X
トップページ⇒数学
1002コメント277KB

複素解析2

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0587１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/07(土) 16:49:34.09ID:ytbRAlAH
解析学の基礎は今２章が終わりそうなとこ。３章はトレーブ（未読）、垣田辺りを参考にするつもり。
１章はまだ、てへへ
0588１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/07(土) 16:58:20.18ID:874TK1ra
>>587
トレーブはいい本だよ
今はDoverでも売っている
線形作用素のことは解析学の第2章に書いてある
第3章に垣田のような本は全く通用しない
0589１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/07(土) 17:24:42.95ID:ytbRAlAH
>>588
そういわれるとそうだけどユークリッド空間上の超関数の話も分かっていないとまずいと思います
0590１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/07(土) 17:45:37.86ID:874TK1ra
>>589
シュワルツが書いた超函数の理論か溝畑の偏微分方程式論あたりがシックリくる
ヘルマンダーの主要型とかいう名称の線形偏微分方程式を研究した1960代の本にも書いてある
0592１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/07(土) 18:01:43.95ID:874TK1ra
>>591
溝畑の本を読むには超関数は位相解析の基礎で間に合うけど、
それで足りないなら、ヘルマンダーが1960年代に書いたLinear Partial Differential Operators
この本に主要型という方程式や多様体上のシュワルツの超関数のことは書いてある
0594１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/07(土) 19:26:35.64ID:QCtpNnPb
>>ヘルマンダーが1960年代に書いたLinear Partial Differential Operators

この本は本当によくわかった。
An introduction to complex analysis in several variables
は読めなかったが。
0595１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/08(日) 09:50:31.15ID:4X5BGk4f
>>594
ヘルマンダーが1960年代に書いたLinear Partial Differential Operatorsは
Lewyによる解が存在しない線形偏微分方程式の反例以降
の線形偏微分方程式の解の存在性や一意性などの研究の本でしょ
その本は、後にとんでもなくページ数が増えて4冊からなる本になったな
今でもLinear Partial Differential Operatorsは読む価値あるの？
まあ、ちくまの笠原本は廉価で買えるから、人体実験で読んで見るわ
杉浦の本とどこが違うのか検証する価値はありそうだ
笠原本にはノルムとかの偏微分方程式の記号や不等号の評価は出て来るとは思うが、
ヘルマンダーのAn introduction to complex analysis in several variables
と同じように∂-方程式の解の存在性や可解性、一意性とかの議論をする本なら面白いわな
0596１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/08(日) 09:56:31.02ID:4Ngj40gO
>>An introduction to complex analysis in several variables

ここから「ヘルマンダリズム」を読み取った倉田令二郎の眼力はさすが。
Demaillyはこれを踏襲しながら広げることに成功した。
0597１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/08(日) 09:59:51.07ID:4Ngj40gO
>>595

>>笠原本にはノルムとかの偏微分方程式の記号や
>>不等号の評価は出て来るとは思うが

それが出てくるのは梶原の「複素関数論」
0598１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/08(日) 10:01:31.77ID:rw3LqYDA
>>595
複素解析と関係は詳しくないけどフーリエ積分作用素、擬微分作用素、それらの多様体上の解析が載ってる線型微分方程式の研究には必須の教科書
0599１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/08(日) 10:12:21.73ID:4X5BGk4f
>>596
ああいう特徴ある書き方をした多変数複素解析のテキストはヘルマンダーの
An introduction to complex analysis in several variables
がお初だが、そういうものかい？
0601１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/08(日) 10:19:56.25ID:4Ngj40gO
1965年のActa論文の評価が非常に高かったので
それを踏まえて
最初から
新たな多変数複素解析の理論を建設するつもりで書いたのが
1966年の本だったのだと思う。
2003年の論文にはそんな気持ちが出ている。
0602１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/08(日) 10:20:36.01ID:4X5BGk4f
>>597
解析的な解説の本なのにノルムや不等号の評価とかしないの？
笠原本はどういうことをする本なの？
0603１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/08(日) 10:36:51.65ID:4X5BGk4f
笠原本のモジュラー関数のところは使える
笠原本に解析接続の手法が数通りある解説があるかどうかは知らないが
0604１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/08(日) 10:52:54.59ID:4Ngj40gO
>>解析的な解説の本なのにノルムや不等号の評価とかしないの？

ポンペイユの公式を使ってクザン問題を解き
その二三の帰結を述べるだけで
このレベルのtextとしては十分だろう。

ちなみに笠原先生は多変数の積分公式に詳しいことでも有名
0605１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/08(日) 10:54:45.47ID:4Ngj40gO
>>603
>>笠原本のモジュラー関数のところは使える

なるほど。「学べる」ではないわけね。
0607１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/08(日) 17:10:36.35ID:FdBiJZV6
>>606
「モジュラー関数がピカールの大定理の証明に使える」
という文章だったら大変よくわかるのだが
0608１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/08(日) 17:12:48.13ID:NXphTd9y
取り敢えず笠原本を読むのはそのうちでいいや
興味深い主要型方程式のLinear Partial Differential Operatorsが先
0610１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/08(日) 17:19:18.67ID:NXphTd9y
>>607
笠原本に書いてあるかどうか知らないが、
複素上半平面の単位円上のモジュラー関数の解析には興味がある
0611１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/08(日) 17:29:19.51ID:NXphTd9y
Linear Partial Differential Operatorsは
Hassell Street Press社から出ているものでも問題ないよね
0613１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/08(日) 17:38:54.27ID:ESpHe8EN
鬼本の解析学の基礎が話題になっている
0614１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/08(日) 18:11:27.83ID:rw3LqYDA
>>612
普通は実解析（ルベーグ積分）、偏微分方程式入門（擬微分作用素入門）ぐらいはいる
他に多様体、コホモロジーは知らんけど
0615１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/08(日) 18:53:48.05ID:4Ngj40gO
>>610

>>複素上半平面の単位円上のモジュラー関数の解析

なにこれ？
0616１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/09(月) 01:06:11.81ID:7tzXwz3C
君子の楽しみは志を実現すること、小人の楽しみは物を手に入れること
0619１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/09(月) 09:02:08.45ID:ipY7Dqt+
>>君子の楽しみは志を実現すること、小人の楽しみは物を手に入れること
>>パヨクの同誌はオブジェクション連呼しか脳が無い。
志を実現することも物を手に入れることもできなければ
・・・・・しかできない。
0622１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/09(月) 11:29:51.93ID:ubTQQ+rW
>>614
不思議なことに、実解析（ルベーグ積分）、偏微分方程式入門（擬微分作用素入門）のような
ことをしているうちに、複雑な解析を要する微積分レベルのことが出来るようになってしまう

>>615
歴史的には、多変数論を研究していたジーゲルは、モジュラー形式などの特殊関数の理論が
多変数複素関数論に拡張出来そうもなく、不平を漏らしたそうだ
0624１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/09(月) 16:27:46.82ID:ipY7Dqt+
>>622
>>複素上半平面の単位円
この言葉の意味が分からん
0625１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/09(月) 16:34:34.64ID:3M9cj6Q7
>>624
複素解析で習慣的に使われている名称がよく分からんが、
複素上半平面における単位円周の半円の曲線とでもいえばよいのか
そんな感じ
0626１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/09(月) 16:52:56.13ID:3M9cj6Q7
多元数理の某教授が複素解析の講義ノートに落語調のような文章で書いていた

>終わり名古屋のいいわけなど
>はてさて、としを重ねると厚かましくなるもの、
>複素関数というのか、そういった授業を受けた記憶すらな
>いままのこのような仕儀。まあ、明らかな落第科目を教えるの厚顔に比べれば
>まだしも、食らいつくべし踏み越えるべし、
>謙虚に半歩の振り返りをこそ今はの際の杖ともなし、
>虚しきは人ごみの中の孤、受けるすべなき
>骸。叫喚は大笑に似たるか。
>複素数は奥が深い。代数・幾何・解析という数学の３大柱のどれとも密接に関わるものであるし、
>実数のことは複素数から眺めることで本質がわかるという人も多い。
>ということで、複素数の数学を学ぶわけであるが、
>入門段階で扱うべき内容と段取りはほぼ決まっていて、
>複素数そのものの理解から始まって、複素級数、
>複素変数の関数、複素変数の微積分といった基礎部分をまずして、
>その後、応用とかさらに進んだ話題へと進むもののようである。
>この応用と発展の部分が実は多様を極め、
>その取捨選択が教える人の気分しだいというか、はた迷惑なところかも知れない。
>あれも大事これも大事とお節介を焼くよりも、基本のみ伝授して、
>あとは必要な部分を勝手にどうぞ、と突き放すのが正しい教師の態度かも知れない。
>世にあまたある本にいろいろ書いてあることでもあり。

という態度は正しいとは思うよ
確かに実解析や偏微分方程式とか他分野には、
複素解析では出て来ないような複素数を用いた定理は数多ある
0630１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/09(月) 17:55:01.93ID:RtT6PQxv
Hörmander, Lars The multinomial distribution and some Bergman kernels. Geometric analysis of PDE and several complex variables, 249–265, Contemp. Math., 368, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005.
0631１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/09(月) 19:09:19.08ID:RtT6PQxv
>>625
そんな感じは構わないとしても、習慣的には
モジュラー関数は上半平面上の関数であって
特殊な保型性を持つものを指すのだと思っていた
0632１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/10(火) 09:01:17.22ID:ZGG332O2
>>世にあまたある本にいろいろ書いてあることでもあり。

