0056prime_1322024/02/28(水) 12:13:51.31ID:HBssbLmu
R.m.s. ≧ A.M.
ak ≧ 0 (k=1,2,…,n) とする。
n(a1+a2…+an) = (√a1+√a2+…+√an)^2 + Σ[i<j] (√aj - √ai)^2,
∴ √{n(a1+a2+…+an)} ≧ √a1 + √a2 + … + √an,
等号成立は a1 = a2 = … = an のとき。
高校数学の質問スレ_Part432－839
0057１３２人目の素数さん2024/03/03(日) 03:06:16.39ID:T4KfkjL6
0058prime_1322024/03/03(日) 03:39:21.28ID:T4KfkjL6
0059１３２人目の素数さん2024/03/03(日) 04:31:36.82ID:T4KfkjL6
0060１３２人目の素数さん2024/03/03(日) 04:52:09.01ID:T4KfkjL6
0061１３２人目の素数さん2024/03/03(日) 05:04:06.01ID:T4KfkjL6
0062１３２人目の素数さん2024/03/03(日) 05:20:40.43ID:T4KfkjL6
0063１３２人目の素数さん2024/03/04(月) 15:55:59.60ID:7R5VfzvY
0064１３２人目の素数さん2024/03/04(月) 16:04:52.36ID:7R5VfzvY
0065１３２人目の素数さん2024/03/05(火) 18:03:35.47ID:pze3YHb2
0066１３２人目の素数さん2024/03/09(土) 00:20:32.18ID:9TLceQPN
0067１３２人目の素数さん2024/03/10(日) 02:29:24.98ID:7717P9hP
>>35
[47] コーシー
>>36
[61]
aab + bbc + cca + abc ≦ (4/27)(a+b+c)^3.
(略証) 0≦a≦b,c としてもよい。
4(a+b+c)^3 － 27(aab+bbc+cca+abc)
＝ 9a(aa+bb+cc-ab-bc-ca) + (4b+c-5a)(a+b-2c)^2
≧ 0.
等号成立は (a, b, c) = (0, 2/3, 1/3)、(0, -1/3, 4/3）とそのrotation
>>37
[123] 部分積分を利用する。
0 ≦ ∫ {f '(x) + x - 1/2}^2 dx
= ∫ {f '(x)}^2 dx + ∫ f '(x)(2x-1)dx + ∫ (x-1/2)^2 dx
= ∫ {f '(x)}^2 dx －2∫ f(x)dx + [ f(x)(2x-1) ] + (1/3)[ (x-1/2)^3 ]
= ∫ {f '(x)}^2 dx －2∫ f(x)dx + f(0) + f(1) + (1/3)[(1/8)－(-1/8)]
= ∫ {f '(x)}^2 dx －2∫ f(x)dx + c,
c = f(0) + f(1) + (1/3)(1/4) = (-1/6) + (-1/6) + 1/12 = -1/4.
>>40
[37]
a,b,c > 1 とすると 題意を満たさない。
min{a,b,c} = m ≦ 1,
(ab+bc+ca)－abc ≧ (ab+bc+ca)m － abc ≧ 0,
右) 2 + abc－(ab+bc+ca)＝(2-bc)－a(b+c-bc),
2-bc ≧ (4-bb-cc)/2 ＝ a(a+bc)/2 ≧ 0,
また |1-a|≦1, |1-b|≦1, |1-c|≦1,
∴ b+c-bc ＝１－(1-b)(1-c) ≧ 0,
{(2-bc)－a(b+c-bc)}･{(2-bc)＋(a+bc)(b+c-bc)}
＝ (2-bc){(2-bc)+bc(b+c-bc)}－(aa+abc)(b+c-bc)^2
＝ (2-bc)(1-b)(1-c){(2-bc)+2(b+c-bc)}＋{(b-c)^2－(aa+bb+cc+abc-4)}(b+c-bc)^2,
{1-a, 1-b, 1-c} のうち２つは同符号だから (1-b)(1-c)≧0とした。
>>41
[2]
Σ(x-1)^2 = S(2) - 2S(1) + S(0) = 4,
∴ x≦ 1+2=3.
