-y)xx(y-z)^2}/(2xyz) ≧ 0. >>65 [178] (x+y)/√2 = u, (x-y)/√2 = v, とおくと与式は (uu+vv)^2 = 2uv, x+y ≦ (1/4)(3^(1/4)) = 0.3290185032 この閉曲線を (Jakob Bernoulliの) Lemniscate と云うらしい。 〔問題174〕 正の実数 a, b, c>0 に対して、以下の不等式が成り立つことを証明せよ: (1/aa+1/bb+1/cc)(a+b+c)^4 ≧ 81(aa+bb+cc), ルーマニア Team Selection Test-2006 3日目・問4 Inequalitybot [174] https://twitter,com/Inequalitybot/status/1767400271775420691 s^6 = {(aa+bb+cc) + t + t}^3 ≧ 3(aa+bb+cc)tt, を使う。 >>65 [178] (x+y)/√2=u, (x-y)/√2=v とおくと xx + yy = uu + vv = (uu/3) + (uu/3) + (uu/3) +vv ≧ 4(1/3)^{3/4}・√(uuuv), (左辺) = (xx+yy)^2 = (uu+vv)^2 ≧ 16(1/3)^{3/2}・uuuv, (右辺) = xx−yy = 2uv, 2uu ≦ (1/4)・3^{3/2} x+y = u√2 ≦ (1/2)・3^{3/4} =1.139753528, なお、このとき xy = (√3)/8, xx + yy = uu + vv = (√3)/2, xx - yy = 2uv = 3/4, 〔問題195〕 実数 x,y,z が x+y+z = 0 を満たすとする。 このとき以下の不等式が成り立つことを示せ: (xx + yy + zz)^3 ≧ 6(x^3 + y^3 + z^3)^2, 蕉湖市数学競技会 Inequalitybot [195] https://twitter,com/Inequalitybot/status/1768487435133243853 x=b-c, y=c-a, z=a-b とおくと x + y + z = 0, xx + yy + zz = 2(aa+bb+cc-ab-bc-ca) = 2(ss-3t), x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz = 3(a-b)(b-c)(c-a) = 3, >>65 [178] 焦点を A(-1/√2, 0) B(1/√2, 0) とおく。 P(x, y) の軌跡は AP・BP = 1/2. >>35 訂正、スマソ [47] 右辺の指数は3が正しい。 〔問題97〕 正の実数 a,b,c>0 が a+b+c+√(abc) = 4 を満たすとする。 このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ: √(bc/a) + √(ca/b) + √(ab/c) ≧ a + b + c, 中国 Team Selection Test-2007, 2日目, 問1 Inequalitybot [97] https://twitter,com/Inequalitybot/status/1770299374251434063 x = √(bc/a), y = √(ca/b), z = √(ab/c) とおくと、 a+b+c = yz+zx+xy, 4 = a+b+c + √(abc) = yz+zx+xy + xyz, 〔問題3〕 正の実数 a,b,c>0 が 1/a+1/b+1/c = a+b+c を満たすとする。 このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ: 1/(2a+b+c)^2 + 1/(2b+c+a)^2 + 1/(2c+a+b)^2 ≦ 3/16, IMO Short List-2009 予選 A-2 Inequalitybot [3] https://twitter,com/Inequalitybot/status/1770238976504533266 AM-GM より、 (2a+b+c)^2 ≧ 4(a+b)(a+c), etc. 〔問題86-改〕 実数a,b,cに対して、以下の不等式が成り立つことを示せ: 2√{3(aa+bb+cc)} ≧ √(2aa+2bb) + √(2bb+2cc) + √(2cc+2aa) ≧ √{3(a+b)^2 + 3(b+c)^2 + 3(c+a)^2} ≧ 2(a+b+c), ポーランドMO-2004, Final, 2日目, 問1 Inequalitybot [86] https://twitter,com/Inequalitybot/status/1769997384006918161 >>66 [5] 第1証明: (左辺)−1 = {(xy+yz+zx-3)^2 + 2(xyz−1)[2xyz−(x+1)(y+1)(z+1)+6]}/{(x-1)(y-1)(z-1)}^2 ≧0, (← xyz=1) 第2証明: a = x/(x-1), b = y/(y-1), c = z/(z-1), を代入すると、xyz=1 という条件は abc = (a-1)(b-1)(c-1) に同値になる。 