裏返せば、「ほんとうに大切なことはどこにも書いてない」
と言いたいわけだ。
0635１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/10(火) 14:11:40.93ID:WjNhaKhG
>>633
要するにビッグデータに対してAIが行う作業をまねろということ
0637１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/10(火) 23:26:02.42ID:tVoPdrjb
解が存在しない線形偏微分方程式を無理矢理差分近似や有限要素法近似して
近似解を作ったらどうなるの？
0639１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/11(水) 07:55:51.36ID:cwiFwB3I
>>632
>裏返せば、「ほんとうに大切なことはどこにも書いてない」と言いたいわけだ。
複素数の世界は広過ぎるから、それを使う人が自由に本を選んで独自で学習してどうぞってことじゃないの
複素解析全体を把握するには、辻正次の本や
標準的な複素解析のテキストといわれるアールフォルスの本でも、
目的に応じてそれだけでは足りなくなって、他の複素解析の本が必要になることがある
0640１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/11(水) 09:08:09.91ID:cwiFwB3I
>>637
近似解の数値の挙動にもよるけど、その解が存在しない
線形偏微分方程式に関する何らかの評価などを予想出来る可能性はある
0641１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/11(水) 09:47:55.94ID:77bjXanT
Hans Lewyの例でやってみたらどうなるか
面白い結果が出たら論文になる
0642１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/11(水) 11:26:32.52ID:mBq5P6Ah
>>637
解が存在しない方程式を少し摂動しただけで、解が存在することがある
つまり、近似は元の方程式ではなく、元の方程式に近い解が存在する方程式の近似になってしまうこともある

そもそも、「解が存在しない」というのは、どの関数空間で考えているかにもよる
連続な解は存在しないが、L^2の解は存在する場合なら、L^2関数の近似を与えているだけだし
結局、関数空間と近似ノルムを指定しないと意味の無い話になる
0643１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/11(水) 14:09:21.24ID:NoXe1rzD
最近、数値計算を用いて微分方程式などの「解の存在証明」が為されることが
流行っている。もちろんそれは解が存在することがほぼわかっている問題を、
「証明」するために行う。
それでは、それとは違って、「解の不存在証明」を数値計算を用いて厳密に
行おうという考えがあっても良い。しかし、なにかが存在しないことの証明は
普通は悪魔の証明であって難しい。先に数学的に解が存在しないことが厳密に
保証されている場合ばかりではなくて、任意にポンと与えられた場合、
線形のみならず非線形の方程式で、解も解析的、連続的、区分連続的、などと
クラスを指定してその範疇の解が無いことを示すなどが数値計算で予想できて
それを数値的に厳密証明できたらいいのにね。
0644１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/11(水) 15:22:04.66ID:buL0BLV/
ここに特異点があるとか解が不安定だとかはすぐ言える
グラフにすればいいだけだから
ただ微分方程式の解のあるなしはどうやって表現するのだ?
まあ一般は無理というか出来たら流体の先生方は泣くだろうね
0646１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/11(水) 17:47:07.46ID:DrXyvt8W
これなら線型・非線型両方書いてある
Partial Differential Equations (Graduate Studies in Mathematics, 19) 　Evance
0647１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/11(水) 18:31:41.36ID:x7aNhXF9
偏微分方程式の解の何らかの存在性は保証されているから、
得られた解に関する幾何学的な考察は出来るかもは知れない
こういうのが流行っているかどうかは知らないが
0648１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/11(水) 18:37:56.21ID:x7aNhXF9
偏微分方程式の解の幾何学っていう題名の100ページ余りの薄めの冊子は出ている
0649１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/11(水) 22:03:58.15ID:tBqM3rA5
642や643がもしPDEの一般のレベルなら
Lewyの反例がいかに驚くべきものだったかということが
よくわかる
0650１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/11(水) 23:04:07.22ID:NoXe1rzD
歴史的には、偏微分方程式は、先に物理などの現象があって、それを表す
支配方程式を保存法則（一種の系の対称性）の微分形で表すなどにより
導いてきたものだから、そのような方程式に対しては普通の物理学者・工学者は、
解の存在を疑うことなく、最初から解はあるものと信じているのが普通だった。

数学者は、微分演算子を使った任意の微分方程式をそれが導出される元と
なる現象のあるなしなど関係なくに書き下してしまえるから、
そのような物理学者・工学者の素朴な思いなどは通用しない。