(2xx+4x-3) + (3-x)(1+x)(1-x)^2
= 4x^3－x^4
= 4xx - xx(x-2)^2,
∴ 2xx + 4x－3 ≦ 4x^3－x^4 ≦ 4xx,
x=a,b,c,d でたす。
2S(2) + 4S(1)－3S(0) ≦ 4S(3)－S(4) ≦ 4S(2). 0068１３２人目の素数さん2024/03/10(日) 02:53:54.51ID:7717P9hP
>>49
[96]
yz/x = a, zx/y = b, xy/z = c とおくと
x = √(bc), y = √(ca), z = √(ab).
(左辺) - (右辺) = (a+b+c)^3 - 8ab√(ab) - 8bc√(bc) - 8ca√(ca) - 3abc
≧ (a+b+c)^3 - 4ab(a+b) - 4bc(b+c) - 4ca(c+a) - 3abc
= a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b)
= F_1(a, b, c)
≧ 0. (Schur-1)
>>57
[1]
題意より 0 < a b c < √2 < a+b b+c c+a,
a,b,c は△の3辺をなすので、
b+c-a = x, c+a-b = y, a+b-c = z,
とおく（Ravi変換）。
ss-t = 2(aa+bb+cc) = 6,
(左辺) = (y+z)/(2xx) + (z+x)/(2yy) + (x+y)/(2zz)
≧ x/(yz) + y/(zx) + z/(xy)
= (xx+yy+zz)/(xyz)
= (ss-2t)/u,
(右辺) = 3/(abc)^2
= 3 {8/(st-u)}^2
≦ 3 (9/st)^2
≦ 81/(sssu), (← tt ≧ 3su)
さてs>0を固定すると f(t)={3(ss-t)/(2ss)}^(5/2) はｔに関して下に凸。
(ss-2t) = (ss-3t) + t
≧ {(3/2)^(5/2)}(ss/3 -t) ＋ t
= f(0)(ss/3 -t) ＋ f(ss/3)t
≧ (ss/3)f(t)
= 81/sss,
これを左辺に入れる。
>>58
[6]
p = (√b+√c-√a)/2 >0, q = (√c +√a-√b)/2 >0, r = (√a+√b-√c)/2 >0,
とおく。
b+c-a = 4pp -2(p-q)(p-r)/2,
√(b+c-a) ≦ 2p - 2(p-q)(p-r)/4p,
(左辺) = √(b+c-a)/(2p) + √(c+a-b)/(2q) + √(a+b-c)/(2r)
≦ 3 - (p-q)(p-r)/(4pp) - (q-r)(q-p)/(4qq) - (r-p)(r-q)/(4rr)
= 3 - (1/4) F_{-2}(p q r)
= 3 - (pqr/4) F_1(1/p 1/q 1/r)
≦ 3.
>>59
[50]
(1) チェビシェフにより、
log(左辺) ＝ (b+c)log(a)＋(c+a)log(b)＋(a+b)log(c)
≦ (2/3)(a+b+c)log(abc),
(2) (x-1)log(x) ≧ 0 より
log(左辺) ＝ (a+b+c)log(abc)－a･log(a)－b･log(b)－c･log(c)
≦ (a+b+c)log(abc)－log(a)－log(b)－log(c)
＝ (a+b+c-1)log(abc). 0069１３２人目の素数さん2024/03/10(日) 03:19:25.38ID:7717P9hP
>>60
[78]
AM-GMにより 本問は
abc ≧ {(2b-a)(2c-b)(2a-c)}^(1/4)･{(a+b+c)/3}^(9/4),
厄介な附帯条件を消すために
2a-c = A, 2b-a = B, 2c-b = C,
とおくと
A,B,C ≧ 0,
a+b+c ＝ A+B+C,
a = (4A+B+2C)/7,
b = (2A+4B+C)/7,
c = (A+2B+4C)/7,
となる。これを用いると
(7^3)abc = (4A+B+2C)(2A+4B+C)(A+2B+4C)
＝ 8SSS ＋ 13ST ＋ 10U + 3⊿
≧ 8SSS ＋ 13ST ＋ 10U － (23/18)S(SS-3T)
＝ (101/18)S(SS+3T) ＋ (10/27)(SSS+SSS+SSS+27U)
≧ (101/18)S{SS+3√(3SU)} ＋ (10/27)(SSS+SSS+SSS+27U)
≧ 303･U^(1/4)･(S/3)^(9/4) ＋ 40･U^(1/4)･(S/3)^(9/4)
= (7^3)･U^(1/4)･(S/3)^(9/4)
= (7^3)･(ABC)^(1/4)･{(A+B+C)/3}^(9/4),
ここに、
S = A+B+C, T = AB+BC+CA, U ＝ ABC, ⊿ ＝ (A-B)(B-C)(C-A).
>>61
[79]
AM-GM により
(左辺) ≧3/{abc･(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}^(1/3)
≧ 3/{u^(1/3)√(3u/s)}
≧ 3/{√(t/3)・√(3u/s)
＝ 3√{s/(tu)}
＝ (右辺),
∵ {(a+b-c)(b+c-a)＋(b+c-a)(c+a-b)＋(c+a-b)(a+b-c)}/3 ＝ (4t－ss)/3 ≦ 3u/s. 0070１３２人目の素数さん2024/03/10(日) 03:37:06.70ID:7717P9hP
>>63
[76]
f(x) は単調減少かつ下に凸(x>0)。
Jensenにより、
a･f(4bb+4cc+bc) ＋ b･f(4cc+4aa+ca) ＋ c･f(4aa+4bb+ab)
≧ (a+b+c) f({a(4bb+4cc+bc)＋b(4cc+4aa+ca)＋c(4aa+4bb+ab)}/(a+b+c))
= s･f((4st-9u)/s)
≧s･f(ss)
= 1, (← f(x) = 1/√x )
ここで、s = a+b+c, t = ab+bc+ca, u = abc, とおいた。
>>64
[117]
(左辺)－(右辺) ＝ {(x+y-z)yy(z-x)^2＋(y+z-x)zz(x-y)^2＋(z+x-y)xx(y-z)^2}/(2xyz)
≧ 0.
>>65
[178]
(x+y)/√2 = u, (x-y)/√2 = v,
とおくと与式は
(uu+vv)^2 = 2uv,
x+y ≦ (1/4)(3^(1/4)) = 0.3290185032
この閉曲線を (Jakob Bernoulliの) Lemniscate と云うらしい。 0071１３２人目の素数さん2024/03/14(木) 04:36:41.86ID:pqilCdeM
0072１３２人目の素数さん2024/03/18(月) 01:48:15.33ID:U1YMYHbv
>>65
[178]
(x+y)/√2=u, (x-y)/√2=v とおくと
xx + yy = uu + vv
= (uu/3) + (uu/3) + (uu/3) +vv
≧ 4(1/3)^{3/4}･√(uuuv),
(左辺) = (xx+yy)^2 = (uu+vv)^2 ≧ 16(1/3)^{3/2}･uuuv,
(右辺) = xx－yy = 2uv,
2uu ≦ (1/4)･3^{3/2}
x+y = u√2 ≦ (1/2)･3^｛3/4} =1.139753528,
なお、このとき
xy = (√3)/8,
xx + yy = uu + vv = (√3)/2,
xx - yy = 2uv = 3/4,
0073１３２人目の素数さん2024/03/18(月) 02:29:06.34ID:U1YMYHbv
〔問題195〕
実数 x,y,z が x+y+z = 0 を満たすとする。
このとき以下の不等式が成り立つことを示せ：
(xx + yy + zz)^3 ≧ 6(x^3 + y^3 + z^3)^2,
蕉湖市数学競技会
Inequalitybot [195]
https://twitter,com/Inequalitybot/status/1768487435133243853
x=b-c, y=c-a, z=a-b とおくと
x + y + z = 0,
xx + yy + zz = 2(aa+bb+cc-ab-bc-ca) = 2(ss-3t),
x^3 + y^3 + z^3 = 3xyz = 3(a-b)(b-c)(c-a) = 3⊿, 0074１３２人目の素数さん2024/03/19(火) 03:59:11.04ID:ubIdb7Zy
>>65
[178]
焦点を A(-1/√2, 0) B(1/√2, 0) とおく。
P(x, y) の軌跡は
AP・BP = 1/2. 0075１３２人目の素数さん2024/03/20(水) 02:05:46.52ID:UTto2JPI
>>35 訂正、ｽﾏｿ
[47]
右辺の指数は３が正しい。 0076１３２人目の素数さん2024/03/21(木) 02:38:53.05ID:X8MM5heP
〔問題97〕
正の実数 a,b,c>0 が a+b+c+√(abc) = 4 を満たすとする。
このとき、以下の不等式が成り立つことを示せ：
√(bc/a) + √(ca/b) + √(ab/c) ≧ a + b + c，
中国 Team Selection Test-2007, 2日目, 問1
Inequalitybot [97]
https://twitter,com/Inequalitybot/status/1770299374251434063
x = √(bc/a), y = √(ca/b), z = √(ab/c) とおくと、
a+b+c = yz+zx+xy,
4 = a+b+c + √(abc) = yz+zx+xy + xyz, 0077１３２人目の素数さん2024/03/21(木) 02:48:32.12ID:X8MM5heP
0078１３２人目の素数さん2024/03/21(木) 03:01:20.40ID:X8MM5heP
0079１３２人目の素数さん2024/03/21(木) 21:12:31.31ID:X8MM5heP
>>66
[5]
第１証明：
(左辺)－1 = {(xy+yz+zx-3)^2 + 2(xyz－1)[2xyz－(x+1)(y+1)(z+1)+6]}/{(x-1)(y-1)(z-1)}^2
≧0, (← xyz=1)
第２証明：
a = x/(x-1), b = y/(y-1), c = z/(z-1),
を代入すると、xyz=1 という条件は abc = (a-1)(b-1)(c-1) に同値になる。
この式から
(左辺) = aa + bb + cc
= (a+b+c－1)^2 + 1 + 2{(a-1)(b-1)(c-1)－abc}
= (a+b+c－1)^2 + 1
≧ 1. 0080１３２人目の素数さん2024/03/23(土) 14:48:46.29ID:th372JkH
>>71
[174]
a+b+c = s, ab+bc+ca = t, abc = u,
とおくと
ss = (aa+bb+cc) + t + t,
(左辺) ≧ (1/ab + 1/bc ＋ 1/ca) s^4
＝ (s/u) s^4
＝ (s^6) /su
＝ (aa+bb+cc + t + t)^3 /su
≧ 27 (aa+bb+cc) tt/su
≧ 81 (aa+bb+cc). (← tt≧3su) 0081１３２人目の素数さん2024/03/24(日) 02:17:22.98ID:JQZhW1Hp
〔問題189〕
a, b, c >0 に対して、以下の不等式が成り立つことを証明せよ：
{(a+2b)(b+2c)(c+2a)}^2 ≧ 27(ab+bc+ca)^3,
だるまにおん：作
Casphy!－高校数学板－不等式スレ１－339
2chの過去スレ (第３章)－727, 737, 739
Inequalitybot [189]
https://twitter,com/Inequalitybot/status/1771144946873217064
[補題]
a+b+c=s, ab+bc+ca=t とおくと
|(a-b)(b-c)(c-a)| ≦ (2/√3)(ss-3t)t/s,
等号成立は {a, b, c} = {0, √3 -1, √3 +1} のとき。 0082１３２人目の素数さん2024/03/24(日) 17:35:28.25ID:JQZhW1Hp
(a-b)(b-c)(c-a) = ⊿ を 差積 とよぶ。
|⊿| ≦ 2/(3√3)･(ss-3t)^{3/2},
(略証)
⊿^2 = (4/27)(ss-3t)^3 － (1/27){(2a-b-c)((2b-c-a)(2c-a-b)}^2
≦ (4/27)(ss-3t)^3.