この式から (左辺) = aa + bb + cc = (a+b+c−1)^2 + 1 + 2{(a-1)(b-1)(c-1)−abc} = (a+b+c−1)^2 + 1 ≧ 1. >>71 [174] a+b+c = s, ab+bc+ca = t, abc = u, とおくと ss = (aa+bb+cc) + t + t, (左辺) ≧ (1/ab + 1/bc + 1/ca) s^4 = (s/u) s^4 = (s^6) /su = (aa+bb+cc + t + t)^3 /su ≧ 27 (aa+bb+cc) tt/su ≧ 81 (aa+bb+cc). (← tt≧3su) 〔問題189〕 a, b, c >0 に対して、以下の不等式が成り立つことを証明せよ: {(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2 ≧ 27(ab+bc+ca)^3, だるまにおん:作 Casphy!−高校数学板−不等式スレ1−339 2chの過去スレ (第3章)−727, 737, 739 Inequalitybot [189] https://twitter,com/Inequalitybot/status/1771144946873217064 [補題] a+b+c=s, ab+bc+ca=t とおくと |(a-b)(b-c)(c-a)| ≦ (2/√3)(ss-3t)t/s, 等号成立は {a, b, c} = {0, √3 -1, √3 +1} のとき。 (a-b)(b-c)(c-a) = 凵@を 差積 とよぶ。 |處 ≦ 2/(3√3)・(ss-3t)^{3/2}, (略証) 竸2 = (4/27)(ss-3t)^3 − (1/27){(2a-b-c)((2b-c-a)(2c-a-b)}^2 ≦ (4/27)(ss-3t)^3. 〔問題3.98〕 任意の実数a,b,cに対して |處 ≦ 9/(16√2)・(ss-2t)^2 /s IMO-2006 Inequalitybot [7] 佐藤(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013) p.142 問題3.98 〔問題1.96〕 a,b,c を非負実数とする。このとき、 |(a-b)(b-c)(c-a)| ≦ (a^3+b^3+c^3−3abc)/4 (略証) b は a, c の中間にあるとする。 a^3+b^3+c^3 − 3abc = (a+b+c)(aa+bb+cc-ab-bc-ca), と因数分解する。 a+b+c ≧ |a-b| + |b-c| + min{|a-b|, |b-c|} aa + bb + cc - ab - bc - ca = (a-b)^2 + (a-b)(b-c) + (b-c)^2, 辺々掛けて a^3+b^3+c^3−3abc ≧ (|a-b|+|b-c|)^3 = (|a-b|+|b-c|)^2・|c-a| ≧ 4|a-b||b-c||c-a| = 4|處, ルーマニアMO-2007 佐藤(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013) p.43 演習問題1.96 〔楠瀬の不等式〕 a,b,c ≧0 とする。このとき、 |(a-b)(b-c)(c-a)| ≦ (a^3+b^3+c^3−3abc) / Ku, ここで Ku = √(9+6√3) = 4.403669475 (楠瀬の定数) 数学セミナー, Vol.31, No.4&7 日本評論社 (1992年4月号&7月号) >>82 {(3/2)ss} + 3(ss-3t) = 4{(9/8)(ss-2t)} = 4・AM, GM-AM で {(3/2)ss}(ss-3t)^3 ≦ {(9/8)(ss-2t)}^4, 等号成立は ss+6t = 0 のとき。 (a, b, c) = ((1+3/√2), 1, (1−3/√2)) ∴ |處 ≦ 2/(3√3)・(ss-3t)^{3/2} ≦ 9/(16√2)・(ss-2t)/|s|, 〔問題3.98-改〕 a,b,c を非負実数に制限するとき、 |處 ≦ (1/4) (ss-2t)^2 /s, 等号成立は (a, b, c) = (0, 1, (1+√2)) 〔問題30〕 正の実数 a,b,c >0 が aa ≦ bb+cc, bb ≦ cc+aa, cc ≦ aa+bb を満たすとする。 このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ: (a+b+c)(aa+bb+cc)(a^3+b^3+c^3) ≧ (aa+bb+cc)^3 ≧ 4(a^6+b^6+c^6), JMO-2001, 問3 Inequalitybot [30] https://twitter,com/Inequalitybot/status/1773983650553696305 >>73 [195] x=b-c, y=c-a, z=a-b 等とおくと (左辺)−(右辺) = 8(ss-3t)^3 − 54刧 = 2{(2x-y-z)(2y-z-x)(2z-x-y)}^2 ≧ 0, >>76 [97] x=√(bc/a), y=√(ca/b), z=√(ab/c), s = x+y+z, t = xy+yz+zx = a+b+c, u = xyz = √(abc), とおく。 題意より、 t+u = 4, ∴ u ≦ 1, t ≧ 3, s ≧ √(3t) ≧ 3。 ∴ s(ss-tt) = F1(x y z) + (st-9)u ≧0, ∴ s ≧ t. >>77 [3] AM-GMより、 (2a+b+c)^2 ≧ 4(a+b)(a+c) etc, (左辺) ≦ (a+b+c)/{2(a+b)(b+c)(c+a)} = s/{2(st-u)} ≦ 9/(16t), (st-u) ≧ (8/9)st ↑ 題意より、 tt ≧ 3abc(a+b+c) = 3abc(1/a+1/b+1/c) = 3t, ∴ t ≧ 3。 >>78 [86] (左辺)^2 = 4(aa+bb+cc) + 4√(aa+bb)√(bb+cc) + … + … ≧ 4(aa+bb+cc) + 2(a+b)(b+c) + 2(b+c)(c+a) + 2(c+a)(a+b) = 3(a+b)^2 + 3(b+c)^2 + 3(c+a)^2 = (中辺)^2. >>81 [189] (左辺) − (右辺) = (3st+)^2 - 27t^3 = 9(ss-3t)tt + 6st + 刧, ∴ [補題] に帰着する。 前スレ第3章−727, 737, 739 凾フ外接円の半径をR, 内接円の半径をrとすると R−2r > 0, OI = √{R(R-2r)}, Chapple-Euler このとき、凾フ面積Sが取りうる値の範囲は r√(2RR+10rR-rr−2√{R(R-2r)^3}) ≦ S ≦ r√(2RR+10rR-rr+2√{R(R-2r)^3}), 高校数学の質問スレ_Part434−88 S:最小のとき h = R + r −√{R(R-2r)}, 底辺 2(√r)√(4R+r-2h), 斜辺 √(2hR), S:最大のとき h = R + r + √{R(R-2r)}, 底辺 2(√r)√(4R+r-2h), 斜辺 √(2hR), 〔問題44〕 正の実数 a, b, c >0 に対して、以下の不等式が成り立つことを示せ: (2a+b+c)^2/[2aa+(b+c)^2] +(2b+c+a)^2/[2bb+(c+a)^2] +(2c+a+b)^2/[2cc+(a+b)^2] ≦ 8 USAMO-2003 問5 Inequalitybot [44] https://twitter,com/Inequalitybot/status/1780265040589054125 >>91 [44] a+b+c = s とおく。 (2a+b+c)^2/{2aa+(b+c)^2} = (a+s)^2/{2aa+(s-a)^2} ≦ 4a/s + 4/3, (← a=s/3 で接線を曳く) 循環的にたす。 a=s/3 での接線より下側に来る。計算は面倒だが。。。 >>86 [30] コーシーにより、 (左辺) ≧ (aa+bb+cc)^3 = 4(a^6+b^6+c^6) + 6(abc)^2 + 3(bb+cc-aa)a^4 + 3(cc+aa-bb)b^4 + 3(aa+bb-cc)c^4 ≧ 4(a^6+b^6+c^6) + 6(abc)^2 = (右辺), 〔問題185〕 a+b+c=1 を満たす非負実数 a,b,c ≧ 0 に対して以下の不等式が成り立つことを示せ: a/[1+9bc+4(b-c)^2] + b/[1+9ca+4(c-a)^2] + c/[1+9ab+4(a-b)^2] ≧ 1/2, JMO-2014, 問5 Inequalitybot [185] https://twitter,com/Inequalitybot/status/1786002848133914750 Casphy! - bbs - highmath - 不等式2 - 176&186 ↑ [185] コーシーにより、 (左辺) = aa/{a+9abc+4a(b-c)^2} + cyclic ≧ (a+b+c)^2/{s+27u+4(st-9u)} ≧ sss/{2sss−F1(a,b,c)} (s=1) ≧ 1/2. (Schur-1) read.cgi ver 07.5.4 2024/05/19 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる