dx dy の意味は？★２
dx とか dy って微積で出るけど、この明確な意味って何だ？
微少増分だとすると、大学初級のεδ論法でそんな曖昧なコトは排除されたのでは？
dy/dx が分数ではないとされるけど、分数のように計算したりするし…
微分形式だという話もあるが、微分形式の本を読んでも「これが微分形式だ！」なんて
やらないで、例によって天下り的に「こういう性質があるのが微分形式だ！」なんて言って
根底に潜むだろう思想を隠蔽するしｗ
※前スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1575816681/ >>449
そんなことないよ
むしろ素朴な概念として理解できてる
その拡張はしないってだけ >>448
数学科の本だって、意味をズバリ書いた参考書はあれこれ探してやっとあるって状況なのに？ 物理の人にたまによく聞かれるのは
なんで
(∂P/∂V)_T(∂V/∂T)_P(∂T/∂P)_V=-1
なのかってこと >>452
微分形式なんて多様体論の教科書ならどれでも載ってる >>454
意味をズバリやのに構文だけの微分形式とかｗ >>455
どういうこと？
微分形式が意味を持たないと思ってる？ 意味が無いのにいきなり計算規則が発生するというのは不可解ｗ >>458
何言ってんだお前
微分形式は多様体上の共変テンソル場だろ >>461
それ抽象的すぎて何も言っていないのと同義かと。
結局微少増分って元のアイディアがあって、その性質を突き詰めて考えるとそうなるってやつでしょ？
その結果、どうしてその計算規則が成り立つかわからんから >>448 みたいに「博士号を取得した研究者や大学教授
も本当の意味で何をやっているか理解して使っている人はいない」という惨状に繋がっているんじゃないの？ >>本当の意味で何をやっているか理解して使っている人はいない
それは「本当の意味で」の意味にもよるだろう >>462
> そうなるってやつでしょ？
伝聞調に見えるけどお前自身が微分形式の定義理解して書いてる？
中身知らずにポエム聞きかじっただけで理解したつもりになってない？ >>464
それこそ微少増分程度の理解ですまして疑問符いっぱい状態。
というか、授業がどんどん先に進むから戻ってじっくり考えるってことができなかったし、しっかり理解できていたなら
ここでグチグチ言わんよｗ 微分形式に関して多様体論の教科書の導入部分に書かれてるようなことを1から説明してみるか
まず、流れとしてはR^nにおいての接平面だの微分形式だのの定義があって、それの拡張として多様体での定義が得られる。
以下ではR^nをn次元縦ベクトルのなす集合、R_nをn次元横ベクトルのなす集合とする。またUをR^nの開集合、f: U→Rとする。
【微分の定義】
任意に点x∈Uをとる。以下の式が成り立つ横ベクトルA∈R_nが存在すれば、「関数fは点xで微分可能」という。
f(x+h)=f(x)+Ah+o(h) (h→0)
このときAをfの点xにおける微分係数といい、f'(x)と表す。fが任意の点で微分可能ならfは微分可能といい、導関数f': U→R_nが定義される。以下fを微分可能であるとする
【R^nにおける微分形式の定義】
任意に点x∈Uをとる。f'(x)∈R_nなので以下のように線形関数df_x: R^n→Rを定義できる。
df_x(v)=f'(x)v
これが任意の点xで定義されるから、Uの元を添字にもつ線形写像の族dfを定義できる。このdfをfの外微分という。
【微分形式の直感的意味】
点p∈Uをとる。微分の定義より
f(p+h)-f(p)=df_p(h)+o(h) (h→0)
が成り立つ。逆に言えばこのような線形関数df_pが存在することが微分可能性の定義とも言える。気持ちとしては点pの近くで関数f(p+h)-f(p)を線形関数df_pによって近似できるということ。
【dxについて】
第i座標への射影(x_1, …, x_n)→x_iをx_iと書く。(多項式関数のイメージ。記号の濫用なので注意。)するとdx_iは第i座標への射影となる。特にn=1ならば(このとき一般的にx_1と書かずxと書くが)xは恒等関数なので、dxは恒等関数である。
【多様体について】
