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現代数学　-線形代数からコホモロジーヘ-　1
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0001１３２人目の素数さん
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2022/08/01(月) 06:51:36.07ID:4JCGUTKl
気分は完全系列
0043１３２人目の素数さん
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2022/08/09(火) 12:33:25.81ID:sRFdzGtF
レオポルド・ヴィエトリス (1891年6月4日 -2002年4月9日)はオーストリアの数学者、第一次世界大戦のベテランとスーパーセンテナリアンでした。彼はラドカーズバーグで生まれ、インスブルックで亡くなりました。
0044１３２人目の素数さん
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2022/08/09(火) 14:14:19.00ID:DLTsRB8/
ヴィートリスさんはうちのジイちゃんよりチョイ上だなｗ
0048１３２人目の素数さん
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2022/08/11(木) 19:40:22.90ID:B2zVQFJM
チェックがマイヤー・ヴィートリスの一般化で
エタールはそれをさらに一般化したと思えばいいの？
0049１３２人目の素数さん
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2022/08/12(金) 17:44:23.67ID:8svXg+Uc
>>48
エタール？そんな話してないよ
0052１３２人目の素数さん
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2022/08/13(土) 08:19:06.39ID:oCCjGO3A
>>51
具体的にオナシャス！
0055１３２人目の素数さん
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2022/08/13(土) 18:12:16.87ID:oCCjGO3A
>>53-54
何をどう一般化するの？
具体的にオナシャス！
0056１３２人目の素数さん
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2022/08/13(土) 18:37:01.62ID:KgL4euOn
考えないというか、多様体のチェックコホモロジーより一般的な
代数幾何学的な設定で位相を入れて被服の圏を考えることになるが、わざわざ
そうまでしてチェックコホモロジー自体を調べるというのはあまりやらないんじゃね？
0057１３２人目の素数さん
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2022/08/13(土) 18:53:03.78ID:LWiGZSq2
>>52
位相空間上の層理論が圏の上でも使えるようになる
だから一般化された層係数コホモロジーが得られる
0058１３２人目の素数さん
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2022/08/13(土) 20:34:52.99ID:oCCjGO3A
>>56
被服じゃなくて被覆ね

ところでCechコホモロジーの場合
開被覆を単体複体のように扱うことで
Mayer-Vietorisの一般化が可能だけど
この方法自体、エタールコホモロジーでも可能なの？
0060１３２人目の素数さん
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2022/08/13(土) 21:12:57.56ID:LWiGZSq2
>>53
チェックもドラムも層係数の一種と思えばいい
初めに層（もしくはトポス）ありきという訳だ
0062１３２人目の素数さん
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2022/08/16(火) 11:24:22.11ID:cnp1Kywi
>56
エタール被覆で、チェックコホモロジーを考えるのが、エタールコホモロジー。
一般ににチェックコホモロジーは、ハウスドルフのとき、うまく行く。
が、ザリスキー位相は、ハウスドルフじゃないから、コホモロジーを導来関手で定義する。
で、チェックコホモロジーと導来関手による定義の一致するときが役に立つ。
エタール被覆でチェックコホモロジーを考えると、一般のハウスドルフのときと同じようにうまく行く。
これをエタールコホモロジーという。
0063１３２人目の素数さん
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2022/08/16(火) 17:38:21.03ID:6Gl8RbtL
MV 系列を Cech に一般化するのって確か Bott-Tu の2章に書いてあるよな?(昔1章までしか読まなかった)
0064１３２人目の素数さん
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2022/08/16(火) 19:08:30.39ID:Im5e9vq1
>>63
書いてありますね
0065１３２人目の素数さん
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2022/09/04(日) 01:10:28.52ID:LOuqp3E5
リーマン面の不変被覆はリーマン面で、

複素平面、
単位円盤、
上半平面、
のどれかに同相である。
とかいう定理ありませんでしたっけ？
そうしてそれらは、平坦な空間、放物的空間、双曲的空間になるとかなんとか。
0066１３２人目の素数さん
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2022/09/04(日) 07:44:36.16ID:34Dqbaoo
普遍被覆
0068１３２人目の素数さん
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2022/09/04(日) 09:00:13.93ID:34Dqbaoo
リーマン球面と呼ぼう
0069１３２人目の素数さん
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2022/09/04(日) 09:04:54.79ID:g/+6aXna
>>65
いろいろ違うので、修正箇所を『』で囲って、正解示しとくね
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
リーマン面の『不変』被覆はリーマン面で、

リーマン球面（＝複素射影直線）、
複素平面、
単位円盤（あるいは上半平面）、

のどれかに同相である。

そうしてそれらは、それぞれ
楕円的空間（正定曲率）、
放物的空間（＝曲率０＝平坦な空間）、
双曲的空間（負定曲率）、
になる。
0070１３２人目の素数さん
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2022/09/04(日) 09:08:46.17ID:1LXjnKb3
>>65
ケーべの一意化定理でググればいいかと
0071１３２人目の素数さん
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2022/09/04(日) 09:12:24.30ID:34Dqbaoo
>>69
>>『不変』被覆
これでは"invariant" covering
正しくはuniversal coveringなので普遍被覆
>>単位円盤
「単位円板」が多く使われる
0072１３２人目の素数さん
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2022/09/04(日) 11:32:38.78ID:g/+6aXna
>>71
スマン、直したつもりで直し忘れた
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
リーマン面の『普遍』被覆はリーマン面で、

