ホテル「無限」ヘようこそ

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/13(土) 14:03:32.00

ちょっとだけよ
貴方も好きね

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/13(土) 14:06:07.62

過去のスレッド

箱入り無数目を語る部屋
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1609427846/
箱入り無数目を語る部屋2
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629325917/

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/13(土) 16:14:41.37

ホテルの部屋の例えで無理数の多さを説明できないの？

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/13(土) 16:56:21.85

スレタイとテンプレが不整合だな
テンプレは、下記だなｗ

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E3%81%AE%E7%84%A1%E9%99%90%E3%83%9B%E3%83%86%E3%83%AB%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス

ヒルベルトの無限ホテルのパラドックス（ヒルベルトのむげんホテルのパラドックス、英: Hilbert's Infinite Hotel Paradox）とは、無限集合の非直観的な性質を説明する思考実験である。無限個の客室があるホテルは「満室」でも（無限人の）新たな客を泊めることができ、その手順を無限に繰り返せることを示す。論理的・数学的に正しいが、直観に反するという意味でのパラドックス（擬似パラドックス）である。ヒルベルトのグランドホテルのパラドックス（英: Hilbert's paradox of the Grand Hotel）、ヒルベルトホテル（英: Hilbert's Hotel）とも。1924年にダフィット・ヒルベルトが論文「Uber das Unendliche（無限について）」で導入し[1]、1947年のジョージ・ガモフの著書「1、2、3…無限大」によって広まった[2][3]。

簡単のため、以下の記述では無限とは可算無限を意味するものとする。しかし選択公理を仮定すれば、任意の無限集合は可算無限集合を部分集合にもつため、非可算無限の場合でも少し議論を修正するだけでよい。

パラドックスの内容
無限個の客室があり、「満室」である仮想的なホテルを考える。客室数が有限の場合、「満室であること」と「新たに来た客を泊められないこと」は同値だが（鳩の巣原理）、無限ホテルではそうはならない。

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/13(土) 18:06:16.67

>>3
正の無理数は自然数の無限数列で表せる
もし　どの自然数の番号の部屋もある無理数が割り当てられたとすると
対角線論法により、どの部屋にも割り当てられてない無理数が構成できる

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/14(日) 15:44:39.76

>>4
これも追加な
バナッハ＝タルスキーのパラドックス
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バナッハ＝タルスキーのパラドックス (Banach-Tarski paradox) は、
球を3次元空間内で、有限個の部分に分割し、
それらを回転・平行移動操作のみを使ってうまく組み替えることで、
元の球と同じ半径の球を2つ作ることができるという定理
（ただし、各断片は通常の意味で体積を定義できない）。

バナッハ＝タルスキーの証明では、ハウスドルフのパラドックスが援用され、
その後、多くの人により証明の最適化、様々な空間への拡張が行われた。
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/14(日) 15:46:45.43

>>6
証明の概要
証明は本質的に4つのステップに分かれる。

１．2つの生成元を持つ自由群F_2の「パラドキシカルな分割」を見つける。
２．自由群F_2と同型な3次元の回転群を見つける。
３．2で作った回転群のパラドキシカルな分割と選択公理を用いて
　　2次元球面の分割を作る。
４．3の2次元球面の分割を3次元球の分割に拡張する。

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/14(日) 15:49:57.00

>>7
２．について、
　２次元以上の双曲空間の双曲変換群には自然な形で部分群F_2が存在する
３．について
　双曲空間で同様の分割を実現する際は簡単に代表元がとれるので選択公理は必要ない

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/14(日) 21:36:12.97

痛い数学にわかだった頃にイキってこの話を親にしたら
「無限に部屋があるホテルが満室になるわけないじゃん」
で一蹴された

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/14(日) 21:47:21.07

>>9
さすがにヒルベルトホテルのネタはリアル厨房の頃から各種啓蒙書で知ってはいたが
比較的最近
アノマリー、量子異常がディラックの海の海水面上昇下降な物理学的解釈できることを知った。

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/15(月) 09:38:20.11

ヒルベルトホテルのネタは
ディリクレの鳩巣原理を知らなければ
面白くない。
鳩巣原理は
類数の有限性とディリクレの単数定理を知らなければ
面白くない

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/15(月) 10:14:59.92

>>11
君の発言が面白くない

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/15(月) 10:16:56.41

>>12
整数論の専門家の発言であれば面白いか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/15(月) 10:25:09.58

>>13
中身の説明ができない素人の発言は面白くない

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/15(月) 10:30:00.30

>>14
鳩巣原理くらいはこのスレの常識と思ったが。
類数の有限性と単数定理が古典的な代数的整数論の
二大定理であることくらいは
加藤・黒川・斎藤の本に書いてあるから有名かと思った。

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/15(月) 11:30:26.73

そもそも今の数論だったら、
k代数体として、まず連続準同型であるイデール群I_k→R^*_+, (α_v)→∏|α_v|_vの核をI^0_kとし、積公式からk^*⊂I^0_kとみなせるので、準同型であるイデール類群C_k→R^*_+と核I^0_k/k^*が得られる
I^0_k/k^*がコンパクトであることを証明できて連続全射I^0_k/k^*→イデアル類群I_k/P_kと離散かつコンパクトは有限から、I_k/P_kは有限
で示して終わりが普通だよな

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/15(月) 13:42:19.96

>>16
ヒルベルトホテルを局所化できるか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/15(月) 14:39:13.53

