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複素解析2

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0201１３２人目の素数さん
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2022/12/09(金) 18:34:20.58ID:pZ+cIqKL
>>196
一般的な問題にして述べるなら、例えばだが

R^nの領域ΩとΩの境界の閉部分集合A上で与えられた連続関数fに対し
Ω上の調和関数でAまで連続に拡張できるもの全体Sを考える。
Sの元でΩ上のディリクレ積分の下限を実現するものが存在するとき
それが一意的であるための条件は何か。
0203１３２人目の素数さん
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2022/12/09(金) 19:15:24.21ID:lK+WckRr
>>202
反例は？
0204１３２人目の素数さん
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2022/12/09(金) 19:18:19.62ID:lK+WckRr
全体ではダメだけどコンパクト集合上なら収束部分列が選べる
という言い方で通してきたが
最近の数学はこういう言い方を認めないのか？
0205１３２人目の素数さん
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2022/12/09(金) 19:19:19.17ID:lK+WckRr
最近はRellichの補題という言い方もしなくなったようだが
0208１３２人目の素数さん
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2022/12/09(金) 20:27:14.32ID:QVtOALJm
領域が有界か非有界かは離散固有値だけか連続スペクトルがあるかどうかである。
弱解の存在、一意性、正則性、境界値に対する解の連続性には関係ない。
0209１３２人目の素数さん
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2022/12/09(金) 20:45:35.90ID:lK+WckRr
調和関数は単に
C^2級で各変数についての２階微分の和が0である関数のこと
ラプラシアンの自己随伴性には関係ない
0210１３２人目の素数さん
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2022/12/09(金) 20:51:59.10ID:QVtOALJm
関係ないなら忘れてくれ、それから話はなんの話題を言ってるのか明示してくれ
0211１３２人目の素数さん
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2022/12/09(金) 21:16:45.54ID:lK+WckRr
>>210
関係のあるなしが問題になると答えにくいが
とりあえず下の言明が誤りであるという指摘だったので
それは当たらないのではないかと言っただけ

Ωが有界領域でなくても、W^(1,2)内の有界列はΩの各コンパクト集合上でL^2収束する部分列を持つ。

>>二次元の長方形を一般の有界領域にどう拡張するのかは不明

一般の有界領域上で問題を定式化しないとわからないという話だったので次のように述べてみた。

R^nの領域ΩとΩの境界の閉部分集合A上で与えられた連続関数fに対し
Ω上の調和関数でAまで連続に拡張できるもの全体Sを考える。
Sの元でΩ上のディリクレ積分の下限を実現するものが存在するとき
それが一意的であるための条件は何か。

最初から興味がないのならもう忘れてくれ
0212１３２人目の素数さん
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2022/12/09(金) 21:56:07.33ID:lK+WckRr
訂正
Ω上の調和関数でAまで連続に拡張できるもの全体Sを考える。
ー−−＞
Ω上の調和関数でAまで連続に拡張でき、A上でfに一致するものを考える。
0213１３２人目の素数さん
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2022/12/10(土) 01:39:47.65ID:DIbkHedB
ノイマン境界条件だと解はポアソン問題の解は複数あるみたい。境界条件を与えない空間の余次元がどのくらいあるのか（適当）
0214１３２人目の素数さん
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2022/12/10(土) 08:59:03.30ID:DV2XUKqW
>>213

>>境界条件を与えない空間の余次元がどのくらいあるのか

0次元
0216１３２人目の素数さん
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2022/12/10(土) 12:02:24.81ID:9NHFzOHT
等角写像：実3次元以上だと対象が少なすぎて研究意欲がわかない
値分布：多変数ネヴァンリンナ理論

多変数ネヴァンリンナ理論とディオファントス近似 (共立叢書・現代数学の潮流) 単行本 – 2003/6/23
野口 潤次郎 (著)
0217１３２人目の素数さん
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2022/12/10(土) 13:41:10.50ID:DIbkHedB
>>216
ありがとう・
昔一変数で成功した方法は多変数に拡張してもうまくいかないという意見を聞いたことがあったので聞いてみた
0218１３２人目の素数さん
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2022/12/10(土) 15:13:55.46ID:ZRPEEl07
>>203
C^1球の関数列 f_n(x) >0 on [n, n+1], = 0 otherwise とすれば、f_n ∈W^(1,2)(R) だが、
L^2-収束部分列は含まない
0220１３２人目の素数さん
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2022/12/10(土) 16:21:50.00ID:gkVeQJQQ
>>218
有界閉集合上では？
0221１３２人目の素数さん
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2022/12/10(土) 16:28:48.96ID:gkVeQJQQ
>>219
境界条件はなしということだったので０とした。
「ディリクレ境界条件なしだがノイマン条件は落とさない」という意味？
0222１３２人目の素数さん
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2022/12/10(土) 16:34:22.86ID:DIbkHedB
>>221
偏微分方程式論の観点から、境界条件なしより狭いディリクリ境界条件、ノイマン境界条件の場合を考えた。境界条件ありの方が解空間は狭くなると思うが。
0224１３２人目の素数さん
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2022/12/10(土) 16:44:31.99ID:gkVeQJQQ
>>222
「境界条件なしなら余次元は０」に非同意？
0226１３２人目の素数さん
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2022/12/10(土) 16:46:41.40ID:gkVeQJQQ
>>223
境界条件がないということの定義が必要？
0227１３２人目の素数さん
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2022/12/10(土) 17:07:06.64ID:gkVeQJQQ
>>225

>>分からない

「なぜ0になるかわからない」なのか
「何を言っているかがわからない」なのか
はっきりさせてください。
0229１３２人目の素数さん
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2022/12/10(土) 17:48:15.64ID:ZRPEEl07
>>220
境界に滑らかさとか錘条件とか満たせばOK（レリッヒの定理）
W^(1,2)_0 に取れば境界の仮定は必要無い

このあたりは、偏微分方程式の一般論やね
0230１３２人目の素数さん
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2022/12/10(土) 17:50:09.56ID:ZRPEEl07
2次元円板からx軸（直線）を除いたような領域は、錘条件を満たさないからダメ
0233１３２人目の素数さん
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2022/12/10(土) 18:29:15.24ID:Ixv/NOcG
>>213
>>228

>>ノイマン境界条件だと解はポアソン問題の解は複数あるみたい。
>>境界条件を与えない空間の余次元がどのくらいあるのか（適当）

どの空間の中で余次元を考えているのか今一つはっきりしないが
もし調和関数の空間の中でということなら
境界条件を付けなければまったく無条件ということになるから
余次元は０
境界条件付きで考えるのなら、与えられた部分集合A上の連続関数全体の
空間の中で、領域上に連続に、しかも領域内で調和に拡張できる関数全体の
なす部分ベクトル空間の余次元ということになる。
これは領域によってもAの取り方によっても答えが変わってくる。
0235１３２人目の素数さん
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2022/12/10(土) 19:32:17.10ID:Ixv/NOcG
>>境界条件を与えない空間の余次元がどのくらいあるのか

境界条件を与えない空間というのは
領域の境界におけるAの補集合のことだったのだね。
やっと言葉の意味を理解しました。

まず長方形の場合に詳しく知りたい。
この場合は余次元は０ですね。
0237１３２人目の素数さん
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2022/12/11(日) 10:24:27.14ID:btbcU2m9
>>211の問題の意味がちょっとはっきりしない
上2行は古典解の話をしてるけど
下2行はソボレフ空間の弱解の話になっている
0238１３２人目の素数さん
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2022/12/11(日) 11:37:02.22ID:fQVTp4r4
>>236
二次元の円盤の場合はポアソンの公式で円周上の値（境界値）で円盤内の調和関数が表現されるので円周の一部の弧で境界値が与えられた場合の解の一意性はない。
一般のjordan領域はリーマンの写像定理で等角写像によって円盤に移されるので境界値（弧の引き戻し）を一部で与えた時に解の一意性はない。
三次元以上はリーマンの写像定理に相当するものがないのでこの方法は適用できない。
0239１３２人目の素数さん
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2022/12/11(日) 12:45:52.15ID:btbcU2m9
素朴には三次元以上でも調和測度で積分すればいいだけじゃないの?
その零集合を決定しろとか言われたらピンとこないけど
0240１３２人目の素数さん
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2022/12/11(日) 16:47:43.01ID:fQVTp4r4
>>238
一般次元の場合
ラプラシアンの基本解E(x)と境界∂Ω上の連続関数fの境界上での畳み込み∫(∂Ω)f(y)E(x-y)dωは領域Ω内外領域で調和函数を与える。
従って境界の一部で境界値を与えた場合の境界値問題の一意性はない。