〔問題3.98〕
任意の実数a,b,cに対して
|⊿| ≦ 9/(16√2)･(ss-2t)^2 /s
IMO-2006
Inequalitybot [7]
佐藤(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013) p.142
問題3.98
0083１３２人目の素数さん2024/03/24(日) 17:36:23.79ID:JQZhW1Hp
〔問題1.96〕
a,b,c を非負実数とする。このとき、
|(a-b)(b-c)(c-a)| ≦ (a^3+b^3+c^3－3abc)/4
(略証)
b は a, c の中間にあるとする。
a^3+b^3+c^3 － 3abc = (a+b+c)(aa+bb+cc-ab-bc-ca),
と因数分解する。
a+b+c ≧ |a-b| + |b-c| + min{|a-b|, |b-c|}
aa + bb + cc - ab - bc - ca = (a-b)^2 + (a-b)(b-c) + (b-c)^2,
辺々掛けて
a^3+b^3+c^3－3abc ≧ (|a-b|+|b-c|)^3
= (|a-b|+|b-c|)^2･|c-a|
≧ 4|a-b||b-c||c-a|
= 4|⊿|,
ルーマニアMO-2007
佐藤(訳)「美しい不等式の世界」朝倉書店 (2013) p.43
演習問題1.96
0084１３２人目の素数さん2024/03/24(日) 17:37:47.38ID:JQZhW1Hp
〔楠瀬の不等式〕
a,b,c ≧0 とする。このとき、
|(a-b)(b-c)(c-a)| ≦ (a^3+b^3+c^3－3abc) / Ku,
ここで
Ku = √(9+6√3) = 4.403669475 (楠瀬の定数)
数学セミナー, Vol.31, No.4&7 日本評論社 (1992年4月号&7月号)
0085１３２人目の素数さん2024/03/25(月) 03:26:20.48ID:t3sAe982
>>82
{(3/2)ss} + 3(ss-3t) = 4{(9/8)(ss-2t)} = 4･AM,
GM-AM で
{(3/2)ss}(ss-3t)^3 ≦ {(9/8)(ss-2t)}^4,
等号成立は ss+6t = 0 のとき。
(a, b, c) = ((1＋3/√2), 1, (1－3/√2))
∴ |⊿| ≦ 2/(3√3)･(ss-3t)^{3/2} ≦ 9/(16√2)･(ss-2t)/|s|,
〔問題3.98-改〕
a,b,c を非負実数に制限するとき、
|⊿| ≦ (1/4) (ss-2t)^2 /s,
等号成立は (a, b, c) = (0, 1, (1+√2)) 0086１３２人目の素数さん2024/03/30(土) 23:43:07.03ID:U0szAjv9
0087１３２人目の素数さん2024/04/14(日) 02:13:27.23ID:TQbd33b9
>>73
[195]
x=b-c, y=c-a, z=a-b 等とおくと
(左辺)－(右辺) = 8(ss-3t)^3 － 54⊿⊿
= 2{(2x-y-z)(2y-z-x)(2z-x-y)}^2
≧ 0,
>>76
[97]
x=√(bc/a), y=√(ca/b), z=√(ab/c),
s = x+y+z, t = xy+yz+zx = a+b+c, u = xyz = √(abc),
とおく。
題意より、 t+u = 4,
∴ u ≦ 1, t ≧ 3, s ≧ √(3t) ≧ 3。
∴ s(ss-tt) = F1(x y z) + (st-9)u ≧0,
∴ s ≧ t. 0088１３２人目の素数さん2024/04/14(日) 02:40:35.23ID:TQbd33b9
>>77
[3]
AM-GMより、
(2a+b+c)^2 ≧ 4(a+b)(a+c) etc,
(左辺) ≦ (a+b+c)/{2(a+b)(b+c)(c+a)} = s/{2(st-u)} ≦ 9/(16t),
(st-u) ≧ (8/9)st ↑
題意より、
tt ≧ 3abc(a+b+c) = 3abc(1/a+1/b+1/c) = 3t,
∴ t ≧ 3。
>>78
[86]
(左辺)^2 ＝ 4(aa+bb+cc) ＋ 4√(aa+bb)√(bb+cc) ＋ … ＋ …
≧ 4(aa+bb+cc) ＋ 2(a+b)(b+c) ＋ 2(b+c)(c+a) ＋ 2(c+a)(a+b)
＝ 3(a+b)^2 ＋ 3(b+c)^2 ＋ 3(c+a)^2
＝ (中辺)^2.