それに、解ではなくて弱解を考えなければならないうんぬん
などというようなお話は、数学者向きのお話なのだ。
0651１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/12(木) 00:03:18.30ID:jeR+4uiU
コーシー・コワレフスカヤの定理より、実解析的な線形偏微分方程式は、実解析的な解が存在する
係数の正則性を落としたら、線形でも解が存在しない例があるというのが驚きなんだ
0652１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/12(木) 01:03:41.88ID:elHH06LO
解析的な関数とC^∞級の関数が見分けられなきゃいけないのか
図形に直すには天才的なアイディアが必要だな
0654１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/12(木) 04:38:05.54ID:eujZ92Wl
偏微分方程式は境界条件が自由度として無限大あるので、
それを満たすようにするのが難しい。しかも境界条件が
連続ではない問題もあったりする。
（線形）楕円型偏微分方程式は領域の内部で解が解析的になるのに
境界条件は連続でなくても良い。
0655１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/12(木) 08:58:48.85ID:XfETqM2Q
>>653
その評は650に当てはまる
0657１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/12(木) 10:25:30.01ID:yIoyKih5
>>656
何かお呼び？
>>647では
>偏微分方程式の解の何らかの存在性は保証されているから、
>得られた解に関する幾何学的な考察は出来るかもは知れない
というように、幾何学的な考察が出来る可能性があることを述べたに過ぎない
0658１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/12(木) 10:35:41.02ID:yIoyKih5
式の形にもよるが、解が存在しない元の方程式に近い解が存在する方程式が得られたら、
その方程式の解の幾何学的考察が出来る可能性はある
0660１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/12(木) 10:38:02.23ID:2K46ZKGf
先生方、偏微分方程式のスレ立てます？スレチの議論をしてると小僧にチクられますから。
0663１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/12(木) 12:23:19.33ID:sqLgqT34
Hans Lewyがその例を見つけたとき
どこか間違っているに違いないと思って散々検討したが
自分では誤りが発見できなかった。
そこで、当時解析学では極めて評価の高かった
スタンフォード大のM.Schifferに相談したところ
間違いはないと太鼓判を押してもらったので
やっと安心して論文を投稿したという。
0665１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/12(木) 12:42:32.64ID:sqLgqT34
この程度なら楽にできるようになっているわけね
0668１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/12(木) 12:59:45.13ID:yIoyKih5
ヘルマンダーは1970年代位になったら
非線形双曲型偏微分方程式の保存則の方の研究もしている
0669１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/12(木) 13:01:52.28ID:yIoyKih5
非線形双曲型偏微分方程式になると解の爆発が起きたり大域解は持たないこととか
0670１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/12(木) 13:34:11.30ID:sqLgqT34
>>664
666や667への反論はないの？
0671１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/12(木) 13:41:29.12ID:17VFd10/
>>670
反論というか当然コストはかかる
コンピュータに入力して確認終わりなんて時代は当分来ない
でも、そうやってコストかけずに証明できたか分からない論文を持て余す国は置いていかれるだろうね
0672１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/12(木) 13:45:38.24ID:sqLgqT34
>>671

コストさえかければ今すぐ簡単にできる？

>>証明できたか分からない論文を持て余す

ABC騒動のこと？
0673１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/12(木) 13:51:41.94ID:ifZ6Qlpu
>>663
その結果1957年のAnnalsに掲載
当時は線形偏微分方程式なんて解があるもんだと信じられていたのだろう
0675１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/12(木) 15:26:19.84ID:sqLgqT34
>>674
論文の内容を知らなくても大手を振ってそのような主張ができる時代を
ABC騒動が開いたと
後世の歴史家たちは評するかもしれない。
1974年にNirenbergが書いたOn a problem of Hans Lewyは
Egorovにより英語からロシア語に訳されてUspeki
0676１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/12(木) 15:28:28.80ID:sqLgqT34
に掲載された。
0678１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/12(木) 17:05:31.96ID:eujZ92Wl
これにより、数学者は解の存在に神経質になり、解の存在の証明ばかりが
流行になって、具体的な近似法や解法の研究は減り、
物理学者や工学者などとはますます疎縁になったのである。
0679１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/12(木) 17:11:32.79ID:sqLgqT34
解の存在と一意性が示せないのは
方程式の立て方が悪いからだと言った大先生もいた。
0682１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/12(木) 17:53:10.51ID:sqLgqT34
>>680
素人が偉そうに
0683１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/01/12(木) 17:54:33.62ID:sqLgqT34
>>681
その言いぐさは
素人未満
■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
ニューススポーツなんでも実況