>>16
それのどこにホテル「無限」が出てくるのかおせーて

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/15(月) 21:51:15.73

まあ俺は幼稚園入る前から半導体の空孔を図鑑で読んで理解してるのを褒められたのが自慢の種だからなあ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/16(火) 09:35:09.90

>>19
だったらヒルベルトホテルの局所化くらい
わけはないのでは？

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/20(土) 17:44:46.75

https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1660377072/26-28
列について
「ある箇所から先の項が全て一致する場合、同値」
という同値関係を入れるとして、
有限列の場合、最後の項だけで同値類が決まるのは確かだが
無限列の場合、最後の項が存在しないのだから様相は全く異なる

例えば２進列なら、有限列の場合、最後の項が０か１かの2つの同値類しかないが
無限列の場合、無限個の（正確にいえば非可算無限個の）同値類が存在する

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/20(土) 17:50:58.66

>>21
それで？

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/20(土) 18:56:14.18

>>22
それで？

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/20(土) 19:04:48.08

>>23
21のどこに新しい点があるのかという意味

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/20(土) 20:31:20.58

>>24
「新しい」なんてどこに書いてある？

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/20(土) 21:23:39.37

新しい話でないとつまらん
新聞を読むときもそうだろ

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/21(日) 06:51:20.20

>>26
面白くないなら別に読まなくていいんじゃね？
君一匹を面白がらせるために君以外の全ての人が書いてるわけじゃないし

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/21(日) 08:36:12.44

>>27
21が別のスレから紛れ込んできたスレチだということを
踏まえている

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/21(日) 08:50:04.62

>>28
でも、このスレ立てたのそいつだよ　多分
そこ踏まえないとドツボ

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/21(日) 08:55:17.18

なるほどそれには一理ある

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/22(月) 15:34:35.35

部屋が無限にあるホテルには姉妹店AとBがあって、満室の姉妹店Bが工事をする事になって
B店の客をやはり満室のA店に移したんだが、それでも全員がA店に入る事が出来た。
（∞+∞=∞って認識で良いよね、地頭が悪いからそういう風にしか理解できない）

宿泊費などの精算の為にＡとＢを分けるにはどうすればいいか、なんて話もあったかな？
とりあえず偶数と奇数で分けるのが一番簡単だ、と言う話は聞いた事があるんだ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/22(月) 21:14:28.47

>>21
>例えば２進列なら、有限列の場合、最後の項が０か１かの2つの同値類しかないが
>無限列の場合、無限個の（正確にいえば非可算無限個の）同値類が存在する

ROMのつもりだったけど少し燃料を投下しよう

1）無限列として、半開区間[0、10)の実数を考える（e、πがこの範囲）
　（常識だが、3.14で、4は小数第2位となる）
2）簡単に10進無限小数を考えると、これが上記の無限列の例を構成する（勿論p進展開もありだが）
　この場合、数列の各項に入る数は0～9の整数になる
3）下記は、よく知られていることだが
　a)無限小数で、ある小数第n+1位から先のしっぽが0である場合、それは有限小数である。普通は0を省いて記す
　　例 3.1400000・・→3.14
　b)有理数では、無限小数だが、しっぽが循環する場合がある
　　例 1/3＝0.33333・・
　c)循環しない無限小数（有限でない）は、無理数で、代数的数と超越数に分けられる
　　例 √2、π
4）さて、無限小数のしっぽの同値類を考えると
　二つの無限小数 aとb が、同じ同値類だとする。ある小数第n+1位から先のしっぽ一致しているとすると
　aーb ＝c とすると、cは有限小数になる（∵ ある小数第n+1位から先のしっぽ一致しているので、差を作ると全て0になるため）
5）逆に、（有限でない）無限小数bに対し、同じ同値類の数aは、
　a＝b＋c とできる（cは有限小数）
6）なお問題は、人は任意の二つの（有限でない）無限小数が同じ同値類に属するか否かを見分ける手段をまだ持たないこと
　例 e+π、e-πは、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない
（下記の超越数かどうかが未解決の例より）
（円周率 π 、ネイピア数 e）
7）なので、理念としての無限小数のしっぽの同値類分類は可能であるが、
　それを具体的に、全同値類を完成してその代表を選ぶことなどできないのです（多分将来も全同値類の完成は不可能でしょう）

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数
超越数かどうかが未解決の例

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/23(火) 01:47:45.58

>>31
A店に移す満室の姉妹店数は有限でなくてもええんやで
写像f:N→N×N で全単射なものが存在する

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/23(火) 02:00:48.71

>>32
>7）なので、理念としての無限小数のしっぽの同値類分類は可能であるが、
>　それを具体的に、全同値類を完成してその代表を選ぶことなどできないのです（多分将来も全同値類の完成は不可能でしょう）
同値分割可能かという問題とπの十進少数表示は有限桁しか知られていないという問題を混同してますね。
こんなところで躓いてる落ちこぼれに箱入り無数目が理解できないのは当然です。

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/23(火) 07:55:15.86

>>34
>πの十進少数表示は有限桁しか知られていないという問題

有限桁しか知られていないではなく
有限桁しか計算できないでしょうね、人は

計算理論から、πの十進少数表示をコンピュータで無限桁計算するには
無限の計算時間と
無限の記憶容量と
無限桁の表示時間と
　・
　・
などといろいろ、無限のリソースを必要とすることは、おそらく確か
（証明をするには、ここの余白は狭すぎるｗ）

なので、数論で超越数などを扱うとき、
十進表示では、それは単純明快だが、原理的に力不足でしょう、多分ね
（実用上、有限桁で打ち切って使うには、非常に便利です）