>>81
[189]
(左辺) － (右辺) = (3st+⊿)^2 - 27t^3
= 9(ss-3t)tt + 6st⊿ + ⊿⊿,
∴ [補題] に帰着する。
前スレ第３章－727, 737, 739 0089１３２人目の素数さん2024/04/14(日) 02:54:24.47ID:TQbd33b9
⊿の外接円の半径をR, 内接円の半径をrとすると
R－2r > 0,
OI = √{R(R-2r)}, Chapple-Euler
このとき、⊿の面積Sが取りうる値の範囲は
r√(2RR+10rR-rr－2√{R(R-2r)^3}) ≦ S ≦ r√(2RR+10rR-rr＋2√{R(R-2r)^3}),
高校数学の質問スレ_Part434－88
0090１３２人目の素数さん2024/04/14(日) 05:00:50.02ID:TQbd33b9
S：最小のとき
h = R + r －√{R(R-2r)},
底辺 2(√r)√(4R+r-2h),
斜辺 √(2hR),
S：最大のとき
h = R + r + √{R(R-2r)},
底辺 2(√r)√(4R+r-2h),
斜辺 √(2hR),
0091１３２人目の素数さん2024/04/18(木) 04:12:33.24ID:wAg8T1zy
0092１３２人目の素数さん2024/05/04(土) 01:55:18.26ID:ft2h0fgD
>>91
[44]
a+b+c = s とおく。
(2a+b+c)^2／{2aa+(b+c)^2}
＝ (a+s)^2／{2aa+(s-a)^2}
≦ 4a/s ＋ 4/3, (← a=s/3 で接線を曳く)
循環的にたす。
a=s/3 での接線より下側に来る。計算は面倒だが。。。 0093１３２人目の素数さん2024/05/04(土) 02:26:44.55ID:ft2h0fgD
>>86
[30]
コーシーにより、
(左辺) ≧ (aa+bb+cc)^3
= 4(a^6+b^6+c^6) + 6(abc)^2 + 3(bb+cc-aa)a^4 ＋ 3(cc+aa-bb)b^4 ＋ 3(aa+bb-cc)c^4
≧ 4(a^6+b^6+c^6) + 6(abc)^2
= (右辺), 0094１３２人目の素数さん2024/05/04(土) 02:41:55.66ID:ft2h0fgD
0095１３２人目の素数さん2024/05/19(日) 19:42:50.68ID:7Ch48rj3
↑
[185]
コーシーにより、
(左辺) ＝ aa/{a+9abc+4a(b-c)^2} + cyclic
≧ (a+b+c)^2/{s+27u+4(st-9u)}
≧ sss/{2sss－F1(a,b,c)} (s=1)
≧ 1/2. （Schur-1）
0096１３２人目の素数さん2024/06/05(水) 01:28:22.99ID:CW+dMJ4E
〔問題18〕
正の実数 x,y,z>0 に対して以下の不等式が成り立つことを示せ：
(xx+yz)/√{2xx(y+z)} + (yy+zx)/√{2yy(z+x)} + (zz+xy)/√{2zz(x+y)}
≧ √x + √y + √z,
アジア太平洋MO-2007 問4
Inequalitybot [18]
佐藤(訳) 「美しい不等式の世界」 朝倉書店 (2013) 問題3.91
0097１３２人目の素数さん2024/06/05(水) 01:36:47.30ID:CW+dMJ4E
〔問題48〕
正の実数 a,b,c >0 に対して、以下の不等式が成り立つことを示せ：
(a^5－aa+3) (b^5－bb+3) (c^5－cc+3) ≧ (a+b+c)^3,
USA-MO-2004 問5
Inequalitybot [48]
* (x^5－xx+3) － (x^3 +1 +1) = (x^3－1)(xx－1) ≧ 0,
0098１３２人目の素数さん2024/06/05(水) 02:03:51.33ID:CW+dMJ4E
〔問題99-改〕
正の実数 a,b,c,d >0 に対して次の不等式が成り立つことを示せ：
(a/b+b/c+c/d+d/a) + (b/a+c/b+d/c+a/d) ≧ 8A/G,
ここに A = (a+b+c+d)/4, G = (abcd)^{1/4}.