注意
Ωの閉包上の任意の調和函数は一重層ポテンシャル（上の形の物）と二重層ポテンシャル（ノイマン境界条件に対応する境界積分）で書けるの考えている問題の解の一意性はない
0241１３２人目の素数さん
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2022/12/11(日) 21:11:44.08ID:lxcHhNkX
>>237
下2行も古典的な意味
調和関数はC^1級だから
ディリクレ積分は値が∞になることも許せば定義できる
その(有限な)最小値を実現するものが存在する場合を考えている
0242１３２人目の素数さん
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2022/12/11(日) 21:15:12.60ID:lxcHhNkX
>>240
境界値問題の一意性を誰が問題にした？
0243１３２人目の素数さん
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2022/12/11(日) 21:19:19.56ID:lxcHhNkX
>>240
201の問題設定が素人臭くて相手をする気にならないという意味で
無関係な知識のひけらかしをしてみたわけかな？
0245１３２人目の素数さん
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2022/12/11(日) 21:32:12.36ID:lxcHhNkX
>>244
しかし長方形の向かい合う２辺上で
定値関数を与えた場合、
問題の解(境界値問題の解でディリクレ積分を最小にするもの)は
一意的に存在するのではないか？
これが違っていたら問題設定を再考したいが、
あっていれば問題設定がいい加減という批判は
取り下げてほしい。
0246１３２人目の素数さん
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2022/12/11(日) 21:36:29.52ID:fQVTp4r4
この問題の解答なのだが

R^nの領域ΩとΩの境界の閉部分集合A上で与えられた連続関数fに対し
Ω上の調和関数でAまで連続に拡張できるもの全体Sを考える。
Sの元でΩ上のディリクレ積分の下限を実現するものが存在するとき
それが一意的であるための条件は何か。
0248１３２人目の素数さん
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2022/12/11(日) 21:40:13.50ID:fQVTp4r4
弱解、強解、ソボレフ空間が分かっていないだろうということは分かる。
0249１３２人目の素数さん
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2022/12/11(日) 21:41:58.12ID:lxcHhNkX
>>247
問題が意味をなさないと考える理由を
もっと端的に述べていただけますか。
0250１３２人目の素数さん
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2022/12/11(日) 21:44:11.94ID:lxcHhNkX
>>248

>>弱解、強解、ソボレフ空間が分かっていないだろうということは分かる。

それは問題文のどこが不正確だからですか？
0251１３２人目の素数さん
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2022/12/11(日) 21:46:48.26ID:fQVTp4r4
楕円型正則性
超関数の意味で?u=0を満たす関数uはC^2級関数で通常の意味で?u=0
0252１３２人目の素数さん
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2022/12/11(日) 21:48:09.80ID:fQVTp4r4
>>251
訂正
楕円型正則性
超関数の意味でΔu=0を満たす関数uはC^2級関数で通常の意味でΔu=0
0253１３２人目の素数さん
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2022/12/11(日) 21:52:06.92ID:lxcHhNkX
>>245
Ωの境界に正則性の条件を付けた上ででないと
問題としては体をなさないという意味でしょうか。
「一意的であるための条件は何か」を
「必要十分条件を求めよ」という意味にとれば
そういうご注文ももっともかもしれませんが
長方形の場合であれば
少なくとも上で述べたような簡単な設定では
解答は見つけやすいと思います。
0254１３２人目の素数さん
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2022/12/11(日) 21:55:24.62ID:lxcHhNkX
>>251
楕円型正則性
Δu=0を満たす超関数uはC^2級関数で通常の意味でΔu=0
よく使う楕円型正則性
超関数の意味でΔu=0を満たす局所L^2関数uはC^2級関数で通常の意味でΔu=0
0255１３２人目の素数さん
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2022/12/11(日) 22:06:26.36ID:fQVTp4r4
>>253
領域の境界の形はそれはそれで問題だけど、楕円型正則性は領域の内部の話でこの為に古典解の範囲で考えれば>>240が答えになる
考えていることと違うなら問題を正確に書いてくれ。
0256１３２人目の素数さん
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2022/12/11(日) 22:24:10.83ID:lxcHhNkX
>>255
だからどこが不正確？
0257１３２人目の素数さん
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2022/12/11(日) 22:28:03.45ID:lxcHhNkX
>>255
>>古典解の範囲で考えれば>>240が答えになる
>>考えていることと違うなら問題を正確に書いてくれ。