多様体とはざっくり言えば座標を一つ与えればR^nの議論に落とし込める空間のこと。なので多様体の接平面や微分形式は、座標を一つ与えればR^nの接平面や微分形式が誘導されるように定義される。詳細は自分で勉強して。
要するにdfは微小量ではなく線形関数です、という話 >>467
やっぱ微小量がいいなあ
nonstandard解析で 位相もnonstandardでmonadだっけ
アレでやった方がいいような気がする >>467
長文書いて画面占領すれば勝ちと思ってるAhoh(アホウ) 微小量では近似的な関係にすぎないところを
厳密になりたつように改良したのが微分形式 >>468
メタ定理ってあんまり使いたくないんだよな ∫F(x)dxのdxは微分形式から定まる測度
という意味で、本来ならば、∫F(x)[dx]
のように区別して書くべきところだけど
単にdxと書かれるから混乱が生じている dx:微分形式
δx:微小量
Δx:無限小
[dx]:測度
みたいな区別をして教えるべき >>390
現代数学っていうのはそもそもこういう変数の関係式？みたいなもので記述する建て付けになっていないんだけどな
まあここの奴らは理解できないしする気もないんだろうが 例えば「Δx→0のときα→0」の定義を論理式で書け、って言われても不可能でしょ？
そういうことよ 高瀬正仁の『dxとdyの解析学』は、意欲作で「天下りの定義からは微積分の意味は聞こえてこない」なんて煽っている
けど、基本部分は dx は微少増分って扱いなんだよな。 高木貞治の解析概論の説明では、1変数の関数の微分とは局所的な接線の方程式であると理解するしかないみたいなんだけど。
https://imepic.jp/20231125/507160
高木ってゲーデルより30歳以上ジジイだからな
そんなやつが厳密に数学してるわけないという >>487
接線の「気持ち」としてはわかるにしても
解析概論のその説明はいろいろとおかしいな
まず「積分」を先に考えて、「微分」はそれの
「逆操作」とみなすほうがいいのかもしれんね
そうすれば、ε-δも当面は必要ないのではないか
楕円関数も楕円積分の逆として理解できる様に >>487
局所線形化写像とかの現代数学っぽく聞こえる言い換えを言い返ししたくなる。 >>492
積分をリーマン積分で定義するならどうせε-δが必要になる(それも分割の大きさに対するε-δだから関数の極限のε-δ以上にややこしい)
ルベーグ積分でも正項級数の定義くらいは必要になる
それに微分を積分の逆として定義すると、max(0, x)が微分可能になったり、f(x)=1の導関数が一意に定まらなくなったりする(導関数とほとんど至る所で一致するすべての関数が導関数になる) なんだか怖いね
ジョークが通じないというか
関わりたくないタイプ 論理式をまともに扱えないのにイキって使って事故った物理屋がTwitterで炎上中
ここの住人と重なる部分がある 考えてみると、子供向け質問回答で「山に登ると太陽に近づくが寒くなる」というのも、地球〜太陽の距離L=1億5千万kmにとっては山の高さ最大8.8ｋｍは
dLにも満たない距離だな。 太陽光が地面を温めて
地面が空気を温める
という説明で充分だろ
空気が太陽光を通す事も必要か？ この問題、Youtubeでも結構動画に上がっている。でも、正直に意味は不明とか、微分形式で定義づけられているけどわからんとか
超準解析で詳しく定義されているようだが、理解不能とか…正直に意味はないと考え単に計算規則として提示している人は正直で…好感がモテた。
でも、意味は無いのに計算規則だけ出てくるのは解せない。 数学は各自が勝手に定義して良いのだ
でも定義は明記しろよ 定義はどうせ次の計算規則が成立するモノとかで定義するんじゃないのか？ 下手に計算規則で定義すると
次の計算規則(i)(ii)が成り立つ非空集合SとS上の二項演算*の対(S, *)をチャオちゅ～ると定義する
(i) 任意のSの元aに対してa*a=a
(ii) 任意のSの元aに対してa*a≠a
みたいなレベルの無意味な定義になりかねないんだよね 受精卵は質量・体積の観点からすると、ほとんどが卵子由来。ゲノム情報は半々だが。精子残骸は受精後卵子に分解・吸収される。卵子細胞核まで泳ぎ切るかどうか不明だが。男・精子は卵子質量体積からすると微分量dmなのか。 やはり微分（全微分）は微分形式を学ばないと理解できないのか？
20年くらい前やはり同じ話題があがり
微分は数でもないし、関数でもない
というレスを見て考え込んでしまった。
純粋数学とは全く無縁の自分は「微小変化」で満足しているけどwww >>508
むしろ微分形式のほうが
純粋数学色なく実用ツールとして有用ですらある。 逆だろ
微分(接空間)が分からんのに微分形式が分かる訳がない >>510
あるいは多変数のほうが現実的具体的で簡単明瞭な可能性もある。 dx ≒ dy なら、dx≒0.001でいいんぢゃなーーい ごちゃごちゃ言わないでtangentBundleとcotangentBandleの定義を眺めたらいいのに >>510
接空間って要するに接線を２次元とか３次元とかに一般化したモノでしょ？ >>518
厳密に言えば多様体に
厳密でない言い方をすれば、ユークリッド空間に埋め込まれてるとは限らない曲線や曲面やその他曲がった多次元空間に とりあえず厳密じゃなくてもなんとなく納得できる回答が欲しい人はいると思う。
だから、これだけ紛糾しているわけだ。
局所的にユークリッド空間とみなせる空間に接線を接空間とかに拡張したもの…でなんとなく通じるんじゃないの？
後でそれじゃ厳密性が不足するなら注意を付け足せば良いわけだし。 >>512
実際、原子質量からすると電子質量は無視できるしな。水素原子と水素イオンの質量差＝電子1個の質量は無視。 >>520
個人的に「局所的にユークリッド空間とみなす」的な考え方は案外しっくりこないんだよね
例えば曲線に座標を与えても「直線と見なしてる」って感じがしなくて、あくまでも「曲線の各点と直線の各点を対応させてる」だけというか ＞局所的にユークリッド空間
地球上の数mの範囲とか >>522
結局、dx dy の定義で微小増分ってのが曖昧で嫌だってのを、多様体の空間が「局所的にユークリッド空間とみなせる」ってのに
単に置き換えて満足しているのかも…？うーん。 接空間を「局所的にユークリッド空間とみなす」なんて考える必要あるか？
最初に微分と接線を学んだ時も「局所的に直線とみなす」なんて思った事ないぞ まあ、曲線を拡大して見て、局所的に直線になっていると捉えることは可能だな。 >>527
接線って曲線を近似する直線なわけだけど、「近似」って近くて似てるけど異なるものなのよね 円に1点だけ共通部分があるのが接線
何も近似してない >>531
びっくりするかもしれねぇけど円以外の曲線も接線を持つんだぜ！ 近似の定義はεδ法みたいな形式で記述できるんじゃないの？ 微分の定義からして
f(x)-(f(a)+f'(a)(x-a))→0 (x→a)
であるのみならず
(f(x)-(f(a)+f'(a)(x-a)))/(x-a)→0 (x→a)
だからね
f(a)+f'(a)(x-a)がf(x)を近似してないってのは無理がある >>530
接線を重解として考えれば微分係数の厳密値が出るな。dxやεだと、超微小量だとしてもズレは0ではないし。
εδ論法や対角線論法とかで無限小は考慮されるが。（対角線論法は2^nというところを見落としているから論外）非代数関数への拡張は難しいかもしれんが。
https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/38/38-8.pdf
あと、変分δxもdxのように、積の公式とか成り立つんだろうか。 dy/dxをdxとdyに分離できるならdxもd×x(ｄ掛けるx)とうように分離できるかな。 掛けるというか作用ね
昔はf(x)もfxと書いてた
sin,cos.tan.log,exp等名残 結局、dx dy って「局所的にユークリッド空間とみなせる空間（多様体）に接線を接空間とかに拡張したもの」でいいんかいな？
「局所的にユークリッド空間とみなせる空間」の厳密な定義は、指定した点の近く（近傍）に開集合を取るとユークリッド空間の
性質に無限に近くなるモノが取れるなどで行うとして。曖昧な考えでテキトーｗ >>540
あの意図不明な多様体の定義はその解釈で理解可能なのか？ 多様体ってユークリッド空間の貼り合わせというよりは曲面の貼り合わせって印象 >>545
T2=[0,1]×[0,1]/<(x,0)〜(x,1),(0,y)〜(1,y)>も？ 大域的な問題を局所的に解いて
貼り合わせによって解を構成する トーラスも多様体として扱うならそりゃ貼り合わせとして扱うことになるでしょ 