IMO-2008 shortlist A5
Inequalitybot [99]
exp(x-y) + exp(x-w) ≧ 2exp((3x+z)/2)
exp(y-z) + exp(w-z) ≧ 2exp((-x-3z)/2)
3/4 exp((3x+z)/2) + 1/4 exp((-x-3z)/2)
≧ exp(x)
3/8 exp(x-y) + 3/8 exp(x-w)
+ 1/8 exp(y-z) + 1/8 exp(w-z)
≧ exp(x)
3/8 exp(x-y) + 3/8 exp(x-w)
+ 3/8 exp(z-y) + 3/8 exp(z-w)
+ 1/8 exp(y-z) + 1/8 exp(w-z)
+ 1/8 exp(y-x) + 1/8 exp(w-x)
≧ exp(x) + exp(z)
0101１３２人目の素数さん2024/06/06(木) 16:09:38.66ID:6RsVF3Lk
Let n be a positive integer.
Let x_1 ≧ x_2 ≧ …… ≧ x_n and y_1 ≧ y_2 ≧ ……≧ y_n
be 2n real numbers such that
x_1 + x_2 + …… + x_n = 0,
y_1 + y_2 + …… + y_n = 0,
and
x_1^2 + x_2^2 + …… + x_n^2 = 1,
y_1^2 + y_2^2 + …… + y_n^2 = 1.
Prove that
Σ[i=1,n] (x_i*y_i － x_i*y_{n+1-i}) ≧ 2/√(n-1),
proposed by David Speyer and Kiran Kedlaya.
0102１３２人目の素数さん2024/06/07(金) 01:05:34.12ID:8Og2fqwy
>>98
AM-GMより
(2a/b + b/c) + a/d ≧ 4a/G,
a/b + (d/c + 2a/d) ≧ 4a/G,
G = (abcd)^{1/4},
辺々たすと
(3a/b + b/c) + (d/c + 3a/d) ≧ 8a/G,
巡回的にたす。 0103１３２人目の素数さん2024/06/11(火) 13:41:30.22ID:s0vzjHwR
〔問題828〕
a,b,c は実数の定数とする。
f(x) = |axx+bx+c|
g(x) = |cxx+bx+a|
とおく。
-1≦x≦1 において f(x)≦1 を満たしているとき、
-1≦x≦1 において g(x)≦2 となることを示せ。
高校数学の質問スレ_Part435 - 828, 848, 857
京都大の問題らしい。(大数の評価 D)
0104１３２人目の素数さん2024/06/12(水) 22:57:32.67ID:+eQLufR0
↑ 条件は
|a-b+c| = f(-1) ≦ 1,
|c| = f(0) ≦ 1,
|a+b+c| = f(1) ≦ 1,
でも十分らしいけど……
0106１３２人目の素数さん2024/06/15(土) 20:56:16.58ID:xakgg+mx
>>104
Max{|a-b+c|, |a+b+c|} = |a+c| + |b|,
を使うらしい…