私が出したどの問題の答えになっているのか教えていただけませんか。
そうでないなら問題を正確に書いてくれ
0261１３２人目の素数さん
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2022/12/12(月) 15:37:20.36ID:/6ZIjb+G
>>258
私の問題とは無関係ということか？
>>260
で、結論は？
YesかNoでどうぞ
0262１３２人目の素数さん
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2022/12/12(月) 15:40:03.26ID:/6ZIjb+G
>>260
念のため
R^2\Aは
R^2\setminus A ?
0264１３２人目の素数さん
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2022/12/12(月) 17:23:54.30ID:Z9/gsk8u
長方形の向かいあう辺で境界値指定したらそれを繋ぐ一次関数が求める答えだろ？
残りの二辺で自然境界条件みたさなきゃならんし
0265１３２人目の素数さん
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2022/12/12(月) 18:19:52.69ID:/6ZIjb+G
>>64
その答えを待っていた。
Thnx!
0267１３２人目の素数さん
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2022/12/12(月) 21:20:21.94ID:+PEckNsJ
>>266
問題が成立していることを認める発言があったことは
喜ばしい。
キミは問題を忘れてくれ。
0269１３２人目の素数さん
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2022/12/12(月) 21:32:31.02ID:BHOXhddM
長方形の座標が書いてないが、たぶんsinだディクリ境界条件でcosがノイマン境界条件だろｗ
0271１３２人目の素数さん
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2022/12/12(月) 21:49:48.02ID:+PEckNsJ
>>268
もしかしてDemailly-Kollarの論文が読めるレベル？
0273１３２人目の素数さん
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2022/12/12(月) 22:08:15.86ID:+PEckNsJ
>>272
じゃ、まだまだアホのレベル
0277１３２人目の素数さん
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2022/12/12(月) 22:17:10.28ID:+PEckNsJ
Gunning-Rossiは私も躓いた
昔、吉岡書店から訳が出る予定だった。
いつまでたっても出ないので
どうなったのですかと書店の人に訪ねたら
余りにも間違いが多いので
N先生が途中で放り出したのだそうだ。
0281１３２人目の素数さん
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2022/12/13(火) 00:44:28.82ID:X855g/Yi
>>280
恥ずかしいやつ
0283１３２人目の素数さん
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2022/12/13(火) 00:57:18.01ID:X855g/Yi
>>282
0284１３２人目の素数さん
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2022/12/13(火) 01:05:17.03ID:6mhJtXVC
最大値原理があるんだから境界値変えたら解の一意性はなくなるだろう。
関数論の専門家の不思議な感覚。
0287１３２人目の素数さん
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2022/12/13(火) 06:32:34.29ID:utO4JB0Z
>>最大値原理があるんだから境界値変えたら解の一意性はなくなるだろう。
これが専門家の感覚？
0288１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/13(火) 06:49:44.61ID:utO4JB0Z
>>286
何を？
0290１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/13(火) 08:52:39.89ID:utO4JB0Z
>>シングルとダブルの区別もつかんど素人が偉そうな口を聞くな

むかし金沢に「加賀屋敷」という名前のホテルがあった(今はないようだ)。
フロントで部屋のタイプを選択するとき
シングルからトリプルまであると言われたので
トリプルがよいと言ったところ
普通のベッドと2段ベッドがある部屋だった。
家族連れには便利だろうから
こんなトリプルはまだ残っているだろう。
0291１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/13(火) 12:39:12.38ID:6mhJtXVC
円盤の場合、円周上の一点で最大値を取る調和函数を中心の廻りに回転してもやはり調和函数で最大値は元の点を回転した点。
回転角のパラメータの解の族が得られる。
0292１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/13(火) 16:19:24.91ID:MSh73JYx
>>291
どういう問題の解？
0294１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/13(火) 19:29:09.22ID:MSh73JYx
その中でディリクレ積分が最小になるものが
一意的であるような状況
0295１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/13(火) 20:12:14.17ID:iw7+9GpC
ディリクレ積分は凸汎函数なんだから
最小があれば一意なんじゃないですかね
0296１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/13(火) 21:25:13.90ID:utO4JB0Z
たしかに
0297１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/13(火) 22:02:14.02ID:6mhJtXVC
境界条件あってもなくても一部でもデリクリ積分を最小にする元は存在して一意か。
境界の一部の境界値の場合、残りの境界の境界値はどう決まるんだろう？
0298１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/13(火) 22:09:55.76ID:iKH9URzu
>>295
おいおい、境界の積分が消えないだろうが！
グリーンの公式というのがあってだな、

もうちょと微積の基礎くらい勉強してから書き込めや
余りにも酷い
0299１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/12/13(火) 22:11:45.39ID:iKH9URzu
前のレスみたら引いた
このスレアホばっかりやんけ

複素解析の前にまず多変数の微積分をしっかり勉強してこい
話はそれからだ
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