リーマン球面（＝複素射影直線）、
複素平面、
単位円盤（あるいは上半平面）、

のどれかに同相である。

そうしてそれらは、それぞれ
楕円的空間（正定曲率）、
放物的空間（＝曲率０＝平坦な空間）、
双曲的空間（負定曲率）、
になる。
0073１３２人目の素数さん
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2022/09/04(日) 11:46:40.26ID:EPWkwA/m
複素平面と単位円板(=単位円盤)は同相
正確には
双正則同相(biholomorphic)
または
双正則同値(biholomorphically equivalent)
または　
等角同値(conformally equivalent)
0074１３２人目の素数さん
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2022/09/04(日) 11:50:50.44ID:QJEh68Th
一意化定理って凄い大定理だよな
ポアンカレ予想は一意化定理無しには証明出来なかった

ペレルマンの手法を使って一意化定理の別証明を作れるんだろうか？
0075１３２人目の素数さん
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2022/09/04(日) 12:22:43.91ID:EPWkwA/m
ペレルマンはコンパクト多様体上のリッチフローの解析
0076１３２人目の素数さん
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2022/09/04(日) 12:26:40.04ID:EPWkwA/m
>>72
73に従って直したら？
0077１３２人目の素数さん
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2022/09/04(日) 18:43:00.75ID:g/+6aXna
>>76
スマン、そこ気づかんかった
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リーマン面の『普遍』被覆はリーマン面で、

リーマン球面（＝複素射影直線）、
複素平面、
単位円盤（あるいは上半平面）、

のどれかに『等角同値』である。

そうしてそれらは、それぞれ
楕円的空間（正定曲率）、
放物的空間（＝曲率０＝平坦な空間）、
双曲的空間（負定曲率）、
になる。

※複素平面と単位円盤は等角同値ではない（これ豆なｗ）
0078１３２人目の素数さん
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2022/09/04(日) 19:14:37.06ID:EPWkwA/m
それでスッキリ
0079１３２人目の素数さん
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2022/09/05(月) 09:23:19.67ID:RYy03OiT
それでは、閉リーマン面（代数函数のリーマン面）と、閉ではないリーマン面の
それぞれの普遍被覆面の違いについて述べよ。
0080１３２人目の素数さん
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2022/09/05(月) 11:50:56.63ID:sL3eW9cs
閉ではない場合、普遍被覆面がリーマン球面になることはない。
0081１３２人目の素数さん
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2022/09/06(火) 06:24:18.12ID:jczjKxme
意外と良スレだった
0082１３２人目の素数さん
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2022/09/07(水) 07:07:08.16ID:QYTkQ337
>>73
>複素平面と単位円板(=単位円盤)は同相
境界は？
0083１３２人目の素数さん
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2022/09/07(水) 08:40:19.20ID:E1QUODlZ
どの中での境界？
0084１３２人目の素数さん
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2022/09/07(水) 18:04:11.66ID:LyjV2w+Y
ショットキ被覆とか
ホモロジー被覆とか
普遍被覆以外にも面白い被覆は多い
0085１３２人目の素数さん
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2022/09/08(木) 12:16:48.97ID:NY5FPsWR
がロア被覆が基本
0087１３２人目の素数さん
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2022/09/08(木) 12:32:21.11ID:NY5FPsWR
基本群だけで決まる
0089１３２人目の素数さん
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2022/09/08(木) 13:07:23.60ID:9krgvqVu
代数トポロジーは大して詳しくないがRonald BrownのTopology and Groupoidsとか良さそう
現代の代数トポロジーでは空間の被覆射はgroupoid(任意の射が可逆な圏)を使って定義されるようで、
やはり現代では被覆空間、基本群の議論でも圏論をしっかり学んでおかないと置いていかれるみたいだな
0090１３２人目の素数さん
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2022/09/09(金) 20:05:27.45ID:+snrMYVE
>>89
初歩的質問ですまんが、圏論つかうとどんなメリットあるの？
0091１３２人目の素数さん
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2022/09/09(金) 21:23:37.42ID:clTSN/9f
>>90
詳しくないけどgroupoidを使うメリットは、groupoidによって空間の射がうまくモデル化される、基点に依存しない、持ち上げの結果が連結だけでない任意の位相群に一般化など色々あるらしい
0092１３２人目の素数さん
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2022/09/10(土) 10:50:03.88ID:ZxMKgNdd
被覆空間の写像類群となると幾何トポロジーになる
0093１３２人目の素数さん
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2022/09/15(木) 19:03:23.38ID:t2/pW8G1
>>90
基本群だとホモトピーで割る、コホモロジーだとイメージで割るなど、割った分の情報が消えてしまうが、
圏として扱うと割る前の情報も扱えるメリットがある。
しかし、割らないで考える分、情報が多くて扱うのが難しくなる。
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